2011届高三数学上册第一次调研考试题2

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河北省保定市2011届高三第一学期期末调研考试(数学)

河北省保定市2010—2011学年度高三第一学期期末调研考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（理）i 是虚数单位，则(1)(2)i i i +-的虚部为（） A ．—1 B ．1 C ．—3 D ．3（文）设全集U=R ，1{|0,},2R x P x x R C P x -=≥∈=-则（） A ．[1，2] B ．(1,2] C ．[1,2) D ．（1，2）2．函数()sin()4f x x π=-的一个单调递增区间为（） A ．(,)22ππ- B ．3(,)44ππ- C ．3(,)44ππ- D ．37(,)44ππ 3．若实数x ，y 满足1|1|lg 0,x y--=则y 关于x 的函数的图象形状大致是（）4．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中不正确的是（）A ．//c c αβαβ⊥⎫⇒⊥⎬⎭B ．//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D ．a b b b c c a ββ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⎭是在内的射影 5．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共的充要条件是（）A．(k ∈ B．(,(2,)k ∈-∞+∞C．(k ∈D ．(,(3,)k ∈-∞+∞6．某公司有普通职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在己抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为（）A ．14B ．15C ．120D ．11007．设数列*12{}23,,{(,)}n n n a a a n N P n a +=∈满足且对任意的点列恒满足1(1,2)n n P P +=，则数列{}n n a n S 的前项和为（） A ．4()3n n -B ．3()4n n -C ．2()3n n -D ．1()2n n - 8．已知二项式(32)n x +的展开式中所有项的系数和为3125，则此展开式中含4x 项的系数是（）A ．240B ．720C ．810D ．1080 9．设实数x ，y 满足2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，且3z x y =+的最小值为5，则z 的最大值为（） A ．10 B ．12 C ．14 D ．1510．（理）用5，6，7，8，9，组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（）A ．36B ．48C ．72D ．120（文）用5，6，7，8，9，组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A ．36B ．48C ．72D ．12011．（理）已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，则两圆的圆心距为（）A ．4 BC ．D ．1（文）位于北纬x 的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为3πR （R 为地球半径），则x 等于（）A ．30B ．45C ．60D ．7512．有一矩形纸片ABCD ，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B 都落在边AD 上，将B 的落点记为B '，其中EF为折痕，点F 也可落在边CD 上，过B '作B H '//CD 交EF于点H ，则点H 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）13．曲线24y x x =-在点（—1，—3）处的切线方程是。

2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)word版

绝密★启用前试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则A ．11a b =-=，B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，2．已知p ：“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为A ．94B ．32C ．54D ．44．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24π B ．34π C ．22πD ．32π 5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是A ．450元B ．500元C ．550元D ．600元6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为A ．2B ．1C ．23D ．1310040020一号二号三号四号五号俯视图正(主)视图侧(左)视图7．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为． 11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-= ()()，，，满足//p q ，则C ∠= ． 12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是．13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是．15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()()．（1）求f x ()的最小正周期；（2）若将f x ()的图象向右平移6π个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．BCDEPO第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：男女9 15 7 7 8 9 99 8 16 1 2 4 5 8 98 6 5 0 17 2 3 4 5 67 4 2 1 18 0 11 19若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（本小题满分14分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30BAC∠=︒，BM AC⊥交AC于点M，EA⊥平面ABC，//FC EA，431AC EA FC===，，．（1）证明：EM BF⊥；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．AB CEFMO∙已知点F 是椭圆222101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅= ．若点P 满足2OM ON PO =+．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a ，d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有m n ，的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()．（1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()．。

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合M={－1，1}，{|124}x N x =≤≤，则M N = ．2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为． 3．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ． 4．根据右图的算法，输出的结果是．5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是人．6．若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为． 7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若a ∥α，a ∥β，则α∥β；（2）若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；（3）若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；（4）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ．上述命题中，所有真命题的序号是．8．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是．9．函数()()sin f x x x x ωω=∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为．10．若圆C ：22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且OC =C 的坐标是．12．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为．13．已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是．14，则该三角形的面积的最大值是．For from 1 to 10End for Print EndS I S S I S ←←+（第4题）二．解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2．（1）求a·b 的值；（2）求|a +b |的值． 16．（本题满分14分）如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．（1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠= ，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 17．（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

江苏省苏州市2011届高三第一次调研考试(数学)

江苏省苏州市2011届高三第一次调研考试（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1.复数()212i+的共轭复数是▲.2.若双曲线()22221,0x ya ba b-=>的离心率为2，则ba= ▲.3.样本数据11,8,9,10,7的方差是▲.4.函数()()[)() sin0,0,0,2f x A x Aωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ=▲.5.已知集合{}2,5A=,在A中可重复的依次取出三个数,,a b c，则“以,,a b c为边恰好构成三角形”的概率是▲ .6．设,E F分别是Rt ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知3,6AB AC==,则AE AF⋅=▲.7.设,αβ为两个不重合的平面，,m n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m nαα⊥⊥⊄则n∥α；②若,,,,m n n mαβαβα⊥⋂=⊂⊥则nβ⊥；③若,m n⊥m∥α，n∥β，则αβ⊥；④若,,n mαβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n与m不垂直.其中，所有真命题的序号是▲ .8.已知11tan,tan73αβ==，且(),0,αβπ∈，则2αβ+= ▲.9.右图是一个算法的流程图，最后输出的S=▲ .10.已知圆22x y m+=与圆2268110x y x y++--=相交，则实数m的取值范围为▲.11.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）.12.已知数列{}n a 满足()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-,则数列{}n a 的前100项的和为 ▲ .13.已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b +≤+≤，则ba 的取值范围为 ▲ .14.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲ . 二、解答题：本大题共六小题，共计90分.15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()3a b c b c a bc +++-=.⑴求A ;⑵若90,4B C c -=︒=，求b .（结果用根式表示）16. （本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点.⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD .17. （本小题满分14分）有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方与车身长()l m 的积，且车距不得小于一个车身长l （假设所有车身长均为l ）.而当车速为()60/km h 时，车距为1.44个车身长.⑴求通过隧道的最低车速；⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18. （本小题满分16分）如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. 19. （本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n n n N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+.⑴求1S ,2S 及n S ；⑵设1,2n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63nk k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分16分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =>>且为常数.⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； ⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.加试题卷21.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等.⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积.22. （本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求X 的分布列及X 的数学期望.23. （本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，11A E CF ==.⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值；⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值.24．（本小题满分10分）设()1n f n n +=，()()*1,ng n n n N =+∈．⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小．⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．【解答部分】1. 34i --【解析】()21214434.i i i +=+-=-+2.222,3,c b ba a a ====3.2【解析】()()()()()222222119899910979 2.5s -+-+-+-+-==4. 4π【解析】()2738,T =-=2,384A ππω===，()3sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()13sin 04f πϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，.4πϕ= 5. 58【解析】“在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ”的基本事件总数为328=，事件“以,,a b c 为边不能构成三角形”分别为()()()2,2,5,2,5,2,5,2,2,所以351.88P =-= 6. 10【解析】()()AE AF AB BE AC CF⋅=+⋅+()()222211331193226310.39AB BC AC BC AB AC BC BC AC ABBC ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅-+⋅-==+=7. ①②【解析】③错误，,αβ相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n αβ= ，则在β内存在.m n ⊥8. 4π【解析】()11173tan .11236173παβαβ++==<+<-⨯1tan .36πββ=<< ()1123tan 21,2,2.1134123ππαβαβαβ++==+<+=-⨯9. 25【解析】...,5,2524,25;6,2425,a P S a P ==>===<输出的25.S =10. 1121m <<【解析】由222:68110C x y x y ++--=得该圆圆心坐标为()3,4-，半径为6，圆221:C x y m +=的圆心坐标在圆2C 内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆1C 内切于圆2C此时561;m ==圆2C 内切于圆1C，此时56,121.m =所以1121m <<.11. 100【解析】()120401204023200020.1mm πππ-⨯+⨯⨯=，所以3200032100.mm m m ππ=≈12. 200【解析】由()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-得23521353133,1,327337a a ⨯-⨯-====⨯-⨯-451132,317a ⨯-==⨯-则{}n a 是周期数列，()100231332200.S =++⨯+=13. 35,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】FE CB通过23230,0b c a c a b a b c a c b b c a a b +≤⎧⎪+≤⎪⎪+>⎨+<⎪⎪+>⎪>>⎩求得可行域如图因此00b b a a -=-可以看作是点(),a b 到原点连线的斜率，3543b a <<。

2011年深圳市高三年级第一次调研考试(文科)数学试题

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科) 2011.3一、选择题：1、已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x>2}，则A∩B= A.{2} B.{0，1，2} C.{x|x>2} D.∅2、复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、双曲线22y x 14-=的渐近线方程为 A.x=±1 B.y=±2 C. y=±2x D. x=±2y4、已知p 直线l 1:x －y －1=0与直线l 2: x+ay －2=0平行，q:a=－1，则p 是q 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5、设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n =A. n n[(1)1]2--B. n 1(1)12--+C.n (1)12-+D.n (1)12--6、如图所示的方格纸中有定点O ，P ， Q ，E ，F ，G ，H ，则OP OQ += A.OH B.OG C.FO D.EO7、在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x)2)4π=+，g(x)sin(2x )3π=+，h(x)cos(x )6π=-的部分图象(如图)，则A.a 为f(x)，b 为g(x)，c 为h(x)B. a 为h(x)，b 为f(x)，c 为g(x)C. a 为g(x)，b 为f(x)，c 为h(x)D. a 为h(x)，b 为g(x)，c 为f(x)8、已知圆面C:(x －a)2+y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D:2x+y≤4与圆面C 的公共区域的面积大于1S 2，则实数a 的取值范围是A.(－∞，2)B. (－∞，2]C. (－∞，－1)∪(1，2)D. (－∞，－1)∪(1，2]9、如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P(a ，b ，c)，输出相应的点Q(a ，b ，c)．若P 的坐标为(2，3，1)，则P ，Q 间的距离为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”)FEP GOHc baA.0 2 6 D.2210、若实数t 满足f(t)=－t ，则称t 是函数f(x)的一个次不动点．设函数f(x)=lnx 与函数g(x)=e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则A.m<0B.m=0C.0<m<1D.m>1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答.11、某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图). 为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000)(元)段应抽出人.12、已知正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面是正三角形)的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 .x 11 12 13 14 15 …y297 148 295 147 293…则x 和y 可能满足的一个关系式是 .(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分.14、(坐标系与参数方程)在极坐标系中，P ，Q 是曲线 C:ρ=4sinθ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为_____.15、(几何证明选讲)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD=2，CB 43=CD=______.16、(本小题满分14分)已知向量a (1sin )2α=-，与向量4b (2cos )52α=，垂直，其中α为第二象限角. (1)求tanα的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2+c 2－a 2bc ，求tan(α+A)的值.直观图正视图1 13000 1000 1500 2000 2500 3500 4000 月收入(元) 频率/组距 0.00010.00020.0003 0.0004 0.000517、(本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD=3AB ，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM=AB ，DM=DC ，SM ⊥AD.(1)证明：BM ⊥平面SMC ；(2)设三棱锥C-SBM 与四棱锥S-ABCD 的体积分别为V 1与V ，求V 1：V 的值.18、(本小题满分14分) 已知函数31f (x)x ax b 3=-+，其中实数a ，b 是常数. (1)已知a ∈{0，1，2}，b ∈{0，1，2}，求事件A “f(1)≥0”发生的概率；(2)若f(x)是R 上的奇函数，g(a)是f(x)在区间[－1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g(a)的解析式.19、(本小题满分12分)如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.M S D B A20、(本小题满分14分)已知椭圆C:2222x y 1a b+= (a>b>0)的左焦点F 及点 A(0，b)，原点O 到直线FA的距离为b 2. (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l :2x+y=0的对称点P 在圆O:x 2+y 2=4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．21、(本小题满分14分)设数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n . (1)已知a 1=1，d=2，(ⅰ)求当n ∈N*时，n S 64n+的最小值； (ⅱ)当n ∈N*时，求证：1324n n 223n 15...S S S S S S 16+++++<；(2)是否存在实数a 1，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为3n －2?若存在，则求a 1的取值范围；若不存在，则说明理由.2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBCADCBCCB6.a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +，再平移即发现. a FO =7.从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为f(x)；a 的最小正周期最大，故a 为h(x) ，从而c 为g(x).8.圆面C:(x －a)2+y 2≤a 2－1的圆心(a ，0)在平面区域:2x+y<4内，则2a 102a 04⎧->⎨+<⎩⇔(－∞，－1)∪(1，2).9.程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若P(2，3，1)，则Q(1，2，3). 10.画图即知:函数y=lnx 的图象与直线y=－x 有唯一公共点(t ，－t)，e x =－x ⇔x=ln(－x)⇔x=－t ，故两个函数的所有次不动点之和m=t+(－t)=0.或利用函数y=lnx 的图象与函数y= e x 的图象关于直线y=x 对称即得出答案. 二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11、25； 12、3； 13、y(108－x)=2； 14、4； 15、3第13题写或不写x ≤100都可以，写成如2y 108x=-等均可.11、每个个体被抽入样的概率均为100110000100=，在[2500，3000)内的频率为0.0005×(3000－2500)＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为1250025100⨯=人.12、画出左(侧)视图如图，其面积为313、将各11，12，13，14，15对应的函数值分别写成297，296，295，294，293，分母成等差数列，可知分母 a n =a 11+(n －1)(－1)=97－n+11=108－n.14、最长线段PQ 即圆x 2+(y －2)2=4的直径.15、根据射影定理得CB 2=BD ×BA ⇔2= BD ×(BD+2) ⇔BD=6，23CD 2=AD ×BD=12.三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1) ∵a (1sin )2α=-，，4b (2cos )52α=，，a b ⊥， ∴4a b 2sin cos 0522αα⋅=-+=，即4sin 5α=.……3分∵α为第二象限角， ∴23cos 1sin 5α=--α=-，sin 4tan cos 3αα==-α. ……6分 (2) 在△ABC 中，b 2+c 2－a 22，∴222b c a 2cos A 2bc 2+-==.……9分∵A ∈(0)，∴tanA=1.……11分∴tan tan A 1tan(A)1tan tan A 7α+α+==--α. ……14分17、【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1)证明: ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SM ⊂平面SAD ，SM ⊥AD.∴SM ⊥平面ABCD ， ......1分 ∵BM ⊂平面ABCD ， ∴SM ⊥BM ， (2)∵四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AM=AB ，DM=DC ，∴△MAB ，△MDC 都是等腰直角三角形，∴∠AMB=∠CMF=450，∠BMC=900，BM ⊥CM. ……4分 ∵SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM∩CM=M ，∴BM ⊥平面SMC. ……6分 (1)解: 三棱锥C-SBM 与三棱锥S-CBM 的体积相等,由(1)知SM ⊥平面ABCD ，得111SM BM CMV 3211V SM (AB CD)AD 32⨯⨯=⨯+， ……9分设AB=a ，由CD=3AB ，AM=AB ，DM=DC ，得CD=3a ，BM =，CM =，AD=4a ，MSDBA MSDCB从而1V 2a 32a 3V 8⨯==. ……12分 18、【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当a ∈{0，1，2}，b ∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件(a ，b) 共有9个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)， (2，1)，(2，2)， ……4分其中事件A“1f (1)a b 03=-+≥”，包含6个基本事件： (0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，2). ……5分故62P(A)93==. ……6分答：事件“f(1)≥0”发生的概率23. ……7分 (2) 31f (x)x ax b 3=-+是R 上的奇函数，得f(0)=0，b=0. ……8分 ∴31f (x)x ax 3=-，f′(x)=x 2－a ， ……9分当a ≥1时，因为－1≤x ≤1，所以f′(x) ≤0，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，从而1g (a )f (1)a3==-； ……11分当a≤－1时，因为－1≤x≤1，所以f′(x) >0，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，从而1g (a )f (1)a 3=-=-+. ……13分综上可知1a a 13g(a)1a a 13⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪-≤-⎪⎩，，. ……14分19、【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力. 解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为y=ax 2 (0≤x ≤2) ∵点C 的坐标为(2，1)，∴22a=1，a=0.25.故边缘线OC 的方程为y=0.25x 2 (0≤x ≤2). ……4分要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P(t ，0.25t 2) (0<t<2)，∵1y x 2'=，∴直线EF 的的方程可表示为211y t t(x t)42-=-，即211y tx t 24=-， ……6分由此可求得21E(2t t )4-，，21F(0t )4-，.∴2211|AF||t (1)|1t 44=---=-，2211|BE||(t t )(1)|t t 144=---=-++， ……8分设梯形ABEF 的面积为S(t)，则1S(t)|AB |[|AF ||BE |]2=+2222111155(1t )(t t 1)t t 2(t 1)442222=-+-++=-++=--+≤.……10分∴当t=1时，S(t)=2.5.故S(t)的最大值为2.5. 此时|AF|=0.75，|BF|=1.75. ……11分答：当AF|=0.75m ，|BF|=1.75m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2. ……12分解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为 y=ax 2+1(0≤x ≤2).∵点C 的坐标为(2，2)，∴22a+1=2，a=0.25.故边缘线OC 的方程为y=0.25x 2 +1 (0≤x ≤ ……4分要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P(t ，0.25t 2+1) (0<t<2)，∵1y x 2'=，∴直线EF 的的方程可表示为211y t t(x t)42--1=-，即211y tx t 124=-+， ……6分由此可求得21E(2t t 1)4-+，，21F(0t 1)4-+，. ∴21|AF|1t 4=-，21|BE|t t 14=-++， ……7分设梯形ABEF 的面积为S(t)，则ABC D OE F Px y则1S(t)|AB |[|AF ||BE |]2=+ 2222111155(1t )(t t 1)t t 2(t 1)442222=-+-++=-++=--+≤.……10分∴当t=1时，S(t)=2.5. 故S(t)的最大值为2.5. 此时|AF|=0.75，|BF|=1.75. ……11分答：当AF|=0.75m ，|BF|=1.75m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2. ……12分20、【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力. 解：(1)由点F(－a ·e ，0)，点A(0，b)及b =得直线FA 的方程为2x 1ae 1e a+=--221e x ey ae 1e 0--+-=， ……2分 ∵原点O 到直线FA 的距离为221e b a22-= 2222ae 1e 1e 21e e --=-+2e 2=.……5分故椭圆C 的离心率2e 2=. ……7分(2) 解法一：设椭圆C 的左焦点2F (a 0)2-，关于直线l :2x+y=0的对称点为P(x 0，y 0)，则有0000122x a 22x a y 22022=+⎪⎨⎪-⎪⨯+=⎪⎩， ……10分解之，得0032x a 1042y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵P 在圆x 2+y 2=4上，∴22322(a)+(41010=， ∴a 2=8，b 2=(1－e 2)a 2=4. ……13分故椭圆C 的方程为22x y 184+=，点P 的坐标为68()55，.……14分解法二：因为F(0)2-，关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又l :2x+y=0经过圆O:x 2+y 2=4的圆心O(0，0)，所以2F(a 0)2-，也在圆上， ……9分从而222(a)042-=+，∴a 2=8，b 2=(1－e 2)a 2=4. ……10分故椭圆C 的方程为22x y 184+=. ……11分 ∵F(－2，0) 与P(x 0，y 0)关于直线l 的对称，∴0000y 1x 22x 2y 2022⎧=⎪+⎪⎨-⎪⨯+=⎪⎩， ……12分解之，得068x 55=0，y =. ……13分故点P 的坐标为68()55，. ……14分21．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力. (1)(ⅰ) 解: ∵a 1=1，d=2，∴2n 11S na n(n 1)d n 2=+-=， n S 646464n 2n 16n n n +=+≥⨯，当且仅当64n n =即n=8时，上式取等号.故n S 64n+的最大值是16. ……4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知S n =n 2，当n ∈N*时，2222n n 2n 1n 1111[]S S n (n 2)4n (n 2)+++==-++， ……6分2222221324n n 223n 11111111...[()()...()]S S S S S S 41324n (n 2)+++++=-+-++-+ 222211111()412(n 1)(n 2)=+--++， ……8分 ∴22110(n 1)(n 2)+>++，∴221324n n 223n 11115...()S S S S S S 41216+++++<+=. ……9分2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)第 11 页共 11 页 (2)对∀n ∈N*，关于m 的不等式a m =a 1+(m －1)d≥n 的最小正整数解为 c n =3n －2，当n=1时，a 1+( c 1－1)d= a 1≥1； ……10分当n≥2时，恒有1n 1n a (c 1)d n a (c 2)d n +-≥⎧⎨+-<⎩，即11(3d 1)n (a 3d)0(3d 1)n (a 4d)0-+-≥⎧⎨-+-<⎩，从而113d 10(3d 1)2(a 3d)03d 10(3d 1)2(a 4d)0-≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩1d 3⇔=，141a 3≤<. ……12分当1d 3=，141a 3≤<时，对∀n ∈N*，且n≥2时, 当正整数 m< c n 时，有n 11c 1m 1a a n 33--+<+<.……13分所以存在这样的实数a 1，且a 1的取值范围是4[1)3，. ……14分。

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) 2

2011年深圳市高三年级第一次调研考试一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则A ．11a b =-=，B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，2．已知p ：“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为A ．94B ．32C ．54D ．44．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24πB ．34πC ．22πD ．32π5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是A ．450元B ．500元C ．550元D ．600元6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．210040020一号二号三号四号五号正(主)视图侧(左)视图B ．1C ．23D ．137．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题：①函数y f x =()是周期函数；②函数f x ()在0 2[，]是减函数； ③如果当1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为．11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q ，则C ∠=．12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是．13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q 是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是．15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()()．（1）求f x ()的最小正周期；（2）若将f x ()的图象向右平移6π个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．17．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）：男女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1BCDE PO1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（本小题满分14分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ∠=︒，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ，431AC EA FC ===，，．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知点F 是椭圆222101x y a a+=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=．若点P 满足2OM ON PO =+．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．AB CEFMO20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a ，d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有m n ，的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()．（1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++()n ∈*N ()．2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． (,1]-∞ ． 10．8 ． 11．4π． 12．(,3)(1,)-∞-+∞． 13． 192-． 14． 12-． 15．773．三、解答题 16．（本小题满分12分）已知函数)sin()42cos()42sin(32)(πππ+-++=x x x x f ．（1）求)(x f 的最小正周期；（2）若将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间],0[π上的最大值和最小值．解：（1）x x x f sin )2sin(3)(++=πx x sin cos 3+= …………………………………………………2分 )cos 23sin 21(2x x +=)3sin(2π+=x ． …………………………………………………4分所以)(x f 的最小正周期为π2． …………………………………………………6分（2）将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=3)6(sin 2)6()(πππx x f x g )6sin(2π+=x ． …………………………………………………8分[0,]x π∈时，]67,6[6πππ∈+x ， …………………………………………………9分 ∴当26ππ=+x ，即3π=x 时，sin()16x π+=，)(x g 取得最大值2． …………10分当766x ππ+=，即x π=时，1sin()62x π+=-，)(x g 取得最小值1-．………12分【说明】本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：（单位：cm ）男女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分（２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………………9分因此，ξ的分布列如下：………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………………………12分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．(本小题满分14分)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，︒=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点 M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，．（1）证明：BF EM ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．解：（法一）（1）⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．……………1分又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂， ⊥∴BM 平面ACFE ，而⊂EM 平面ACFE ，EM BM ⊥∴． ………………………………………3分AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=．又，BAC ︒=∠30 4=AC ，，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ． ⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ， ⊥∴FC 平面ABCD ．∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形． ︒=∠=∠∴45FMC EMA ． ︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分A B C E F M OM BM MF =⋂ ， ⊥∴EM 平面MBF ．而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． ………………………………………………………………………………6分（2）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥，连结FH ．由（1）知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， FC BG ∴⊥．而FC CH C ⋂=，BG ∴⊥平面FCH ． FH ⊂平面FCH ， FH BG ∴⊥，FHC ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8分在ABC Rt ∆中， ︒=∠30BAC ，4=AC ，330sin =⋅=∴ AB BM ．由13FC GC EA GA ==，得2GC =． 3222=+=MG BM BG ．又GBM GCH ∆∆~ ，BM CH BG GC =∴，则13232=⨯=⋅=BG BM GC CH ． ………………………………11分 FCH ∴∆是等腰直角三角形， 45=∠FHC ．∴平面BEF 与平面ABC………………………12分（法二）（1）同法一，得33==BM AM ，． ………………………3分如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系．由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),A M EB (0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-． ………4由(0,3,3)(,1)0ME BF ⋅=-⋅=，得⊥， BF EM ⊥∴． ……………（2）由（1）知(3,3,3),(3,1BE BF =--=-设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，OHGABC EFMO由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=得330y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令3=x 得1,2y z ==，()3,1,2n ∴=， …………………………9分由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =，设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,2n AE θ→=<>==， …………………………11分 ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为2． ……………………12分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．19．(本小题满分14分)已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：（1）椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分 (,)NF a n ∴=-． (,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． …………………………3分设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a，则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． ………………………………6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-．(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ……………………………………2分解得11=a ，2=d ， ………………………………………3分21n a n ∴=-．111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++． ……………………5分（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121 )12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分(n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥，等号在2n =时取得． ∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n -是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． …………………………………………10分（3）11,,32121m n m n T T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．…11分（法一）由2244163m n m m n =+++，可得2232410m m n m -++=>，即22410m m -++>， (12)分∴11m <<． ……………………………………13分又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…………14分（法二）因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，∴11m <<，（以下同上）． …………………………………………13分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ．（1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ，令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ……………12分∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++．根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n ]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ，∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<dx x 11231 ]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++，又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1215131+<++++∴n n ． …………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

2011年长春市高中毕业班第一次调研测试数学(理科)含答案

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

1.2011年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 已知复数iiz -+=11（i 是虚数单位）,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅= A.1 B.0 C.1- D.2 2. 已知集合{}{}1|,1|>=<=x e x N x x M ,则N M = A.∅ B.}0|{>x x C.{}|1x x < D.{}|01x x <<3. 已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,有下面四个命题,其中正确命题是①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l //④βα//⇒⊥m lA.①与②B.①与③C.②与④D.③与④4. 若31)6sin(=-απ,则)3cos(απ+的值为A.31B.31-C.322 D.322-5. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为A.23πB .45π C.π D .4π 6. 平面向量a 与的夹角为︒60,a ＝(2,0), |a ＋2|＝32,则||＝B.1C.2D.13-7. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是8. 设F 1,F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点,点P 在双曲线上,且1·2PF =0,则 |1|·|2PF |的值等于 A.2B.22C.4D.89. 已知y ax y x y x x +⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥若022,011的最小值是2,则=aA.1B.2C.3D.410. 函数)2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π,若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数,则函数)(x f 的图象A.关于点)0,12(π对称 B.关于点)0,125(π对称 C.关于直线125π=x 对称 D.关于直线12π=x 对称 11. 已知直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=的四个交点从上到下依次为D C B A 、、、四点,则||||CD AB +=A.12B.14C.16D.1812. 已知函数)1ln()(+=x x f ,),0(+∞∈x ,下列结论错误．．的是 A.),0(,21+∞∈∀x x ,)]()()[(1212x f x f x x --≥0 B.),0(1+∞∈∀x ,),0(2+∞∈∃x ,)()(2112x f x x f x > C.),0(1+∞∈∀x ,),0(2+∞∈∃x ,1212)()(x x x f x f -<- D.),0(,21+∞∈∃x x ,2(2)()(2121x x f x f x f +>+5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

2011届南京市高三数学第一学期学情调研试卷及答案

D．选修4—5：不等式选讲
证明：（方法一）
因为a，b是正数，利用均值不等式，
(a＋)(2b＋)＝2ab＋＋2＋…………………………5分
＝(2ab＋)＋≥2＋＝．
所以(a＋)(2b＋)≥．…………………………10分
（方法二）
因为a，b是正数，利用柯西不等式，
(a＋)(2b＋)＝[()2＋()2][()2＋()2]……………………5分
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M＝所对应的变换把直线l：2x－y＝3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
将参数方程(t为参数)化为普通方程．
（方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则
＝，…………………………3分
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x＋ay，bx＋3y)仍在直线l上，
代入直线方程得：2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3，…………………………7分
化简得(－2－b)x＋(2a－3)y＝3，又直线l：2x－y＝3，
所以解得…………………………10分
≥(×＋×)2＝(＋)2＝．
所以(a＋)(2b＋)≥．………………………10分
22．解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为
X
3
4
5
6
7
P
………………………3分
因此X的数学期望E(X)＝(3＋4＋6＋7)×＋5×＝5．………………………5分
2011届高三学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准2来自10.0921．A．选修4—1：几何证明选讲

2011届高三数学上册第一次统考测试题2

江西省修水一中2011届高三第一次统考数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．集合2{280}A x x x =--<，集合2{230}B x x x =--<，则R A C B 是（）A ．(2,3)-B ．(,3)-∞C ．(,4]-∞D ．(,)-∞+∞2．f （x ）=⎩⎨⎧≥<+4,24),1(x x x f x ，则()2log 3f ＝（）A ．-23B ．11C ．19D ．243．函数y =（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>5．下列四个函数中，在区间（-1，0）上为减函数的是（）A ．x y 2log =B ．y=cosxC ．xy )21(-=D ．31x y =6．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则（）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<c<aD ．b<a<c7．设全集)},1ln(|{},12|{,)3(x y x B x A R U x x --==<==+则右图中阴影部分表示的集合为（）A ．{x |x ＞0}B ．}03|{<<-x xC ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x8．幂函数（1） 1-=xy以及（2）直线y=x ，（3）y=1，（4）x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”： Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，（如图所示），则函数23-=x y 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ．Ⅳ、ⅦB ．Ⅳ、ⅧC ．Ⅲ、ⅧD ．Ⅲ、Ⅶ9．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（）A ．)1(-fB ．)1(fC ．)2(fD ．)5(f 10．图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．|1|23-=x y （0≤x ≤2） B ．|1|1--=x y （0≤x ≤2）C ．|1|23--=x y （0≤x ≤2）D ．|1|2323--=x y （0≤x ≤2）11．设函数f （x ）（x ∈R ）为奇函数，=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则（）A ．0B ．1C ．25 D ．512．若函数f （x ）＝（a 2－2a －3）x 2＋（a －3）x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是（） A ．a ＝－1或3 B ．a ＝－1 C ．a>3或a<－1 D ．－1<a<3二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

江苏省徐州市2011届高三上学期阶段性检测数学试题

2011届高三阶段性检测数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上。

1．已知集合M={1,2,3}，集合N ＝{x ∣x =-a ，a ∈M}，则集合M N = ___ ． 2．若i i i a a a ，其中52)13(2+=-+-是虚数单位，则实数a 的值范围是． 3．若命题“R x ∈∃，01)1(2<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是． 4．某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别是4,2,1,0,0,0,0，则这组数据的方差=2s ． 5．函数xy -=1)21(的值域是．6．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为． 7．右图是一个算法的流程图最后输出的=n ．8．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则∙的取值范围是． 9．已知 ,8173cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213cos===ππππππ，根据这些结果，猜想出的一般结论是．10．曲线12++=x xe y x在点（0,1）处的切线方程为．11．若c b a ,,>0，且c b a bc ac ab a ++=+++2,42则的最小值为． 12．已知数列{n a }满足2sin )2cos 1(,2,122221ππn a n a a a n n ++===+，则该数列的前20项的和为．13．设，，xx f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是． 14．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即m x =}{.在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知97)sin(,972cos 2)20(=+-=∈∈βαβππβπα），，（，，．（Ⅰ）求βcos 的值；（Ⅱ）求αsin 的值．16．（本小题满分14分）设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧≥-≤≤060y x x 表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点),(y x P ．（Ⅰ）求点P 落在区域B 中概率；（Ⅱ）若y x ,分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子向上的面所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率．17．（本小题满分14分）设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)2(=∙+∙+c c a ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若32=b ，试求∙的最小值．18．（本小题满分16分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足102120)(--=t t f （元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()*+∈-N n a a n n n 12，在直线x y =上．（Ⅰ）计算432,,a a a 的值；（Ⅱ）令11--=+n n n a a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅲ）设n n T S 、分别为数列{}{}n n b a 、的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n T S n n λ为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数xxa ax f 2)(+=（其中常数a >0，且a ≠1）．（Ⅰ）当10=a 时，解关于x 的方程m x f =)(（其中常数22>m ）；（Ⅱ）若函数)(x f 在]2,(-∞上的最小值是一个与a 无关的常数，求实数a 的取值范围．2011届高三阶段性测试数学试题参考答案一、填空题：1． {}0 2． 2． 3． 13a -≤≤ 4． 2 5．（0，＋∞） 67． 100 8． [12-，1] 9 π2ππ1c o s c o s c o s 2121212n n n n n =+++12． 2101 13． 2≥k 14． ①②③二、解答题：15．(本小题满分14分)解：(Ⅰ) ∵cos 22cos 12ββ+=…………………………2分 =912)97(1=-+ …………………………4分又∵(,)2πβπ∈∴cos β=31-…………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：sin β=322)31(1cos 122=--=-β…………………………8分由(0,)2πα∈、(,)2πβπ∈得（βα+）∈（23,2ππ） cos （βα+）=-924)97(1)(sin 122-=--=+-βα………………………10分sin α=sin(βα+-β)=sin(βα+)cos β-cos(βα+)sin β…………13分 =97×-()31-)924(-×322 =31…………………………14分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设区域A 中任意一点P (,)x y B ∈为事件M ．1分因为区域A 的面积为136S =，区域B 在区域A 的面积为218S =， ························ 5分故点P 落在区域B 中的概率181()362P M ==．···························································· 7分（Ⅱ）设点P (,)x y 在集合B 为事件N ， ······································································ 8分甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P (,)x y 的个数为36个，其中在区域B 中的点P (,)x y 有21个． ····························································································································· 12分故点P 落在区域B 中的概率217()3612P N ==． ·························································· 14分 17．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅= ，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， …2分即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= ………4分所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=………………8分（Ⅱ）因为22222cos 3b ac ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤当且仅当a c =时取等号，此时ac 最大值为4…………12分所以AB CB ⋅ =21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅ 的最小值为2-……………14分18.（本小题满分16分）18．解：（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤ …………………… 8分（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y=1200102++-t t=1225)5(2+--ty 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 10分同理当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分（答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 16分19. （本小题满分16分）解：（Ⅰ）由题意，.43,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n ……… 2分同理,1635,81143==a a ……………………………………… 3分（Ⅱ）因为,21n a a n n =-+所以,211211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b ………… 5分21,211)2(1111111==--=---=--=++++++nn n n n n n n n b bb a n n a a a a b …………7分又431121-=--=a a b ，所以数列{}n b 是以43-为首项，21为公比的等比数列. 9分（Ⅲ）由（2）得，.23)21(3211)211(43,)21(3)21(43111-⨯=--⨯-=⨯-=⨯-=++-n n n n n n T b 又,)21(32,)21(31111nn n n n n a n b n a ⨯+-=⨯+-=--=++所以所以.23323211)211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--⨯⨯+-+=…………… 13分由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n nn n c c c nT S c -+=+λ .211)233(23]23)21(3[)23323(12nn n n n n T S c nn n n n n -⨯-+-=-⨯+-+-=+=+λλλ ,1211)233(2411--⨯-+-=--n n c n n λ 则).1211211()233(2111----⨯-+=---n n c c n n n n λ…………………… 15分故当.}{,21,21为等差数列即数列为常数时nT S c c n n n n λλ+=-=-………… 16分 20．（本小题满分16分）20．解（Ⅰ）f (x )＝210,0,103,0.10xxxx x ⎧+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩≥① 当x ＜0时，f (x )＝310x＞3．因为m ＞22．则当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 无解；当m ＞3，由10x ＝3m ，得x ＝lg 3m ． …………………… 1分 ② 当x ≥0时，10x ≥1．由f (x )＝m 得10x ＋210x ＝m ，∴(10x )2－m 10x ＋2＝0．因为m ＞22，判别式∆＝m 2－8＞0，解得10x＝m ±m 2－82． …………………… 3分因为m ＞22，所以m ＋m 2－82＞2＞1．所以由10x ＝m ＋m 2－82，解得x ＝lg m ＋m 2－82．令m －m 2－82＝1，得m ＝3． …………………… 4分所以当m ＞3时，m －m 2－82＝4m ＋m 2－8＜43＋32－8＝1，当22＜m ≤3时，m －m 2－82＝4m ＋m 2－8＞43＋32－8＝1，解得x ＝lgm －m 2－82．…………… 5分综上，当m ＞3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lg 3m 和x ＝lg m ＋m 2－82；当22＜m ≤3时，方程f (x )＝m 有两解x ＝lg m ±m 2－82．…………………… 6分 (2) （Ⅰ）若0＜a ＜1，当x ＜0时，0＜f (x )＝3a x ＜3；当0≤x ≤2时，f (x )＝a x ＋2a x ．… 7分令t ＝a x ，则t ∈[a 2，1]，g (t )＝t ＋2t 在[a 2，1]上单调递减，所以当t ＝1，即x ＝0时f (x )取得最小值为3．当t ＝a 2时，f (x )取得最大值为222a a +．此时f (x )在(－∞，2]上的值域是(0，222a a+]，没有最小值．…………………………… 9分（Ⅱ）若a ＞1，当x ＜0时，f (x )＝3a x ＞3；当0≤x ≤2时f (x )＝a x ＋2a x ．令t ＝a x ，g (t )＝t ＋2t ，则t ∈[1，a 2]．① 若a 2g (t )＝t ＋2t 在[1，a 2]上单调递减，所以当t ＝a 2即x ＝2时f (x )取最小值a 2＋2a 2，最小值与a 有关；…………………………… 11分② a 2g (t )＝t ＋2t 在[1，2]上单调递减，在[2，a 2]上单调递增，…………13分所以当t ＝2即x ＝log a 2时f (x )取最小值22，最小值与a 无关．……………… 15分综上所述，当a f (x )在(－∞，2]上的最小值与a 无关．……………………… 16分。

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷及答案解析(原始打印版)

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式:一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p :2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N(0，1)，若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．(Ⅰ)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明://PA BDE 平面； (Ⅱ)证明:AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBPE调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分(满分40分) 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1:几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． (1)求证:PM2=PA·PC ；(2)若⊙O 的半径为，，求MN 的长．OCM NA PB （第1题）考试证号———————————————————————B ．选修4－2:矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5:不等式选讲用数学归纳法证明不等式:211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．(1)求动点N 的轨迹C 方程；(2)由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证:AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解:(1)1cos 21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， (3分)则()f x 的最小值是－2，(4分)最小正周期是22T π==π；(6分)(2)()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， (8分)sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① (10分) 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． (14分) 16．证明:(1)连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 (2)∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由(1)得BD AC ⊥，又PDDB D =，故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解:(1)由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分(2)由(1)可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-(舍去)．…………… (6分) ②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-(舍去)．………………………8分 ③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分(3)∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解:(Ⅰ)由1122,a b a b ==得:a ba b ab=⎧⎨+=⎩，解得:0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即:123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得:2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得:()1a b b->；由2ab a b <+得:()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即:1b a >≥，从而得:12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即:()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．(1)证明:连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分(2)解:OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解:MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解:(1)圆O:cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆O 直角坐标方程为:22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为:1y x -=； --------------------------------------6分(2)由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明:(1)当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分(2)假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++，那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据(1)(2)可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解:(1)设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-，因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分(2)设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1，将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试—答案精品

南通市 2011 届高三第一次调研测试数学参考答案
A．必做题部分
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．{1} 8． 2．0.2 3． z 5 9．1 13． m ≥ 4．55 10． 2 2 5．690 6． 1 7．（2），（4）
5 2
11． C 1, 3
（2）由（1），可知 OD 6 ．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P 在弧 DE 上，故 OP 6 ．„„„„„8 分
π 设 POE ， 0 ≤ ，“矩形草坪”的面积为 4
S 6 sin

6 cos 6 sin 6 sin cos sin 2
t
设 P(0, y1 ), Q(0, y2 ) ，则 y1、 2
72 72 2 (t ） 32 t t ． 2
由线段 PQ 的中点坐标为（0，9），得 y1 y2 18 ， t
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72 18 ． t
此时所求圆的方程为 x2 y 2 2 x 18 y 8 0 ．„„„„„„„„„„„„„„„15 分（本题用韦达定理也可解）（2）（法二）由圆过点 A、F 得圆心横坐标为－1，由圆与 y 轴交点的纵坐标为（0，9），得圆心的纵坐标为 9，故圆心坐标为（－1，9）．„„„„„„„„„„„„„„ 11 分易求得圆的半径为 3 10 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13 分所以，所求圆的方程为（x 1)2 ( y 9)2 90 ．„„„„„„„„„„„„„„„ 15 分 19．（本题满分 16 分）解：（1） ∵ g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称， ∴ f ( x) 的图象上任意一点 P( x, y ) 关于 y 轴对称的对称点 Q( x, y) 在 g ( x) 的图象上．当 x [1, 0) 时， x (0,1] ，则 f ( x) g ( x) ln( x) ax2 ．„„„„„„„„„2 分 ∵ f ( x) 为 [1,1] 上的奇函数，则 f (0) 0 ．„„„„„„„„„„„„„„„„4 分当 x (0,1] 时， x [1,0) ， f ( x) f ( x) ln x ax2 ．„„„„„„„„„„6 分

苏北四市2011届高三年级第一次调研测试数学试题答案

1分 )
(10彡卜 )
CK面积的最小值为 225平方米。所以三角形姒 (2)由题意得只仍 320, )≥
凶 =1000(舍去 =⑽ 或 “ 当÷ (“ +塑毋一们 0)=320,解得 “ 由(D知 sJ≤ 幻
,
)。
(14彡卜 )
即 (⒛ -zJ)ε ≤ 们 ,解得的范围是 E5一溽所以莎
所以 BE・
B。
选修 4-2:矩阵与变换
:MN=[: 解 :][_∶ ∶ ]=[_∶
设 P(△
P′
(jε
(4分 )
;]・
′ ′
,丿
)是曲线 2J2— 2J丿 +1=0上任意一点 ,点
P在矩阵 MN对应的变换下变为点
∶
刂砰事贝〓∶
[;]〓 [∶ 2y′ ],
(10彡卜 )
4— (2分 ) =雨i× /J+2+1∷ ×√ェ J, 解;/3=+6+冫 14一宽 )2≤ (3+D(￡ +2十 u-σ )=sd; (8分 ) 由柯西不等式得 (溽 ×/J+2+1× /】 4— 歹
≤ 所以 /3ε +6+/14一 ε 8,当且仅当 J=10时取f≡ ∶ 故常数曰的取值范围是 (— ∞ ,8)。
解 :(1)设 (c″ )公比为 g,由题意得 g>0,∷
∶
且了骂 ∫:=觐缸土气
{:万 c4,即
{∶
∷
,Ⅱ
(2彡卜 )
苏北四市高三数学参考答案 :第 :1页 (共 3页 )
(4分 )
所以数列 (c″ )的通项公式为 c″ =3・ 3m-1=俨 ,″ ∈N` (2)由 (D可得 3″ =logsc″ =″ ,所以 c,3刀 =刀・ sm。所以 S″ =1・ 3+2・ 32+3・ S3+… +m・ 3m, 所以 3S刀 =1・ 32+2・ 33+3・箩+… +m・ Sm+1, 两式相减得

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答案

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答
案
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江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试(数学)

江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.复数z =(13i)i +(i 是虚数单位)，则z 的实部是 ▲ ． 2.已知集合{}{}12,1A x x B x x =-=<≤≤,则()A B R ð= ▲ ．3.在学生人数比例为2:3:5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n = ▲ ．4.已知直线1l ：210ax y a -++=和2l ：2(1)20x a y --+=()a ∈R ，则12l l ⊥的充要条件是a =▲ ．5.已知α为锐角，cos α=tan()4απ+=▲ ．6.设,,a b c 是单位向量，且=+a b c ，则向量a,b 的夹角等于 ▲ ．7.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是 ▲ ．8.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ▲ ．9.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin A C =，30B = ，2b =，则△ABC 的面积是 ▲ ．10.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是 ▲ ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均等于1，且1160A AB A AC ∠=∠=，则该三棱柱的体积是 ▲ ．12.已知函数32()f x mx nx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13.已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是 ▲ ． 14.已知函数()122011122011f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．（第7题）ACA 1B 1C 1（第11题）B A D CFE （第16题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++. （1）求()12f π的值；（2）求)(x f 的最大值及相应x 的值．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 为矩形，平面A B C D ⊥平面ABE ，90AEB ∠= ,BE BC =,F 为CE 的中点，求证：（1）AE ∥平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．17.（本小题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值．18.（本小题满分16分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,2P 12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程；（2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.（本小题满分16分）高已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S pa n =-，*n N ∈，其中常数2p >．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）若23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于（2）中数列{}n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*n N ∈），在k b 与1k b + 之间插入12k -（*k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m ,使得数列{}n c 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．．）．21.（本小题满分10分）已知动圆P 过点1(0,)4F 且与直线14y =-相切. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于,A B 两点，轨迹C 在,A B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN x ⊥轴.22. （本小题满分10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围.第22题参考答案与评分标准一填空题1.3-；2.{|12}x x ≤≤；3.30；4.13；5.3-；6.3π； 7.4； 8.0.3；10.(；12. [2,1]--； 13．[15]，； 14.6 。

2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科)数学试题

绝密★启用前试卷类型:A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) 2011.3本卷共6页，21小题，满分150分. 考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；若圆柱的底面积为S ，高为h ，则圆柱的体积为V=Sh ；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为1V =Sh 3. 一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知a ，b ∈R ，若a+bi=(1+i ) ·i 3 (i 为虚数单位)，则A.a=－1，b=1B.a=－1，b=－1C. a=1，b=－1D. a=1，b=1 2.已知p ：“a 2=”，q ：“直线x+y=0与圆x 2+(y －1)2=1相切”，则p 是q 的 A.充分非必要条件要 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1=1，42S 4S =，则64S S 的值为 A.94 B.32 C.54D. 4 4.如图，圆O ：x 2+y 2=2π内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围城的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O 内一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A.24π B.34π C.22π D.32π5.在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的，现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是A. 450元B. 500元C. 550元D. 600元 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2B. 1π Oxy-π一号五号三号二号四号1020 0 040 1侧(左)视图1正(主)视图11 1C.23 D.137.设平面区域D 是由双曲线22y x 14-=的两条渐近线和直线6x －y －8=0所围成三角形的边界及内部，当(x ，y)∈D 时，x 2+y 2+2x 的最大值为A.24B.25C.4D.78.已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y =f′(x)的图像如图所示.x －1 0 4 5 f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：①函数y =f (x)是周期函数； ②函数y =f (x)在[0，2]是减函数； ③如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值是4； ④当1<a<2]时，函数y =f (x)－a 有4个零点. 其中真命题的个数有 A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个二、填空题: 本大题共7个小题，每小题5分，满分30分，本大题分必做题和选做题两部分. (一) 必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道题考生都必作答. 9.已知全集U=R ，集合A 为函数f(x)=ln(x －1) 的定义域，则∁U A=_______. 10.设随机变量X ～N(1，32)，且P(X ≤0)= P(X>a －6)，则实数a 的值为 ___________.11.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量222p (4a b c )=+-，，q (1S)=，，满足p //q ，则∠C=______ .12.已知命题“∃x ∈R ，|x －a|+|x+1|≤2”是假命题，则实数a 的取值范围是_________. 13.已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式61(a x )x-的展开式中含x 2项的系数是__________.(二) 选做题: (第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中，设P 是直线l :ρ(cos θ+sin θ)=4上任一点，Q 是圆C:ρ2=4ρcos θ－3 上任一点，则|PQ|的最小值是___________.15.(几何证明选讲) 如图，割线PBC 经过圆心O ， OB=PB=1，OB 绕点O 逆时针旋转1200到OD ，连PD 交圆与点E ，则PE=_________.O24 5 xy-1 开始结束输出aa=2，i=1i<2011i=i+1是否1a 1a=-OBCPED二、解答题: 本大题共6个小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数x x f(x)23sin()cos()sin(x )2424ππ=++-+π. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图象向右平移6π个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.17.(本小题满分12分)第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：(单位：cm) 男女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18.(本小题满分14分)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC=300，BM ⊥AC 交AC 于点 M ，EA ⊥平面ABC ，FA ∥EA ，AC=4，EA=3，FC=1. (1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.ABCEF M O19.(本小题满分14分)已知点F 是椭圆222x y 11a+=+ (a>0)的右焦点，点M(m ，0)、N(0，n)分别是x=轴、y 轴上的动点，且满足MN NF 0⋅=.若点P 满足OM 2ON PO =+.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=－a 分别交于点S 、T(0为坐标原点)，试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a n 2=S 2n －1，n ∈N*. 数列{b n }满足n n n+11b a a =⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a 1、d 和T n ；(2)若对任意的n ∈N*，不等式λT n <n+8(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分14分) 已知函数af(x)=lnx +x +1(a ∈R). (1)当a=4.5时，如果函数g(x)=f(x)－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； (2)当a=2时，试比较f(x)与1的大小； (3)求证：1111ln(n +1)>...3572n 1+++++ (n ∈N*).2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAABBCAD二、填空题：本大题每小题5分，满分30分. 9.(－∞，1]； 10.8； 11.4π； 12.(－∞，－3)∪(1，+∞)； 13.－192； 14.21-； 15. 773．三、解答题： 16.解：(1) f(x)3sin(x )sin x 2π=++3cos x sin x =+， ……2分132(sin x +cos x)22=2sin(x +)3π=. ……4分所以f(x)的最小正周期为2π. ……6分(2) 将f(x)的图象向右平移6π个单位，得到函数g(x)的图象， ∴g(x)=f(x )2sin[(x )]663πππ-=-+2sin(x +)6π=， ……8分∵x ∈[0，π] 时，x +[]666ππ7π∈，， ……9分 ∴x +62ππ=，即 x 3π=时，sin(x +)16π=，g(x)取得最大值2.……10分当7x +66ππ=，即x=π时，1sin(x +)62π=-， g(x)取得最小值－1. ……12分【说明】本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力. 17.解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， ……1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306=， ……2分所以选中的“高个子”有11226⨯=人，“非高个子”有11836⨯=人. ……3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则2325C 7P A)1C 10=-=(. ……5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是11226⨯=. ……6分(2)依题意，ξ的取值为0，1，2，3. ……7分38312C 14P(=0)==C 55ξ，1248312C C 28P(=1)==C 55ξ，2148312C C 12P(=2)==C 55ξ， 34312C 1P(=3)==C 55ξ. ……9分因此，ξ的分布列如下：ξ 0123P1455 2855 1255 155……10分∴1428121E =0123155555555ξ⨯+⨯+⨯+⨯=. ……12分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18.解：(法一)(1)∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴EA ⊥BM.……1分又∵BM ⊥AC ，EA∩AC =A ，∴BM ⊥平面ACFE ，而EM ⊂平面ACFE ，∴BM ⊥EM. ……3分 ∵AC 是圆O 的直径，∴∠ABC=900. 又∵∠BAC=300，AC=4， ∴AB=23，BC=2，AM=3，CM=1.∵EA ⊥平面ABC ，FA ∥EA ，FC=1，∴FC ⊥平面ABCD. ∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC =400. ∴∠EMF=900，即EM ⊥MF(也可由勾股定理证得). ……5分∵MF∩BM=M ，∴EM ⊥平面MBF. 而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF.……6分AB CE F M O（2）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH ⊥BG ，连结FH. 由（1）知DC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， ∴FC ⊥BG . 而FC ∩CH=C ，∴ BG ⊥平面FCH. ∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角. ……8分在Rt △ABC 中，∵∠BAC=300，AC=4， ∴BM=ABsin300=3．由FC:EA=GC:GA=1:3，得GC=2．∵22BG=BM +MG 23=. 又∵△GCH ∽△GBM ，∴GC:BG=CH:BM ，则GC BM 23CH=1BG 23⋅⨯==. ……11分∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FCH=450.∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. ……12分 (法二)(1)同法一，得AM=3，BM 3=． ……3分如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A(0，0，0)，M(0，3，0)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，F(0，4，1)， ∴ME =(033)-，，，BF =(311)-，，. ……4分由ME BF =(033)(311)=0⋅--，，，，，得ME BF ⊥，∴EM ⊥BF. ……6分 (2)由(1)知BE =(333)--，，，BF =(311)-，，.设平面BEF 的法向量为n =(x y z)，，，由n BE 0n BF 0⋅=⋅=，，得333z=03z=0⎧--⎪⎨-+⎪⎩x y+x y+，令x 3=得y=1，z=2，∴n =(312)，，， ……9分HGABC E F M O ABC EFMO x y zABC EFMO xy z由已知EA ⊥平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为AE =(003)，，，设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则3010232cos |cos n AE |=2322⨯+⨯⨯θ=<>=⨯+，， ……11分 ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. ……12分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.19.解：(1)∵椭圆222x y 11a+=+ (a>0)右焦点F 的坐标为(a ，0)，……1分 ∴NF =(a n)-，，∵MN =(m n)-，，∴由MN NF 0⋅=，得n 2+am=0. ……3分设点P 的坐标为(x ，y)，由OM 2ON PO =+，有(m ，0)=2(0，n)+(－x ，－y)，m =xy n =2-⎧⎪⎨⎪⎩代入n 2+am=0，得y 2=4ax.……5分(2)(法一)设直线AB 的方程为x=ty+a ，211y A(y )4a ，、222y B(y )4a，，则l OA : 14a y x y =，l OB : 24ay x y =. ……6分由14a y x y x a⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得214a S(a )y --，，同理得224a T(a )y --，. ……8分∴214a FS=(2a )y --，，224a FT=(2a )y --，，则224212124a 4a 16a FS FT=(2a )(2a )4a y y y y ⋅----=+，，. ……9分由2x =ty a y =4ax+⎧⎨⎩，得y 2－4aty －4a 2=0，∴y 1y 2=－4a 2. ……11分则4222216a FS FT=4a 4a 4a 04a⋅+=-=-. ……13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． ……14分 (法二)①当AB ⊥x 时，A(a ，2a)，B(a ，－2a)，则l OA : y=2x ， l OB : y=－2x. 由y =2xx =a⎧⎨-⎩得点S 的坐标为S(－a ，－2a)，则FS=(2a 2a)--，.由y =2x x =a -⎧⎨-⎩得点T 的坐标为T(－a ，2a)，则FT=(2a 2a)-，.∴22FS FT=(2a 2a)(2a 2a)4a 4a 0⋅---=-=，，． ……7分 ②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y=k(x －a)(k≠0)，211y A(y )4a ，、222y B(y )4a ，，同解法一，得421216a FS FT=4a y y ⋅+. ……10分由2y =k(x a)y =4ax-⎧⎨⎩，得ky 2－4ay －4ka 2=0，∴y 1y 2=－4a 2. ……11分则4222216a FS FT=4a 4a 4a 04a⋅+=-=-. ……13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． ……14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想. 20.解：(1)(法一)在a n 2=S 2n －1，中，令n=1，n=2，得211223a =S a =S ⎧⎪⎨⎪⎩，即211211a =a (a +d)=3a +3d ⎧⎪⎨⎪⎩， ……2分解得a 1=1，d=2， ∴a n =2n －1. ……3分 ∵n n n+111111b ()a a (2n 1)(2n 1)22n 12n 1===-⋅-+-+，∴n 11111111n T [(1)()()...()]2335572n 12n 12n 1=-+-+-++-=-++.……5分(法二)∵{a n }是等差数列，∴n 2n 1n a a a 2-+=， ∴n 2n 12n 1n a a S (2n 1)(2n 1)a 2--+=-=-. ……2分由a n 2=S 2n －1，得a n 2=(2n －1) a n ，又∵a n ≠0，∴a n =2n －1，则a 1=1，d=2. ……3分 (T n 求法同法一)(2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n+8(－1)n 恒成立，即需不等式(n +8)(2n +1)8λ<=2n +17n n +恒成立. ……6分∵82n +8n ≥，等号在n=2时取得．∴此时λ 需满足λ<25. ……7分 ②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n+8(－1)n 恒成立，即需不等式(n 8)(2n +1)8λ<=2n 15n n ---恒成立. ……8分∵82n n -是随n 的增大而增大， ∴n=1时82n n -取得最小值－6.∵此时λ 需满足λ<－21. ……9分综合①、②可得λ的取值范围是λ<－21. ……10分(3) 11T 3=，m m T 2m +1=，n n T 2n +1=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则2m 1n()()2m +132n +1=，即22m n4m +4m +16n +3=. ……11分 (法一)由22m n 4m +4m +16n +3=，可得2232m +4m +10n m -=>，即－2m 2+4m+1>0， ……12分 ∴661m 122-<<+. ……13分又m ∈N ，且m>1，所以m=2，此时n=12.因此，当且仅当m=2， n=12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列. ……14分（法二）因为n 1136n +366n=<+，故22m 14m +4m +16<，即2m 2－4m －1<0， ∴661m 122-<<+.(以下同上). ……13分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力.21.解：（1）当a=4.5时，9f(x)=lnx +2(x +1)，定义域是(0，+∞)， 2219(2x 1)(x 2)f (x)=x 2(x +1)2x(x +1)--'-=，令f′(x)=0，得x=0.5或x=2. ……2分∵当0<x<0.5或x>2时，f′(x)>0，当0.5<x<2时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，0.5)、（2，+∞）上单调递增，在（0.5，2）上单调递减.……4分∴函数f(x)的极大值是f(0.5)=3－ln2，极小值是f(2)=1.5+ln2.∵当x→+0时，f(x)→－∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，∴当g(x)仅有一个零点时，k 的取值范围是k>3－ln2或k<1.5+ln2.……5分(2)当a=2时，2f(x)=lnx +x +1，定义域为(0，+∞)，令2h(x)=f(x)1=lnx +1x +1--， ∵22212x 1h (x)=0x (x +1)x(x +1)+'-=>， ∴h(x)在(0，+∞)上是增函数. ……7分①当x>1时，h(x)>h(1)=0，即f(x)>1；②当0<x<1时，h(x)<h(1)=0，即f(x)<1；③当x=1时，h(x)=h(1)=0，即f(x)=1． ……9分(3)（法一）根据(2)的结论，当x>1时，2lnx +1x +1>，即x 1lnx >x +1-. 令k +1x =k ，则有k +11ln k 2k +1>， ∴n n k=1k=1k +11ln ln k 2k +1>∑∑. ……12分 ∵n k=1k +1ln(n 1)lnk+=∑，∴1111ln(n 1)...3572n 1+>+++++. ……14分(法二)当n=1时，ln(n+1)=ln2.∵3ln2=ln8>1，∴2lnx +1x +1>，∴1lnx23>，即n=1时命题成立． ……10分设当n=k 时，命题成立，即1111ln(k 1)...3572n 1+>+++++. ∴n=k+1时， k +21111k +2ln(n 1)ln(k 2)ln(k 1)ln...ln k +13572n 1k +1+=+=++>++++++. 根据(2)的结论，当x>1时，2lnx +1x +1>，即x 1lnx >x +1-. 令k +2x =k +1，则有k +21ln k +12k +3>，则有11111ln(k 2)...3572n 12n 3+>+++++++，即n=k+1时命题也成立． ……13分因此，由数学归纳法可知不等式成立． ……14分(法三)如图，根据定积分的定义，得n 1111111...1dx 572n 12x 1⨯+⨯++⨯<++⎰. ……11分∵nn 11111dx d(2x 1)2x 122x 1=+++⎰⎰ n 111[ln(2x 1)|[ln(2n 1)ln 3]22=+=+-， ∴11111111...(...)3572n 13572n 1++++=++++++n 11111dx [ln(2n 1)ln 3]32x 132<+=++-+⎰. ……12分 ∵11[ln(2n 1)ln 3]ln(n 1)32++--+ 223ln 31[ln(2n 1)ln(n 2n 1]62-=++-++，又∵2<3<3ln3，ln(2n+1)<ln(n 2+2n+1)，∴11[ln(2n 1)ln 3]ln(n 1)32++-<+. ∴1111...ln(n 1)3572n 1++++<++. ……14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

江苏省宿迁市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）

江苏省宿迁市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 ▲ . 2.已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是 ▲ . 3.若函数2()21x f x m =++为奇函数，则实数m = ▲ . 4.若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是 ▲ ．5.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ▲ .7.已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ．8.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .9.已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ= ▲ ．10.已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ． 11.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0，若 AB AC mAM ++=0，则实数m 的值为 ▲ ．12.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥；④若m αγ= ，n βγ= ，m//n ，则//αβ．上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．.w.w.k.s 13.若关于x 的不等式22(21)x ax -≤的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则201011()2010i i i a b =+∑的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定位置．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =；（2）求AB DC ⋅的值.16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PB PD =，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点. 求证：（1）EF ∥平面PBD ；B A CD（第15题图）P（2）平面PEF ⊥平面PAC .17.（本小题满分14分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2123a a =+，且23a ，4a ，35a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .18.（本小题满分16分）已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．D20.（本小题满分16分）已知函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，且a 为常数)．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值；（3）若对所有0x ≥都有()()f x f x -≥，求a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（1）AED AFD ∠=∠；（2）2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）EFDABCO· （第21—A 题图）求曲线22210x xy -+=在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，1011⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l 的极坐标方程为0sin 2cos =+θρθρ，曲线C 的参数方程为4cos ,()2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数，又直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）若存在实数xa 成立，求常数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．ADEC BD 1C 1B 1A 1F G（第22题图）23.（本小题满分10分）设二项展开式21*1)()n n C n -=∈N 的整数部分为n A ，小数部分为n B . （1）计算2211,B C B C 的值；（2）求n n B C .参考答案数学1答案一填空题：1. 2，2.0a ≤,3.1-,4. 28y x =,5. 125, 6. 36, 7. 3-, 8.34, 9.,10. 20x y --=, 11. 3-, 12. ②, 13.925[,)49, 14. 2012.二、解答题15.（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①，在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠②， ………………………2分又AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =.………………………………………………6分（2）因为2DC BD =，所以BC DC 32=. 在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， …………10分所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅-2112237()3213=⨯⨯⨯-=-.………………………………………………………14分 16．（1）因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF ∥BD ，……………………………2分因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以EF ∥平面PBD .………………………6分D（第16题图）P A BCE FO（2）设BD 交AC 于点O ，连结PO ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，O 是BD 中点，又PB PD =，所以BD ⊥PO ，又EF ∥BD ，所以EF ⊥AC ，EF ⊥PO . ………………………10分又AC PO O = ，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .……………………………………………………………………12分因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .………………………………………14分 17．（1）设{}n a 公比为q ，由题意得0q >，且2123423,352,a a a a a =+⎧⎨+=⎩即12(2)3,2530,a q q q -=⎧⎨--=⎩ ……………………………………………2分解之得13,3,a q =⎧⎨=⎩或16,512a q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），…………………………………………………4分所以数列{}n a 的通项公式为1333n n n a -=⋅=，n *∈N .…………………………………6分（2）由（1）可得3log n n b a n ==，所以3n n n a b n =⋅.…………………………………8分所以231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得，23123(333)3n n n S n +=--++++⋅ …………………………………10分231(3333)3n n n +=-+++++⋅113(13)3(21)33132n n n n n ++-+-⋅=-+⋅=-，所以数列{}n n a b 的前n 项和为13(21)34n n n S ++-⋅=. ………………………………14分18．（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -，又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．………………………………4分（2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得G y =所以FG的斜率为k =FG的方程为2)y x =+， …………………8分（注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分）所以(4,0)C -到FG的距离为d =FG 被圆C截得弦长为7=．故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =12=，整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②，②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==．所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)． …………………………16分 19．（1）由题意，得100(,)G t t ，100(,)K s s(0,0)s t >>，又因为(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，所以220(020)s t s +=<<，11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+-……………4分由202s t =+≥=050st <≤，当且仅当10s =，5t =时等号成立. ……………………………………6分令st u =，则140000()(400)2MGK f u S u u∆==+-，(0,50]u ∈. 又2110000()(1)02f u u'=-<，故()f u 在(0,50]上单调递减，（注意：若()f u 在(0,50]上单调递减未证明扣1分）所以min ()(50)225f u f ==，此时10s =，5t =.所以三角形MGK 面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分（2）由题意得()320f u ≥，当140000(400)3202u u+-=，解得40u =或1000u =（舍去），由（1）知40st ≤， ……………………………………14分即(202)40t t -≤，解之得55t ≤所以t 的范围是[5．………………………………………………………16分 20．（1）()x f x e a '=+，………………………………………………………………1分当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数．…………………3分当0a <时，由()0f x '>，得ln()x a >-，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调增函数；由()0f x '<，得ln()x a <-，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调减函数．综上，0a ≥时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞．0a <时，()f x 的单调增区间是(ln(),)a -+∞，单调减区间是(,ln())a -∞-．…6分（2）由（1）知，当0a <，ln()x a =-时，()f x 最小，即min ()(ln())f x f a =-，由方程()0f x =只有一解，得(ln())0f a -=，又考虑到(0)0f =，所以ln()0a -=，解得1a =-．…………………………………………………10分（3）当0x ≥时，()()f x f x -≥恒成立，即得xxe ax eax -+-≥恒成立，即得20x x e e ax --+≥恒成立，令()2x x h x e e ax -=-+（0x ≥），即当0x ≥时，()0h x ≥恒成立．又()2x x h x e e a -'=++，且()222h x a a '=+≥，当0x =时等号成立． ………………………………………………………………………………………12分 ①当1a >-时，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立． ②当1a =-时，若0x =，()0h x '=，若0x >，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立．…………………14分③当1a <-时，方程()0h x '=的正根为1ln(x a =-，此时，若1(0)x x ∈，，则()0h x '<，故()h x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0h x h <=，与0x ≥时，()0h x ≥恒成立矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是[1,)-+∞．……………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．选修4-1：几何证明选讲证明：(1)连结AD ．因为AB 为圆的直径，所以90ADB ∠=︒．又EF ⊥AB ，90EFA ∠=︒，则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴DEA DFA ∠=∠．……………………………5分 (2)由(1)知，BD BE BA BF ⋅=⋅．连结BC ，显然ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=-=． ……10分 B ．选修4-2：矩阵与变换解：MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡20011011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=1022⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， ………4分设,P x y ''（）是曲线22210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '（），则有10'22'22x x x y y x y '⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎤==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎥''--+⎦⎣⎦⎦⎦⎣⎣⎣ 于是x x '=，2yy x '=+. ………………8分代入22210x x y '''-+=得1xy =，所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为1xy =． 10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为02=+y x ，曲线C 的普通方程为221164x y +=， ……6分 EF DABCO·（第21—A 题图）两者联立解得A 和B 的坐标为)2,22(-和)2,22(-， ………8分 ∴.102)22()24(22=+=AB …………10分D ．选修4-5：不等式选讲1= ……2分由柯西不等式得21(31)(214)64x x +++-=≤， 8分8，当且仅当10x =时取“=”，于是，常数a 的取值范围是(,8).-∞ …………………10分【必做题】22．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D ，1(0,0,2)D ，1(0,4,2)C ，(3,3,0)E ，(2,4,0)F ，于是1(3,1,2)EC =-，1(2,4,2)FD =-- ． …………………3分设1EC 与1FD 所成角为α，则1111cos ||||EC FD EC FD α⋅===∴异面直线1EC 与1FD所成角的余弦值为14． ……………5分（2）因点G 在平面1111D C B A 上，故可设)2,,(y x G ．)2,,(y x DG =，1(2,4,2)FD =-- ，(1,1,0)EF =-．………………………7分由10,0DG FD DG EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎨⎧=+-=+--,0,0442y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32,32y x 故当点G 在面1111D C B A 上，且到11D A ，11D C 距离均为32时，DG ⊥平面EF D 1． ……10分23．解：（1）因为12)13(-+=n n C ，所以11C ， 12A =， 11B ，所以211=B C ； 2分又321)10C ==+220A =，小数部分210B =，所以822=B C . ……………4分（2）因为,3)3()3()13(12122212221121201212---------++++=+=n n n n n n n n n n C C C C C ①而121222122211212012123)3()3()13(----------++-=-n n n n n n n n n C C C C ②①—②得：12)13(-+n —（12)13--n =2（22112)3(--n n C ))3(121242312----+++n n n n C C *N ∈……8分而<012)13(--n 1<，所以=n A 12)13(-+n —（12)13--n ，12)13(--=n n B所以1212122)13()13(---=-+=n n n n n B C ．……10分（注：若猜想出212n n n C B -=而未给出证明只给2分）。

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≠2010—2011学年度高中毕业班第一次调研考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在答题卡相应位置，座位号同时填涂在答题卡背面左上角，将条形码粘贴在答题卡指定的位置，并将试题卷装订线内项目填写清楚。

2．选择题答案必须使用2B 铅笔规范填涂。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．非选择题答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写。

4．严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷选择题本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题1．已知集合2{|1},{|1},M x x N x ax N M ====⊂集合若，那么a 的值是（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0，1或-1 2．已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为（）A ．12-B．C ．12 D3．命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（）A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在32,10x R x x ∈-+≤C ．存在32,10x R x x ∈-+>D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>4．函数()sin()4f x x π=-的一个单调增区间为（）A ．37,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 5．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）A ．()I C AB I ⋃= B ．()()I IC A C B I ⋃=C ．()I A C B φ⋂=D ．()()I I I C A C B C B ⋂=6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,60,1,a b c A a b c =︒==则等于（）A ．1B ．2C 1-D 7．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（）A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1aa +->8．已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是（）9．设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若23(2)1,(3)3a a f f a ++>=-，则a的取值范围是（）A ．(,2)(0,3)-∞-⋃B ．(2,0)(3,)-⋃+∞C ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞10．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A ．3π B ．2π C D ．211．已知函数①23()5f x x-=②cos ()5x f x e =；③()5x f x e =；④()5ln f x x =。

其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一的自变量2x 5=成立的函数为（）A ．①③④B ．②④C ．①③D ．③12．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．化简11()(1cos )sin tan ααα+-的结果是。

14．一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，则此汽车在这1min 内所驶的路程为。

15．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()(0,0)6I A t A πωω=+>≠的图象如图所示，则当150t =时，电流强度是。

16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2]2,[]3,[2π===-，定义函数()[]f x x x =-，设函数(),()3g x f x π=-若在区间(0,2)x ∈上零点的个数记为,()()a f x g x 与图象交点的个数记为b ，则()b ag x dx⎰的值是。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数22()2sin ()4f x x x π=--+（I ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若()2[0,]6f x m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知函数32()3.f x x ax x =--（Ⅰ）若()(1,)f x +∞在上是增函数，求实数a 的取值范围。

（Ⅱ）若1()3x f x =-是的一个极值点，求()[1,]f x a 在上的最大值。

19．（本小题满分12分）设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域为R 上的奇函数；（Ⅰ）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集；（Ⅱ）若223(1),()4(),()[1,)2x x f g x a a f x g x -==+-+∞且求在上的最小值。

20．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9m 、3m ，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9，线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m（I ）求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域；（II ）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？21．（本小题满分12分）设M 是由满足下列条件的函数()f x 构成的集合：“①方程()0f x x -=有实数根；②函数()()0() 1.f x f x f x ''<<的导数满足” （I ）判断函数sin ()24x xf x =+是否是集合M 中的元素，并说明理由；（II ）集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：若()f x 的定义域为D ，则对于任意00[,],[,],()()()()m n D x m n f n f m n m f x '⊆∈-=-都存在使得等式成立。

试用这一性质证明：方程()0f x x -=只有一个实数根；（III ）对于M 中的函数1(),()0f x x f x x -=设是方程的实数根，求证：对于()f x 定义域中任意的23,,x x 当21||1,x x -<且3132||1,|()()| 2.x x f x f x -<-<时22．（本小题满分10分）选做题：任选一道，两题均做只以（I ）的解答计分。

（I ）已知,,x y z 均为正数，求证：111.x y z yz zx xy x y z++≥++（II ）已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：c a c <<+参考答案一、选择题DCCAB BABAC DA 二、填空题13．sin α 14．1350m 15．5 16．52- 三、解答题17．解：（I）2()1cos(2)1)1(sin 22)2f x x x x x π=----=-+2sin(2)13x π=-++ ………………2分T π∴=最小正周期 ………………3分222()2325().1212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤+≤+∈⇒-≤≤+∈()f x ∴的单调递减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ ………………6分（II ）2[0,],2[,]6333x x ππππ∈∴+∈2sin(2)[2,3x π∴-+∈-即有2sin(2)1[1,13x π-++∈-- ………………10分()[1,1()2,211f x f x m m m ∴∈--<+∴+>-∴>-- 恒成立(1)m ∴-+∞的取值范围是 ………………12分18．（I ）2()323f x x ax '=--()[1,)f x +∞ 在上是增函数()[1,)()0f x f x ''∴+∞≥在上恒有 ………………3分即23230[1,)x ax --≥+∞在上恒成立则必有1(1)20,0.3af a a '≤=-≥∴≤且 ………………6分（II ）依题意，1()0,3f '-=即123033a +-= 324,()43a f x x x x ∴=∴=-- ………………8分令2()3830,f x x x '=--= 得121,3,3x x =-=则当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：()f x ∴在[1，4]上的最大值是(1) 6.f =- ………………12分19．解：()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴= ………………1分（I ）1(1)0,0,01f a a a a>∴->>≠ 又且， 1,()x x a f x a a -∴>=- ………………2分 ()ln ln ()ln 0x x x x f x a a a a a a a --'=+=+>()f x ∴在R 上为增函数 ………………3分原不等式分为：2(2)(4)f x x f x +>-2224,340x x x x x ∴+>-+->即14,{|14}x x x x x ∴><-∴><-或不等式的解集为或 …………6分（II ）313(1),22f a a =∴-= 即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()224(22)(22)4(22)2x x x x x x x tx g x ---∴=+--=---+ …………8分令22(1)x x t x -=-≥则()(1,)t h x =+∞在为增函数（由（I ）可知），即3()(1)2h x h ≥=…………10分 22()42(2)2f x t t t ∴=-+=--min 222,log (12x ∴=-=+-当x=2时,g(x)此时当x=log 时g(x)有最小值…………12分20．解：（I ）如图，建立直角坐标系，设(0,),M t由已知有(9,3),(,0)P N x3033,999t xt x x --∴=∴=-- 又MN 过点D 时，x 最小值为10，3(1030)9xAM x x ∴=≤≤- …………2分2222229(9)9:16:9,16x MN AN AM x x MN NE NE MN∴=+=+-=∴=2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x ∴===+-…………5分定义域为[10，30]…………6分（II ）22343918(9)9(218)9[(9)81]'[2]16(9)8(9)x x x x x x S x x x -----=+=⨯--…………7分令'0,S =得x=0(舍去当109,'0,x S S ≤≤+<关于x 为减函数；当930x +<≤时，'0,S S >关于x 为增函数…………11分9x ∴=+当S 取得最小值…………11分答：当AN长为9+m ）时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小…………12分21．（1）因为11'()cos ,24f x x =+ 所以13'()[,]0'() 1.44f x f x ∈<<满足条件又因为当0,(0)0x f ==时，所以方程()0f x x -=有实数根0，所以函数sin ()24x x f x =+是集合M 中的元素。