算法设计与分析-多段图最短路径问题
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例最短路径问题的算法分析及建模案例一.摘要 (3)二.网络最短路径问题的基础知识 (5)2.1有向图 (7)2.2连通性................... 错误！未定义书签。
2.3割集....................... 错误！未定义书签。
2.4最短路问题 (8)三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。
3.1最短路问题的提出 (9)3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。
3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。
3.5实例....................... 错误！未定义书签。
3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9)3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9)3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9)3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10)3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别错误！未定义书签。
Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。
...................... 错误！未定义书签。
2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制.................. 错误！未定义书签。
3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。
摘要近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。
而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现图论是研究图结构及其特性的数学分支。
在图论中，最短路径问题是其中一个经典的研究课题。
这个问题的核心是在一个有向或无向的图中，找到两个顶点之间的最短路径，即路径上各边的权重之和最小。
本文将介绍最短路径问题的基本概念，并详细探讨两个常用算法实现：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
一、最短路径问题概述最短路径问题是图论中的一类重要问题，它的解决方法被广泛应用于交通路线规划、通信网络等领域。
在求解最短路径问题时，一般需要考虑以下几个要素：1. 图的构建：首先需要构建一张合适的图，图可以是有向图或无向图。
顶点表示图中的节点，边表示节点之间的连接关系或路径，边上可能带有权重信息。
2. 起点和终点：指定需要寻找最短路径的起点和终点。
根据具体情况，起点和终点可以是图中的任意两个顶点。
3. 路径长度度量：在不同应用场景中，路径长度的度量方式可能不同。
在某些情况下，路径长度可以简单表示为路径上各边权重之和；而在另一些情况下，路径长度可能还需要考虑其他因素，如路径中经过的顶点数目。
二、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种常用的解决最短路径问题的贪婪算法。
该算法基于图的深度优先搜索思想，通过不断更新顶点的最短距离，逐步确定起点到每个顶点的最短路径。
其基本思路如下：1. 初始化：设定起点为源点，将源点的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2. 迭代更新：从源点开始，依次选择距离最小的顶点，并更新与其相邻顶点的距离。
具体操作是，对于当前选中的顶点，计算其相邻顶点经过该顶点到达源点的距离，如果该距离小于相邻顶点的当前距离，则更新相邻顶点的距离值。
3. 结束条件：当所有顶点都被标记为已访问或者没有可达的顶点时，算法结束。
三、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的常用算法，它可以处理一些特殊情况下的图，如存在负权边的图。
最短路径问题的计算机智能算法设计优化
最短路径问题的计算机智能算法设计优化在计算机科学中，最短路径问题是一个经典的计算问题，涉及到在图或网络中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
这个问题在很多领域都有广泛的应用，比如交通网络规划、物流运输和通信网络等。
为了解决这个问题，计算机科学家们设计了多种计算机智能算法，并不断进行优化。
本文将介绍最短路径问题的计算机智能算法设计与优化。
一、最短路径问题简介最短路径问题是在图中寻找从一个起点到一个目标点所经过的边的权值之和最小的路径。
在有向图和无向图中，最短路径可以使用广度优先搜索算法（BFS）、Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法等来解决。
1. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法是一种基本的图搜索算法，它从起点开始逐层扩展，直到找到目标点或遍历完所有节点。
在最短路径问题中，广度优先搜索算法可以找到不考虑权值的最短路径。
2. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决最短路径问题。
它通过计算从起点到每个节点的最短距离，并逐步扩展搜索范围，直到找到目标点。
Dijkstra算法可以处理带有非负权值的有向图或无向图。
3. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决最短路径问题。
它通过对每个节点进行松弛操作，不断更新最短路径估计值。
Bellman-Ford算法可以处理带有负权值的有向图或无向图。
4. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决最短路径问题。
它通过使用一个二维数组来存储任意两点之间的最短路径长度，然后逐步更新数组中的值。
Floyd-Warshall算法可以处理带有负权值的有向图或无向图。
二、计算机智能算法设计与优化为了提高最短路径问题的计算效率和准确性，计算机科学家们设计了多种计算机智能算法，并进行了不断的优化。
1. 启发式搜索算法启发式搜索算法是一种基于问题特征的搜索方法，通过预先定义一个启发函数来引导搜索方向。
最短路径问题的优化算法
最短路径问题的优化算法最短路径问题是图论中的经典问题之一，涉及在给定图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有广泛的应用，如导航系统中的路线规划、网络通信中数据包的传输等。
为了提高计算效率，许多优化算法被提出和应用于解决最短路径问题。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个固定的起始节点到其他所有节点的最短路径问题。
经典的解决方法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪婪算法，通过确定与起始节点距离最短的节点来逐步扩展最短路径树。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 选择当前距离最短的节点，并标记为已访问。
3) 更新与该节点相邻节点的距离，若经过当前节点到相邻节点的距离更短，则更新距离数组。
4) 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
最后，距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，通过不断地松弛边来逐步得到最短路径。
具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。
2) 依次对所有边进行松弛操作，即更新边的端点节点的距离。
3) 重复步骤2，直到所有边都被松弛完毕。
4) 判断是否存在负环路，若存在则说明无最短路径；若不存在，则距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。
2. 全局最短路径问题全局最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个节点之间的最短路径问题。
弗洛伊德算法是一种经典的解决方法，通过动态规划的思想逐步求解。
弗洛伊德算法的具体步骤如下：1) 初始化距离矩阵，将所有节点之间的距离设为无穷大。
2) 根据已知的边信息更新距离矩阵，即将已知路径的距离设为对应的实际距离。
3) 对于每一对节点，考虑经过中转节点的路径是否更短，若更短则更新距离矩阵。
4) 重复步骤3，直到距离矩阵不再变化。
最后，距离矩阵中记录的即为任意两个节点之间的最短路径。
最短路径问题算法
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
最短路径问题(经典)精编版
最短路径问题(经典)精编版
最短路径问题是图论研究中的经典算法问题之一，其目的是在图中寻找两个节点之间的最短路径。
该问题可以分为以下几种情况：已知起始节点，求最短路径；已知终止节点，求最短路径；已知起始和终止节点，求两个节点之间的最短路径；求图中所有节点之间的最短路径。
这些问题的原型包括将军饮马、造桥选址和费马点。
解决最短路径问题需要涉及到许多数学知识，包括线段最短距离、垂线段最短距离、三角形三边关系、轴对称和平移等。
这些知识可以在角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴和抛物线等几何形状中得到应用。
解决最短路径问题的思路是找到对称点，实现折转直的过程。
近年来，出现了一些变式问题，例如三折线转直等，需要考生掌握解决方法。
最短路径问题有许多基本问题，其中包括确定起始节点和终止节点的最短路径问题，求图中所有节点之间的最短路径问
题等等。
在解决这些问题时，需要运用前述的数学知识和解决思路。
如果你对最短路径问题感兴趣，可以加入全国初中数学资料群，群号为xxxxxxxx0.。
图的最短路径——dijkstra算法和Floyd算法
图的最短路径——dijkstra算法和Floyd算法dijkstra算法 求某⼀顶点到其它各个顶点的最短路径；已知某⼀顶点v0，求它顶点到其它顶点的最短路径，该算法按照最短路径递增的顺序产⽣⼀点到其余各顶点的所有最短路径。
对于图G={V,{E}};将图中的顶点分为两组: 第⼀组S：求出已知顶点的最短路径的集合 第⼆组V-S：尚未求出最短路径的顶点集合（开始为V-{v0}的全部顶点）该算法将最短路径以递增顺序逐个将第⼆组顶点加⼊到第⼀组顶点中，直到所有的顶点都被加⼊到第⼀组顶点集S为⽌。
dijkstra算法和最⼩⽣树中的prim算法类似，都是把顶点看做集合，向所求集合中加点#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;const int INF=0x3f3f;class Graph{private:int num;int e;vector<vector<int> > arr;//存储图的邻接矩阵vector<bool> visit;//标记该结点是否⽤过vector<int> path;//从v0到其他结点的最短路径public:Graph();void dijkstra(const int &i);};Graph::Graph(){cout<<" num"<<endl;cin>>num;cout<<" e"<<endl;cin>>e;visit.resize(num,false);path.resize(num);arr.resize(num);for(int i=0;i<num;++i)arr.at(i).resize(num,INF);cout<<" 边的起始点和终点&&权值"<<endl;pair<int,int> p;for(int i=0;i<e;++i){cin>>p.first>>p.second;cin>>arr.at(p.first-1).at(p.second-1);}}void Graph::dijkstra(const int &index){//⾸先存储的是index结点到其他节点的最短路径的值for(int i=0;i<num;++i)path.at(i)=arr.at(index-1).at(i);//初始化visitvisit.at(index-1)=true;for(int check=0;check<num-1;++check){int Min=INF,flag=0;for(int i=0;i<num;++i){if(!visit.at(i)&&path.at(i)<Min){flag=i;Min=path.at(i);}}visit.at(flag)=true;for(int i=0;i<num;++i)//如果由于v0结点的加⼊导致index结点到其它接点的值变⼩更新path{if(path.at(i)>path.at(flag)+arr.at(flag).at(i))path.at(i)=path.at(flag)+arr.at(flag).at(i);}}for(int i=0;i<num;++i)cout<<path.at(i)<<"\t";cout<<endl;}int main(){Graph g;g.dijkstra(1);return0;}floyd算法 如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引⼊第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。
最短路径问题求解方法
最短路径问题求解方法最短路径问题是在图中找到两个顶点之间最短路径的问题。
在现实生活和计算机科学领域中，最短路径问题有很多应用。
比如，地图导航系统需要找到从一个位置到另一个位置的最短路径；计算机网络中需要找到两台主机之间最快的通信路径。
本文将介绍三种经典的最短路径问题求解方法：Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall 算法。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种常用算法。
它从给定的起始顶点开始，逐步找到其他顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是维护一个距离数组，记录起始顶点到其他顶点的最短距离。
然后，选择当前距离最小的顶点作为下一个中间顶点，更新与该顶点相邻的顶点的最短距离。
重复这个过程，直到所有顶点都已被遍历。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种解决单源最短路径问题的经典算法。
与Dijkstra算法相比，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
算法的基本思想是进行多轮松弛操作，通过不断地更新边的权值，逐步逼近最短路径。
算法首先初始化距离数组，将起始顶点到其他顶点的距离设置为无穷大，然后进行多轮松弛操作，直到没有可更新的边或者找到负环。
Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法是解决多源最短路径问题的一种常用算法。
它可以找到图中任意两个顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是利用动态规划的思想，通过定义一个二维数组，记录任意两个顶点之间的最短距离。
然后，通过不断更新这个数组，逐步迭代得到最终的最短路径。
这三种算法各有特点，适用于不同场合的最短路径问题。
Dijkstra算法适用于解决从单个顶点到其他顶点的最短路径问题，且图中没有负权边；Bellman-Ford算法适用于解决带有负权边的最短路径问题；Floyd-Warshall算法适用于解决任意两个顶点之间的最短路径问题。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。
对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值，u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题在图论中，最长路径问题和最短路径问题是两个重要且常见的问题。
最长路径问题旨在寻找图中两个顶点之间的最长路径，而最短路径问题则是寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将分别介绍这两个问题，并讨论它们的应用和解决方法。
首先，我们来讨论最长路径问题。
最长路径问题在实际应用中有着广泛的应用，例如交通规划、通信网络以及电路设计等。
在图中，路径是由一系列顶点连接而成的。
最长路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最大权值的路径。
最长路径问题可以通过深度优先搜索（DFS）算法来解决。
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法，它从一个顶点开始，沿着路径尽可能地往下搜索，直到达到无法再继续搜索的顶点为止。
在深度优先搜索的过程中，我们可以记录下每个顶点的最大路径长度，最终找到两个顶点之间的最长路径。
接下来，我们将讨论最短路径问题。
最短路径问题在实际应用中同样具有重要性，例如导航系统、网络路由以及货物运输等。
最短路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最小权值之和的路径。
最短路径问题可以通过使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来解决。
迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法。
它从一个起始顶点开始，逐步地计算到达其他顶点的最短路径长度。
通过不断更新路径长度，并选择当前路径长度最小的顶点进行下一步计算，最终可以确定出起始顶点到其他顶点的最短路径。
最长路径问题和最短路径问题在实际应用中有着广泛的应用。
最长路径问题可以帮助我们优化电路设计，提高通信网络的稳定性，也可以提供交通规划的参考。
而最短路径问题可以帮助我们制定最优的导航路线，提高货物运输的效率，也可以优化网络路由的选择。
综上所述，最长路径问题和最短路径问题是图论中两个重要的问题。
通过深度优先搜索和迪杰斯特拉算法，我们可以解决这两个问题，并在实际应用中获得丰富的应用场景。
无论是最长路径问题还是最短路径问题，它们都展示了图论在实际生活中的重要性和广泛的应用前景。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现引言：图论是离散数学的一个重要分支，研究的是表示物体间关系的图及其性质、结构和相关算法。
其中，最短路径问题是图论中的一类经典问题，它在实际应用中有着广泛的应用价值。
本文将探讨最短路径问题的定义、性质以及常见的算法实现，旨在帮助读者深入了解这一重要的图论问题。
一、最短路径问题的定义和特性在图论中，最短路径问题是指在有向图或无向图中找到连接两个顶点之间路径长度最短的路径。
根据具体的问题，最短路径可以有不同的定义，如边的权重、顶点的权重等。
下面介绍最常见的两种最短路径问题：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个源顶点出发，找到到达其余所有顶点的最短路径。
其中，最短路径可以使用不同的度量标准来定义，如路径长度、路径权重等。
研究单源最短路径问题的常见算法有迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
2. 全源最短路径问题全源最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个顶点之间的最短路径。
全源最短路径问题可以通过多次应用单源最短路径算法来解决。
在常见的全源最短路径算法中，弗洛伊德算法和约翰逊算法是两种常用的解法。
二、常见最短路径算法的实现1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种贪心算法。
其主要思想是通过不断更新从源顶点到其他顶点的距离，直到找到最短路径。
具体实现步骤如下：- 初始化距离数组dist，将源顶点到其他顶点的距离初始化为无穷大（或一个很大的数），源顶点的距离初始化为0。
- 在未访问顶点集合中选择距离最短的顶点，将其标记为已访问。
- 更新源顶点到其他顶点的距离，如果经过当前顶点的路径比之前记录的距离要短，则更新距离数组dist。
- 重复上述步骤，直到所有顶点都被标记为已访问。
2. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于解决单源最短路径问题的动态规划算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，贝尔曼-福特算法可以处理带有负权边的图。
解最短路径问题的两种方法及其应用
解最短路径问题的两种方法及其应用
最短路径问题是指在一张带权图中找到两个节点之间最短的路径。
最短路径问题是许多计算机科学和应用领域中的一个基本问题。
以下是解决这个问题的两种方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种
基本算法，它是基于贪心思想的。
该算法首先确定起始点到其他节
点的距离（记为d），然后不断扩大已确定最短距离的节点集，直
到覆盖所有节点。
Dijkstra算法适用于单源最短路径，即从一个节
点到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd算法：Floyd算法也是一种经典的解决最短路径问题
的算法，它是一个动态规划算法。
该算法利用动态规划的思想，通
过比较任意两个节点之间经过第三点（中转点）的路径长度，更新
路径长度。
Floyd算法适用于多源最短路径，即从任意两个节点之
间的最短路径。
这两种算法可广泛应用于各种计算机科学和应用领域，如网页
排名算法、图像处理、计算机网络等。
在实际应用中，我们需要根
据实际问题的特点，选择最适合的算法。
多段图的最短路劲问题,动态规划法 分析最优性原理
多段图的最短路劲问题,动态规划法分析最优性原理我们都知道，无论是初中还是高中，数理化的学习过程中都是非常重要的。
其中，最短路劲问题，是数学考试当中常考的题型之一。
它的难度在初中数学中是比较大的。
很多同学在学习该题的时候也十分头疼，因为该问题通常采用动态规划法求解即可。
所谓动态规划法，其实就是由求解方程组而得到结论最优的方法。
那么今天我们就来学习一下如何进行简单易操作并将其运用于实际之中吧！一、解题思路通过观察题目，我们可以得到题目中由图 a,图 b组成的最短路劲问题的求解法：求 a={a, b, c},其中 a、 b、 c表示两段图之间的相交点。
求 a最短路劲，我们可以根据不同的情况选择不同的方法来求解。
当我们在做题过程中遇到困难时，可以通过求解最短路劲问题来了解分析它所需要处理的基本数学原理，从而达到解决此题的目的。
根据题目中提供的信息可知，多段图对于图 b而言，最短路劲要求它具有不同的解题思路。
二、求最优解的基本方法最优解的求解方法有两种：一者为连续变量的最大值问题，二者为连续不变量。
这种问题的解决方法一般为：以图中 A点的起始位置（也就是 A与 B)作为计算基点，依次以 A点、 B 点进行一次求解方程组，再将方程组进行解析，得到最优解；或者以相同的方法求出各点的余数，得出最优解。
求解过程中需要注意两个问题：第一个问题是求方程组时不一定要选择整数、整列代入、整阶运算；第二个问题只要找到方程中关键的最优解即可。
所以在求最优解时需要掌握正确的方法，同时也要注意以下几个方面：三、动态规划法分析分析：将图中已知状态矩阵代入所求题中，可得到：设图中状态矩阵 B和状态矩阵 A是多段图中唯一正确状态的解，因此 B和 C是正确的解；设状态矩阵 A是已知状态矩阵-状态式解，则 AC和 AC是正确的解；由于状态矩阵 B和状态矩阵 A是正确方程组式外部分与状态矩阵 a、b、 c、 d四等分函数相关，因此 AC和 AC就是正确方程组。
最短路径问题
最短路径问题在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
（1）使用优先队列的Dijkstra算法(重点)Dijkstra算法可用于计算正权图上的单源最短路径，即从单源点出发，到所有结点的最短路，该算法同时适用于有向图和无向图。
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
多种方法求多段图的最短路径问题算法设计与分析课程设计
《算法设计与分析 B》 大作业
题目
学院 专业 班级 姓名 指导教师
多种方法解决多段图的最短 路径问题
计算机科学与技术学院
软件工程
2014 年 12 月 26 日
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
多种方法解决多段图的最短路径问题
摘要
多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。本文主要描述的是分别用 动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况。文章首先阐述了 各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运 行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。文章最后讲述了若这几种方法运行到 有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建 议。
大二开设的《数据结构》课程中就包括最短路径这方面问题的讨论。当时老师介绍了 分别面向单源（Dijkstra 算法）与非单源（Floyd 算法）两种问题的算法——这是我们最早 的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。
在这学期的《算法设计与分析》课程中，我们学习了很多基本的算法设计技术，蛮力 法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分支限界法等，它们把以前学习的 诸多方法都命名并归纳分类起来，其中有多种算法都可以用来解决最短路径问题，并且该 问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大、本文将就不同算法在解决 该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。 由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制， 最后会对其它的图做一些拓展。
由于多段图将顶点划分为 k 个互不相交的子集，所以，可以将多段图划分为 k 段，每 一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段 内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为 n，则源点 s 的编号为 0，终点 t 的编 号为 n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点 u 的编号小于顶点 v 的编号。
最短路径问题
最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。
在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。
本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。
一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。
在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。
图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。
最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。
二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。
该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。
（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。
（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。
（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。
（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。
与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。
具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。
b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。
浙江大学-算法设计与分析-图论作业-最短路径算法选择方式
浙江大学-算法设计与分析-图论作业-最短路径算法选择方式介绍本文档旨在介绍最短路径算法的选择方式，以帮助解决浙江大学算法设计与分析课程中的图论作业。
最短路径算法在图论中，最短路径算法用于计算两个顶点之间的最短路径。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
该算法首先将所有顶点的距离初始化为无穷大，然后逐步更新距离，直到找到最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V + E)logV)，其中V是顶点数，E是边数。
Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径，可以处理带有负权边的图。
该算法通过迭代更新顶点之间的距离，直到找到最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。
最短路径算法选择方式在选择最短路径算法时，应考虑以下因素：1. 图的规模：如果图的规模较小，可以选择Dijkstra算法。
其时间复杂度比Bellman-Ford算法低，适用于规模较小的图。
2. 边的权重：如果图的边权重存在负值，则应选择Bellman-Ford算法，因为它可以处理带有负权边的图。
3. 时间效率要求：如果对计算时间有较高要求，可以选择Dijkstra算法。
该算法的时间复杂度较低，计算时间相对较短。
4. 可行解要求：如果需要检测负权回路或获取最短路径的具体路径信息，应选择Bellman-Ford算法。
该算法可以检测负权回路，并返回最短路径的具体路径信息。
综合考虑以上因素，可以根据实际情况选择最适合的最短路径算法。
总结最短路径算法选择的关键因素包括图的规模、边的权重、时间效率要求和可行解要求。
根据这些因素，可以选择Dijkstra算法或Bellman-Ford算法中的一种或多种来解决最短路径问题。
最短路径问题的学习算法设计
最短路径问题的学习算法设计最短路径问题是指在一个图中找到从一个起点到达目标节点的最短路径。
这个问题在许多应用领域中都有重要的应用，比如导航系统、网络路由以及物流规划等。
为了解决这一问题，人们提出了许多经典的算法，本文将介绍其中的几种学习算法设计。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径问题中最为经典的算法之一。
它采用贪心策略，在图中逐步扩展最短路径集合，直到找到目标节点为止。
算法的基本思想是，先将起点到所有其他节点的距离初始化为无穷大，然后逐步更新这些距离，直到找到最短路径。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带有负权边的最短路径问题。
该算法通过迭代来更新从起点到其他节点的距离估计值，直到收敛为止。
Bellman-Ford算法的关键思想是，每一轮迭代都会对当前估计值进行修正，直到没有更多的修正为止。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于解决所有节点对最短路径的动态规划算法。
该算法通过逐步迭代来更新任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的核心思想是，利用中间节点的集合来逐步改进路径的估计值，直到找到最短路径。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于解决带有启发函数的最短路径问题。
该算法通过评估每个节点的启发函数值来指导搜索的方向，以尽量减少搜索的空间。
A*算法结合了贪心策略和优先级队列，能够在保证找到最短路径的前提下，尽量减少搜索的时间。
5. 学习算法设计随着机器学习的快速发展，人们开始将学习算法应用于最短路径问题的设计。
通过训练数据集，学习算法能够根据实际应用场景中的特征来提供更加准确的路径估计。
例如，可以使用基于深度学习的神经网络来学习节点之间的相似度或权重，从而优化最短路径的搜索过程。
总结：最短路径问题的学习算法设计涉及众多算法，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和A*算法等。
图的最短路径算法
图的最短路径算法本文将详细介绍图的最短路径算法，包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法用于求解以某个节点为起点到其他节点的最短路径。
它通过维护一个距离数组，初始将起点到所有节点的距离设为无穷大，然后逐步更新距离数组，直到找到最短路径。
2. 算法步骤以下是Dijkstra算法的步骤：1) 创建一个距离数组，用于记录起点到每个节点的距离，并将起点到自身的距离设为0。
2) 创建一个集合，用于存放已经找到最短路径的节点。
3) 从起点开始，在未加入集合的节点中选择距离最小的节点，将其加入集合。
4) 更新距离数组：对于起点到未加入集合的节点的距离，如果通过已经加入集合的节点可以找到更短的路径，则更新距离数组。
5) 重复步骤3和4，直到所有节点都被加入集合。
6) 距离数组中的值即为起点到每个节点的最短路径。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于求解图中任意两个节点之间的最短路径。
它通过维护一个距离矩阵，初始将所有节点之间的距离设为无穷大，然后逐步更新距离矩阵，直到找到最短路径。
4. 算法步骤以下是Floyd-Warshall算法的步骤：1) 创建一个距离矩阵，用于记录任意两个节点之间的距离。
2) 通过给定的边，初始化距离矩阵：如果两个节点之间有直接的边，则将距离矩阵中对应位置的值设为边的权重；否则将距离矩阵中对应位置的值设为无穷大。
3) 对于距离矩阵中的每一个节点，遍历所有节点对，如果通过第三个节点可以找到更短的路径，则更新距离矩阵中对应位置的值。
4) 重复步骤3，直到距离矩阵中的值不再发生变化。
5) 距离矩阵中的值即为任意两个节点之间的最短路径。
通过Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，我们可以在图中求解最短路径的问题。
这些算法在网络路由、物流配送等领域有广泛的应用，能够帮助我们找到最优的路径和规划最佳的行程。
算法设计与分析-多段图最短路径问题
关于多段图最短路径问题的探讨摘要：本文主要描述的是分别用动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况，并在附录中附有实际问题的程序来辅助阐述观点。
文章首先阐述了各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。
另外，众所周知，多段图是有向图的一个简单的模型，它在有向图的基础上忽略了两点之间的线的双向性的问题，并且对点与点之间的线有很多的要求，从而把图简化为可分为几段的模式，文章最后讲述了若这几种方法运行到有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建议。
关键字：多段图最短路径问题动态规划法分支限界法多段图与有向图的关系有向图最短路径算法引言：当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。
例如在开车自驾游的一个过程中，排除其他影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。
在早些时间的课程中，我们学习过数据结构这门课程，其中就包括最短路径这方面的讨论。
当时老师给我们介绍了分别面向单源（Dijkstra算法）与非单源（Floyd算法）两种问题的算法法---，这是我们最早的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。
在这学期的算法课程中，我们学习了许多了方法，包括贪心法、动态规划法等算法，它们把以前学习的许多方法都命名并归纳分类起来，其中有许多算法都是可以用来解决这个最短路径的问题的，并且该问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大，本文将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。
由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其他的图做一些拓展。
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关于多段图最短路径问题的探讨摘要：本文主要描述的是分别用动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况，并在附录中附有实际问题的程序来辅助阐述观点。
文章首先阐述了各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。
另外，众所周知，多段图是有向图的一个简单的模型，它在有向图的基础上忽略了两点之间的线的双向性的问题，并且对点与点之间的线有很多的要求，从而把图简化为可分为几段的模式，文章最后讲述了若这几种方法运行到有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建议。
关键字：多段图最短路径问题动态规划法分支限界法多段图与有向图的关系有向图最短路径算法引言：当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。
例如在开车自驾游的一个过程中，排除其他影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。
在早些时间的课程中，我们学习过数据结构这门课程，其中就包括最短路径这方面的讨论。
当时老师给我们介绍了分别面向单源（Dijkstra算法）与非单源（Floyd算法）两种问题的算法法---，这是我们最早的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。
在这学期的算法课程中，我们学习了许多了方法，包括贪心法、动态规划法等算法，它们把以前学习的许多方法都命名并归纳分类起来，其中有许多算法都是可以用来解决这个最短路径的问题的，并且该问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大，本文将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。
由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其他的图做一些拓展。
首先，对多段图最短路径问题进行介绍，设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集V i（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈V i，v∈V i+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t ∈V k为终点。
多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。
不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。
假设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编号。
这里我们讨论的多段图是可以分段的，各段之间的关系最好是单向的，即对该有向图来说，图中是没有环的存在的。
1.贪心法贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。
换言之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优。
这种局部最优选择并不总能获得整体最优解，但通常能获得近似最优解。
本例中利用的贪心算法，是每当要选择下一个结点时，总是选择与当前结点间代价最小的点，这就叫做总是优先局部最优解。
以此得到最终的解序列。
这里举一个贪心法的拓展例子Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。
算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。
这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。
Dijkstra算法的大概过程：假设有两个集合或者说两个表，表A和表B表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A中，并记录下两节点之间的代价。
2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。
3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价4.重复第二步和第三步直到表A为空。
然后根据表B中的数据算出最优树。
维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。
我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:E→[0,∞]定义。
因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e.最短路径)。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
具体算法见附录。
2.动态规划法这里先讨论用动态规划法的解法。
考虑多段图的最短路径问题的填表形式。
用一个数组cost[n]作为存储子问题解的表格，cost[i]表示从顶点i到终点n-1的最短路径，数组path[n]存储状态，path[i]表示从顶点i到终点n-1的路径上顶点i的下一个顶点。
则：cost[i]=min{c ij+cost[j]} (i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点) （式6.7）path[i]=j (使c ij+cost[j]最小的j) （式6.8）对多段图的边(u, v)，用c uv表示边上的权值，将从源点s到终点t的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最短路径d(0, 9)由下式确定：d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}，这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，而由此模式推知，d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}，d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}，d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}，每一个d（i，n-1）都是通过min{c ik+d(k,n-1)}得到的k>i&&k<n-1;再往后推的过程和以上的过程类似，将这些产生式得到以后，会发现他们的求解除了两点之间的代价外，在例子中，他们都依赖于d(7, 9)=c79和d(8, 9)=c89，而他们都是可以从图上直接得到的。
这样再从末尾一层一层往上推就可以得到最终的答案了。
算法主要由三部分组成：第一部分是初始化部分，其时间性能为O(n)；第二部分是依次计算各个顶点到终点的最短路径，由两层嵌套的循环组成，外层循环执行n-1次，内层循环对所有出边进行计算，并且在所有循环中，每条出边只计算一次。
假定图的边数为m，则这部分的时间性能是O(m)；第三部分是输出最短路径经过的顶点，其时间性能是O(n)。
所以，算法的时间复杂性为O(n+m)。
为了实现时间的分析，在程序后添加了输出运行时间的函数，以便于对比分析。
具体算法、具体代码及实验结果见附录1。
3.分支限界法再讨论当用分支限界法用来解决多段图路径问题的过程：首先对该多段图应用贪心法求得近似解，并算出其代价路径。
将其作为多段图最短路径问题的上界。
而把每一段最小的代价相加，可以得到一个非常简单的下界。
于是，就可以得到了目标函数的一个大致的范围。
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，一旦某条路径的一些段被确定后，就可以并入这些信息并计算部分解的目标函数值的下界。
一般情况下，对于一个正在生成的路径，假设已经确定了i段（1≤i≤k），其路径为(r1, r2, …, r i, r i+1)，此时，该部分解的目标函数值的计算方法即限界函数如下：应用分支限界法同样求解附录中图所示多段图的最短路径问题，具体的搜索过程是这样进行的，首先考虑根节点，根据限界函数算出目标函数的值，然后下一个结点的选择在本例中有三种情况，这里每种情况下的目标函数值下界都要算出来并且加以比较，下界的计算方法为除了加上选定点与初始点之间的距离外，以后的第一个点选择一选定点为初始点到下段最小代价的路径，以后的段与段之间的代价都按他们之间最小的代价来计算。
这样再加上根节点与初始阶段之间的最小代价，就得到这种情况下的解了。
在得到的代价中，找出最小的代价，并以之为初始结点循环往下做，直到到达目标结点。
结论：程序的运行截图如附录所示。
分析各个方法的整个过程得到以下思考：1.贪心法、动态规划法和分支限界法都可以用来解决多段最短路径问题，然而在这种情况相比之下，贪心法的运算效率比较高，因为它不像另外两种方法一样，需要涉及到许多的点。
由于这里并没有找到函数有效地给程序计时（time函数很不精确，而对于小程序来说，就没有什么参考性）。
因此这里我们就以本题的数据为例，用一个笨方法，看各个方法访问了多少数据，可以看到，动态规划法由于需要填表，并有一个相关的迭代问题，它几乎涉及了所有的点；而分支限界法，它通过贪心法设置的上下限，并以他们为依据进行剪枝，减少了许多的运算量。
而贪心法，访问了最少的点。
2.就结果准确性来看，就本题例子来看，贪心法结果为0 2 4 7 9，路径的代价为20；动态分配法采取的路径为：0 3 5 8 9，路径的代价为16；而分支限界法，结果为0 3 5 8 9，路径的代价为16。
可以看出，在这个方面，动态分配法和分支限界法都达到了预期的结果，相比直线，贪心法的误差就比较大了。
由以上的讨论，我们可以看出分支限界法的综合性能比较好，他和动态规划法在解决多段最短路径问题时都可以得到正确解，而贪心法虽然可以省时间与空间，但结果不准确是它的缺点。
各方法都是有利有弊的。
因此在选择方法时，还应当根据实际情况。
当只需要大概的一个解时，当然是要用省时省力的贪心法；如果对结果又比较高的要求的话，那么就要采取动态规划法或分支限界法。
那么dijkstra算法呢，他的明显优点就是它的多用性，他可以求任意一点到其他某一点的距离，但是他访问的数据量很大，几乎要访问所有的边（相对于贪心法而言），因此这里来说，在单纯的解决多段最短路径问题时，他们的功能都差不多，而在解决其他较复杂的图时，Dijkstra算法有明显的优越性，但当然，作为贪心法的一种，他的结果的准确性不是那么的高。