高二数学下册期末检测试题4
高二下学期期末数学检测题4
高二下学期期末数学检测题（三）2012—07—01WEIJIAN一、选择题：1.已知全集U R =，集合{}|23A x x =-≤≤，集合{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B ð等于A.{}|24x x -≤<B.{}|34x x x ≤≥或C.{}|21x x -≤≤-D.{}|13x x -≤≤2.已知a 是实数，1a i i -+是纯虚数，则a = A.1 B.1-D. 3.根据结构图，总经理的直接下属是A.总工程师和专家办公室B.开发部C.总工程师、专家办公室和开发部D.总工程师、专家办公室和所有七个部2B. C. D.25.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A.,,m n m n αα若则‖‖‖B.,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C.,,m m αβαβ若则‖‖‖D.,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 6.函数2()3x f x x =-的零点所在的区间是A.[]0,1B.[]1,2C.[]2,1--D.[]1,0-7.张华同学对命题：“1()x x f x e e=+在()0,+∞上是增函数”给出如下证明： 1()x x f x e e =+ /1()x x f x e e∴=- 0x > 1,01x x e e ∴><< 10x x e e ∴-> 即/()0f x >， ()f x ∴在()0,+∞上是增函数.她使用的证明方法是 A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法 8.12ax y x +=+在()2,-+∞上为增函数，则a 的取值范围 A.102a << B.1a <-或12a > C.12a > D.2a >- 9.一个四面体的6条棱中，有3条长为1，有2a ，当体积最大时，a 的值为A.210.过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条11.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． ∅ 2．函数)4(log 3-=x y 的定义域为 （ ）A ．RB ．),4()4,(+∞-∞C ．)4,(-∞D ． ),4(+∞3．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．164．在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知3(,sin ),2a α=1(cos ,)3b α=且//,a b 则锐角α的大小为 （ ） A ．4πB ．3πC ．6πD ．125π6．按照程序框图(如右图)执行， 第3个输出的数是( ).A ．3B ．4C ．5D ．67．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．已知函数b x x x f +-=2)(2在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ． R B ．)0,(-∞ C ．),8(+∞- D ．)0,8(-9.若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是( )A ．5B ．6 C.5 D ．611．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为 （ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<12．设函数x x f 6sin )(π=，则)2009()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于( )A ．21B ．23C ．231+ D ．32+二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数1322(),log (21)2x xe xf x x -⎧<=⎨-≥⎩则=))2((f f ．14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．15. 已知5sin =5α则44sin cos αα-的值是 . 16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝ ． 三、解答题：(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二数学下期末测试卷(含解析)【测试范围：人教选修1-1、1-2、4-4、4-5】
文科数学试题 第1页（共16页） 文科数学试题 第2页（共16页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2019-2020学年下学期期末测试卷高二文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教选修1-1、1-2、4-4、4-5。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足1z i -=，则z 最大值为（ ） A ．1B 2C ．2D ．42．命题“对任意x ∈R ，都有11x x-<”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有11x x -≥ B ．不存在x ∈R ，使得11x x-< C ．存在x ∈R ，使得11x x -≥ D ．存在x ∈R ，使得11x x-> 3．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．用反证法证明“已知22,,0x y R x y ∈+=，求证：0x y ==.”时，应假设( ) A ．0x y ≠≠B ．0x y =≠C ．0x ≠且0y ≠D ．0x ≠或 0y ≠5．若t 为参数，则参数方程cos sin x t ay t bθθ=+⎧⎨=+⎩表示的点的轨迹为（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．圆或直线6．点P 极坐标为5(2,)6π，则它的直角坐标是（ ） A ．(1,3)B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(3,1)7．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=08．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.15 9．点()5,3M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ） A ．212y x =B ．236y x =-C ．212y x =或236y x =-D ．2112y x =或2136y x =- 10．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>5则椭圆22221x y a b +=的离心率为( )文科数学试题 第3页（共16页） 文科数学试题 第4页（共16页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………A ．12B 3C 3D 212．已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．3[1,]2-B ．3[,1]2-C ．1[1]2-，D ．1[,1]2-第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题“∃t ∈R ，t 2-2t -a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ______. 14．已知曲线ln y x =的切线过原点，则此切线的斜率为__________．15．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线方程为12y x =，则a =______；离心率e =______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知0m >，p :(2)(6)0x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围18．（本小题满分12分） 已知z 为虚数，42z z +-为实数． （1）若2z -为纯虚数，求虚数z ； （2）求|4|z -的取值范围．19．（本小题满分12分）2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产，决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：生猪存栏数量x （千头）2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y （元）3.22.421.91.5（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线性回归方程(1)ybx a =+（保留小数点后两位有效数字）（2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：(2)4.80.8y x=+.为了评价两种模型的拟合结果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：i e 称为相应于点(),i i x y 的残差）；生猪存栏数量x （千头） 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y （元）3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲估计值(1)iy残差(1)ie模型乙估计值(2)iy 3.2 2.4 2 1.76 1.4残差(2)ie 0 0 0 0.14 0.1②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q 与2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好；（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.（利润=收入-成本）文科数学试题 第5页（共16页） 文科数学试题 第6页（共16页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yx x xnxb ∧====---==--∑∑∑∑，x y b a ∧∧∧=+参考数据：()()()255115.3,21.2iiii i x x y y x x ==--=--=∑∑.20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2.（1）写出抛物线C 的标准方程及其准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M . （i ）求点M 的坐标；（ii ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值.21．已知函数()()ln a xf x x a R x=+∈. （1）若函数()f x 的图象在2x e =处的切线与y x =平行，求实数a 的值； （2）设()()()201,221a g x xf x x a x <≤=-+-.求证：()g x 至多有一个零点.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目文科数学试题 第7页（共16页） 文科数学试题 第8页（共16页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为222212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.2019-2020学年下学期期末测试卷01高二文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 C CADADCBDBCC1．【答案】C【解析】设z a bi =+，,a b ∈R ，1z i -=，∴()2211a b +-=即()2211a b +-=，∴点(),a b 在圆()2211x y +-=上，又该圆的圆心为()0,1，半径为1，∴该圆上所有点到原点的距离最大值为112+=，即22max2a b +=，∴max 2z =.2．【答案】C【解析】命题“对任意x ∈R ，都有11x x -<”的否定是：存在x ∈R ，使得11x x-≥， 3．【答案】A【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<. 4．【答案】D【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而0x y ==的否定为“,x y 不都为零”，故选D.文科数学试题 第9页（共16页） 文科数学试题 第10页（共16页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________5．【答案】A【解析】因为参数方程cos sin x t a y t b θθ=+⎧⎨=+⎩，则cos sin x a t y b t θθ-=⎧⎨-=⎩消参数t ，有：()sin ()cos x a y b θθ-=-，即sin cos cos sin 0x y b a θθθθ⋅-⋅+-=， 故轨迹为一条直线 6．【答案】D【解析】552cos 3,2sin 166x y ππ==-== ∴M 点的直角坐标是()3,1-7．【答案】C 【解析】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-，()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 8．【答案】B【解析】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a =⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 9．【答案】D【解析】当0a >时，开口向上，准线方程为14y a =-，则点M 到准线的距离为1364a +=，求得112a =，抛物线方程为2112y x =， 当0a <时，开口向下，准线方程为14y a =-，点M 到准线的距离为1|3|64a +=解得136a =-，抛物线方程为2136y x =-． 10．【答案】B【解析】由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 11．【答案】C【解析】由双曲线离心率得：22222514a b b a a +=+=，解得：224a b = ∴椭圆方程为222214x y b b += ∴椭圆离心率222434b b e b -== 12．【答案】C【解析】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 13．【答案】(],1-∞-【解析】命题“∃t ∈R ，t 2-2t -a ＜0”是假命题， 等价于∀t ∈R ，t 2-2t -a≥0是真命题， ∴△=4+4a≤0，解得a≤-1． ∴实数a 的取值范围是（-∞，-1]．文科数学试题 第11页（共16页） 文科数学试题 第12页（共16页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………故答案为（-∞，-1]．14．【答案】1e【解析】y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则1|x x k Y x ︒=︒='=,所以切线方为 y -y 0= 1x ︒(x -x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以11|x x k Y x e︒=︒=='=. 15．【答案】(][)12-∞-⋃+∞，， 【解析】()()12123y x x x x =--+≤--+=，∴要使1221x x a --+≤-恒成立，则213a -≥，213a -≥或213a -≤-， 即2a ≥或1a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][)12-∞-⋃+∞，，.故答案为(][)12-∞-⋃+∞，，.16．【答案】25【解析】由双曲线方程()22210x y a a -=>，可得其渐近线方程为1y x a =±，因为双曲线的一条渐近线方程为12y x =，所以2a =，又由2222215c a b =+=+ 所以双曲线的离心率为5c e a ==. 17．（本小题满分12分）【解析】（1）:26p x -≤≤，∵p 是q 的充分条件，∴[2,6]-是[2,2]m m -+的子集，0{22426m m m m >-≤-⇒≥+≥，∴m 的取值范围是[4,)+∞． (6分)（2）由题意可知,p q 一真一假，当5m =时，:37q x -≤≤，p 真q 假时，由26{37x x x x -≤≤⇒∈∅-或；p 假q 真时，由26{3237x x x x -⇒-≤<--≤≤或或67x <≤．所以实数x 的取值范围是[3,2)(6,7]--⋃．(12分) 18．（本小题满分12分）【解析】由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠， （1）则22z x yi -=-+， 由2z -为纯虚数，得2x =， 2z yi ∴=+，又因为42z z +-为实数， 则(442)242z yi y i R z yi y +=++=+-∈-， 得40y y-=，2y =±， 所以22z i =+或22z i =-.(6分) （2）2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+， 因为42z z +-为实数，∴2240(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴2222|4||4|(4)(4)4(2)164z x yi x y x x x -=+--+-+---由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以01644x <-， 即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.(12分) 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由题知：()()()121ˆ 5.34.4, 2.2,0.2521.2ni i i n i i x x y y x y b x x ==---=====--∑∑， ˆˆ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=，故()10.2 3.0ˆ53y x =-+.(4分)文科数学试题 第13页（共16页） 文科数学试题 第14页（共16页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________（2）①经计算，可得下表： 生猪存栏数量x （千头） 2 3 4 5 8 头猪每天平均成本y （元）3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲估计值()1ˆi y2.802.552.302.051.30残差()1ˆi e 0.40 -0.15 -0.30 -0.15 0.20模型乙估计值()2ˆi y3.22.421.761.4残差()2ˆi e0.140.1()()()()()2222210.400.150.300.150.20Q =+-+-+-+ ()()2220.140.1Q =+ 因为12Q Q >，故模型()2 4.8.8ˆ0yx=+的拟合效果更好. (4分) （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元， 这样一天获得的总利润为()7.5 1.281000062200-⨯=元. 若生猪存栏数量达到1.2万头， 由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 一天获得的总利润为()7.2 1.21200072000-⨯=元，因为7200062200>，所以选择择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润. (4分) 20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，抛物线()2:20C y px p =>经过点()1,2，即221(2)p ⨯=，解得1p =，所以抛物线的方程为22y x =，抛物线的准线方程为12x =-，抛物线的焦点到准线的距离为1. (4分)（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+， 代入抛物线22y x =的方程，可得2240y my --=，设直线l 与抛物线C 的交点112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，且10y >，则212122,4,4160y y m y y m +==-∆=+>，所以直线AD 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，即121112()()y y y y x x m y y +-=--，即11122()y y x x y y -=--，令0y =，可得()21211()2y y y x y -⋅-=-，所以21211122()()4x y y y y y y =-⋅-+==-，所以2x =-，所以(2,0)M -，(8分)（ii ）如图所示，可得11111222OAM S OM y y y ∆=⨯⋅=⨯⋅=， 1212112222OAB S y y y y ∆=⨯⨯+⨯⨯=+，所以OAM ∆与OAB ∆面积之和为：1212111422OAB OAM S y y y y S y y y ∆∆-++=+=++=11114422242y y y y =+≥⋅= 当且仅当1142y y =时，即12y 时等号成立， 所以OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值为42分)21．（本小题满分12分）【解析】（1）已知函数()()ln a xf x x a R x=+∈， 所以()()21ln 1a x f x x-'=+， 所以()()()222421ln 11a e af e e e -'=+=-+，文科数学试题 第15页（共16页） 文科数学试题 第16页（共16页）……○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封……○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………因为函数()f x 的图象在2x e =处的切线与y x =平行，所以()2411af e e '=-+=， 解得0a =.(6分)（2）因为()()()()22221ln 21g x xf x x a x a x x a x =-+-=-+-，所以()()()()()222121221x a x a x x a ag x x a x x x---+-'=-+-=-=-， 当0,()0x a g x '<<>，当,()0x a g x '><， 所以当x a =时，()()max ln 1g x a a a =+-， 令ln 1t a a =+-， 所以110t a'=+>， 所以t 在()01a ∈，上是增函数.所以0t ≤，即()0g x ≤. 所以()g x 至多有一个零点. (12分)22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由极坐标与直角坐标互化公式得 圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=(5分)（2）直线l 参数方程222212x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆方程得：23210t t -+=设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1232t t +=，121t t = 于是121232MA MB t t t t +=+=+=分) 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）证明：因为()()22222222223x y z x y z xy xz yz x y z++=+++++≤++，当且仅当13x y z ===时，等号成立， 又∵1x y z ++=，∴22213x y z ++≥；(5分) （2）由（1）知：()()()()22221411111133x y z x y z -++++≥-++++=， 当且仅当111x y z -=+=+且1x y z ++=即53x =、13y z ==-时，等号成立，所以()()()222111x y z -++++有最小值43.(10分)。
2023学年玉林市高二数学(下)期末质量监测试卷附答案详析
2023学年玉林市高二数学（下）期末质量监测试卷（试卷总分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2230A x x x =+-=，{1,3}B =，则A B = （）A.{}1 B.{3}C.{3,1,3}- D.{1,1,3}-2.下列说法中，正确的是（）A.若0a b >>，0c d <<，则一定有a b c d>B.若a b >，则11a b<C.若b a >，0m >，则a m ab m b+>+D.若22ac bc >，则a b>3.已知命题:[1,2]p x ∀∈，220x ax +->，则p 的一个必要不充分条件是（）A.1a <- B.0a > C.1a > D.2a >4.已知线性回归方程ˆˆ0.7ybx =+相应于点(2,6.6)的残差为0.1-，则ˆb 的值为（）A.3- B.3C. 2.9- D.2.95.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（）A.432种B.240种C.192种D.96种6.我中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A ：甲和乙至少一人摸到红球，事件B ：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（）A.1011B.13C.56D.897.已知R 上的可导函数()f x 的函数图象如图所示，则不等式()0xf x '>的解集为（）A.(1,0)(1,)-+∞B.(,2)(1,2)-∞-C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(1,1)(2,)-+∞ 8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)m d (o a b m ≡.若0122171717C C 6C 6a =+⨯+⨯+171717C 6⋯+⨯，(mod8)a b ≡，则b 的值可以是（）A.2021B.2022C.2023D.2024二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.下列函数中最小值为4的是（）A.4ln ln y x x=+B.4sin sin y x x=+C.222xxy -=+ D.2y =10.已知随机变是X 服从正态分布(0,1)N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤，若0x ≥，则下列说法正确的有（）A.1(0)2f =B.(2)2()f x f x =C.()f x 在(0,)+∞上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-11.若函数2()ln 2f x a x x bx =-+既有极小值又有极大值，则（）A.0b a< B.0b > C.2160b a +> D.4a b -<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为10.96r =-，20.67r =，30.92r =，40.89r =，则这四人中，________研究的两个随机变量的线性相关程度最高.13.已知函数()2()ln 56f x x x =-++，则()f x 的定义域是________；单调增区间为________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(33)f x +为奇函数，记()f x '为()f x 的导函数，若(3)1f '=，则()y f x =在点(9,(9))f --处的切线一般式方程为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知3()nx x-的展开式中共有10项.（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项.16.（15分）2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay ）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为2:1，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表：长跑短跑男同学a 10女同学1010（1）求α的值并依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关；（2）赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X 表示抽到的2人中女生的人数，求X 的布列与数学期望.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.050.010.001x α3.8416.63510.82817.（15分）已知函数21,10()2,0329,34x x f x x x x x x ⎧-≤<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩（1）求()3f ，()4f ，()()1ff 的值;（2）()1f a =，求a 的值；（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的值域（无需写出理由）.18.（17分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为12；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13.（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y 局比赛，求随机变量Y 的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？19.（17分）已知函数()ln(1)f x x =+与函数()2mxg x x=+的图象在0x =处的切线斜率相同.（1）求实数m 的值；（2）证明：当10x -<≤时，()()f x g x ≤；（3）设a 为正实数，讨论方程1()()02g x af x -=的解的个数.2024年春季期高二期末教学质量监测数学参考答案及解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解答】依题意，{3,1}A =-，而{1,3}B =，所以{3,1,3}A B =- .故选：C.2.【解答】对于A ，若2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，故A 错误.对于B ，若0a b >>，则110a b>>，故B 错误.对于C ，()()a m a mb a b m b b b m +--=++，若0b a >>，0m >，则()0()m b a b b m -<+，即a m ab m b +<+，所以C 错误.对于D ，由22ac bc >，可知20c ≠，即20c >，所以a b >，故D 正确.故选：D.3.【解答】因为[1,2]x ∀∈，220x ax +->，所以2a x x>-+在[]1,2上恒成立，只需2y x x =-+在[]1,2上的最大值小于a ，因为2y x x =-+在[]1,2上单调递减，故2y x x=-+在[]1,2上的最大值为1，所以1a >，A 选项既不是充分条件，也不是必要条件；B 选项因为10a a >⇒>所以0a >是p 的一个必要不充分条件.正确；C 选项1a >是p 的充要条件；D 因为21a a >⇒>，所以2a >是p 的充分不必要条件.故选：B.4.【解答】由线性回归方程ˆˆ0.7ybx =+，取2x =，得ˆˆ20.7y b =+，又相应于点(2,6.6)的残差为0.1-，ˆ6.620.70.1b∴--=-.解得ˆ3b =.故选：B.5.【解答】根据题意，“射”与“数”之间间隔一艺，有124424C A A 192=种排课方法.故选：C.6.【解答】袋中有6个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A ：甲和乙至少一人摸到红球，则事件A 的基本事件个数为665511⨯-⨯=，事件B ：甲和乙摸到的球颜色不同，则事件A B 的基本事件个数为11110-=，则10()11P B A =，故选：A.7.【解答】由函数()f x 的图象可得，当(,1)x ∈-∞-，(1,)+∞时，()0f x '>，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<.由()0()00f x xf x x '>⎧'>⇔⎨>⎩①或()00f x x '<⎧⎨<⎩②解①得，1x >，解②得，10x -<<，综上，不等式()0xf x '>的解集为(1,0)(1,)-+∞ ，故选：A.8.【解答】已知01221717171717171717C C 6C 6C 6(16)7a =+⨯+⨯+⋯+⨯=+=则17017161161717(81)C 8C 8(1)1a =-=+⋯+⨯⨯--，即a 除以8所得的余数为7，显然2023除以8所得的余数为7，即b 的值可以是2023.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.【解答】当ln 0x <时，A 显然错误；令sin t x =，则01t <≤，44y t t =+≥=，当且仅当2t =时取等号，B错误；2224x x y -=+≥=，当且仅当1x =时取等号，C 正确；0>，故24y ==+≥，当且仅当x =时取等号，D 正确.故选：CD.10.【解答】因为~(0,1)X N ，所以1(0)(0)2f P X =≤=，故A 正确；因为(2)(2)f x P X x =≤，2()2()f x P X x =≤，当0x >时，1()()2f x P X x =≤>，则2()1f x >，又(2)(2)1f x P X x =≤<，所以(2)2()f x f x =不成立，故B 错误；0x >，当x 增大时()()f x P X x =≤也增大，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，故C 正确；()()12()12[1()]2()1P X x P x X x P X x f x f x ≤=-≤≤=->=--=-，故D 正确.故选：ACD.11.【解答】24()4a x bx af x x b x x -++'=-+=，2()ln 2f x a x x bx =-+ 既有极小值又有极大值，240x bx a ∴-++=在(0,)+∞上有两个不同的实数根，21600404b a b a⎧⎪∆=+>⎪⎪∴>⎨⎪⎪->⎪⎩，216000b a b a ⎧+>⎪∴>⎨⎪<⎩，0ba∴<，0b >，2160b a +>，显然4a b -<不一定成立.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解答】因为13420.96r r r r =>>>，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高.故答案为：甲.13.【解答】由2560x x -++>，解得16x -<<，则定义域是(1,6)-令256t x x =-++，其对称轴方程为52x =，图象是开口向下的抛物线，则256t x x =-++在51,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为增函数，又ln y t =为定义域内的增函数，则()f x 的单调增区间为51,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：(1,6)-；51,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.（备注：单调增区间为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭也正确，答对第1个空得2分，第2个空得3分）14.【解答】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=①，且(33)f x +为奇函数，(33)(33)f x f x -+=-+，所以(3)(3)f x f x -+=-+②，由①②可得()(6)f x f x =-+，即()f x 的周期为12，且(3)0f =，所以(9)(3)0f f -==，又()()f x f x ''--=，()(6)f x f x ''=-+，得(9)(96)(3)(3)1f f f f ''''-=--+=--==，所以()y f x =在点(9,(9))f --处的切线方程为：01(9)y x -=⨯+，即90x y -+=.故答案为：90x y -+=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解答】（1）由题意知9n =，在93x ⎫-⎪⎭的展开式中，令1x =.得：9(2)512-=-，因此93x ⎫-⎪⎭的展开式中，所有项的系数之和是512-（2）93x ⎫-⎪⎭展开式的通项：()9193r 1r 22199C 3C (3)(0,1,2,,9)rr rrr T x x xr ---+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭令9302r-=，解得3r =，因此展开式中的常数项339C (3)2268-=-要使93329C (3)rrx--为有理项，则932rZ -∈，则1,3,5,7,9r =，故展开式中有理项有5项.16.【解答】（1）依题意男女同学人数的比例为2:1，所以1021010a +=+，故30a =，零假设0H ：选择跑步项目类别与学生性别无关，22(30101010)(30101010)15 3.75 6.635(3010)(1010)(3010)(1010)4χ+++⨯⨯-⨯===<+⨯+⨯+⨯+.根据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据推断出0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关.（2）抽取8名同学中有6名男生，2名女生，则X 的所有可能取值为0，1，2，则206223C C 15(0)28C P X ===，116223C C 123(1)287C P X ====，026228C C 1(2)28C P X ===，则X 的分布列为：X 012P15283712815311()012.287282E X ∴=⨯+⨯+⨯=17.【解答】（1） 函数()21,102,0329,34x x f x x x x x x ⎧-≤<⎪⎪-≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩x x2(3)3233f ∴=-⨯=，(4)2491f =-⨯+=，(1)121f =-=-，1((1))(1)11f f f ∴=-==--.（2）①当0a <时，1()1f a a==，1a ∴=（舍去），②当03a ≤≤时，2()21f a a a =-=，解得1a =±又03a ≤≤，1a ∴=+，③当34a <≤时，()291f a a =-+=，4a ∴=，综上所述，a 的值为1 4.（3）函数()f x 的图象，如图：由图象可知，函数()f x 的值域为(],3-∞.18.【解答】（1）Y 的所有可能取值为3，4，5，33211(3)333P Y ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22223321212110(4)C C 33333327P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222421118(5)C 332227P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故Y 的分布列为：Y 345P131027827因为101827327>>，∴进行4局比赛的可能性最大.（2）采用三局两胜时，甲获胜概率()221322112C 133233P ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，采用五局三胜时，甲获胜概率()33223224422121120C 1C 33333227P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21P P > ，∴如果我是甲队领队，采用五局三胜制.19.【解答】（1）1()1f x x '=+ ，22(2)2()(2)(2)m x mx mg x x x +-'==++，由题意可得，(0)(0)f g ''=，解得2m =；（2）证明：由（1）知，2()2xg x x =+，令2()()()ln(1)(10)2xx f x g x x x x ϕ=-=+--<≤+，则22214()01(2)(1)(2)x x x x x x ϕ'=-=≥++++，()x ϕ∴在其定义域(1,0)-内为单调递增函数，又(0)(0)(0)0f g ϕ=-=，时，()()()(0)0x f x g x ϕϕ=-≤=，即当10x -<≤时，()()f x g x ≤；（3）令1()()()ln(1)22xh x g x af x a x x =⋅-=-++，则定义域是(1,)-+∞，2222(24)(24)()1(2)(1)(2)a ax a x a h x x x x x -+-+-'=-=++++.令2(24)240ax a x a -+-+-=，4(12)a =-△（i ）当12a ≥时，0≤△，则()0h x '≤，()h x ∴在(1,)-+∞上单调递减，且(0)0h =，()h x ∴在(1,)-+∞上存在1个零点；（ii ）当102a <<时，0>△，设方程2(24)240ax a x a -+-+-=的两根分别为1x ，2x ，且12x x <，则121220x x a ⎛⎫+=->⎪⎝⎭，121220x x a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，11所以()h x '有两个零点1x ，2x ，且1210x x -<<<，当()10,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()12,x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；故()()12(0)h x h h x <<，且(0)0h =，则()()120h x h x <<，又因为112101a a h e e --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭+，112101a a h e e ⎛⎫--=< ⎪⎝⎭+，且111101e e αα--<-<<-，故有1112101a a e x x e --<<<<-，由零点存在性定理可知，()f x 在111,e x α-⎛⎫- ⎪⎝⎭恰有一个零点，在12,1x e α⎛⎫-⎪⎝⎭也恰有一个零点，易知0x =是()h x 的零点，所以()h x 恰有三个零点；综上所述，当12a ≥时，方程1()()02g x af x -=有1个解；当102a <<时，方程1()()02g x af x -=有3个解.。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。
河北石家庄2024年高二下学期期末质量检测数学试卷(原卷版)
石家庄市2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某汽车启动阶段的位移函数为32()25s t t t =−，则汽车在2t =时的瞬时速度为（ ）A 10B. 14C. 4D. 62. 将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ） A. 6B. 24C. 60D. 1203. 设离散型随机变量X q =（ ）A.12B. 1C. 1D. 1±4. 已知一组观测值()11,x y ，()22,x y，…，(),n n x y 满足(1,2,)i i i y a bx e i n =++= ，若i e 恒为0，则2R =（ ） A. 0B. 0.5C. 0.9D. 15. (4的展开式中33x y 的系数为（ ）A. 4−B. 4C. 6−D. 66. 李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近.似服从正态分布，其正态密度函数22()2()x f x µσ−=的图像如图所示，其中µ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且(||)0.6827P X µσ−≤=，(||2)0.9545P X µσ−≤=，(||3)0.9973P X µσ−≤=．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班的平均分比乙班的平均分高B. 相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散C. 甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%D. 乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等7. 某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同参赛方案有（ ） A 51种B. 45种C. 48种D. 42种8. 已知函数()()31e 1xf x x kx =−−+，若对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+，则实数k 的取值范围是（ ）A. e ,3∞−B. e ,3−∞C. 1,3 −∞D. 1,3−∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 对于独立性检验，2X 的值越大，说明两事件的相关程度越大B. 以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程ˆˆˆy a bx =+中，ˆ2,1,3b x y ===，则ˆ1a= D. 通过回归直线ˆˆˆybx a =+及回归系数ˆb ，可以精确反映变量的取值和变化趋势 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章的.算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A. 222234511C C C C 220++++= B. 记第n 行的第i 个数为i a ，则11134n i n i i a +−==∑C. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等D. 第30行中第12个数与第13个数之比为12∶1911. 某大学文学院有A B 、两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A 的概率为13；他第二天去自习室B 的概率为14；如果他第一天去自习室A ，则第二天去自习室B 的概率为12.下列说法正确的是（ ）A. 小王两天都去自习室A 的概率为14B. 小王两天都去自习室B 的概率为112C. 小王两天去不同自习室的概率为34D. 如果他第二天去自习室B ，则第一天去自习室A 的概率为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则()E ξ=__________．13. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量,X Y 的取值集合均为{}()*0,1,2,3,,n n ∈N，则,X Y 的散度()()()(||)ln ni P X i D X Y P X i P Y i =====∑.若X ，Y 的概率分布如下表所示，其中01p <<，则(||)D X Y 的取值范围是__________.14. 若二次函数()223f x x =+的图象与曲线C ：()e 3(0)xg x a a =+>存在公切线，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数()32398f x x x x =−−+．（1）求f （x ）在1x =处的切线方程；（2）求f （x ）在[－2，4]上的最大值和最小值． 16. 已知()()23nf x x =−展开式的二项式系数和为512，且()()()()20122311nnn x a a x a x a x −=+−+++− ．（1）求2a 的值；（2）求123n a a a a ++++ 的值； （3）求12323n a a a na ++++ 的值．17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．（1）请完成下列22×列联表．并依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；（结果均保留到小数点后三位）上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k 的概率为()P k ，当()P k 取最大值时，求k 的值．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．()2P k χ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t （分钟）和答对人数y 的统计表格如下： 时间t （分钟） 102030405060708090100答对人数y987052363020151155lg y 1.99 1.85 1.72 1.56 1.48 1.30 1.18 1.04 0.7 07时间t 与答对人数y 和lg y 的散点图如下：附：102138500ii t==∑，101342i i y ==∑，101lg 13.52i i y ==∑，10110960i i i t y ==∑，101lg 621.7i i i t y ==∑，对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−．请根据表格数据回答下列问题： （1）根据散点图判断，yat b =+与lg y ct d =+哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立与t 的回归方程；（a ，b 或c ，d 的计算结果均保留到小数点后三位） （3）根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：lg 20.3≈，lg 30.48≈）． 19. 对于正实数a ，()b a b >，我们熟知基本不等式：(,)(,)G a b A a b <，其中(,)G a b =为a ，b 几何平均数，(,)2a b A a b +=为a ，b 的算术平均数．现定义a ，b 的对数平均数：(,)ln ln abL a b a b −=−．（1）设1x >，求证：12ln x x x<−；（2）证明(,)(,)G a b L a b <；（3）若不等式(,)(,)(,)G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数,()a b a b >恒成立，求正实数m 的取值范围．.的。
高二数学下学期第四次质量检测期末考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY 吴起高级二零二零—二零二壹高二数学下学期第四次质量检测〔期末考试〕试题理〔含解析〕第I 卷〔选择题一共60分〕一、单项选择题〔此题一共60分，每一小题5分，每个小题只有一个正确选项〕 1.设集合{}2|20A x xx =--≤，{}3|log 1B x x =≤，那么A B =〔〕A.[]1,2- B.(]0,1C.(]0,2D.[]1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A 、B ，然后结合集合交集的运算求A B 即可.【详解】解：解不等式220x x --≤，得12x -≤≤，即[]1,2A =-，解不等式3log 1x ≤，得03x <≤，即(]0,3B =，那么A B =(]0,2，应选：C.【点睛】此题考察了二次不等式及对数不等式的解法，重点考察了集合交集的运算，属根底题. 2.假设a 为实数，且()()12ai a i +-=，那么(a =)A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】解：∵a 为实数，且〔1+ai 〕〔a ﹣i 〕＝2a +〔a 2﹣1〕i ＝2， ∴2a ＝2且a 2﹣1=0，解得a ＝1． 应选C ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，是根底题．3.平面α，β，直线l 满足l α⊂，那么“//l β〞是“//αβ〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用定义法直接判断即可. 【详解】假设l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，假设lα⊂，//αβ，那么l 与β无公一共点，根据线面平行的定义，知//l β.所以“//l β〞是“//αβ〞的必要不充分条件. 应选：B.【点睛】此题考察充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法. 4.[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤〞的否认为〔〕 A.[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>B.[]1,3x ∀∉-，2320x x -+> C.[]1,3x ∀∈-，2320x x -+>D.[]01,3x ∃∉-，200320x x -+>【解析】 【分析】 【详解】[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤〞的否认为“[]01,3x ∃∈-，20320x x -+>〞． 应选A ． 【点睛】5.假设532m mA A =，那么m 的值是() A.5 B.3 C.6 D.7【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由532m m A A =，结合排列数公式可得m 〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2×m〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕，化简解可得答案． 【详解】根据题意，假设532m m A A =，那么有m 〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2×m〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕， 即〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2， 解可得：m=5 故答案为A【点睛】(1)此题主要考察排列数的计算，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)排列数公式：mnA =(1)(1)n n n m --+=()n n m -！！(n ，m ∈·N ，且m n ≤)．(1)(2)321!n n A n n n n =--⋅⋅⋅⋅⋅=(叫做n 的阶乘).6.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法一共有〔〕 A.36种 B.24种C.18种D.12种【答案】B 【解析】根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，一共有1222C A 4=种排法，其余3人排其它3个位置，一共有33A 6=种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4624⨯=种． 应选B ．点睛：此题考察的是排列组合问题.〔1〕解排列组合问题要遵循两个原那么：①按元素(或者位置)的性质进展分类；②按事情发生的过程进展分步．详细地说，解排列组合问题常以元素(或者位置)为主体，即先满足特殊元素(或者位置)，再考虑其他元素(或者位置)．〔2〕不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③局部均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．7.=⎰〔〕A.πB.2πC.0D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】定积分⎰的几何意义是圆221x y +=的14个圆的面积，计算可得结果.【详解】定积分0⎰的几何意义是圆221x y +=的14个圆的面积,∴101144=⨯=⎰ππ，应选D. 【点睛】此题考察定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属根底题8.以下求导数运算正确的有()A.()sin 'cos x x =-B.211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ C.31log '3ln x xD.()1ln 'x x=【答案】D 【解析】 【分析】分别计算各选项的导数，判断即可.【详解】因为()sin 'cos x x =，故A 错误；因为211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；因为31log 'ln 3x x ，故C 错误；D 正确. 应选：D.【点睛】此题考察根本初等函数的计算，需要熟记公式.9.函数()f x 在0x x =处的导数为()f x '，那么()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-=∆等于〔〕A.()0mf x 'B.()0mf x '-C.()01f x m'-D.()01f x m' 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求出．【详解】()()()()()0000000limlim x m x f x m x f x f x m x f x m mf x x m x∆→-∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆应选：B ．【点睛】此题主要考察导数的定义的应用，属于根底题．10.p ：函数22y x x =-的单调递增区间是[1,)+∞q ：函数1y x x=-的单调递增区间是[1,)+∞，那么〔〕 A.p q ∧p q ∨C.p ⌝q ⌝【答案】D 【解析】 【分析】p 为真，利用增+q【详解】p ：函数22y x x =-的对称轴为1x =，且开口向上，所以在[1,)+∞p 为真；q ：函数1y x x =-的定义域为{|0}x x ≠，且y x =和1y x=-为增函数，所以函数1y x x =-的增区间为(,0)-∞和(0,)+∞q 所以q ⌝ 应选D. 【点睛】.11.甲乙丙三位老师分别在、、的三所里教授语文、数学、英语，： ①甲不在工作，乙不在工作； ②在工作的老师不教英语学科； ③在工作的老师教语文学科；④乙不教数学学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是〔〕 A.，语文 B.，英语C.，数学D.，数学【答案】B 【解析】【分析】根据条件，进展合情推理，即可容易判断和选择.【详解】在工作的老师不教英语学科，故工作的老师教语文或者数学； 又在工作的老师教语文学科，故工作的老师教数学.综上，在的老师教数学，在工作的老师教语文，在工作的老师教英语； 又乙不教数学学科，故乙在或者工作；又甲不在工作，乙不在工作，故乙在工作，甲在工作，丙在工作. 综上所述：乙在教英语. 应选：B .【点睛】此题考察合情推理，注意认真审题即可，属简单题. 12.假设()fx lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公一共切线，那么a =〔〕A.1B.2C.3D.3或者1-【答案】D 【解析】 【分析】 先根据和曲线()ln f x x =相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数()ln f x x =处的切点设为〔x,y 〕,根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=，故切点为〔1，0〕，可求出切线方程为y=x-1,直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-,化简得到()2110xa x +-+=,只需要满足()21401 3.a a ∆=--=⇒=-或故答案为D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，那么说明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，那么P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.第II 卷〔非选择题一共90分)二、填空题〔此题一共20分，每一小题5分〕 13.2,10x R x ax ∃∈-+<a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】 所以240a =-≤，解得22a -≤≤.答案为：[]2,2-.14.假设(12)nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，那么该二项展开式的中间项为________． 【答案】3160x - 【解析】 【分析】先由奇数项的二项式系数之和为32确定n 值，从而根据二项展开式通项公式求出第4项即可. 【详解】解：(12)nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和为1232n -=，解得6n =，那么二项展开式一共7项，第4项为中间项，即()334636021x T C x =--=，故答案为:3160x -.【点睛】此题考察了二项式定理.此题的关键是结合条件求出n .求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.()2231x dx m -=⎰，那么()211mx x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是________.【答案】20- 【解析】 【分析】计算定积分得出m 的值，再利用二项式定理求出21mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 和4x 的系数，得出答案.【详解】()()223200316m x dx x x =-=-=⎰，∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为62361661rrrr r rT C xC xx，令363r -=得3r=，∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的系数为3620C =，令364r得103r =， ∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含4x 项， ()211mx x x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为12020.故答案：20-.【点睛】此题考察的是定积分和二项式定理的运用，此题中根据定积分求出m 的值是关键，此题应注意展开式中含有4x 的式子有两种情况，属于简单题. 16.①假设复数z 满足1R z∈，那么z R ∈； ②假设复数z 满足2z ∈R ，那么z R ∈； ③假设复数12,z z 满足12z z R ∈，那么12z z =；④假设复数z R ∈，那么z R ∈． ________________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】由复数的运算法那么，逐项判断即可.【详解】①设(),z a bi a b R =+∈，所以()()2211a bi a bi z a bi a bi a bi a b --===++-+，假设1R z∈，那么0b =，所以z a R =∈，所以①正确；②设(),za bi ab R =+∈，那么()2222z a b abi =-+，假设2z R ∈，那么0ab =，所以0a =或者0b =，因此(),z a bi a b R =+∈不一定为实数，所以②错误；③设()12,,,z a bi z c di a b c d R ，=+=+∈，那么()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，假设12z z R ∈，那么0ad bc +=；又2z c di =-，假设12z z =，那么a c =且b d =-，所以由0ad bc +=不一定能推出a c =且b d =-，因此③错误； ④设(),za bi ab R =+∈，那么z a bi =-，假设z R ∈，那么0b =，因此z R ∈，所以④正确.故答案为①④【点睛】此题主要考察复数的运算以及复数的概念，熟记概念和运算法那么即可，属于常考题型. 三、解答题(此题一共70分，17-21每一小题12分，22题10分) 17.集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+.〔1〕假设3m =，那么A B ；〔2〕假设A B B =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕{}|36x x -<≤；〔2〕[][)1,24,-+∞【解析】 【分析】〔1〕将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解. 〔2〕由A B B =可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围. 【详解】〔1〕假设3m =，那么{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，故{}|36A B x x =-<≤；〔2〕因为A B B =，故B A ⊆；假设213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；假设213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[][)1,24,-+∞.【点睛】此题考察了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于根底题.18.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. 〔I 〕求张同学至少取到1道乙类题的概率；〔II 〕所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否互相HY.用X 表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.【答案】〔I 〕56〔II 〕见解析【解析】 【分析】〔I〕从10道试题中取出3个的所有可能结果数有310C，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解〔II〕先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【详解】解：()I设事件A=“张同学至少取到1道乙类题〞那么A=张同学至少取到的全为甲类题P∴〔A〕363105 1()16CP AC=-=-=()II X的所有可能取值为0，1，2，3 X的分布列为【点睛】此题主要考察了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考察了运用概率知识解决实际问题的才能．19.如下列图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面1AEC F所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE====〔1〕求BF的长；〔2〕求点C到平面1AEC F的间隔.【答案】〔1〕〔2〕11【解析】【分析】以D 为坐标原点，分别以DA DC DF 、、为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系O xyz ， 〔1〕由1AEC F 为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得BF 的长度；〔2〕运用向量坐标运算计算点到平面的间隔．【详解】(1)建立如下列图的空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C 1(0，4，3)．设F(0，0，z)．∵AEC 1F 为平行四边形，∴由AEC 1F 为平行四边形，∴由=得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，∴z=2．∴F(0，0，2)．∴=(-2，-4，2，于是||=2，即BF 的长为2；(2)设为平面AEC 1F 的法向量，显然不垂直于平面ADF ，故可设=(x ，y ，1)．⇒，即，∴又=(0，0，3)，设与的夹角为a ，那么cosα==，∴C 到平面AEC 1F 的间隔为d=||cosα=3×=．【点睛】本小题主要考察空间中的线面关系、点到面的间隔等根本知识，同时考察空间想象才能和推理、运算才能．20.某高校一共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间是的情况，采用分层抽样的方法，搜集300位学生每周平均体育运动时间是的样本数据(单位：小时)． 〔1〕应搜集多少位女生的样本数据？〔2〕根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间是的频率分布直方图〔如下列图〕，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间是超过4小时的概率；〔3〕在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间是超过4小时，请完成每周平均体育运动时间是与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞．附：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++【答案】〔1〕90；〔2〕；〔3〕能在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞． 【解析】 【分析】〔1〕由分层抽样性质，得到45003009015000⨯=；〔2〕由频率分布直方图得()120.10.0250.75-+=；〔3〕利用2×2列联表求2K . 【详解】〔1〕由45003009015000⨯=，所以应搜集90位女生的样本数据；〔2〕由频率发布直方图得()120.10.0250.75-+=，该校学生每周平均体育运动时间是超过4小时的概率为；〔3〕由〔2〕知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间是超过4小时，75人平均体育运动时间是不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间是与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间是与性别列联表结合列联表可算得()22300456030165 4.762 3.8417522521090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞． 【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心〞，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 21.函数()()32f x ax x a R =+∈在43x =-处获得极值． ()1确定a 的值；()2假设()()x g x f x e =，讨论()g x 的单调性．【答案】〔1〕1.2a = 〔2〕()gx 在(),4-∞-和()1,0-内为减函数，在()4,1--和()0,+∞内为增函数．【解析】 〔1〕对()f x 求导得()232f x ax x '=+，因为()f x 在43x =-处获得极值，所以403f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'， 即1641683209333a a ⎛⎫⨯+⨯-=-= ⎪⎝⎭，解得12a =； 〔2〕由〔1〕得，()3212x gx x x e ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 故()232323115222222x x x g x x x e x x e x x x e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()()1142x x x x e =++， 令()0g x '=，解得0,1x x ==-或者4x =-，当4x <-时，()0g x '<，故()g x 为减函数，当41x -<<-时，()0g x '>，故()g x 为增函数， 当10x -<<时，()0g x '<，故()g x 为减函数，当0x>时，()0g x '>，故()g x 为增函数，综上所知：(),4-∞-和()1,0-是函数()g x 单调减区间，()4,1--和()0,+∞是函数()g x 的单调增区间.22.曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :{sin x C y θθ==，〔α为参数〕，经过伸缩变换3{2x xy y='='后得到曲线2C ．〔1〕求曲线2C 的参数方程；〔2〕假设点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的间隔的最小值．【答案】〔1〕3cos {2sin x y θθ==〔θ为参数〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕1cos :{sin x C y θθ==变换为2cos 3:{sin 2x C y θθ''==，即3cos {2sin x y θθ==〔θ为参数〕；〔2〕曲线C 化为直角坐标方程：2100y x +-=，利用点到直线的间隔公式，有3cos 4sin 1055d θθ+-==.试题解析：〔1〕将曲线〔α为参数〕，化为221x y +=，由伸缩变换3{2x x y y ='='化为13{12x x y y ='='， 代入圆的方程211132x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，得到()()222:194x y C +'='， 可得参数方程为3cos {2sin x y αα==；〔2〕曲线C 的极坐标方程2sin cos 10ρθρθ+=，化为直角坐标方程：2100y x +-=，点M 到C 的间隔()5sin 103cos 4sin 105555d θϕθθ--+-==≥= 点M 到C 的间隔的最小值为5考点：坐标系与参数方程．。
高二数学下学期期末考试试题 理含解析 试题 4
2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.i 是虚数单位，那么12ii-的虚部是〔 〕 A. -2 B. -1C. i -D. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12ii-的虚部是1-． 应选B ．【点睛】此题考察复数的运算和复数的根本概念，解答此题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对根本概念的理解和掌握，属于根底题．2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解〞的假设中，正确的选项是〔 〕A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【答案】C 【解析】分析：把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否认成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕至多有两个解〞的否认是：“至少有三个解〞， 应选：C ．点睛：此题主要考察用命题的否认，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，是解题的打破口，属于中档题．()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，那么'(2)f 的值是〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.【点睛】此题考察对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：那么哪位同学的试验结果表达A 、B 两变量有更强的线性相关性〔 〕A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，那么相关性越强。
高二数学下学期期末复习检测题4
绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学期末复习高二数学下学期期末复习检测题4（满分100分，45分钟完卷）制卷：王小凤 学生姓名一．选择题（本题共6个小题，每小题10分，共60分）1．（2012四川卷）7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．42B ．35C ．28D ．21 2．（2012四川卷）复数2(1)2i i-=（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i - 3．（2012四川卷）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）4．（2012四川卷）设a 、b 都是非零向量，下列条件中，使||||aba b =成立的充分条件是（ ） A ．a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．//a b 且||||a b =5．（2012山东卷）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A ．232 B ．252 C ．472 D ．4846．（2012全国卷）已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中 ，2A B =，1CC =E 为1C C 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2 B． CD ．1二、填空题：（本题共2小题，每小题5分，共10分）7．（2012四川）如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别是C D 、1C C 的中点，则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是____________8．（2012新课标）已知向量a 、b 夹角为45︒，且1a =，2a b -= 则b =_________三、解答题（本题共3个小题，每小题15分，共30分）9．（2012四川） 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p 。
浙江省金华市十校2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上.选择题部分（共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，且，则（ ）A.11B.-11C.D.3.已知是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（）A.B. C. D.5.函数的图象为（）A. B.C. D.122i,12i z z =+=-+12z z -()()1,2,3,a b x x ==-()2a a b ⊥+ x =112112-x 152x x +…2x …()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()ln cos x xf x x=6.已知随机变量，且，则（ ）A.0.4B.0.2C.0.8D.0.17.高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为，方差为，则（ ）A. B.C.D.8.已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.在正方体中，（ ）A.B.直线与所成角为C.平面D.直线与平面所成角为10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件，“第二次正面向上”为事件，“至少有一次正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）A.与相互独立B.与互斥C..D.11.在中，已知，则（ ）A.B.C.的外接圆直径为10D.的面积为非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()1,4X N ~()()0.20.1P X a P X ==……19a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭170cm 160cm ､X 2s 2165,165X s >>2165,165X s <>2165,165X s ><2165,165X s <<[)0,1x ∈()33xf x =-()f x R ()1f x +()2f x +()3log 300f (),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD CD π411A C ∥1AB C1BC 11BB D D π6A B C A B A B ()23P BC =∣()()()()P C P A P B P AB =+-ABC ()4cos 3sin 4sin 9,6B B C A AC ++-==A B >2AB BC=ABC ABC I212.已知集合，集合，则__________.13.若，则__________.14.在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.（本题满分15分）已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明：；{}1,2,3,4,5,6A ={14}B x x =∈-<<R∣A B ⋂=5250125(21)x a a x a x a x +=+++⋯+2a =A BCD -,AC AB BD AB ⊥⊥10,3AC BD AB ===A BCD -661π,409π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦A BCD -[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12a [)6,8P ABCD -ABCD PAD 2,AB E F =､AD BC ､EG PF ⊥G EG ⊥PBC 3cos 4PAB ∠=-PAB PCD ,,a b c ABC ,,A B C ()()sin 22cos sin A B a cA B Ab++-+=22b a ac -=（2）求的最小值.18.（本题满分17分）已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19.（本题满分17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.（1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；（2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，.（i ）求；（ii ）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望.cos aA b+()1eln x f x ax x x -=--2a =()f x ()()1,1M f ()f x []1,3()g a ()f x a (),X B n p ~()C (1)k k n kn P X k p p -==-n m m 12,,,m A A A 12,,,m p p p 120,1i m p p p p +++= …1A 2A 3A 4A 1234,,,p p p p n 123,,p p p 4p 0.15,0.70,0.10n i A ,1,2,3,4i X i ={}11223344,,,B X k X k X k X k =====()1,2,3,4i k i =1233k k k k n +++=()P B 22X k =1X金华十校2023-2024学年第二学期调研考试高二数学卷评分标准与参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案D D B C C A B C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.题号91011答案ACD ACD BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.4014.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）依题意可得，解得又，即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.（2）由频率分布直方图可知和三组的频率的比为所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为记中的3人为中的2人为中的2人为，从这6人中随机选出2人，则样本空间共15个样本点；设事件选出的2人都来自，则共3个样本点，所以.16.解：（1）如图，连接，在中，，在正方形中，，又因为平面，所以平面.又因为，所以平面，而平面，所以.因为平面，所以平面.{}1,2,3⎡⎤⎣⎦()0.020.050.10.1821a ++++⨯=0.15a =()30.0250.1870.1590.1110.052 6.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[)[)6,88,10､[]10,120.15:0.1:0.053:2:1=3,2,1,[)6,8[)123,,,8,10a a a []12,,10,12b b 1c {}121311121123212221313231121121Ω,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c =:A [)6,8{}121323,,A a a a a a a =()31155P A ==,PE EF PAD PE AD ⊥ABCD EF AD ⊥PE EF ⊂､,PEF PE EF E ⋂=AD ⊥PEF BC ∥AD BC ⊥PEF EG ⊂PEF EG BC ⊥BC PF ⊂､,PBC BC PF F ⋂=EG ⊥PBC（2）因为，所以，则，则如图以为原点，分别为轴，过且垂直为轴建系，则，则，设为平面的法向量，则，取，同理平面的法向量.所以，故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.解：（1）因为所以，即；（2）因为，又，所以，因此，于是，3cos 4PAB ∠=-PB ==PF ==cos PEF ∠==E ,EA EF ,x y E ABCD z ()()1,0,0,1,2,0A B ()()31,0,0,1,2,0,0,2G C P ⎛--- ⎝()30,2,0,1,,2AB PA ⎛== ⎝ ()1111,,n x y z = PAB 11110,230,y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩)12n =PCD )22n =-12341cos ,77n n -==-PAB PCD 17()()sin 22cos sin A B A B A+-+()()()sin 2cos sin sin sin sin A B A A B AB AA++-+==sin sin B b a cA a b+==22b a ac -=222cos 2b c a A bc+-=22b a ac -=cos 2c a A b +=2cos b A a c =+()2sin cos sin sin sin sin B A C A A B A =+=++即，故，因为，所以，即，所以，当且仅当时，“=”成立.故.18.解：（1）易知函数的定义域为.当时，.，所以在点处的切线斜率，又，即点坐标为，所以点处的切线方程为.（2）因为.所以，当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，故函数在区间上的最大值为.当时，令，则在上单调递增，且当时，，当时，，所以在上有唯一的一个零点.令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得()sin sin B A A -=2B A =ππ3C A B A =--=-π03A <<1cos 12A <<sin 1cos cos cos sin 2cos a A A A A b B A+=+=+…cos A =cos aA b+()f x ()0,∞+2a =()12eln ,0x f x x x x x -=-->()()111112e 2e 112e x x x f x x x x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'M ()()011112e 21k f ⎛⎫==+-⎝'= ⎪⎭()012e 101f =--=M ()1,1M ()21121y x x =-+=-()1e ln ,0xf x ax x x x -=-->()()11111ee 11e x x xf x a ax x a x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'0a …()0f x '<()0,∞+()f x ()0,∞+()f x []1,3()01e 101f a a =--=-0a >()11e,0x g x a x x-=->()g x ()0,∞+0x →()g x ∞→-x ∞→+()g x ∞→+()0g x =()0,∞+11e0x a x--=()000x x >-+单调递减单调递增所以函数在区间上的最大值为，由，有：当时，；当时，.故（3）由（2）可知，当时，在上单调递减，故此时函数至多有一个零点，不符合题意.当时，在时，单调递减，在时，单调递增；且，所以，①又时，，当时，为了满足有两个零点，则有.②对①两边取对数可得，③将①③代入②可得，解得.所以实数的取值范围为19.解：（1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则，（2）（i ），x()00,x ()0,x ∞+()f x '()f x ()f x []1,3()(){}max 1,3f f ()()211,33e 3ln3f a f a =-=--22ln303e 1a +<<-()()11g a f a ==-22ln33e 1a +-…()()233e 3ln3g a f a ==--()2222ln31,3e 12ln33e 3ln3,.3e 1a a g a a a +⎧-<⎪⎪-=⎨+⎪--⎪-⎩…0a …()f x ()0,∞+()f x 0a >()00,x ()f x ()0,x ∞+()f x 0101e0x a x --=0101e x a x -=0x →()f x ∞→+x ∞→+()f x ∞→+()f x ()010000e ln 0x f x ax x x -=--<00ln 1ln a x x =--()010000eln ln 0x f x ax x x a -=--=<1a <a 01a <<M ()12212413213C C C 40.1530.710.10.0882P M p p p ==⨯⨯⨯⨯⨯=(){}()11223344,,,P B PXk X k X k X k =====331122441121231234C C C C k k k k k k k k n n k n k k n k k k p p p p ------=⋅⋅⋅（ii ）若把事件作为一方，则作为另一方，那么随机变量分布列为，即服从二项分布列为，同理可知：.所以.所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即所以此时，随机变量的数学期望为()()()()()()312411212312341112212334!!!!!!!!!!0!!k k k k n k n k k n k k k n p p p p n k k n k k k n k k k k k ------=⋅⋅⋅⋅-⋅-----⋅331241241234123412341234!111!!!!!!!!!k k k k k k k k n n p p p p p p p p k k k k k k k k =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅1A 1234A A A A =++1X ()112341,P X k X X X n k =++=-1X ()()()1111111!1!!n kk n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()22222222!1!!n k k n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()1212112212121212!,1!!!n k k k k n P X k X k p p p p k k n k k --===⋅⋅--⋅⋅--()()()1122112222,P X k X k P X k X k P X k ======∣()()()()122122121222121222!!1/1!!!!!n k k n k k k k n n p p p p p p k k n k k k n k ---=⋅⋅--⋅-⋅--⋅-()()11221111222!1!!11k n k k n k p p k n k k p p ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅----⎝⎭⎝⎭22X k =1X 1122,1p X B n k p ⎛⎫~- ⎪-⎝⎭1X ()1221p n k p -⋅-。
福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)
试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。
湖北省武汉市江岸区2024年高二下学期7月期末质检数学试题(解析版)
2023~2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合03xA xx =< − ，集合(){}3log11B x x =−<，则A B ∪=（ ）A. {}03x x << B. {}13x x <<C. {}04x x <<D. {}14x x <<【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的求解方法求集合A ，再由对数函数的性质解不等式求得集合B ，结合并集的概念即可得答案.【详解】因为(){}{}3003A x x x x x =−<=<<，(){}{}{}3log1101314B x x x x x x =−<=<−<=<<， 因此，{}04A Bx x ∪=<<.故选：C.2. 设0,0a b >>，则“()lg 0a b +>”是“()lg 0ab >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将对数不等式进行等价变换，结合0a >，0b >，可判断a b +，ab 的取值范围，从而判断()lg a b +与()lg ab 的关系.【详解】因为lg (aa +bb )>0⇔lg (aa +bb )>lg1⇔aa +bb >1，又0,0a b >>， 所以aa +bb ≥2√aabb >1，当且仅当a b =时取等号，即14ab >， 又lg (aabb )>0⇔lg (aabb )>lg1⇔aabb >1， 所以14ab >不能推出1ab >，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的不充分条件；又aabb >1⇒aabb >14，所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要条件， 所以()lg 0a b +>是()lg 0ab >的必要不充分条件. 故选：B.3. 若随机变量(),0.4X B n ，且() 1.2D X =，则()4P X =的值为（ ）A. 420.4×B. 430.4×C. 420.6×D. 430.6×【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布求方差公式得到方程，求出5n =，从而得到()4P X =.【详解】由题意得()0.410.4 1.2n ×−=，解得5n =， ()()44454C 0.410.430.4P X ==⨯-=⨯.故选：B4. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1表2视力 性别 好 差 总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652表3智商 性别 偏高 正常 总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计 163652表4阅读量 性别 丰富 不丰富 总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计 163652A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量【答案】D 【解析】【分析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得： A.2252(6221014):0.00916363220A K×−×≈×××;2252(4201216): 1.76916363220B K×−×≈×××;2252(824812): 1.316363220C K×−×≈×××;2252(143062):23.4816363220D K×−×≈×××选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 5. 已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（ ） A. xy 的最小值为48 B. xy 的最小值为148 C. xy 最大值为48 D. xy 的最大值为148【答案】A 【解析】【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48， 当且仅当916yxx y=时取等，此时6,8x y ==，故A 正确. 故选：A6. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，135a =，则数列11nn a a ++ 的前n 项和n S =（ ）A.B.C.1D.1−【答案】A 【解析】【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列{}n a 通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.【详解】由题意可得2212n n a a +−=，则数列{}2n a 是以21a 为首项，2为公差的等差数列， 则()22121n a a n =+−，由135a =，故()22131213125a a =+−=，即11a =（负值舍去）， 故()212121n a n n =+−=−，故na =的的则11n n a a +=+12，故12nS =+++ 故选：A.7. 某医院要派2名男医生和4名女医生去A ，B ，C 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊.要求A ，B ，C 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去A 地，则不同的安排方案为（ ） A. 120种 B. 144种 C. 168种 D. 216种【答案】D 【解析】【分析】先求出2名男医生到3地的可能结果，再安排4名女医生，结合分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】设2名男医生分别为甲、乙， 若乙去A ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去B ，则甲可能去B 或C ，有2种结果； 若乙去C ，则甲可能去B 或C ，有2种结果， 共有6种结果；将4名女医生分配到A ，B ，C 三个地方，分为211三组，可能的结果有21342322C C A 36A =种， 所以满足题意的有636216×=种结果. 故选：D8. 已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a −+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（ ） A. e ,2−∞−B.1,2e −∞−C. e ,02−D. 1,02e−【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解. 【详解】()()()22222e e 21e −+−+−+′′=+−++=−+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =−++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =， 则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==−ax x x x ， 而2e 0xax−+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x ′<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x −∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =， 于是()f x 的最大值()22222e −+==x ax m f x x ，最小值()21111e −+=x ax nf x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e −−+++−++++===−a x x ax ax x x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a−∈−+∞，2141e ,e −∈+∞a ，则2141e,212e −∈−∞−− a ，所以mn 的取值范围是1,2e−∞−. 故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知变量x 和变量y 的一组成对样本数据(),i i x y （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的散点落在一条直线附近，11ni i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，相关系数为r ，线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，则（ ）参考公式：r =()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==−−=−∑∑.A. 当r 越大时，成对样本数据的线性相关程度越强B. 当0r >时，ˆ0b> C. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的相关系数r ′满足r r ′= D. 当1n x x +=，1n y y +=时，成对样本数据(),i i x y （1,2,,,1i n n =⋅⋅⋅+）的线性回归方程ˆˆˆydx c =+满足ˆˆdb = 【答案】BCD 【解析】【分析】根据线性相关、相关系数、线性回归方程等知识，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，当r 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A 错误；对于B ，当0r >时，成对样本数据正相关，相关系数r 与符号ˆb相同，则ˆ0b >，故B 正确； 对于C ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故相关系数r 的表达式中的分子和分母均不变，故C 正确；对于D ，当1n x x +=，1n y y +=时，将这组数据添加后，,x y 不变，故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变，所以ˆˆdb =，故D 正确； 综上所述，正确的有B 、C 、D. 故选：BCD.10. 已知(),,a b c a b c <<∈R ，且230a b c ++=，则（ ） A. 0<<a c B. ,a c ∃使得22250a c −= C. a c +可能大于0 D.212b c a c +<−+ 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，据已知条件变形即可证明；对于B ，根据已知得50a c +>，得05ac >−>，即可证明；对于C ，据已知条件变形即可证明；对于D ，将条件变形为()2a c b c +=−+，再利用0ca c<+即可证明结论.【详解】对于A ，由a b c <<及230a b c ++=， 得623230a a a a a b c =++<++=，所以a<0， 又023236a b c c c c c =++<++=，所以0c >，A 正确；对于B ，由a b c <<及230a b c ++=，得230a c c ++>，所以50a c +>，得05ac >−>， 所以2225a c >，得22250a c −<，B 错误； 对于C ，由abc <<及230a b c ++=，得33230a c a b c +<++=，所以0a c +<， C 错误.对于D ，由230a b c ++=，得()2a c b c +=−+，所以212b c b c c b c c ca c a c a c a c a c++++==+=−++++++. 因0a c +<，0c >，所以0ca c <+，所以212b c a c +<−+，D 正确. 故选：AD.11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x …从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=…−比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ≥，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（ ） A. 序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B. ()12n n n a −=为C. 1n b n =−D. 59c =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，由题意可判断A 中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B ；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C ；利用累加法求出通项公式即可判断D.【详解】对A ，序列{}2,7,1,8，比较{}2,7，无需交换位置，比较{}7,1，需要交换1次位置，得到新序列{}2,1,7,8，比较{}7,8，无需交换位置，最后比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,7,8，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A 错误；对B ，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，交换次数最多的序列为{},1,2,1n n − ， 将元素n 冒泡到最右侧，需交换次1n −次， 将元素n -1冒泡到最右侧，需交换次2n −次，，故共需要()()()()()1111122122n n n n n n −+−−−+−+++==，即最大交换次数()12n n n a −=，故正确；对C ，只要交换1次的序列是将{}1,2,3,n 中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有1n −个这样的序列，即1n b n =−，故C 正确；对D ，当n 个元素的序列顺序确定后，将元素n +1添加进原序列， 使得新序列（共n +1个元素）交换次数也是2， 则元素n +1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n +1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有n c 个）， 若元素n +1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个1n b n =−）， 若元素n +1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），因此，111n n n c c n c n ++−++，所以5432479c c c c =+=+=+，显然20c =， 所以59c =，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数()()ln ,ex xf x f x =′为()f x 的导函数，则()1f ′的值为______. 【答案】1e##1e − 【解析】【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】因为()211e ln ln e e x x x x x x x f x −−==′， 所以()11ln1111e ef− ′ ==.故答案为：1e. 13. ()62x x y −+的展开式中53x y 的系数为______.（用数字作答） 【答案】60− 【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】因为()25323··x y x x y =，而()62x x y −+表示6个因式相乘， 在6个因式中，有2个选2x ，1个x −，3个选y所以()62x x y −+的展开式中含有53x y 项为()()222133643C ?C ?C x x y −， 所以()62x x y −+中含有53x y 项的系数为()213643C ?C ?1?C 60−=−. 故答案为：60−.14. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣______. 【答案】13【解析】【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为11(),()34P A P B ==，故()()23,34P A P B ==，因为,AB AB 互斥，所以()0P ABAB =， 所以()()()B P P A AB AB B P A ++=()()()()P B P AB P A P AB =−+−()21234P AB =+− ()11721212P AB =−=， 解得()16P AB =，所以()()()()()()11146|134P AB P B P AB P AB P B P B −−====. 故答案为：13.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合402x M x x−=≥ −，非空集合{123}N x m x m =−<<−∣，（1）若3m =时，求M N ∩；（2）是否存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不恶在，请说朋理由.【答案】（1）{23}∣∩=<<M N xx （2）存在，72m >的【解析】【分析】（1）由分式不等式化简{24}M xx =<≤∣，即可由交集的定义求解， （2）将问题转化为M ⫋N ，即可列不等式求解. 【小问1详解】 集合40{24}2x M xx x x−=≥=<≤ −∣当3m =时，非空集合{23}N x x −<<∣ {23}M N x x ∴∩=<<∣【小问2详解】假设存在实数m ，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件，则R N ⫋R M ，即M ⫋N ，则�2mm −3>41−mm ≤2，解得72m >.故存在实数72m >，使得R x M ∈ 是R x N ∈ 的必要不充分条件. 16. 树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩()x 和物理成绩()y ，得到一些统计数据：484811115280,,6i i i i x y ===∑∑，其中,i i x y 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，1,2,,48,i y = 与x 的相关系数0.77r =. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩ξ服从正态分布()2,N µσ，用样本平均数y作为µ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间()63.05,95.9的人数Z 的数学期望.附：①回归方程ˆˆˆy abx =+中：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x ==−−==−−∑∑②相关系数r =③若()2,N ηµσ，则()()0.68,220.95P P µσηµσµσηµσ−≤≤+≈−≤≤+≈④48221110.9548i i y y =−=≈∑ 【答案】（1）0.4227.8ˆyx +（2）815 【解析】【分析】（1）根据题意，利用公式，求得ˆ0.42b=，得到ˆ27.8a =，即可得到回归方程； （2）根据题意，得到()74,120N η∼，求得(63.0595.9)0.815P η<<=，结合正态分布()74,120Z N ∼，得到()815E Z =，即可求解.【小问1详解】解：由题中数据可得，48481111110,744848i i i i x x y y =====∑∑，由480.77x x y y r−−，可得60.770.411ˆ2b =×=， 可得8ˆ741100.4227.a=−×=，所以回归方程为0.4227.8ˆy x +.【小问2详解】解：由()48482222111174,1204848i i i i y s y y y y ====−=−=∑∑，所以()74,120N η∼， 10.95≈，所以(63.0584.95)0.68,(52.195.9)0.95P P ηη<<=<<=， 所以0.680.95(63.0595.9)0.8152P η+<<==， 因为()1000,0.815ZB ∼，所以()10000.815815E Z =×=， 所以物理成绩位于区间()63.05,95.95的人数Z 的数学期望为815.17. 已知等差数列{}n a 的前n 项利为25,6,45n S a S ==，数列{}n b 的前n 项和为()1312nnT =−. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈ = =∈ ，求()*1222121n n n a c a c a c n −+++∈N . 【答案】（1）3n a n =，13n n b −=（2）1333n n +−− 【解析】【分析】（1）设出公差，由等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式，再利用11,1,2n nn S n b S S n −= = −≥ 求出{}n b 的通项公式；（2）变形得到()11222121333213nn n n n a c a c a c n −−+++=+⋅++− ，错位相减法求和，【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，由题设得11651045a d a d +=+= ，解得13,3a d ==，所以3n a n =， 当2n ≥时，11113,1n n n n b T T b T −−=−===，也符合上式，所以13n n b −=；【小问2详解】20,21,N ,2,N n n n k k c b n k k ∗∗ =−∈= =∈ ， ()1222121113090321n n n n n a c a c a c b b n b −−+++=+++++−()()113321n n b b n b −=+++− ()1333213n n n −+⋅++− ，记()1333213nn W n −+⋅++− ①，则()()121333233213n n W n n −−=+⋅++−+− ②，②-①得，()()()11613232323213212322313n n n n n W n n n −−−=+⋅++⋅−−=+−−=⋅−−− ，故1333n W n +−−，所以11222121333n n n n a c a c a c n +−+++=−−18. （1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为12，设移动n 次后质点位于位置n X .（i ）求随机变量4X 的概率分布列及()4E X ； （ii ）求()n E X ；（2）若轨道上只有0,1,2,n …这1n +个位置，质点向左或右移动一个单位的概率都为12，若在0处，则只能向右移动；现有一个质点从0出发，求它首次移动到n 的次数的期望.【答案】（1）（i ）分布列见解析，0；（ii ）0；（2）2n . 【解析】【分析】（1）由题意分析出随机变量4X 可能取值，根据独立重复试验概率公式计算相应的概率，从而得出分布列；质点向右移动的次数设为随机变量Y ，则Y 服从二项分布，则随机变量n X 可以用Y 表示，从而求得()n E X ；（2）根据题意先设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而得出101221+−=+=+−k k a a a k k a ，再由1(21)−=+∑n k k 求和，由0na=可得20a n =.【详解】（1）（i ）4X 可能取值为4,2,0,2,4−−，()44114216P X =−==， ()131441112C 224P X =−==，.()222441130C 228P X ===， ()313441112C 224P X ===，()44114216P X ===， 所以随机变量4X 的分布列为：()()()4113114202401648416E X ∴=×−+×−+×+×+×=； （ii ）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1,2Y B n∼， ()2n X Y n Y Y n =−−=−，所以()()12202n E X E Y n n n =−=××−=.（2）设首次从k 到n 的步数期望为k a ，则有()()11111122k k k a a a +−=+++，所以112k k k k a a a a +−−=−+，可得1012k k a a k a a +−=+−.又小球在0处，只能向前移动到1，则有011a a −=， 所以1200(21)n n k a a k n −=−=+=∑，又有0n a =，则20a n =.【点睛】关键点点睛：（1）关键是分析出该问题属于独立重复试验，分析求解即可；（2）关键是设首次从k 到n 的步数期望为k a ，从而构造出1012k k a a k a a +−=+−，分析出011a a −=且0n a =，即可求解. 19. 已知函数()1ex x f x +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明()0,x ∈+∞时，12e e ln x x x x f x x −− −≥⋅；（3）若对于任意的()0,x ∈+∞，关于x 的不等式22e 2ln x mx x x x −≥−−恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+ （2）证明见解析 （3）1,2−∞【解析】【分析】（1）求出导函数，再根据导函数正负求出单调区间即可;（2）证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.； （3）分类情况讨论转化恒成立问题求参. 【小问1详解】()()()2e 1e e ex x x x x x f x −+−==′， 当0x <时，()0f x ′>；当0x >时，()0f x ′<，()f x ∴的增区间为(),0∞−，减区间为[)0,∞+.【小问2详解】令1ln (0)t x x x =−−>，111x t x x−′=−=， 当01x <<时，0t ′<；当1x >0t ′>，∴当1x =时，min 00t t =∴≥即1ln 0x x −−≥，原不等式等价于2e 1e x tt f x − +≥⋅ ()2e x f t f x −⇔≥，()f x 为()0,∞+上的减函数，2e 0,0x t x−≥>，∴只需证明2e x t x−≤即2ln 2e 1ln e x x x x x x −−−−−≤=1e t t −⇐≤， 令()()()11e 01e t t g t t t g t −−=−≥=−′， 当01t ≤≤时，()0g t ′>，当1t >时，()0g t ′<，()()1min ()100e t g t g g t t −∴==∴≤∴≤∴原不等式成立.【小问3详解】当12m ≤时，由（2）知2e 1ln x x x x −≥−−又0x >，22e ln x x x x x −∴≥−−22ln mx x x x ≥−−，∴原不等式在()0,∞+上恒成立.当12m >时，令()()2ln 110x x x ϕϕ=−−=−< . ()422ln20ϕ=−>，()x ϕ∴在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x −=，020e x x −∴=， ()020*******e 12ln 122120x x ax x ax x a x x x −∴+−+=+−+−=−<，0220000e 2ln 0x ax x x x −∴−++<，而0220000e 2ln x ax x x x −<−−，综上所述实数m 的取值范围是1,2−∞.【点睛】方法点睛：证明不等式转化为等价条件，同构为一个函数再根据函数单调性证明.。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题+答案
金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a −=，则首项1a =（）A ．1−B ．0C ．1D ．32．已知曲线()ln 2f x ax x =+−在点()()1,1f 处的切线方程是2y x b =+，则b =（）A ．3−B ．2−C ．1D ．-13．在各项为正的等比数列{}n a 中，8a 与10a 的等比中项为2，则26212log log a a +=（ ）A ．4 B ．3C ．1D ．24．函数()()321303f x x x x x =−−≤的最大值是（ ）A ．53B ．0C ．2D ．35．已知双曲线2222:1x y C a b−=的一条渐近线与圆22:(25E x y −+=相交于,A B 两点，且8AB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 6．若函数()22e xf x ax =−在区间()2,1−−上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)2e,+∞B ．41,2e−+∞C ．21,e−∞−D ．21,0e−7．已知*211,,212nn n a b n n n∈==−+N ，数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前99项和为（ ） A ．12B ．99199C ．99197D ．1981998．在平面坐标系xOy 中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（ ） A ．120B ．135C ．210D ．225二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．{}n n a b +不可能为等比数列 B ．{}n n a b 可能为等差数列 C ．n S n是等差数列D ．2n n T是等比数列 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是C 上位于第一象限的动点，点M 为l 与x 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A ．F 到直线l 的距离为2B ．以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切C ．直线MP 斜率的最大值为2D ．若FM FP =，则FMP △的面积为211．已知函数()()e ,ln xf x xg x x x =−=−，则下列说法正确的是（ ） A ．()exg 在()0,+∞上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()12(2)f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln tx x −的最大值为1e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5若由表中数据得到经验回归直线方程为 0.80.6x y =+，则m =_________．13．已知函数()2e xf x ax =−，若()f x 的图象经过第一象限，则实数a 的取值范围是_________．14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =−，且256,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB ⊥平面,,PAC E F 分别为,BC PC 的中点，且22PA AC AB ===．（1）证明：PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，，过F 的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，AB =．（1）求C 的方程；（2）过F 的另一条直线交C 于,D E 两点，设直线AB 的斜率为()110k k ≠，直线DE 的斜率为2k ，若122k k =，求AB DE −的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()()()e 1,ln 1xf xg x x =−=+．（1）若()()f x kg x ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()111,0A x y x >为()y f x =图象上一点，()()222,0B x y x >为()y g x =−图象上一点，O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，证明：221x x >．金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检·高二数学参考答案、提示及评分细则题号 1 2 3 45 6 7 891011答案 C A D A D B B D BC ABD ABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3616a a +=，且534a a −=，所以36153271624a a a d a a d +=+= −== ，所以112a d ==．故选C ． 2．【答案】A【解析】函数()ln 2f x ax x =+−，求导得()1f x a x′=+，依题意，()112f a +′==，得()1,ln a f x x x ==+−2，显然()11f =−，因此12b −=+，所以3b =−．故选A ．3．【答案】D【解析】因为8a 与10a 的等比中项为2，所以281024a a ==，所以()()26212261228102log log log log log 42a a a a aa +=⋅=⋅==．故选D ．4．【答案】A 【解析】因为()()321303f x x x x x =−−≤，所以()223f x x x =−−′，令()0f x ′>，得1x <−，令()0f x ′<，得10x −<<，所以函数()f x 在(),1−∞−上单调递增，在()1,0−上单调递减，所以()f x 的最大值是()513f −=．故选A ． 5．【答案】D【解析】根据题意得，圆心E 到C 的渐近线的距离为3,=∴设渐近线方程为by x a=，则223,9,b e a =∴=，故选D ． 6．【答案】B【解析】依题意，()222e0xf x ax =−≤′在()2,1−−恒成立，即2e x a x ≥恒成立，设()2e xg x x=，则()()22e 21x x g x x′−=，所以()0g x ′≤，所以()g x 在()2,1−−单调递减，所以()4122e a g ≥−=−，故选B ． 7．【答案】B【解析】因为数列{}21n −是正奇数数列，对于数列{}22n n +等价于{}2(1)1n +−，当n 为奇数时，设()*21n k k =−∈N ，则22(1)141n k +−=−为奇数；当n 为偶数时，设()*2n k k =∈N ，则()22(1)1(21)141n k k k +−=+−=+为偶数，所以()()22111111,4141212122121nnc c n n n n n n====−−−−+−+，所以129911111111991123351971992199199c c c +++=×−+−++−=×−=，故选B ． 8．【答案】D【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，26C 15=，情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，3363C A 120=， 情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，2264C C 90=， 所以质点移动的方法总数为225，故选D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ，当{}n a 为常数列，且0n a =时，因为{}n b 是等比数列，所以{}n n a b +为等比数列，所以A 错误．对于B ，当{}n b 为常数列时，因为{}n a 为等差数列，所以{}n n a b 为等差数列，所以B 正确． 对于C ，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d +=+，得()112nn Sa d n +=+，因为1112n n S S d n n +−=+，所以数列n S n是等差数列，所以C 正确． 对于D ，设{}n b 的公比为q ，则1111112122222n n n n n n n n n nT T b b q T T +++++⋅，当1q ≠时，112n b q 不是常数，所以2n n T 不是等比数列，所以D 错误．故选BC ．10．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】易知()1,0F ，准线:1l x =−，所以F 到直线l 的距离为2，A 选项正确；由抛物线的定义，点P 到准线的距离等于PF ，所以以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确； 当直线MP 与抛物线相切时，MP 的斜率取得最大值．设直线:1MP x my =−，与抛物线24y x =联立可得：2440y my −+=，令2Δ16160m =−=得：1m =±，所以直线MP 斜率的最大值为1，C 选项错误；若2FM FP ==，设200,4y P y，则2124y +=，解得02y =，所以FMP △的面积为01222y ××=，D 选项正确，故选ABD ． 11．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A 项中，令e xt =，则ln x t =，由()0,x ∈+∞知1t >，此时函数为1ln ,10y t t y t′=−=−>，所以函数ln y t t =−在()1,+∞上是单调增函数，即()exg 在()0,+∞上是增函数，所以A 项正确；B 项中，1x >时，2ln 0x >，又a 为正实数，所以0ax >，又()e 10x f x =′−>，所以()f x 单调递增，所以不等式等价于2ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即max2ln x a x ≥，令()2ln x x x ϕ=，知()222ln x x x ϕ−′=，所以()x ϕ在()1,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以()()max 2()e ex ϕϕ==，所以B 项正确；C 项中，易知()e x f x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()min()01f x f ==，所以1t >，不妨设12x x <，则必有120x x <<，若12x x +> 0，则等价于210x x >−>，等价于()()21f x f x >−，等价于()()11f x f x >−，令()()()F x f x f x =−−，()()()(),0,e e 20x x x F x f x f x −′′′∈−∞=+−=+−>，即()F x 在(),0−∞上递增，所以()()00F x F <=，则()1,0x ∈−∞时，()()11f x f x <−，所以120x x +>不成立，即C 错误；D 项中，由()e xf x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，易知()()f x g x =有唯一的解()00,1x ∈，又()1e 12f =−<，所以211x x >>，由()()12f x g x =，即12ln 1222e ln e ln x x x x x x −=−=−，即有()()12ln f x f x =，所以12ln x x =，即12e x x =，所以1211ln ln ln e x t t tx x x t ==−−，又2t >，所以21min ln 1e t x x =− ，所以D 正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】易知3x =，经验回归直线 0.80.6x y =+过样本点的中心(),x y ，所以0.830.63y =×+=，所以524 4.3.515m ++++=×，解得3m =．13．【答案】e ,2+∞【解析】由()f x 的图象经过第一象限，得0x ∃>，使得()0f x >，即e 2xa x>，设()e (0)x g x x x =>，求导得()()2e 1x x g x x =′−，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()min ()1e g x g ==，有2e a >，所以实数a 的取值范围是e ,2+∞．14．【答案】49【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为1123C C 6=，取走2个黑球的方法数为23C 3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=×+×=++． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）213na n =−（2）36− 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =−+=−+=−+， 依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d −+=−+−+，整理得，()1120d d −=， 解得，2d =或0d =（舍）， 所以()1121213n a n n =−+−=−； （2）21112131222nn a a n S n n n n +−+−=×=×=−， 因为2212(6)3636n S n nn =−=−−≥−， 当且仅当6n =时，等号成立， 所以n S 的最小值为36−．16．【答案】（1）略（2【解析】（1）因为F 为PC 的中点，PA AC =，所以PC AF ⊥， 因为AB ⊥平面,PAC PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，又,,AF AB A AF AB =⊂ 平面ABF ； 所以PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，则,,AB AC AP 两两垂直，建立如图所示分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，()()()()10,0,0,,1,0,0,1,1,1,0,0,0,2,02A E F B C，()()()10,2,0,,1,0,0,1,1,1,0,02ACAE AF AB ====，设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z = ，则有0,0,AE n AF n ⋅=⋅=即111110,20,x y y z +=+=令11y =，则112,1x z =−=−， 所以平面AEF 的一个法向量为()2,1,1n =−−，易知AB ⊥平面,PAC ∴平面PAC 的法向量为()1,0,0AB =，设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cos AB n AB nθ⋅==⋅， 所以平面AEF 与平面PAC． 17．【答案】（1）14 （2）98【解析】（1）记事件A =“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A =××=，所 以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14； （2）X 的所有可能取值分别为0，1，2， 则()111102228P X ==××=， ()11121224P X ==××=()11511488P X ==−−=X 的分布列为所以X 的期望为()151********E X =×+×+×=． 18．【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设焦距为2c ，当AB OF ⊥时，将x c =代入椭圆方程可得，22221c y a b +=，解得2b y a =±， 所以22b AB a==c a =，解得1a b ，所以C 的方程为2212x y +=；（2）设直线()()11112211:1,,,,AB x m y m A x y B x y k=+=， 与椭圆线方程联立1221220x m y x y =+ +−=可得，()22112210m y m y++−=， 由韦达定理，11212221121,22m y y y y m m −−+==++，所以2AB y =−=21112m − +，同理可得，22112CD m =− +，2212AB DE m −=−+，因为122k k =，所以212m m =，故21142AB DE m −=−=+1≤， 当且仅当11k =±时，等号成立，所以||AB DE −的最大值为． 19．【答案】（1）1k ≤（2）略【解析】（1）先证明()f x x >，构造函数()()e 1x F x f x x x =−=−−， 则()e 10xF x =′−>，故()F x 单调递增，从而()()00F x F >=， 即e 1xx >+，因此()ln 1x x >+， 当1k ≤时，()()ln 1ln 1e 1xk x x x +≤+<−，符合题意； 当1k >时，构造函数()()()()e 1ln 1x G x f x kg x k x −−−+， 则()()e ,1x k G x G x x ′=−+′单调递增，且()()010,ln 01ln k G k G k k k =′′−<=−>+， 故存在()00,ln x k ∈，使得()00G x ′=，且()00,x x ∈时，()0G x ′<，即()G x 单调递减， 则当()00,x x ∈时，()()00G x G <=，与题意矛盾． 综上所述，1k ≤；（2）依题意可知，cos 0AOB ∠>，则0OA OB ⋅> ，即12120x x y y +>，即()()1122e 1ln 1x x x x >−+． 因为12,0x x >，则不等式为()1212ln 1e 1x x x x +>−， 设11e 1x x =′−，则不等式为()()22ln 1ln 11x x x x +++′>′， 设()()ln 1x h x x+=，则()()2ln 11x x x h x x −+′+=， 设()()ln 11x H x x x =−++，则()22110(1)1(1)x H x x x x ′−=−=<+++， 因此()()00H x H <=，即()0h x ′<，即()h x 单调递减，因此()()12h x h x ′>，可得12x x ′<，即12e 1xx <+． 首先证明：2e 1(0)x x x >+>， 设()2e 1x t x x =−−，则()e 2x t x x =′−， 由（1）可知1e 1,e x x x x −>+∴>，从而e e 2x x x >>，故()()0,t x t x ′>单调递增， 因此()()00t x t >=，从而2e 1x x >+， 因而12211e 1x x x +>>+，故221xx >．。
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷4
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷高二第二学期期末质量检查第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜．．．．．寻任务的小孩．．．．．．须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．．．．．．．．．．．。
则不同的搜寻方案有（ ） A ．40种 B ．70种 C ．80种 D ．100种2.使得()*1N n x x x n∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中含有常数项的最小的n 是（ ） A.4 B.5 C.6 D.73.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E(X)=（ ）A.125126B. 56C. 125168D. 574.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为（ ）A.73B.35C.53 D ．755.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈，i 为虚数单位，则m ni +=（ ） A. 2i - B.12i + C. 2i + D.12i - 6.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p7.在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若=， =，=，则下列向量中与相等的向量是（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 9.曲线xe y =：在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 直线l ，y 轴围成的图形面积为（ ） A ．312e -B ．12e +C ．2e D ．12e -10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点，记直线AC,BC 的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为A ．2B ．3C 12.+D . 211.已知函数()()e ,0,42,0.xax x f x a x a x ⎧+⎪=⎨-+>⎪⎩若对于任意两个不等实数12,x x ，都有()()12121f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)0,4B.[)1,3C.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．110 B ．220C ．330 D ．440第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.如图，在直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形（阴影部分）绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积211300πππd 21212x V x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线3y x =（ ）0x 与直线8y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =．14.计算12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式： 0122n nn n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法， 计算12223223nn n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________. 15.对于函数f （x ）给出定义：设f ′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f ″（x ）是函数f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=．16.如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a ，BC=b ，CD=c ，yxOy=x2x=1则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）17.（12分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18.（12分）,两种车型的出租情况，他随机抽取为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上A B了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：Ａ型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数14 20 20 16 15 10 5（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．19.（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．20.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，，4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 21.（12分） 已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f （x ）在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数p的取值范围．22.（10分）选修4-4极坐标与参数方程 已知直线l ：（其中t 为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点F 的直角坐标； （2）已知点P （1，0），若直线l 与C 相交于A ，B 两点，且=2，求△FAB 的面积 答题卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)
南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。
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2009—2010学年度下学期高二数学理期末测试[新课标版]本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数13)31(2-+i i 的值是 （ ）A ．2B ．21C ．21-D ．2- 2．)('0x f =0是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．)22,22(-B ．(,)-22C ．(,)-11D ．(,)-334．已知(pxx -22)的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．45．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a ．2)3(2-a ． 2)3(3-a ．2)3(4-a ．2)3(5-a ．2)3(6-a 的方差是（ ）A ．0B ．3C ．6D ．12 6．今天为星期四，则今天后的第20062天是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期四D ．星期日 7．函数22()()x a y x a b+=++的图象如右图所示，则 （ D ） A ．(0,1),(0,1)a b ∈∈B ．(0,1),(1,)a b ∈∈+∞C ．(1,0),(1,)a b ∈-∈+∞D ．(1,0),(0,1)a b ∈-∈8．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ） A ．10 B ．48 C ．60 D ．80 9．设随机变量~(0,1)N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于 （ ）A ．2(1)1Φ-B ．2(1)1Φ--C ．(1)(1)2Φ+Φ-D ．(1)(1)Φ+Φ-10．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有 （ ） A ．48 B ．24 C ．60 D ．120 11． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有 放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为（ ）A ．729224B ．72928C ．238735D ．7528 12．有A ．B ．C ．D ．E ．F6个集装箱，准备用甲．乙．丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 （ ） A ．168 B ．84 C ．56 D ．42第Ⅱ卷（非选择题满分90）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13． (2x+x )4的展开式中x 3的系数是14．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．15．从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________.16．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是 （0，4），则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是_________________.三、解答题17．（12分）求证：（1）223)a b ab a b ++≥+； （2）6+7>22+5.18．（12分）已知(41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项；（2）系数最大的项． 19．（本小题满分12分） 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望.20．（12分）已知函数3()3f x x x =-（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程21．（12分）函数数列{})(x f n 满足：)0(1)(21>+=x xx x f ，)]([)(11x f f x f n n =+（1）求)(),(32x f x f ；（2）猜想)(x f n 的表达式，并证明你的结论.22．（14分）已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++．（I ）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围； （II ）若(1)0f '-=，（ⅰ） 求函数()f x 的单调区间；（ⅱ） 证明对任意的12,(1,0)x x ∈-，不等式125()()16f x f x -<恒成立参考答案一、选择题 ABDCD A D DAC BD 二、填空题13．24 14．32 15．)321()1()1(16941121n n n n ++++-=⋅-++-+-++ 16．1280x y +-= 三、解答题17．证明：（1） ∵222a b ab +≥,23a +≥,23b +≥ ;将此三式相加得:222(3)2a b ab ++≥++,∴223)a b ab a b ++≥+.（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，即证402422>.∵上式显然成立, ∴原不等式成立.18．解：（1）由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r r rrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为 （2）系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C xx -==19．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得（I ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24∴事件A 的概率为0.24（II ）依题意知ξ=0.2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E ξ=0×0.24+2×0.76=1.5220．解：（1）'()3(1)(1)f x x x =+-当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，[1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间 又39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，∴当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x =（2）设切点为3(,3)Q x x x - ，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=-- 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=-- ，解得0x = 或3x =所以切线方程为30x y +=或24540x y --= 21．解：（1）221111221)(1)())(()(x x x f x f x f f x f +=+==222221331)(1)())(()(xx x f x f x f f x f +=+==（2）猜想：)(1)(2*∈+=N n nx x x f n下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，211)(xx x f +=，已知，显然成立②假设当)(*∈=N K K n 时 ，猜想成立，即21)(kxx x f k +=则当1+=K n 时，2222211)1(1)1(11)(1)())(()(xk x kx x kx xx f x f x f f x f k k k k ++=+++=+==+即对1+=K n 时，猜想也成立. 由①②可得)(1)(2*∈+=N n nx x x f n 成立22．解: 解：(Ⅰ) ∵3233()22f x x ax x a =+++，∴23()322f x x ax '=++．∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． ∴2344302a D =-⨯⨯≥，…………………4分 ∴292a ≥．因此，所求实数a 的取值范围是(,)-∞+∞ ． (Ⅱ) (ⅰ)∵(1)0f '-=，∴33202a -+=，即94a =． ∴231()323()(1)22f x x ax x x '=++=++． 由()0f x '>，得1x <-或12x >-； 由()0f x '<，得112x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2-+∞；单调减区间为1[1,]2--．(ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，()f x 在1[1,]2--上的最大值为25(1)8f -=，最小值为149()216f -=；()f x 在1[,0]2-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=．∴()f x 在[1,0]-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=． 因此，任意的12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495()()81616f x f x -<-=．。