10、排列、组合与概率
10.人教版 高中数学 第十章 排列、组合和概率 知识网络图及导读分析
第十章排列、组合和概率编写：王建宏【网络图】【网络导读】1、排列组合应用题。
采用的方法有直接计算法与间接计算法（又叫排除法，即用所有可能的种数，减去不符全的种数），分类法（相加）与分步法（相乘），元素分析法与位置分析法（先满足特殊元素或特殊位置的要求），捆绑法（元素必须相邻时可先将相邻元素看作是一个整体）和插空法（元素不相邻时可以制造空档插进去）。
2、求二项式展开式中某一项、某一项的系数、某些项的系数和、含字母项中该字母的值等。
要熟悉通项公式，灵活运用。
3、二项式的应用，如近似计算，整除性问题、组合恒等式证明等。
4、等可能事件的概率计算。
必须判定是等可能性试验，弄清楚基本事件、基本事件总数、所求事件包含的基本事件个数。
5、和事件、积事件的概率计算。
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，如“对立事件”与“互斥事件”，“互斥”与“相互独立”等。
概率的运算公式常附加条件，对“是否互斥或对立？”、“是否为相互独立事件？”等在具体问题中一定要鉴别清楚。
概率的综合问题更应注意各种情况的前提条件；n 次独立重复试验中某事件上发生k次的概率的计算公式体现了概率的加乘运算、组合知识、二项式定理的综合运用；还要弄清关键词语，如“恰有”、“至少”、“都”、“或”等。
6、会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本方差。
【易错指导】易错点1：对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错.不能正确分析几种常见的排列问题,不能恰当地选择排列的方法导致出错.易错点2：二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致出错.二项式展开式的通项公式为1r n r rr n T C a b -+=,事件A 发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-.二项分布列的概率公式k k n k k n p C P q -=,(1,2,3,,k n =⋅⋅⋅)且01,1p p q <<+=,三者在形式上相似,在应用时容易混淆而导致出错.易错点3：对概率事件分析理解不到位.导致概率求解出现偏差. 例题1右图中有一个信号源和五个接收器。
组合数学：排列、组合与概率
组合数学是数学中一门重要的学科，它研究的是“选择”的问题，这种选择可以是排列、组合或者概率中的各种情况。
在组合数学中，排列、组合与概率是三个关键的概念。
首先，我们来看排列。
排列是指从一组元素中，按照一定的顺序选择几个元素进行排列。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行排列，那么可能的排列方式就是AB、AC、BA、BC、CA、CB。
排列的数量可以通过阶乘来计算，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1，其中n表示元素的数量。
接着，我们来看组合。
组合是指从一组元素中，不考虑顺序选择几个元素进行组合。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行组合，那么可能的组合方式就是AB、AC、BC。
组合的数量可以通过公式 C(n,r) = n! /(r! * (n-r)!) 进行计算，其中n表示元素的数量，r表示选择的元素个数。
最后，我们来看概率。
概率是指某个事件发生的可能性的大小，它是一个介于0和1之间的实数。
概率可以通过排列和组合的方法来计算。
例如，有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，如果我们想计算摸到黑桃牌的概率，那么可以用排列的方法计算。
黑桃牌的数量为13张，总牌数为52张，所以摸到黑桃牌的概率为 P = 13/52 = 1/4。
又如，有4个红色球和6个蓝色球，从中抽取两个球，如果我们想计算摸到一个红色球和一个蓝色球的概率，那么可以用组合的方法计算。
红色球的数量为4个，蓝色球的数量为6个，总球数为10个，所以摸到一个红色球和一个蓝色球的概率为 P = C(4,1) * C(6,1) / C(10,2) =24/45。
综上所述，组合数学是一门研究“选择”的数学学科，其中排列、组合与概率是三个重要的概念。
通过排列和组合的方法，可以计算出各种“选择”的可能性。
而概率则用来计算某个事件发生的可能性大小。
组合数学在实际应用中有着广泛的应用，例如在概率统计、密码学、图论等领域。
计数综合知识点总结
计数综合知识点总结一、基本概念1.1 整数的计数整数的计数是计数综合的基础，它涉及到了对一定范围内的整数进行统计和计数。
在整数的计数中，通常需要掌握一些计数的基本规则和方法，如加法原理、乘法原理、排列、组合等。
这些基本规则和方法在解决实际问题时发挥着重要作用，可以帮助我们快速有效地进行计数和统计。
1.2 排列和组合排列和组合是计数综合中常用的概念和方法。
排列是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行排列，每个元素只能用一次，且考虑元素的先后顺序。
组合是指从若干个不同元素中取出一定数量的元素进行组合，不考虑元素的先后顺序。
在实际问题中，排列和组合经常被用来求解具体的计数问题，例如排队、选组、抽样等。
1.3 概率与计数概率与计数是紧密相关的，概率可以看作是一种特殊的计数问题。
在概率计算中，我们通常需要对一个事件发生的可能性进行估计和计算，而这种估计和计算通常涉及到了对事件的计数和统计。
因此，在概率计算中，我们经常需要运用排列、组合等计数方法来进行计算和推理。
1.4 数论与计数数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和规律。
在数论中，我们通常需要对整数的计数和排列进行研究和分析，例如素数分布、约数个数等。
因此，数论和计数综合有着密切的关系，通过对整数性质的研究，我们可以进一步深化对计数综合的理解和应用。
二、常用方法2.1 加法原理加法原理是计数综合中常用的基本规则之一，它用于求解特定情况下的计数问题。
加法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相加得到最终的计数结果。
例如，如果一个事件可以分解为两个相互独立的子事件，那么这两个子事件的计数结果之和就是该事件的计数结果。
加法原理在解决复杂的计数问题时发挥着重要作用，它能够帮助我们简化问题、降低求解难度。
2.2 乘法原理乘法原理是计数综合中另一个常用的基本规则，它也用于求解特定情况下的计数问题。
乘法原理的核心思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，然后将它们的计数结果相乘得到最终的计数结果。
排列组合概率题解题技巧
排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低4.例题2：通过选项思考暴力的可能性5.例题3：极为简单，一半做错的题6.例题4：分不同情况考虑安排方案7.例题5：分不同情况考虑安排方案8.例题6：理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。
总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。
(1)排列公式A(总个数，选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。
例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：A(5，3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数，选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。
例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为：C(5，3)=C(5，2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是：C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。
注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式;再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。
新高考数学 第10章 第2讲 排列与组合
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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知识点二 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不__同____元素中取出m(m≤n)个元素 __作__为__一__组____，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2) 组 合 数 的 定 义 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 __所__有__不__同__组__合____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号___C_mn___表示．
项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6×A33＝36
种，故选 D．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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4．(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中 任取2个数字，一共可以组成_1_2_6_0_____个没有重复数字的四位数．(用数 字作答)
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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[解析] (1)C24C24A22＝72.或 C24·A244＝72. (2)根据题意，将两名家长、孩子全排列，有 A44＝24 种排法，其中两 个孩子相邻且在两端的情况有 A22A22A22＝8 种，则每个小孩子要有家长相 邻陪坐的排法有 24－8＝16 种，故答案为：16.
注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Amn 、Cmn 中的
隐含条件 m≤n，且 m，n∈N*.
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对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的 排列数或组合数．
排列组合、概率问题)
（排列组合、概率问题）一．基本原理1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。
四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法：②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
第十章排列组合和概率(第26课)相互独立事件同时发生的概率(4)
课 题： l0．7相互独立事件同时发生的概率 (四) 教学目的： 1巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；2．能应用相互独立事件的概率的乘法公式和n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式解决一些应用问题教学重点：事件的概率的简单综合应用教学难点：事件的概率的综合应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n =8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅事件12,,,n A A A 相互独立， 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 15 独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验16．独立重复试验的概率公式：k n k k n n P P C k P --=)1()(二、讲解范例：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？ 解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+ 991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”， 记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n<，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 三、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行试验直至第n 次才取得(0)r r n ≤≤次成功的概率为（ ）A.(1)r r n r n C p p --B. 11(1)r r n r n C p p ----C. (1)r n r p p --D. 111(1)r r n r n C p p ----- 2．在数学选择题给出的4个答案中，恰有1个是正确的，某同学在做3道数学选择题时，随意地选定其中的正确答案，那么3道题都答对的概率是（ ） A.18 B.314 C.164 D.12 3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ） A.[)0.4,1 B.(]0,0.4 C.(]0,0.6 D.[)0.6,14．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在3次测量中，恰好出现2次正误差的概率是 ；恰好出现2次负误差的概率是 ．5．有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9（cm ），从中任取三条，它们能构成一个三角形的概率是 ．6．某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为90%，他在5天乘车中，此班次公共汽车恰好有4天准时到站的概率是 ．7．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在一个季度里停机维修率为14．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电．计算： ⑴该城市在一个季度里停电的概率；⑵该城市在一个季度里缺电的概率．8．将一枚均匀硬币抛掷5次．⑴求第一次、第四次出现正面，而另外三次都出现反面的概率；⑵求两次出现正面，三次出现反面的概率9．某公司聘请6名信息员，假定每个信息员提供的正确信息的概率均为0.6，并按超过一半信息员提供的信息作为正确的决策，求公司能作出正确决策的概率10.（1）从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰好2件次品的概率为 ．（2）设3次独立重复试验中，事件A 发生的概率相等若A 至少发生一次的概率为1927，则事件A 发生的概率为 ． （3）将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现1k +次正面的概率，那么k 的值为 ．（4）在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围为答案：1. B 2. C 3. A 4. 223113228C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ，38 5. 0.3 6. 0.32805 7.⑴()5511541024P ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ⑵()()()55513345512P P P ++= 8. ⑴2311112232P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑵23225112216P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9. ()()()6664560.54432P P P ++=10.⑴22240.05(10.05)C ⨯⨯-⑵13⑶2 ⑷0.41p ≤< 四、小结 ：（1）求事件和的概率的方法是首先判断事件和中的每个事件之间是否两两互斥，如果互斥，求出每个事件的概率，最后利用互斥事件有一个发生的概率公式即可如果不互斥必须通过其他途径变形求解（2）求事件积的概率的方法是首先判断积中的每个事件之间是否相互独立，如果它们是相互独立事件，求出每个事件的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率公式即可，特别是独立重复试验恰好发生k 次的概率可用k n k k n k P P C k P --=)1()(求解如果不是相互独立事件，则将它们转化为相互独立事件的积与互斥事件的和的混合形式求解五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
排列组合与概率
第十三章 排列组合与概率一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 排列、组合
3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有_1_6__种.(用数字填写答案)
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C12C24 种，有 2 位女生参加有 C22C14种. 故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种). 方法二 间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有 女生参加的情况有 C34种， 故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种).
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 排列问题
自主演练
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数，共有
A.96个
√B.78个
C.72个
D.64个
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大， 则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个， 当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44 ＝24(个)； 当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3， 则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)， 因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
表示
微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何 选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CnmAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
思维升华
排列组合相关的概率
排列组合相关的概率
在概率理论中，排列和组合都与计算事件发生的可能性有关。
排列是指从一组元素中选取一部分元素进行排列的方式。
排列考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以表示为P(n, r)。
P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于n的正整数连乘。
排列的顺序对结果产生影响。
组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合的方式。
组合不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以表示为C(n, r)。
C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
下面是一些排列组合相关的例子：
1. 排列的例子：
- 有5个人参加比赛，选取其中3个人获得前三名的排名情况，共有P(5, 3) = 60种可能性。
2. 组合的例子：
- 有10个苹果，从中选取其中4个苹果放入篮子，共有C(10, 4) = 210种组合方式。
在实际的概率计算中，排列和组合常常用于确定事件发生的可能性，从而帮助我们预测和分析各种情况的概率。
高中数学中的排列与组合问题
高中数学中的排列与组合问题在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和方法。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，涉及到很多领域，如概率、统计、数论等。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质和应用，帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、排列问题排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方法。
在数学中，排列的符号通常用P表示。
对于n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列，可以得到的排列数目记为P(n, r)。
对于排列，有以下几个基本概念和性质：1. 阶乘：n的阶乘表示为n!，定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，4的阶乘为4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24。
2. 全排列：对于n个元素，全排列是指所有可能的排列情况。
全排列的总数为n!。
3. 有重复元素的排列：当n个元素中包含重复元素时，排列数目会受到影响。
在这种情况下，排列数目可以通过除以重复元素的阶乘来计算。
4. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列，其中首尾元素是连续的。
对于n个元素的循环排列，有(n-1)!种可能。
排列问题的应用非常广泛，特别是在概率和统计中。
例如，当需要计算可能的组合数目时，就需要使用排列的概念和方法。
排列还可以帮助解决问题，如求解问题的总数、计算概率等。
二、组合问题组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其排列顺序的方法。
在数学中，组合的符号通常用C表示。
对于n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合，可以得到的组合数目记为C(n, r)。
对于组合，有以下几个基本概念和性质：1. 组合数的性质：对于组合数C(n, r)，有以下的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)；- C(n, r) = C(n-1, r) + C(n-1, r-1)；- C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形是一种用于计算组合数的图形。
在杨辉三角形中，每个数等于它上方两个数的和。
高中数学排列组合与概率结合解题技巧
高中数学排列组合与概率结合解题技巧在高中数学中，排列组合和概率是两个重要且常见的概念。
它们在解题过程中经常结合使用，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些排列组合与概率结合解题的技巧，并通过具体题目进行说明和分析，以帮助高中学生提高解题能力。
一、排列组合与概率的基本概念回顾在开始讨论解题技巧之前，我们先回顾一下排列组合与概率的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，排列的顺序很重要。
当从n个元素中选取r个进行排列时，排列数用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，组合的顺序不重要。
当从n个元素中选取r个进行组合时，组合数用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)概率是指某一事件发生的可能性。
概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能性次数。
二、排列组合与概率结合解题技巧1. 使用排列组合计算总的可能性次数在解决概率问题时，有时我们需要计算总的可能性次数。
这时，我们可以利用排列组合的知识来计算。
例如，有5个红球和3个蓝球，从中任选3个球，求选出的3个球中至少有一个红球的概率。
解答：我们可以利用排列组合的知识来计算选出的3个球中至少有一个红球的总的可能性次数。
首先，我们可以计算选出3个球中没有红球的情况，即选出的3个球都是蓝球的情况。
根据组合的计算公式，C(3,3) = 1，表示选出3个球中都是蓝球的情况只有1种可能。
接下来，我们可以计算选出3个球中只有1个红球的情况，即选出的3个球中有2个蓝球和1个红球的情况。
根据排列的计算公式，P(5,1) = 5，表示选出1个红球的可能性有5种，而P(3,2) = 3，表示选出2个蓝球的可能性有3种。
因此，选出3个球中只有1个红球的情况共有5 * 3 = 15种可能。
最后，我们可以计算选出3个球中有2个红球的情况，即选出的3个球中有1个蓝球和2个红球的情况。
数学中的组合、排列与概率问题
密码学中的很多加密算法也与组合数学密切相关。例如，RSA算法中的素数选择、AES算 法中的S盒设计等，都涉及到组合数学的知识。这些算法通过运用组合数学的原理，提高 了加密算法的安全性和效率。
CHAPTER 03
概率论基础
概率的定义与性质
随机试验与样本空间
概率论研究随机现象，通过随机试验来描述。样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
CHAPTER 05ห้องสมุดไป่ตู้
组合、排列与概率的综合问 题
基础综合问题解析
基础概念辨析
首先，要明确组合、排列的定义及其区别，理解概率的基本概念与 计算方法。
公式与定理应用
掌握组合数公式、排列数公式，以及加法原理、乘法原理等基本原 理，能熟练运用这些公式和原理解决基础问题。
典型例题解析
通过解析典型例题，如抽签问题、分房问题等，进一步加深对组合 、排列与概率基础知识的理解。
几何概型
试验的样本空间是某个几何区域，事件对应为区域中的子区域。通过计算子区域的几何度量（如面积 、体积）与全区域的几何度量之比，得到事件的概率。
条件概率与独立性
条件概率
在已知某事件发生的条件下 ，另一事件发生的概率。通 过条件概率，可以研究事件
之间的相互依赖关系。
独立性
若两事件的发生概率等于各 自发生概率的乘积，则称这 两事件独立。独立事件互不 影响，一个事件的发生不会
在经济学中，期望效用理论是描述个体在面对不 确定性时如何做决策的重要理论，其基础就是概 率论。
风险度量
概率论提供了度量风险的方法，如方差、标准差 等，这些方法在经济学中被广泛应用。
3
计量经济学
计量经济学是经济学的一个分支，它用统计方法 对经济数据进行处理和分析，概率论是其不可或 缺的理论基础。
高中数学中的排列组合公式与概率计算
高中数学中的排列组合公式与概率计算在高中数学中，排列组合公式和概率计算是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。
本文将介绍排列组合公式和概率计算的基本概念和原理，并且通过一些例子来说明它们的具体应用。
首先，我们来看排列组合公式。
排列组合是数学中研究对象的不同组合方式的一种方法。
在排列中，我们关注的是对象的顺序，而在组合中，我们只关注对象的选择。
在高中数学中，我们常常会遇到排列和组合的问题，比如从一组数字中选择若干个数字进行排列或组合。
为了解决这类问题，我们需要掌握一些常用的排列组合公式。
首先，我们来看排列的公式。
排列的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行排列的方式数目。
排列的公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过排列的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行排列的方式数目。
接下来，我们来看组合的公式。
组合的公式可以用来计算从n个不同的对象中选择r个对象进行组合的方式数目。
组合的公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)。
通过组合的公式，我们可以计算出从一组数字中选择若干个数字进行组合的方式数目。
排列组合公式在实际生活中有很多应用。
比如，在抽奖活动中，我们常常需要计算中奖的概率。
假设有10个人参加抽奖，其中只有1个人能中奖。
我们可以使用组合的公式来计算中奖的概率。
将中奖的可能性看作是从10个人中选择1个人进行组合，即C(10, 1) = 10! / (1! * (10-1)!) = 10。
所以，中奖的概率为1/10。
另一个应用是在密码学中的破解密码。
假设一个密码由4个数字组成，每个数字的取值范围是0-9。
我们可以使用排列的公式来计算破解密码的方式数目。
将破解密码的方式数目看作是从10个数字中选择4个数字进行排列，即P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040。
高中数学排列组合和概率人教版全部教案
高中数学排列组合和概率人教版教案（一）【教学目标】知识与技能：理解排列组合的基本概念，掌握排列数公式和组合数公式，能够应用排列组合知识解决实际问题。
过程与方法：通过探究排列组合问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
【教学重点】排列数公式和组合数公式的理解与应用。
【教学难点】排列组合问题的解决方法。
【教学过程】一、导入教师通过引入生活中的实际问题，如“如何安排一场比赛的活动顺序？”、“如何从若干个人中选取一部分人组成一个小组？”等，引导学生思考排列组合的问题。
二、新课导入1. 排列的概念：教师介绍排列的定义，即从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
2. 排列数公式：教师引导学生探究排列数公式的推导过程，得出排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$。
3. 组合的概念：教师介绍组合的定义，即从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但不考虑元素的顺序。
4. 组合数公式：教师引导学生探究组合数公式的推导过程，得出组合数公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$。
三、案例分析教师给出几个排列组合的案例，引导学生运用所学的排列组合知识解决问题。
四、课堂练习教师布置一些排列组合的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
【教学评价】通过课堂表现、练习题和课后作业等方式评价学生在排列组合知识方面的掌握情况。
高中数学排列组合和概率人教版教案（二）【教学目标】知识与技能：理解排列组合的实际应用，能够运用排列组合知识解决生活中的问题。
过程与方法：通过探究生活中的排列组合问题，培养学生的实践能力和解决问题的能力。
情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
【教学重点】排列组合在实际生活中的应用。
【教学难点】如何将实际问题转化为排列组合问题。
【教学过程】一、导入教师通过引入生活中的实际问题，如“如何安排一场比赛的活动顺序？”、“如何从若干个人中选取一部分人组成一个小组？”等，引导学生思考排列组合的问题。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
世界上最难解的数学题
世界上最难解的数学题一、代数部分。
1. 已知方程x^3-3x + 1 = 0，求方程的实根个数。
- 解析：令f(x)=x^3-3x + 1，对f(x)求导得f^′(x)=3x^2-3 = 3(x + 1)(x - 1)。
- 当x<-1时，f^′(x)>0，f(x)单调递增。
- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，f(x)单调递减。
- 当x>1时，f^′(x)>0，f(x)单调递增。
- f(-1)=(-1)^3-3×(-1)+1 = 3，f(1)=1^3-3×1 + 1=-1。
- 因为f(-1)>0，f(1)<0，且当xto±∞时，f(x)to±∞，所以函数f(x)有三个实根。
2. 求解不等式((x + 1)(x - 2))/((x - 3)(x+4))>0- 解析：利用穿根法。
- 令y=((x + 1)(x - 2))/((x - 3)(x+4))，则函数y = 0的根为x=-1，x = 2，x=3，x=-4。
- 将这些根在数轴上标记出来，按照穿根法的规则（奇穿偶回），得到不等式的解为x<-4或-1 < x < 2或x>3。
3. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
- 解析：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
- 设b_n=a_n+1，则b_1=a_1+1 = 2，且b_n+1=2b_n。
- 所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列。
- 根据等比数列通项公式b_n=b_1q^n - 1，可得b_n=2×2^n - 1=2^n。
- 所以a_n=b_n-1=2^n-1。
二、几何部分。
4. 在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC = 2，AB=BC = AC=√(3)，求三棱锥P - ABC的体积。
排列数和组合数的概念
排列数和组合数的概念排列组合的定义来源和讲解排列和组合是概率论与数理统计中的两个基本概念。
排列指的是从n个不同元素中取出k个元素，按照一定的顺序排列成一列的所有可能情况的个数，用符号A(n,k)表示。
组合指的是从n个不同元素中取出k个元素，不考虑元素的排列顺序，所有可能情况的个数，用符号C(n,k)表示。
对于排列，n个元素的全排列的个数是n!，即n! = 1×2×3×...×n。
n个元素取k个元素排列的个数是A(n,k) = n ×(n-1) × ... ×(n-k+1)。
对于组合，n个元素中取出k个元素组合的个数是C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)，其中k!表示k的阶乘，(n-k)!表示(n-k)的阶乘，n!表示n的阶乘。
排列组合的运用排列和组合是数学中常见的计数方式，应用十分广泛。
在概率论和统计学中，排列和组合常用于计算事件的概率和可能性，而在计算机科学中，排列和组合常用于算法设计和优化。
此外，在组合学、离散数学和图论等领域也有很多应用。
•c52排列组合的例题讲解•c52表示从5个不同的元素中取出2个元素的组合数。
根据组合的定义，可以计算出c52 = 5! / (2! ×(5-2)!) = 10。
这个结果表示，在5个不同元素中取出2个元素的所有组合情况中，有10种不同的情况。
具体来说，这10种情况分别是：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)。
注意，这里不考虑元素的排列顺序，所以(1,2)和(2,1)属于同一种组合。
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§10排列、组合与概率
一、排列、组合的知识结构
二、加法原理与乘法原理
两个基本原理，不仅是推导排列数公式、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题．两个原理的区别是前者与分类有关；后者与分步有关．在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．
三、有限制条件的排列、组合混合应用题
1．“在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分．
2．对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的．
3．关于“元素和位置”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的．4．排列、组合的混合问题，主要指既与组合有关，又与排列有关的应用问题.如分配问题. 解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列．同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘．5．在求解排列与组合应用问题时，应注意：（1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；（4）列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.
四、二项式定理
1．定理 (a+b)n=C n0a n +C n1a n－1b1+ C n2a n－2b2+ C n3a n－3b3+…+ C n r a n－r b r+…+ C n n－1ab n－1+ C n n b n
特别地：(1+x)n=1+C n1x+C n2x2+…+C n r x r+…+C n n x n
通项（第r+1项）T r+1= C n r a n －r b r 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
2．主要性质和主要结论：
（1）对称性C n m =C n n －m
（2）最大二项式系数在中间（要注意n 为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）.
（3）所有二项式系数的和：C n ０+C n 1+C n 2+ C n 3+ C n 4+…+C n r +…+C n n =2
n （4）奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和
C n ０+C n ２+C n ４+ C n ６+ C n ８+…＝C n １+C n ３+C n ５+ C n ７+ C n ９+…=2
n -1 3.注意
（1）二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法．．．
的应用。
（2）求特定项：应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n 或r 后，再求所需的项（要注意n 和r 的数值范围及大小关系）．
（3）解决有关近似计算、求余数、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
五、概率
1．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0<P(A)<1.
2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=n
m ，理解m 、ｎ的意义是关键，即“一次试验”的含义及“一次试验”所含基本事件的总数、事件A 所含基本事件的数目.
3．互斥事件A 、B （A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）有一个发生（事件和A+B ）的概率：P(A+B)=P （A ）+ P(B).
对立事件A 、B （A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）的概率关系：P （A ）+ P(B)＝１.
4．独立事件A 、B （事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）同时发生（事件积A ·B ）的概率：P(A •B)＝P(A) • P(B).
5．独立重复事件（贝努里概型）
P n (K)=C n k p k (1－p)k 表示事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次．
的概率.其中P 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率.。