江西省赣州市高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)【精选】.doc
江西省赣州市高二数学上学期期末试卷理(含解析)
江西省赣州市2015～2016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，82．已知a表示直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，a∥β，则α∥βB．若a⊂α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，a⊥β，则α⊥βD．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=4．命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜0或a≥3B．a≤0或a≥3C．a＜0或a＞3 D．0＜a＜35．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．147．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i≥5 B．i≥6 C．i＜5 D．i＜69．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．010．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．11．在平面xOy内，向图形x2+y2≤4内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为（）A．B．C．D．12．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A．2 B．2C．2D．4二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分13．有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a= ．14．已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，则该双曲线的方程为．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．16．已知正四面体A﹣BCD的棱长为12，则其内切球的半径是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：实数x满足（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0，命题q：实数x满足x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0）．若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．（1）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；（2）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百．19．某电视机的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如表所对应的关系：广告支出x（单位：万元）1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（1）求出y对x的回归直线方程；（2）若广告费为9万元，则销售收入为多少万元？（参考公式：，）20．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+1的概率．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．22．已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．江西省赣州市2015～2016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．2．已知a表示直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，a∥β，则α∥βB．若a⊂α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，a⊥β，则α⊥βD．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若a∥α，a∥β，则α∥β不一定成立，可能相交，故A错误，B．若a⊂α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误，C．若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故C错误，D．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β，正确，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础．3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．4．命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜0或a≥3B．a≤0或a≥3C．a＜0或a＞3 D．0＜a＜3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】将条件转化为ax2﹣2ax+3≤0恒成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0时，必须，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“ax2﹣2ax+3≤0恒成立”是真命题①．当a=0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得 a＜0 或a≥3，故选A．【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．7．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用．【分析】a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．【点评】本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i≥5 B．i≥6 C．i＜5 D．i＜6【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=+++…+的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/0 1第一圈是 2第二圈是 3第三圈是 4第四圈是 5第五圈是 6第六圈否由分析可得继续循环的条件为：i＜6故选D【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0【考点】回归分析．【专题】图表型．【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．【解答】解：∵点在回归直线上，计算得，∴回归方程过点（2，4.5）代入得4.5=0.95×2+a∴a=2.6；故选B．【点评】本题就是考查回归方程过定点，考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题10．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为边长为2的正方体从一个顶点处切去一个三棱锥．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为2的正方体切去一个三棱锥得到的，棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别是1，1，2．所以几何体的体积V=23﹣=．故选C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题．11．在平面xOy内，向图形x2+y2≤4内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出相应的面积，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则不等式组对应平面区域的面积为，则实验成功的概率为=．故选：D．【点评】本题主要考查概率的计算，利用几何概型的概率公式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破．12．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A．2 B．2C．2D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分13．有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a= 400 ．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，问题得以解决．【解答】解：根据题意得，=，解得a=400．故答案为：400．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，属于基础题．14．已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，则该双曲线的方程为．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（2，0），从而得出双曲线的右焦点为F（2，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，得抛物线的焦点为（2，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=8x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（2，0）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=4…①∵双曲线的离心率为2，∴，即…②由①②联解，得a2=1，b2=3，所以该双曲线的方程为，故答案为：．【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．【考点】几何概型；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中计算出总的基本事件对应的几何图形的面积及满足条件的几何图形的面积是解答本题的关键．16．已知正四面体A﹣BCD的棱长为12，则其内切球的半径是．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算即可得到．【解答】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为4，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=12×=4，AE==4．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（4﹣R）2+48解得，R=．其内切球的半径是．故答案为：．【点评】本题考查正四面体的内切球半径的求法，考查学生的计算能力，正确求出半径是关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题p：实数x满足（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0，命题q：实数x满足x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0）．若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；方程思想；转化法；简易逻辑．【分析】求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．【解答】解：由（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0得到x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（m＞0），即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，则，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键．18．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．（1）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；（2）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）图中矩形面积最大的一组就是人数最多的组，由此找出最高的矩形，在[70.5，80.5）这一组，再用公式求出其频数、频率；（2）用样本估计总体：在样本中算出四个组占总数的百分比，就可以估计出成绩高于60分的学生占总人数的百分比．【解答】解：（1）最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2∴设样本容量为n，得（1+3+6+4+2）：n=2：6∴n=48，样本容量为48，成绩落在[70.5，80.5）内人数最多，频数为，频率为=0.375．（2）成绩高于60（分）的学生占总人数的==93.75%．【点评】本题考查了频率直方图的有关知识，属于基础题．频率直方图中，各个小长方形的面积等于该组数据的频率，所有长方形的面积之和等于1．19．某电视机的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如表所对应的关系：广告支出x（单位：万元）1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（1）求出y对x的回归直线方程；（2）若广告费为9万元，则销售收入为多少万元？（参考公式：，）【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（2）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（1），，所以……故y对x的回归直线方程为…（2）当x=9时，y=129.4，故若广告费为9万元，则销售收入为129.4万元…【点评】本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．20．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+1的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出取出的球的编号之和为偶数两个，1和3，2和4两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．【解答】解：（1）从袋中随机取两个球，其中所有可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共6个，从袋中取出的球的编号之和为偶数的事件共有1和3，2和4两个，因此所求事件的概率，（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，（m，n）一切可能的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个，其中满足n＜m+1的有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）十个，故满足条件的概率为P==【点评】本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．分别求出平面A1CD的法向量和平面A1CE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）解：由AC=CB=AB，得AC⊥BC．以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设CA=2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），=（1，1，0），=（0，2，1），=（2，0，2）．设=（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，则，取x1=1，得=（1，﹣1，﹣1）．同理，设=（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量，则，取x2=2，得=（2，1，﹣2）．从而cos＜，＞==，故sin＜，＞=．即二面角D﹣A1C﹣E的正弦值为．【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．22．已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k 的方程，则直线m的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则|x﹣4|=2，即（x﹣4）2=4[（x﹣1）2+y2]，整理得．所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．设直线m的方程为：y=kx+3．联立，整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．．因为2x1=x2．则，得，所以．即，解得．所以，直线m的斜率．【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．。
江西省赣州市高二数学上学期期末考试 理
高二理科数学试题 第2页（共6页）江西省赣州市-第一学期期末考试高二数学（理科）试题（共150分．考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中） 1.设,R x y ∈则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 A.30B.45C.60D.1203.甲、乙两人进行投篮练习，每人练习5轮，每轮投球30个，根据统计 的进球数制成如图所示的茎叶图，则下列结论中错误的是 A.甲的中位数是14 B.乙的极差为18C.甲、乙两人这5轮进球的平均数相等D.乙的投篮水平比甲高4.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.不可能事件B.互斥但不对立事件C.对立事件D.以上答案都不对5.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 A.5B.5C.5D.5A.100i <B.100i >C.100i ≤D.100i ≥ A.221+ B.231+ C.21+ D.31+二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共25分11.某学校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80人，则n = ．12.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ． 13.用数学归纳法证明不等式*11113(2,N )12224n n n n n ++>≥∈++且,第二步从“k ”到“1k +”的证明中，不等式左边中增添的代数式是 .14.已知ABCD 为边长等于1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA =，设G 是ABC 的重心，E 是SD 上一点，且3SE ED =，试用基底{,,}AB AD AS 表示向量GE = . 15.以下四个关于圆锥曲线的命题中①设,A B 为两个定点，k 为非零常数，PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）赣州市2011～2012第一学期期末考试高二数学（理科）答题卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分）题 号 一二三总分161718192021得 分评卷人一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：(本大题共有5小题，每小题5分，共25分11. ；12. ； 13. ；14. ； 15. . 三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16.（本小题满分12分）设平面向量(,1)m a m =, (2,)n b n =，其中 {},1,2,3,4m n ∈． （1）请列出有序数组(,)m n 的所有可能结果；座号：…○…座位号高二理科数学试题 第3页（共6页） 高二理科数学试题 第4页（共6页）EFGM DA （2）记“使得()m m n a a b ⊥-成立的(,)m n ”为事件A ，求事件A 发生的概率.17．（本小题满分12分）已知p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<<，q ：实数x 满足260x x --≤，或2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 对一切正整数n 均有2121n n a a +=-，且0n a > ，如果1cos 2a α=，0,8απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（1）求2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}()n a n *∈N 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.19．（本小题满分12分）. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，2AB EF =．（1）若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ； （2）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小．20．（本小题满分13分）设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上的两点，已知),(11a y b x =，),(22a y b x =，若0=⋅且椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）试问：AOB ∆的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，.（1）求()f x 的单调区间和值域；（2）设1a ≥，函数a x a x x g 23)(23--=，]1,0[∈x ，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围．赣州市2011～2012第一学期期末考试 高二数学（理科）参考答案一、选择题1～5. ABDBD ； 6～10. CBCCB. 二、填空题 11.192； 12.16π； 13.112122k k -++；14.2513124GE AB AD AS =-++； 15.③④.三、解答题16.解：（1）有序数组(,)m n 的所有可能结果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)，(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)………………6分（2）由()m m m a a b ⊥-，得2210m m n -+-=即2(1)n m =-…………………………………………………………………………8分 由于{},1,2,3,4m n ∈故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个………………………………10分 又基本事件的总数为16 故所求的概率21()168P A ==………………………………………………………12分 17.解：设{}{}22430(0)3(0)A xx ax a a x a x a a =∣-+<<=∣<<<……………2分 {}{}226028042B xx x x x x x x =∣--≤+->=∣<-≥-或或………………4分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即AB …………………………………………6分∴40a a ≤-⎧⎨<⎩或320a a ≥-⎧⎨<⎩……………………………………………………………8分 解得4a ≤-或203a -≤<………………………………………………………11分 即实数a 的取值范围是(]2,4,03⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭……………………………………12分 18.（1）依题意：22cos 221a α=-则222cos 21a α=+，222cos a α=，而0,8απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又0n a >，∴（2）猜测2cos()2n n a n α*-=∈N ……………6分 ①用数学归纳法证明：显然1n =时猜想正确……………8分 ②假设()n k n *=∈N 时猜想成立，即2cos 2k k a α-=则1n k =+时，∵2121k k a a +=-，∴212cos212k k a α+-=-，即2112cos22k k a α+-=，而0n a >故11(1)2coscos22k k k a αα+-+-==……………10分这就是说1n k =+猜想也成立,故对任意正整数n 都有2cos2n n a α-=……………12分19.证明：（1）EF ∥AB ，2AB EF =，可知延长BF 交AE 于点P …………1分 而FG ∥BC ，EG ∥AC ，则P BF ∈⊂平面,BFGC P AE ∈⊂平面AEGC ， 即P ∈平面BFGC平面AEGC GC =…………3分于是,,BF CG AE 三线共点，FG 平行且等于12BC …………4分 若M 是线段AD 的中点，而AD 平行且等于BC ， 则FG 平行且等于AM四边形AMGF 为平行四边形，则GM ∥AF又GM ⊄平面ABFE ，∴GM ∥平面ABFE …………6分 （2）由EA ⊥平面ABCD ，作CH AB ⊥于H ，则CH ⊥平面ABFE ，作HT BF T ⊥于，连接CT ，高二理科答案 第3页（共4页）高二理科答案 第4页（共4页）则CT BF ⊥，于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角…………8分 ∵2AC BC AE ==，设1AE =， 则2AC BC ==，22,2AB CH ==H 为AB 的中点22tan 222AE AE FBA AB EF AB ∠====-，3sin FBA ∠=10分 36sin 2HT BH ABF =∠==，在Rt CHT ∆中，tan 3CHCTH HT∠==则60CTH ∠=，即二面角A BF C --的大小为60…………12分20.解：(1)由题意得：2231,12c b a c a ==-=，解得2,3a c ==3分 椭圆的方程为2214y x += …………………………………………………………4分 （2）①当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-由0m n ⋅=得22221111044y x y x -=⇒= 又221111421242x x x y +=⇒==112112S x y y =⋅-=………………………………………………………………6分②当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与1422=+x y 联立得： 222(4)240k x ktx t +++-=，212122224,44kt t x x x x k k --+=⋅=++……………8分12121212()()10044kx t kx t x x y y x x ++⋅+⋅=⇒⋅+=， 代入得：2224t k -=…………………………………………………………10分21212211()4221t S AB t x x x x k ==+-+2222124()41244kt t t k k -=--=++ ∴AOB ∆的面积为1………………………………………………………………13分21.解：（1）对函数()f x 求导，得()()()()()222416722x x f x x x -+-'==---， 令()0f x '=解得12x =或72x =……………………………………………………2分当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是减函数；当∴当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是增函数………4分当]1,0[∈x 时，()f x 的值域为[]43--，．…………………………………………6分 （2）对函数()g x 求导，得()()223g x x a '=-…………………………………7分因此1a ≥，当()01x ∈，时，()()2310g x a '<-≤， 因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，……………………………………………………………8分又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，…………………………………………………………9分任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，………………………………………………11分 即21234(1)23a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩(2) ………………………………………………………12分解①式得1a ≥或53a ≤-，解②式得32a ≤，又1a ≥，故a 的取值范围为312a ≤≤，…………………14分x102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1 ()f x ，－ 0＋()f x 72-↘4- ↗3-。
江西省赣州市高排初中高二数学理上学期期末试卷含解析
江西省赣州市高排初中高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为（）A. B. C. D.参考答案：D2. 若表示直线，表示平面，则下列命题中正确的个数为①②③④A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：C3. 下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量的性质可以类比复数的性质；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比错误的是（）A．①③ B．①②C．② D．③参考答案：C略4. “|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．5. ．设，若，则（）A. B. C. D.参考答案：B∵∴∴由得，选Ｂ6. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则用算筹可表示为（）参考答案：C由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则用算筹可表示为，故选C.7. 函数的值域为( )A. B. C. B.参考答案：B略8. 甲、乙两名同学在次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是( )A. ；乙比甲成绩稳定B. ；甲比乙成绩稳定C. ；甲比乙成绩稳定D. ；乙比甲成绩稳定参考答案：D9. 已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（）A．120°B．60°C．30°D．150°参考答案：C【考点】直线与平面所成的角．【分析】利用面积向量的数量积，直接求解直线l与平面α所成的角的正弦值即可得出结果．【解答】解：直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，直线l与平面α所成的角的正弦值=|cos＜，＞|===．直线l与平面α所成的角为：30°．故选：C．10. 圆上的点到直线的距离最大值是( )A.2B. 1+C.D.1+参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列满足，则前项_____.参考答案：12. 若负数满足，则的最大值是.参考答案：略13. 若的终边所在直线经过点，则__ ▲ _．参考答案：【知识点】三角函数定义【答案解析】解析：解：由已知得直线经过二、四象限，若的终边在第二象限，因为点P到原点的距离为1，则，若的终边在第四象限，则的终边经过点P关于原点的对称点，所以，综上可知sinα=.【思路点拨】一般已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的定义求值，本题应注意所求角终边所在的象限有两个.14. 若函数的定义域是则函数的定义域是参考答案：略15. 已知，且x ，y 满足，则z 的最小值为____参考答案：2【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值，利用直线平移可得当过时，在轴的截距最小；求出点坐标，代入可得结果.【详解】根据约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将变为，则求得最小值即为求在轴截距的最小值由平移可知，当过时，在轴的截距最小由得：本题正确结果：2【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为截距的最值的求解问题，属于常考题型.16. 在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．参考答案：3或﹣2【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN?k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17. 定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①关于点P()对称②的图像关于直线对称；③在[0，1]上是增函数；④.其中正确的判断是_________（把你认为正确的判断都填上）ks5u参考答案：①、②、④三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江西省赣州市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学(理科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ，将正确答案填写在下表中）1.已知命题:0c ρ∃>，使方程20x x c -+=有解，则ρ-为（ ）A ．0c ∀>，方程20x x c -+=无解B ．0c ∀≤，方程20x x c -+=有解C ．0c ∃>，使方程20x x c -+=无解D ．0c ∃≤，使方程20x x c -+=有解2.若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =- ，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A ．1,1x y ==B ．11,22x y ==-C ．13,62x y ==- D ．13,62x y =-=3.从编号0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ） A ． 8 B ．10 C ．12 D ．164.下列判断中，正确的有：（ ）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件； ④“22am bm <”是“a b <”的必要不充分条件. A ．①② B ．①③ C. ①④ D ．②③5.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x y +的值为（ ）A ．8B ．10 C.11 D ．13 6.下列说法正确的是（ ）A ．若l α//，l β//，则αβ//B ．若l α//，l β⊥，则αβ⊥ C.若l α⊥，αβ⊥，则l β// D ．若l α//，αβ⊥，则l β⊥7.已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈，在区间[0,]π上任取一点0x ，则01()2f x ≥的概率为（ ） A ．23 B ．12 C. 3π D ．6π 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ． 0.35 B ．0.25 C. 0.20 D ．0.159.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）A B10.如图是计算1111 (24620)++++的值得一个程序图，其中在判断框中应填入的条件是（ ）A ．10i <B ．10i > C. 20i < D ．20i > 11. 在一个封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若610AB BC AB AC ⊥==，，，13AA =，则球的体积的最大值为（ ）A ．323π B ．4π C. 6π D ．92π 12.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和椭圆222()2bx y c +=+（c 为为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ． C. 3)5 D ．3)5第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据，根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程0.750.35y x =+，那么表中m = ．14. 袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率15.双曲线的中心在原点，离心率等于2 ，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲线的方程为 ．16.如图，圆C 内切于扇形AOB ，3AOB π∠=，若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某校100名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中物理成绩的众数及a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生物理成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位.18. （本小题满分12分）给出命题:(1)0a a ρ->：命题2:(23)1q y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假．求实数a 的取值范围. 19. （本小题满分12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a b 、分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为（0,0）、（4,0）和（0,4）(1)若点(,)P a b 落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A ，求事件A 的概率；(2)若点(,)P a b 落在x y m += (m 为常数)上，且使此事件的概率P 最大，求m 和P 的值． 20. （本小题满分12分）已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点（2，0）的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N ． （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）求证：OM 与ON 相互垂直．21. （本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=︒，2PB BC CA ===，E 为PC 的重点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：BE ⊥平面PAC .（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.22. （本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b b b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离（1）求椭圆E 的方程.（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，试问在坐标x 轴是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学理科试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.3 14.38 15.221412x y -= 16.23.三、解答题：本大题共6个小题,共70分.17.解：（1）众数是65……………………………………………………………………2分 依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =………………………4分 （2）这100名学生物理成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）………………………7分设中位数为70x + 分，则由0.005100.04100.030.5x ⨯+⨯+=解得51.73x =≈，所以这100名学生物理成绩的中位数约为71.7分…………………10分 18.解：命题p 为真(1)001a a a ⇔->⇔<<……………………………………………2分命题q 为真252104)32(2><⇔>--=∆⇔a a a 或…………………………………4分 命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假q p ,⇔中一真一假…………………………………6分当p 真q 假时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<252110a a ，得121<≤a ………………………………………………8分 当p 假q 真时，011522a a a a ≤≥⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，得250>≤a a 或……………………………………10分 所以a 的取值范围是(]15,0,1(,)22⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭…………………………………………12分 19.解：（1）基本事件总数为6636⨯=…………………………………………………1分 当1a =时，1,2,3b =………………………………………………………………………2分 当2a =时，1,2b =…………………………………………………3分 当3a =时，1b =……………………………………………………4分 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个点落在条件区域内， 所以1()6P A =…………………………………………………………6分 O43214321yx（2）当7m =时………………………………………………………8分共有六个点(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)在直线7x y +=上……………………10分 此时61366P ==最大………………………………………………………………………12分 20.解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =………………………………………2分所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………………………………………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，因为直线l 不经过点E ，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 方程为(2)y k x =-………………………………………………………………5分与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x ，得：2240ky y k --=…………………………………………………………6分则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………………………………………7分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++ 令2x =-，得11242M y y y -=+………………………………………………………………8分 同理可得：22242N y y y -=+…………………………………………………………………9分又 (2,),(2,)M N OM y ON y =-=-，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ ……………………………………10分121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0=………………………………11分 所以OM ON ⊥……………………………………………………………………………12分 21.证明：（1）因为BP BC =，EP EC =，所以BE PC ⊥…………………………2分 因为PB ⊥平面ABC ，所以PB AC ⊥……………………………………………………4分 又AC BC ⊥，PB BC B = ，所以AC ⊥平面PBC ，所以AC BE ⊥．又PC AC C = ……………………………5分 所以BE ⊥平面PAC …………………………………………………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系………………………………………………………7分 则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)C ，(2,2,0)A ，(1,0,1)E ，224(,,)333F(1,0,1)BE =，224(,,)333BF = ……………………………………………………………8分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0224333n BE x z n BF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1x =，则1y =，1z =-．所以(1,1,1)n =-……………9分取平面ABC 的法向量(0,0,1)m =…………………………10分则cos ,||||m n m n m n ⋅<>===……………………11分 所以平面ABC 与平面BEF…………12分22.解：（1）228AB AF BF ++= ,即11228AF F B AF F B +++=………………2分 又11222AF F B AF F B a +=+=，所以48a =，2a =………………………………3分 因为12c a =，所以1c =，2223b a c =-=…………………………………………………4分 所以所求椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………5分z yxFECBP（2）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=………………………………6分所以2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=即22430k m -+=，设00(,)P x y . 则024443km k x k m =-=-+，03y m =，所以43(,)k P m m-…………………………………8分 由4y kx mx =+⎧⎨=⎩，得(4,4)Q k m +……………………………………………………………9分设存在1(,0)M x ，则0MP MQ ⋅=所以211141612430kx k k x x m m m -+-+++=，所以()211144430kx x x m-+-+=……10分 由于对m ，k 恒成立，所以1211440430x x x -=⎧⎨-+=⎩联立解得11x =………………………………………………………………………………11分 故存在定点(1,0)M 符合题意………………………………………………………………12分。
2017-2018学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版 含答案
赣州市2017～2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题1～5.BADAD ； 6～10.BABDB 11～12.BD.二、填空题 13.31； 14.34π； 15.画画； 16.524. 三、解答题17.解：()f x 定义域为R 所以210ax ax -+>在R 上恒成立当0a =合题意…………………………………………………………………………………1分 当0a ≠时04a <<…………………………………………………………………………2分 所以p 为真命题时a 的范围为04a ≤<……………………………………………………3分 q 为真命题时a 的范围为11a -<<…………………………………………………………4分 当p 为真命题q 为假命题时a 的范围为14a ≤<…………………………………………6分 当p 为假命题q 为真命题时a 的范围为10a -<<…………………………………………8分 综上所述符合题意时a 的范围为()[)1,01,4- …………………………………………10分18.解：(1)价格在[)16,17内的频率为：10.0610.1610.3810.0810.32-⨯-⨯-⨯-⨯= 价格在[)16,17内的地区数为：500.3216⨯=……………………………………………2分 设价格的中位数为x ，因为第一组和第二组的频率之和为0.06+0.16=0.220.5<而前三组的频率之和为0.06+0.160.38=0.6>0.5+………………………………………3分 所以[)15,16x ∈ 所以0.060.16(15)0.380.5x ++-⨯=………………………………4分 解得15.7x ≈ （元）…………………………………………………………………………5分（2）由直方图知，价格在[)13,14的地区数为500.06=3⨯，记为x,y,z价格在[]17,18的地区数为500.08=4⨯，记为A,B,C,D ………………7分若[)m,n 13,14∈时，有xy,xz,yz,3种情况；若[]m,n 17,18∈时，有AB,AC,AD,BC,BD,CD, 6种情况；zy x OM FE DC B A若,m n 分别在[)13,14 和[)17,18 内时，有xA,xB,xC,xD, yA,yB,yC,yD, zA,zB,zC,zD 共有12种情况.所以基本事件总数为21种…………9分 事件“m n 1->”所包含的基本事件中，,m n 分别在[)13,14 和[)17,18内时， 分别为：xA,xB,xC,xD, yA,yB,yC,yD, zA,zB,zC ，zD ，个数为12种……11分 所以124P(|m n |1)=217->=“”…………………12分 19.证明：（1）,O M 分别为,EA EC 的中点，OM AC ………3分∵OM ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．∴OM 平面ABCD ……………5分 解：（2） ∵1,90DC BC BCD ==∠= ，22,2BD AD AB ∴=== ∴BD DA ⊥∵平面ADEF ⊥ 平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面ADEF∴BFD ∠ 的余弦值即为所求. ……………………9分在Rt BDF 中,2,62BDF DF BF π∠=== 26cos 36DF BDF BF ∴∠=== ∴BF 与平面ADEF 所成的角的余弦值63 …………12分 （2）另解如图建立空间直角坐标系xyz D -， (0,2,0),(2,0,2)B F ，平面ADEF 的一个法向量是 (0,1,0)n = (2,2,2)BF =- …………8分222||23|cos ,|3||||(2)(2)(2)BF n BF n BF n ⋅<>===+-+ ∴BF 与平面ADEF 所成的角的余弦值63 …………12分20解：（1）由已知可设圆心(,)M a a -，圆心到直线l 的距离为d ，zDP 则|689|31104a a d +-==-，于是，整理得|149|5a -=|， 解得1a =，或27a =． ………………3分 ∵圆心M 在直线l 的右下方，∴圆心M 是(1,1)-，∴圆M 的标准方程为22(1)(1)1x y -++= ………………5分（2）直线10mx y m +-+=可变形为(1)10m x y -++=，即过定点(1,1)-，∴动直线10mx y m +-+=恰好过圆M 的圆心，∴||2AB = ………………7分 设(,)P x y ，则由||2||PO PM =，可得22222[(1)(1)]x y x y +=-++，整理得22(2)(2)4x y -++=，即P 点在以(2,2)-为圆心，2为半径的圆上， ………………10分 设此圆圆心为N ，则(2,2)N -N ．∴要使PAB ∆的面积最大，点P 到直线AB 的距离d 最大，22max ||(21)(2,1)222d PM ==-+-+=+， ∴PAB ∆面积的最大值为22+． ………………12分 21（1）证明：PA PD = ，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥又∵底面ABCD 为菱形，60,BAD BQ AD ∠=∴⊥ ………………3分 又∵,PQ BQ Q AD =∴⊥ 平面PQB又∵AD ⊂平面PAD∴平面 PQB ⊥ 平面PAD ………………5分（2）解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PQ AD ⊥ ， ∴PQ ⊥ 平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以,,QA QB QP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,3),(0,3,0),(2,3,0)Q P B C - ……………7分 设,01,PM PC λλ=<< 则(2,3,3(1)),M λλλ--平面CBQ 的一个法向量1(0,0,1),n = ，设平面MBQ 的法向量为211,1(,)n x y z =， 222330,0,(,0,3)2QM n QB n n λλ-=== ， ……………9分 ∵二面角M BQ C --的大小为60 ∴121cos 60cos ,2n n ==〈〉解得11,33PM PC λ== ∴存在点M 为线段PC 靠近P 的三等分点满足题意………………12分22解：（1）∵椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>上一点到两焦点间的距离之和为22，即222,2a a ==…………………1分 由O 到直线4330x y -+=距离22|3|3534d ==+，直线4330x y -+=被以椭圆C 的短轴为直径的圆M 截得的弦长为85， 则22825b d =-，即22832()55b =-，解得：1b =…………………3分 ∴椭圆C 的方程为：2212y x +=…………………4分 （2）由题意可知：关于直线1:()2l yk x =+对称，AB 所在的直线方程设为111221:,(,),(,)l y x m A x y B x y k =-+ 由22112y x m k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：2222(21)2(2)0k x kmx m k +-+-=， 由韦达定理可知：221212222(2),2121km m k x x x x k k -+==++…………………6分根据题意：22222222244(21)(2)8(21)0k m k m k k k k m ∆=-+-=-+>…………7分设线段AB 的中点00(,)P x y ，则2120002212,22121x x km k m x y x m k k k +===-+=++， 因为点P 在直线1:()2l y k x =+上，所以22221()21212k m km k k k =+++， 所以化简得2212k m k+=…………………10分 代入0∆>，可得424430k k --<， 解得：232k <，则6622k -<<…………………12分。
江西省赣州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A 选项，当 m n 0 时，曲线 C : x2 y2 m ，表示圆心在原点，
半径为 m 的圆，所以 A 选项正确.
B 选项，当 m n 0 时，曲线 C : x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上PD
时有
P
1 2
, 0,
1 2
，
BP
1 2
, 1,
1 2
，
AD1
1, 0,1
，
DC 0,1, 0 ， DA1 1, 0,1 ， DC AD1 0 ， DA1 AD1 0 ，
uuur AD1 是平面 A1B1CD 的一个法向量，
cos BP, AD1
BP AD1 BP AD1
名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 60
B. 90
C. 150
【答案】C
【解析】
【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.
D. 240
【详解】当每组人数为 2, 2,1时，方法有
C52C32 A22
A33
90 种.
当每组人数为 3,1,1时，方法有 C35 A33 60 种.
故选:C.
3. 若直线 ax y 2 0 与直线 x 2y 1 0 平行，则 a （ ）
A. 2
【答案】B
B. 1 2
C. 1
2
【解析】
【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解.
【详解】因为两直线平行，所以 a 1 ， 2
经检验，此时两直线的斜截式方程分别为 y 1 x 2, y 1 x 1 ，
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分）
2020-2021学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 word版
赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试高二数学（理科）试题2021年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．1．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为（ ）A ．存在01x ，使000ln 1x x x -成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x -成立C ．对任意01x ，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x -成立2．已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．B ．C ．±D ．±3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．6435．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．正方形ABCD 的边长为2，以A 为起点作射线交边BC 于点E ，则BE <的概率是（ ）A B ．23 C ．13D ．1 7．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，双曲线2C 的方程为221221,x y C a b -=与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =± D ．2y x =± 8．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC -中，若,,PA PB PC 两两垂直，12APB3,,,,,BPCCPAPA a PB b PC c Ss Ss Ss ======，则ABCS=（ ）A BC D9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为1m 的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是16m ，外环直径是30m ，墙体高10m ，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（ ）A ．31610m πB ．31440m πC ．31320m πD ．31150m π 10．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）A ．8+B ．8C ．16D ．1611．如图，已知校长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,HE 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HEα平面α，11A C D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A B C D 12．设直线l 与圆22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且积有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．13．已知抛物线22y x =，则其准线方程为____________． 14．下面是两个变量的一组数据：这两个变量之间的线性回归方程为159y x =-+，变量y 中缺失的数据是___________．15ABCD 中，对角线AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B ACD --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M 是12PF F 内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a =（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知:p 方程22114x y m m +=--表示双曲线，q :方程22126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆． （1）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是25cm ~27cm 的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在21cm ~31cm ），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；（2）从甲种植地样本在23cm ~25cm,25cm 27cm -两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点． 证明：四边形EFGH 是矩形． 20．（本小题满分12分）已知动圆与直线1x =-相交于,A B 两点，且||AB =． （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)-的直线l 交（1）中动圆圆心C 的轨迹于,M N 两点，点P 为,M N 的中点，过点P 垂直于直线l 的直线交x 轴于点Q ，求点Q 的横坐标的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13B BA π∠=．（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若平面11ABB A ⊥平面,ABC M 为11A C 的中点，求二面角1C AB M --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题参考答案一、选择题二、填空题13．18y =-； 14．4； 15．6； 16．1)．三、解答题17．解：（1）若p 是真命题，则(1)(4)0m m --< 1分解得14m << 2分而q 是真命题，所以260m m +>-> 3分 解得26m << 4分 因为“p 且q ”为真命题，所以24m << 6分（2）当p 真q 假时：有1420m m m <<⎧⎨≥⎩或，即12m < 8分若p 假q 真时：1426m m m ⎧⎨<<⎩或，解得46m < 10分所以12m <或46m < 12分18．（1）220.1240.2260.4280.15300.1526.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲 2分220.1240.2260.3280.3300.126.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 4分设乙种植地的中位数为x ，则79(25)0.150.23x x -⨯=⇒=6分 （2）由频率分布直方图可知23cm ~25cm 的脐橙个数为0.210020⨯= 7分 抽出120210⨯=个，假设为12,Q Q 8分 25cm ~27cm 的脐橙个数0.410040⨯=， 9分抽出140410⨯=个，假设为1234,,,C C C C 10分 从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：121112131421222324121314232434,,,,,,,,,C ,,C ,C ,C ,C Q Q Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C C C C C C C C共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：121314232434C ,,C ,C ,C ,C C C C C C C C 共6种 11分所以2颗都受消费者青睐的概率62155P == 12分 19．证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ， 因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心 1分所以BM AC ⊥ 2分又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 3分 所以PO AC ⊥ 4分又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 5分 所以AC PB ⊥ 6分 （2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形 所以,E F 分别为,BC BA 的中点 7分 所以//EF AC 8分又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥ 9分 因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于12PB ， 又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于12PB 10分 所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形 11分 又//,EH PB EF PB ⊥，所以EHEF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形 12分20．解：（1）设(,)C x y ，则222(1)3(2)x x y ++=-+ 2分 即26y x =，所以圆心C 的轨迹方程为：26y x = 4分 （2）设过点(1,0)-直线:(1)MN y k x =+，联立26(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消y 得：()2222260k x k x k +-+= 6分所以()2242640k k ∆=-->，即232k <7分 设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得：1212262,1x x x x k +=-= 9分 所以MN 的中点2331,P kk ⎛⎫-⎪⎝⎭ 10分 过点P 的垂线为23131y x k k k ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11分 令0y =，则2324x k =+>， 所以点Q 的横坐标的取值范围(4,)+∞ 12分 21．证明：（1）如图取AB 中点D ，连接1,B D CD ．因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥ 1分 又因为三棱柱的所有棱长均为2，13B BA π∠=，所以ABC 和1ABB 是等边三角形，所以1,B D AB CD AB ⊥⊥因为1,B D CD ⊂平面11,B CD B D CD D ⋂=，所以AB ⊥平面1B CD 3分 所以1B C AB ⊥，而1BC AB B ⋂=， 所以1B C ⊥平面1ABC 4分（2）因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由（Ⅰ）知1B D AB ⊥ 5分 所以1B D ⊥平面ABC ．则1,,DB DB DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系．则1(0,0,0),(1,0,0),D A B C -，11(1(C A -- 6分因为M 为11A C的中点，所以32M ⎛- ⎝ 7分所以11(1,3,0),(1,0,3),2AC AB AM ⎛===- ⎝，设平面1AB M 的法向量为1(,,)nx y z =，则11130102AB n x z AM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得1(3,3,1)n =-- 8分 同理设平面1AB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则1223030AB n x AC n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得2(3,1,1)n =- 9分11所以121212(cos ,n n n n n n ⋅-<>=== 11分所以所求二面角1C AB M --的余弦值为65 12分22．解：（1）由题可知：2a = 1分令1223(0,),44PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b = 3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y += 4分（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立223412()x y yk x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()222223484120k x mk x k m +-+-= 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：2221212228412,3434mk k m x x x x k k -+==++ 8分 直线()121112:y y AQ y y x x x x +-=--，令0y =，则()1121112111211212y x x y x y x x y x y n x x y y y y ---+++==+=++ 9分()()()()()2222212211212121221212122412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mky y k x m k x m x x m mk ---+--++++====+-+-+--+ ()222222241282448686m k m k mk m mk m m ---===--- 11分所以44m n m m ⋅=⋅=（定值） 12分。
江西省赣州市数学高二上学期理数期末考试试卷
江西省赣州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A . 甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B . 甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C . 甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D . 甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米2. （1分） (2019高一上·东莞月考) 若，则f[f（–2）]=（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （1分） (2016高三上·韶关期中) “cosα=0”是“sinα=1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （1分）(2020·阿拉善盟模拟) 已知是腰长为4的等腰直角三角形，，为平面内一点，则的最小值为（）A .B .C . 0D .5. （1分）根据程序框图，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为（）A . 1B . -2C . 1或2D . 1或﹣26. （1分）已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A . 1B .C .D . 27. （1分）直线过圆的圆心，则的最小值为（）A . 8B . 12C . 16D . 208. （1分） (2015高二上·安徽期末) 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）A .B .C .D .9. （1分）(2017·贵阳模拟) 已知实数x、y满足，则z=4x﹣2y的最大值为（）A . 3B . 5C . 10D . 1210. （1分）(2017·包头模拟) 过曲线C1：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（）A .B . ﹣1C . +1D .11. （1分） (2017高二上·莆田月考) 在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是（）A .B .C .D .12. （1分）已知函数y=f(x)的定义域为{x|-38,且}，值域为{y|-12,且}.下列关于函数y=f(x)的说法：①当x=-3时，y=-1；②点(5,0)不在函数y=f(x)的图象上；③将y=f(x)的图像补上点（5,0），得到的图像必定是一条连续的曲线；④y=f(x)的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=________14. （1分） (2019高三上·柳州月考) 某中学采用系统抽样方法，从该校高三年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是42，则在第1小组1～16中随机抽到的数是________．15. （1分） (2016高三上·北区期中) 定义：若m﹣＜x （m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣， ]；②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1；④函数f（x）在（﹣， ]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是________16. （1分） (2018高二上·榆林期末) 已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2016高二上·镇雄期中) 如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19. （2分） (2017高二下·淄川期末) 已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．20. （2分）(2020·漳州模拟) 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示参考数据：参考公式：回归直线方程，其中（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类1个月2个月3个月4个月总计型A20353510100B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？21. （2分） (2017高二上·信阳期末) 已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1 ， B1C，BC1 ，得到的图形如图所示．（Ⅰ）证明BC1⊥平面AB1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．22. （2分）(2020·内江模拟) 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为 .（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆心到直线的距离等于2，求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
江西省赣州市高二上学期期末数学试卷(理科)
江西省赣州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是（）A . x+y-1=0B . x+y+3=0C . x-y+1=0D . x-y+3=02. （2分）如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A . （1,0）B . （2,0）C . （3,0）D . （－1,0）3. （2分）是“实系数一元二次方程有虚根”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2015高二上·西宁期末) 对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A . 若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥bB . 若a∥b，b⊂α，则a∥αC . 若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥αD . 若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α5. （2分）设x,y，且2y是1+x和1-x的等比中项，则动点(x,y)的轨迹为除去x轴上点的（）A . 一条直线B . 一个圆C . 一个椭圆D . 双曲线的一支6. （2分） (2016高三上·思南期中) 在△ABC中，AB=2，AC=1， = ，则• 的值为（）A .B .C .D .7. （2分）方程+=1的图象表示曲线C，则以下命题中甲：曲线C为椭圆，则1＜t＜4；乙：若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜1；丙：曲线C不可能是圆；丁：曲线C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜．正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 过坐标原点作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为（）A .B .C .D .9. （2分）图中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A . 4B . 8C . 16D . 2010. （2分）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016高二上·吉林期中) 命题p：∀x∈R，cosx＞sinx﹣1的否定为________．12. （1分）一个圆的圆心在抛物线y2=16x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，则该圆的标准方程是________．13. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2 ， P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2 ，则k1•k2的值为________．14. （1分） (2018高二上·武邑月考) 已知椭圆的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为________.15. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 如图，在三棱柱A1B1C1﹣A2B2C2中，各侧棱均垂直于底面，∠A1B1C1=90°，A1B1=B1C1=3，C1M=2B1N=2，则直线B1C1与平面A1MN所成角的正弦值为________．16. （1分） (2017高二下·新乡期末) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则 =________三、解答题 (共3题；共25分)17. （10分） (2017高一下·衡水期末) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．18. （5分） (2017·泉州模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且，D，M 分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1 ， AA1=A1D=2，BC=1．（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．19. （10分） (2017高二上·抚州期末) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=λ （λ＜0），求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共3题；共25分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、。
江西省赣州市会昌中学高二数学理上学期期末试卷含解析
江西省赣州市会昌中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（）.(A)（B）（C）（D）参考答案：B2. 关于的不等式的解集为A．B． C． D．参考答案：D3. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=（）A．B．1 C．D．参考答案：C4. 在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是（）A.锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形参考答案：D5. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3参考答案：B分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可。
或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。
6. 若的前8项的值各异，且，对于n∈N*都成立，则下列数列中，可取遍前8项的值的数列为（）A．B．C．D．参考答案：B略7. 若的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.参考答案：C8. 在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 中，角所对的边分别为，若，则角为（）A． B． C． D．参考答案：A10. 已知直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝25相交于A、B两点，若弦AB的中点为P(2，－1)，则直线l的方程为( )．A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为______ .参考答案：.解析：12. 下列四个命题中①不等式的解集为；②“且”是“”的充分不必要条件；③ 函数的最小值为；④命题的否定是：“”其中真命题的为_________（将你认为是真命题的序号都填上）参考答案：略13. 若命题:方程有两不等正根；:方程无实根.求使为真，为假的实数的取值范围 ____________。
江西省赣州市高二上学期期末考试理科数学试题有答案
江西省赣州市⾼⼆上学期期末考试理科数学试题有答案y x 42478512909⼄组甲组江西省赣州市2015～2016学年度第⼀学期期末考试⾼⼆数学(理科)试题(考试时间120分钟．共150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼀⼩题的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.将正确答案填写在下表中)1.右⾯茎叶图记录了甲、⼄两组各五名学⽣在⼀次数学考试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，⼄组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为A .2,5B .5,5C .5,8D .8,82.已知a 表⽰直线，,αβ表⽰两个不同的平⾯，则下列说法正确的是A .若a ∥α，a ∥β，则α∥βB .若a α?，a ∥β，则α∥βC .若a α⊥，a β⊥，则αβ⊥D .若a α?，a β⊥，则αβ⊥ 3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离⼼率为2，则C 的渐近线⽅程为A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =±4.命题“2230ax ax -+>恒成⽴”是假命题，则实数a 的取值范围是A .03a <<B .0a ≤或3a ≥C .0a <或3a >D .0a <或3a ≥ 5.某⼈5次上班途中所花时间(单位：分钟)分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，⽅差为2，则x y -=B .2C .3D .46.某单位有840名职⼯，现采⽤系统抽样⽅法抽取42⼈做问卷调查，将840⼈按1,2,,840随机编号，则抽取的42⼈中，编号落⼊区间[]481,720的⼈数为A .11B .12C .13D .14 7.设，那么“”是“”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件俯视图主视图C .充要条件D .8. 56，则判断框中应填⼊的条件是A .6i <B .6i ≤C .5i <D .7i ≤9.已知,x y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归⽅程为a x y +=95.0，则a = A .3.25 B .2.6 C .2.2 D .010.⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积为C A .13 B .23C .23311.在平⾯xOy 内，向图形224x y +≤内投点，则点落在由不等式组00x y x y -≥??+≥?所确定的平⾯区域的概率为A .34B .25C .12D .1412.O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上⼀点，若PF =POF ?的⾯积为A .2B .C .D .4 ⼆、填空题：本⼤题共有4⼩题，每⼩题5分，共20分13.有A 、B 、C 三种零件，分别为a 个、300个、200个，采⽤分层抽样法抽取⼀个容量为45的样本，A 种零件被抽取20个，则a = .销售收⼊y (单位：万元)⼴告⽀出x (单位：万元)56422812432114.已知以坐标轴为对称轴且离⼼率等于2的双曲线的⼀个焦点与抛物线218x y =的焦点重合，则该双曲线的⽅程为 . 15.在区间(0,2)内任取两数,()m n m n ≠，则椭圆22221x y m n +=的离⼼率⼤于2的概率是 .16.已知正四⾯体A BCD -的棱长为12，则其内切球的半径是 . 三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分) 17.(本⼩题满分10分)已知命题:p 实数x 满⾜22(1)(820)0x x x +--≤，命题:q 实数x 满⾜222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．(本⼩题满分12分)从全校参加数学竞赛的学⽣的试卷中，抽取⼀个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直⽅图，图中从左到右各⼩组的长⽅形的⾼之⽐为1:3:6:4:2，最右边⼀组的频数是6.(1)成绩落在哪个范围的⼈数最多？并求出该⼩组的频数、频率； (2)估计这次竞赛中，成绩⾼于60分的学⽣占总⼈数的百分百. EC 1DCBA(1)求出y 对x 的回归直线⽅程；(2)若⼴告费为9万元，则销售收⼊为多少万元？ (参考公式：1122222212n n nx y x y x y nx y b x x x nx+++-?=+++-L L ，a y bx =-)20．(本⼩题满分12分)⼀个袋中装有四个形状⼤⼩完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；(2)先从袋中随机取⼀个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取⼀个球，该球的编号为n ，求1n m <+的概率.21．(本⼩题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是AB ，1BB的中点，12AA AC CB AB===.(1)证明：1BC ∥平⾯1A CD ；(2)求⼆⾯⾓1D A CE --的正弦值.22.(本⼩题满分12分)已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的⽅程；(2)过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.江西省赣州市2015～2016学年度第⼀学期期末考试⾼⼆数学(理科)试题⼀、选择题1～5.CDCDD ； 6～10.BBABC 11～12.DC ⼆、填空题13.400； 14.2213y x -=； 15.12；. 三、解答题 17.解：设集合{}{}22(1)(820)0210A x x x x x x =|+--≤=|-≤≤………………2分集合{}{}222(1)0(0)11(0)B x x x m m x m x m m =|-+-≤>=-≤≤+>…………4分p ?是q ?的必要不充分条件，即为q 是p 的必要不充分条件…………………………6分所以A B ?，即12101m m m >??-≤-??≤+?，解得9m ≥………………………………………………9分所以实数m 的取值范围是9m ≥…………………………………………………………10分 18.解：(1)成绩落在[)70.5,80.5内⼈数最多…………………………………………2分频数为66182?=，频率为63136428=++++…………………………………………6分(2)成绩⾼于60分的学⽣占总⼈数的00364210093.7513642+++?=++++…………………………………………………………12分 19.解：(1)52x =，692y =，所以735b =……………………………………………2分 2a y bx =-=-……………………………………………………………………………4分故y 对x 的回归直线⽅程为7325y x =-………………………………………………6分 (2)当9x =时，129.4y =，故若⼴告费为9万元，则销售收⼊为129.4万元……12分 20.解：(1)从袋中随机取两个球，其中所有可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共6个，从袋中取出的球的编号之和为偶数的的事件共有1和3，2和4两个……………………………………………………………………………3分因此所求事件的概率13P =………………………………………………………………6分z 1(2)先从袋中随机取⼀个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取⼀个球，记下编号为n ，(,)m n ⼀切可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个……………8分其中满⾜1n m <+的有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)⼗个…………………………………………………………………………………10分故满⾜条件的概率为105168P ==……………………………………………………………12分21.解：(1)证明：连接1AC ，交1A C 于点F …………………………………………1分则F 为1AC 的中点………………………………………………………………………2分⼜D 是AB 的中点，连接DF …………………………………………………………3分则1BC ∥DF ，因为DF ?平⾯1A CD ，1BC 平⾯1A CD ………………………4分所以1BC ∥平⾯1A CD ……………………………………………………………………6分 (2)解：由12AA AC CB AB===，得AC BC ⊥………………………………7分以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建⽴如图的空间坐标系C xyz -，设2CA =，则(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A ，CD =1(2,0,2)CA =………………………………………………8分设1111(,,)n x y z =是平⾯1A CD 的法向量，则11100n CD n CA ??==??，即11110220x y x z +=??+=?，可取1(1,1,1)n =--…………………………………………9分同理，设2n 是平⾯1A CE 的法向量，则22100n CE n CA ??==??，可取2(2,1,2)n =-………………………………………………………………………10分从⽽1212123cos ,n n n n n n ?<>==11分x2)故126sin ,n n <>=……………………………………………………………………12分即⼆⾯⾓1D A CE --22.解：如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，2d MN=，由此4x -=2化简得：22143x y +=………………………………………4分所以动点M 的轨迹C 的⽅程为22143x y +=……………5分 (2)由题意，设直线m 的⽅程为3y kx =+……………6分11(,)A x y ，22(,)B x y ，如图所⽰.将3y kx =+代⼊22143x y +=，得22(34)2424k x kx +++其中，222(24)424(34)96(23)0k k k ?=-?+=-> 且1222434k x x k +=-+…①，1222434x x k =+...② (8)⼜A 是PB 的中点，故212x x =…③将③代⼊①②，得12834k x k =-+，2121234x k =+………………………………………9分所以222812()3434k k k -=++，且23k >…………………………………………………11分解得32k =-或32k =………………………………………………………………………12分所以直线m 的斜率为32-或32.。
2019-2020年江西省赣州市高二上册期末数学试题(理科)(有答案)
江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞nD．或f（n0）＞n2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{an }中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．=e为函数f（）的极大值点B．=e为函数f（）的极小值点C．为函数f（）的极大值点D．为函数f（）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{an }，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则= ．14．（5分）= ．15．（5分）椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1，F 2在轴上，已知A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为 ． 16．（5分）已知f （，y ）=a+by ，若1≤f （1，1）≤2且﹣1≤f （1，﹣1）≤1，则f （2，1）的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）设数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N +． （Ⅰ）求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）已知{b n }是等差数列，且满足b 1=a 2，b 3=a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的通项公式．18．（12分）已知抛物线y 2=2p （p ＞0），焦点对准线的距离为4，过点P （1，﹣1）的直线交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）如果点P 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求锐二面角D ﹣A 1C ﹣E 的余弦值．20．（12分）在圆2+y 2=4上任取一点P ，点P 在轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）点A （2，0）在曲线C 上，过点（1，0）的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 斜率为1，直线AD 斜率为2，求证：12为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD ⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（）=2e．（1）求曲线f（）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（）＜a对∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（）=f（）﹣在区间（n，n+1）上有零点．江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞nD．或f（n0）＞n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{an }中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．=e为函数f（）的极大值点B．=e为函数f（）的极小值点C．为函数f（）的极大值点D．为函数f（）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（）=，令f′（）=＞0，解得：0＜＜e，令f′（）=＜0，解得：＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{an }，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{an }，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想an=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，只需y′=32+2+m≥0恒成立，即△=4﹣12m ≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y=（+4y）=≥==+，当且仅当=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=代入﹣=1，可得=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则= ﹣7 ．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）= 1 ．【解答】解：∫1e d=ln|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴=﹣，==﹣．AB∵PF∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．2∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（，y）=a+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（，y）=a+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{an }满足a1=1，an+1=3an，n∈N+．（Ⅰ）求{an }的通项公式及前n项和Sn；（Ⅱ）已知{bn }是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{bn}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{bn }的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴bn=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2p（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8；（2）方法一：设A（1，y1），B（2，y2），则1+2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（﹣1）﹣1，即4+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=（﹣1）﹣1，A（1，y1），B（2，y2），由，消去，得y2﹣8y﹣8﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（﹣1）﹣1，即4+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为轴正方向，方向为y轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系Cy，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D ﹣A 1C ﹣E 的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆2+y 2=4上任取一点P ，点P 在轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）点A （2，0）在曲线C 上，过点（1，0）的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 斜率为1，直线AD 斜率为2，求证：12为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M 的坐标为（，y ），则由题意知点P 的坐标为（，2y ） 因为P 在圆O ：2+y 2=4，所以2+4y 2=4 故所求动点M 的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为=my+1，B （1，y 1），D （2，y 2） 由消去，得（m 2+4）y 2+2my ﹣3=0，易知△=16m 2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=（﹣1），B（1，y1），D（2，y2）由消去y，得（1+42）2﹣82+42﹣4=0，易知△=482+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD ⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（）=2e．（1）求曲线f（）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（）＜a对∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（）=f（）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（）=（2+2）e，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（﹣1），即y=3e﹣2e；（2）∵f（）＜a，对∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（）=e，g'（）=（+1）e，令g'（）＞0，得＞﹣1，令g'（）＜0得＜﹣1，∴g（）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（）=0，得，当＜0时，，∴F（）的零点在（0，+∞）上，令f'（）＞0，得＞0或＜﹣2，∴f（）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解0，且∈（n，n+1），n∈，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。
江西省赣州市吉村中学高二数学理上学期期末试题含解析
江西省赣州市吉村中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=e x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5） B．f（1）＜f（5）＜f（3） C．f（3）＜f（1）＜f（5） D．f（3）＜f（5）＜f（1）参考答案：D【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先由已知的等式构造′=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案．【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）=e x，得到'=0，设x3f（x）﹣e x=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．D．参考答案：B3. 在等差数列中，则的值是（）A． B． C．D．参考答案：A4. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）参考答案：B5. 已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．C．D．（0，1）∪（1，3）参考答案：C【考点】其他不等式的解法；函数的图象；余弦函数的单调性．【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x大于0小于1；f（x）大于0时，x大于1小于3，；且根据余弦函数图象可知，cosx大于0时，x大于0小于；当cosx小于0时，x大于小于3，则把所求的式子化为f（x）与cosx异号，即可求出不等式的解集．【解答】解：由函数图象可知：当f（x）＜0时，0＜x＜1；当f（x）＞0时，1＜x＜3；而cosx中的x∈（0，3），当cosx＞0时，x∈（0，）；当cosx＜0时，x∈（，3），则f（x）cosx＜0，可化为：或即或，解得：＜x＜3或0＜x＜1，所以所求不等式的解集为：（0，1）∪（，3），故选C．6. 对于三次函数,定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”.请你根据这一发现判断下列命题:(1).任意三次函数都关于点对称； (2).存在三次函数，有实数解，点为函数的对称中心； (3).存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；(4).若函数，则其中正确命题的序号为（）A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)参考答案：A略7. 如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AD, ，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A—一所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C略8. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A B CD参考答案：A9. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A ．点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力10. 若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则 ( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <c <a 参考答案： A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上 上单调递减的函数序号为 ▲ ． 参考答案： ①②③12. 设动点P 在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 ．参考答案：（，1）【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ， 则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，1） ∴=（1，1，﹣1），∴=（λ，λ，﹣λ），∴=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1） =+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos∠APC＜0∴∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（，1） 故答案为：（，1）【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．13. 已知点P （x,y ）是曲线上一动点，则的范围为 ．参考答案：14. 把点A 的极坐标(6,)化为直角坐标为参考答案：15. 动点P 在抛物线上运动，则动点P 和两定点A （－1，0）、B （0，－ 1）所成的△PAB 的重心的轨迹方程是 ． 参考答案：16. 一轮船向正北方向航行，某时刻在A 处测得灯塔M 在正西方向且相距海里，另一灯塔N 在北偏东30°方向，继续航行20海里至B 处时，测得灯塔N 在南偏东60°方向，则两灯塔MN 之间的距离是海里．参考答案：17. 某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取▲人.参考答案：220设全校总共抽取n人，则：故答案为220人.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年江西省赣州市高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈R，使x2−1<0”的否定是()A. ∀x∈R，有x2−1>0B. ∀x∈R，有x2−1≥0C. ∃x∈R，使x2−1>0D. ∃x∈R，使x2−1≥02.若α，β∈(0,π)，则“α>β”是“cosα<cosβ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是()A. 只有2次出现反面B. 至少2次出现正面C. 有2次或3次出现正面D. 有2次或3次出现反面4.已知直线l，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. 若l//α，l//β，则α//βC. 若α⊥β，l⊥α，则l//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β5.参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查．若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为()A. 21B. 26C. 31D. 366.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，执行该程序框图，则输出的n的值为()A. 32B. 2C. 52D. 38.如图，若斜边长为2√2的等腰直角△A′B′C′(B′与O′重合)是水平放置的△ABC的直观图，则△ABC的面积为()A. 2B. 2√2C. 4√2D. 89.如果一个矩形有长与宽的比值为√5+12，那么称该矩形为黄金矩形．如图，已知ABCD是黄金矩形，E，F分别在边AD，BC上，且CDEF也是黄金矩形，若在矩形ABCD内任取一点，则该点取自黄金矩形CDEF内的概率为()A. √5−12B. (√5−12)2 C. √5+12D. (√5+12)210.设双曲线C2与椭圆C1：x216+y212=1有公共焦点F1，F2.若双曲线C2经过点A(1,0)，设P为双曲线C2与椭圆C1的一个交点，则∠F1PF2的余弦值为()A. 35B. 23C. 34D. 4511.已知P是边长为6的等边△ABC所在平面外一点，PB=4，当三棱锥P−ABC的体积最大时，三棱锥P−ABC外接球的表面积为()A. 16πB. 32πC. 64πD. 256π12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F的直线4x+3y+m=0(m为常数)与双曲线C在第一象限交于点P.若|OP|=|OF|(O为原点)，则C的离心率为()A. 15B. 57C. 75D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C的标准方程为______．14.两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量(单位：台)，得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则x+y的值为______．15.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为抛物线C上在第一象限的点．若M为PF的中点，O为抛物线C的顶点，则直线OM斜率的最大值为______．16.如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D为半圆弧AC⏜上异于A，C的动点，当半弧AC⏜绕AC旋转的过程中，有下列判断：①存在点D，使得CD//AB；②存在点D，使得CD⊥AB；③四面体D−ABC的体积既有最大值又有最小值；④若二面角D−AC−B为直二面角，则直线DB与平面ABC所成角的最大值为45°．其中正确的是______(请填上所有你认为正确的结果的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：方程x2m−2+y24−m=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：方程x22−m+y24−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，其中m∈R．(1)若“￢p”为真命题，求m的取值范围；(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．18.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求t的值；(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．19.如图，四边形ABCD为矩形，BC=2AB=4，且平面ABCD⊥平面BCE．(1)若F，G分别是AD，BE的中点，求证：FG//平面DCE；(2)若△BCE是等边三角形，求平面ABE与平面DCE夹角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点到顶点的距离为3．4(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点M(0,1)的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．21.如图1是一张长方形铁片ABB′A′，AA′=4π，AB=4，C，D分别是BB′，AA′的中点，E，F分别在边BB′，AA′上，且AF：FA′=B′E：EB=1：3，将它卷成一个圆柱的侧面(图2)，使A′与A重合，B′与B重合．(1)求证：AF⊥平面DCF；(2)求几何体D−AECF的体积．22.在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段PQ，端点P，Q分别在x轴、y轴上运动，M为线段PQ上一点，且|PM|=2|MQ|．(1)求点M的轨迹E的方程；(2)已知不过原点O的直线l与E相交于A，B两点，且线段AB始终被直线y=2x平分．求△ABO的面积取最大时直线l的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2−1≥0，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题，2.【答案】C【解析】解：∵y=cosx在(0,π)上为减函数，α，β∈(0,π)，∴α>β⇔cosα<cosβ，∴α>β是cosα<cosβ的充要条件，故选：C．利用余弦函数的单调性、充要条件的定义判定即可．本题考查了余弦函数的单调性、充要条件的判定，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是有2次或3次出现反面．故选：D．利用对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．4.【答案】A【解析】解：直线l，两个不同的平面α，β，对于A，若l//α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；对于B，若l//α，l//β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l//α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：A．对于A，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于B，α与β相交或平行；对于C，l//β或l⊂β；对于D，l与β相交、平行或l⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．5.【答案】B【解析】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，∴组距是20，∵第一组抽取的学生的编号为6，∴第二组抽取的学生编号为6+20=26．故选：B．根据已知计算出组距，可得答案．本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念．6.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查直三棱柱ABC−A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=√2AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．7.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1，S=18，不满足条件S>4，执行循环体，n=32，S=98，不满足条件S>4，执行循环体，n=2，S=92，此时，满足条件S>4，退出循环，输出n的值为2．故选：B．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．本题考查了循环结构的程序框图，解题的关键是读懂框图的运行流程，是基础题．8.【答案】C【解析】解：在斜二测直观图中，斜边长为2√2的等腰直角△A′B′C′，由△A′B′C′为等腰直角三角形，A′B′=2√2，可得A′C′=2，B′C′=√2还原原图形如图：则AB=4，BC=2，则S△ABC =12−×AB×BC=12×4√2×2=4√2．故选：C．把斜二测直观图还原，求出AB、AC的长度，代入三角形面积公式得答案．本题考查斜二测画直观图，熟记斜二测的画法是关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，设FC=ED=1，矩形CDEF也是黄金矩形，则EF=CD=√5+12，又由矩形ABCD是黄金矩形，则BC=AD=(√5+12)2，故S矩形CDEF =DC×FC=√5+12，S矩形ABCD=AB×BC=(√5+12)3，则在矩形ABCD内任取一点，则该点取自黄金矩形CDEF内的概率P=S矩形CDEFS矩形ABCD=√5+1 2(√5+12)=(√5−12)2，故选：B．根据题意，设FC=ED=1，求出S矩形CDEF和S矩形ABCD，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意“黄金矩形”的定义，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意知，F1(−2,0)，F2(2,0)，|F1F2|=4，设双曲线C2的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，因为双曲线C2经过点A(1,0)，所以1a2−0b2=1，所以a=1，不妨取点P在第一象限，由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2×4=8，由双曲线的定义知，|PF1|−|PF2|=2a=2，解得，|PF1|=5，|PF2|=3，因为|F1F2|=4，所以△F1PF2为直角三角形，所以cos∠F1PF2=|PF2||PF1|=35．故选：A．设双曲线C2的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，代入点A的坐标，可求得a=1，取点P在第一象限，结合椭圆和双曲线的定义，求出|PF1|和|PF2|的值后，即可得解．本题考查椭圆与双曲线的定义与几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意可知，当三棱锥P−ABC的体积最大时是PB⊥平面ABC时，△ABC 为正三角形，如图所示，将三棱锥P−ABC补成正三棱柱TPS−ABC，该正三棱柱的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，设△ABC外接圆半径为r，三棱锥P−ABC的外接球半径为R，由正弦定理可得：2r=6sinπ3=4√3，所以r=2√3，R2=r2+(PB2)2=12+4=16，所以三棱锥P−ABC外接球的表面积为S=4πR2=64π．故选：C．由题意分析可得，当PB⊥平面ABC时三棱锥P−ABC的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而求得球的表面积．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：取PF的中点D，因为|OP|=|OF|，所以OD⊥PF，取左焦点F′，连接PF′，则OD//PF′，所以PF′⊥PF，双曲线的右焦点F(c,0)在直线4x+3y+m=0上，所以4c+m=0，即m=−4c，所以直线PF的方程为4x+3y−4c=0，O到直线的距离为d=4c5，所以|PF′|=8c5，|PF|=|PF′|−2a=8c5−2a，在Rt△PFF′中，由勾股定理可得|PF′|2+|PF|2=|FF′|2，即：(8c5)2+(8c5−2a)2=4c2，整理可得：7c2−40ac+25a2=0，即7e2−40e+25=0，e∈(1,+∞)，解得e=5，故选：D．取PF的中点D，因为|OP|=|OF|，所以OD⊥PF，取左焦点F′，连接PF′，则OD为中位线，则OD//PF′，可得PF′⊥PF，将F的坐标代入直线PF的方程，可得m的值，求出O到直线PF的距离，可得|PF′|的值，由双曲线的定义可得|PF|的值，在直角三角形中，由勾股定理可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质的应用及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．13.【答案】x24+y23=1【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2，可得a=2，c=1，所以b=√3，所以椭圆方程为：x24+y23=1．故答案为：x24+y23=1．利用已知条件求解a，b，推出椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．14.【答案】13【解析】解：由茎叶图知，18×(7+y+11+14+14+15+21+22)=14，解得y=8，所以妹妹的销售量的众数是14，又因为姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，所以姐姐的销售量的中位数是16，即12×(10+x+17)=16，解得x=5，所以x+y=5+8=13．故答案为：13．根据茎叶图中的数据，结合题意求出y和x的值，即可得出答案．本题考查了茎叶图和平均数、中位数的应用问题，是基础题．15.【答案】1【解析】解：由题意可得F(1,0)，设P(y024,y0)，M(x,y)，∵M是线段PF的中点，则M(12+y028,y02)，∴k OM=y0212+y028=4y04+y02≤4y04y0=1，当且仅当y=2时取等号∴直线OM的斜率的最大值为1．故答案为：1．由题意可得F(1,0)，设P(y024,y0)，根据M是线段PF的中点，求出M的坐标，可得直线OM 的斜率，利用基本不等式可得结论．本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：①当D为AC⏜中点，且A，B，C，D四点共面时，CD//AB．连结BD，交AC于O，则O为AC中点，此时AB=BC=CD=DA，且∠ABC=∠ADC=90°，所以四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，故①正确；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上(不含端点)时，AB⊥CD．此时有：DE⊥平面ABC，∴DE⊥AB，又因为AB⊥BC，BC∩DE=E，所以AB⊥平面CDB，所以AB⊥CD，故②正确；③∵V D−ABC=13S△ABCℎ，当平面ACD⊥平面ABC，且D为AC⏜中点时，ℎ有最大值；当A，B，C，D四点共面时ℎ有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，故四面体D−ABC无最小值，故③错误．④当二面角D−AC−B为直二面角，且D为AC⏜中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，则DO⊥AC，AC=平面ACB∩平面ACD，平面ACB⊥平面ACD，所以DO⊥平面ABC，所以∠DBO为直线DB与平面ABC所成角，设AB=BC=a，则AC=√2a，OB=OD=12AC=√22a，所以△BOD为等腰直角三角形，所以∠DBO=45°，即直线DB与平面ABC所成角为45°，故④正确．故答案为：①②④．①当D为AC⏜中点，A，B，C，D四点共面时，可得四边形ABCD为正方形；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上(不含端点)时，可得所以AB⊥平面CDB，即可得AB⊥CD；③当A，B，C，D四点共面时ℎ有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，即可判断；④当二面角D−AC−B为直二面角，且D为AC⏜中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，进而得到△BOD为等腰直角三角形，即可判断．本题考查了立体几何中线与线、线与面的关系及体积计算和空间想象能力，难点在于找出每一个命题中D的位置，属于中档题．17.【答案】解：(1)若p为真命题，则m−2>4−m>0，解得3<m<4，若“¬p”为真命题，则p为假命题，m≤3或m≥4．m∈(−∞,3]∪[4,+∞)．(2)若q为真命题，则{4−m>0m−2>0，解得2<m<4，若“p∧q”为假命题，则“p∨q”为真命题，则p与q一真一假，①若p真q假，则{3< m<4 m≤2;或m≥4，解得m∈⌀．②若p假q真，则{m≤3 或m≥42<m<4，解得2<m≤3．综上所述，m∈⌀∪(2,3]=(2，3]，即m的取值范围为(2,3]．【解析】(1)通过p为真命题，求解m的范围，“¬p”为真命题，求解m的范围即可．(2)利用复合命题真假，列出关系式，求解即可．本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质以及命题的真假的判断，是基础题．18.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：(0.007+0.010+2a+0.043)×10=1，解得t=0.020．(2)由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：0.010：0.020：0.020=1：2：2，故抽取的5人中，[50,60)，[60,70)和[80,90)别为：1人，2人，2人，记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B，故随机抽取2人共有{a,b}，{a,c}，{a,A}，{a,B}，{b,c}，{b,A}，{b,B}，{c,A}，{c,B}，{A,B}，共10种，其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含{a,A}，{a,B}，{b,A}，{b,B}，{c,A}，{c,B}，{A,B}，共7种，故其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为P=710．【解析】(1)根据频率分布直方图的性质列方程，能求出t．(2)由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为1：2：2，故抽取的5人中，[50,60)，[60,70)和[80,90)别为：1人，2人，2人，记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B，随机抽取2人，利用列举法能求出其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：取BC 中点O ，连接GO ，FO ， ∵四边形ABCD 为矩形，BC =2AB =4，F ，G 分别是AD ，BE 的中点，∴FO//DC ，GO//EC ，∵FO ∩GO =O ，DC ∩EC =C ， ∴平面FOG//平面DCE ，∵FG ⊂平面FOG ，∴FG//平面DCE ． (2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ，∵平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE =BC ， ∴AB ⊥平面BCE ，以B 为原点，在平面BCE 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴， BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2√3,2,0)，C(0,4,0)，D(0,4,2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)， 设平面ABE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)， 设平面DCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2c =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3a −2b =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0)， 设平面ABE 与平面DCE 夹角为θ， 则平面ABE 与平面DCE 夹角的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√4⋅√4=12．【解析】(1)取BC 中点O ，连接GO ，FO ，推导出FO//DC ，GO//EC ，从而平面FOG//平面DCE ，由此能证明FG//平面DCE ．(2)推导出AB ⊥BC ，AB ⊥平面BCE ，以B 为原点，在平面BCE 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE 与平面DCE 夹角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点到顶点的距离为34，可得p 2=34，解得p =32，∴抛物线C 的方程为x 2=3y ．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与C 仅有一个交点，不符． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +1， 由{x 2=3y y =kx +1， 消去y 可得x 2−3kx −3=0，∵直线l 交抛物线C 于不同的两点，∴Δ=9k 2+12>0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由韦达定理得x 1x 2=−3 ∴k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=x 123x 1⋅x 22x 2=x 1x 29=−13．【解析】(1)利用已知条件求解p ，即可得到抛物线C 的方程．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与C 仅有一个交点，不符．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +1，联立直线与抛物线方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理，结合斜率乘积，化简推出结果即可．本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．21.【答案】解：(1)证明：∵AD 是直径，∴AF ⊥FD ，∵CD ⊥平面ADF ，AF ⊂平面ADF ， ∴CD ⊥AF ，∵CD ⊂平面DCF ，DF ⊂平面DCF ，CD ∩DF =D ， ∴AF ⊥平面DCF ．(2)如图，作圆柱的母线FG ，则FG//AB，且FG=AB，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF//BG，且AF=BG，①又依题知B，E，C，G为底面的四等分点，∴BG//EC，且BG=EC，②由①②知四边形AECF为平行四边形，依题意得AD=4，AF=FD=2√2且∠AFD=90°，∴S△ADF=12AD⋅DF=4，∵E到面ADF的距离为d=AB=4，∴V D−AEF=V E−ADF=13⋅S△ADF⋅d=13×4×4=163，所以几何体DAECF的体积为V=2V D−AEF=323．【解析】(1)推导出AF⊥FD，CD⊥AF，由此能证明AF⊥平面DCF．(2)作圆柱的母线FG，推导出四边形ABGF是平行四边形，进而推导出四边形AECF为平行四边形，再由V D−AEF=V E−ADF，几何体DAECF的体积为V=2V D−AEF，能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)设M(x,y)，由M为线段PQ上一点，且|PM|=2|MQ|，得P(3x,0)，Q(0,32y)，又|PQ|=3，则√(3x)2+(32y)2=3，整理可得y24+x2=1，所以轨迹E的方程为y24+x2=1．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为N(x0,y0).∵N在直线y=2x上，∴y0=2x0，∵A ，B 在轨迹E 上，∴{y 124+x 12=1y 224+x 22=1，两式相减，可得(y 2−y 1)(y 2+y 1)4+(x 2−x 1)(x 2+x 1)=0，∴y 2−y 1x 2−x 1=−4×x 2+x 1y 2+y 1=−4×2x 02y 0=−2，即直线l 的斜率为−2，依题意，可设直线l 的方程为y =−2x +m(m ≠0)， 由{y 24+x 2=1y =−2x +m， 可得8x 2−4mx +m 2−4=0，则{m ≠0Δ=(−4m)2−4×8(m 2−4)=16(8−m 2)>0， 解得−2√2<m <2√2且m ≠0，由韦达定理，得x 1+x 2=m2，x 1x 2=m 2−48，∴|AB|=√(1+k AB 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+4)(m 24−m 2−42)=√5(8−m 2)2，∵原点O(0,0)到直线l 的距离为d =√5， ∴S △ABO =12|AB|d =12×√5(8−m 2)2√5=14√(8−m 2)m 2≤14×(8−m 2)+m 22=1，当且仅当{m ≠0−2√2<m <2√28−m 2=m 2，即m =±2时等号成立，即m =±2时，三角形的面积最大，此时直线l 的方程为y =−2x ±2．【解析】(1)设M(x,y)，由M 为线段PQ 上一点，且|PM|=2|MQ|，列出方程化简求解即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0).利用点差法，求解直线的斜率，得到直线方程，利用{y 24+x 2=1y =−2x +m ，结合韦达定理，弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，利用基本不等式求解最值，然后求解直线方程即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
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江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．=e为函数f（）的极大值点B．=e为函数f（）的极小值点C．为函数f（）的极大值点D．为函数f（）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（，y）=a+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2p（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆2+y2=4上任取一点P，点P在轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为1，直线AD斜率为2，求证：12为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（）=2e．（1）求曲线f（）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（）＜a对∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（）=f（）﹣在区间（n，n+1）上有零点．江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．=e为函数f（）的极大值点B．=e为函数f（）的极小值点C．为函数f（）的极大值点D．为函数f（）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（）=，令f′（）=＞0，解得：0＜＜e，令f′（）=＜0，解得：＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=3+2+m+1是R上的单调函数，只需y′=32+2+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，y∈（0，+∞），且满足，那么+4y=（+4y）=≥==+，当且仅当=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=代入﹣=1，可得=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e d=ln|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（，y）=a+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（，y）=a+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2p（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8；（2）方法一：设A（1，y1），B（2，y2），则1+2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（﹣1）﹣1，即4+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=（﹣1）﹣1，A（1，y1），B（2，y2），由，消去，得y2﹣8y﹣8﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（﹣1）﹣1，即4+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为轴正方向，方向为y轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系Cy，则D（1，1，0），E（0，2，1），A 1（2，0，2），，，设是平面A 1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆2+y2=4上任取一点P，点P在轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为1，直线AD斜率为2，求证：12为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（，y），则由题意知点P的坐标为（，2y）因为P在圆O：2+y2=4，所以2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为=my+1，B（1，y1），D（2，y2）由消去，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=（﹣1），B（1，y1），D（2，y2）由消去y，得（1+42）2﹣82+42﹣4=0，易知△=482+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（）=2e．（1）求曲线f（）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（）＜a对∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（）=f（）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（）=（2+2）e，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（﹣1），即y=3e﹣2e；（2）∵f（）＜a，对∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（）=e，g'（）=（+1）e，令g'（）＞0，得＞﹣1，令g'（）＜0得＜﹣1，∴g（）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（）=0，得，当＜0时，，∴F（）的零点在（0，+∞）上，令f'（）＞0，得＞0或＜﹣2，∴f（）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解0，且0∈（n，n+1），n∈，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。