数论公式
数学公式大全(数学)
数学公式大全(数学)数学公式大全数学是一门关于数量、结构、空间以及变化的学科，它是科学和工程中必不可少的基础。
数学公式是数学思想的精华所在，它们可以用来解决各种数学问题，并在实际应用中发挥重要作用。
本文将为您提供一份数学公式大全，涵盖了数学的各个领域。
一、代数和方程1. 一次方程式：ax + b = 0其中，a和b是已知常数，x是未知数。
2. 二次方程式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知常数，x是未知数。
3. 四则运算：- 加法：a + b = c- 减法：a - b = c- 乘法：a × b = c- 除法：a ÷ b = c4. 幂运算：a^n表示将a自乘n次，其中a是底数，n是指数。
5. 开平方：√a表示寻找b，使得b^2 = a，其中a是要开方的数。
6. 排列和组合：- 排列：P(n, k) = n! / (n-k)!- 组合：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)其中，n为元素个数，k为要选择的元素个数，"!"表示阶乘运算。
二、几何和三角学1. 直角三角形：- 勾股定理：a^2 + b^2 = c^2- 正弦定理：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c- 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)2. 圆：- 圆的面积：A = πr^2- 圆的周长：C = 2πr其中，r为圆的半径，π是一个数学常数，近似值为3.14159。
3. 三角函数：- 正弦函数：sin(x)- 余弦函数：cos(x)- 正切函数：tan(x)其中，x为角度。
4. 三角恒等式：- 和差公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)- 二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)三、微积分1. 导数：f'(x)表示函数f(x)对x的变化率。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方和立方差公式是数学中常见的两个公式，它们在代数和数论等领域有广泛的应用。
本文将为大家介绍这两个公式，并探讨它们的应用和意义。
一、完全立方公式完全立方公式是指一个整数的立方是由连续奇数相加得到的。
具体来说，一个整数n的立方可以写成n^3 = a + b + c + ...，其中a，b，c，...是连续的奇数。
例如，8的立方是8^3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15，其中1到15是连续的奇数。
完全立方公式的应用非常广泛。
首先，在数论中，完全立方公式可以用来研究整数的性质和关系，如整数的分解和因子等。
其次，在代数中，完全立方公式可以用来求解一元三次方程，解决一些复杂的代数问题。
此外，在几何学中，完全立方公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的体积和表面积等。
二、立方差公式立方差公式是指两个整数的立方之差可以用一些数的立方来表示。
具体来说，如果有两个整数a和b，那么它们的立方之差可以表示为a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式可以通过展开(a - b)(a^2 + ab + b^2)来验证。
立方差公式的应用也非常广泛。
首先，在因式分解中，立方差公式可以用来分解一个立方差，将其转化为更简单的因式。
其次，在代数中，立方差公式可以用来求解一些方程和不等式，简化计算过程。
此外，在几何学中，立方差公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的对角线长度等。
三、完全立方和立方差公式的意义完全立方和立方差公式在数学中有重要的意义。
它们不仅可以帮助我们理解和解决一些数学问题，还可以拓展我们的思维和推理能力。
通过学习和应用这些公式，我们可以培养逻辑思维和数学思维，提高解决问题的能力。
完全立方和立方差公式的应用也不仅局限于数学领域。
在生活和工作中，我们也经常会遇到需要应用这些公式的情况，如物理学、工程学和计算机科学等领域。
世界上最伟大的十个公式
世界上最伟大的十个公式1.万有引力定律（公式：F=G*(m1*m2)/r^2）万有引力定律由牛顿提出，描述了两个物体之间的引力作用。
该公式说明了它们之间的引力与质量和距离的平方成反比。
2. 波尔-爱因斯坦关系（公式：E = mc^2）这个公式由爱因斯坦在相对论理论中提出，它描述了质量和能量之间的等价关系。
其中，E是能量，m是物体的质量，c是光速。
3.海森堡不确定性原理（公式：Δx*Δp≥h/4π）海森堡提出了这个原理，它描述了量子物理学中的粒子位置和动量的测量不可能完全精确。
该公式说明了测量粒子位置和动量的不确定性之间的关系。
4. 斯托克斯定律（公式：∮C F · dr = ∬S (curl F) · dS）斯托克斯定律描述了矢量场中环路曲线上的环流和场的偏转之间的关系。
该公式表明，环路曲线上的环流等于曲线包围的表面上的场的旋度。
5.波尔半径（公式：r=(n^2*h^2)/(4π^2*m*e^2*Z)）波尔半径是描述原子中电子轨道半径的公式。
其中，n是主量子数，h是普朗克常数，m是电子质量，e是元电荷，Z是原子核的原子序数。
6.相对论质能关系（公式：E=m*c^2/√(1-v^2/c^2)）这个公式是相对论中描述质能和速度之间关系的公式。
其中，E是质能，m是物体的质量，c是光速，v是物体的速度。
7.热力学恒等方程（公式：dU=TdS-PdV）热力学恒等方程描述了系统的内能与温度、熵和压强之间的关系。
该公式表明，内能的变化取决于温度和熵的变化以及压强和体积的变化。
8.波动方程（公式：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u）波动方程描述了波的传播和振幅随时间和空间的变化。
其中，u是波函数，t是时间，c是波的传播速度，∇^2是拉普拉斯算符。
9.黎曼-默滕斯公式（公式：ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...）黎曼-默滕斯公式是数论中的重要公式，描述了黎曼ζ函数与复数s 之间的关系。
数论简介
称符号
a p
为Legendre符号。
勒让德符号的简单公式
计算
a p
有一个简单公式：
例题： 判断
a p
a( p1) / 2
mod
p
x2≡5 mod 23 是否有解
Legendre符号的性质
设p是奇素数，a和b都不能被p除尽，则
① 若a≡b mod p，则
例题
舍9法：对于一个十进制整数n=ak …a1a0，有 n≡ak +…a1+a0 mod 9
用舍9法证明： 123456789123456789+234567891234567891 ≠358025680358025680 用舍9法证明： 123456789123456789+234567891234567891 ≠28958998683279996179682996625361999
例题：判断67是否是一个素数
素数的判别方法
设q为素数， 则p=2q+1为素数的充分必要条件是 22q≡1 (mod p)
例题：已知29是一个素数，判断59是否是一个素数
1000以内素数表
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997};
小学奥数知识点梳理1——数论
小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
高中数学常用公式归纳总结
高中数学常用公式归纳总结1500字高中数学常用公式归纳总结在高中数学学习中，有很多常用公式是我们需要熟记和灵活运用的。
这些公式在解题过程中起到了重要的作用，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
下面是我对高中数学常用公式的归纳总结，希望对大家的学习有所帮助。
1. 二项式定理(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n这个定理可以用来展开二项式的幂，特别适用于求解组合数问题。
2. 三角函数的基本关系sin^2θ + cos^2θ = 1tanθ = sinθ/cosθsecθ = 1/cosθcscθ = 1/sinθcotθ = cosθ/sinθ这些关系可以帮助我们计算三角函数的值，简化复杂的三角表达式。
3. 三角函数的诱导公式sin(A±B) = sinA*cosB ± cosA*sinBcos(A±B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanA*tanB)这些诱导公式可以将两个角的三角函数关系转化为一个角的三角函数关系，有利于计算。
4. 平面几何公式面积公式：三角形的面积S = (1/2) * 底 * 高正n边形（边长为a）的面积S = (1/4) * n * a^2 * cot(π/n)圆的面积S = π * r^2圆环的面积S = π * (R^2 - r^2)，其中R为外半径，r为内半径周长公式：三角形的周长C = 边1 + 边2 + 边3矩形的周长C = 2 * (长 + 宽)圆的周长C = 2 * π * r正n边形（边长为a）的周长C = n * a这些公式可以帮助我们计算平面图形的面积和周长。
5. 空间几何公式体积公式：直角三棱柱的体积V = 底面积 * 高直角四棱柱的体积V = 底面积 * 高直角三角锥的体积V = (1/3) * 底面积 * 高直角四面体的体积V = (1/3) * 底面积 * 高正n面体的体积V = (1/3) * 底面积 * 高曲面旋转体的体积V = π * 积分(半径函数的平方) * dx，其中x的范围为曲线的一段曲面旋转体的体积V = π * 积分[(半径函数的平方) * (曲线的微小长度)]，其中曲线的范围为a到b表面积公式：直角三棱柱的表面积S = 2 * (长*宽 + 长*高 + 宽*高)直角四棱柱的表面积S = 2 * (长*宽 + 长*高 + 宽*高)直角三角锥的表面积S = 底面积 + 1/2 * 周长 * 斜高直角四面体的表面积S = 底面积 + 3/2 * 侧面积正n面体的表面积S = 底面积 + n/2 * 侧面积6. 进制转换公式二进制转十进制：将二进制数的每一位乘以2的相应次幂，然后相加十进制转二进制：用2连续除以10，将余数反序排列即可八进制转十进制：将八进制数的每一位乘以8的相应次幂，然后相加十进制转八进制：用8连续除以10，将余数反序排列即可十六进制转十进制：将十六进制数的每一位乘以16的相应次幂，然后相加十进制转十六进制：用16连续除以10，将余数反序排列即可这些公式可以帮助我们进行不同进制之间的转换。
数论的四大定理详解（转载）
数论的四⼤定理详解（转载）转载于:前⾔可以发现RSA中的很多攻击⽅法都是从数论四⼤定理推导出的，所以找时间好好学习了⼀下数论四⼤定理的证明及其应⽤场景——Rabin算法。
欧拉定理若$n,a$为正整数，且$n,a$互素，即$gcd(a,n) = 1$，则$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$证明⾸先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$这个式⼦实在$a$和$n$互质的前提下成⽴的。
证明⾸先，我们知道在1到$n$的数中，与n互质的⼀共有$φ(n$)个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合X中，即为$x_1,x_2……x_{φ(n)}$那么接下来，我们可以再设出⼀个集合为M，设M中的数为：$m_1=a∗x_1,m_2=a∗x_2……m_φ(n)=a∗x_{φ(n)}$下⾯我们证明两个推理：⼀、M中任意两个数都不模n同余。
反证法。
证明：假设M中存在两个数设为$m_a,m_b$模$n$同余。
即$m_a\equiv m_b$移项得到：$m_a−m_b=n∗k$再将m⽤x来表⽰得到：$a∗x_a−a∗x_b=n∗k$提取公因式得到：$a∗(x_a−x_b)=n∗k$我们现在已知$a$与$n$互质，那么式⼦就可以转化为：$x_a−x_b\equiv 0 \pmod{n}$因为$a$中没有与$n$的公因⼦（1除外）所以$a !\equiv 0 \pmod{n}$ 所有只能是$ x_a−x_b\equiv 0\pmod{n}$。
⼜因为$x_a,x_b$都是⼩于$n$的并且不会相同，那么上述的式⼦⾃然全都不成⽴。
假设不成⽴。
证得：$M$中任意两个数都不模$4$同余。
⼆、M中的数除以n的余数全部与n互质。
证明：我们已知$m_i=a∗x_i$⼜因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，所以可得$m_i$与$n$互质。
带⼊到欧⼏⾥得算法中推⼀步就好了。
数学定理概念公式总览
数学定理概念公式总览
1. 质数定理
质数定理是由数论中的黎曼公式推导出来的。
它表明在任意给定范围内，质数的个数约为范围的大小除以 ln(n)。
即：
$$\pi(n) \approx \frac{n}{\ln(n)}$$
2. 欧拉恒等式
欧拉恒等式是数学中的一条重要公式，它将五个基本常数结合在一起，形成了一个神奇的等式。
该等式是：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
3. 虚数单位公式
虚数单位是一个数学中的特殊常数，通常表示为 i 或 j。
虚数单位的平方等于 -1，其表达式如下：
$$i^2 = -1$$
4. 黄金分割公式
黄金分割是一种特殊比例关系，在数学和艺术中广泛应用。
黄金分割公式如下：
$$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
5. 傅里叶级数公式
傅里叶级数是将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数公式如下：
$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nt + b_n\sin nt)$$
6. 哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是一条尚未被证明的数学定理，它认为任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
该猜想是：
$$\forall n > 2, \exists p, q \text{ where } p, q \text{ are prime numbers, and } n = p + q$$
以上是数学定理概念公式的总览，希望对您有所帮助！。
数学实用的公式
数学实用的公式1. 二次方程公式： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a这个公式用于求解任何形式的二次方程的解，其中a、b、c都是已知的实数常数，而x则是未知数。
2. 欧拉公式： e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式将复数与三角函数联系起来，其中i是虚数单位。
这个公式有许多用途，例如在电路分析和信号处理中，以及在图形绘制中。
3. 马莱定理：在任何简单图中，边数减去节点数加2的差值等于回路数与割边数之和。
这个公式是图论中非常基础和常用的一条规律，可以在许多问题中帮助理解和解决问题。
4. 泰勒公式： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ...这个公式是一种将函数表示为无穷项级数的方法。
它可以用于数值逼近、微积分、对函数的近似和分析等许多领域。
5. 费马小定理：如果p是素数，a是整数，那么a^p ≡ a (mod p)这个公式是数论中非常基础的定理，可以用于许多加密算法和编码技巧中。
6. 矩阵乘法公式：(AB)_ij = ∑(把k从1到n求和a_ikb_kj)这个公式将两个矩阵相乘，其中A和B是已知的矩阵，而_AB_是它们的积。
7. 帕斯卡三角形公式： C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个公式用于计算帕斯卡三角形中的系数，其中C(n, k)表示从n 个不同元素中取出k个元素的组合数。
8. 黎曼和公式： lim(把n趋近于无穷大时Δx趋于0求和f(xi)Δx) = ∫f(x)dx这个公式用于将一个函数的积分转化为一个极限求和的形式。
它在微积分和数值逼近中都有很多应用。
人类最美的54个公式
人类最美的54个公式作为一种方式来描述和解释自然现象和数学常识的工具，公式在人类的历史中起着重要的作用。
在众多公式中，有一些被视为人类创造的最美之作。
以下是人类认为最美的54个公式。
1. 欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0。
这个公式将数学中的五个最基本的数——0、1、e、i和π联系在了一起。
2. 直线方程：y = mx + b。
这个简单而经典的公式描述了直线的关系，具有重要的几何和物理意义。
3. 平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
它展示了两个数的平方和与其各自平方之和的关系。
4. 费马小定理：对于素数p和整数a，a^p ≡ a (mod p)。
这个公式是数论中的基石之一，深刻揭示了整数的特性。
5. 波尔-爱因斯坦关系：E = mc^2。
它描述了质量与能量之间的等价关系，是相对论中最著名的公式之一。
6. 黎曼猜想：ζ(s) = 0。
这是数论中的一个重要猜想，关于复数域上的黎曼ζ函数零点的分布。
7. 斯特恩-盖恩斯公式：2^n = nC0 + nC1 + ... + nCn。
它表示一个集合中所有子集的总数等于2的n次方。
8. 高斯公式：∑n = (n(n+1))/2。
这个公式描述了整数从1累加到n的和，被高斯称为等差数列的和公式。
9. 球体表面积公式：4πr^2。
这个公式表示球体表面的面积与半径的平方成正比，是几何学中的重要公式之一。
10. 波长和频率公式：v = λf。
这个公式描述了波长、频率和波速之间的关系，为声波、光波等的研究提供了基础。
11. 黄金分割公式：φ = (1+√5)/2。
这个公式描述了一种美学比例，被广泛应用于艺术和设计领域。
12. 傅里叶级数：f(x) = a0 + ∑(an*cos(nx) + bn*sin(nx))。
它将一个函数展开为一组三角函数的线性组合，具有极大的实用价值。
13. 熵公式：S = -k∑(p*log(p))。
这个公式描述了热力学中的熵，用于衡量系统的无序程度。
高一数学公式知识点大全
高一数学公式知识点大全一、初等数论公式：1. 两个整数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)2. 费马小定理：如果 p 是一个质数，a 是任意整数且 a 不是 p 的倍数，那么：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)3. 埃拉托斯特尼筛法：利用筛法可以快速求解小于等于 n 的所有质数。
首先创建一个长度为 n+1 的布尔数组，然后将数组中的所有元素初始化为 true。
从 2 开始，如果该数为质数，则将其所有倍数标记为非质数。
最后，遍历布尔数组，所有仍然标记为 true 的数字即为质数。
二、代数公式：1. 二次方程求根公式：对于 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 二次根式的乘法公式：(√a + √b)(√a - √b) = a - b3. 二次根式的加减法公式：(√a ± √b)^2 = a± 2√ab + b4. 二项式的展开公式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
三、三角函数公式：1. 三角函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))2. 三角函数的平方和差化简公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1sin^2(x) - cos^2(x) = sin(2x)cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)3. 三角函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))四、几何公式：1. 圆的面积公式：S = πr^22. 球的体积公式：V = (4/3)πr^33. 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2其中，c 表示直角边长，a 和 b 表示另外两个边长。
数论公式
数论中的一些公式（转）以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^21*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 31*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 11^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 61^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 22^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 31/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^21/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/(2*4*6*...*(2n+2))1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2)) 1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...2^n >= n^2 , n=4, 5,...2^n >= 2n + 1, n=3,4,...r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<11*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<11/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中si n(x/2) != 01*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)c os((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 05^n - 1能被4整除7^n - 1能被6整除11^n - 6能被5整除6*7^n - 2*3^n能被4整除3^n + 7^n - 2能被8整除n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + nH(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1)) =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)因子和: 若 k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*... *(pi^0 + ... + pi^ai)没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)如果 a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % lEuler 定理若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % mFermat小定理p为素数，对任意的a有 a^p % p = a % pp为素数，对任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % pp为素数，对任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p一个奇数a的平方减1都是8的倍数任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
数学的一百个公式
数学的一百个公式以下是一百个与数学相关的公式，涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、微积分等。
这些公式可以帮助在数学学习和问题解决中提供参考和指导。
1. 二次方程的解：对于方程ax2 + bx + c = 0，解为x = (-b ±√(b2 - 4ac)) / (2a)。
2. 三角函数关系：sin2θ + cos2θ = 1。
3. 对数定义：logb(x) = y 等价于 by = x。
4. 欧拉公式：e(iπ) + 1 = 0。
5. 斐波那契数列：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
6. 二项式定理：(a + b)n = C(n, 0)an*b0 + C(n, 1)a(n-1)*b1 + ... + C(n, n)a0*bn。
7. 泰勒展开：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)2 + ...。
8. 等差数列求和：Sn = n/2(a + l)，其中Sn是前n项和，a是首项，l 是末项。
9. 等比数列求和：Sn = a(1 - rn) / (1 - r)，其中Sn是前n项和，a是首项，r是公比。
10. 直角三角形勾股定理：a2 + b2 = c2，其中a、b是直角边，c是斜边。
11. 一元二次方程根的判别式：Δ = b2 - 4ac，当Δ > 0时有两个实根，Δ = 0时有一个实根，Δ < 0时无实根。
12. 余弦定理：c2 = a2 + b2 - 2abcos(C)，其中a、b、c是三角形的边长，C是夹角。
13. 正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。
14. 对数性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)。
数学十大最美公式
数学十大最美公式数学是一门奇妙而美丽的学科，它通过符号和公式来描述和解决现实世界中的各种问题。
在数学的广阔领域里，有着许多被人们誉为“最美公式”的精妙等式。
这些公式不仅仅是抽象的数学工具，更是一种思维方式，展现了人类智慧的结晶。
以下将介绍数学十大最美公式，希望能够激发读者对数学的兴趣和热爱。
首先，我们不得不提到最著名的公式之一——欧拉公式：e^ix = cos(x) + isin(x)。
这个公式将自然对数的底e、虚数单位i、三角函数之间建立了一种神奇的联系。
欧拉公式以简短的表达方式展现了数学中的深度和丰富性。
它将三角函数与指数函数相结合，使得数学中的几何、代数和分析有了奇妙的统一。
接下来，我们来看一下费马大定理：x^n + y^n = z^n。
这个公式源自数论领域的一个著名问题，它由法国数学家费马提出，直到1994年才被著名数学家安德鲁·怀尔斯成功证明。
费马大定理引发了数学家们多年的思考和努力，也成为数学界的一个重大突破。
它揭示了数学中的无穷性和奥秘，体现了数学的思辨精神和探索精神。
第三个最美公式是高斯定理：∮S F·ds = ∫V (div F) dV。
高斯定理是物理学中电磁学理论的重要基础，也是数学物理的重要内容。
它描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的通量与其在该曲面内的散度之间的关系。
高斯定理使我们能够从微观角度去理解宏观世界中的电磁现象，揭示了自然界的规律和统一性。
第四个最美公式是黎曼猜想：ζ(s) = ∑(n=1,∞) 1/n^s = 0。
黎曼猜想是数论中的一个重要问题，它源自于对黎曼函数的研究。
虽然目前还没有找到一个证明黎曼猜想的方法，但是它激发了数学家们对数论的深入研究并取得了一系列重要的成果。
黎曼猜想以其深奥的数学思想和悬而未决的性质成为了数学中的经典之作。
下面我们来看一下伯努利方程：P + 1/2 ρv^2 + ρgh = 常数。
伯努利方程是流体力学中的基本方程之一，描述了在不可压缩、无粘度的流体中，沿着流线的能量守恒。
公文数学 万能公式
公文数学万能公式
以下是一些常见的数学公式，它们在各个领域中具有广泛的应用：
1. 欧拉公式：e^ix = cos(x) + i*sin(x)，该公式涉及到复数和三角函数，被广泛应用于电路分析、信号处理等领域。
2. 费马定理：a^n + b^n = c^n 在自然数域中无正整数解（n>2），这个定理被广泛应用于数论和密码学领域。
3. 泰勒级数展开公式：将一个函数表示为无穷级数的形式，用于近似计算和函数拟合。
4. 高斯定理：用于计算三维空间中的体积分和曲面积分之间的关系，被广泛应用于物理学和工程学。
5. 矩阵求逆公式：用于计算矩阵的逆矩阵，被广泛应用于线性代数和控制理论。
这些公式只是数学中的一小部分，每个领域都有其特定的公式和定理。
具体的应用需要根据实际情况和需求选择合适的数学工具和公式。
约数个数计算公式(二)
约数个数计算公式(二)约数个数计算公式简介在数论中，约数是指一个整数能被另一个整数整除的数。
求一个数的约数个数是数论中常见的问题之一。
本文将介绍几种常见的约数个数计算公式，并给出相应的例子进行说明。
计算公式1：穷举法穷举法是最简单直观的一种计算约数个数的方法。
它通过遍历所有小于等于给定数的正整数，判断是否能整除给定数，从而计算出约数的个数。
公式约数个数 = 约数1 + 约数2 + … + 约数n其中，约数i是小于等于给定数的正整数，且能整除给定数。
示例以整数12为例，穷举法计算其约数个数的步骤如下：1. 1 可整除 12，约数个数加1。
2. 2 可整除 12，约数个数加1。
3. 3 不可整除 12，跳过。
4. 4 可整除 12，约数个数加1。
5. 5 不可整除 12，跳过。
6. 6 可整除 12，约数个数加1。
7.7 不可整除 12，跳过。
8.8 不可整除 12，跳过。
9.9 不可整除 12，跳过。
10.10 不可整除 12，跳过。
11.11 不可整除 12，跳过。
12.12 可整除 12，约数个数加1。
最终，约数个数为6。
计算公式2：因数分解法因数分解法是另一种常用的计算约数个数的方法。
它通过将给定数分解为质因数的乘积，再利用质因数的指数求约数个数。
公式设给定数n的质因数分解为：n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak其中，p1, p2, …, pk为质因数，a1, a2, …, ak为对应的指数。
约数个数= (a1 + 1) * (a2 + 1) * … * (ak + 1)以整数24为例，因数分解法计算其约数个数的步骤如下：1.将24分解为质因数的乘积：24 = 2^3 * 3^12.根据公式，约数个数 = (3 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 = 8最终，约数个数为8。
计算公式3：欧拉函数法欧拉函数是数论中的一个重要函数，表示小于等于给定数且与给定数互质的数的个数。
小学数学分类公式大全
小学公式大全一、计算板块公式1、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数2、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数3、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数4、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数5、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
——a b b a +=+6、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
——)()(c b a c b a ++=++7、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
——a b b a ⨯=⨯8、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
——)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯9、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
——c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(10、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O 除以任何不是O 的数都得O 。
——b a b a b a 20201010÷=÷=÷11、乘法简便运算：被乘数、乘数末尾有O 的乘法，可以先把O 前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）13、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）14、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
——ac b a c a b ±=± 15、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
——cb a bc a ⨯=⨯ 16、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
小学生奥数数论数学公式五篇
学校生奥数数论数学公式五篇1.学校生奥数数论数学公式1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率6、加数＋加数＝和和减一个加数＝另一个加数7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数2.学校生奥数数论数学公式植树问题的公式1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：⑴假如在非封闭线路的两端都要植树，那么：株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）⑵假如在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶假如在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数3.学校生奥数数论数学公式常用数据①1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111123456×9＋7＝11111111234567×9＋8＝1111111112345678×9＋9＝111111111②9×9＋7＝8898×9＋6＝888987×9＋5＝88889876×9＋4＝8888898765×9＋3＝888888987654×9＋2＝88888889876543×9＋1＝88888888③19＋9×9＝100118＋98×9＝10001117＋987×9＝1000011116＋9876×9＝100000111115＋98765×9＝10000001111114＋987654×9＝1000000011111113＋9876543×9＝100000000111111112＋98765432×9＝10000000001111111111＋987654321×9＝100000000001×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝123454321111111×111111＝123456543211111111×1111111＝123456765432111111111×11111111＝123456787654321111111111×111111111＝12345678876543211111111111×1111111111＝12345678987654321142857×2＝285714142857×3＝428571142857×4＝571428142857×5＝714285142857×6＝857142142857×7＝99999912345679×9＝1111111114.学校生奥数数论数学公式反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
拉格朗日定理数论
拉格朗日定理数论
拉格朗日定理是一个关于整数划分的定理，它指出任何正整数n 都可以表示成不同正整数之和的方式数等于n的不同正整数个数。
具体地说，设p(n)为n的不同划分个数，则拉格朗日定理表明：
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-...
其中，减号和加号交替出现，对应的数是一系列五边形数。
这个公式可以用来计算任意正整数的划分数，但实际上很难用来计算大数的划分数，因为需要计算很多项。
拉格朗日定理的证明比较困难，需要借助生成函数和复合逆的概念。
生成函数是一个数列的形式幂级数，它可以将数列转化为函数，从而方便计算其各种性质。
复合逆则是一种函数的逆运算，它可以将一个函数表示为另一个函数的复合形式，从而方便进行求导、积分等操作。
拉格朗日定理在数论、组合数学等领域有广泛应用，例如在计算机科学中，可以用它来估算算法的时间复杂度。
此外，拉格朗日定理的推广形式也在研究其他数学问题时发挥着重要作用。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 如果a/b能表示成纯循环小数，则我们有gcd(b, 10) = 1。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 令h是一个最小的正整数，使得10^h 与1 关于b同余，那么a/b可以表示成纯循环小数
0.d1d2d3...dh。
设b是一个正整数且gcd(10, b) = 1，令h是一个最小的正整数，能使得10^h 与1 关于b同余，则h能够整除Euler(b)
如果它有有理数的根，证明这个根一定是整数，而且这个数一定是an的因子。如果不是整数，就一定是无理数。
设a,b都是正整数，a<b而gcd(a,b) = 1 ,如果存在一个素数p，它能够整除b，但是不能够整除10，则a/b一定不能够化成有限小数。如果b=2^a * 5^b，其中a,b都是非负整数，则a/b能化成有限小数。
2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3
1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!
2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2
数论公式2010/10/15 09:25转载自 zhengzhenzhe22最终编辑 zhengzhenzhe22以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3
一个奇数a的平方减1都是8的倍数
任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数
当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数
当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数
n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
(16b^5 + 20b^3 + 5b) / (16b^4 + 12b^2 + 1) <= 根号b平方+1 <= (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)
8*8棋盘2牌的完美覆盖数目为12988816=2^4 * 901^2
一张m行n列棋盘有一个b-牌的完美覆盖，当且仅当b是m的一个因子或者b是n的一个因子
1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/
(2*4*6*...*(2n+2))
1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))
1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...
2^n >= n^2 , n=4, 5,...
2^n >= 2n + 1, n=3,4,...
r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<1
设0.a1a2...an...不能换成有限小数，也不能化成循环小数，则它不能化成分数。
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。令
a=p^m, 当b=0的时候，a的开n次方是一个整数，当1<= b <= n - 1时，a的开n次方不能表示为分数。
cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0
1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))
A(n,r)/r=n!/(r * (n-r)!)给出。特别地，n个元素的循环排列的个数是(n-1)!
多重集排列：
令S是一个多重集，有k个不同类型的元素，各元素的重数分别为n1,n2,...,nk。设S的大小为n=n1+n2+...+nk。则S的排列数等于n!/(n1!*n2!*...*nk!)
设a, b, b1都是正整数，a < b, gcd(a, b) = 1, b1 > 1, gcd(b1, 10) = 1。b = 2^c * 5^d * b1, 其中c， d都是非负整数，且不同时为0， 令h是一个最小的正整数，使得 10^h 与1 关于b1同余, 则当c>=d时，我们有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c + h) ，而当c < d时，我们有a/b = 0.a1a2...ada'(d+1)...a'(d + h)
n阶幻方的幻和为 n*(n^2+1) / 2 n阶幻方体的幻和为(n^4+n) / 2
鸽巢原理： 如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体
鸽巢原理加强形式： 令q1，q2，..，qn为正整数。如果将 q1+q2+...+qn-n+1 个物体放入n个盒子内，那么，至少第一个盒子至少含有q1个物体，或者第二个
由n^2+1个实数构成的序列a1，a2,...,a(n^2+1)或者含有长度为n+1的递增子序列，或者含有长度为n+1的递减子序列
Ramsey定理：在6个（或更多的）人中，或者有3个人，他们中的每两个人都互相认识；或者有3个人，他们中的每两个人都彼此不认识
n个元素的集合的循环r-排列的个数由
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6
1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2
多重集的组合：
令S为具有k中类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限的重复数。则S的r-组合的个数等于 C(r+k-1,r)
如果排列P1P2...Pn有 逆序列b1,b2,...,bn，且k=b1+b2+...+bn为逆序数，那么P1P2...Pn可以通过k次连续交换得到12...n
(4b^3 + 3b) / (4b^2 + 1) <= b + 1 / (2b + 1/2b) <= 根号b平方+1 <= b + 1 / (2b + 1/(2b + 1 / 2b)) = (8b^4 + 8b^2 + 1) / (8b^3 + 4b)
b + 1/(2b + 1/(2b + 1/(2b + 1/2b))) <= 根号b平方+1
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。令
a=p^m, 当b=0的时候，a的开n次方是一个整数，当1<= b <= n - 1时，a的开n次方=b+c, 其中b是一个正整数而c是一个无限小数但不是循环小数。
设a是一个正整数, 当a的开n次方=b+c中b是一个正整数而0<c<1时，则a的开n次方不能表示成为分数，并且这时c是一个无限小数但不是循环小数。
若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)