2.2.2 等差数列的性质 课件(人教A版必修5)
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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
等差数列的性质 高中数学必修五课件
巩固练习
3、已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4
2、
已知 a n 中 a 数 1 3 ， ,a 1 n 列 a 1 n 1 5 (n 2 )则 ,a n __ .
m n p q , a m a n a p a q .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
试ap求 q.
解：设 d,则公 因 apa 差 q为 (p 为 q)d, 所d以 apaqqp1. pq pq 从 a p q a p 而 q q d q ( 1 ) 0 . 所a以 pq0.
二、 例：
例： 已知数列{ a n }的通项公式为 an pnq，其
数学必修5-2-2第2课时等差数列的性质PPT (2)
解析： (1)方法一：根据等差数列的性质 a2＋a14＝a3＋a13＝2a8 1 由 a2＋a8＋a14＝1，得 3a8＝1，解得 a8＝ . 3 2 ∴a3＋a13＝2a8＝3.
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
栏目导引
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2 ＋b2＝100，则a37＋b37等于________．
解析： 设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．
c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100. 答案： 100
工具
第二章 数列
栏目导引
等差数列的常用性质 性质1 通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*) 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 性质2 则ak＋al＝am＋an 若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1 a1＋an＝a2＋ 性质3 an－1＝a3＋an－2＝„
为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4，4分
故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分
工具
第二章 数列
栏目导引
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
工具
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列性质应(2)
D ）既不充分也不必要条
（ 3） a 1 , a 2 , a 3 , , a 2 n 1 成等差数列，奇数项之 偶数项之和为
( 4 ) 等差数列共
和为 60 ，
和。
45 ，求此数列的项数
.
15 项，第 8 项是 3，求这数列的奇数 ) 设 a n 是等差数列，
, S 100 145 , 求 :
a 1 a 3 a 5 a 99 的值
( 3 ) 一等差数列前 与奇数项和之比为
12 项的和为 354 ，前 12 项中偶数项 32 : 27 求公差 d 的值
( 4 ) 设等差数列的项数 与偶数项之和的比为
a n 9 a n 8 a n q 则前 n 项和 S n
( 4 ) 等差数列 紧接在后面的 再紧接后面
a n 的前
n 项和等于 2， 12 ,
2 n 项的和等于
3 n 项和为 S ，求出 S .
例 2。 （1）项数为奇数 2 n 1的等差数列
d 1 2
( 2 ) 在等差数列中，
2 . 1）如果数列 （
d 1, S 98 137 , 求 a 2 a 4 a 6 a 98 的值
a 1 25 ， b1 75
a n 、b n 都是等差数列，且
a 2 b 2 100 .，求 a 37 b 37 的值 （ 2） a n 2 a n 2 a n 1 ( n N ) 是数列成等差数列的 （ A ）充分非必要条件；（ （ C ）充要条件；（ B ）必要非充分条件； 件。
等差数列性质应用（2）
1 .在等差数列中，有： （1） a1 a n a 2 a n 1 a n r a r 1 ( 2 )若 m n p q , 则 a m a n a p a q （ 3） a n a n k a n k 2 ( 4 )当项数为 2 n 时 , 则 s 奇 s 偶 s 2 n , s 偶 s 奇 nd ( 5 )当项数为 2 n 1时，则 s 奇 s 偶 s 2 n 1 , s 奇 s 偶 a n a中 s 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n ( 2 n 1 ) a中 s 偶 na , s 奇 ( n 1) a中
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
第28页，共46页。
【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
【高中课件】高中数学 2.2.2 等差数列的性质 新人教A版必修5课件ppt.ppt
A.0
B.10
C.20
D.不确定
答案:C
等差数列的性质 剖析:若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则有: (1)当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0 时,数列
为递减数列. (2)d=ann--a11 = amm--akk(m,n,k∈N*).
(3)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
分析:充分利用等差中项的定义求解未知量. 解法一:设这三个数为 a,b,c,且 a<b<c.
2b = a + c,
则由题意,得 a + b + c = 18, a2 + b2 + c2 = 116,
解得 a=4,b=6,c=8. 故这三个数是 4,6,8.
题型一
题型二
题型三
解法二:设这三个数为 a-d,a,a+d,
程组求解;也可采用对称的设法,三个数时,设 a-d,a,a+d.四个数时,设 a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用已知条件列方程(组)先求出其中的 a 与 d,再进一步解 题.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
【例 3】 设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求 ap+q.
错解:∵数列{an}是等差数列,
(4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq.
(5)若m2+n=k,则 am+an=2ak(m,n,k∈N*). (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相 等,且等于首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N*).
高中数学人教A版必修5第二章2.2 等差数列性质 课件(共15张PPT)
则am a1 (m 1)d,
ap a1 ( p 1)d , aq a1 (q 1)d,
am an 2a1 (m n 2)d, ap aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q,am an ap aq.
9
2、等差数列的性质二： • 在等差数列{an}中，若m+n=p+q， m、n、p、q∈N*， 则 am+an=ap+aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am+an=＿2ak ＿注。意：等号两边的项数相等！
已知等差数列{an}为：（2）a3+a5=a2+a6=a4+a4
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19···
填空：
（1）a1+a10=（20 ） a2+a9=（20 ） a4+a7=（20 ） （2）a3+a5=（14 ） a2+a6=（14 ） a4+a4=（14 ）
思考： 1.观察每组式子项数的和与项的和，你发现了什么？
3
探究一
已知等差数列{an}为：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19···
填空：
a10=a1+( 9 )d a10=a5+( 5 )d
a5=a1+( 4 )d a8=a2+( 6 )d
思考：1.观察上列各式，你发现了什么？
2.已知等差数列{an}中，公差为d，则an与am （n， m∈N*)有何关系？
10
基础练习
1、在等差数列{an}中，a7+ a9=16， a4=1，则a12的值是( A ) A.15 B.30 C.31 D.40 2、在等差数列{an}中，a4+a16=20，
ap a1 ( p 1)d , aq a1 (q 1)d,
am an 2a1 (m n 2)d, ap aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q,am an ap aq.
9
2、等差数列的性质二： • 在等差数列{an}中，若m+n=p+q， m、n、p、q∈N*， 则 am+an=ap+aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am+an=＿2ak ＿注。意：等号两边的项数相等！
已知等差数列{an}为：（2）a3+a5=a2+a6=a4+a4
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19···
填空：
（1）a1+a10=（20 ） a2+a9=（20 ） a4+a7=（20 ） （2）a3+a5=（14 ） a2+a6=（14 ） a4+a4=（14 ）
思考： 1.观察每组式子项数的和与项的和，你发现了什么？
3
探究一
已知等差数列{an}为：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19···
填空：
a10=a1+( 9 )d a10=a5+( 5 )d
a5=a1+( 4 )d a8=a2+( 6 )d
思考：1.观察上列各式，你发现了什么？
2.已知等差数列{an}中，公差为d，则an与am （n， m∈N*)有何关系？
10
基础练习
1、在等差数列{an}中，a7+ a9=16， a4=1，则a12的值是( A ) A.15 B.30 C.31 D.40 2、在等差数列{an}中，a4+a16=20，
人教版A版高中数学必修5：等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1
10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
同步讲义必修五等差数列的性质题型总结
§2.2.2 等差数列的性质学习目标1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2. 能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一等差数列的性质梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n ＝2p，则a n＋a m＝2a p.知识点二由等差数列衍生的新数列梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)题型分析类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.跟踪训练1数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A.0B.3C.8D.11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？跟踪训练2若数列{a n}满足a1＝15,3a n＋1＝3a n－2(n∈N*)，则使a k·a k＋1<0的k值为________.类型三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式.引申探究1.在例3中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N *，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值.1. 在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A.3B.－6C.4D.－32. 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A.32B.－32C.35D.－353. 等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A.3B.－3C.32D.－324. 下列说法中正确的是( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列5. 在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32(n －1)C.a n ＝－5－34(n －1)D.a n ＝54n 2－3n一、选择题1. 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A.12B.8C.6D.42. 设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A.－182B.－78C.－148D.－823. 下面是关于公差是d (d ＞0)的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3 D.p 1，p 44. 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.105. 若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A.0B.1C.2D.1或26. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A.45B.75C.180D.3007. 已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B.±3 C.－33D.－ 3 8. 若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于( ) A.1 B.34 C.12 D.38二、填空题9. 设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.10. 若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.11. 在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为________.三、解答题12. 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0.13. 看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一. 请用所学数学知识对此给出简要的说明.四、探究与拓展14. 若等差数列{a n}满足a n＋1＋a n＝4n－3，则{a n}的通项公式为__________________.15. 正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n.(1)数列{a n}是否为等差数列？说明理由；(2)求a n.。
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
高中数学 2.2.2 等差数列的性质课件 新人教A版必修5
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
迁移与应用
1.有三个数成等差数列,它们的和为 9,积为-21,则这三个数分别
为
.
答案:-1,3,7 或 7,3,-1
解析:设这三个数分别为 a-d,a,a+d,则
(-) + + ( + ) = 9,
= 3,
解得
= ±4.
(-)·
·
( + ) = -21,
-
提示:在等差数列{an}中,an-am=(n-m)d,所以 d=
.
-
2.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和有何特点?
提示:在等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和相等,且等于
首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.可由等差数列的通项公
式求得每两项之和都等于 2a1+(n-1)d,故上述结论成立.
(2)是否存在实数 λ 使数列{an}为等差数列?若存在,求出 λ 及数列
{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
思路分析:(1)把 a1,a2 及 n 代入已知式,即可求出 λ,从而 a3 也很容易
求出.
(2)假设存在实数 λ 使数列{an}为等差数列,利用等差数列的定义求
解.
第十九页，共29页。
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
例 2 已知四个数 m,n,p,4,前三个数成等差数列,且和为 9,并
且 4 是 n,p 的等差中项,则 =
.
思路分析:本题可运用等差中项关系求解,也可设出首项、公差求
解.
高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5
a1n为等差数列
由等差数列 通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数 的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得 它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的 项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个 数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几 项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以 的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，
a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a
高中数学 2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
2．2.2 等差数列的性质
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
1.掌握等差数列的定义和通项公式． 2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问 题．
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
题型1 利用等差数列的通项公式或性质解题
例 1 等差数列{an}中，如果 a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式． 分析：求等差数列的通项公式只要求 a1、d 两个量即可． 解析：方法一 由题意 aa58＝＝aa11＋＋47dd＝＝151，⇒ad1＝＝－192，⇒ an＝19＋(n－1)×(－2)， 故数列的通项公式为 an＝21－2n(n∈N*)． 方法二 a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2， a5＝a1＋4d⇒a1＝19， 故 an＝21－2n(n∈N*)．
学习目标 预习导学 典例精析
差数列其他未知数的值．
1．数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果 a3＝ 2－1，a5＝ 2
＋1，求 a11.
学习目标
分析：题目中给出了两个数列，首先要清楚两个数列的关系，数列{an}栏目
链
并不是等差数列，它的倒数列才是等差数列．应首先根据等差数列的接 知识考虑倒数数列，后根据倒数关系求 a11.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. ∴an＝2n－3 或 an＝13－2n，n∈N*. 方法二 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， ∴a4＝5， ∴a2＋a6＝2a4＝10. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而 a2，a6 可看成方程 x2－10x＋9 ＝0 的两根， 解得：aa26＝＝19，或aa26＝＝91，，
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
1.掌握等差数列的定义和通项公式． 2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问 题．
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
题型1 利用等差数列的通项公式或性质解题
例 1 等差数列{an}中，如果 a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式． 分析：求等差数列的通项公式只要求 a1、d 两个量即可． 解析：方法一 由题意 aa58＝＝aa11＋＋47dd＝＝151，⇒ad1＝＝－192，⇒ an＝19＋(n－1)×(－2)， 故数列的通项公式为 an＝21－2n(n∈N*)． 方法二 a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2， a5＝a1＋4d⇒a1＝19， 故 an＝21－2n(n∈N*)．
学习目标 预习导学 典例精析
差数列其他未知数的值．
1．数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果 a3＝ 2－1，a5＝ 2
＋1，求 a11.
学习目标
分析：题目中给出了两个数列，首先要清楚两个数列的关系，数列{an}栏目
链
并不是等差数列，它的倒数列才是等差数列．应首先根据等差数列的接 知识考虑倒数数列，后根据倒数关系求 a11.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. ∴an＝2n－3 或 an＝13－2n，n∈N*. 方法二 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， ∴a4＝5， ∴a2＋a6＝2a4＝10. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而 a2，a6 可看成方程 x2－10x＋9 ＝0 的两根， 解得：aa26＝＝19，或aa26＝＝91，，
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通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行 奥运会吗？
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第二章行奥运会的年份构成的
数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数 列．这个数列的通项公式为an＝1896＋4(n－ 1)＝1892＋4n(n∈N*)． (2)假设an＝2012,由2012＝1892＋4n,得n＝30.
假设an＝2050,则2050＝1892＋4n无正整数解.
即2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050 年不举行奥运会．
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第二章
数
列
备选例题
1 1．若数列{an}满足 － ＝d(n∈N*，d 为常 an＋1 an
1 数)，则称数列{an}为调和数列．记数列 为 xn
1
调和数列，且 x1＋x2＋…＋x20＝200，则 x5＋ x16＝________.
8、{an}是等差数列，则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9, 仍成等差数列
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第二章
数
列
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故a5＋a8＝a3＋a10＝3.
(2)由a1＋a15＝a4＋a12，
得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.
答案：(1)3 (2)－4
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第二章
数
列
题型二
求解等差数列问题的设元技巧
例2 已知成等差数列的四个数之和为26，第 二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.
【解】 设此四数依次为 a－3d，a－d，a＋d， a＋3d.
1． (1) 数列 {an} 中， a3 、 a10 是方程 x2 － 3x－ 5
＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝
________；
(2) 在等差数列 {an} 中，已知 a1 － a4 － a8 － a12
＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
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第二章
数
列
解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，
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第二章
数
列
解析：由调和数列的定义可得 xn ＋ 1 － xn ＝ d, 即 {xn} 是等差数列， x1 ＋ x2 ＋…＋ x20 ＝ 10(x1 ＋x20)＝200，∴x1＋x20＝20，∴x5＋x16＝x1 ＋x20＝20. 答案：20
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第二章
数
列
2．已知五个数成等差数列，它们的和为 5， 85 平方和为 ，求这 5 个数． 9 解：设第三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数分别
为 a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， 2 2 2 2 2 85 a－2d ＋a－d ＋a ＋a＋d ＋a＋2d ＝ 9 ，
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第二章
数
列
5a＝5， ∴ 2 2 85 5a ＋10d ＝ 9 . 2 ∴a＝1，d＝± . 3 2 1 1 5 7 d＝ 时，这 5 个数分别是－ ， ，1， ， ； 3 3 3 3 3 2 7 5 1 1 d＝－ 时，这 5 个数分别是 ， ，1， ，－ . 3 3 3 3 3 1 1 5 7 7 5 综上，5 个数分别为－ ， ，1， ， 或 ， ， 3 3 3 3 3 3 1 1 1， ，－ . 3 3
等差数列为________．
解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3. 而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2. ∴所求数列为1,3,5或5,3,1.
答案：1,3,5或5,3,1
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数
列
题型三
等差数列的实际应用
．第一届现代奥运会于 1896年在希腊雅典举 例 3 例 3 行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不 能举行，届数照算． (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的
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数
列
想一想
若am＋an＝ap＋aq,则一定有m＋n＝p＋q吗？ 提示：不一定．若 {an} 是常数列，不一定有
m＋n＝p＋q.
做一做 等差数列 {an} 中，若 a10＝ 20 ， d ＝ 2 ，则 a6 ＝ ________. 解析：a6＝a10－4d＝20－8＝12.
答案：12
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第二章
数
列
(2)若{an}为等差数列，则
(n－m) an＝am＋_______________ d(m，n∈N*)．
(3)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q(m，n， ap＋aq 特别地： p，q∈N*)，则am＋an＝_________.
am＋an 当p＝q时，_____________ ＝2ap.
法二：因为 a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d， 64 a1＝ 15 a1＋14d＝8 所以 ，解得 . 4 a1＋59d＝20 d＝ 15 64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. 15 15
【答案】
(1)74
(2)24
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数
列
变式训练
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数
列
归纳小结 等差数列的常用性质 若数列{an}是公差为d的等差数列
1、d>0， {an}是递增数列；
d<0， {an}是递减数列； d=0， {an}是常数列 2、d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n) 3、若m+n=p+q则am+an=ap+aq 4、m+n=2k，则am+an=2ak
复习：
1、等差数列的定义式； d=an-an-1 2、等差数列的通项公式。 an=a1 +(n-1)d 3、中项公式 a+b=2A
第二章
数
列
2．2.2 等差数列的性质
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数
列
新知初探·思维启动
等差数列的性质
(1) 若 {an} 是公差为 d 的等差数列，则下列数 列： ① {c ＋ an}(c为任一常数 ) 是公差为 _____ d 的等 差数列； cd 的等 ② {c· an}(c为任一常数)是公差为_______ 差数列．
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数
列
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 等差数列性质的运用
例1 (1)在等差数列{an}中,a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝________；
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，
则a75＝________.
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第二章
数
列
【解析】
(1)由等差数列的性质知
4a＝26 由题设知 ， a－da＋d＝40
解之得 3 d＝2
13 a＝ 2
或 3 d＝－2
13 a＝ 2
.
故这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
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第二章
数
列
变式训练
2 ．一个等差数列由三个数构成，这三个数 之和为 9 ，平方和为 35 ，则这三个数构成的
a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74. (2)法一：因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 其公差为d，a15为首项，
则a60为其第四项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4. 所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.
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第二章
数
列
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第二章
数
列
5、{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离 的两 项之和都相等，且等于首末两项之和 即a1+an=a2+an-1=…=ai+ai-1=…
6、数列{kan+b}(k、b是常数)是公差为kd的 等差数列，{bn}也成等差数列，则{an+bn}， {kan+bn} (k为非零常数)也是等差数列 7、下标成等差数列且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m, …组成公差为md的等差数列