全称量词与存在量词及其否定

理论迁移 例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆 （3）p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不 是奇数； （2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶 点不共圆； （3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.
（2）﹁p： x∈R，x2＋2x＋2≠0； 真命题
已知：对x R , x ax 1 0
2

恒成立，求a的取值范围.
变式：已知：对x R , 方程 cos x sin x 3 a 0有解，
2
求a的取值范围.
思考：
e 1 已知 f ( x) x , e 1
x
g ( x) x m x , (m 0)
若对x0 R ，总t0 ，使得 f ( x0 ) g (t0 ) 求m的取值范围.
（1）﹁p： x∈R，x2＋2x＋2＞0；
（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
例3 写出下列命题的否定，并判断 其真假： （1）p：任意两个等边三角形都相似 （2）p： x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；
（1）﹁p：存在两个等边三角形，它们 不相似； 假命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫 做全称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 例如：
等.
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1 ）对任意 n , 2 n 1是奇数。 Z 2 ）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立. 简记为:x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的 结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写出下列特称命题的否定： （1）p： x0∈R，x02＋2x0＋2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个素数含有三个正因数.
全称量词与存在量词
想一想？？ 常见的全称量词还有 ）与 ）之间有什么关系？ 下列语句是命题吗？ 3 2 4 1 ）与），
1) x “一切” “每一个” “任给” “所有的” 3 2)2 x 1 是整数 3)对所有的 x R, x 3 4)对任意一个x Z , 2 x 1是整数
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
x M,p(x)
2)某些平行四边形是菱形；
3)x R, x 2 1 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) x R, x 2 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
例1 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x2 +2x+3=0成立；
2）存在两个相交平面垂直同一条直线； 3）有些整数只有两个正因数.
理论迁移 例1 下列命题是全称命题还是特称命 题，并判断其真假. （1）任意实数的平方都是正数； 全称命题（假） （2）0乘以任何数都等于0； 全称命题（真） （3）有的老师既能教中学数学，也能 教中学物理； 特称命题（真）
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
3)x R, x 2 x 1 0
2
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
（4）某些三角形的三内角都小于60°； 特称命题（假） （5）任何一个实数都有相反数. 全称命题（真）
例2 判断下列命题的真假. （1） x∈R，x2＞x； （2）x∈R，sinx＝cosxtanx； （3） x∈Q，x2－8＝0； （4）x∈R，x2＋x＋1＞0； （5）x∈R，sinx－cosx=2； （6） ，b∈R， b 2 ab a a
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： 1）所有的素数都是奇数；
2）x R, x 1 1; 2 3）对每一个无理数x，x 也是无理数.
2
想一想？？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， ）与4 ）之间 常见的存在量词还有 3 2 有什么关系？
“有些” “有一个” “对某个” “有 1)2 x 1 3； 2) x能被2和3整除； 的”等.
真 假 假 真 假 假
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
想一想？
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
x M,p(x) x M,p(x)
3)存在一个 x R, 使2 x 1 3； 4)至少有一个x Z , x能被2和3整除。
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常 叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
例如： 1 ）有一个素数不是奇数。 2 ）有的平行四边形是菱形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.