概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)

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例3.设X 的概率密度为：
1 x, f ( x ) 1 x, 0,
解:

1 x 0 0 x 1 其他
求E(X)。
E ( X ) xf ( x)dx x(1 x)dx x(1 x)dx
1 0 0 1
0
注: 由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0。
(2) X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x).若

g ( x) f ( x)dx 绝对收敛, 则

E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx.


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例4.设离散型随机向量X的概率分布如下表所示, 求:Z=X2的期望. X 0
1 2
−1
1 4
1
1 4
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的 统计特性，但在实际问题中，随机变量的 分布函数较难确定，而它的一些数字特征 较易确定．并且在很多实际问题中，只需 知道随机变量的某些数字特征也就够了. 另一方面，对于一些常用的重要分布， 如二项分布、泊松分布、指数分布、正态 分布等，只要知道了它们的某些数字特征， 就能完全确定其具体的分布。
E ( X ) kC p (1 p)
k 0 n k n k
n
nk
n! k nk k p (1 p) k 1 k!( n k )! n (n 1)! k 1 ( n 1)( k 1) np p (1 p) k 1 ( k 1)!( n k )!
P
解: E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25 = 0.5
2 g ( x ) x . 注：这里的
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例5: 设随机变量X 服从 二项分布B(n , p), Y = eaX, 求E(Y)。 解:
n ak k 0
n
eak P{ X k}
k 0
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随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概率 分布为
P( X ( x j1 ,, x jn )) p j1 jn , j1 ,, jn 1.
Z = g(X1 ,…, Xn), 若
j1 jn
g(x

j1
,, x jn ) p j1 jn .
解:
nm
n 0 m 0


n
n p m (1 p)nm
m!(n m)!
n m0
e
n
n 0
n
n!
e

m m n m m C p (1 p ) n
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注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
E ( X ) xf ( x)dx


f ( x)dx ( x ) f ( x )dx



tf (t )dt


推论1.2.若X～N( , )，则 E(X)= 。 若X～U( a,b ), 则 E(X)＝(a+b)/2。
则
E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
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随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn ) Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解:
E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25
注：这里的 g ( x, y) x 2 y.
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例7: 设(X,Y)的联合分布律为
其中λ>0, 0<p<1, 求E(XY).

绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X )。
E ( X ) xk p k
k 1
5

常见离散型随机变量的数学期望 (1) 两点分布 这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 故 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p. (2)二项分布 X的取值为0,1,…,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n.
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§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算 的不是X的数学期望，而是X的某个函数的 数学期望，比如说g(X)的数学期望. 那么应 该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是(X1 , X2 …,Xn )的函数,需要计算Y 的数学 期望，应该如何计算呢？我们下面就来处 理这个问题。
| x| 发散 但 | x | f ( x)dx dx 2 (1 x )
它的数学期望不存在
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定理 1.1. 设 X 的数学期望有限，概率密度 f(x) 关 于 对称，f( +x) = f( -x)。则E(X)= 。 证明：令g(t)＝tf(t+ )，由g(-t)＝-g(t)知g(t) 是奇函数。于是，
1 q q 2 q n1
1 q n 1 (1 p ) n 1 q p
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定义1. 2 ：设 X 为连续型随机变量, 其密度 函数为 f ( x) ，若积分
xf ( x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X )。


1 e 2
y2 2
dy

因此, 对于正态分布N(μ,σ2 ),参数μ就是 它的数学期望. 15
(7)指数分布E()
随机变量X的概率密度为
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注意：不是所有的随机变量都有数学期望
例如：Cauchy分布的密度函数为
1 f ( x) , 2 (1 x )

x
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例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。 解: X 的概率密度为
所以
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例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 1 x(1 3 y 2 ), 0 x 2,0 y 1, f ( x, y ) 4 0, 其它 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解: E ( X ) xf ( x, y )dxdy
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能 取值为1,2,…,n，且
k 1 q p, k 1,2,, n 1; P{X k} n 1 q , k n. 其中q 1 p，于是
E( X )

k 1
n 1
kq k 1 p nqn 1
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一维情形 设Y是随机变量X的函数： Y=g(X), g(x) 是连续函数，
(1) X是离散型随机变量，其分布律为 pk P{X xk }
k 1,2,
若
g(x ) p
k 1 k
k 1

k
绝对收敛, 则
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
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例 1： 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
8 0.2
9 0.3
9 0.5
10 0.6
10 0.3
9
试问哪一个人的射击水平较高？
例1（续）
解：甲、乙的平均环数可写为
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
12
12
称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的 概念源于此.
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数学期望的定义
定义1.1：设离散型随机变量X的概率分布为
P( X xk ) pk , 若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1
1 4 1 2 0 x xdx 0 (1 3 y )dy 3 4 E (Y ) yf ( x, y )dxdy 21 1 5 2 0 xdx0 y (1 3 y )dy 4 8 2

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E ( X Y ) ( x y ) f ( x, y )dxdy xf ( x, y )dxdy yf ( x, y )dxdy
n
e C p (1 p)
k n k
nk
k Cn (ea p)k (1 p)n k k 0
[e p (1 p)]
a
n
[ p(e 1) 1] .
a n
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例6.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下 表所示,求:Z=X2+Y的期望.
Y X 1 2
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一种方法是，因为g(X)也是随机 变量，故应有概率分布，它的分布 可以由已知的X的分布求出. 一旦我
们知道了g(X)的分布，就可以按照 数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.
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使用上述方法必须先求出随机变量 函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .
那么是否可以不先求出g(X)的分布而 只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.