11.4.2点到直线的距离(2)
新教材人教B版高中数学必修4精品课件：11.4.2平面与平面垂直
2.二面角的平面角 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平 面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二 面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大 小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角 .
一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是 它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小.
【点评】 二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边与二面角的棱垂直， 垂足为棱上同一个点，因此这个角所在的平面与棱垂直.
［2019·陕西榆林一中检测］如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长 都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（ D ）
A.
6 2
Bห้องสมุดไป่ตู้ 3
C.1
D.233
三 翻折与探索性问题
<1>翻折问题中的垂直关系
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起， 使点C移到C′点，且C′O⊥平面ABD于点O，点O恰在AB上. （1）求证：平面BC′D⊥平面AC′D. （2）求点A与平面BC′D的距离.
（1）【证明】∵ C′O⊥平面ABD，AD⊂平面ABD， ∴ C′O⊥DA.∵ AB⊥DA，AB∩C′O＝O，AB ⊂平面ABC′，C′O ⊂平面ABC′， ∴ DA⊥平面ABC′. ∵ BC′ ⊂平面ABC′，∴ DA⊥BC′. 又∵ BC⊥CD，∴ BC′⊥C′D. ∵ DA∩C′D＝D，DA ⊂平面AC′D，C′D ⊂平面AC′D， ∴ BC′⊥平面AC′D. ∵ BC′ ⊂平面BC′D， ∴ 平面BC′D⊥平面AC′D.
常考题型
一 求二面角的大小
11.4.2 平面与平面垂直
11.4.2 平面与平面垂直在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1．二面角棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.2.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理(4)面面垂直的性质定理思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示] 相交或平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．( )(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．( )(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．( )[提示] (1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案] (1)√(2)×(3)×2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB [A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B 正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.所以∠C1OC＝30°.]【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．[思路探究] 求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解] 因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.所以二面角BA1C1B1的正切值为.平面与平面垂直的证明【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC．(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角．②证明这个平面角是直角．③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面BDE⊥平面PBC．[证明] (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC．又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[思路探究](1)―→―→(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直．(2)证明直线与直线平行．(3)作平面的垂线．2．应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．3．如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．[证明] 因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA．又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC．因为VA⊂平面VAC，所以平面VBC⊥平面VAC．垂直关系的综合应[探究问题]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD 吗？[提示] 因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，因为AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD．2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．[提示] 连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．【例4】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC 于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究] (1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明] (1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因为BC∥AD，所以MN∥BC．又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．所以MN∥BC且MN＝BC，又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四边形DENM为平行四边形．所以EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．所以EN∥平面PDC．(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD．又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，所以AD⊥PB．又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB．且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC．所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC．[证明] (1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．知识：1．二面角构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．方法：1．求二面角大小的一般方法(1)定义法；(2)垂线法．2．判定或证明面面垂直的一般方法(1)定义法，即计算二面角的平面角为90°；(2)利用面面垂直的判定定理证明．1．(多选题)下列说法正确的是( )A．两个相交平面组成的图形称为二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系BD [由二面角的定义，可知A说法不正确，D说法正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知B正确．对于C，如图，平面α，β，γ两两垂直，过β，γ的交线m作可绕m旋转的半平面λ，显然二面角αlβ的两个半平面α，β分别垂直于γmλ的两个半平面λ，γ，但二面角γmλ的大小无法确定，故C说法不正确．故选BD．]2．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]3．已知A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝，点A到l的距离为2，则二面角αlβ的平面角的大小为________．60°[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由AB⊥β，知△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．易得sin∠ACB＝，因此∠ACB＝60°，即二面角αlβ的平面角的大小是60°.]4．如图所示，在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠DAB ＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a.求证：(1)平面SAB⊥平面SAD；(2)CD⊥平面SAC．[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥SA．又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD．∵SA∩AD＝A，∴AB⊥平面SAD．又AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．(2)取AD的中点E，连接CE(图略)．∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2a，BC＝a，E是AD的中点，∴四边形ABCE是矩形，CE＝AB＝a，DE＝a，∴CD＝a.在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝2a，∴AC2＋CD2＝AD2，即CD⊥AC．又∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA．又SA∩AC＝A，∴CD⊥平面SAC．11.4.2 平面与平面垂直在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1．二面角棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.2.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理(4)面面垂直的性质定理思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示] 相交或平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．( )(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．( )(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．( )[提示] (1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案] (1)√(2)×(3)×2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB [A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.所以∠C1OC＝30°.]【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．[思路探究] 求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解] 因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.所以二面角BA1C1B1的正切值为.平面与平面垂直的证明【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC．(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角．②证明这个平面角是直角．③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC 的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面BDE⊥平面PBC．[证明] (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC 的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC．又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[思路探究](1)―→―→(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直．(2)证明直线与直线平行．(3)作平面的垂线．2．应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．3．如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．[证明] 因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA．又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC．因为VA⊂平面VAC，所以平面VBC⊥平面VAC．垂直关系的综合应用[探究问题]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？[提示] 因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，因为AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD．2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD ＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．[提示] 连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．【例4】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究] (1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明] (1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因为BC∥AD，所以MN∥BC．又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．所以MN∥BC且MN＝BC，又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四边形DENM为平行四边形．所以EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．所以EN∥平面PDC．(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD．又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，所以AD⊥PB．又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB．且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC．所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC．[证明] (1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．知识：1．二面角构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．方法：1．求二面角大小的一般方法(1)定义法；(2)垂线法．2．判定或证明面面垂直的一般方法(1)定义法，即计算二面角的平面角为90°；(2)利用面面垂直的判定定理证明．1．(多选题)下列说法正确的是( )A．两个相交平面组成的图形称为二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系BD [由二面角的定义，可知A说法不正确，D说法正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知B正确．对于C，如图，平面α，β，γ两两垂直，过β，γ的交线m作可绕m旋转的半平面λ，显然二面角αlβ的两个半平面α，β分别垂直于γmλ的两个半平面λ，γ，但二面角γmλ的大小无法确定，故C说法不正确．故选BD．]2．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]3．已知A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝，点A到l的距离为2，则二面角αlβ的平面角的大小为________．60°[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由AB⊥β，知△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．易得sin∠ACB＝，因此∠ACB＝60°，即二面角αlβ的平面角的大小是60°.]4．如图所示，在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC ＝a，AD＝2a.求证：(1)平面SAB⊥平面SAD；(2)CD⊥平面SAC．[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥SA．又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD．∵SA∩AD＝A，∴AB⊥平面SAD．又AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．(2)取AD的中点E，连接CE(图略)．∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2a，BC＝a，E是AD的中点，∴四边形ABCE是矩形，CE＝AB＝a，DE＝a，∴CD＝a.在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝2a，∴AC2＋CD2＝AD2，即CD⊥AC．又∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA．又SA∩AC＝A，∴CD⊥平面SAC．。
中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)
目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
【新教材】11.4.2 平面与平面垂直(第1课时)教学设计(1)-人教B版高中数学必修第四册
11.4.2 平面与平面垂直（1）本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念；（2）平面与平面垂直的判定。
由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础知识，且二面角的平面角不但定量的描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识，乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。
目前学生已经学习了空间线面、面面平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，本课时通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理，能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
在定理的运用过程中培养学生的思维能力，论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。
【教学重点】二面角的定义，求解，面面垂直的定义、判定定理【教学难点】空间问题与平面问题的转化问题1：二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.(2)图形表示：(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°.【对点快练】判断正误.(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( )(2)异面直线a ,b 分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a ,b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( )(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( ) (4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√例1.如图所示，在正方体''''ABCD A B C D -中，求二面角'D AB D --的大小。
【数学】上海小学四年级到高中三年级数学教材目录【精华】
四年级（一）一、复习与提高加法与减法乘法与除法用计算器计算节约用水分数二、数与量大数的认识四舍五入法平方千米从平方厘米到平方千米从克到吨从毫升到升三、分数的初步认识（二）比一比分数的加减计算小研究——“分数墙”四、整数的四则运算工作效率树状算图三步计算式题正推逆推文字计算题运算定律应用五、几何小实践圆的初步认识线段、射线、直线角角的度量角的计算六、整理与提高大数与凑整分数几何小练习数学广场——相等的角数学广场——通过网格来估算四年级（二）一、复习与提高四则运算整数的运算性质看谁算得巧愉快的寒假二、小数的认识与加减法生活中的小数小数的意义你知道吗？小数的大小比较小数的性质小练习综合练习小数点移动小数加减法三、统计折线统计图的认识折线统计图的画法四、几何小实践垂直平行小练习你知道吗？五、整理与提高问题解决小数加减法的应用小数与测量凑整垂直与平行数学广场——用多功能三角尺画垂线与平行线数学广场——五舍六入数学广场——计算比赛场次数学广场——位置的表示方法五年级（一）一、复习与提高符号表示数小数二、小数乘除法小数乘整数小数乘小数连乘、乘加、乘减整数乘法运算定律推广到小数除数是整数的小数除法出数是小数的除法循环小数用计算器计算积、商的凑整三、统计平均数平均数的计算平均数的应用四、简易方程（一）用字母表示数化简与求值方程找等量关系列方程，解应用题五、几何小实践平行四边形平行四边形的面积三角形的面积梯形梯形的面积六、整理与提高小数的四则混合运算水、电、天然气的费用——小数应用问题解决图形的面积数学广场——时间的计算数学广场——编码五年级（二）一、复习与提高小数的四则混合运算方程面积的估测自然数二、正数和负数的初步认识正数和负数数轴三、简易方程（二）列方程解应用题小总结四、几何小实践体积立方厘米、立方分米、立方米长方体与正方体的体积组合体的体积正方体、长方体的表面积小练习五、问题解决行程表面积的变化体积与重量可能性可能情况的个数可能性的大小六、总复习数与运算练习一方程与代数练习二图形与几何练习三统计初步练习四预初六年级（一）第一章数的整除1、整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2,5整除的数2、分解素因数1.4 素数、合数与分解素因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第二章分数1、分数的意义和性质2.1 分数与除法2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较2、分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化2.8 分数、小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例3.1 比的意义3.2 比的基本性质3.3 比例2、百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形1、圆的周长和弧长4.1圆的周长4.2弧长2、圆和扇形的面积4.3圆的面积4.4扇形的面积六年级（二）第五章有理数1、有理数5.1有理数的意义5.2数轴5.3绝对值2、有理数的运算5.4有理数的加法5.5有理数的减法5.6有理数的乘法5.7有理数的除法5.8有理数的乘方5.9有理数的混合运算5.10科学记数法第六章一次方程（组）和一次不等式（组）1、方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解2、一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4 一元一次方程的应用3、一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组4、一次方程组6.8 二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段和角的画法1、线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小比较7.2 画线段的和、差、倍2、角7.3 角的概念与表示7.4 角的大小的比较、画相等的角7.5 画角的和、差、倍7.6 余角、补角第八章长方体的再认识1、长方体的元素2、长方体的直观图的画法3、长方体中棱与棱位置关系的认识4、长方体中棱与平面位置关系的认识5、长方体中平面与平面位置关系的认识初中七年级（一）第九章整式1、整式的概念9.1 字母表示数9.2 代数式9.3 代数式的值9.4 整式2、整式的加减9.5 合并同类项9.6 整式的加减3、整式的乘法9.7 同底数幂的乘法9.8 幂的乘方9.9 积的乘方9.10 整式的乘法4、乘法公式9.11 平方差公式9.12 完全平方公式5、因式分解9.13 提取公因式法9.14 公式法9.15 十字相乘法9.16 分组分解法6、整式的除法9.17 同底数幂的除法9.18 单项式除以单项式9.19 多项式除以单项式第十章分式1、分式10.1 分式的意义10.2 分式的基本性质2、分式的运算10.3 分式的乘除10.4 分式的加减10.5 可以化为一元二次方程的分式方程10.6 整数指数幂及其运算第十一章图形的运动1、图形的平移11.1 平移2、图形的旋转11.2 旋转11.3 旋转对称图形与中心对称图形11.4 中心对称3、图形的翻转11.5 翻折与轴对称图形11.6 轴对称七年级（二）第十二章实数1、实数的概念12.1 实数的概念2、数的开方12.2 平方根和开方根12.3 立方根和开立方12.4 几次方根3、实数的运算12.5 用数轴上的点表示实数12.6 实数的运算4、分数指数幂12.7 分数指数幂第十三章相交线，平行线1、相交线13.1 邻补角、对顶角13.2 垂线13.3 同位角、内错角、同旁内角2、平行线13.4 平行线的判定13.5 平行线的性质第十四章三角形1、三角形的有关概念及性质14.1 三角形的有关概念14.2 三角形的内角和2、全等三角形14.3 全等三角形的概念与性质14.4 全等三角形的判定3、等腰三角形14.5 等腰三角形的性质14.6 等腰三角形的判定14.7 等边三角形第十五章平面直角坐标系1、平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系2、直角坐标系平面内点的运动15.2 直角坐标系平面内点的运动八年级（一）第十六章二次根式1 二次根式的概念及性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式2 二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程1 一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念2 一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程根的判别式3 一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数1 正比例函数18.1 函数的概念18.2 正比例函数2 反比例函数18.3 反比例函数3 函数的表示法18.4 函数的表示第十九章几何证明1 几何证明19.1 命题和证明19.2 证明举例2 线段的垂直与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5角的平分线19.6 轨迹3 直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级（二）第二十章一次函数1 一次函数的概念20.1 一次函数的概念2 一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质3 一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二十一章代数方程1 整式方程21.1 一次整式方程21.2 特殊的高次方程的解法2 分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程3 无理方程21.4 无理方程4 二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法5 列方程（组）解应用题21.7 列方程（组）解应用题第二十二章四边形1 多边形22.1 多边形2 平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形3 梯形22.4 梯形22.5 等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线4 平面向量及其加减运算22.7平面向量22.8 平面向量的加法22.9平面向量的减法第二十三章概率初步1 事件及其发生的可能性23.1 确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性2 事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例九年级（一）第24章相似三角形1 相似形24.1 放缩与相似形2 比例线段24.2 比例线段24.3 三角形一边的平行线3 相似三角形24.4 相似三角形的判定24.5 相似三角形的性质4 平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘24.7 向量的线性运算第25章锐角三角形1 锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义25.2 求锐角的三角比的值2 解直角三角形25.3 解直角三角形25.4 解直角三角形的应用第26章二次函数1 二次函数的概念26.1 二次函数的概念2 二次函数的图像26.2 特别二次函数的图像26.3 二次函数y=ax^2+bx+c的图像九年级（二）第27章圆与正多边形1 圆的基本性质27.1 圆的确定27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系27.3 垂径定理2 直线与圆、圆与圆的位置关系27.4 直线与圆的位置关系27.5 圆与圆的位置关系3 正多边形与圆27.6 正多边形与圆第28章统计初步1 统计的意义28.1 数据整理与表示28.2 统计的意义2 基本的统计量28.3 表示一组数据平均水平的量28.4 表示一组数据波动程度的量28.5 表示一组数据发布的量28.6 统计实习高中高一（一）第一章集合和命题1 集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算2 四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系3 充分条件与必要条件1.5 充分条件，必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数(上)1 幂函数4.1 幂函数的性质图像与性质2 指函数4.2 指数函数的图像与性质4.3 借助计数器观察函数递增的快慢高一(二)第四章幂函数、指数函数和对数函数(下)3 对数4.4 对数概念及其运算4 反函数4.5 反函数的概念5 对数函数4.6 对数函数的图像与性质6 指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比1 任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比2 三角恒等比5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切3 解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数1 三角函数的图像与性质6.1 正弦函数与余弦函数的图像性质6.2 正切函数的图像性质6.3 函数y=Asin(wx+ψ)的图像、性质2 反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程高二(一)第七章数列与数学归纳法1 数列7.1 数列7.1 等差数列7.3 等比数列2 数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳——猜想——论证3 数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩形和行列式初步1 矩形9.1 矩形的概念9.2 矩形的运算2 行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步10.1 算法的概念10.2 程序框图*10.3 计算机话语和算法程序高二（二）第11章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2 圆的方程12.3椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质第13章复数13.1 复数的概念13.2 复数的坐标表示13.3 复数的加法和减法13.4 复数的乘法与除法13.5 复数的平方根与立方根13.6 实系数一元二次方程高三（一）第14章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质14.2 空间直线与直线的位置关系14.3 空间直线与平面的位置关系14.4 空间平面与平面的位置关系第15章1 多面体15.1 多面体的概念15.2 多面体的直观图2 旋转体15.3 旋转体的概念3 几何体的表面积、体积和球面距离15.4 几何体的表面积15.5 几何体的体积15.5 球面的距离第16章排列组合与二项式定理16.1 计数定理1——乘法定理16.2 排列16.3 计数定理2——加法定理16.4 组合16.5 二项式定理高三（二）第17章概率论初步17.1 古典概率17.2 频率概率第18章基本统计方法18.1 总体和样本18.2 抽样技术18.3 统计估计18.4 实例分析18.5 概率统计实验高三（拓展&理科）专题一三角恒等变换1.1 半角公式的应用1.2 三角比的积化和差与和差化积专题二参数方程和极坐标方程1 参数方程2.1 曲线的参数方程2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2 极坐标方程2.3 极坐标系专题三空间向量及其与3.1 空间向量3.2 空间向量的坐标表示3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量3.4 空间向量在度量问题中的应用专题四概率论初步（续）4.1 事件和概率4.2 独立事件积的概率4.3 随机变量和数学期望4.4 正态分布*专题五线性回归5.1 直接观察法5.2 最小二乘法高三（拓展&文科、技艺）专题一线性规划1.1线性规划问题1.2线性规划的可行域1.3线性规划的解专题二优选与统筹1 实验设计的若干方法2.1 二分法2.2 0.618法2 统筹规划2.3 统筹规划专题三投影与画图3.1 空间图形的平面图3.2 轴测图3.3 三视图专题四统计案例4.1 抽样调查案例4.2 假设检查案例*4.3 列联表独立性检查案例专题五数学与文化艺术5.1 数学与音乐5.2 数学与美术*5.3 数学与文学。
苏教版高三数学复习课件11.4直线与平面的位置关系
去．在高考中，空间三种垂直关系的转化始终是立体几何考查的重点．
【应试对策】
1．对线面平行、面面平行的认识一般按“定义——判定定理——性质定理——应用”
的顺序进行，其中定义的条件和结论是相互等价的，它既可以作为判定线面平 行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用． 2．应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外直线平行 的直线．应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然 后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行．
【规律方法总结】
1．空间直线和平面的位置关系：直线在平面内，直线和平面平行，直 线和平面相交．了解空间直线和平面位置关系的画法，掌握它们的特征， 即直线在平面内——有无数个公共点，直线和平面平行——无公共点，直线 和平面相交——有且只有一个公共点．
2．直线和平面平行时，直线和平面没有公共点，直线与平面内的直线
4．直线与平面垂直
.
互相垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直
垂线
线a与平面
垂面
垂足
α
，记作a⊥α，
(2)直线与平面垂直的判定定理
相交直线 如果一条直线和一个平面内的两条
都垂直，那么这条直线垂
直于这个平面． (3)直线与平面垂直的性质定理
正方体
＝
性质知，BB1⊥面AC，AO⊂面AC，∴AO⊥BB1.∴AO⊥平面BB1D1.而AO
a，
∴A到平面BB1D1的距离为
a.∵AA1∥平面BB1D1，
判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直 线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线， 常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交 线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任 一直线平行于另一平面．
11.5坐标平面上的直线拓展(几何对称)
x 3 y (1) 因此直线 l2 的方程为 2 3 4 (1) 即l : x y2 0 2
例3.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程. 分析:(2)可以发现 l 是 l1 , l2 交角的角平分线
① PP ' l ② 线段 PP '被 l 所平分 将上述条件代数化，即有： ① PP ' dl 0
② 设 PP '的中点为 M ，则 M 在 l上.
二、典型例题
例1.求点 P(3,5) 关于直线 l : x 3 y 2 0 对称的 点 P ' 的坐标.
x3 y5 解：设 P '( x, y), PP ' 的中点 M ( , ) 2 2 d (3,1) ，于是有：
3 ( x 3) 1 ( y 5) 0 1 3 ( x 3) ( y 5) 2 0 2 2 x 5 解得 y 1 因此点 P ' 的坐标为 (5, 1)
l
二、典型例题
练习： 求点 M 2,3关于l : 2 x y 3 0对称点坐标.
二、典型例题
练习： 求 直 线 l : 2x y 3 0 关 于 x y 1 0 对 称 的 直线的方程.
几个特例
（ 1）直线 ax by c 0 关于原点对称的直线方 程为
为
ax by c 0
.
.
.
（2） 直线 ax by c 0关于 x 轴对称的直线方程
二、典型例题
例 2．求直线 l : 2 x y 6 0关于 M 2,3对称 的直线的方程.
11.4.2点到直线的距离(2)
11.3 两条直线的位置关系
11.4 点到直线的距离
一、复习回顾
(1)设P(x0, y0)为直线l: axbyc0(a,b不全为零)外一点,
则P到l的距离为：d
| ax0 by0 c | a b
2 2
称上述公式为点到直线的距离公式. 注意：在使用上述公式计算距离时, 使用的是一般式！ (2)两条平行直线 l1 : Ax By C1 0 和 l2 : Ax By C2 0 的距离. | C1 C 2 | d A2 B 2
2
| 4k 1|
例2.直线 l 到两条平行线 2 x y 2 0 和 2 x y 4 0 的距离相等，求直线 l 的方程. 解：设直线 l 的方程为 2 x y m 0
| m2| 2 (1)
2 2
| m4| 2 (1)
2 2
解得 m 3 直线 l 的方程为 2 x y 3 0
与直线 Ax By C1 0, Ax By C2 0
C1 C2 0 距离相等的直线为 Ax By 2
三、问题拓展
直线l将平面分成哪两部分？ 几部分？
y
QP n ax0 by0 c d n 2 2 n a b P O ax0 by0 c 记 :P 2 2 a b P 当QP 与 n 同向时， P 0 ，且 P d ； 当QP 与 n 反向时， P 0，且 P -d ；
【典型例题】
例3.已知直线l: ykx1与两点A(1,5), B(4, 2) 的连线段 相交, 求k的取值范围. A(1,5) y
解： A
k 4 1 k
12.1.1曲线和方程(1)
PQ QP
则称：方程 F ( x, y ) 0为曲线C的方程; QP 曲线C是方程 F ( x, y ) 0 的曲线. 方程的解与曲线上的点是一一对应的;
辨析： 设曲线C 上的点的集合为 P M | M在曲线C上； 设方程 F x, y 0的解集为Q x, y | F x, y 0 集合 P 与Q 之间存在怎样的关系?
(1)求证： 曲线 C 既关于 x 轴,又关于 y 轴对称；
12.1 曲线与方程
教学小结：
（1）体会曲线与方程关系；
（2）曲线的方程、方程的曲线的定义；
（3）解析几何研究问题的一般方法（思想）
用代数方法，研究几何图形的性质；
12.1 曲线与方程
华罗庚论数形结合：
数与形，本是相倚依； 焉能分作两边飞， 数缺形时少直觉， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事非， 切莫忘， 几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。
第十二章 圆锥曲线
11.4 点到直线的距离
12.1 曲线和方程（1）
1. 直线与直线方程； 2. 曲线与曲线方程；
12.1 曲线与方程
复习引入：
怎样的方程表示直线？ 一般地, 形如 ax by c 0 (a,b不全为零)的二元一次方程 表示直线.
2023-2024学年七年级数学上册《第二章 有理数及其运算》单元测试卷有答案(北师大版)
2023-2024学年七年级数学上册《第二章有理数及其运算》单元测试卷有答案（北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．计算﹣2+6等于（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣82．下列不是具有相反意义的量是（）A．前进5米和后退5米B．收入30元和支出10元C．向东走10米和向北走10米D．超过5克和不足2克3．2022年临安区高效统筹疫情防控和经济社会发展，经济运行稳中有进，综合实力再上新台阶，根据地区生产总值统一核算结果，2022年全区生产总值（GDP）为亿元，同比增长．数据亿用科学记数法表示为（）A．B．C．D．4．已知5个数中：（﹣1）2017，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，﹣3的倒数，其中正数的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列说法:①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于自身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数相互比较绝对值大的反而小．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④6．若a和b互为相反数，且a≠0，则下列各组中，不是互为相反数的一组是（）A．﹣a和﹣b B．3a和3b C．a2和b2D．a3和b37．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值（）A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于08．网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长3cm，而且这3cm还是深埋于土下到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天30cm的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”。
这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（）A．5 B．7 C．8 D．9二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．﹣1﹣2×（﹣2）2的结果等于．10．去年河南财政用于“三农”的支出达到33900万元，这一支出用科学记数法可表示为．11．在数轴上与原点的距离为4个单位长度的点表示的数的绝对值是，表示的数分别为，它们互为.12．有下列四对数：①与32；②与；③与| |2；④与，其中数值相等的有.（填序号）13．某公园划船项目收费标准如下：则租船的总费用最低为元．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．计算：（1）（2）15．计算：（1）（2）（3）16．如图，一条生产线的流水线上依次有5个机器人，它们站立的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示.（1）若原点是零件的供应点，5个机器人分别到供应点取货的总路程是多少？（2）若将零件的供应点改在A1，A3，A5中的其中一处，并使得5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短，你认为应该在哪个点上？通过计算说明理由.17．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：(单位：米)+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10.（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员在第几次运动后离开球门线最远，最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米18．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？参考答案：1．A 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．-910．3.39×104万元11．4；±4；相反数12．②③13．41014．（1）解：（2）解：15．（1）解：===0；（2）解：== ；（3）解：====-1116．（1）解：|-4|+|-3|+|-1|+|1|+|3|=12．∴5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12．（2）解：当零件的供应点在A1时，总路程=1+3+5+7=16当零件的供应点在A3时，总路程=3+2+2+4=11当零件的供应点在A5时，总路程=7+6+4+2=19∴当零件的供应点在A3时总路程最短，此时总路程为11．17．（1）解：(+6)+(−3)+(+11)+(−9)+(−7)+(+12)+(−10)=(6+11+12)−(3+9+7+10)=29−29=0，答：守门员最后回到了球门线的位置。
沪教版(上海)数学高二下册-11.4 《点到直线的距离公式》 教案
《点到直线的距离公式》案例摘要:本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。
对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。
本文通过一个“求点到直线的距离”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。
组织学生参与“提出问题——探索解决——实践练习——拓展升华——总结转新”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识能力。
关键词：点到直线的距离自学预习实践能力多媒体变式训练一、案例1.做好铺垫，知识准备，提出问题，诱发思考复习向量的数量积与直线的法向量之后师：同学们好，今天我们来学习《点到直线的距离》。
我们初中已经学过有关“点到直线的距离”的定义，哪位同学回答一下？生：“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点，线段PQ 的长度叫做点P 到直线l 的距离．师：非常好，回答的很准确，请坐。
那么，如图，我们该如何求如何求点)1,2(0P 到直线10x y -+=的距离？同学们相互讨论一下，你将打算怎么办？（学生进入热烈的讨论中，几分钟后）2. 探索解决，分组探究。
师：大家有思路了么？哪位同学回答一下?生： 过P 作l PQ ⊥于Q 点，根据点斜式写出直线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两点距离公式求得．①直线AB 的法向量（1，-1），带入点P ，求出直线PQ 的方程x+y-3=0②联立方程组求交点Q 的坐标（1，2）③最后计算PQ 的长：PQ=22(12)(21)-+- = 2。
点到直线的距离公式 两点式
点到直线的距离公式两点式
点到直线的距离公式可以使用两点式来表示。
假设直线的方程
为Ax + By + C = 0，点P(x₁, y₁)为平面上的任意一点，那么点
P到直线的距离可以使用以下公式来计算：
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
其中，d表示点P到直线的距离，|Ax₁ + By₁ + C|表示点P
带入直线方程后的结果取绝对值，√(A² + B²)表示A和B的平方
和的平方根。
这个公式的推导可以通过向量的方法来进行，也可以通过点到
直线的垂直距离的几何性质来进行推导。
无论哪种方法，最终得到
的公式都是上述形式的点到直线的距离公式。
使用这个公式，我们可以轻松计算任意一点到给定直线的距离，这在几何学和工程学中都有着重要的应用。
需要注意的是，这个公
式要求直线不是平行于坐标轴，因为在这种情况下A或B会为0，
导致分母为0，公式无法使用。
如果直线是平行于坐标轴的情况，
可以使用其他方法来计算点到直线的距离。
第十一章 11.4 11.4.1 第二课时 直线与平面垂直的性质2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
6
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@《创新设计》
2.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角 的大小为________. 解析 ∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角.在Rt△PAB中， ∠PAB＝90°，PA＝AB，故∠PBA＝45°. 答案 45°
@《创新设计》
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【训练1】 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A， EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此a∥l.
10
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∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
@《创新设计》
11
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规律方法 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
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∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为 1，则 A1B＝ 2，A1O＝ 22.
11.4(2)点到直线的有向距离11.21
直线l的相对位置： 在直线l同侧的点, δ的符号相同; 在直线l异侧的点, δ的符号相反. 特别地：点在直线上 d 0.
上述结论可以用来判定两点相对于直线l的位置关系.
即： A B 0, 则点A、B在 l 同侧
A B 0, 则点A、B在 l 异侧
例1、已知直线 l: y=2x-1, A(1,2), B(2,6),试判断 A、B两点在直线 l 的同侧还是异侧？
8 6
2.已知直线 ax y 2 0 ，点 A(2,1), B (3, 2) 当直线与线段 AB 相交时，求实数a 的取值范围.
略解：如图，根据 A B 0 可知：
y
4
4 3 a (, ] [ , ) 3 2
-10
A
2
2
B
5
-5
O
-2
x
-4
3.正方形的中心为 Q(1, 1) ，且边长为4，一 边的斜率为 3 ，求正方形各边所在直线的方程.
P
l
y
Ax0 By0 C A B
2 2
n
R
P
l
y
n
R
P
O
x
O
x
当点 P 在法向量 ( A, B) 指向一侧时， P 0 P 0 当点 P 在法向量 ( A, B) 指向另一侧时，
阅读材料 有向距离符号确定的说明 已知点 P( x0 , y0 ) 及 l : Ax By C 0 说明：设 R( x1 , y1 )为 l 上任意一点 则 C Ax1 By1
x
设直线 l 的方程为 2 x y m 0 (m 7)
CH1 2 1 过C作CH AB, 交BA的延长线于H , 交l于H1 CH 2 2 | 2 (4) 1 7 | 14 | 2 (4) 1 m | | 7 m | CH CH1 2 2 5 2 1 5 2 1
数学课本习题整理（完整版）
11.1直线的方程例1 已知A（4，6）、B（-3，-1）、C（4，-5）三点，求经过点A且与BC平行的直线ℓ的点方向式方程。
例2 求经过点A（-3，1）和点B（4，-2）的直线ℓ的点方向式方程。
练习11.1（1）1.已知直线ℓ的方程是5x−12y+13=0，判断点A （-17，-6）、B（2，-2）是否在直线ℓ上。
2.求过点P且与向量d平行的直线ℓ的点方向式方程。
⑴ P（3，-5），d=（3，4）⑵ P（0，3），d=（3，-4）3.求经过A、B两点的直线ℓ的点方向式方程⑴．A（-3，-2），B（3，-7）⑵．A（0，3），B（2， 4）例3 已知点A（-1，2）和点B（3，4），求线段AB的垂直平分线ℓ的点法向式方程。
例4 已知点A（6，0）、B（-1，-2）和点C （6，3）是三角形的三个顶点，求：⑴ BC边所在直线的方程⑵ BC边上的高AD所在直线的方程。
练习11.1（2）1.求经过点P且垂直于向量n的直线的点法向式方程。
⑴ P（3，-5），n=（1，2）；⑵ P（0，3），n=（3，-4）；⑶ P（0，0），n=（3，4）；⑷ P（3，0），n=（1，0）。
2.已知△ABC的三个顶点为A（1，6）、B（-1，-2）、C（6，3）。
⑴求AB边上的高CF所在直线的方程；⑵求AC边的垂直平分线的方程。
例5 已知A（1，2）、B（4，1）、C（3，6）三点，点M为AC的中点，求直线BM的方程。
例6 已知在△ABC中，∠BAC=90°，点B、C 的坐标分别为（4，2）、（2，8），向量d=（3，2），且d与AC边平行，求△ABC的两条直角边所在直线的方程。
练习11.1（3）1.已知A（x1，y1）和B（x2，y2）是直线ℓ上的两点，若x2－x1≠0，y2－y1≠0，求直线ℓ的法向量。
2．已知△ABC的三个顶点为A（1，2）、B（4，1）、C（3，6），求BC边上的中线AM和高AH 所在直线的方程。
11点到直线的距离
点到直线的距离例1 求点(2,2)-到下列直线的距离：（1）2310x y -+=； （2）2x =-．例2 已知点(2,3)P 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，求a 的取值范围．例 3 过点(1,0)A 的直线1l 与过点(1,4)B -的直线2l 平行，且它们之间的距离为，求1l 和2l 的方程．练习11.4（1）A 组1、若点(3,2)P m --到原点的距离是它到x 轴的2倍，则m =__________．2、与直线6830x y -+=垂直，且与原点距离等于1的直线方程为_______________．3、与两平行直线5260x y --=，10420x y -+=等距离的点的轨迹方程是____________．4、两平行直线3230x y +-=和6470x y ++=之间的距离等于（ ）A ．BC D5、若点(1,)P a -到直线360x y +-=a 的值为（ ）A ．19B ．1-C ．19或1-D ．96、直线l 过两直线3450x y +-=和2380x y -+=的交点，且与(2,3)A ，(4,5)B -的距离相等，求直线l 的方程．7、已知直线l 过点(1,2)P ，且被两平行直线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =，求直线l 的方程．B 组1、经过点(3,1)-且与点(4,2)的距离等于3的直线方程是___________．2、已知直线1l 过点(1,0)，直线2l 过点(3,4)，且12l l ∥．若1l 与2l 的距离是2，则1l 的方程为__________________，2l 的方程为__________________．3、过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是__________________．4、若直线到点(1,0)A 与点(4,)B 的距离均为1．那么这样的直线共有___________条．A ．1B ．2C ．3D ．45、若直线340x y -+=与直线6210x y --=是同一个圆的两条切线，则该圆的面积等于（ ）A ．8140πB ．8116π C ．8164π D ．81160π6、已知直线l 的方程为cos sin 20x y θθ+-=，其中θ为实数，点到直线l 的距离为()f θ，求()f θ的最大值．7、已知直线l 与直线31840x y --=平行，且与坐标轴围成的三角形面积为3，求直线l 的方程．第2课时 点到直线的距离（2）例1 已知点(2,3)P --，(1,2)Q -，试判断P 、Q 是否在直线：260x y -+=的同一侧．例2 已知直线:10l kx y -+=，与两点(2,3)A -，(3,2)B ，若直线l 与线段AB 相交，求k 的取值范围．练习11.4（2）A 组1、判断(2,1)P -，(2,1)Q -两点是否在直线230x y -+=的同一侧______2、设点(2,3)A -，(3,2)B ，若直线20ax y ++=与线段AB 有交点，则a ∈____________．3、点(4,2)-关于直线240x y --=对称的点的坐标是____________．4、若直线230x y +-=与直线420x y a ++=a 的取值范围为（ ）A ．4a ≤B ．164a -≤≤C ．416a -≤≤D ．164a a ≤-≥或 5、在直线:3440l x y -+=上找一点M ，使它到点(3,5)A -，(2,15)B 的距离之和最小，并求这个最小值．B 组1、若点(2,1)A -和点(3,2)在直线20x y a ++=的两侧，则a 的取值范围是______________．2、若30x y ++=____________．3、方程121x y -+-=所表示的封闭图形的面积是____________．4、若点(cos ,sin )M αα，点(s i n ,c o s )N αα到直线sin cos 0(1)x y p p αα++=<-的距离分别为m n 、，则,m n 的大小关系是（ ）A ．m n ≥B ．m n ≤C ．m n ≠D ．以上结论都不对5、若不重合的两点(1,1)P b a -+与(,)Q a b 关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．0x y -=B ．10x y -+=C ．0x y +=D ．10x y ++=6、过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A ，(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的斜率与倾斜角的取值范围．7、过(4,0)A -，(0,3)B -作两平行直线1l ，2l ，若1l 与2l 的距离为4，求1l 与2l 的方程．。
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【典型例题】 典型例题】
例1.直线 l 经过点 P (2,1) , 且点 A(1, 2)到l的距离等于1, 求直线的方程. 变式: (1)距离为 10 (2)距离为 4
【典型例题】 典型例题】
例2.已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A(1,3) , B(3,1), C (1,0) y 求 ABC 的面积. A 解:设AB边上的高为h,则 H 1 SABC = AB h 2 B
k 4 1+ k2
δB =
4k + 3 1+ k 2
(0,1)
l与AB相交 AB在l异侧 或者, 其中一点在l上. 即: δ A δ B ≤ 0 (4 + k )(4k + 3) ≤ 0
O
x
B (4, 2)
3 k ∈ ( ∞, 4] ∪ [ , +∞) 4
设P(x0, y0)为直线l: ax+by+c=0(a,b不全为零)外一点, 则P到l的距离为:
例2.已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A(1,3) , B(3,1), C (1,0) y 求 ABC 的面积. A 解:利用面积的行列式公式:
SABC
xA 1 = xC 2 xB
yA 1 yC 1 yB 1
B C O x
y
直线l将平面分成哪两部分? 几部分?
n
问题拓展
上下两侧
O
x
同一侧的点具有什么特征? 要么都与法向量同向平行, l 要么都与法向量反向平行. 同向平行 QP n >0 QP n > 0 反向平行 |n| ax0 + by0 + c ax0 + by0 + c δ = >0 δ = <0 a 2 + b2 a 2 + b2
课内小结
d=
| ax0 + by0 + c | a +b
2 2
称上述公式为点到直线的距离公式. 表达式 δ =
ax0 + by0 + c a 2 + b2
的符号确定了点 P ( x0 , y0 )关于直线l
的位置关系:同侧的点, 符号相同; 异侧的点, 符号相反.
�
问题拓展
表达式 δ =
ax0 + by0 + c a 2 + b2
的符号确定了点 P ( x0 , y0 )关于直线l
的相对位置:同侧的点, 符号相同; 异侧的点, 符号相反. 特别地:点在直线上 δ = d = 0. 上述结论可以用来判定两点相对于直线l的位置关系.
【典型例题】 典型例题】
例3.已知直线l: y=kx+1与两点 A(1,5), B (4, 2) 的连线段相 交, 求k的取值范围. A(1,5) y 解: δ A =
【第11章 坐标平面上的直线】 章 坐标平面上的直线】
点到直线的距离
设P(x0, y0)为直线l: ax+by+c=0(a,b不全为零)外一点, 则P到l的距离为:
点到直线的距离
d=
| ax0 + by0 + c | a +b
2 2
称上述公式为点到直线的距离公式. 注意:在使用上述公式计算距离时, 使用的是一般式! 两条平行直线 l1 : Ax + By + C1 = 0 和 l2 : Ax + By + C2 = 0 的距离. | C1 C2 | d= A2 + B2
AB = (3 1) 2 + (1 3) 2 = 2 2
AB边上的高h是点C到AB的距离
C程为 x + y 4 = 0 1 + 0 4 5 由点到直线的距离: = h = 2 12 + 12 1 5 因此: ABC = × 2 2 × S =5 2 2
【典型例题】 典型例题】