2021届全国学海大联考新高考模拟考试(八)数学(理)试题
全国大联考2021届高三第八次联考数学(理)试卷 Word版含答案
全 国 大 联 考2021届高三第八次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|y=1√2},B={x|x ≤10},则A ∩B 等于A.(2,10)B.(2,10]C.[4,10]D.(4,10]2.已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2等于A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i3.“lg x ,lg y,lg z 成等差数列”是“y 2=xz”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若sin α=-35,α是第三象限的角,则cos α2+sin α2cos α2-sin α2等于 A.12 B .-12C.2D.-25.设 F 1、F 2分别是双曲线 C:x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点,点 P(√62,√22)在此双曲线上,且 PF 1⊥PF 2,则双曲线C 的离心率e 等于A.√22B.√2C.√3D.√626.如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A.2π+8B.8π+8C.4π+8D.6π+87.若(ax 2+b x)6的开放式中x 3项的系数为20,则a 2+b 2的最小值为A.1B.2C.3D.48.执行如图所示的程序框图,若f(x)=3x 2-1,取g=110,则输出的值为A.1932 B.916 C.58D.349.点Q(x,y)是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有很多个,则yx -a 的最大值是A.23 B .16C.25D.1410.如图,矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,-1),B(π,-1),C(π,1),D(0,1),正弦曲线f(x)=sin x 和余弦曲线g(x)=cos x 在矩形ABCD 内交于点F,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是A.1+√2π B.1π C.1+√22πD.12π11.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k1k 2等于A.13 B .12C.1D.212.已知函数g(x)=13x 3+2x-m+mx (m>0)是[1,+∞)上的增函数.当实数m 取最大值时,若存在点Q,使得过点Q 的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点Q 的坐标为A.(0,-3)B.(2,-3) C .(0,0) D.(0,3)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.向量a 、b 满足|a|=1,|a-b|=√32,a 与b 的夹角为60°,则|b|= ▲ .14.某宾馆支配A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A 、B 不能住同一房间,则共有 ▲ 种不同的支配方法(用数字作答).15.表面积为60π的球面上有四点S,A,B,C 且△ABC 是等边三角形,球心O 到平面ABC 的距离为√3,若平面SAB ⊥平面ABC,则棱锥S-ABC 体积的最大值为 ▲ . 16.已知数列{a n },{b n }满足a 1=12,a n +b n =1,b n+1=bn 1-a n2(n ∈N *),则b 2021= ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,B=π3,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足. (1)若△BCD 的面积为√33,求CD 的长; (2)若ED=√62,求角A 的大小.18.(本小题满分12分)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为x 、y,设O 为坐标原点,点P 的坐标为(x-2,x-y),记ξ=|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |2. (1)求随机变量ξ的最大值,并求大事“ξ取得最大值”的概率;(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是棱AB,BC 上的动点,且AE=BF.(1)求证:A 1F ⊥C 1E;(2)当三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值时,求二面角B 1-EF-B 的正切值.20.(本小题满分12分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相像”的.如图,椭圆C 1与椭圆C 2是相像的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的长轴长是4,椭圆C 2:y 2d 2+x 2n2=1(d>n>0)短轴长是1,点F 1,F 2分别是椭圆C 1的左焦点与右焦点.。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（一）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4 B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题. 2.若复数z 满足211z ii i⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A .第四象限 B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i ii z i i i i⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限. 故选：D .【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题. 3.已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论. 【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ， 由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切， 则d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题.4.若31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得,,a b c 分别为1()3xy =与三个函数1333log ,,y x y x y x ===交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.【详解】做出函数13331(),log ,,3x y y x y x y x ====的图象，根据图象可得，c b a <<. 故选：B.【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A. 17 B. 29C. 23D. 35【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得{}n a 为等差数列，由9S ，求出5a ，再结合公差，即可得出结论.【详解】依题意{}n a 为等差数列，且3d =-，199559()9207,232a a S a a +===∴=， 35229a a d ∴=-=.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和以及通项的基本量运算，属于基础题.6.函数2()()1x x x e e f x x --=-的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.【详解】由题意得，22()()()()11x x x x x e e x e e f x f x x x ------===--即()f x 为偶函数，故排除A ；当,()x f x →+∞→+∞，根据图像走势，排除B,D 故选：C【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.7.已知非等向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且3BC AB =，则ABC 为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 三边均不相等的三角形【答案】A 【解析】 【分析】 由AB AC ABAC+的几何意义结合已知可得AB AC =，即可得出结论.【详解】不妨设||||AB AC AP AB AC =+， 即AP 为BAC ∠角平分线所在直线上的向量， 又AP BC ⊥，AB AC ∴=，又32BC AB AB =≠，所以ABC 为等腰非等边三角形. 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握向量的几何意义是解题的关键，属于中档题 8.在正方体内随机放入n 个点，恰有m 个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（ ） A.2mnB.2m nC.6m nD.6m n【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型来计算π的近似值，先求出两个图形的体积，求出点落在内切球的概率，根据比例得出π的近似值.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球的半径为1，正方体与其内切球的体积分别为48,3π， 恰有m 个点落入正方体的内切球概率为mn，根据几何概型体积型概率得46,38m mn nππ=∴=⨯.故选：C .【点睛】本题考查模拟方法估计概率的应用问题，利用体积比表示概率，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输出的数3S =，那么判断框内可以填写的是（ ）A. 6?k ≥B. 6?k ≤C. 7?k ≥D. 7?k ≤【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是3S =，可得判断框内应填入的条件. 【详解】初始0,2,1S m k ===，第一次运行12,,22S m k ===不输出， 第二次运行5,1,32S m k ==-=不输出， 第三次运行3,2,42S m k ===不输出，第四次运行71,,522S m k ===不输出，第五次运行4,1,6S m k ==-=不输出，第六次运行3,2,7S m k ===，停止运行输出3S =， 所以判断框要填7?k ≥. 故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 10.已知函数()sin cos f x x x =⋅，给出下列四个说法：①2015364f π⎛⎫=⎪⎝⎭，②函数()f x 的一个周期为2π；③()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的图象关于点（π，0）中心对称；其中正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的解析式，结合特殊角的三角函数值、函数周期定义、正弦型三角函数的单调性、以及对称中心的定义，逐项判断.【详解】2015551()(335)()6662f f f πππππ=+=+==(2)cos(2)|sin(2)|cos |sin |()f x x x x x f x πππ+=++==，所以②对；313,,()cos sin sin 2,2[,]44222x f x x x x x ππππ⎡⎤∈∴=⋅=∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递减，所以③对；3151(),()42224222f f ππ=-⨯=-=-⨯=-， 35()()44f f ππ≠-，所以④错. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的求值、周期、单调性和对称性的综合应用，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.11.定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≤时，恒有03()()xx f x f '--≥，若()()3g x x f x =，则不等式()()213g x g x >-的解集为（ ）A. 1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】考虑用单调性解不等式，求()g x '结合已知，可得()g x 在(,0]-∞上的单调性，再由()g x 的奇偶性得到()g x在R 的单调性，即可求解.【详解】()f x 在R 上是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 所以当0x ≤时，恒有()()03xx f x f '+≥， ()()()2323()3[()]03xg x x f x x f x x f x f x '=⨯+⨯'=+'≥， ()g x ∴在(,0]-∞单调递增，()()()()33g x x f x x f x g x -=--==， ()g x ∴是偶函数，()g x ∴在[0,)+∞单调递减，()()213g x g x ∴>-等价于|2||13|x x <-，两边平方得25610x x -+>解得15x <或1x >， 所以不等式的解集为1(,)(1,)5-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查不等式的求解，利用函数导数、单调性、奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算，属于中档题.12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm 时，则切面的面积为（ ）A.2415cm B.2163cm C.2102cm D.283cm 【答案】A 【解析】 【分析】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，由对称性得BP DM =，连PM ，可得PM BD =， 根据面面平行的性质定理，可得截面APFM 为菱形，过P 点做PE CF ⊥于E ，可证PB EF CE ==，根据已知60NPF ∠=︒，可求出CF ，进而求出AF 即可.【详解】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，根据对称性BP DM =，AP AM ∴=，在直棱柱中，平面ABP 平面CDMF ，平面ABP 切面APFM AP =， 平面CDMF 切面APFM FM =，APFM ∴，同理PFMA ，切面APFM 为菱形，连,,AF PM BD ，则22PM BD ==，过点P 做PE CF ⊥于E ，则BP CE =，2PE AB ==，Rt ABP Rt PEF ∴≅△△，,2BP EF CF EF ∴=∴=，60,30NPF FPE ∠=︒∴∠=︒，在Rt PEF △中，23tan 303EF PE =︒=， 43,3CF CF AC ∴=⊥， 221623083AF CF AC ∴=+=+=， 所以切面APFM 面积为21123041522()22AF PM cm ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为________. 【答案】85- 【解析】 【分析】求出()721x -展开式中的常数项和2x 项分别与1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭中的1,x x 相乘即可. 【详解】()721x -展开式通项为777177(2)(1)(1)2k k k k k k kk T C x C x ---+=-=-⨯0,1,27k =，所以常数项为1-，含2x 的项为52227284C x x -⨯=-，所以()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为85-. 故答案为：85-【点睛】本题考查二项展开式定理，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，121n n a S +=+()n N *∈，则3456a a a a +++=__________.【答案】360 【解析】 【分析】根据递推公式，当1n =求出2a ，当2n ≥，求出1,n n a a +关系，即可求解. 【详解】11a =，121n n a S +=+()n N *∈，∴当1n =时，21213a a =+=，当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S -=+两式相减得，112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-=∴=≥，又213a a =，{}n a ∴是1为首项公比为3的等比数列，13n n a -∴=， 345692781243360a a a a ∴+++=+++=.故答案为：360.【点睛】本题考查数列的前n项和与通项关系，还考查运算求解能力及化归与转化思想，属于基础题.15.若实数, x y满足不等式1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则1yx+的最大值为___________.【答案】2【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据斜率的几何意义，利用图形转化为求可行域内的点与点(1,0)B-连线斜率的最大值.【详解】做出满足1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域，如下图阴影部分，1yx+几何意义为可行域内的点与点(1,0)B-连线的斜率，根据图形，当直线为BA时，斜率最大，联立15xx y=⎧⎨+=⎩，解得max(1,4),()21yAx∴=+.故答案为：2.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，运用斜率的几何意义求目标函数的最值，属于基础题.16.若点P是曲线21:16C y x=上的动点，点Q是曲线222:(4)9C x y-+=上的动点，点O为坐标原点，则PQOP的最小值是___________.【答案】8【解析】 【分析】曲线222:(4)9C x y -+=圆心2(4,0)C 是抛物线焦点F ，半径为3，所以||3||PQ PF OP OP -≥，转化为求||3||PF OP -的最小值，设(,)P x y ，利用焦半径公式和抛物线方程将||3||PF OP -表示为x 的函数，化简运用二次函数的最值，即可求解.【详解】抛物线21:16C y x =的焦点为(4,0)F ，曲线222:(4)9C x y -+=圆心(4,0)F ，半径为3，||3,,,||PQ PF P Q F OP OP -∴≥三点共线时等号成立，设(,),0P x y x >，则||3||PF OP -====11t x =+，则01t <<，||3||PF OP -==， 当715t =，即87x =时，||3||PF OP -取得最小值为8，所以87x =时，PQ OP取得最小值为8.【点睛】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线定义有关，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦半径有关问题的重要途径.属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题，共60分.17.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()22cos 2cos 2Ca abc A -=-. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b c -的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）(.【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和正弦定理将条件等式转化为角的关系，再由两角和差公式化简，求出cos A ，即可求解；（2）由,A a 和正弦定理，将,b c 用B 角表示，再化为正弦型函数，结合B 角范围，即可得出结论. 【详解】（1）由()22cos2cos 2Ca abc A -=-，点cos (2)cos a C b c A =-， 由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，sin cos sin cos sin()sin 2sin cos A C C A A C B B A +=+==，10,sin 0,cos 2B B A π<<∴≠=， 0,3A A ππ<<∴=；（2）由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A====， 22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<，24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=∴1cos ))226B B B π=-=-， 210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<∴2b c -的取值范围是(.【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC CC ==，2BC =，D 为棱11A C 上的动点.（1）若D 为11A C 的中点，求证：1//BC 平面1ADB ；（2）若平面11A ACC ⊥平面ABC ，且1160AAC ∠=︒是否存在点D ，使二面角11B AD C --的平面角的余弦311A D C D 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）113A DC D=. 【解析】 【分析】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ，E 为1A B 中点，结合已知可得1DE BC ，即可证明结论；（2）根据已知可得BC ⊥平面11A ACC ，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知确定111,,,A A B C 坐标，假设满足条件的点D 存在，设111(01)A D AC λλ=≤≤，求出平面1AB D 的法向量坐标，取平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =，按照空间向量的面面角公式，建立λ的方程，求解即可得出结论. 【详解】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ， 四边形11AA B B 为平行四边形，E ∴为1A B 中点， 又D 为11A C 的中点，1,DEBC DE ∴⊂平面1ADB ，1BC ⊄平面1ADB ，1//BC ∴平面1ADB ；（2）1,AC CC ∴=平行四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，,AC BC BC ⊥∴⊥平面11A ACC ，过点C 作1C A 的平行线CP ，即1,,CA CP CB 两两互相垂直，以C 为坐标原点，以1,,CA CP CB 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，111160,4,AAC AC AC ∠=︒∴==，故11(0,0,0),2,0),2,2)C A C B -- 111(23,2,0),(0,4,2)AC AC AB ==--=-， 假设存在点D ，使二面角11B AD C --设111(,2,0),01A D AC λλλ==--≤≤， 11(2),2(1),0)AD AA A D λλ=+=--+，平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =， 设平面1AB D 的法向量为(,,)m x y z =，100AD m AB m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即)2(1)0420x y y z λλ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x λ=+，则),)yz λλ=-=-，(1,3(1),))m λλλ∴=+--由cos ,4m n <>==， 整理得2249(1)(1),771λλλλ-=+∴-=+或771λλ-=--， 解得4(13λλ=>舍去）或34λ=， 111113,34A D A D AC C D∴=∴=， ∴满足条件的点D 存在，且113A DC D=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行，以及空间向量二面角公式的应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.已知圆C ：()22232x y ++=，点()2,0D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程.（2）设点(0,2)A ，,M N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A .求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22184x y +=；（2）直线MN过定点2(0,)3-，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得||||42CQ QD +=Q 的轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,M N 两点横坐标的关系，再由已知可得AM AN ⊥，利用0AM AN ⋅=和,M N 两点横坐标的关系，整理出,m k 关系或求出m 为定值，即可求出结论.【详解】（1）圆C ：()22232x y ++=，得圆心(2,0)C -，半径42r =PD 的垂直平分线交线段CP 于点,Q QP QD ∴=，||||||||||424||QC QD QC QP CP r CD ∴+=+===>=， ∴点Q 的轨迹为椭圆，且焦点在x 轴，22,2a c ∴==，2222,4a b a c ∴==-=，∴点Q 的轨迹方程为22184x y +=；（2）依题意直线MN 斜率存在，设其方程为,2y kx m m =+≠±，联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得，222(12)4280k x kmx m +++-=， 222222168(4)(21)8(84)0k m m k k m ∴∆=--+=-+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++， 以MN 为直径的圆过点A ，,0AM AN AM AN ∴⊥∴⋅=，12121212(2)(2)(2)(2)AM AN x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-221212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m =++-++-=，2222,2(2)(1)4(2)(12)0m m k mk m k ≠∴++-+-+=，整理得2320,3m m +=∴=-，此时>0∆恒成立， 所以直线MN 过定点2(0,)3-.【点睛】本题考查定义法求椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、证明直线过定点等知识，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3i i i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 【答案】（1）回归方程为ˆ24.6ln 7.3y x =+，估计第10天新增确诊人数为64人；（2）3k =.【解析】 【分析】（1）由模型ˆˆˆln yb x a =+，根据提供公式，结合数据()()91ln ln 100.86iii x x y y =--=∑，()921ln ln 4.1ii x x =-=∑，求出b ，利用(ln ,)x y 回归方程上求出a ，将10x =代入回归方程，即可估算结论；（2）根据已知可得余下的人员中被感染的人数为X ，服从二项分布(11,0.3)XB ，由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，且110,k k N ≤≤∈，即可求出X k =最有可能（即概率最大）的值.【详解】（1）()()()91921ln ln 100.8624.6l ˆˆˆl , 4.1n n ln iii i i b x x y y a xyb x x ==--====+∴-∑∑， 24.6ln 42.224.6 1.427.3a y x =-⨯=-⨯≈，∴回归方程为ˆ24.6ln 7.3yx =+， 当10x =时，ˆ24.6ln107.324.6 2.37.363.8864y=⨯+=⨯+=≈， ∴估计第10天新增确诊人数为64人；（2）设余下11人中被感染的人数为X ，则(11,0.3)XB ，1111()0.30.7kk k P X k C -∴==⋅，要使()P X k =最大，需()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，111112111111111011110.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩ 即0.30.7!(11)!(1)!(12)!0.70.3!(11)!(1)!(10)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩，3.60.30.70.70.7 3.30.3k kk k -≥⎧⎨+≥-⎩得2.6 3.6,,3k k N k ≤≤∈∴=，所以X k =最有可能（即概率最大）的值为3k =.【点睛】本题考查回归方程及其应用、二项分布的随机变量概率最大值，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()cos xf x ae x =-,2a R x π⎛⎫∈>-⎪⎝⎭. （1）证明：当1a =时，()f x 有最小值，无最大值； （2）若在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上方程()0f x =恰有一个实数根，求α的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）43412{}[,0]{}22e e eπππ--. 【解析】 【分析】（1）当1a =，求()f x '，进而求出单调区间，极小值，即可证明结论； （2）分离参数转化为()cos 2x x a x e ππ=-<<，令)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<，求y a =与()g x 只有一个交点时，a 的范围，通过求导求出()g x 在,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调区间，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）当1a =时，()cos ,()sin xxf x e x f x e x =-'=+， 当(0,),()1sin 0x f x x ∈+∞'>+>恒成立，当(,0)2x π∈-，()f x '单调递增，2()10,(0)102f ef ππ-'-=-<'=>，所以存在的0(,0)2x π∈-，使得0()0f x '=，()f x 在0(,)2x π-单调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有最小值0()f x ，无最大值； （2）方程()cos 0()2xf x ae x x ππ=-=-<<恰有一实根，()2cos x x x a e ππ-⇔<<=恰有一实根， y a ⇔=与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点，4(),,2xx g x x e πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=∈- ⎪⎝⎭， 令()0,4g x x π'==-或34x π=， 当3(,)(,)244x ππππ∈--时，()0g x '>， 当3(,)44x ππ∈-时，()0g x '<， ()g x ∴在(,)24ππ--上单调递增，在3(,)44ππ-上单调递减，在3(,)4ππ上单调递增，即极大值为4()42g e ππ-=， 极小值为431()()0,()422g g g eeππππ=-==-，做出()g x 在(,)2ππ-上的图象，如下图所示，又y a =与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点， a ∴的取值范围是434212{}[,0]{}2e e e ππ--.【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、方程的根等知识，注意分离参数在解题中的应用，也考查数形结合思想以及直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，()02θπ≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，且4OA OB =，求α的值.【答案】（1）2cos 2sin ρθθ=；（2）3πα=或23πα=. 【解析】【分析】（1）消去1C 方程中的参数化为普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==化为极坐标方程；（2）将()0,0θααπρ=≤≤≥代入11,C C 极坐标方程，由已知0ρ≠，利用4A B ρρ=，建立α方程，求解即可.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈）， 消去参数t 得曲线1C 的普通方程为212y x =， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入212y x =得222sin cos ρθρθ=， 0ρ∴=或2cos 2sin ρθθ=，2cos 2sin ρθθ=包含0ρ=，1C ∴的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=；（2）射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，设,A B 的极坐标方程为(,),(,),0,0A B A B B ραραρρ≠≠，则2cos 2sin ,2sin ,(0,)A B ρααρααπ==∈， 依题意22sin cos 0,4,42sin cos A B ααρραα≠=∴=⨯， 又1sin 0,cos ,(0,)2αααπ≠∴=±∈， 3πα∴=或23πα=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的求解，考查数学计算能力，属于中档题.23.若不等式13x m x +++≤的解集非空.（1）求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为M ，若b a R +∈、，且a b M +=，求2211a b b a +++的最小值. 【答案】（1）[2,4]-；（2）83. 【解析】【分析】（1）只需min 1)3(x m x +++≤，根据绝对值不等式性质求出min (1)x m x +++，即可求解；（2）由（1）得4a b M +==，将所求式子化为221()[(1)(1)]611a b a b b a ++++++，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）1|()(1)||1|x m x x m x m +++≥+-+=-不等式13x m x +++≤的解集非空，|1|3m ∴-≤， 313,24m m -≤-≤∴-≤≤，m ∴的取值范围是[2,4]-；（2）由（1）得4,4M a b =∴+=，又,a b R +∈，22221()[(1)(1)]11611a b a b a b b a b a +=++++++++ 22221(1)(1)[]611a ab b a b b a ++=+++++ 222118(2)()663a b ab a b ≥++=+= 当且仅当2a b ==时，等号成立,2211a b b a ∴+++的最小值为83. 【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值，以及利用基本不等式求最值，需要注意考虑最值等号成立的条件，考查计算求解能力，属于中档题.。
2021年新高考高三八省联考数学模拟试题与答案
2021年新高考高三八省联考数学模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为13．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（ ）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]634．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两6．(本题5分)函数2()x x f x e e-=+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A B C D ．11e e+- 8．(本题5分)已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f -=-，当[],1,1a b ∈-，且0a b +≠时，()(()())0a b f a f b ++>成立，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}(,2)0(2,)-∞-+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(22)-，D ．(20)(02)-，， 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．(本题5分)在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项10．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =-11．(本题5分)下列结论正确的是（ ）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1).12．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 13．(本题5分)下列命题：①2:,10p x R x x ∀∈++≥；①000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；①():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；①:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)14．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.15．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，2CD AD ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.16．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题10分)在ABC 中，3A π=，b =①、条件①这两个条件中选择一个作为已知，求（①）B 的大小； （①）ABC 的面积 .条件①：222b a c =+； 条件①：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分.18．(本题12分)已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a n a n +=+数列{}n b 是等比数列，并满足12b =，且11b -，4b ，51b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD=．(1)求证：AE⊥平面ABCD；(2)若60ABE∠=，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．20．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布()2N,μσ，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本的标准差s，并已求得10.03s≈.记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X1)=及X的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t∈假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.21．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.22．(本题12分)已知函数cos ()(,a xf x b a x=+b ①R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+(i )求f (x )的解析式; (ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由.数学试题答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(本题5分)已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-【答案】C【解析】由已知得{05}AB x x =≤<，故选C2．(本题5分)已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】由已知得342525z i =-，z 的实部为325，虚部为425-，共轭复数为342525i +，模为不为模为15，故选C3．(本题5分)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（ ）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63【答案】A【解析】由已知得()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<向右平移4π个单位长度得到()sin(2)2g x x πϕ=+-，所以2=+2=2263k k πππϕπϕπ-+，(0)ϕπ<<，①2=3πϕ，()sin(232)f x x π=+，()f x 的单调减区间是123222322k k x πππππ≤++≤+，即151212x k k ππππ-≤≤+，A 选项符合题意4．(本题5分)设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】由已知得()f x 为奇函数，0a b +≥，a b ≥-，()()f a f b ≥-，即()()0f a f b +≥，故选C 5．(本题5分)《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C【解析】由已知得五人共有40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，则中间一项丙分8两，乙与丁共有16两，乙与丁分钱和恰为丙的2倍，则丁分6两8钱，丙分8两，乙分9两2钱，故选C6．(本题5分)函数()f x = ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式可知得(()f x f x -=-为奇函数，且定义域为[]3,3-，0x >，则中()0f x >恒成立，故选C7．(本题5分)已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A．e e- B．e e- C．e e- D ．11e e+- 【答案】A【解析】依题意，圆心为1(,0)C e e+，设P 点的坐标为(,ln )x x ，由两点间距离公式得()22222211||ln 21+ln PC x x x e x e e e e e x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦+,21()2+f x x e x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22+ln 1x e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，12ln ln ()22+2()x e x x f x x e x e e x ex -⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，()0,f x x e '==，2ln ln 1ln =e x x x x ex x x ''--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知当()ln 0,,x x e x ∈递增，()ln ,,x x e x ∈+∞递减，故当=x e 时取得极大值也是最大值为0，ln 10x x e-≤，当()0,,x e ∈()0f x '≤，当(),,x e ∈+∞()0f x '≥，()0,f x x e '==PQ 的长度的最，且0a b +≠时，m 的取值范A ．{}(,2)0(2,)-∞-+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(22)-，D ．(20)(02)-，， 【答案】B【解析】[],1,1a b ∈-，且0a b +≠时，()(()())0a b f a f b ++>成立，则()f x 为单调增函数(令12,,a x b x ==-则[]12,1,1x x ∈-，1212()(()())0x x f x f x -->，)，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则()2max 21f x m tm <-+，即()2121f m tm <-+，即[]1,1t ∀∈-都有220m tm ->，令2()20g t m tm =->，则min()0g t >，①(1)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，①(,2)(2,)m ∈-∞-+∞，故选B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．(本题5分)在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【解析】所有项的二项式系数和0123456666666662=64C C C C C C C ++++++=,令=1x ，即可得到所有项的系数和为60=0，含有常数项为()3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,01234566666666,,,,,,C C C C C C C 中最大的项为36C ，第4项，，故选ABD10．(本题5分)已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的和为12D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =- 【答案】BC【解析】由题意可知，7+0,+,6122k k Z ωππωπϕϕπ-==+∈，即41()32k ω=+，6πωϕ= 252212312T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，则=1k ，此时23πωϕ==，，()sin(2)3f x x π=+，①26x ππ<< ①242333x πππ<+<，①()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误，由592+3=206πππ⨯，①59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确，①,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，min ()=()=4f x f π-1sin()62π-=-，max ()=()=sin =1122f x f ππ，①最大值与最小值的和为12，故C 正确，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到sin()3y x π=+的图象，再向左平移6π个单位，得到sin()=sin()=cos 632y x x x πππ=+++，即()cos g x x =故D 错误，BC 正确 11．(本题5分)下列结论正确的是（ ）A ．若ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则()R λνλ∈是平面α的一个法向量；B ．坐标平面内过点00(,)P x y 的直线可以写成2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠；C ．直线l 过点(2,3)-，且原点到l 的距离是2，则l 的方程是512260x y +-=；D ．设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1). 【答案】BD【解析】A 、ν是直线l 方向向量，l ⊥平面α，则ν是平面α的一个法向量；但=0λ时，()R λνλ∈为零向量，不是平面α的一个法向量B 、过点00(,)P x y 的直线方程为22+0(0)Ax By C A B +=+≠可得00+0Ax By C +=，即00C Ax By =--，代入直线方程得2200()()0(0)A x x B y y A B -+-=+≠，故B 正确；C 、直线l 方程为过点3(2)y k x -=+，原点到l 的距离是2，则2321k d ，解得5=12k ±的方程是512260x y +-=，故C 不正确D 、设二次函数(2019)(2020)y x x =-+的图象与坐标轴有三个交点分别为(2019,0)(2020,0)-、、 (0,4078380)，由相交弦定理得：20192020=20192020a ⨯⨯⨯，解得：=1a ，故另一个交点坐标为(0,1)，故D 正确12．(本题5分)已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】解：①数列{}n a 为递增数列，①123a a a <<，又①12n n a a n ++=，①122324a a a a +=⎧⎨+=⎩， ①12123212244a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，①101a <<，故A 正确.①()()()22123421226102(21)2n n n S a a a a a a n n -=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=又①{}n b 均为递增数列，①123b b b <<，①12(N)nn n b b n +⋅=∈①122324b b b b =⎧⎨=⎩，①2132b bb b >⎧⎨>⎩ ①11b <，故B 正确.又①()()12212213521242(21)(21)+2121n nn n n n b b T b b b b b b b b b b ---=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+=--()()))12212121nnnb b +-≥--，①对于任意的*n N ∈，22n n S T <，故C 正确，D 错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共20分） 13．(本题5分)下列命题：①2:,10p x R x x ∀∈++≥；①000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；①():0,1x r x e x ∀∈-∞>+，；①:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 【答案】①①【解析】①2=14010x x ∆-<++≥，为真命题，①sin cos 2sin +24x x x π⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，不存在0x R ∈，使得00sin cos 2x x +=，为假命题，①()1),()(1x x g x e x g x e '=+=--，当()0,()0x g x '∈-∞<，，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=，即1x e x >+为真命题，①若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若=0ab ，则=0a 为假命题14．(本题5分)()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______. 【答案】-6480【解析】有关23ab c 的项为()()()()23231232323236532360236480C a C b C c ab c ab c ab c⋅⋅-=⋅⋅-=- 15．(本题5分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【答案】223【分析】根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，从而可求出点Q到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，再根据三棱锥的体积公式可求得结果. 【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ，因为Q 在PAD △内及边上，所以AB QA ⊥，CD QD ⊥，所以tan CD CQD DQ ∠=，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD ABDQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ =，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：则(1,0)D -，(1,0)A ，(1,3)P ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由QD ==22(3)8x y -+=，所以Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA 的边上或内的弧，如图所以，当Q 为圆22(3)8x y -+=与PA 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令1x =，解得2y =±，所以点Q到DA 的距离最大为2，也就是三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，因为122ABC S ==△以三棱锥Q ABC -的体积最大值为123⨯=..16．(本题5分)对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___. 【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果. 【答案】0 1010【解析】（1）当1n =时，221log 4-=x x ，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1()1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x ，111[]02==a x （2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n ， 令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,)+∞单调递增，+1()log 302=-<n n f n n n ；+1()1>02=n f ，由零点存在定理可得：1(,)22+∃∈n n x ，()0f x =， 当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21()2，+∈n k t k ，[]==n n a t k 所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=【点睛】关键点点睛：在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=在三角形PDA的边上或内的弧，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为2，即三棱锥Q ABC -的高的最大值为2，这是本题解题的关键，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题10分)在ABC 中，3A π=，b =①、条件①这两个条件中选择一个作为已知，求（①）B 的大小；（①）ABC 的面积 .条件①：222b a c =+； 条件①：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（①）4B π=（①【分析】若选择条件①：222b a c +=+. （①）根据余弦定理求出4B π=；（①）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.若选择条件①：cos sin a B b A = （①）根据正弦定理可求出4B π=；（①）根据正弦定理求出a =sin C ，再根据面积公式可得结果.【解析】若选择条件①：222b a c +=+.（①）因为222b ac =+，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，因为()0,B π∈，所以4B π=. （①）由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2b A a B ===又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=，所以11sin22ABCS ab C===△.若选择条件①：cos sina Bb A=.（①）由正弦定理sin sina bA B=，得sin sina Bb A=.又因为cos sina Bb A=，所以sin cosB B=，又因为()0,Bπ∈，所以4Bπ=.（①）由正弦定理sin sina bA B=，得sinsinb AaB===又因为()sin sin sin cos cos sinC A B A B A B=+=+12222=+⨯=，所以113sin2244ABCS ab C===△.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18．(本题12分)已知数列{}n a满足：11a=，11nna na n+=+数列{}nb是等比数列，并满足12b=，且11b-，4b，51b-成等差数列.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）若数列nnnbca=，求数列{}nc的前n项和nS.【答案】（1）1nan=；2nnb=（2）()1122nnS n+=-⋅+.【分析】（1）由数列{}n a的递推公式判断数列{}n na是常数列，从而求得{}n a的通项公式，根据11b-，4b，51b-成等差数列，列式求数列的公比q，再求通项公式；（2）由（1）可知2nnnnbc na==⋅，利用错位相减法求和.【解析】（1）由已知11a=，()11n nna n a+=+，所以{}n na是常数列，所以111nna a=⋅=，故1nan=设{}n b的公比是q，由已知得()()415211b b b=-+-，所以3442q q=，所以2q，故2nnb=（2）由题意可知：2n nn nb c n a ==⋅，又121n n n S c c c c -=+++，代入可得：()1211222122n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅……①()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅……① ①-①得：()123111212222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--所以()1122n n S n +=-⋅+.【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列，等比数列，错位相减法数列求和，重点考查计算能力，转化与变形，属于中档题型.19．(本题12分)如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,ACB ∠=//,2AD BC BC AD =．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．【答案】（1）详见解析（2【分析】（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由,BE BC AB BE B ⊥⋂=，得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.【解析】（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠= 由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，所以2AB =，所以222,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,所以AE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -， 则()()()(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C EA (D ,因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，易知()140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,140,33y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =则0,9y x ==， 所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，由（1）知EA ⊥平面ABCD，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量.设二面角F AD C --的平面角为α，由图知α为锐角，则24cos 23EA n EA nα⋅===⨯⋅所以二面角F AD C --的余弦值为7.【点睛】本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.20．(本题12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）： （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2N ,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.【答案】（1）(1)0.016P X =≈，() 5.442E X =；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.【分析】（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可. （2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可. 【解析】（1）由题意知：①样本平均数为550.16650.3750.4850.1950.0470.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ①(2,](70.620.06,70.610.03](50.54,80.63]μσμσ-+=-+=， 而11(2)()(22)0.818622P k P k P k μσμσμσμσμσμσ-≤+=-≤++-≤+=＜＜＜. 从而质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的概率为0.1814.因此12930(1)(0.8186)0.1814300.00300.18140.0163260.016P X C ==⨯≈⨯⨯=≈X 的数学期望为()300.1814 5.442E X =⨯=.（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值k 与对应概率如下表所示：(14)t <<故每个包装胶带的利润50.1630.320.40.10.20.22y t t t t e e =⨯+⨯+⨯+⨯-=-+ 则()0.2 2.60.213tty e e '=-+=--， 令0y '=，得ln13t =，故当(1,ln13)t ∈时，0y '>，当(ln13,4)t ∈时，0y '<，所以当ln13 2.6t =≈时，y 取得最大值，ln13max 0.2 2.6ln13 2..6 2.6 2.6 4.16y e =-+⨯≈-+⨯=（元），由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为4.1610004160⨯=（万元）， 而4160万元5000<万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【点睛】本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.21．(本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F ，点P 为坐标平面内的一点，且32OP →=，1234PF PF ⋅=-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，21 且2παβ+=证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，该点坐标10(3-,0) 【分析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，判断直线AB 的斜率不存在不成立，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．【解析】（1）设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由32OP =，123·4PF PF =-可得2294m n +=，(,)(,)c m n c m n ----22229344m c n c =-+=-=-，即有23c=，即c =，又c e a ==， 可得2a=，1b ==，则椭圆的方程为2214x y +=； （2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ,2)y ，由题意可得(2,0)M -，若直线AB 的斜率不存在，即12x x =，12y y =-，由题意可得直线MA ，MB 的斜率大于0，即120y y >，矛盾；因此直线BA 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．联立椭圆方程2244x y +=，化为：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，∴①22226416(14)(1)0k m k m =-+->， 化为：2214k m +>．122814km x x k ∴+=-+，21224(1)14m x x k -=+． 由2παβ+=，可得tan tan 1αβ=，∴1212·122y yx x =++， 1212()()(2)(2)kx m kx m x x ∴++=++，化为：221212(1)(2)()40k x x mk x x m -+-++-=，222224(1)8(1)(2)()401414m km k mk m k k -∴-+--+-=++， 化为22316200m km k -+=，解得2m k =，或103m k =． ∴直线AB 的方程可以表示为2y kx k =+（舍去），或103y kx k =+，则直线AB 恒过定点10(3-,0)．22【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．22．(本题12分)已知函数cos ()(,a x f x b a x=+b ①R ). （1）当1,0a b ==时，判断函数f (x )在区间(0,)2π内的单调性;（2）已知曲线cos ()a x f x b x =+在点(,())22f ππ处的切线方程为6 2.y x π=-+ (i )求f (x )的解析式;(ii )判断方程3()12f x π=-在区间(0，2π]上解的个数，并说明理由. 【答案】（1）单调递减函数；（2）(i ) 3cos ()1x f x x=-； (ii ) 3个，理由见解析. 【分析】（1）当1,0a b ==时，求得2sin cos ()x x x f x x ⋅+'=-，进而得到()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调性；（2）(i ) 求得函数的导数()'f x ，求得2()2af ππ-'=，得到26aππ-=-，求得a 的值，进而求得b 的值，即可求得函数的解析式；(ii ) 令()()312g x f x π=-+，求得()23(sin cos )x x x x g x -+'=，分(0,]2x π∈，3(,)22x ππ∈和3[,2]2x ππ∈三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【解析】（1）当1,0a b ==时，cos ()x f x x =，可得2sin cos ()x x x f x x ⋅+'=-， 因为(0,)2x π∈，所以sin cos 0x x x ⋅+>,即()0f x '<，所以函数()f x 在区间(0,)2π上为单调递减函数. （2）(i ) 由函数cos ()a x f x b x=+，可得2(sin cos )()a x x x f x x -⋅+'=，则2()2a f ππ-'= 因为函数()f x 在点(,())22f ππ处的切线方程为62y x π=-+，所以26aππ-=-，解得3a =， 当2x π=，代入切线方程为6212y ππ=-⨯+=-，可得()12f b π==-，23 所以函数()f x 的解析式为3cos ()1x f x x=-. (ii ) 令()()33cos 3122x g f x x x ππ+=-=-，则()23(sin cos )x x x xg x -+'=， ①当(0,]2x π∈时，可得()0g x '<，()g x单调递减，又由330(,022)()62g g πππππ->-=<=， 所以函数()g x 在区间(0,]2π上只有一个零点；①当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，可得()3cos 302x x g x π-=<恒成立， 所以函数()g x 在区间3(,)22ππ上没有零点； ①当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，可得()cos 0h x x x '=>， 所以()h x 在区间3[,2]2ππ单调递增，3(2)0,()02h h ππ><， 所以存在03[,2]2x ππ∈，使得()g x 在03[,)2x π上单调递增，在0(,2]x π单调递减， 又由(2)0,()02g g ππ=<，所以函数在3[,2]2ππ上有两个零点， 综上可得，方程3()12f x π=-在(0,2]π上有3个解. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则AB =（ ） A. {}3,2--B. {}2,3C. {}3,2,3--D. {}3,2,2,3--【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i -- 【答案】A【解析】【分析】通过分母实数化，求出z 即可.【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ，∴z ＝512i i +＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题.3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（ ） A. 6B. 9C. 12D. 15 【答案】B【解析】 【分析】 先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果.【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0.∵a 1＝1，a 3＝a 2+2，∴q 2＝q +2⇒q ＝2. ∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题. 4.若夹角为120︒的向量a 与b 满足2a b b +==，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】【分析】 根据向量数量积的应用，把2a b +=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论. 【详解】解：∵2a b +=， ∴2224a a b b +⋅+=，即24cos12044a a ++=，则2a =，或0a =（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 67πB. πC. 76πD. 2π【答案】C【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解.【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A. 32B. 127C. 53D. 85【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15 此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85. 故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A. 52B.C. 54D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求.【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ，由题意可得，M （1﹣r ，0），设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1），联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0. 由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r -. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54. ∴M （﹣14，0），N （14，1），则|MN |. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题. 8.若直线y x =与曲线ln y x ax =+相切，则a =（ ） A. 1e B. 1e - C. 11e - D. 11e- 【答案】D【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x +=，即可求出a 的值.【详解】解：设切点为（x ，y ）， 由题意1y a x'=+. ∴ln 11x ax x a x+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11a e =-. 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 220x y +-=C. 210x y +-=D. 220x y --= 【答案】A【解析】【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1mB. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤- 【答案】D【解析】【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出.【详解】解：函数()33f x x x =+， f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数.f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1]. ∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18. 故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 20πB. 203πC. 4πD. 43π 【答案】A【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB =设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2，所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1. ∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，ON ==，∴11OM ON =-=.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即224(1R =+，解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目.若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=（ ）A. 171-B. 331-C. 1716D.3316 【答案】B【解析】【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值.【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1，∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+. 则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-.由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得01cos 8θ= 又cos θ在（0，2π）上单调递减， ∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈（18，1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减， 当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0，18）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增， ∴当cos ∠AOC时，四边形OCDB 的面积最大. 故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x +≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可） 【答案】-1（任意负数均可）【解析】【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1，带入.【详解】解：当0x >时，12x x +≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可.例如x ＝－1时12x x+=-. 故答案为：－1（任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b -=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【答案】5 【解析】 【分析】设P 的坐标，求出OP ，OF 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率.【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF ＝（c ，0）， 由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e ＝22c a＝222a ba +＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有36C 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P 点的概率为______.【答案】35【解析】 【分析】共有n ＝36C ＝20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率.【详解】解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点， 共有n ＝36C ＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种， 该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =， 又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3- x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】 【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点， 所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC 中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -， 设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B ，()003A ,,，()10,4,3A ，()1,2,0D -， 所以()1,0,3BA =-，()2,2,0BD=-，()11,4,3BA =-， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则10BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()1,1,3n =-，设AB 与平面1A BD 所成角为θ，()()()()()2222221,0,31,1,3sin 103113BA n BA nθ-⋅-⋅==⋅-++++-255=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明） 【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大. 【解析】 【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一 年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元）， 所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =②b =③ABC求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值. （2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+， 由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭3sin B B =++6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B=，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 2sin B B l a b c B B B +=++=++=26cos 224sincos 22B B B=+32tan2B =+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC 周长的取值范围是()+∞.选择③ABCS =.因为3A π=，1sin 24ABC S bc A ===△4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC 的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）求导，令'0fx得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可； （2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x+-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>，因为0a >，由'0fx得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x f x =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2a g a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】 【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=.（2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y .由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+.由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以43y m m =+≥，故244S m m =≤+.当且仅当m =t =12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 极坐标方程； （2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩， 解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=. 所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++≤【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(八)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（八）数学（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1.已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=．则AB =（ ）A. []3,3--B. []22-,C. []4,4-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】首先确定集合,A B ，再由交集运算求解．【详解】()(){}440{|44}[4,4]A x x x x x =-+≤=-≤≤=-，{}{}222416{|4}22[2,2]B y x y y y y =+==≤=-≤≤=-，所以[2,2]AB =-．故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，确定出集合的元素是解题关键． 2.“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”是“0a =”的（ ） A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分也不是必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b 不为0.故选A ．考点：本题主要考查充要条件的概念，复数的概念．点评：简单题，涉及充要条件的判定问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”“集合关系法”入手加以判断．3.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A. 18B. 9C. 6D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先写出双曲线渐近线方程，再根据双曲线的渐近线与直线13y x =垂直，由斜率乘积等于-1求解.【详解】双曲线()222109y x a a -=>的渐近线方程为3a y x =±，因为双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，所以33a=， 解得9a =，所以此双曲线的实轴长为18. 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()ln 211f x x x =+-，利用函数零点存在性定理判断即可得到结论. 【详解】由题意，设函数()ln 211f x x x =+-，则()120f x x'=+>恒成立， 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()3ln32311ln350f =+⨯-=-<，()4ln 42411ln 430f =+⨯-=-<，()5ln52511ln510f =+⨯-=->，由零点存在性定理可知，函数()f x 的零点在区间()4,5，即()04,5x ∈， 又()0,1x k k ∈+，*k N ∈，所以4k =. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法：图象法和零点判定定理，将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，将方程转化为函数，利用零点判定定理是基本方法．5.已知,x y 满足约束条件{34y xy x x y ≤≥+≤，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A. 2z x y =-B. 2z x y =-+C. 12z x y =-- D. 2z x y =+【答案】B 【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(2,2),(3,1)A B C ，所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值，直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值，选B.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A. 41 B. 56 C. 156 D. 252【答案】B 【解析】 【分析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．【详解】解：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．故有5856C =种．故选：B【点睛】本题考查“插板”法解决组合问题，属于基础题.7.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.21- B.21+ C. 612D.312【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-=而截面到球体最低点距离为31，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的. 8.已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan2α=（ ） A.152-+ B. 15+ C.152- D.152- 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得tan 2α=，再由二倍角正切公式解方程可得； 【详解】解：因为2sin 21cos2αα=-所以()24sin cos 112sin ααα=--，即24sin cos 2sin ααα= 因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α≠，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2cos sin αα=，即tan 2α=又22tan2tan 1tan 2ααα=-，所以22tan221tan 2αα=-，即2tan tan 1022αα+-=解得15tan 2α--=或15tan2α-+=因为3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以15tan 2α--= 故选：B【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos xf xg x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求出()()2cos xxf xg x e -=-，再利用导函数求出函数的极值点，和函数的图象的趋势，即可求出结果.【详解】因为()()2cos xf xg x e x +=，所以()()()2cos xf xg x ex --+-=-，即()()()2cos xf xg x e x --+=，所以()()2cos xxf xg x e -=-. 因为2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，所以C ，D 错误. 又()222sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，所以4πx =-为极值点，即B 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用，属于基础题.10.如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质分析判断.【详解】∵()()a P X a Φ-=≤-，∴图中阴影部分面积为()()1122P X a a -≤-=-Φ-，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积为()()1122P X a a ≤-=Φ-， 又()P a X a -≤≤=()()a a Φ-Φ-，阴影部分面积为()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦; 故正确的个数为①③④共3个， 故选：C.【点睛】本题考查了正态分布的性质，熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属容易题． 11.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 3C. 6+D. 3+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值．【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+． ∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 12.设fx 是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在△ABC 中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ()()22sin sin sin sin f A B f B A <B. ()()22sin sin sin sin f C B f B C <C. ()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D. ()()22cos sin sin cos f C B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】设2()(),f x g x x =再利用导数证明函数()g x 在0+∞（，）单调递增，再证明(sin )(cos )g B g C <，化简即得解. 【详解】因为()()2f x f x x'>，0x >， 所以()()2(),2()0f x x f x f x x f x ''⋅>∴⋅->. 设23()()2()(),()0f x f x x f x g x g x x x '⋅-'=∴=>，所以函数()g x 在0+∞（，）单调递增. 因为A ∠为钝角，所以,,sin sin(),sin cos 222B C B C B C B C πππ+<∴<-∴<-∴<,所以(sin )(cos )g B g C <, 所以22(sin )(cosC),sin cos f B f B C< 所以()()22cos sin sin cos f C B f B C >. 故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2020503+被7除后的余数为________________________． 【答案】4 【解析】 【分析】 先化简20202020503(491)3+=++，再利用二项式定理求出余数.【详解】由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3494949493C C C C +=++=+++++020201201920192020202020204949494C C C =++++因为02020120192019202020202020494949C C C +++能被7整除，所以2020503+被7除后的余数为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查二项式定理求余数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________． 【答案】24x y =或24y x = 【解析】 【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，当2,1x y =-=时，4m =，此时，24x y =，点()4,4在抛物线上. 设抛物线的标准方程为：2n y x =，当1,2x y ==时，4n =，此时，24y x =，点()4,4在抛物线上.故答案为：24x y =或24y x =.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点．若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________．【答案】26⎣⎦【解析】 【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解．【详解】解：补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面EFGHQR ， P AC ∴∈，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C C D D所以1D PD ∠即为直线1D P 与直线1C C 所成角， 连接DP ，则22DP ≤≤，在1DDP 中，22211D P DP D D =+，所以16,22D P ⎡⎤∈⎣⎦所以1126cos ,23D D D P θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦故答案为：26,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了线面平行，面面平行，立体几何中的动点问题，属于中档题． 16.ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且()2223sin SA C a c b+=+-，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC 面积的最大值为____________________． 【答案】843-【解析】 【分析】先根据余弦定理以及三角形面积公式化简条件()23sin SA C +=得B ，再利用向量化简条件：BM =2，并利用基本不等式求ac 最大值，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】()123sin 2332sin sin cos 2cos acBS A C B B ac B ⨯+=∴=∴= (0,)3B B ππ∈∴=1(),||22BM BA BC BM =+=222214(2cos )16323423c a ac B c a ac ac ac ac ∴=++∴=++≥+∴≤+当且仅当a c =时取等号因此ABC 面积111sin 4(23)84324423S ac B ac ==≤⋅=-=-+ 故答案为：843-【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、向量表示、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA.（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】 【分析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求.【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE. 因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ，又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ， 因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒1111124230330x y z x z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(113n =，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩⇒22222423040x y z y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒()301m =-，，，所以cos 215n m n m n m⋅===，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值为5-. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.18.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立．（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明详见解析；12n n a ；（2）存在，0λ=．【解析】 【分析】（1）根据数列递推关系可得1112n n S a +++=，即可证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，再进一步求出数列的通项公式；（2）先根据数列的前3项成等差数列求得0λ=，再证明0λ=一般性也成立. 【详解】解：（1）①当1λ=时，111n n n n n n a S a S a a +++-=-， 则111n n n n n n a S a a S a ++++=+， 即()()1111n n n n S a S a +++=+． ∵数列{}n a 的各项均为正数， ∴1111n n n n a S a S +++=+． ∴3131221212111111n n n n a a S S a S a a a S S S +++++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得1112n n S a +++=，①∴当2n ≥时，12n n S a +=，② ②-①，得12n n a a +=，∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即12n na ．（2）由题意，令1n =，得21a λ=+；令2n =，得()231a λ=+． 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=． 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=． 综上所述，可得1n a =，*n N ∈．∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查根据数列的递推关系求等比数列的通项公式、利用等差数列的性质求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点).（1）求椭圆C方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得222223311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++， 212112012122102225381213y y y y y m y y m y y mm y λλ⨯-+=====---+++， 综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（i ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 改造前 改造后（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）工厂生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种．对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天()*k N∈进行维护．生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列．【答案】（1）（i ）列联表详见解析；（ii ）有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）（i ）根据茎叶图的数据先求得中位数，进而得到5a =，15b =，15c =，5d =，完成列联表；（ii ）根据（i ）中的列联表将数据代入22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，求得2K ，然后与临界表对比下结论.（2根据茎叶图可知：生产线需保障维护的概率为51204p ==，设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，根据正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元，得到一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，然后求得相应的概率列出分布列.【详解】（1）（i ）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（ii ）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率， 生产线需保障维护的概率为51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()4438124256P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：【点睛】本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.已知函数()1=xx f x a e --的两个零点记为12,x x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：12x x ->【答案】（1）)1(0a ∈，（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数，构造1()x x g x e-=，求导，根据函数的单调性求出a 的范围．（2）先证明122x x +>，所以要证明12||x x ->，只需证明2112(1)x x x ->->2112x x a ->-，111x x a e-=，只需证明12111120x x x x e-+->，101x <<，构造函数()h x ，利用导数研究函数的单调性和最值，证明即可．【详解】解：（1）由()0f x ＝，得1x x a e -＝，令()1x x g x e -＝，()11'x xg x e--＝， 当()()()1'0x g x g x ∈-∞，，＞，递增；当()()()1'0x g x g x ∈+∞，，＜，递减； ()g x 有最大值()00g ＝，又()0x g x →+∞→，，故函数有两个不同的零点，)1(0a ∈，； （2）先证明122x x +＞，不妨设12x x ＜，由（1）知，1201x x ＜＜＜， 构造函数()()()()()()()111122'1xx x x F x f x f x xex e F x x e e ----------＝＝，＝，当)1(0x ∈，时，()'0F x ＞，()F x 递增，()()100F F x ＝，＜， 所以()10F x ＜，即()()112f x f x -＜，所以121x -＞，由()()12f x f x ＝， 由（1）知，当(1)x ∈+∞，，()f x 递减； 所以212x x -＞，即122x x +＞，要证明12x x ->只需证明()21121x x x --＞＞即2112x x a ->-，111x x a e -＝，只需证明1211111+2001x x x x x e--＞，＜＜， 构造函数()212x x h x x x e -+-＝，()()11'12x h x x e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，当()()()012'0x ln h x h x ∈-，，＞，递增；()()()121'0x ln h x h x ∈-，，＜，递减； 当]1[0x ∈，时，()()(){00}1min h x min h h ＝，＝， 所以当()()010x h x ∈，，＞， 故原命题成立.【点睛】本题考查了函数零点判断问题和极值点偏移问题，用到构造函数法判断函数的单调性和最值，难度较大，综合性高．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE -的值． 【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】【分析】 （1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-． 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =．故曲线C 的直角坐标方程为24y x =． （2）设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <． ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23.已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+． 【答案】（1）{}02x x <<；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可；（2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【详解】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<． （2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +， ∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+， ∴()224281a b b a b +++≥+． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。
学海导航全国卷大联考2021届高三数学(理)试题答案
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１４．２（解析：因为 ｙ＝ｃ１ｅｘ－ｃ２，所以 ｌｎｙ＝ｌｎ（ｃ１ｅｘ－ｃ２） ＝ｌｎｃ１＋ｌｎｅｘ－ｃ２ ＝ｌｎｃ１＋ｘ－ｃ２，即 ｚ＝ｘ＋ｌｎｃ１ －ｃ２，所
以 ｂ＝１，ａ＝ｌｎｃ１ －ｃ２，因为 ａ＝－ｃ２，所以 ｌｎｃ１ ＝０，
径为 Ｒ，由正弦定理得，２Ｒ＝ｓｉｎ槡２π４ ＝２，所以 Ｒ＝１， 故△ＡＢＣ外接圆的面积为 πＲ２＝π．）
１６．槡３１３（解析：如图，延长 ＡＥ
交 ＣＣ１ 的延长线于点 Ｆ，连接
ＤＦ交 Ｂ１Ｃ１ 于 Ｈ，则 ＤＨ为 截
面 ＡＤＥ 与 三 棱 柱 的 侧 面
ＢＣＣ１Ｂ１ 的 交 线，因 为 ＤＢ１∥
所以平面 ＡＣＥ的一个法向量为 ｍ＝（２，０，１），
（１０分）
取圆 Ｏ面的法向量为 ｎ＝（０，０，１），
则 ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝｜ｍｍ·｜｜ｎｎ｜＝槡１５＝槡５５， 结合图形可知，平面 ＡＣＥ与圆 Ｏ面所成的锐二面
角的余弦值为槡５５． （１２分） ２０．解：（１）因为双曲线 ｘ２ －ｍｙ２２ ＝１（ｍ＞０）的左右
又 ＡＤ∩ＤＥ＝Ｄ，所以 ＣＥ⊥平面 ＡＤＥ，
又 ＡＥ平面 ＡＤＥ，所以 ＡＥ⊥ＣＥ； （４分）
（２）解：因为母线 ＨＥ与底
*
面垂直，
&
所以 ＨＥ⊥ＨＢ，ＨＥ⊥ＨＡ， %
!
$
因为 ＡＢ是底面圆的直径，
所以 ＨＡ⊥ ＨＢ，以 Ｈ为 坐
标原 点，ＨＡ，ＨＢ，ＨＥ所 在
直线为 ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间
所以 Ａ→Ｅ＝（－１，０，２），Ａ→Ｃ＝（－１，槡３，２），
设平面 ＡＣＥ的法向量为 ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(三)数学(理)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（三）数学(理科)试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.）1.已知集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cos q）2+（y﹣5﹣4sin q）2=4，θ∈R}，B={（x，y）|3x+4y﹣19=0}.记集合P=A∩B，则集合P所表示的轨迹的长度为( )【答案】A【解析】【分析】由圆（x﹣3﹣4cos q）2+（y﹣5﹣4sin q）2=4的圆心为（3+4cos q，5+4sin q），可知其圆心的轨迹方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2=16，易知动圆（x﹣3﹣4cos q）2+（y﹣5﹣4sin q）2=4所形成的图形为圆环，利用垂径定理结合图像，即可得解.【详解】集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cos q）2+（y﹣5﹣4sin q）2=4，θ∈R}，圆的圆心（3+4cos q，5+4sin q），半径为2，所以圆的圆心的轨迹方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣5）2=16， 如图：集合A 的图形是图形中两个圆中间的圆环部分， 圆心C （3，5）到直线3x +4y ﹣19=0的距离为：d 2233451934⨯+⨯-==+2，所以，A ∩B 就是|MN |=2262-=32=2故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了垂径定理，同时考查了对动态图像的直观想象，属于较难题.2.已知复数z 满足z z ⋅=4且z z ++|z |=0，则z 2019的值为( ) A. ﹣1 B. ﹣2 2019C. 1D. 2 2019【答案】D 【解析】 【分析】首先设复数z =a +bi （a ，b ∈R ），根据z z ⋅=4和z z ++|z |=0得出方程组，求解可得：z 1322⎛⎫=--± ⎪ ⎪⎝⎭，通过计算可得：313(-122±=，代入即可得解. 【详解】设z =a +bi （a ，b ∈R ）， 由z z ⋅=4且z z ++|z |=0，得224220a b a ⎧+=⎨+=⎩，解得a =﹣1，b =. ∴z 1122⎛⎫=-=-± ⎪ ⎪⎝⎭，而32231111()3()3()()2822⎛⎫⎛⎫-=-+⨯-⨯+⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1，32231111()3()3))12822⎛⎫-=-+⨯-+⨯-⨯+= ⎪⎝⎭.∴201920192019201936732019112()2[()]222z =⋅-=⋅-±=. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题. 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =sin （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为( )A.1B.C.1D.【答案】D 【解析】 【分析】首先根据条件解△ABC 可得：C 4π=和△ABC 外接圆的半径R 2==，由此建立直角坐标系，可得：.A （52-，0），B （52，0），外心O 为（0，52），重心G 56θθ⎫⎪⎪⎝⎭，.从而求得|OG |222525)()36θθ=+=θ(12538-≥，即可得解. 【详解】A =sin （B 4π+），c =5， ∴a =sin （B 4π+）， 由正弦定理可得：sinA =C ⋅2（sin B +cos B ），∴sin （B +C ）=sin B cos C +cos B sin C =sin C sin B +sin C cos B ， 化为：sin B cos C =sin C ⋅sin B ，sin B ≠0， ∴cos C =sin C ，即tan C =1，C ∈（0，π）. ∴C 4π=.∴△ABC 外接圆的半径R 12=522c sinC ⋅=. 如图所示，建立直角坐标系.A （52-，0），B （52，0），O （0，52）.△ABC 外接圆的方程为：x 22525()22y +-=. 设C 52θ，5522+θ）.θ∈（0，π）则G 52552666sin θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，. |OG |2225255225252()()63669sin θθ=+-=-sin θ(1253822-≥， ∴|OG |的最小值为：1026-. 故选：D.【点睛】本题考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了较强的计算能力，解决该类问题常用如下方法：（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形； （2）利用向量，结合向量的数量积进行求解； （3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.4.在ABC ∆所在平面上有三点P Q R 、、，满足PA PB PC AB ++=，QA QB QC BC ++=，RA RB RC CA ++=，则PQR ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:5【答案】B 【解析】试题分析：由PA PB PC AB ++=⇒PA PC PB AB +=-+⇒PA PC AB BP AB +=+=2PC AP ⇒=，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q R 、的位置，PQR ∆的面积为ABC ∆的面积减去三个小三角形面积，121112112(sin sin sin 233233233PQR ABC c a bS S b A c B a C ∆∆=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 21393ABC ABC ABC S S S ∆∆∆=-⨯=，∴面积比为1:3,故选B ．考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系．【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到2PC AP =，利用向量共线的充要条件得到P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q R 、的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．5.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π【答案】A 【解析】 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为14136412++=∴该球形容器体积的最小值为：4241)2π⨯=41π. 故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题. 6.我国南宋时期的数学家秦九昭在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++⋯++的值的秦九昭算法，即将()f x 改写成如下形式：1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这种算法至今仍是比较先进的算法．将秦九昭算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（ ）A. i v vx a =+B. ()i v v x a =+C. i v a x v =+D. ()i v a x v =+【答案】A 【解析】秦九韶算法的过程为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，（1,2,....k n =），这个过程运用循环结构来完成，根据程序框图应在框图的空白处填写i v vx a =+，选A.7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f （x ）()21x xx e e x --=-的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】首先根据奇偶性的判断可知f （x ）()21x xx e e x --=-为偶函数，排除A ，再通过x >1进行特值判断即可得解.【详解】函数的定义域为{x |x ≠±1}， f （﹣x ）()()2211x xxxx e e x ee x x -----===--f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，当x >1时，f （x ）>0恒成立，排除B ，D ， 故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法： （1）根据奇偶性判断； （2）根据特值判断； （3）根据单调性和趋势判断.8.中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A.51- B. 2(51)-C. 3(51)-D.4(51)- 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，画出平面图像，通过计算得出五边形及阴影部分的面积，代入几何概型概率公式即可得解. 【详解】∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos 318°﹣3cos18°，化为：4sin 218°+2sin18°﹣1= 0，解得sin18°514-=. 如图：不妨设A 2E 2=1.根据题意知，△B 1A 1E 2∽△A 1A 2E 2，∴2212121151A E A E A E A B -==∴A 1E 251+=∴122A A E S=S 215112+=⨯sin72°.121A AB S=S 21112A B =⋅⋅A 2B 1sin36°. 正五边形A 1B 1C 1D 1E 1的面积S 1，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2的面积为S 3，2432211151()(S A E S A B -==. 112A B E S=S 421112A B =⋅sin36°.S 3=5211()2254cos ⨯⋅︒sin72°， ∴在正五边形ABCDE 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率32315(51)S S S +-==. 故选：C.【点睛】本题考察了几何概型，难点是面积的计算，要求较高的计算能力，属于难题.9.已知函数f （x ）=e x （x +1）2，令f 1（x ）=f '（x ），f n +1（x ）=f n '（x ），若f n （x ）=e x （a n x 2+b n x +c n ），记数列{22nn na cb -}的前n 项和为S n ，则下列选项中与S 2019的值最接近的是( )A.32B.53C.74D.95【答案】B 【解析】 【分析】经过求导可得：a n =1，b n =2（n +1），c n =n （n +1）+1. 所以2222122n n n a c b n n ==-.通过放缩，利用裂项相消法求和，即可得解.【详解】由f （x ）=e x （x +1）2=e x （x 2+2x +1）， 得f 1（x ）=f ′（x ）=e x （x 2+4x +3）， f 2（x ）=f 1'（x ）=e x （x 2+6x +7）， f 3（x ）=f 2'（x ）=e x （x 2+8x +13）， …f n +1（x ）=f n '（x ）=e x [x 2+2（n +2）x +（n +1）（n +2）+1]. 又f n （x ）=e x （a n x 2+b n x +c n ）， ∴a n =1，b n =2（n +1），c n =n （n +1）+1. ∴2222122n n n a c b n n==-.令d n 22nn n a c b =-，()2111211111(1)211n n n a n n n n c b n n n n n -=<=<=-++---（n ≥2）， 则S 2019=d 1+d 2+d 3+…+d 20192221111232019=++++2221111232019++++22220182070111111124112411() 1.99623445144114412⎛⎫<++++-++-=-<≈ ⎪⎝⎭， 2221111232019++++222111111111691>1() 1.6202201920202234562007⎛⎫++++-++-=-≈ ⎪⎝⎭∴与S 2019的值最接近的是53. 故选：B.【点睛】本题考查了求导，数列放缩法求和，同时考查了裂项相消法，考查了计算能力和转化思想，属于难题.10.已知函数f （x ）=（cos θ+1）cos2x +cos θ（cos x +1），有下述四个结论：①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（4π，2π）上单调递减；③当θ∈[23π，34π]时，有|f （x ）|75<；④当θ∈[23π，34π]时，有|f '（x ）|145<；其中所有真命题的编号是( )A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①④ 【答案】D【解析】【分析】对①直接进行奇偶性的判断即可，对②③④可用换元法，转化成二次函数的图像与性质进行判断即可.【详解】①函数的定义域为R ，∵f （﹣x ）=（cosθ+1）cos2（﹣x ）+cos θ[cos （﹣x ）+1]=（cos θ+1）cos2x +cos θ（cos x +1）=f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，即①正确；②f （x ）=2（cos θ+1）cos 2x +cos θcos x ﹣1，设t =cos x ，则f （t ）=2（cos θ+1）t 2+t cos θ﹣1，∵2（cosθ+1）>0，∴二次函数的开口向上，函数的对称轴为t ()41cos cos θθ=-+，且t 的正负与cosθ的取值有关， ∴f （x ）在（4π，2π）上不一定单调递减，即②错误；③当θ∈[23π，34π]时，cos θ∈[12-]， f （x ）=2（cosθ+1）cos 2x +cosθcos x ﹣1设t =cos x ，则t ∈[]1,1-，则f （t ）=2（cos θ+1）t 2+t cos θ﹣1，∵2（cosθ+1）>0，∴二次函数的开口向上，函数的对称轴为t ()41cos cos θθ=-+，7(1)3cos 1-+125f θ=+≤< ，17(1)cos 125f θ-=+≤<， ()()2cos cos 111cos 1+14cos 18cos 18cos 1f θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当cos 2θ=-()cos 117=+4cos 11685f θθ⎛⎫-≥ ⎪ ⎪+⎝⎭， 故③错误. ④当θ∈[23π，34π]时，cos θ∈[2-，12-] 有()()=-2cos 1sin 2cos sin =2(cos 1)sin 2cos sin f x x x x x θθθθ'+-++ ()5144cos 1cos cos 3cos 425x θθθ≤++≤+≤<，故④成立. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，也考查了求函数的最值，同时考查了转化思想和计算能力，属于难题.11.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP |.若直线PF 2与双曲线C 只有一个交点，则双曲线C 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由|F 1F 2|=2|OP |可得：12OF OF OP ==，可得PF 1⊥PF 2 ，由直线PF 2与双曲线C 只有一个交点可得：PF 2 和渐近线平行，故设PF 1=m ，PF 2=n ，可得m b n a=，m ﹣n =2a ，m 2+n 2=4c 2，联立即可得解. 【详解】由：双曲线C ：2222x y a b -=1（a >0，b >0）左右焦点分别为F 1，F 2， 点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP |.可得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与双曲线C 只有一个交点，可得：PF 2的斜率：b a -，设PF 1=m ，PF 2=n ， 可得m b n a=，m ﹣n =2a ，m 2+n 2=4c 2，消去m，n，可得：221()ab a=-，解得b=2a，即c2﹣a2=4a2，所以双曲线的离心率为：eca==.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线求离心率，考查了双曲线的定义和渐近线，考查了转化思想和计算能力.求离心率的主要方法是：通过条件结合双曲线的图像与性质得到一个齐次方程，即可得解.本题属于较难题.12.已知函数f（x）=ax3﹣（3a﹣2）x2﹣8x+12a+7，g（x）=lnx，记h（x）=min{f（x），g（x）}，若h（x）至少有三个零点，则实数a的取值范围是( )A. （﹣∞，110-） B. （18，+∞） C. [110-，18） D. [110-，18]【答案】D 【解析】【分析】根据选项，选择a=0和a18=进行判断，分别排除，即可得解.【详解】当a=0时，函数f（x）=ax3﹣（3a﹣2）x2﹣8x+12a+7，化为：f（x）=2x2﹣8x+7，函数的对称轴为x=2，f（2）=﹣1<0，f（1）=1>0，结合已知条件可知：h（x）=min{f（x），g（x）}，若h（x）有三个零点，满足题意，排除A、B选项，当a18=时，f（x）18=x3﹣（38-2）x2﹣8x32++7，f′（x）2326648x x+-=，令3x2+26x﹣64=0，解得x=2或x323=-，x∈（﹣∞，323-），x∈（2，+∞），f′（x）>0，函数是增函数，x∈（323-，2），f′（x）<0，函数是减函数，所以x=2时函数取得极小值，f（2）=0，所以函数由3个零点，满足题意，排除C，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了利用导数求函数单调性，考查了分类讨论思想和排除法，要求较高的计算能力，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13.已知x ，y 均为正数，则2226x y x y +++的最大值是_____. 【答案】14 【解析】【分析】由x ，y 均为正数，利用基本不等式可得：221264x y x y +≤=++，即可得解. 【详解】()222212622444x y x y x y x y x y x y +++=≤==++++++， 当且仅当x =1，y =2时，等号成立. 故函数的最大值为14. 故答案为：14【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，本题考查了转化思想和计算能力，属于中档题.在利用基本不等式时，应注意：一正、二定、三相等的条件的满足.14.在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为_____.【答案】100【解析】【分析】根据索菲娅的要求可分三类：索菲娅分别获得1个陶俑、2个陶俑、3个陶俑时的送法数，再进行相加即可.【详解】因为索菲娅特殊，所以优先安排她，分为三类：i ）索菲娅有3个陶俑时，有34C ，还有2个彩陶再排列，即共有3242C A ⋅=4×2=8；ii ）索菲娅有2个陶俑时，有24C =6，还有3个彩陶，有2个人，2232C A ⋅=3×2=6，共有6×6=36；ⅲ）索菲娅有1个陶俑时有14C =4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有3242C A ⋅=4×2=8，或2，2分组时，平均分组问题有顺序时24C =6，所以这种情况共有4×（8+6）=56，综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100.故答案为：100.【点睛】本题考查了排列组合，所用方法是“特殊元素优先安排法”，即对有特殊要求的元素进行优先安排.本题属于中档题.15.已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心.当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为_____.【答案】13 【解析】【分析】 首先找到特殊位置，即取P 在上顶点时，内心和重心都在y 轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P 的运动而变化，可得：GI 始终垂直于x 轴，可得内切圆半径为3a c a c-⋅-y 0，再利用等面积法列式解方程可得：13c a =. 【详解】当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，取P 特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y 轴上，重心也在y 轴上，由此可得不论P 在何处，GI 始终垂直于x 轴，设内切圆与边的切点分别为Q ，N ，A ，如图所示：设P 在第一象限，坐标为：（x 0，y 0）连接PO ，则重心G 在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于M 点，连接GI 并延长交x 轴于N ，则GN ⊥x 轴，作PE 垂直于x 轴交于E ，可得重心G （03x ，03y ）所以I 的横坐标也为03x ，|ON |03x =， 由内切圆的性质可得，PG =P A ，F 1Q =F 1N ，NF 2=AF 2，所以PF 1﹣PF 2=（PG +QF 1）﹣（P A +AF 2）=F 1N ﹣NF 2=（F 1O +ON ）﹣（OF 2﹣ON ）=2ON 023x =， 而PF 1+PF 2=2a ，所以PF 1=a 03x +，PF 2=a 03x -， 由角平分线的性质可得01102233x a PF F M c OM x PF MF c OM a ++===--，所以可得OM 03cx a=， 所以可得MN =ON ﹣OM ()000333a c x x cx a a-=-=， 所以ME =OE ﹣OM =x 0()00333a c x cx a a--=， 所以3IN MN a c PE OE a c -==-，即IN 3a c a c -=⋅-PE 3a c a c-=⋅-y 0， 1212PF F S =（PF 1+F 1F 2+PF 2）⋅IN 1212F F PE =⋅，即12（2a +2c ）001232a c y c y a c -⋅⋅=⋅⋅-， 所以整理为：13c a =， 故答案为：13. 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，化简可得.本题属于难题.16.已知函数f （x ）=2ax 3+（3a ﹣1）x 2+1，当x ∈[0，1]时，f （x ）仅在x =1处取得最大值，则实数a 的取值范围是_____.【答案】（15+∞，） 【解析】【分析】先取特值：f （1）>f （0），可得a 15>，求导可得：f ′（x ）=6ax 2+2（3a ﹣1）x =6ax （x 133a a --），再分有无极值点，即分13a ≥和1153a <<讨论，即可得解. 【详解】由题意可得，f （1）>f （0），所以a 15>， ∵f ′（x ）=6ax 2+2（3a ﹣1）x =6ax （x 133a a --） ①当13a ≥时，f ′（x ）≥0恒成立，故f （x ）在[0，1]上单调递增，满足题意；②1153a <<时，易得函数在[0，133a a -）上单调递减，在[133a a-，1]上单调递增且f （1）>f （0），符合题意；综上，a 15>故答案为：（15+∞，）. 【点睛】本题考查了根据函数的最值求参数范围的问题，本题的切入点是特值的代入，考查了分类讨论思想和计算能力，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请.在答题卷的相应区域答题.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的中a 1=1，a 2=2，且满足1n i ==. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n 211(1)n n n n a a a ++-=，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若|T n +1|12020<，求n 的最小值. 【答案】（1）n a n =；（2）2020.【解析】【分析】（1）根据数列求通项公式11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，作差即可得解. （2）展开后，裂项相消，即可得解.【详解】（1）∵数列{a n }的中a 1=1，a 2=2，且满足1n i ==. ∴当n ≥2时，-1n i =∑=， 两式作差整理得：1(1)1n n na n a +--=， 所以：111(1)n n a a n n n n +-=--，累加法可得：11n a n +=+a 1=1，a 2=2也满足此式，∴数列{a n }的通项公式为a n =n .（n ∈N *）.（2）b n ()()211(1)21(1)1n n nn n n a a a n n ++-+-===+（﹣1）n （11n n 1++）1(1)(1)1n n n n +--=-+， ∴数列{b n }的前n 项和：T n =（1112--）+（1123--）+（1134--）+…+[1(1)(1)1n n n n +---+]=﹣11(1)1n n +--+，n ∈N *， ∵|T n +1|12020<，∴|T n +1|1112020n =<+，解得n >2019. ∴n 的最小值为2020.【点睛】本题考查了已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用11a S =，求出1a ；(2)用1n - 替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n n a S S -=-（2n ≥ ） 便可求出当2n ≥，n a 时的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n = 与2n ≥两段来写.18.如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD 且DF 3=.（1）求证：EF //平面ABCD ；（2）若∠ABC =∠BCE ，求二面角A ﹣BF ﹣E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）78-. 【解析】【分析】（1）要线面平行，即证直线在面外且直线平行于平面内的一条直线，故过点E 作EH ⊥BC 于H 构造平行四边形即可得到线线平行.（2）连接HA ，根据题意，AH ⊥BC ，以H 为原点，HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAF 和平面BEF 的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值.【详解】（1）过点E 作EH ⊥BC ，连接HD ，EH 3=，因为平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE =BC ，所以EH ⊥平面ABCD ， 因为FD ⊥ABCD ，FD 3=，所以FD //EH ，FD =EH ，故平行四边形EHDF ，所以EF //HD ，由EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， 所以EF //平面ABCD ；（2）连接HA ，根据题意，AH ⊥BC ，如图：以H 为原点，HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A （030），B （1，0，0），E （0，03，F （-233，则BA =（﹣130），BE =（﹣1，03，BF =（﹣333），设平面BAF 的法向量为m =（x ，y ，z ），333030m BF x y z m BA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得m =3，1，2）， 设平面BEF 的法向量为()n a b c =，，，由030n BE a n BF a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得()321n =，，， 由cos 322788m n ++==，， 所以二面角A ﹣FB ﹣E 的余弦值为78-. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，以及建系利用法向量求二面角，是高考中的常见题型，考查了推理判断和空间想象能力，属于较难题.19.已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x =﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足 EP ⋅EF FP = ⋅FQ .（1）求动点P 的轨迹t 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别交曲线t 于点A,B ，和点C ，D .设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）y2=4x ；（2）[-0）∪（0. 【解析】【分析】（1）利用直接法求轨迹方程，直接通过所给条件EP EF FP ⋅= FQ ⋅列式整理可得y 2=4x ； （2）设直线AB ：x =my +1，联立y 2=4x ，整理得y 2﹣4my ﹣4=0，利用韦达定理可得M 点坐标（2m 2+1，2m ），同理可得N 点坐标（221m +，2m -），可得k 22211111131()31m m m m m m m m m m m m --===++-+-+-，整理即可得解.【详解】（1）根据条件可知EP =（x +1，y ），EF =（2，0）， FP =（x ﹣1，y ），FQ =（﹣2，y ）， 因为EP EF FP ⋅= FQ ⋅，所以2x +2=﹣2x +2+y 2，即y 2=4x ，所以P 的轨迹方程为y 2=4x ；（2）设直线AB ：x =my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，整理得y 2﹣4my ﹣4=0，且y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣4，△=16（m 2+1），所以M （2m 2+1，2m ），同理，N （221m +，2m -），所以K （m 221m ++1，m 1m-）， 所以当k22211111131()31m m m m m m m m m m m m--===++-+-+-， 令t =m 1m-≠0，则k 13t t=+， 当t <0时，t 3t +=-（﹣t 3t -）≤﹣，当且仅当t =当t >0时，t 3t +≥t =则k 13t t=+∈[0）∪（0]. 【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，以及椭圆中韦达定理的应用，最后利用函数的性质求得变量的取值范围，是高考中的重难点，要求较高的计算能力，属于难题.20.已知函数f （x ）=a （lnx 2x ++2）12x e x---1在定义域（0，2）内有两个极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设x 1和x 2是f （x ）的两个极值点，求证：lnx 1+lnx 2+lna >0. 【答案】（1）12e ⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）对函数进行求导可得()()()132'x e ax x f x x ---=，记g （x ）=e x ﹣1﹣ax ，通过分类讨论得到函数单调性，分1a e ≤和1a e>两种情况进行讨论，即可得解； （2）根据题意，将证明lnx 1+lnx 2+lna >0，转化为证x 1+x 2>2+lna ，即证x 1>1﹣lnx 2，结合（1）问转化成h （x ）=lnx +e 1﹣x 1>，求导利用单调性即可证明.【详解】（1）函数f （x ）的定义域为（0，2），()()()132'x e ax x f x x ---=，记g （x ）=e x ﹣1﹣ax ，则g ′（x ）=e x ﹣1﹣a ， ①当1a e≤时，g ′（x ）>0， 故g （x ）（0，2）上单增，则g （x ）至多有一个零点，不合题意；②当1a e>时，令g ′（x ）=0得x =1+lna ， （i ）当1+lna <2且g （2）>0，即12ea e <<时，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，在（1+lna ，2）上单增， 此时需g （x ）min =g （1+lna ）=﹣alna <0，解得a >1， 注意到g （0）>0，故由零点存在性定理可知，g （x ）在（0，1+lna ）及（1+lna ，2）上各有一个零点；（ii ）当1+lna ≥2，即a ≥e 时，g （x ）在（0，2）上单减，则g （x ）至多有一个零点，不合题意； 综上，实数a 的取值范围为12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； （2）证明：不妨设0<x 1<1+lna <x 2<2，由题意得，12111200x x e ax e ax --⎧-=⎨-=⎩，两边同时取自然对数得112211x lnx lnax lnx lna -=+⎧⎨-=+⎩，要证lnx 1+lnx 2+lna >0，只需证x 1+x 2>2+lna ，即证x 1>1﹣lnx 2，由上题可知，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，则证明g （1﹣lnx 2）>g （x 1）=0即可， 有()2212210x lnx e elnx x ---->，化简后即证明2121x lnx e -+>即可， 构造函数h （x ）=lnx +e 1﹣x ，x ∈（1+lna ，2），则()111'x h x x e-=-，注意到不等式e x ﹣1>x （x >0）， 则h ′（x ）>0在（1+lna ，2）恒成立， 即h （x >h （1+lna ）>h （1）=1，故求证成立.【点睛】本题考查了利用导数求单调性，考查了分类讨论思想和化归转化思想，要求较高的计算能力.导数在高考中考查压轴题，对思维能力和计算能力要求较高，属于难题.21.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当1p =望值更少，求k 的最大值.【答案】（1）111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明见解析；(ii )4【解析】 【分析】（1）由题意分析可得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +,即可求得()2E ξ,再由12()()E E ξξ=求解即可； （2）(i )整理13122311()n nn n x x e e x x -++-=-可得112213311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-,即1131131n n n n x x e x x e ++-=-,可解得113n nx e x +=,即可得证； (ii )由(i)1p =-,由于12()()E E ξξ>,则()11kk k k p >+--,整理可得1ln 03k k ->,设()()1ln 03x x x x ϕ=->,利用导函数判断()x ϕ的单调性,再根据*k N ∈即可求解.【详解】（1）由已知得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +, 所以()()211k P p ξ==-,()()2111kP k p ξ=+=--,所以()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦,因为12()()E E ξξ=,即()11kk k k p =+--, 所以()11kk p -=, 所以111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明:因为13122311()n n n n x x e e x x -++-=-,所以112213311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-, 所以1131131n n n n x x e x x e ++-=-, 所以113n n x e x +=或113n nx e x -+=-（舍去）, 所以{}n x 是以1为首项,以13e 为公比的等比数列. (ii )由(i )可知()13n nx en N -*=∈,则4x e =,即1p =-, 由题意可知12()()E E ξξ>,则有()11kk k k p >+--, 整理得1ln 03k k ->, 设()()1ln 03x x x x ϕ=->,则()33x x xϕ-'=, 当()0,3x ∈时,()0x ϕ'>；当()3,x ∈+∞时,()0x ϕ'<, 故()x ϕ在()0,3上单调递增,在()3,+∞上单调递减, 又()40ϕ>,()50ϕ<, 所以k 的最大值为4.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望,考查等比数列的证明,考查利用导函数解决不等式恒成立问题,考查运算能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222111t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）=. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB+的值. 【答案】（1）x 2﹣4y 2=1（1x ≠-），1224x y -=；（2）8 . 【解析】 【分析】（1）对曲线C 通过消参即可得解，对直线l 通过极坐标和直角坐标的互化，即可得解.（2）求出直线的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将直线方程代入曲线方程，结合韦达定理，再利用直线的标准参数方程中t 的几何意义即可得解.【详解】（1）曲线C 的参数方程为222111t x tt y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2=1（1x ≠-） 直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）4=.转化为直角坐标方程为：1224x y -=.（2）由于直线与x0），所以直线的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入x 2﹣4y 2=1得到：210t --=，所以：12t t +=t 1⋅t 2=-1，则：121211t t PA PB t t -+===8.【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化，考查了参数方程和普通方程的转化，同时考查了直线的标准参数的几何意义，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1||21|f x x x =--+，x ∈R . （1）求不等式|()|4f x ≤的解集； （2）设a ，b ，c 为正数，求证：()a b cf x b c c a a b≤+++++. 【答案】（1）{}|62x x -≤≤；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）用分段函数的形式表示()f x ，分析函数单调性，从而求解不等式；（2）a b cb c c a a b+++++逐步整理为[]1111()()()32b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++++- ⎪+++⎝⎭，利用柯西不等式求出上式最小值，即可得证.【详解】（1）因为12,21()1213,122,1x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩. 所以()f x 在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. 于是()f x 的最大值为13422f ⎛⎫-=≤ ⎪⎝⎭.令()4f x =-，则1224x x ⎧≤-⎪⎨⎪+=⎩、11234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-=-⎩或124x x ≥⎧⎨--=-⎩ 解得6x =-或2，即(6)4f -=-，(2)4f =-， 所以不等式|()|4f x ≤的解集为{}|62x x -≤≤.（2）因为a b c b c c a a b +++++111()3a b c b c c a a b ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭[]1111()()()32b c c a a b b c c a a b ⎛⎫=+++++++- ⎪+++⎝⎭213(111)322≥++-=.（当且仅当a b c ==时取“=”号） 又由（1）知，()f x 的最大值为32，所以()a b cf x b c c a a b≤+++++. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式，不等式的证明，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(八)物理
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（八）物理★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本题包括10个小题，每小题6分，共60分。
1—6小题为单选，7—10小题为多选，全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。
)1.一个物体从某一高度做自由落体运动．已知它在第1 s 内的位移恰为它在最后1 s 内位移的三分之一．则它开始下落时距地面的高度为（g ＝10 m/s 2） A. 15 m B. 20 m C. 11.25 m D. 31.25 m【答案】B 【解析】【详解】物体在第1 s 内的位移：2211101m=5m 22h gt ⨯⨯＝＝则物体在最后1 s 内的位移为15 m ，对最后1 s 可得：()2211115 m 22gt g t 总总--＝ 可解得：t 总＝2 s则物体下落时距地面的高度为：2211==102m=20m 22H gt ⨯⨯总A ．15m 与分析不符，故A 错误.B ．20m 与分析相符，故B 正确C ．11.25m 与分析不符，故C 错误D ．31.25m 与分析不符，故D 错误2.假期里，一位同学在厨房里协助妈妈做菜，对菜刀发生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，如图所示，菜刀横截面为等腰三角形，刀刃前部的横截面顶角较小，后部的顶角较大，他先后做出过几个猜想,其中合理的是A. 刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了打造方便,外形美观,跟使用功能无关B. 在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关C. 在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大D. 在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大 【答案】D 【解析】把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为2θ，背宽为d ，侧面长为l ，如图乙所示．当在劈背施加压力F 后，产生垂直侧面的两个分力F 1、F 2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等（F 1=F 2），因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图丙所示．在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑（图中阴影部分），根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，由关系式，得F 1=F 2，由此可见，刀背上加上一定的压力F 时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F 1和F 2越大．但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度会减小，碰到较硬的物体刀刃会卷口甚至碎裂，实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要，所以做成前部较薄，后部较厚．使用时，用前部切一些软的物品（如鱼、肉、蔬菜、水果等），用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品，俗话说：“前切后劈”，指的就是这个意思．故D 正确．3.如图所示，人沿水平方向拉牛，但没有拉动，下列说法正确的是( )A. 绳拉牛的力小于牛拉绳的力B. 绳拉牛的力与牛拉绳的力是一对平衡力C. 绳拉牛的力与地面对牛的摩擦力是一对平衡力D. 绳拉牛的力与地面对牛的摩擦力是相互作用力【答案】C【解析】【分析】作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，与平衡力的区别在于：平衡力作用在同一物体上，作用力反作用力作用在不同的物体上．【详解】绳拉牛的力和牛拉绳的力，分别作用在牛和绳上面，是一对相互作用力，所以大小相等，故AB错误；因为牛处于静止状态，所以绳拉牛的力与地面对牛的摩擦力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，作用在同一个物体上，是一对平衡力，大小相等，故C正确；D错误；故选C．【点睛】该题考查对作用力、反作用力的理解，解决本题的关键是理解作用力和反作用力的关系以及与平衡力的区别．4.如图所示，一水平的浅色长传送带上放置一质量为m的煤块(可视为质点)，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a开始运动，当其速度达到v后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，关于上述过程，以下判断正确的是(重力加速度为g)( )A. μ与a 之间一定满足关系a gμ>B. 煤块从开始运动到相对于传送带静止经历的位移为2v gμC. 煤块从开始运动到相对于传送带静止经历的时间为vg μD. 黑色痕迹的长度为()222a g v a μ-【答案】C 【解析】【详解】A.要发生相对滑动，传送带的加速度需大于煤块的加速度，即a g μ>，则有：agμ<故选项A 不符合题意；BC.当煤块的速度达到v 时，经历的时间：vt gμ=经过的位移：212v x gμ=故选项B 不符合题意，C 符合题意； D.此时传送带的位移：2222()22v v v v v x v a g a g aμμ+--==则黑色痕迹的长度：222122v v L x x g aμ=--=故选项D 不符合题意．5.在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A. 三个小球落地时间差与车速有关B. 三个小球落地点的间隔距离L1＝L2C. 三个小球落地点的间隔距离L1<L2D. 三个小球落地点的间隔距离L1>L2【答案】C【解析】试题分析：据题意三个小球从车上水平抛出后均做平抛运动，平抛运动的时间与高度有关，所以A选项错误；据h=gt2，三个小球的落地时间比为t A：t B：t C=3:2:1，又据L=vt，小球落地间隔距离之比为：L1：L2=（3-2）：（2-1）<1，说明L1<L2，所以C选项正确．考点：本题考查对平抛运动的应用．6.如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球．在O点的正下方与O点相距23L的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A．把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法正确的是A. 小球的向心加速度突然增大到原来的3倍B. 小球线速度突然增大到原来的3倍C. 小球的角速度突然增大到原来的1.5倍D. 细绳对小球的拉力突然增大到原来的1.5倍【答案】A【解析】【详解】B.小球摆下后由机械能守恒可知：212mgL mv =，因小球下降的高度相同，故小球到达最低点时的线速度相同，故B 错误. C.由于半径变为原来的13，根据v =rω可得，小球的角速度突然增大到原来的3倍，故C 错误.A.根据2v m ma r =,可知半径变为原来的13，向心加速度突然增大到原来的3倍，故A 正确.D.在最低点由：2v F mg m r -=,可得22=v mgLF mg m mg r r=++，半径改变前3F mg =，半径变为原来的13时，可知7F mg '=，则拉力变为原来的73倍；故D 错误.7.如图所示，一条细细一端与地板上的物体B （物体B 质量足够大）相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与小球A 相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O′点，细线与竖直方向所成的角度为α，则A. 如果将物体B 在地板上向右移动稍许，α角将增大B. 无论物体B 在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角将不变C. 增大小球A 的质量，α角一定减小D. 悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A 的重力 【答案】AD 【解析】对小球A 受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有：T=mg ；如果将物体B 在地板上向右移动稍许，则∠AOB 增加；对滑轮分析，受三个拉力，如图所示：根据平衡条件，∠AOB=2α，故α一定增加，故A正确，B错误；增大小球A的质量，系统可能平衡，故α可能不变，故C错误；由于∠AOB=2α＜90°，弹力F与两个拉力T的合力平衡，而T=mg．故定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力，故D正确；故选AD.8. 如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a．b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）A. 当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力B. 当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mgC. 速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动D. 只要v≥,小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg【答案】AD【解析】试题分析：当小球b在轨道最高点对轨道无压力，根据牛顿第二定律得，2vmg mR'=，解得v gR'=．根据动能定理得mg2R＝12mv2−12mv′2，解得v＝．故A正确．小球b通过最高点无压力时，速度v gR=，设小球a在最低点的速度为v′，根据动能定理知，mg•2R＝12mv′2−12mv2，解得v′＝．所以小球a在最低点的向心力为F n2vmR'=＝5mg，b球在最高点的向心力F n′＝2vmR＝mg，小球a比小球b所需的向心力大4mg．故B错误．小球通过最高点的最小速度为零，根据动能定理得，mg•2R＝12mv2−0，解得最小速度v=4gR．故C错误．v≥时，最高点的速度大于等于gR，则小球在最高点受到向下的弹力，设小球在最高点的速度为v1，最低点的速度为v2，根据牛顿第二定律得，最高点F1+mg＝21vmR，最低点F2−mg＝22vmR，则压力差△F ＝F2−F1＝2mg+m(2221v vR-)，又mg•2R＝12mv22−12mv12，解得△F=6mg．即只要v≥,小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg，故D正确．故选AD．考点：动能定理；牛顿第二定律；圆周运动.【名师点睛】本题考查牛顿第二定律和动能定理的综合，知道圆周运动向心力的来源，以及小球通过最高点的临界情况是解决本题的关键；此题是一道综合题，意在考查学生利用物理规律综合分析问题解决问题的能力．9.如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、E k、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有A. T A>T BB. E kA>E kBC. S A=S BD.3322A BA BR RT T=【答案】AD【解析】【详解】根据2222()MmG m r m rr Tπω==知，轨道半径越大，周期越大，所以T A>T B，故A正确；由22Mm mv G r r=知：v =，所以v B >v A ，又因为质量相等，所以E kB >E kA ，故B错误；根据开普勒第二定律可知，同一行星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，所以C 错误；由开普勒第三定律知，D 正确．【点睛】重点是要掌握天体运动的规律，万有引力提供向心力．选项C 容易错选，原因是开普勒行星运动定律的面积定律中有相等时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等．这是针对某一行星的，而不是两个行星． 10.下列说法中正确的是（ ）A. 布朗运动反映的是液体分子的无规则运动B. 根据热力学第二定律可知，热量不可能从低温物体传到高温物体C. 物体放出热量，温度一定降低D. 气体对容器壁的压强是由于大量气体分子对器壁的碰撞作用产生的E. 热量是热传递过程中，物体间内能的转移量；温度是物体分子平均动能大小的量度 【答案】ADE 【解析】【详解】A ．布朗运动是固体小颗粒无规则的运动，反映了液体分子无规则的运动，A 正确； B ．热量可以从低温物体传到高温物体，但要引起其他方面的变化，不能自发的从低温物体传到高温物体，B 错误；C ．物体放出热量时，若同时外界对物体做功，则温度可以升高，C 错误；D ．大量气体分子对器壁的持续撞击引起了气体对容器壁的压强，D 正确；E ． 在热传递过程中，用热量度量物体间内能的改变量；温度是物体分子平均动能大小的量度，E 正确； 故选ADE 。
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2021届全国学海大联考新高考模拟考试（八）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2【答案】D【解析】 【分析】先由集合A ，求出集合B ，再根据交集的概念，即可求出结果.【详解】因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=， 因此{}0,1,2AB =.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 【答案】D 【解析】 【分析】利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解．【详解】对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线上可得,a b 的关系，再根据c a =求解即可.【详解】由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解，需要根据题意确定,a b 的关系，进而求得离心率.属于基础题.5.已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（ ）A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式结合三角函数公式求解． 【详解】点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，||AB ∴====2=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A. 216B. 108C. 543D. 36【答案】B 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体， 如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．7.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）B. 3C. D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力. 8.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（ ） A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到2π为函数()f x 周期的整数倍，进而可得出结果. 【详解】因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=.故选：B.【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数的问题，属于基础题型.9.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDC C .PD AC ⊥ D. 2PB AN =【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直判定与性质进行证明BC ⊥平面PDC ,PD AC ⊥，证明PAB △是直角三角形可得2PB AN =.【详解】由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥ 得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A【点睛】求解翻折问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意： (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化； (3)长度、角度等几何度量的变化．10.已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据题意推导出//PF x 轴，结合2PF =，可得出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入抛物线的方程，可求得正数p 的值.【详解】如下图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN x ⊥轴， 又MF PM =，N 为PF 的中点，MN PF ∴⊥，//PF x ∴轴，由于2PF =，则点2,2p P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入抛物线方程得242pp ⋅=，即24p =， 0p >，解得2p =.故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的求解，根据题意求出点P 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数()()221()4442xf x e xx k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为（ ）A. )2,e ⎡-+∞⎣B. )3,e ⎡-+∞⎣C. )2,e ⎡+∞⎣D. )3,e ⎡+∞⎣【答案】D 【解析】 【分析】求导可得()()()42xf x ex k x ⎡⎤=-++⎣⎦'，再根据2x =-是()f x 的唯一极小值点可得()()40x g x e x k =-+≥恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可.【详解】求导有()()()()()228242xxf x e xx k x e x k x ⎡⎤=--++=-++⎣⎦'.设()()4xg x ex k =-+，则()()3x g x e x '=-，故当(),3x ∈-∞时()0g x '<，()g x 单调递减；()3,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增. 故若()()4xg x ex k =-+有两个零点，则必有一根03x >，则此时有()03,x x ∈时()0f x '<；()0,x x ∈+∞时()0f x '>，故0x x =为()f x 的极小值点，与题意不符. 故()()40xg x e x k =-+≥恒成立，故()()min 30g x g =≥，即()3340e k -+≥，解得)3,k e ⎡∈+∞⎣.故选：D【点睛】本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题. 12.ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ+的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先得ABC 为等腰直角三角形；①取BC 中点为D ，连接AD ，得到23AG AD =，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到AD BC ⊥，由题意得到AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，进而可求出向量数量积；③以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设()11,2M x x -，()22,2N x x -且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设(),P x y ，根据题意，得到22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设PBA θ∠=，由题意，得到2cos x θ=-，sin y θ=，用θ表示出3λμ+，即可求出结果；【详解】因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心， 所以G 在AD 上，且23AG AD =， 所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=； 因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <， 因为2MN =()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=，所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =， 设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=， 则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==， 因此31331cos sin sin 1226x y πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即3λμ+无最值，故④错.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分．13.若5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1a =__________．【答案】10 【解析】 【分析】首先写出5(21)x -展开式的通项，即可求出含x 的项的系数；【详解】解：因为5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，5(21)x -的展开式的通项为()()51521rrr r T C x -+=-，令51r -=，得4r =，则()()44552110T C x x =-=故110a = 故答案为：10【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.14.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据对数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．【点睛】本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，属于基础题．15.在ABC 中，4AB =，BC =，6B π=，D 在线段AB 上，若ADC 与BDC 的面积之比为3:1，则CD =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由ADC 与BDC 的面积之比为3:1，可得:3:1AD DB =，进而求得1BD =，在BDC 用余弦定理即可求得CD . 【详解】解：如图，因为ADC 与BDC 的面积之比为3:1，所以:3:1AD DB =，又因为4AB =，所以1BD =， 在BDC 中，由余弦定理得，222222cos 13213cos16CD BD BC BD BC DBC π=+-⋅⋅∠=+-⨯=所以1CD =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查用余弦定理来解三角形，考查学生的计算能力和公式得掌握程度，属于基础题. 16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分． 【答案】 (1). 180 (2). 190 【解析】 【分析】根据题意可计算出当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得的总积分；设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，根据题意列出有关x 、y 的约束条件，可得出目标函数为54z x y =+，利用线性规划思想可求得z 的最大值，进而得解.【详解】根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分. 设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=.因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，将问题转化为线性规划问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从三个条件：①3nn n a b =；②2n n b a n =+；③2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）132n n a -=⨯（2）见解析【解析】 【分析】(1)设数列{}n a 的公比为q ，再根据题意利用基本量法求解即可.(2) 选择①可得123n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可利用等比数列求和公式求解即可.选择②可得1322n n b n -=⨯+，再根据等比与等差数列求和的公式求解即可.选择③可得1n b n =-，再用等差数列求和公式求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q 或3q =-（舍去），故2q ．由：321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2n n b a n =+：12322n n n b a n n -=+=⨯+，所以()()2312(22)321122n n nn n T n n -+=+=⨯-++- 选择③2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解，同时也考查了等差等比数列求和的公式，属于基础题. 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）； （2）若2PC =，求平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（27【解析】 【分析】（1）四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连结OP ，推导出DC PD ⊥，DC AD ⊥，DC ⊥平面P AD ，DC PO ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连接OP ，依题意：22PC DC PD ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥， 又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥， 因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，则PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥， 以O 为原点建立如图坐标系O xyz -，因为4AB =，所以(2,4,0)B ，(0,4,0)E ，(3)N -，(1,3)M -， 则(0,2,0)NM =，(1,2,3)ME =，(2,0,0)EB =， 设平面α的一个法向量为()111,,m x y z =，则111120230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(3,0,1)m =， 设平面NME 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(0,3,2)n =．则7cos ,7||||27m n m n m n ⋅〈〉===，所以平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为77. 【点睛】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =． （1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积．【答案】（1）2212x y +=（2）43【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可求得2a =，又1c =，故1b =，由此可得C 的方程；（2）根据A 为线段PQ 的中点，得12AF AF ⊥，由120AF AF ⋅=以及221112x y +=可得,A B 的坐标，从而可得三角形2ABF 的面积. 【详解】（1）如图：由圆222:(1)8F x y -+=可得222PF =，因为1||MF MP =，所以12222||22a MF MF MP MF PF =+=+==， 即2a =1c =，故1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知2(1,0)F ， 因为A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥，所以22212111111111(1,)(1,)(1)(1)10AF AF x y x y x x y x y ⋅=---⋅--=---+=+-=，又221112x y +=，解得10x =，11y =±， 若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x +=，所以1243x x +=-，所以243x =-，213y =-，即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若1y =-，同理可求得2ABF 的面积43S =． 综上，2ABF 的面积为43. 【点睛】本题考查了根据椭圆的定义求椭圆方程，考查了圆的性质，考查了两个垂直向量的坐标表示，考查了直线与椭圆的交点，考查了三角形的面积公式，属于中档题.20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间[]100,400内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在(300,400]内的个数X 的数学期望；（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k 格到第1k +格，k ∈N ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k 格到第2k +格，k ∈N ），行进至第3l 格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i 格的概率为(0,1,2,,32)i p i =⋅⋅⋅，01p =．（ⅰ）求1p 、2p ，并写出用2i p -、1i p -表示(2,3,,31)i p i =⋅⋅⋅的递推式；（ⅱ）求32p ，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家． 【答案】（1）8.4个；（2）（ⅰ）112p =,234p =，121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．（ⅱ）313211132p ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，更有利于买家．【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出苹果的重量在(]300,400内的频率，再根据二项分布的期望公式可得结果； （2）（ⅰ）由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得112p =；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得234p =；分两种情况可求得i p ：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1， （ii ）根据（ⅰ）的递推关系121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅可求得121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，由此可得31p ，根据323012p p =可求得32p ，再比较大小可得答案. 【详解】（1）由图可知，苹果的重量在(]300,400内的频率为：(0.00360.0020)500.28+⨯=． 一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在300,(400]内的个数为X ，则~(30,0.28)X B ，所以()300.288.4E X =⨯=（个）．（2）（i ）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为12，则112p =；买家要行进至第2格的情况有以下两种：①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为12； ②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为111224⨯=； 所以2113244p =+=． 买家要行进至第i 格(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅的情况有以下两种：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i 格，其概率为212i p -； ②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i 格，其概率为112i p -； 所以121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． （ii ）由（i ）得，()()11212i i i i p p p p ----=--，即11212i i i i p p p p ----=--(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅， 又10111022p p -=-=-≠， 所以数列{}1i i p p --(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅是首项为1012p p -=-，公比为12-的等比数列．所以112ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，所以()()()112100i i i i i p p p p p p p p ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11111222i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221113212i i ++⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 即121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． 所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为3232312121113232p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为3131323011211111223232p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于32313031322111111110323232p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．【点睛】本题考查了由频率分布直方图求频率，考查了二项分布的期望公式，考查了由递推关系求数列的通项，属于中档题.21.已知()sin f x x =，()ln g x x =，2()1h x x ax =--．（1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(]0,1x ∈，都有()e()()0f x h x g x +->，求整数a 的最大值．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）构造函数()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，利用二次求导可证明结论成立；（2）利用1x =时，不等式成立以及（1）的结论，可得2a ≤，从而只需证明sin 2()21ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．再根据（1）的结论，转化为证明2()ln G x x x x =--0≥在(]0,1x ∈上恒成立.利用导数即可证明，由此可得结果.【详解】（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x '=-+， 因为21()sin (1)F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈， 则()F x ''在[0,1]单调递减，因为1(1)sin104F ''=-<，(0)10F ''=>， 所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，所以x ∈()00,x 时，()0F x ''>，x ∈()0,1x 时，()0F x ''<，则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减，又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=， 所以()0F x '>在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上单调递增，则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥．所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()0f x e h x g x +->，即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<，由于a 为满足sin 21ln 0x e x ax x +--->的整数，则2a ≤，因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明sin 2()21ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+，故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--，设2()ln G x x x x =--，(0,1]x ∈，则1(21)(1)()210x x G x x x x+-'=--=≤， 所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立．综上所述，a 的最大值为2．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了零点存在性定理，多次构造函数求导，利用放缩法进行转化是本题的难点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 【答案】（1）直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）sin α= 【解析】【分析】（1）根据点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程，两边同时乘以ρ后，根据互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义可解得结果.【详解】（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sin sin 044αα+-=，解得23sin 4α=， 由[0,)απ∈，所以sin α=. 【点睛】本题考查了直线的参数方程及其几何意义，考查了极坐标方程化普通方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++．（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）()(),32,-∞-+∞；（2）2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】 （1）利用零点分段法解不等式1250x x -++->可得出函数()y f x =的定义域；（2）由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+可得出3a ≥-，然后解不等式23x a a -≤+可得出333a x a -≤≤+，根据题意得出[][]2,13,33a a -⊆-+，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->.当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-；当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意；当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x >. 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞. 因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞； （2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-， 由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式中参数的求解，第（2）问中将问题转化两区间的包含关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.。