1.2.3函数解析式的求法作业
(完整版)函数解析式的练习题兼答案
函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（）A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2，可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；18．已知f（）=，则（）A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1）C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0）【解答】解：由，得f（x）=x2﹣1，又∵≠1，∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C．19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x2﹣6 B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下：；∴．方法二：用“换元法”求解析式，过程如下：令t=2x+1，所以，x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，∴f（x）=x2﹣x﹣，故选：B．(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).21．若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（）A．﹣ B．2 C．D．3【解答】解：∵f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1，联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C函数解析式的求解及常用方法练习题一．选择题（共25小题）2．若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）的值为（）A．6 B．9 C．16 D．273．已知指数函数图象过点，则f（﹣2）的值为（）A．B．4 C．D．24．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（）A． B．﹣2x﹣8 C．2x﹣8 D．或﹣2x﹣85．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），若f（1）=2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x B．f（x）=2x C． D．6．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B．C．D．37．设函数f（x）=，若存在唯一的x，满足f（f（x））=8a2+2a，则正实数a的最小值是（）A．B．C．D．28．已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣110．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（）A．B．C．D．11．已知f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=（）A．lg（x+1）B．lg（x+2）C．lg（x+3）D．lg（x+4）12．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）A．0 B．1 C．log23 D．313．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+414．如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（）A．B．C．D．15．已知，则函数f（x）=（）A．x2﹣2（x≠0）B．x2﹣2（x≥2）C．x2﹣2（|x|≥2）D．x2﹣216．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是（）A．x2+4x﹣5 B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣1017．若函数f（x）满足+1，则函数f（x）的表达式是（）A．x2B．x2+1 C．x2﹣2 D．x2﹣120．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x﹣1），则g（x）的表达式为（）A．g（x）=2x+1 B．g（x）=2x﹣1 C．g（x）=2x﹣3 D．g（x）=2x+7 22．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=x+ B．f（x）=﹣2x+C．f（x）=﹣x+D．f（x）=﹣x+ 23．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．324．若函数f（x）满足：f（x）﹣4f（）=x，则|f（x）|的最小值为（）A．B．C．D．25．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．二．解答题（共5小题）26．函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．27．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．28．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．29．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．30．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）2．【解答】解：幂函数f（x）的图象过点（2，8），可得8=2a，解得a=3，幂函数的解析式为：f（x）=x3，可得f（3）=27．故选：D．3．【解答】解：指数函数设为y=a x，图象过点，可得：=a，函数的解析式为：y=2﹣x，则f（﹣2）=22=4．故选：B．4．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．5．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（1）=2，∴f（1）=a1=2，即a=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x，故选：B．6．【解答】解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3 故选D7．【解答】解：由f（f（x））=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正实数a的最小值是；故选B．8．【解答】解：∵函数f（x﹣1）=x2∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1 故选A．10．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选D．11．【解答】解：f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=lg（x+2），故选：B．12．【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．故选：C．13．【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1故答案是：A 14．【解答】解：令，则x=∵∴f（t）=，化简得：f（t）=即f（x）=故选B15．【解答】解：=，∴f（x）=x2﹣2（|x|≥2）．故选：C．16．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．17．【解答】解：函数f（x）满足+1=．函数f（x）的表达式是：f（x）=x2﹣1．（x≥2）．故选：D．20．【解答】解：用x﹣1代换函数f（x）=2x+3中的x，则有f（x﹣1）=2x+1，∴g（x+2）=2x+1=2（x+2）﹣3，∴g（x）=2x﹣3，故选：C．22．【解答】解：∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，用﹣x代替x，得：f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1…②；①﹣3×②得：﹣8f（x）=8x﹣2，∴f（x）=﹣x+，故选：C．23．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．24．【解答】解：∵f（x）﹣4f（）=x，①∴f（）﹣4f（x）=，②联立①②解得：f（x）=﹣（），∴|f（x）|=（），当且仅当|x|=2时取等号，故选B．25．【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．二．解答题（共5小题）26．【解答】解：（Ⅰ）由得，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x，（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=，其中x＞1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．27．【解答】解：设g（x）=ax+b，a≠0；则：f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a•2x+b；∴根据已知条件有：；∴解得a=2，b=﹣3；∴g（x）=2x﹣3．28．【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．29．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），∴n=1+m+n．…（1分）∴m=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）∴n=1．…（6分）∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f（x）有最小值．…（9分）而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分）30．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．。
必修1课件1.2.3函数解析式的求法
解法3： y f ( x) 的图象有对称轴 x 2
由又 | x1 x2 | 2 2 y f ( x ) 与 x 轴的交点为
【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解，可设 不 同 形 故可设 次(函)数 a一 般2 ，2 )( x 2f(x) 满 足 式 的 二 f x . ( x 地 若 函 数 2) f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和 1 f (0) 1, 周期函数定义区别开来. a
( 2 2, 0),( 2 2, 0)
2
例6.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2，3)对称， 求g(x)的解析式.
解题分析: 因函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3) 【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a，b) 对称,所以y=g(x)图象上任意一点M(x,y)关于点(-2,3) 对称的函数解析式y=g(x)时，可用代对称点法. 对称的点M’(x’,y’)在y=x2+x上,即y’=x’2+x’.下面只须找 出x,y与x’,y’之间关系即可. 解:设因函数y=g(x)的图象上任意一点为M(x,y), 点M(x,y)关于点(-2,3)的对称点为M’ (x’ ,y’ ),
一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x). x+1 )= x2+1 + 1 =1+ 1 + 1 解: ∵f( x x2 x2 x x 1 1 =( x +1)2-( x +1)+1 =( x+1 )2-( x+1)+1 并且 x+1 ≠1, x x x ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). x+1 x2+1 + 1 评注: 若在给出的函数关系式中 x2 x 与 x 的关系 不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方f(x)的解析式。
，∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =Q 41a k ∴+=1222x x -=Q222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得x =))(x 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。
高一数学函数解析式定义域值域求法 相关练习题
已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
方程法——例7、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。
换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若xx x f -=1)1(,求)(x f .．配凑法3．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 4．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .待定系数法5．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.解方程组法 7．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.若x xx f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).特殊值代入法9．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ .1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f12．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.1.函数y=2122--+-+x x xx 的定义域是（ ） （A ）{x -21-≤≤x } （B ）{x -21≤≤x } （C ）{x x>2} （D ）{R x ∈x 1≠}2．函数6542-+--=x x x y 的定义域是（A ）{x|x>4} (B)}32|{<<x x (C){x | x<2 或 x>3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且3.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞ （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ]4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是 (A)132+-=x x y (B) y=2x+1(x>0) (C) y=x 2+x+1 (D)21xy = 5．)12(-x f 的定义域是[)1,0，则)31(x f -的定义域是(A) ]4,2(- （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,2 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛61,0 （D ）⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0 6.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ）（A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4）7．函数y=13+-+x x 的值域是（ ）(A)(0,2) (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2)二．填空题：1．函数y=1122-+-x x 的定义域是___________2．函数y=xx x --224的定义域为 3．函数y= -2x 2-8x-9, x ∈[0,3]的值域是_______.4．设函数y=f(x) 的定义域是[0,2], 则f(x-1)的定义域是_______5．函数2x x y -=的值域是 ；函数)11(2≤≤--=x x x y 的值域是 ；函数21x x y -=的值域是 。
高一数学函数经典题目及答案
1函数解析式的特殊求法例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式例2 若x x x f 21(+=+）,求f(x)例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f2函数值域的特殊求法例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例2. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点(A))1,4(-(B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-例3已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的减函数；（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。
例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠∅，(2)(,)a b C ∈同时成立.证明题1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.答案1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1 则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
函数解析式的求法例题
函数解析式的求法练习一、换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若x xx f -=1)1(,求)(x f .3．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .4.若x-23(，求)2(f．)2=f-xx5.知f(x-1)= 2x-4x，解方程f(x+1)=06.已知f(x+1 )= 2x+1 ，求f(x)解析式。
二、待定系数法7.已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．8.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。
9．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.三、配凑法10.若221)1(x x x x f +=-，求()f x ．11.若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .四、解方程组法12．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．13. 若,)(2)1(x x f xf =+求)(x f ．14.设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.五．特殊值代入法15.对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f求).(x f16.设函数F(x)=f(x)+g(x) 其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是2x 的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F(x) 的解析式。
17.设)(x f 是定义在*N 上的函数,若1)1(=f ,且对任意的x,y 都有：xy y x f y f x f -+=+)()()(, 求)(x f . ()1(21)(2+=x x f )18.设)(x f 是定义在*N 上的函数,且2)1(=f ,21)()1(+=+x f x f ，求)(x f 的解析式.。
二次函数解析式的求法练习题
二次函数解析式的求法练习题例1.一条抛物线经过点与。
求这条抛物线的解析式。
y x mx n =++142()032，(432，例2. 4.已知：抛物线的对称轴为()20y ax bx c a =++≠与轴交于两点，与轴交于点C 其中1x =-，x A B ，y 、()30A -，()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得的周长最PBC △小．请求出点P 的坐标．例3.已知抛物线经过A ，B ，C 三点，当y ax bx c =++2时，其图象如图所示。
求抛物线的解析式，写出顶x ≥0点坐标。
例4.：如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5子的最低点距地面的距离为多少米？例5.. 有这样一个问题：已知：二次函数的图象经过A （0，a ），B（1，2），，求证：y ax bx c =++2这个二次函数图象的对称轴是直线，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法x =2辨认的文字。
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
米根据下列条件，求二次函数的解析式1、图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6）2、抛物线顶点坐标为（－1，9），并且与y 轴交于（0，－8）3、抛物线的对称轴是直线，与x 轴的一个交点为（－2，0），与y 轴交于点x =1（0，12）4、图象顶点坐标是（2，－5），且过原点5、图象与x 轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5。
6、当x ＝2时，函数的最大值是1，且图象与x 轴两个交点之间的距离为2。
7、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式8、已知抛物线经过点（-1，0），(2,3),并与y 轴交于点（0，3） ，请求出此抛物线解析式。
函数解析式求法专练(含答案)
(待定系数法) 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f1.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。
2. 已知二次函数满足2(31)965,();f x x x f x +=-+求3. 已知 ()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .(配凑法) 例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 4.已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(换元法)例3 已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f5.已知 ()211x f x x =++,求()f x .6.已知(1f +＝2x )(x f 的解析式．(构造法) 例4 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 7. 设)(x f 为偶函数，)(xg 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 8.已知２)(x f ＋)1(x f ＝x ，求)(x f 的解析式． (赋值法)例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 例6 已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=01．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +2．已知2211()11x xf x x--=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x +- 3．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .例1解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 1.解：设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴f(x)=2x+72. 解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠则2(31)(31)(31)f x a x b x c +=++++29(63)ax a b x a b c =+++++又有2(31)965f x x x +=-+所以29916364()4858a a a b b f x x x a b c c ==⎧⎧⎪⎪+=-⇔=-=-+⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩所以 3.解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例2解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x4.由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1)例3解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x5.解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-6.解：令1t +=，则x ＝2(1)(1)4t t -≥ ∴ 22(1)1()(1)222t t t t f t t ---=+=≥ 从而2()(1)2x x f x x -=≥ 例4解 x xf x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--= 7. 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)(8.解：已知２)(x f ＋)1(x f ＝x ① 将①中变量x 换成x1，得 ２)1(x f ＋)(x f ＝x 1 ② 联立①、②可得方程，消去)1(xf 得 )(x f ＝xx 3132-． 例5解 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 例6解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3 ∴ f(x)= 2x -2x-3f(x+1)= 2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4 ∴ 2x -4=0 x=±2解2：f(x-1)= 2x - 4x ∴f(x+1)=f[（x+2)-1]= 2)2(+x - 4(x+2)= 2x - 4 ∴2x - 4=0， x=±2 解3：令x-1= t+1 则x=t+2 ∴f(t+1)= 2)2(+t -4(t+2)= 2t - 4∴ f(x+1)= 2x - 4 ∴2x - 4=0 ∴ x= ±21. B ∵(2)232(2)1,g x x x +=+=+-∴()21g x x =-；2. C 令22211()1121,,()1111()1t x t t t t x f t x t t t----+====+++++则。
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
函数解析式的七种求法
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
函数解析式的七种求法
一）求函数的解析式之宇文皓月创作1、函数的解析式暗示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不克不及把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来暗示；2、罕见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g （x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在分歧的范围内定义域纷歧样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，经常使用集合或区间来暗示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的分歧范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
必修一函数解析式的求法
必修一函数解析式的求法必修一函数解析式的求法一、换元法题目1：已知$f(3x+1)=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
解：设$u=3x+1$，则$x=\dfrac{u-1}{3}$，代入已知条件得：f(u)=4\cdot\dfrac{u-1}{3}+3=\dfrac{4}{3}u-1$$所以$f(x)=\dfrac{4}{3}x-1$。
练1：若$f(x)=\dfrac{x}{1-x}$，求$f(x)$。
解：设$u=1-x$，则$x=1-u$，代入已知条件得：f(u)=\dfrac{1-u}{u}$$所以$f(x)=\dfrac{1-x}{1-x}=1$（$x\neq1$）。
二、配变量法题目2：已知$f(x-\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}$，求$f(x)$的解析式。
解：设$u=x-\dfrac{1}{x}$，则$x=\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}$，代入已知条件得：f(u)=\left(\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2} {u+\sqrt{u^2+4}}\right)^2$$所以$f(x)=\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2}{x+ \sqrt{x^2+4}}\right)^2$。
练2：若$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$。
解：设$u=x+1$，则$x=u-1$，代入已知条件得：f(u-1)=u+2(u-1)=3u-2$$所以$f(x+1)=3(x+1)-2=3x+1$，即$f(x)=3x-2$。
三、待定系数法题目3：设$f(x)$是一元二次函数，$g(x)=2x\cdot f(x)$，且$g(x+1)-g(x)=2x+1\cdot x^2$，求$f(x)$和$g(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$g(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$，代入已知条件得：2a(x+1)^3+2b(x+1)^2+2c(x+1)-2ax^3-2bx^2-2cx=2x+x^2$$整理得：begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{1}{2}\\c=0\end{cases}$$所以$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x$，$g(x)=x^3-x^2$。
1.2.3函数的解析式
★函数是特殊的映射,但映射不一定是一个函数 函数是特殊的映射, 函数是特殊的映射
ห้องสมุดไป่ตู้
映射应用
例1.下 列 哪 些 对 应 是 集 合 A到 B的 映 射 ? A={P|P是 B=R, (1) A={P|P是 数 轴 上 的 点}, B=R , 对 应 关 系 f: 数 轴 上 的 点 与 它 所 代 表 的 实 数 对 应 ; A={P|P是 ( 2 ) A={P|P是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点}, B={(x, y)|x ∈ R, y ∈ R} 对 应 关 系 f: 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 与 它 的 坐 标 对 应 ( 3 ) A = x x是 三 角 形 , 集 合 B = {x x是 圆}, 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆 (4)A = {x | x是 新 河 中 学 的 班 级}, B = {x | x是 新 河 中 学 的 学 生 }, 对 应 关 系 f: 每 一 个 班 级 都 对 应 班 里 的 学 生 .
6.设 6.设f ( x)是R上的函数, 且满足f (0) = 1, 并且对任意实数x, y有f ( x y) = f ( x) y(2 x y + 1), 求f ( x)的解析式.
练习: 1.已知函数(x)=x 2 x,g(x)=x+1,求f [ g( x )] f
2
f [g( x)] = x 1
乘以2 乘以2 1 B 2 3 4 5 6
(4)
映射有方向性 与从B到 的映射 映射有方向性, 到 与从 归纳 1.映射有方向性,从A到B与从 到A的映射 是不同的 不同的 2.对于映射而言,元素可以不为数(区别于函数) 对于映射而言,元素可以不为数(区别于函数) 对于映射而言 3.从A到B的映射,集合 中的元素必须全部 从 到 的映射 集合A中的元素必须 的映射, 中的元素必须全部 对应完,而集合 中的元素不一定对应完. 中的元素不一定对应完 对应完,而集合B中的元素不一定对应完. 4.从A到B的映射,A中的任一元素必须和 中 从 到 的映射 的映射, 中的 一元素必须和B中 中的任 唯一的元素对应 的唯一的元素对应
函数的解析式练习题
函数的解析式练习题一．选择题（共15小题）1．已知函数f（2x﹣1）=4x+3，且f（t）=6，则t=（）A．B．C．D．2．已知，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=x2+1C．f（x）=x2﹣1（x≥0）D．f（x）=x2+1（x≥0）3．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣104．如果f（）=，则当x≠0时，f（x）等于（）A．B．C．D．﹣15．已知函数f（x）=3x+4，则f（x+1）﹣f（x﹣1）等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x| B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x| D．f（x）=x+3 7．设f（x）=2x+3，g（x）=f（x﹣2），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+78．设，则等于（）A．f（x）B．﹣f（x）C．D．9．已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣C．D．﹣10．已知f（x）是一次函数，且f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x+5 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x ﹣311．已知f（）=x2﹣1，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．8 D．﹣812．已知，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=1+x D．f（x）=（x≠0）13．已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）A．B．C．D．14．已知f（）=2x+3，f（m）=6，则m等于（）A．B．C．D．15．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（）A．﹣B．﹣2 C．3 D．二．填空题（共12小题）16．若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．17．函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）g （x ）= ．18．已知f（2x+1）=3x﹣4，f（a）=4，则a= ．19．已知函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，则函数f（x）= ．20．若函数，，则f（x）+g（x）= ．21．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）= ．22．已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x﹣15，则f（x）的解析式为．23．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是．24．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为．25．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．26．已知，则函数f（x）的解析式为．27．已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）= ．三．解答题（共3小题）28．（1）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．（2）已知二次函数f（x）满足f（1+x）+f（2+x）=2x2+4x+3，求f（x）的解析式．29．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域．（2）若f（a）=2，求a的值；（3）求证：f（）=﹣f（x）30．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）=4x，求f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式．2018年09月11日郁金香的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】由换元法求出函数f（x）的解析式，令函数值为6，解出t值即可．【解答】解：令2x﹣1=u，则x=，由f（2x﹣1）=4x+3，可得f（u）=4×+3=2u+5，则f（t）=2t+5=6，解得t=，故选：A．【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．2．【分析】根据已知中f（）=x+1，令t=，则x=t2，进而利用换元法，可得答案．【解答】解：令t=，则t≥0，则=t，x=t2，则由f（）=x+1可得f（t）=t2+1，故函数f（x）的解析式为：f（x）=x2+1，（x≥0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣换元法，解答时一定要注意中间元的范围，对函数定义域的影响．3．【分析】令x﹣1=t，得x=t+1，将已知表达式写成关于t的表达式，再将t换回x即可得到f（x）的表达式．【解答】解：令x﹣1=t，得x=t+1∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，由此可得f（x）=x2+6x故选：A．【点评】本题给出函数f（x﹣1）的表达式，求f（x）的表达式．考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．4．【分析】由题意利用配凑法即可得到函数的解析式．【解答】解：函数的解析式：，∴．故选：B．【点评】本题考查函数解析式的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．5．【分析】直接利用解析式计算即可．【解答】解：f（x+1）=3（x+1）+4=3x+7，f（x﹣1）=3（x﹣1）+4=3x+1，∴f（x+1）﹣f（x﹣1）=6．故选：A．【点评】本题考查了函数解析式的意义，属于基础题．6．【分析】逐一检验各个选项中的函数是否满足f（3x）=3f（x），从而得出结论．【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．【点评】本题主要考查求函数的解析式，属于基础题．7．【分析】先由f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x）求得g（x+2）再利用换元法将x+2=t求得g（t），再令x=t即得g（x）．【解答】解：根据题意：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3，令x+2=t，则x=t﹣2∴g（t）=2t﹣1令x=t∴g（x）=2x﹣1故选：B．【点评】本题主要考查求函数的解析式，这里用到了换元法，常用方法还有配方法，待定系数法，方程法等等．8．【分析】根据已知中，求出的解析式，可得答案．【解答】解：∵，∴===﹣f（x），故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法﹣﹣代入法，难度不大，属于基础题．9．【分析】利用换元法，设，则x=，代入从而化简可得．【解答】解：已知f（）=，设，则x=，那么：f（）=转化为g（t）==，∴f（x）的解析式可取为f（x）=，故选：C．【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．10．【分析】设出函数的解析式，待定系数法求解即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，由f（﹣2）=﹣1，f（0）+f（2）=10，得，解得：a=2，b=3，故f（x）=2x+3，故选：C．【点评】本题考查了求一次函数的解析式问题，考查代入求值，是一道基础题．11．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（）=x2﹣1，则f（）=f（）==．故选：B．【点评】本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．12．【分析】令（t≠0），得x=，代入原函数即可求得f（x）的解析式．【解答】解：令（t≠0），得x=，∴原函数化为f（t）=，（t≠0）．∴f（x）的解析式为f（x）=（x≠0）．故选：D．【点评】本题考查利用换元法求函数解析式，关键是注意函数定义域，是中档题．13．【分析】根据题意，将x=2和x=﹣代入f（）+f（﹣x）=2x可得f（）+f（﹣2）=4①，f （﹣2）﹣2f（）=﹣1②，联立两式解可得f（﹣2）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②联立①②解可得：f（﹣2）=，故选：C．【点评】本题考查函数的值的计算，注意利用特殊值法分析，关键是分析与（﹣x）的关系，确定x 的特殊值．14．【分析】设x﹣1=t，求出f（t）=4t+7，进而得到f（m）=4m+7，由此能够求出m【解答】解：设x﹣1=t，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用；运用了换元的思想．15．【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案【解答】解：∵f（x）+2f（）=4x﹣，∴f（2）+2f（）=4×=7，…①；f（）+2f（2）==﹣2，…②；①×2﹣②得：3f（）=16，故f（）=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．二．填空题（共12小题）16．【分析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f（2x）=3x2+1=，可得．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，转化思想的应用，考查计算能力．17．【分析】根据f（x），g（x）的解析式，化简约分即可．【解答】解：f （x ）=，g （x ）=，∴f （x）⋅g （x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，注意定义域的取值．18．【分析】由题意可得函数的解析式为f（x）=x﹣，可得关于a的方程，解方程可得．【解答】解：∵f（2x+1）=3x﹣4，∴f（2x+1）=3x﹣4=（2x+1）﹣，∴f（x）=x﹣，∵f（a）=4，∴a﹣=4，解得a=故答案为：【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题．19．【分析】设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，从而f（x）=ax2+bx+2，a≠0，进而f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=x﹣1，由此能求出函数f（x）．【解答】解：∵函数f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=x﹣1，∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，且f（0）=c=2，∴f（x）=ax2+bx+2，a≠0，f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+2﹣（ax2+bx+2）=2ax+a+b=x﹣1，∴，解得a=，b=﹣，∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查查函数的表达式的求法，考查二次函数等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．20．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）+g（x）的解析式即可．【解答】解：函数，，则f（x）+g（x）=+x﹣=x，x≥0，故答案为：x，x≥0．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查x的范围，是一道基础题．21．【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为：4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．22．【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x﹣15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x﹣15，则，解得或，∴f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5，故答案为：f（x）=4x﹣3或f（x）=﹣4x+5．【点评】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．23．【分析】利用换元法即可得出．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．【点评】熟练掌握换元法是解题的关键．24．【分析】设x﹣1=t，则x=t+1，由此能求出函数f（x）的解析式．【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，∴f（x）=2x2﹣4x+5．故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．25．【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．26．【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【点评】本题考查函数解析式的求解方法，换元是解决问题的关键，属基础题．27．【分析】由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3，令x=4，则f（3）=7，故答案为：7【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．三．解答题（共3小题）28．【分析】（1）构造方程组法，可得f（x）的解析式．（2）已知f（x）是二次函数，利用待定系数法求解即可【解答】解：（1）∵2f（x）+f（）=3x，…①把①中的x换成，得2f（）+f（x）=，…②①×2﹣②得3f（x）=6x﹣，∴f（x）=2x﹣（x≠0）．（2）设f（x）=ax2+bx+c，∴f（1+x）+f（2+x）=a（1+x）2+b（1+x）+c+a（2+x）2+b（2+x）+c=2ax2+（6a+2b）x+5a++3b+2c=2x2+4x+3，∴，解得：，∴f（x）=x2﹣x；【点评】本题考查了利用构造方程组法，待定系数法求解函数解析式的问题，比较基础29．【分析】（1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=，解出即可；（3）令x=，带入f（x）的解析式，整理即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，故1﹣x2≠0，解得：x≠±1，故函数的定义域是{x|x≠±1}；（2）若f（a）=2=，即1+a2=2﹣2a2，解得：a=±；（3）f（）===﹣f（x）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．30．【分析】由已知的f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t换元，求得f（t），则函数f（x）的解析式可求，则f（﹣1）值和f（x﹣1）解析式可求．【解答】解：由f（2x﹣1）=4x，令2x﹣1=t，得，∴f（t）=4×=2t+2．故f（x）=2x+2．则f（﹣1）=2×（﹣1）+2=0；f（x﹣1）=2（x﹣1）+2=2x．【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法求函数解析式，是基础题．。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
函数解析式的求法及常用方法(含答案)
D. ሧ往 ɽ D. 炔
ሎ
A. 往 웈 ͻ往 ɽ
B. 往 웈 往 ɽ ሧ
C. 往 웈 往 ሎ
D. 往 웈 往 ɽ ሧ 或 往 웈 往 ሎ
20.已知
炔往 炔ɽ往
獝
웈
炔 往ሧ 炔ɽ往ሧ
，则
往獝 的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
21.已知点 ݂ 獝 在幂函数 f（x）的图象上，则 f（x）的表达式为（ ）
）
A. 往獝 웈 炔 往 往
往
，且 x≠1）
B. 往獝 웈 炔 往
炔往
C.
往獝
웈
炔 往炔
往
，且 x≠1）
D.
往獝
웈
往 往炔
往
31.函数 f（x﹣
D. 1
炔
D. 炔往獝 D. ሧ往 ɽ 炔
D. 香 D. 往獝 웈 往 ɽ ሎ
1
9.已知函数
往
炔 往
獝
웈
往ሧ
ɽ
炔 往ሧ
，则 f(3)＝(
)
A. 8
B. 9
C. 11
D. 10
10.已知 往獝 是一次函数，且 往 炔獝 웈 往 ，则 往獝 的解析式为（ ）
A. 往獝 웈 往 ɽ ሧ
B. 往獝 웈 往 ሧ
A. ሧ 往 ɽ
B. ሧ 往 ɽ 炔
C. ሧ往
7.已知
往獝
웈
ln
炔ɽ往 炔往
， 若 䁞獝 웈 香 则
䁞獝 웈 （ ）
A.
炔 香
B.
炔 香
C. 香
8.若 ሧ往 ɽ 炔獝 웈 往 ɽ ，则 往獝 的解析式是（ ）
函数作业2—函数值域 解析式 学生
函数作业2 函数的解析式与值域【知识网络】一、函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.二、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R;② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是24[,)4ac ba-+∞,当0<a 时值域是(,-∞a b ac 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k x ky 的值域为}0|{≠y y ；④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ；⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]；⑦ 函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；三、习题作业：函数解析式求法1．2()21,()(1)(())f x x g x x f x f g x =-=-==,求2．换元法，拼凑法：（1）设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .（2）2(1)1,f x x -=-求f(2),f(x),f(x+1)（3）11)11(2-=+x x f ，求)(x f .3．待定系数法：（1）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（2）设二次函数y=f （x ）的最小值等于4，且f （0）=f(2)=6,求f （x ）的解析式4．利用对称性：（1）已知函数y=x 2+x 与y=g （x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式值域求法观察法(用非负数的性质)5．求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2（2）y=5+21+x (x ≥-1)配方法、数形结合法6．求值域：（1）y=21x x ++（2）y=21x x ++ x []3,1-∈（3）求函数y=34252+-x x 的值域. （4）242(14)y x x x =-+-≤≤换元法7．（1）求函数x x y -+=142的值域.（２）求函数y=3x-x 21-的值域.分离常数法、反解法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．8．求下列函数的值域：（１）y=12++x x （２）y=1122+-x x . （３）2121x x y -=+不等式法9．下列函数中,最小值是2的是__ (正确的序号都填上).①(12)y x xx =+>；②2y =；③14y =；④x x y cot tan +=．单调性法10．【文科选做】若的最大值是则y x y x 43,122-=+____ ___11．求下列函数的值域： 【文科选做】（1）4y =-； （2）y x =+（3）221223x x y x x -+=-+； （4）y =；12．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值．【文科选做】【课内练习】2．函数251x y x =+的值域为（ A 5{|}2y y ≠ B ．{|0}y y ≠ C ．{|25}y y y ≠≠且 D ．2{|}5y y ≠ 4．函数2211xy x -=+的值域为（）A ．[1,1]-B ．(1,1]-C ．[1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞5．函数31--+=x x y 的值域是6．函数248136(1)x x y x ++=+ (1x >-)的值域是13．求下列函数的值域：（1）242(14)y x x x =-+-≤≤；（2）x xy sin 2sin 2+-=；（3）22436x x y x x ++=+-．14．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．作业本A 组1．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于（ ）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(1，＋ ∞)D ．(1，2)U(2，＋∞)2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-3．若a ＞1, 则 11-+a a 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．32 D ．124．函数y =的值域为5．函数|1||2|y x x =++-的值域为6．求函数222231x x y x x -+=-+的值域 7．【文科选做】 求函数x x y cos lg 252--=的定义域．8．已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．B 组1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]3．下列结论中正确的是（ ）A ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2 B ．02x ≤≤时，22x x --无最大值 C ．当0x ≠时，12x x +≥D ．当1x >时，1lg 2lg x x +≥4．函数(63)(02)y x x x =⋅-<<的值域是5．已知函数22(1)1xy ax a x -=-+-的定义域是R , 则实数a 的范围是6．已知函数22()lg[(1)(1)1],f x a x a x =-+++若()f x 的值域为(,)-∞+∞，求实数a 的取值范围。