北京市广渠门中学2020 届初三保温考试数学学科试题

合集下载

北京市北京市2020年中考数学试卷及参考答案

；结合上述分析，进一步探究发现，对于
时，y随x的增大而________．
时，对于函数，当
时，y与x的几组对应值如下表：
x0123y01
综合上表，进一步探究发现，当图象．
时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系
中，画出当
时的函数y的
（3）过点(0，m)（
）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数
∴∠ABP=________．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．又∵∠BPC= ∠BAC（________）（填推理依据） ∴∠ABP= ∠BAC 21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是________；在点
中，连接点A与点________的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线
上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设
，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O
（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．

2023-2024学年北京东城区广渠门中学初三(上)期中数学试卷和答案

2023北京广渠门中学初三（上）期中数学本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无．．．．．．．效．．一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A. 31y x =−B. 21y x =C. 231y x x =+−D. 321y x =− 3. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A. 9−B. 94−C. 94D. 94. 如图将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒到ADE ，若50DAE ∠=︒，则CAD ∠=（）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 90︒ 5. 如图，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于点C ，则OC 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y （单位：米）与飞行的水平距离x （单位：米）之间具有函数关系21531682y x x =−++，则小康这次实心球训练的成绩为（）A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米7. y 是x 的二次函数，其对应值如下表：A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 1x =B. 1m =C. 当3x >时，y 随x 的增大而增大D. 图象与x 轴有两个公共点8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在AD 边上自A 至D 运动，点N 在BA 边上自B 至A 运动，M ，N 速度相同，当N 运动至A 时，运动停止，连接CN ，BM 交于点P ，则AP 的最小值为（）A. 1B. 2 1二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 点(3,2)−关于原点对称的点的坐标为_______．10. 已知2x =是一元二次方程220x mx −+=的一个根，则另一个根是_________．11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．12. 如图，平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点A 的坐标为(32)，，将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，则A '的坐标是_____．13. 若抛物线24y x =向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是________．14. 关于x 的方程220x x c +−=无实数根，则二次函数22y x x c =+−的图象的顶点在第______ 象限． 15. 已知点()()1,,2,m n −在二次函数223(0)y ax ax a =++>的图象上，则m _____________n ．（填“>”“<”或“=”）16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y ax bx =+，其中0a b +>，下列结论：①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P ，则必有a<0；③若a<0，则方程20ax bx +=必有一根大于1；④若0a >，则当112x ≤≤时，必有y 随x 的增大而增大．结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．二、解答题（共12小题，共68分）17. 按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：250x x +=；（2）用公式法解：2310x x ++=．18. 小北同学解方程2210x x −−=的过程如下所示．解方程：2210x x −−=．解：221x x −=⋯第一步2(1)1x −=⋯第二步10x =，22x =⋯第三步（1）小北同学是用___________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第___________步开始出现错误．（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．19. 若m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根，求2322−+m m 的值．20. 已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1,10),(2,8)A B −−两点．（1）求b ，c 的值．（2）求该函数图象与x 轴的交点坐标．21. 已知抛物线22(21)y x m x m m =−−+−．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上，求m 的值．22. 如图，正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）画出与ABC 关于坐标原点O 成中心对称的111A B C △．（2）111A B C △的面积为___________．（3）将ABC 绕某点逆时针旋转90︒后，其对应点分别为2(1,2)A −−，2(1,3)B −，2(0,5)C −，则旋转中心的坐标为___________．23. 如图，已知△ABC 是等边三角形，在△ABC 外有一点D ，连接AD ，BD ，CD ，将△ACD 绕点A 按顺时针方向60旋转得到△ABE ，AD 与BE 交于点F ，∠BFD ＝97°．（1）求∠ADC 的大小；（2）若∠BDC ＝7°，BD ＝2，BE ＝4，求AD 的长．24. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践若设菜地的宽AB 为x 米．（1）BC =（）米（用含x 的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB ．25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程25140x x +−=，即(5)14x x +=的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是2(5)x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x +=，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24145⨯+，据此易得原方程的正数解为2x =．任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程23100x x −−=解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）．（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程22150x x +−=的正数解（写出必要的思考过程）26. 在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(1)(2)y y y −，，，，，在抛物线2y ax bx =+上．（1）若12a b ==−，，求该抛物线的对称轴并比较1y ，2y ，3y 的大小；（2）已知抛物线的对称轴为x t =，若2310y y y <<<，求t 的取值范围．27. 已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：DE =．28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x m =，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x m =的“镜面函数”．例如：图①是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨−+<⎩，也可以写成1y x =+．（1）在图③中画出函数21y x =−+关于直线1x =的“镜面函数”的图象．（2）函数222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线y x n =−+有三个公共点，求n 的值．（3）已知抛物线242(0)y ax ax a =−+<，关于直线0x =的“镜面函数”图像上的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当111t x t −≤≤+，24x ≥时，均满足12y y ≥，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A .该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．2. 【答案】C【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，故此选项不合题意；B 、21y x =不是二次函数，故此选项不合题意； C 、y =3x 2+x -1是二次函数，故此选项符合题意；D 、y =2x 3-1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=−=−=．解得：94m =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．4. 【答案】B【分析】由旋转的性质可得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，即可求解．【详解】解：由旋转的性质，得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，∴40CAD BAD BAC ∠=∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．5. 【答案】C【分析】由于OC AB ⊥于点C ，所以由垂径定理可得142AC AB ==，在Rt ABC 中，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：在O 中，∵OC AB ⊥，8AB = ∴142AC AB == ∵在Rt ABC 中，5OA =，4AC =∴由勾股定理可得：3OC ===故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6. 【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值即可．【详解】解：当0y =时，则215301682x x −++=，解得2x =−（舍去）或12x =．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7. 【答案】D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A ，当0x =时，求出m 的值，可以判断B ，根据a 的值和对称轴确定y 随x 的变化情况，可以判断C ，根据根的判别式确定与x 轴的交点个数，可以判断D ，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为2y ax bx c =++，则01424a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=−+⎩，解得：121a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：221y x x =−+，对称轴为：2122b x a −=−=−=，故选项A 正确，当0x =时，1y =，1m ∴=，故选项B 正确，10a ∴=>，∴图象开口向上，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确，()22424110b ac ∆=−=−−⨯⨯=，∴图象与x 轴有一个公共点，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．8. 【答案】C【分析】先确定点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，再求AP 的最小值即可【详解】解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC CD DA A ABC ===∠=∠=︒，∴90BCN BNC ∠+∠=︒，又BN AM =,∴ABM BCN ∆≅∆，∴ABM BCN ∠=∠，∴90ABM BNC ∠+∠=︒，∴90BPC BPN ∠=∠=︒，∴点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，如图2所示，连接1AO 交弧于点P ，此时，AP 的值最小，在1Rt ABO ∆中，112,12AB BO BC ===，由勾股定理得，1AO ===，∴111AP AO PO =−=，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 【答案】(3,2)−【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点()3,2−关于原点对称的点的坐标为()3,2−，故答案为：()3,2−．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),x y 关于原点O 的对称点是(),x y −−．10. 【答案】1x =【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：设该方程的另一个根为a ，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：22a =，∴1a =；故答案为1x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11. 【答案】2400(1)144x −=【分析】平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格400(1)x −元，第二次降价后的价格为2400(1)x −元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．【详解】解：根据题意，列方程为2400(1)144x −=．故答案为：2400(1)144x −=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键．12. 【答案】(23)−，【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A '的坐标．【详解】解：如图．∵将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，∴23A B AB OB OB ''==='=，，90OA B OBA ∠=∠=''︒，∴(23)A '−，．故答案为：(23)−，．【点睛】此题考查了旋转变换、点的坐标及旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的三要素，及旋转的性质：()a b ，绕原点顺时针旋转90︒得到的坐标为()b a −，． 13. 【答案】()2421y x =−−【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：平移后的抛物线的解析式是()2421y x =−−，故答案为：()2421y x =−−【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 【答案】二【分析】由程220x x c +−=无实数根，可知抛物线与x 轴没有交点，由二次项系数大于0可知抛物线在x 轴的上方，然后结合对称轴即可求解．【详解】解：∵关于x 的方程220x x c +−=无实数根，∴二次函数22y x x c =+−的图象与x 轴没有交点，∵10a =>，∴二次函数22y x x c =+−的图象开口向上，∴抛物线在x 轴上方， ∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．15. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象性质，得对称轴=1x −，结合对称性判断．【详解】解：二次函数223(0)y ax ax a =++>，对称轴为212a x a=−=−， ∵1(1)21(2)1−−=>−−−=，∴(1,)m 与对称轴的距离较(2,)n −与对称轴的距离远．而0a >，∴m n >．故答案为：>【点睛】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键．16. 【答案】①③④【分析】①将点(2,0)代入2y ax bx =+中，得2b a =−，再将其代入0a b +>，判断出a 与0的关系，从而判断最值即可；②通过0a >，0b >，可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出a<0错误即可；③根据a<0，0a b +>判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；④当0a >时，0b ≥或0b <进行分类讨论，先判断对称轴的范围，最后判断增减性即可．【详解】解：①将(2,0)代入2y ax bx =+中，得420a b +=，∴2b a =−，∵0a b +>，∴20a b a a a +=−=−>，即a<0∴抛物线开口向下，有最大值，故①正确；②∵抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴当0a >，0b >时，对称轴02b x a=−<， ∴图象经过第三象限时，不一定有a<0，故②错误；③抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴方程20ax bx +=的其中一个根为0，当a<0时，b a >−，则有对称轴122b x a =−>，根据抛物线的对称性可知：方程20ax bx +=的另一根大于1，故③正确；④当0a >，0b ≥时，抛物线对称轴02b x a=−≤， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大，当0a >，0b <时，即0a b −<<，抛物线对称轴122b x a =−<， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大，综上所述：若0a >时，则当112x ≤≤，y 随x 增大而增大，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质．二、解答题（共12小题，共68分）17. 【答案】（1）120,5x x ==−（2）1233,22x x −−== 【分析】（1）先用提取公因式分解方程的左边，然后求解即可；（2）先用根的判别式判别一元二次方程根的情况，然后再根据求根公式解答即可．【小问1详解】解：250x x +=()50x x +=0,50x x =+=120,5x x ==−．【小问2详解】解：2310x x ++=2341150∆=−⨯⨯=>3322x −−±==1233,22x x −−==．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．18. 【答案】（1）配方法，二（2）11x =+，21x =【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：小北同学是用配方法来求解的，从第二步开始出现错误，故答案为：配方法，二．【小问2详解】2210x x −−=．解：221x x −=2(1)2x −=1x −=11x =，21x =．19. 【答案】1【分析】把x m =代入210x x −−=即可得到21m m −=，再整体代入即可求值．【详解】解：∵m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根∴把x m =代入210x x −−=得：210m m −−=∴21m m −=∴2232232()3211m m m m −+=−−=−⨯=．【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键．20. 【答案】（1）5,6b c ==−（2）()(1,0),60−，【分析】（1）依据题意，将A 、B 代入解析式进行计算可以得解；（2）由（1）再令0y =，从而计算可以得解．【小问1详解】解：点(1,10),(2,8)A B −−代入抛物线，得110,428b c b c −+=−⎧⎨++=⎩5.6b c =⎧∴⎨=−⎩【小问2详解】∵5,6b c ==−∴256y x x =+−．令0y =，解得，121,6x x ==−．∴二次函数与x 轴的交点坐标为()(1,0),60−，．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．21. 【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为-3或1.【分析】（1）先求得△的值，然后证明△0>即可；（2）依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上可得到233m m m −=−+，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）令0y =得：22(21)0x m x m m −−+−=①△22(21)4()10m m m =−−−=>∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）令：0x =，根据题意有：233m m m −=−+，整理得：2230m m +−=解得3m =−或1m =．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上得到关于m 的方程是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析（2）52（3）()01−，【分析】本题考查作图—旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键.（1）根据中心对称的性质作图即可.（2）利用割补法求三角形的面积即可.（3）连接22,AA CC ，分别作线段22,AA CC ，的垂直平分线，两线相交于点M ，则点M 为ABC 与222A B C 的旋转中心，即可得出答案.【小问1详解】如图, 111A B C △即为所求.【小问2详解】111A B C △的面积为()111523221312222⨯+⨯−⨯⨯−⨯⨯=，故答案为：52. 【小问3详解】如图, 连接22,AA CC ，再分别作线段22,AA CC 的垂直平分线，两线相交于点M ，则 ABC 是绕点M 逆时针旋转90︒后得到的222A B C ，∴旋转中心的坐标为()01−，，故答案为：()01−，.23. 【答案】（1）23°；（2）【分析】（1）由旋转的性质可得AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE ，可证△AED 是等边三角形，可得∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，由旋转的性质可得△ACD ≌△ABE ，可得CD ＝BE ＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，∵∠BFD ＝97°＝∠AFE ，∴∠E ＝180°−97°−60°＝23°，∴∠ADC ＝∠E ＝23°；（2）如图，连接DE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△AED 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ＝4，∵∠BDC ＝7°，∠ADC ＝23°，∠ADE ＝60°，∴∠BDE ＝90°，∴DE ，∴AD ＝DE ＝【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．24. 【答案】（1）36-3x（2）8【分析】对于（1），根据3432BC AB =−+即可表示；对于（2），根据面积公式列出方程，求出解，并判断．【小问1详解】根据题意可知3432363BC AB x =−+=−；故答案为：363x −；【小问2详解】根据题意，得(363)96x x −=，解得8x =或4x =（不合题意，舍去）．所以，宽AB 为8米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．25. 【答案】（1）② （2）3x =【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()215x x +=，中间的小正方形面积为22，即可解决问题.【小问1详解】∵应构造面积是 ()23x x +−的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()310x x −=，中间的小正方形面积为23,∴大正方形的面积又可表示为2410349⨯+=，∴大正方形的边长为7，所以 37x x +−=5x ∴=，故正确构图②，故答案为: ②;【小问2详解】首先构造了如图2所示的图形，图中的大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为()215x x +=，中间的小正方形面积为22，所以大正方形的面积又可表示为2415264⨯+=，进一步可知大正方形的边长为8，所以28x x ++=，解得 3.x =【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.26. 【答案】（1）132y y y >>；（2）112t <<．【分析】（1）将12a b ==−，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解；（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论0a >与a<0两种情况．【小问1详解】解：（1）∵12a b ==−，，∴22y x x =−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线212x −=−=， ∵1(1)2111−−>−>−， ∴132y y y >>；【小问2详解】把0x =代入2y ax bx =+得0y =， ∴抛物线经过原点(00)，， ①0a >时，抛物线开口向上，∵20y <，∴0t >，当31y y =时，12122t −+==， ∵31y y <， ∴12t >；当20y =时，0212t +==， ∴112t <<满足题意． ②a<0时，抛物线开口向下， ∵20y <，∴0t <，∴0x >时，y 随x 增大而减小， ∴32<y y ，不符合题意．综上所述，112t <<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．27. 【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒. （3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒−αα︒−，在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒−,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒−∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28. 【答案】（1）见解析（2）4或74（3）33t −≤≤【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数21y x =−+的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线y x m =−+过“镜面函数”图象与直线=1x −的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t 的不等式组，解之即可得出结论.【小问1详解】解：如图，即为函数函数 21y x =−+关于直线 1x =的“镜面函数”的图象，【小问2详解】如图,对于 222,y x x 当0x =时, 2y =，∴函数 222y x x −=+与y 轴的交点坐标为()02，, 当直线y x n =−+经过点 ()1,5−时, 4m =；此时222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线y x n =−+与原抛物线只有一个交点时，则有：222x mx x −+=+−，整理得 220,x x m −+−=此时()()2Δ1420m =−−−=，解得74m =，综上，m 的值为4或74；【小问3详解】根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：()()()222240,224(0)a x a x y a x a x ⎧−+−≥⎪=⎨++−<⎪⎩ 函数图象如图所示：当 24x =时，如图，点Q 关于直线2x =的对称点为 ()20Q y '，，关于 0x =的对称点为 ()24,Q y −''，若当 1211,4t x t x −≤≤+≥时，均满足12,y y 则需满足 1414t t −≥−⎧⎨+≤⎩，解得3 3.t −≤≤故答案为：33t −≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键.。

2020年北京市中考数学试卷及答案

2020年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体2．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×1033．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5 4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2分）实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足﹣a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（）A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣37．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．238．（2分）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2分）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是． 11．（2分）写出一个比√2大且比√15小的整数． 12．（2分）方程组{x −y =13x +y =7的解为．13．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为．14．（2分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．18．（5分）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．19．（5分）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值． 20．（5分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．24．（6分）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．25．（5分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2020年北京市中考数学试卷答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体【解答】解：该几何体是长方体，故选：D．2．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【解答】解：36000＝3.6×104，故选：C．3．（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误；故选：A．4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．6．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣3【解答】解：因为1＜a＜2，所以﹣2＜﹣a ＜﹣1，因为﹣a ＜b ＜a ，所以b 只能是﹣1．故选：B ．7．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：列表如下：1 2 1 2 3 234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C ．8．（2分）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系【解答】解：设容器内的水面高度为h ，注水时间为t ，根据题意得： h ＝0.2t +10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是 x ≠7 ．【解答】解：若代数式1x−7有意义，则x ﹣7≠0，解得：x ≠7．故答案为：x ≠7．10．（2分）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 1 ．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝22﹣4×1×k ＝0，解得：k ＝1．故答案为：1．11．（2分）写出一个比√2大且比√15小的整数 2或3（答案不唯一）．【解答】解：∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数2或3（答案不唯一）．故答案为：2或3（答案不唯一）．12．（2分）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【解答】解：{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8，解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1，则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．13．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为 0 ．【解答】解：∵直线y ＝x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点，∴联立方程组得：{y =xy =m x，解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x2=−√my2=−√m，∴y 1+y 2＝0，故答案为：0．14．（2分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 BD ＝CD （写出一个即可）．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD ，添加BD ＝CD ， ∴在△ABD 与△ACD 中 {AB =AC∠ABD =∠ACD BD =CD， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ），故答案为：BD ＝CD ．15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC ＝ S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：∵S △ABC =12×2×4＝4，S △ABD ＝2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2＝4， ∴S △ABC ＝S △ABD ，故答案为：＝．16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序丙、丁、甲、乙．【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排， ①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）； ②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13），或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13），因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．【解答】解：原式＝3+3√2+2﹣6×√22 ＝3+3√2+2﹣3√2 ＝5．18．（5分）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．【解答】解：解不等式5x ﹣3＞2x ，得：x ＞1，解不等式2x−13＜x2，得：x ＜2，则不等式组的解集为1＜x ＜2．19．（5分）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值．【解答】解：（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）＝9x 2﹣4+x 2﹣2x ＝10x 2﹣2x ﹣4， ∵5x 2﹣x ﹣1＝0， ∴5x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（5x 2﹣x ）﹣4＝﹣2．20．（5分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点； ②连接BP ．线段BP 就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ， ∴∠ABP ＝ ∠BPC ． ∵AB ＝AC ， ∴点B 在⊙A 上．又∵点C ，P 都在⊙A 上，∴∠BPC =12∠BAC （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）． ∴∠ABP =12∠BAC ．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G 在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OE=12AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴∠CDO ＝90°，∴∠CDA +∠ADO ＝∠ADO +∠BDO ＝90°， ∴∠CDA ＝∠BDO ， ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠B ， ∴∠AOF ＝∠ADC ；（2）∵OF ∥BD ，AO ＝OB ， ∴AE ＝DE ， ∴OE =12BD =12×8＝4， ∵sin C =OD OC =13， ∴设OD ＝x ，OC ＝3x ， ∴OB ＝x ， ∴CB ＝4x ， ∵OF ∥BD ， ∴△COF ∽△CBD ， ∴OC BC =OF BD ，∴3x 4x=OF 8，∴OF ＝6，∴EF ＝OF ﹣OE ＝6﹣4＝2．24．（6分）小云在学习过程中遇到一个函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而减小，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而减小，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小．（2）当x ≥0时，对于函数y ，当x ≥0时，y 与x 的几组对应值如下表： x 0 12 1322523… y116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x ≥0时的函数y 的图象．（3）过点（0，m ）（m ＞0）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点，则m 的最大值是73．【解答】解：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而减小，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而减小，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x ＝﹣2时，m 的值最大，最大值m =16×2×（4+2+1）=73，故答案为7325．（5分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 （结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s 12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s 22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s 32．直接写出s 12，s 22，s 32的大小关系．【解答】解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为100×10+170×10+250×1030≈173（千克），故答案为：173；（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的17360≈2.9（倍），故答案为：2.9；（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中， ∴s 12＞s 22＞s 32．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为抛物线y ＝ax 2+bx +c （a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴x＝1，∴M，N关于x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．（2）∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=3 2，观察图象可知满足条件的值为：t≤3 2．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形，∴DE ＝CF =12BC ，∴CF ＝BF ＝b ，∵CE ＝AE ＝a ，∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2；（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°，∵D 点是AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中，{∠AED =∠BMD∠ADE =∠BDM AD =BD，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴AE ＝BM ，DE ＝DM ，∵DF ⊥DE ，∴EF ＝MF ，∵BM 2+BF 2＝MF 2，∴AE 2+BF 2＝EF 2．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 P 1P 2∥P 3P 4 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 P 3 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．【解答】解：（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是P 1P 2∥P 3P 4；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点P 3的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”．故答案为：P 1P 2∥P 3P 4，P 3．（2）如图1中，作等边△OEF ，点E 在x 轴上，OE ＝EF ＝OF ＝1，设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ，交y 轴于N ．则M （﹣2，0），N （0，2√3），过点E 作EH ⊥MN 于H ，∵OM ＝2，ON ＝2√3，∴tan ∠NMO =√3，∴∠NMO ＝60°，∴EH ＝EM •sin60°=√32，观察图象可知，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为√32．（3）如图2中，以A 为圆心1为半径作⊙A ，作直线OA 交⊙O 于M ，交⊙A 于N ，以OA ，AB 为邻边构造平行四边形ABDO ，以OD 为边构造等边△ODB ′，等边△OB ′A ′，则AB ∥A ′B ′，AA ′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”，当点A ′与M 重合时，AA ′的值最小，最小值＝OA ﹣OM =52−1=32，当点B 与N 重合时，AA ′的长最大，如图3中，过点A ′作A ′H ⊥OA 于H ．由题意A ′H =√32，AH =12+52=3，∴AA ′的最大值=(√32)2+32=√392，3 2≤d2≤√392．∴。

北京市2020年数学中考模拟试卷一含答案

北京市2020年数学中考模拟试卷一一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．下列几何体中，是圆锥的为A ．B ．C ．D ． 2．若分式1x+2在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 ( ) A ．x >-2 B ．x <-2 C ．x =-2 D ．x ≠-23．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a>bB ．a=b>0C ．ac>0D ．4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为 A ．45° B ．60° C ．72° D ．90°5．马赫是表示速度的量词，通常用于表示飞机、导弹、火箭的飞行速度，一马赫即一倍音速(音速≈340m/s)．我国建造的全球最大口径自由活塞驱动高能脉冲风洞FD －21，速度高达15马赫，则FD －21的速度约为A ．5.1×103 m/sB ．5.1×104 m/sC ．3.4×103 m/sD ．1.5×103 m/s 6．如果a 2+2a -1=0,那么代数式(a −4a )⋅a 2a−2的值是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.37．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》）根据统计图提供的信息，下列推断合理的是A ．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上2015-2018年巡游出租车与网约出租车客运量统计图网约出租车客运量（亿人次）巡游出租车客运量（亿人次）B ．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C ．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D ．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加 8．右图是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为(－4，0)，表示雍和宫的点的坐标为(4，6)，则表示南锣鼓巷的点的坐标是 A ．(5，0) B ．(5，3) C ．(1，3) D ．(－3，3)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在线段AD ， AE ， AF 中，△ABC 的高是线段。

2024北京广渠门中学初三一模数学试卷和答案

2024北京广渠门中学初三一模数学一、选择题（每题2分，共16分）1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（）A. B. C. D. 2. 某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米910-=米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（）A. 912010-⨯米B. 81.210-⨯米C. 71.210-⨯米D. 61.210-⨯米3. 如图，90ACD CE AB ∠=︒⊥，，垂足为E ，则下面的结论中，不正确的是（）A. 点C 到AB 的垂线段是线段CDB. CD 与AC 互相垂直C. AB 与CE 互相垂直D. 线段CD 的长度是点D 到AC 的距离4. 已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（）A. 十边形B. 十一边形C. 十二边形D. 十三边形5. 阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A. <2x -或5x >B. 2x ≤-或5x ≥C. 25x -<<D. 25x -≤≤6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）A. 23 B. 12 C. 13 D. 167. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A. 1.6，1.5B. 1.7，1.6C. 1.7，1.7D. 1.7，1.558. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y 与x 的数据如表：时间(x 分钟)0246810121620含药量(y 毫克)0 1.53 4.56 4.843 2.4则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题9. 在函数0(4)y x =+-中，自变量x 的取值范围是___________．10. 方程组2128x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是___．11. 关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m 值：m =______．12. 如图，为估算某鱼塘的宽AB 的长，在陆地上取点C ，D ，E ，使得A ，C ，D 在同一条直线上，B ，C ，E 在同一条直线上，且11,22==CD AC CE BC ．若测得ED 的长为10m ，则AB 的长为____________m ．13. 已知点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值）14. 如图，在ABC 中，点D 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，若1=AD DB ，则AE AC =__________．15. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数()0k y k x=≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，则该图象与直线=2y -的交点的横坐标为___．16. 围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住___个白子．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()1202211453-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭．18. 解不等式6438x x -≥-，并写出其正整数解．19. 已知22220m n +-=，求代数式2()(2)m n n m n -++的值．20. 已知：如图，A 为O 上的一点．求作：过点A 且与O 相切的一条直线．作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与O 的一个交点为B ，作射线OB ；③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ．直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA ．由作法可知BO BA BP ==．∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴90OAP ∠=︒（）（填推理的依据）．∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（）（填推理的依据）．21. 已知关于x 的一元二次方程23210x x a -+-=有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求方程的根．22. 已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AC BD ⊥∥，垂足为M ，过点A 作AE AC ⊥，交CD 的延长线于点E ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若48,sin 5AC ABD =∠=，求BD 的长．23. 如图，ABC 中AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，以AD 为直径的O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：BD 是O 切线；（2）连接EF 交OD 与G 、连接BO 交EF 于P ，连接PC ，若O 的半径为5，3OG =，求GE 和PC 的长．24. 有这样一个问题：探究函数()()()11232y x x x x =---+的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数为()112y x x =-+时，y 随x 增大而_______(填“增大”或“减小”)；②当函数为()()1122y x x =--时，它的图象与直线y x =的交点坐标为_______；（2）当函数为()()()11232y x x x x =---+时，如表为其y 与x 的几组对应值，则=a _______．x ⋯12-01322523492⋯y ⋯11316-3-1271623716a 717716⋯①如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了该函数部分对应值为坐标的点，请大致画出该函数的图象；②结合函数图象，估计方程()()()112362x x x x ---+=的解可能为_______．25. 如图，A 是O 上一点，BC 是O 的直径，BA 的延长线与O 的切线CD 相交于点D ，E 为CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P ．（1）求证：AP 是O 的切线；（2）若OC CP =，AB =，求CD 的长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数226y x ax =-+．（1）若此二次函数图象的对称轴为1x =．①求此二次函数的解析式；②当1x ≠时，函数值y ______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；（2）若2a <-，当22x -≤≤时，函数值都大于a ，求a 的取值范围．27. 如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，M 为BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），连接AM ，以点A 为中心，将线段AM 逆时针旋转135°，得到线段AN ，连接BN ．（1）依题意补全图2；（2）求证：∠BAN＝∠AMB；（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，C(1中，⊙O的伴随点是；②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M(m，0)，半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 【答案】D【详解】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】A 、圆锥的主视图是三角形，故A 不符合题意；B 、圆柱的主视图是矩形，故 B 不符合题意；C 、圆台的主视图是梯形，故C 不符合题意；D 、球的主视图是圆，故D 符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．2. 【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】120纳米=120×10-9米=1.2×10-7米，故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 【答案】A【分析】本题考查的是点到直线的距离，根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵CE AB ⊥，∴点C 到AB 的垂线段是线段CE ，原说法错误，故本选项符合题意；B 、∵=90ACD ∠︒，∴CD AC ⊥，即CD 与AC 互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；C 、∵CE AB ⊥，垂足为E ，∴AB 与CE 互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；D 、∵=90ACD ∠︒，∴CD AC ⊥，∴线段CD 的长度是点D 到AC 的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．故选：A ．4. 【答案】C【分析】首先设多边形的每一个外角为x °，则内角为（4x +30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x +4x +30=180，解方程可得x 的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．【详解】解：设外角为x °，由题意得：x +4x +30=180，解得：x =30，360°÷30°=12，∴这个多边形是十二边形．故选：C【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解．5. 【答案】D 【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【详解】25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D .【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到25x x ++-表示的意义，再利用分类思想解答问题.6. 【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；∴P （2女生）=61=122．故选：B ．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7. 【答案】B【分析】对于中位数由于图中是按从小到大的顺序排列的，找出最中间的两个数求平均数即可；对于众数可由条形统计图中出现天数最多的数据写出．【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.7（万步），故众数是1.7（万步）；因图中是按从小到大的顺序排列的，第15天和第16天的步数都是1.6（万步），故中位数是1.6（万步）．故选：B ．【点睛】本题考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．8. 【答案】D【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：08x ≤<，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y kx =，则将()21.5，代入得：1.52k =，解得：34k =，故函数解析式为：3(08)4y x x =≤<，由表格中数据可得：8x ≤，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：a y x =，则将()124，代入得：48a =，故函数解析式为：()488y x x=≥．故函数图象D 正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9. 【答案】3x >-且4x ≠【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【详解】解：由题意得，3040x x +>-≠，，解得，3x >-且4x ≠，故答案为：3x >-且4x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．10. 【答案】23x y =⎧⎨=-⎩【分析】利用加减消元法解答即可．【详解】解：2128x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①×2+②，得：5x =10，解得x =2，把x =2代入①，得：4+y=1,解得y =-3，所以原方程组的解为：23x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：23x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11. 【答案】0【分析】根据一元二次方程根判别式可得：△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，可进一步求出结果.【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m ，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，解得m ＜1，故答案是：0．【点睛】考核知识点：从根的情况求参数.12. 【答案】20【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明ABC DEC ∆∆ ，再由相似三角形对应边成比例求解即可．【详解】解：∵11,22==CD AC CE BC ，∴11,22CD CE AC BC ==，∴CD CE AC BC=，又DCE ACB ∠=∠，∴ABC DEC ∆∆ ，∴12DE DC AB AC ==，∵10m DE =，∴220m AB DE ==，故答案为：20【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明ABC DEC ∆∆ 是解答本题的关键．13. 【答案】－1（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，且12y y <，－2＜－1＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，故答案为：－1（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．14. 【答案】12【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出1AE AD EC DB ==，即可求解．【详解】解：∵ ABC 中，DE BC ∥，1=AD DB，∴1AE AD EC DB==，∴AE EC =，∴122AE AE AE AC AE EC AE ===+，故答案为：12．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．15. 【答案】-1【分析】由反比例函数()0k y k x=≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，则可得交点的坐标，从而求得反比例函数解析式，根据反比例函数图象与直线=2y -相交，即可求得交点的横坐标．【详解】∵反比例函数()0k y k x =≠的图象与直线1x =的交点的纵坐标为2，∴此交点坐标为(1，2)．∴122k =⨯=，即反比例函数解析式为2y x =．∵2y x =的图象与直线=2y -相交，∴22x-=，即x =-1．∴2y x=的图象与直线=2y -的交点的横坐标为-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，求得反比例函数的解析式是关键．16. 【答案】21【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n -x ，其中0≤x ≤3，得到当x =0时，最多可以围住白子的个数为2n 2-2n +1；当x =1时，最多可以围住白子的个数为2n 2-3n +1；当x =2时，最多可以围住白子的个数为2n 2-4n +2；当x =3时，最多可以围住白子的个数为2n 2-5n +3即可求解．【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2，黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1，黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1，黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，∴可设黑子的个数为4n -x ，其中0≤x ≤3，当x =0时，最多可以围住白子的个数为2n 2-2n +1；当x =1时，最多可以围住白子的个数为2n 2-3n +1；当x =2时，最多可以围住白子的个数为2n 2-4n +2；当x =3时，最多可以围住白子的个数为2n 2-5n +3；∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个．故答案为：21【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－23题，每小题6分，第24题5分，第25－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】解：原式=1+2-3+1=1【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 【答案】2x ≤，正整数解为1，2．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．【详解】解：6438x x -≥-，移项得：4386x x --≥--，合并同类项得：714x -≥-，系数化为1得：2x ≤，∴不等式的正整数解为1，2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．19. 【答案】2【分析】由22220m n +-=得：2222m n +=，将2()(2)m n n m n -++化简变形可得222()(2)=22n m n m n m n -++=+．【详解】解：∵22220m n +-=，∴2222m n +=，∴222222()(2)=2222m n m n m mn n mn n m n n -+-+++=++=．【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将式子2()(2)m n n m n -++进行化简．20. 【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ，由作法可知BO BA BP ==，∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角），∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．21. 【答案】（1）a ＜518；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；（2）由（1）的结论结合a 为正整数，即可得出a =1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程23210x x a -+-=有两个不相等的实数根，∴2(3)4(21)a ∆=---＞0，解得a ＜518，∴a 的取值范围为a ＜518．（2）∵a ＜518，且a 为正整数，∴1a =，代入23210x x a -+-=，此时，方程为2310x x -+=．∴解得方程的根为12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．22. 【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先证明AE ∥BD ，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE 的长，再利用勾股定理求出AE 的长即可求得BD 的长．【小问1详解】解：∵AC ⊥BD ，AC ⊥AE ，∴AE ∥BD ，又AB ∥DC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD =AE ，∠E =∠ABD ，∵48,sin 5AC ABD =∠=，∴4sin sin 5AC E ABD CE ∠=∠==，则CE =10，在Rt △EAC 中，6AE ===，∴BD =6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．23. 【答案】（1）见解析（2）4，【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，再由AD 是直径即可证得结论；（2）连接OE 、DE 、DF ，过P 作PH BD ⊥于H ，则易证Rt ADE △≌Rt ADF ，则可得EF BC ∥，从而有AEG △∽ABD △，由相似三角形的性质可求得BD 的长，则可得OBD 是等腰直角三角形；易得四边形PHDG 是矩形，则可得2PH GD ==，且可得BPH 是等腰直角三角形，则可得2BH PH ==及CD 的长，在Rt PHC 中，由勾股定理即可求得PC 的长．【小问1详解】证明：AB AC = ，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，AD BC ∴⊥，AD 是O 的直径，BD ∴是O 切线；【小问2详解】解：连接OE 、DE 、DF ，过P 作PH BD ⊥于H ，如下图，AD 是O 的直径，90AED AFD ∴∠=∠=︒，AD 平分BAC ∠，EAD FAD ∴∠=∠，DE DF ∴=，AD AD = ，Rt ADE ∴ ≌()Rt HL ADF ，AE AF ∴=，AD EF ∴⊥，O 的半径为5，3OG =，4EG ∴==，AD BC ⊥ ，∴EF BC ∥，∴ AEG ∽ABD △，EG AG BD AD∴=，即45310BD +=， 5BD ∴=，210BC BD ∴==，90PGD HDG DHP ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形PGDH 是矩形，532PH DG ∴==-=，PH GD ∥，BPH BOD ∴∠=∠，5OD BD == ，45BOD OBD ∴∠=∠=︒，45BPH OBD ∴∠=∠=︒，2BH PH ∴==，8CH BC BH ∴=-=，在Rt PHC 中，由勾股定理得PC ==【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．24. 【答案】（1）①增大；②⎝⎭，⎝⎭ （2）3；①见解析；②154【分析】（1）①由x 的系数的正负求解．②令()()1122x x x --=，求出x 的值，进而求解．（2）将3x =代入解析式求解即可求得a ．①根据图象中所描点及函数解析式求解．②结合图象求解．【小问1详解】()1311222y x x x =-+=- ①，y ∴随x 增大而增大，故答案为：增大．②令()()1122x x x --=，解得1x =，2x =，∴交点坐标为⎝⎭，.⎝⎭故答案为：⎝⎭，.⎝⎭【小问2详解】将3x =代入()()()11232y x x x x =---+得3y =，3a ∴=．故答案为：3．①如图，②由图象估计，直线6y =与函数图象交点横坐标为315344+=，故答案为：154．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，并能从图象中获取正确的信息．25. 【答案】（1）见解析（2【分析】（1）先由圆周角定理得出90BAC ∠=︒，再由斜边上的中线性质得出12AE CD CE DE ===，由CD 是切线得出CD OC ⊥，即可得出OA AP ⊥，周长结论；（2）先证明AOC ∆是等边三角形，得出60ACO ∠=︒，再在Rt BAC 和Rt ACD 中，运用锐角三角函数即可得出结果．【小问1详解】证明：连接AO ，AC ；如图所示：BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，90CAD ∴∠=︒，E 是CD 的中点，12AE CD CE DE ∴===，ECA EAC ∠∠∴=，OA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠，CD 是O 的切线，CD OC ∴⊥，90ECA OCA ∴∠+∠=︒，90EAC OAC ∴∠+∠=︒，OA AP ∴⊥，A 是O 上一点，AP ∴是O 的切线；【小问2详解】解：由（1）知OA AP ⊥．在Rt OAP △中，90OAP ∠=︒∵，OC CP OA ==，即2OP OA =，1sin 2OA P OP ∴==；30P ∴∠=︒，60AOP ∴∠=︒，OC OA = ，AOC ∴∆是等边三角形，60ACO ∴∠=︒，在Rt BAC 中，90BAC ∠=︒ ，AB =60ACO ∠=︒，2tan AB AC ACO ∴===∠，又在Rt ACD 中，90CAD ∠=︒，9030ACD ACO ∠=︒-∠=︒，cos cos302AC CD ACD ∴===∠︒．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算．26. 【答案】（1）①226y x x =-+；②>；（2）1023a -<<-．【分析】（1）①根据对称轴求出a 的值，即可得到二次函数的解析式；②把二次函数的解析式配方即可得到解答；（2）由题意可得原函数图象的对称轴为x =a ，开口向上，且x ≥-2时函数值随x 的增大而增大，求出x =-2时y 的值，再由y >a 即可得到题目解答．【小问1详解】解：①由题意可得：2121a --=⨯,解之可得：a =1，∴二次函数的解析式为：226y x x =-+；②∵226y x x =-+=215x -+（），∴y ≥5，当x =1时，y =5；当x ≠1时，y >5，故答案为>；【小问2详解】解：∵ 226y x ax =-+=226x a a -+-（），∴原函数图象的对称轴为x =a ，开口向上，∵2a <-，∴当22x -≤≤时，原函数的函数值随x 的增大而增大，∵当x =-2时，y =4+4a +6=10+4a ，∴10+4a >a ，解之可得：a >103-，∴a 的取值范围为：1023a -<<-．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的对称轴、配方法及最值、二次函数的图象及性质是解题关键．27. 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3）1PC =，证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形、线段的画法作图即可；（2）先证明=45ABC ∠︒，再由三角形内角和求得∠AMB 与∠BAM 的数量关系，再利用角的和差也可求得∠BAN 与∠BAM 的关系，进而得结论；（3）如图2，任取满足条件的点M ，作点M 关于点C 的对称点M '，连接AM '，先根据对称性和旋转的性质可知，,2AM AM AN MM CM ''===，再根据等腰三角形的性质可得AM C AMC '∠=∠，从而可得AM Q AMB BAN '∠=∠=∠，又根据线段的和差、对称性得出2M Q PC '=，要总有AQ BN =，只需'AM Q NAB ≅ 恒成立，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得．【详解】（1）由旋转图形、线段的画法作图如下：（2）∵90,ACB AC BC∠=︒=∴=45ABC ∠︒∵180MAB ABM AMB ∠+∠+∠=︒，即45180MAB AMB ∠+︒+∠=︒∴135AMB MAB∠=︒-∠由旋转的定义可知，135MAN ∠=︒∴135BAN MAN MAB MAB∠=∠-∠=︒-∠∴BAN AMB ∠=∠；（3）∵90,ACB AC BC ∠=︒==∴2AB ==如图2，任取满足条件的点M ，作点M 关于点C 的对称点M '，连接AM '由对称性和旋转的性质可知，,2AM AM AN MM CM''===∴AM C AMC '∠=∠∴AM Q AMB BAN '∠=∠=∠∵点M 关于点P 的对称点为Q∴2MQ MP=∴222()2M Q MQ MM MP CM MP CM PC ''=-=-=-=要总有AQ BN =，只需'AM Q NAB ≅ 恒成立由SAS 定理可知，当2M Q AB '==时，可证出'AM Q NAB ≅ 22PC AB ∴==解得1PC =因此，当1PC =时，必有2M Q AB '==，由SAS 定理可证'AM Q NAB ≅ ，此时，对于任意的点M ，总有AQ BN =．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．28. 【答案】（1）①B ，C ；②21d -≤≤-；（2）11m -≤<34m <≤．【分析】（1）①画出图形，利用勾股定理、圆的切线的性质求出切线长，再根据⊙O 的伴随点的定义判断即可；②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，先求出当切线长为22r =时，OD 的长，再利用两点之间的距离公式可求出d 的值，由此即可得出答案；（2）求出临界位置时m 的值即可判断：①如图3-1中，设FT 是⊙M 的切线，当4FT =时，求出此时m 的值，再根据伴随点的定义，结合图象即可得；②如图3-2中，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒，求出此时临界位置m 的值，再根据伴随点的定义，如图3-3中，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ，求出临界位置m 的值，然后结合图象即可得．【详解】（1）①如图1，,,AG BN CM 为⊙O 的三条切线,,OG AG ON BN OM CM∴⊥⊥⊥ ⊙O 的半径为11OG ON OM ∴===(4,0),A B C4,2OA OB OC ∴====则切线AG 2==>切线BN 2==切线CM ==由⊙O 的伴随点的定义得：点B ，C 是⊙O 的伴随点故答案为：B ，C ；②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD ==解得122,1d d =-=-结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(1,0)E 当0x =时，=2y -，则点F 的坐标为(0,2)F - ⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(,0)M m 24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===此时1m -=解得1m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(1,0),(0,2)E F -∴1,2OE OF ==∴EF ==∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~∴EM MT EF OF =22=解得EM =，即1m -=解得1m =结合图象得，当11m -≤<时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确找出临界位置，并求出m 的值是解题关键．。

北京市广渠门中学2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

北京市广渠门中学2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷一、单选题1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，52. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A． B． C． D．4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）．A．B．C．4 D．66. 如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，正比例函数关系D．正比例函数关系，一次函数关系7. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A．B．C．D．二、填空题9. 抛物线的顶点坐标是_________．10. 将二次函数化成的形式为__________．11. 如图所示，绕点P顺时针旋转得到，则旋转的角度是______．12. 抛物线与x轴的交点坐标为_______，与y轴交点坐标为________．13. 请写出一个有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式_______．14. 二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是________．15. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．三、解答题17. 解方程：．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为，，．(1)将△OAB绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．画出旋转后的图形，并写出点的坐标；(2)△OAB关于点O中心对称得到，点B的对称点为．画出中心对称后的图形，并写出点的坐标．19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．20. 已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．21. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A 顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．(1)求证：；(2)若，，求的面积．22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标yx…-1 0 1 2 …y…-3 0 1 0 …(1)求这个二次函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)写出y随x增大而减小的x的取值范围；(4)若，结合函数图象，直接写出y的取值范围．23. 已知二次函数（是常数）．（1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．24. 如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．（1）求二次函数与一次函数的表达式．（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围25. 中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即），平台AB距地面18米，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．(1)求滑道对应的函数表达式；(2)当，时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看作函数图像的一部分，着陆时水平距离为，运动员乙飞出的路径近似看作函数图像的一部分，着陆时水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系：xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，与直线BC交于点．若，结合函数的图象，求的取值范围；(3)若点，在抛物线上，且当时，都有，求的取值范围．27. 已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是．（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，井判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(1)分别判断函数和是不是有界函数?若是有界函数，求其边界值；(2)若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；(3)将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足?。

广渠门中学初三保温考试数学

．
（2）如果顾客购买了甲，并且同时也在乙、丙、丁中进行了选购，则购买
商品的可能性最大．
二、拍一张图片上传即可
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
（填“乙”、“丙”、“丁”）
三．解答题（17---22 每题 5 分，23---26 题，每题 6 分，27、28 题各 7 分，共 68 分，）
二．填空题（每题 2 分，共 16 分）
9．比较大小：
1（填“＞”、“＜”或“＝”）．
10．如果二次根式有意义，那么 x 的取值范围是
．
11．图中的四边形均为矩形．根据图形，写出一个正确的等式：
．
第 11 题图
第 12 题图
第 13 题图
12．如图，在正方形网格中，点 A，B，C 在⊙O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的
∴＝
．
∴∠PBA＝∠QPB（ ∴PQ∥l（
）（填推理的依据）．）（填推理的依据）．
20．已知关于 x 的方程 mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m 为实数，m≠0）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值．
4
21．如图，在▱ ABCD 中，AE⊥BC 于点 E 点，延长 BC 至 F 点使 CF＝BE，连接 AF，DE，DF．（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（2）若 AB＝6，DE＝8，BF＝10，求 AE 的长．
B．b+d＜0
C．|a|﹣c＜0
D．c
4．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（）
A．
B．

2020年北京市中考数学考前保温练习试卷解析版

2020年北京市中考数学考前保温练习试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为（）A．6.011×109B．60.11×109C．6.011×1010D．0.6011×10113．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形4．正十边形的每个外角等于（）A．18°B．36°C．45°D．60°5．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（）A．32，32B．32，30C．30，32D．32，316．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．37．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．88．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式的值为0，则x的值等于．10．分解因式：mn2+6mn+9m＝．11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y＝．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为．14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝m．15．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．16．在右表中，我们把第i行第j列的数记为a i，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i，j，规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i＜j时，a i，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1，1•a i，1+a1，2•a i，2+a1，3•a i，3+a1，4•a i，4+a1，5•a i，5的值为．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1a4，2a4，3a4，4a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，5三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题4分，第26-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）018．解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．求证：AE＝FC．20．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足P A＝OA，直接写出点P的坐标．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．24．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止2010年底）开通时间开通线路运营里程（千米）19711号线3119842号线23200313号线41八通线1920075号线2820088号线5 10号线25机场线2820094号线282010房山线22大兴线22亦庄线23昌平线21 15号线20请根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？25．小伟遇到一个这样问题：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若四边形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的，要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE 即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形．（如图2）请你回答：图2中△BDE的面积等于．参考小伟同学思考的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）．（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．27．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．2020年北京市中考数学考前保温练习试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．【解答】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是．故选：D．2．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为（）A．6.011×109B．60.11×109C．6.011×1010D．0.6011×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：60 110 000 000＝6.011×1010，故选：C．3．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．故选：D．4．正十边形的每个外角等于（）A．18°B．36°C．45°D．60°【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．【解答】解：360°÷10＝36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选：B．5．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（）A．32，32B．32，30C．30，32D．32，31【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选：A．6．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）9．若分式的值为0，则x的值等于8．【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0，分母≠0，可以求出x的值．【解答】解：x﹣8＝0，x＝8，故答案为：8．10．分解因式：mn2+6mn+9m＝m（n+3）2．【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．11．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是﹣1．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，解得m＝﹣1．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y＝x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．【解答】解：抛物线y＝x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．故答案为：x2+1（答案不唯一）．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为0．【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B 关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，∴k1＝ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y＝上，∴k2＝﹣ab；∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ 5.5 m．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴＝∴BC＝4米，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5米，故答案为：5.5．15．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当字母C第201次出现时，恰好数到的数是603；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是6n+3（用含n的代数式表示）．【分析】规律是：前六个字母为一组，后边不断重复，每组中C字母出现两次，字母C 出现201次就是这组字母出现100次，再加3；字母C出现2n+1次就是这组字母出现n 次，再加3．【解答】解：由题意可得，一个循环为A→B→C→D→C→B，即六个数一个循环，由题意可得，一个循环中C出现两次，∴201÷2＝100…1，∴当字母C第201次出现时，恰好数到的数是6×100+3＝603，∵（2n+1）÷2＝n…1，∴当字母C第2n+1次出现时（为正整数），恰好数到的数是6n+3．故答案为：603，6n+3．16．在右表中，我们把第i行第j列的数记为a i，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i，j，规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i＜j时，a i，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝0；表中的25个数中，共有15个1；计算a1，1•a i，1+a1，2•a i，2+a1，3•a i，3+a1，4•a i，4+a1，5•a i，5的值为1．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1a4，2a4，3a4，4a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，5【分析】由题意当i＜j时，a i，j＝0．当i≥j时，a i，j＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．【解答】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：当i＜j时，a i，j＝0．当i≥j时，a i，j＝1；由图表可知15个1．a1，1•a i，1+a1，2•a i，2+a1，3•a i，3+a1，4•a i，4+a1，5•a i，5＝1×1+0+0+0+0＝1．故答案为：0；15；1．三．解答题17．计算：（）﹣1﹣2cos30°++（2﹣π）0【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣2×+3+1＝2﹣+3+1＝3+2．18．解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．【解答】解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，合并同类项，得：﹣x≤3，系数化成1得：x≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：．19．如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．求证：AE＝FC．【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠D，在△ABE和△FDC中，，∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE＝FC．20．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足P A＝OA，直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；（2）P A＝OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA 为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣2x的图象上．∴n＝﹣2×（﹣1）＝2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k＝﹣2∴反比例函数的解析式是y＝﹣．（2）方法一：∵A（﹣1，2），∴OA＝＝，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵P A＝OA，∴＝，解得x＝﹣2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴＝，解得y＝4；当点P在坐标原点，则P（0，0）．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图，①当P在原点时，满足P A＝OA，则P点（0，0）；②当P在x轴上时，∵P A＝OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2）∴OB＝1，OP＝2OB＝2，∴P（﹣2，0），③当P在y轴上时，∵P A＝OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2）∴OC＝2，OP＝2OC＝4，∴P（0，4），∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝2．在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝2．∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4．在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝2．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4．∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC＝，可求出OD＝6，OH＝4，HB＝5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC ＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH ＝，即＝，∴OH＝4，∴DH ＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB ＝．24．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止2010年底）开通时间开通线路运营里程（千米）19711号线3119842号线23200313号线41八通线1920075号线2820088号线5 10号线25机场线2820094号线282010房山线22大兴线22亦庄线23昌平线21 15号线20请根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？【分析】（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：2008年运营总路程+28求出即可；（2）根据扇形图得出：截止2010年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出答案；（3）根据截止2015年新增运营路程为：1000×36.7%＝367（千米）；进而得出从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程．【解答】解：（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：200+28＝228，如图所示：（2）根据扇形图得出：截止2010年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到：336÷33.6%＝1000（千米），答：预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到1000千米；（3）根据截止2015年新增运营路程为：1000×36.7%＝367（千米）；则从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程[367﹣（372﹣336）]÷4＝82.75．答：从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程82.75千米．25．小伟遇到一个这样问题：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若四边形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的，要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE 即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形．（如图2）请你回答：图2中△BDE的面积等于1．参考小伟同学思考的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）．（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积．（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形．（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的．【解答】解：△BDE的面积等于1．故答案为：1．（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，∴四边形AFEP为平行四边形，∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，又∵AP∥FN∥BC，F为AB的中点，∴N为PC的中点，∴E为△PFC各边中线的交点，∴△PEC的面积为△PFC面积的，连接DE，可知DE与PE在一条直线上，∴△EDC的面积是△ABC面积的，所以△PFC的面积是1××3＝，∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．【分析】（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x＝1求出y的值，即可确定出t的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x＝1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y＝kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k＝，b＝0，∴直线BC解析式为y＝x，当x＝1时，y＝，则t的范围为﹣4≤t≤．27．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF＝∠F即可．（2）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得．（3）延长AB、FG交于H，连接HD．证四边形AHFD为菱形得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证△BHD≌△GFD得∠BDH＝∠GDF，根据∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG可得答案．【解答】解：（1）如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F．∴CE＝CF．（2）如图2，连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DF A＝45°，∠ECF＝90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA＝90°，又∵∠DGC＝∠BGA，∴∠BGA+∠DGA＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°．（3）如图3，延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DF A＝30°∴△DAF为等腰三角形∴AD＝DF，∴CE＝CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0＝x0+2，据此可以求得点C的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E在过原点且与直线y＝x+3垂直的直线上，且C与E 的横纵坐标差相等时，点C与点E的“非常距离”取最小值，据此求出C与E的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠2，∴|0﹣y|＝2，解得，y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；②点A与点B的“非常距离”的最小值为．（2）①如图2，当点C与点D的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，∵C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），∴设点C的坐标为（x0，x0+3），∴﹣x0＝x0+2，此时，x0＝﹣，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|＝，此时C（﹣，）；②如图3，当点E在过原点且与直线y＝x+3垂直的直线上，且CF＝EF时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则，解得，故E（﹣，）．设点C的坐标为（x0，x0+3），﹣﹣x0＝x0+3﹣，解得x0＝﹣，则点C的坐标为（﹣，），点C与点E的“非常距离”的最小值为1．。

北京市广渠门中学 2020—2021 学年第二学期质量检测(一)初三数学

线段 EP 的长为 y ，图 2 是 y 与 x 函数关系的大致图象，则点 P 的运动路径可能是（）
A.
B.
C.
D.
2. 在 RtABC 中， C 90, AB 5, BC 3, 则 sinA 的值是（）
3
A.
4
3
B.
5
4
C.
5
5
D.
3
3.
如果
A(2, y1), B(2, y2 ) 两点都在反比例函数
围是
.
．Leabharlann 三、解答题（本题共 52 分，第 17—21 题，每小题 5 分，第 22 题 6 分，第 23—25 题，每小题 7 分） 17. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：ʘO．
求作：ʘO 的内接正方形．
作法：如图．
①过圆心 O 作直线 AC，与ʘO 相交于 A、C 两点；
②过点 O 作直线 BD AC ，交ʘO 于 B、D 两点；
24. 如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，点 E 在射线 BA 上运动(与点 A、B 不重合)，连接 DE，过点 C
作线段 DE 的平行线交直线 AB 于点 F，过点 F 作直线 CA 的垂线，垂足为点 M，连接 BM．
(1)如图 1，当点 E 在线段 AB 上时，
图1
①依题意补全图 1；
A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
6. 在同一平面直角坐标系中，函数 y kx2 k 与 y k 的图象可能是（） x

2020年北京市中考试卷初中数学

2020年北京市中考试卷初中数学一、选择题〔共8道小题，每题4分，共32分〕 1．6-的绝对值等于〔〕A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．截止到2008年5月19日，已21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21600用科学记数法表示应为〔〕A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．假设两圆的半径分不是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，那么这两圆的位置关系是〔〕A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钞票支援灾区，他们捐款的数额分不是〔单位：元〕：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分不是〔〕A ．50，20B ．50，30C ．50，50D ．135，505．假设一个多边形的内角和等于720，那么那个多边形的边数是〔〕A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分不印有北京奥运会的会徽、吉祥物〔福娃〕、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物〔福娃〕的概率是〔〕A ．15B ．25C ．12D ．357．假设230x y ++-=，那么xy 的值为〔〕A ．8-B ．6-C ．5D ．68．O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点动身，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．假设沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是〔〕二、填空题〔共4道小题，每题4分，共16分〕 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范畴是． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分不是AB AC ，的中点，假设2cm DE =，那么BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a ，…〔0ab ≠〕，其中第7个式子是，第n 个式子是〔n 为正整数〕．三、解答题〔共5道小题，共25分〕 13．〔本小题总分值5分〕运算：1182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭．14．〔本小题总分值5分〕解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．15．〔本小题总分值5分〕：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分不在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．16．〔本小题总分值5分〕如图，直线3y kx =-通过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．17．〔本小题总分值5分〕30x y -=，求2222yx x x+-的值．四、解答题〔共2道小题，共10分〕 18．〔本小题总分值5分〕如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长．19．〔本小题总分值5分〕：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分不交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．〔1〕判定直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；〔2〕假设:8:5AD AO=，2BC=，求BD的长．五、解答题〔此题总分值6分〕20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行〝塑料购物袋有偿使用制度〞〔以下简称〝限塑令〞〕．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采纳咨询卷调查的方式，随机调查了〝限塑令〞实施前后，顾客在该超市用购物袋的情形，以下是依照100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：〝限塑令〞实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式直截了当丢弃直截了当做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5% 35% 49% 11%请你依照以上信息解答以下咨询题：〔1〕补全图1，〝限塑令〞实施前，假如每天约有2000人次到该超市购物．依照这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估量那个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？〔2〕补全图2，并依照统计图和统计表讲明．．．．．．．．．．．，购物时如何样选用购物袋，塑料购物袋使用后如何样处理，能对环境爱护带来积极的阻碍．六、解答题〔共2道小题，共9分〕21．〔本小题总分值5分〕列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，估量高速列车在北京、天津间单程直达运行时刻为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时刻比估量时刻多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时刻与估量时刻相同．假如这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？22．〔本小题总分值4分〕等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分不沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分不落在点A '，B '，C '处．假设点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，现在我们称A B C '''△〔即图中阴影部分〕为〝重叠三角形〞．〔1〕假设把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中〔图中每个小三角形差不多上边长为1的等边三角形〕，点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直截了当写出现在重叠三角形A B C '''的面积；〔2〕实验探究：设AD 的长为m ，假设重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范畴〔直截了当写出结果，备用图供实验，探究使用〕．七、解答题〔此题总分值7分〕23．：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两个实数根分不为1x ，2x 〔其中12x x <〕．假设y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求那个函数的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范畴满足什么条件时，2y m ≤．八、解答题〔此题总分值7分〕24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点〔点A 在点B 的左侧〕，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好通过B C ，两点．〔1〕求直线BC 及抛物线的解析式；〔2〕设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；〔3〕连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．九、解答题〔此题总分值8分〕 25．请阅读以下材料：咨询题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．假设60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，通过推理使咨询题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下咨询题：〔1〕写出上面咨询题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；〔2〕将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原咨询题中的其他条件不变〔如图2〕．你在〔1〕中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．〔3〕假设图1中2(090)ABC BEF∠=∠=<<αα，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原咨询题中的其他条件不变，请你直截了当写出PGPC的值〔用含α的式子表示〕．。

2020年北京市东城区广渠门中学中考数学模拟考试试卷(3月份)解析版

2020 年北京市东城区广渠门中学中考数学模拟试卷（ 3 月份）一．选择题（共8 小题）1．以下倡议节俭的图案中，属于轴对称图形的是（）A ．B．C．D．2．华为 Mate 30 5G 系列是近期相当火爆的5G 国产手机，它采纳的麒麟990 5G 芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103 亿个晶体管，将103 亿用科学记数法表示为（）9 9 10D．11A ．1.03× 10B ．10.3× 10 C． 1.03×10 1.03× 10 3．以下各式中，计算正确的选项是（）A ．a 3?a2＝ a6B ．a3+a2＝ a5C．（ a3）2＝ a6D． a6÷ a3＝ a24．实数 a、b、c 在数轴上的对应点的地点以下图，假如a+b＝ 0，那么以下结论错误的选项是（）A ．|a|＝ |b|B ．a+c＞ 0C．＝﹣1D． abc＞05．如图，三角板的直角极点落在矩形纸片的一边上．若∠ 1＝35°，则∠ 2的度数是（）A ．35°B ．45°C． 55°D． 65°6．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（）A ．3B ．4C． 6D． 87．若 a+2b＝ 0，则分式（+）÷的值为（）A ．B ．C．﹣D．﹣ 3b8．以下不等式变形中，必定正确的选项是（）A ．若 ac＞ bc，则 a＞ bB ．若 a＞ b，则 ac 2＞ bc2C．若 ac 2＞ bc2，则 a＞ bD ．若 a＞ 0，b＞ 0，且，则a＞b二．填空题（共8 小题）9．式子在实数范围内存心义，则实数x 的取值范围是．10．把 3a2 b﹣6ab+3b 因式分解的结果是11．请写出一个对于x 的不等式，使﹣．2， 3 都是它的解．12．已知对于x 的一元二次方程mx2+2x﹣1＝ 0（ m 为常数）有两个不相等的实数根，则的取值范围是．13．如图，是反比率函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x 并分别交两条曲线于A、 B 两点，若S△AOB＝ 2，则 k2﹣ k1的值为．m 轴，14．如图，用 6 个边长为 1 的小正方形结构的网格图，角α，β的极点均在格点上，则α+β＝．15．如图，矩形A BCD 的边长 AD＝ 4，AB ＝3， E 为 AB 的中点， AC 分别与 DE，DB 订交于点 M，N，则 MN 的长为．16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．发源于战国期间，在漆器表面，用金色描述花纹的装修方法，常以黑漆作底，也有少量以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描述花纹．现甲、乙两位工匠要达成 A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描述花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）以下：原料原料 A原料 B原料 C时间工序上漆 10 16 13 描述花纹15812则达成这三件原料的描金工作最少需要小时．三．解答题（共9 小题）﹣|﹣ 2cos45°+（﹣ 1）2019﹣117．计算：（ 3.14﹣ π） +|1 +（﹣ ）18．解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．先化简，再求值：（﹣1）÷，而后从0， 1， 2三个数中选择一个适合的数代入求值．20．已知关子 x 的一元二次方程x 2﹣（ 2a+2） x+2a+1＝ 0．（ 1）求证：无论 a 取何实数，该方程都有两个实数根：（ 2）若该方程两个根 x 1，x 2 知足 x 12﹣ x 22＝ 0，求 a 的值21．如图，在矩形ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作 EF ⊥ AC 交 BC 于点 E ，交 AD 于点 F ，连结 AE ， CF ．（ 1）求证：四边形 AECF 是菱形；（ 2）连结 OB ，若 AB ＝8， AF ＝ 10，求 OB 的长．22．平面直角坐标系xOy 中，将直线y＝x+b 向上平移 2 个单位长度后与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q（ 2，m）．（ 1）求 m，b 的值；（ 2）已知点 P（ a，0）（ a＞ 0）是 x 轴上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝ x+b 于点 M，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当 a＝4 时，求 MN 的长；②若 MN＞ PN，联合图象，直接写出 a 的取值范围．23．如图，在平面内给定△ABC， AB ＝AC，点O 到△ ABC 的三个极点的距离均等于c（ c 为常数），到点 O 的距离等于 c 的全部点构成图形G，过点 A 作 AB 的垂线交BC 于点 E，交图形 G 于点 D，延伸 DA，在 DA 的延伸线上存在一点F，使得∠ ABF ＝∠ ABC．（ 1）依题意补全图形；（ 2）判断直线BF 与图形 G 交点的个数并证明；（ 3）若 AD ＝ 4， cos∠ABF ＝，求DE的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2﹣ 4ax ﹣2a （ a ≠0）的对称轴与x 轴交于点 A ，将点A 向右平移2 个单位长度再向上平移3 个单位长度获得点B ．（ 1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（ 2）已知点C （ 1，﹣ 2a ）．若抛物线与线段BC有公共点，联合函数图象，求a 的取值范围．25．如图 1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ BC ，点 D 是射线 CB 上一点，连结AD ，过D 作 DE ⊥AD 交射线 AB 于点 E ，以 A 为旋转中心，将线段AD 绕点 A 逆时针旋转90°得线段 AF ，过点 F 作 FG ⊥ AF 交 AC 的延伸线于点G ，连结 EG ．（ 1）如图 1，点 D 在 CB 上．① 依题意补全图 1；② 猜想 DE 、 EG 、 FG 之间的数目关系并证明；（ 2）如图 2，点 D 在 CB 的延伸线上．请直接写出 DE 、EG 、FG 之间的数目关系为．参照答案与试题分析一．选择题（共8 小题）1．以下倡议节俭的图案中，属于轴对称图形的是（）A ．B．C．D．【剖析】依据轴对称图形的观点求解．【解答】解： A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项切合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．应选： B．2．华为 Mate 30 5G 系列是近期相当火爆的5G 国产手机，它采纳的麒麟990 5G 芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103 亿个晶体管，将103 亿用科学记数法表示为（）9 9 10D．11A ．1.03× 10B ．10.3× 10 C． 1.03×10 1.03× 10【剖析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，此中 1≤ |a|＜ 10，n 为整数．确立 n的值时，要看把原数变为a 时，小数点挪动了多少位，n 的绝对值与小数点挪动的位数相同．当原数绝对值≥10 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．【解答】解： 103 亿＝ 103 0000 0000＝ 1.03×1010，应选： C．3．以下各式中，计算正确的选项是（）3 2 6 3 2 5 3 2 6 6 3 2A ．a ?a ＝ aB ．a +a ＝ a C．（ a ）＝ a D． a ÷ a ＝ a【剖析】直接利用整式的乘除运算法例、幂的乘方运算法例分别判断得出答案．【解答】解： A、 a 3?a2＝a5，故此选项错误；B、 a 3+a2，没法计算，故此选项错误；C、（a 3）2＝ a6，正确；6 3 3D 、a ÷ a ＝ a ，故此选项错误；应选： C．4．实数 a、b、c 在数轴上的对应点的地点以下图，假如a+b＝ 0，那么以下结论错误的选项是（）A ．|a|＝ |b|B ．a+c＞ 0C．＝﹣1D． abc＞0【剖析】依据 a+b＝ 0，确立原点的地点，依据实数与数轴即可解答．【解答】解：∵ a+b＝ 0，∴原点在a， b 的中间，如图，由图可得： |a|＝ |b|， a+c＞ 0，，abc＜0．因此选项 D 结论错误．应选： D ．5．如图，三角板的直角极点落在矩形纸片的一边上．若∠ 1＝35°，则∠ 2 的度数是（）A ．35°B ．45°C． 55°D． 65°【剖析】求出∠ 3 即可解决问题；【解答】解：∵∠ 1+∠ 3＝ 90°，∠ 1＝ 35°，∴∠ 3＝ 55°，∴∠ 2＝∠ 3＝ 55°，应选： C．6．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（）A ．3B ．4 C． 6 D． 8【剖析】依据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数＝，∴这个正多边形的边数是8．应选： D ．7．若 a+2b＝ 0，则分式（+）÷的值为（A ．B ．C．﹣）D．﹣ 3b【剖析】先化简分式，而后依据【解答】解：原式＝ [＝?＝，a+2b＝ 0，代入求值．]÷∵a+2b＝ 0，∴ a＝﹣ 2b，∴原式＝＝．应选： A．8．以下不等式变形中，必定正确的选项是（）A ．若 ac＞ bc，则 a＞ bB ．若 a＞ b，则 ac 2＞ bc2C．若 ac 2＞ bc2，则 a＞ bD ．若 a＞ 0，b＞ 0，且，则a＞b【剖析】依据不等式的基天性质分别进行判断即可得出答案．【解答】解： A．当 c＜ 0，不等号的方向改变．故此选项错误；B ．当 c ＝ 0 时，符号为等号，故此选项错误；C ．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确；D ．分母越大，分数值越小，故此选项错误．应选： C ．二．填空题（共 8 小题）9．式子在实数范围内存心义，则实数 x 的取值范围是x ≠﹣ 1 ．【剖析】依据分式存心义的条件可得 x+1≠ 0，再解即可．【解答】解：由题意得： x+1≠ 0，解得： x ≠﹣ 1，故答案为： x ≠﹣ 1．10．把 3a 2b ﹣6ab+3b 因式分解的结果是3b （ a ﹣ 1）2．【剖析】原式提取公因式，再利用完整平方公式分解即可．【解答】解：原式＝ 3b （a 2﹣ 2a+1）＝ 3b （ a ﹣ 1） 2，故答案为： 3b （a ﹣ 1）211．请写出一个对于 x 的不等式，使﹣ 2， 3 都是它的解x ≥﹣ 2（答案不独一）．【剖析】写出一个对于 x 的不等式，知足题意即可．【解答】解：依据题意得： x ≥﹣ 2（答案不独一），故答案为： x ≥﹣ 2（答案不独一）12．已知对于 x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝ 0（ m 为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m ＞﹣ 1 且 m ≠ 0 ．【剖析】依据方程有两个不相等的实数根联合二次项系数不为 0，即可得出对于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵方程 mx 2+2x ﹣ 1＝0（ m 为常数）有两个不相等的实数根，∴，即，解得： m ＞﹣ 1 且 m ≠ 0．故答案为： m ＞﹣ 1 且 m ≠0．13．如图，是反比率函数y ＝和 y ＝并分别交两条曲线于A 、B 两点，若（ k 1＜ k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，S △AOB ＝ 2，则 k 2﹣ k 1 的值为 4 ．【剖析】设 A （ a ， b ），B （ c ，d ），代入双曲线获得k 1＝ ab ，k 2＝ cd ，依据三角形的面积公式求出 cd ﹣ ab ＝ 4，即可得出答案．【解答】解：设 A （ a ，b ）， B （ c ， d ），代入得： k 1＝ ab ， k 2＝ cd ，∵ S △AOB ＝ 2，∴ cd ﹣ ab ＝ 2， ∴ cd ﹣ab ＝ 4，∴ k 2﹣ k 1＝4，故答案为： 4．14．如图，用 6 个边长为1 的小正方形结构的网格图，角 α，β的极点均在格点上，则 α+β＝ 45° ．2 2 2 【剖析】依据勾股定理列式求出 EB 、 EC 、 BC ，而后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判断与性质解答，可得答案．由勾股定理得，EB 2＝ 12+22＝ 5，EC 2＝ 12+22＝5，BC 2＝ 12+32＝10，∴ EB 2+EC 2＝ BC 2，∴△ EBC 是直角三角形， ∵ EB ＝ EC ，∴△ EBC 是等腰直角三角形，由SAS可证△ BME ≌△ ANC ，∴∠ α＝∠ EBA，∴∠ α+∠ β＝∠ EBA+∠ β＝45°．故答案为： 45°．15．如图，矩形A BCD 的边长 AD＝ 4，AB ＝3， E 为 AB 的中点， AC 分别与 DE，DB 订交于点 M，N，则 MN 的长为．【剖析】由勾股定理求出AC 长，则 AN＝AC＝ 2.5，证明△ AEM ∽△ CDM ，可求出 AM 长，则 MN 的长可求出．【解答】解：∵矩形ABCD 的边长 AD ＝ 4，AB＝ 3，∴ AC＝ BD＝＝＝5，∴AN＝ AC＝× 10＝ 2.5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥ CD ，AB ＝ CD＝3，∴△ AEM∽△ CDM ，∴＝，∴＝，∴AM ＝，∴MN ＝ AN﹣ AM ＝ 2.5﹣＝．故答案为：．16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．发源于战国期间，在漆器表面，用金色描述花纹的装修方法，常以黑漆作底，也有少量以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描述花纹．现甲、乙两位工匠要达成 A，B，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描述花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）以下：原料原料 A 原料 B 原料 C时间工序上漆10 16 13描述花纹15 8 12 则达成这三件原料的描金工作最少需要54 小时．【剖析】依据剖析，甲按A、 C、 B 的次序，乙半途不会出现停留进行解答即可．【解答】解：甲按 A、 C、 B 的次序，达成这三件原料的描金工作最少需要10+13+16+15 ＝ 54，故答案为： 54三．解答题（共 9 小题）﹣|﹣ 2cos45°+（﹣ 1）2019 ﹣117．计算：（ 3.14﹣π） +|1 +（﹣）【剖析】直接利用零指数幂的性质、特别角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝ 1+﹣1﹣2×﹣1﹣ 3＝1+ ﹣ 1﹣﹣ 1﹣ 3＝﹣ 4．18．解不等式组，并写出不等式组的整数解．【剖析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，而后写出正整数解即可．【解答】解：，解不等式 ① 得， x ≥﹣，解不等式 ② 得， x ＜ 3，因此，不等式组的解集是﹣≤ x ＜3，因此，不等式组的整数解是﹣1、 0、1、 2． 19．先化简，再求值：（﹣1）÷，而后从 0， 1， 2 三个数中选择一个适合的数代入求值．【剖析】先依据分式的混淆运算次序和运算法例化简原式，再选用使分式存心义的x 的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣ ）÷＝?＝，当 x ＝ 0 时，原式＝﹣ 1．20．已知关子 x 的一元二次方程 2﹣（ 2a+2） x+2a+1＝ 0． x（ 1）求证：无论 a 取何实数，该方程都有两个实数根：（ 2）若该方程两个根 x 1，x 2 知足 x 12﹣ x 22＝ 0，求 a 的值【剖析】（ 1）表示出根的鉴别式，配方后获得根的鉴别式大于等于 0，从而确立出方程总有两个实数根；（ 2）先求出方程的两根为 x 1＝ 2a+1， x 2＝ 1，再代入 x 12﹣ x 22＝ 0，获得对于 a 的方程，解方程即可求解．【解答】解：（ 1）证明：（ 1）△＝（ 2a+2 ）2﹣ 4×（ 2a+1）＝ 4a 2，∵ a 2≥ 0，∴ 4a 2＞ 0，∴无论 a 取任何实数，该方程都有两个实数根；（ 2） x 2﹣（ 2a+2）x+2a+1＝0，（ x ﹣ 2a ﹣ 1）（ x ﹣1）＝ 0，x 1＝ 2a+1， x 2＝ 1， ∵ x 122﹣ x 2 ＝0，∴（ 2a+1） 2﹣ 12＝0，解得： a ＝ 0 或 a ＝﹣ 1．21．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，过点交 AD 于点 F ，连结 AE ， CF ．（ 1）求证：四边形 AECF 是菱形；（ 2）连结 OB ，若 AB ＝8， AF ＝ 10，求 OB 的长．O 作EF ⊥ AC交BC于点E ，【剖析】（ 1）依据线段垂直均分线的性质，可得 AF ＝ CF ， AE ＝ CE ， OA ＝ OC ，而后由四边形 ABCD 是矩形，易证得△ AOF ≌△ COE ，则可得 AF ＝ CE ，既而证得结论；（ 2）由勾股定理可求 BE ， AC 的长，由直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（ 1）∵ O 是 AC 的中点，且 EF ⊥AC ，∴ AF ＝ CF ， AE ＝ CE ， OA ＝OC ，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ，∴∠ AFO ＝∠ CEO ，在△ AOF 和△ COE 中，，∴△ AOF ≌△ COE （ AAS ），∴ AF ＝ CE ，∴ AF ＝ CF ＝ CE ＝ AE ，∴四边形 AECF 是菱形；（ 2）如图，∵AB＝ 8， AF ＝AE＝EC ＝10，∴ BE＝＝＝6，∴BC＝ 16，∴ AC＝＝＝8，∵ AO＝ CO，∠ ABC＝ 90°，∴ BO＝AC＝ 4．22．平面直角坐标系xOy 中，将直线y＝x+b 向上平移 2 个单位长度后与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q（ 2，m）．（ 1）求 m，b 的值；（ 2）已知点 P（ a，0）（ a＞ 0）是 x 轴上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝ x+b 于点 M，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当 a＝4 时，求 MN 的长；②若 MN＞ PN，联合图象，直接写出 a 的取值范围．【剖析】（1）将点 Q（ 2，m）代入 y＝中，求出m＝ 2，那么Q（ 2，2），再将Q 的坐标代入 y＝ x+b+2 中，即可求出 b 的值；（ 2）① 当 a＝ 4 时， P（ 4， 0），再求出②当 MN＞ PN 时，存在两种状况，过点M 和P 与N 的坐标，其纵坐标的差就是 MN 的长； y轴的直线在两函数交点的双侧时，列不等式解不等式和由图象可直接得出．【解答】解：（ 1）∵函数 y＝经过点Q（2，m）．∴m＝ 2．∴Q（ 2， 2）．∵直线 y＝ x+b+2 经过点 Q（ 2， 2）．∴2+b+2＝ 2．∴b＝﹣ 2；（ 2）① 如图 1，当 a＝ 4 时， P（ 4， 0）．∵反比率函数的表达式为y＝，直线分析式为y＝ x﹣2．∴M（ 4，2）， N（ 4， 1）．∴MN ＝ 2﹣ 1＝ 1；② ∵点 P（ a， 0）（ a＞ 0）， PM∥ y 轴，∴ M（ a，a﹣ 2）， N（ a，）．由＝ x﹣ 2．解得： x＝ 1+ 或 1﹣（舍）．∴交点 A（ 1+ 分两种状况：①当 0＜a＜ 1+ ，﹣ 1）．时，如图2．∵MN ＞ PN．∴﹣（ a﹣ 2）＞．∴a＜ 2．即当 0＜ a＜ 2 时， MN ＞ PN．②当 a＞1+时，如图3．∵MN ＞ PN．∴a﹣ 2﹣＞．∴a﹣ 2＞．如图 4，函数 y＝a﹣ 2 与 y＝在第一象限的交点为B（ 4， 2）．∴a＞ 4．即a＞4 时， MN ＞ PN．综上， a 的取值范围是0＜a＜ 2 或 a＞ 4．23．如图，在平面内给定△ABC， AB ＝AC，点O 到△ ABC 的三个极点的距离均等于c（ c 为常数），到点 O 的距离等于 c 的全部点构成图形G，过点 A 作 AB 的垂线交BC 于点 E，交图形 G 于点 D，延伸 DA，在 DA 的延伸线上存在一点F，使得∠ ABF ＝∠ ABC．（ 1）依题意补全图形；（ 2）判断直线BF 与图形 G 交点的个数并证明；（ 3）若 AD ＝ 4， cos∠ABF ＝，求DE的长．【剖析】（ 1）由题意补全图形；（2）经过证明 BF 是⊙ O 的切线可得结论；（3）由锐角三角函数可求 BD 的长，由勾股定理可求 AB 的长，经过证明△ ABE ∽△ ADB ，可求 AE 的长，即可求解．O，以 O 为圆心， OB 长为半【解答】解：（ 1）如图，作AB，AC 的垂直均分线交于点径作圆，⊙ O 为图形 G；（2）直线 BF 与图形 G 交点只有一个，原因以下：∵ AD⊥AB ，∴∠ BAD＝ 90°，∴ BD 是直径，∠ ADB+∠ ABD ＝90°，∵ AB＝ AC，∴∠ ACB＝∠ ABC，∵∠ ACB＝∠ ADB ，∠ ABF ＝∠ABC ，∴∠ ABF ＝∠ ADB ，∴∠ ABF+∠ ABD ＝ 90°，∴∠ DBF ＝ 90°，∴ BD⊥ BF，且 OB 是半径，∴ BF 是圆 O 的切线，∴直线 BF 与图形 G 交点的只有一个；（ 3）∵ cos∠ ABF ＝ cos∠ADB ＝＝，∴ BD＝ 5，∴ AB＝＝＝3，∵∠ ABE＝∠ ADB ，∠ BAE＝∠ BAD ＝ 90°，∴△ ABE∽△ ADB ，∴，∴∴ AE ＝，∴ DE ＝ AD ﹣AE ＝．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2﹣ 4ax ﹣2a （ a ≠0）的对称轴与x 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2 个单位长度再向上平移3 个单位长度获得点B ．（ 1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（ 2）已知点 C （ 1，﹣ 2a ）．若抛物线与线段 BC 有公共点，联合函数图象，求a 的取值范围．【剖析】（ 1）利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，从而可得出点A 的坐标，再利用平移的性质可找出点B 的坐标；（ 2）分 a ＞ 0 和 a ＜0 两种状况考虑： ① 当 a ＞ 0 时，察看函数图象联合二点图象上点的坐标特点可得出抛物线与 BC 无交点； ② 当 a ＜ 0 时，察看函数图象联合二点图象上点的坐标特点可得出对于a 的一元一次不等式组，解之即可得出 a 的取值范围．综上，本题得解．【解答】解：（ 1）抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝ 2，∴点 A 的坐标为（ 2， 0）．∵将点 A 向右平移 2 个单位长度，向上平移3 个单位长度，获得点 B ，∴点 B 的坐标为（ 2+2 ，0+3 ），即（ 4， 3）．（ 2）分 a ＞ 0 和 a ＜ 0 两种状况考虑：① 当 a ＞0 时，∵点 C （ 1，﹣ 2a ），抛物线与 y 轴的交点为（ 0，﹣ 2a ），∴抛物线与 BC 为交点；② 当 a ＜0 时，以下图．∴ 16a﹣ 16a﹣ 2a≤ 3，∴ a≥﹣；综上所述： a 的取值范围为﹣≤a＜ 0；25．如图1，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC，点 D 是射线CB 上一点，连结AD，过D 作 DE ⊥AD 交射线 AB 于点 E，以 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得线段AF ，过点 F 作 FG ⊥ AF 交 AC 的延伸线于点 G，连结 EG．（1）如图 1，点 D 在 CB 上．①依题意补全图 1；②猜想 DE、 EG、 FG 之间的数目关系并证明；（ 2）如图 2，点 D 在 CB 的延伸线上．请直接写出DE 、EG、FG 之间的数目关系为EG ＝FG+DE ．【剖析】（ 1）①直接依据题意画出图形，即可得出结论；②先利用等式的性质得出∠DAE ＝∠ FAH，从而判断出△ ADE ≌△ AFH（ ASA），得出 DE＝FH ， AE＝ AH ，再判断出∠ HAG ＝ 45°＝∠ CAB，从而判断出△ AGE≌△ AGH（ SAS），得出 EG＝HG ，即可得出结论；（ 2）同（ 1）的方法即可得出结论．【解答】解：（ 1）①补全图形如图 1 所示，②FG ＝ EG+DE ，原因：过点 A 作 AH ⊥ AB 交 FG 于 H ，∴∠ BAH＝ 90°，由旋转知， AD＝ AF ，∠ DAF ＝ 90°＝∠ BAH，∴∠ DAE＝∠ FAH ，∵DE⊥ AD，FG ⊥ AF，∴∠ ADE＝∠ AFH ＝ 90°，∴△ ADE≌△ AFH（ ASA），∴ DE＝ FH ，AE＝AH，∵在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC，∴∠ CAB＝ 45°，∵∠ BAH＝ 90°，∴∠ HAG＝ 45°＝∠ CAB，∵AG＝ AG，∴△ AGE≌△ AGH（ SAS），∴EG＝ HG，∴FG＝ HG+FH ＝ EG+DE；（2）如图 2，过点 A 作 AH⊥ AB 交 GF 的延伸线于 H，同（ 1）的方法得，△ ADE≌△ AFH （ ASA），∴ DE＝ FH ，AE ＝AH，同（ 1）的方法得，△ AGE≌△ AGH（ SAS），∴ EG＝ HG，∴ EG＝ FG+FH ＝FG +DE，故答案为： EG＝ FG +DE ．。

2024北京广渠门中学初三二模数学试卷和答案

2024北京广渠门中学初三二模数学时间120分钟满分100分一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm ）级．1nm 0.000000001=m ．将0.000000001用科学记数法表示应为（）A. 8110-⨯ B. 9110-⨯ C. 101010-⨯ D. 80.110-⨯3. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（）A. 60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒4. 如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）A. 0a b +<B. 0b a -<C. 22a b >D. 22a b +<+5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（）A.14B.13C. 12D.236. 若关于x 的方程20x x m --=没有实数根，则m 的值可以为（）．A. 1- B. 14-C. 0D. 17. 古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A 望点B ，使视线刚好通过点E ，量出AC 长，即可算得BC 之间的距离．若4cm a =，5cm b =，20m AC =，则BC =（）A. 15mB. 16mC. 18mD. 20m8. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，在AB 上取一点F ，使点B 关于直线EF 的对称点G 落在AD 上，连接EG 交CD 于点H ，连接BH 交EF 于点M ，连接CM ．现有下列结论：①BHG BHC ∠=∠；②GBH BCM ∠=∠；③GD =；④若1AG =，2GD =，则BM =，其中正确的是（）A. ②③④B. ①②③C. ①③④D. ①②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若21xx +有意义，则x 的取值范围是___________．10. 分解因式：2288x x -+= _________．11. 分式方程313x x=-的解为______．12. 如图，O 的弦AB DC 、的延长线相交于点E ，128AOD ∠=︒，40E ∠=︒，则BDC ∠=___．13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤55＜x ≤6.5x ＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．14. 在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值_______．15. 已知9°的圆周角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是_____．16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A ，B B ，C C ，D D ，E E ，A 通过小客车数量（辆）260330300360240在A ，B ，C ，D ，E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______．三、解答题（本题共54分）17. 计算：112cos30||2-⎛⎫︒-++ ⎪⎝⎭18. 解不等式组：147543x x x x +>+⎧⎪-⎨≤⎪⎩19. 已知210x x --=，求2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值．20. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，点E 为边AD 中点，过点E 作AC 的垂线交AB 于点M ，交CB 延长线于点F ．（1）连接BD ，求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）若5FB =，3sin 5F =，求AC 的长．21. 京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？22. 在平面直角坐标系中，函数(0)y kx b k =+≠的图象过点()0,1A -和点()10B ,．（1）求k b 、的值；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y mx m =+>的值大于函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动．【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：cm )的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：序号12345678910杨树叶的长宽比2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7柳树叶的长宽比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差杨树叶的长宽比 2.19m 2.40.0949柳树叶的长宽比 1.511.5n0.0089【问题解决】（1）上述表格中： m = ，n = ；（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，树叶的形状差别较小；②该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm ，宽为5cm 的树叶，这片树叶来自于树的可能性大；（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率．24. 如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是弧BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．（1）求证：BC DE =；（2）P 是»AE 上一点，6AC =，4tan 3∠=BPC ，求BF 的长度．25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（BeijingSubway ）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s （米）与滑行时间t （秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．（1）建立模型①收集数据r （秒）04812162024s （米）256196144100643616②建立平面直角坐标系为了观察s （米）与t （秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．③描点连线请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．④选择函数模型观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．⑤求函数解析式解：设()20s at bt c a =++≠，因为0=t 时，256s =，所以256=c ，则2256=++s at bt ．请根据表格中的数据，求a ，b 的值．验证：把a ，b 的值代入2256=++s at bt 中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．（2）应用模型列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．26. 已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线x t =．（1）当2t =时，①写出b 与a 满足的等量关系；②当函数图象经过点()1,3，()11,x y ，()122,x y +时，求12yy +的最小值；（2）已知点()1,A m -，()3,B n ，()0,C x p 在该抛物线上，若对于x <<034，都有m p n >>，直接写出t 的取值范围．27. 如图，OPQ α∠=，点A 在PQ 上，过点A 作PO 的平行线，与OPQ ∠的平分线交于点B ，M 为PB 的中点，点C 在PM 上，（不与点P M ，重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180α︒-，得到线段AD ，连接BD ．（1）①直接写出线段AP 与AB 之间的数量关系；②用等式表示线段BD ，BM ，MC 之间的数量关系，并证明；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，PO 于点E F ，，过点M 作OP 的垂线，交DC 于点N ．依题意补全图形，用等式表示线段CF ，CN ，NE 之间的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，M 为O 上一点，点()0,2N -．对于点P 给出如下定义：将点P 绕点M 顺时针旋转90°，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 关于点M ，N 的“中旋点”．（1）如图1，已知点()4,0P ，点Q 为点P 关于点M ，N 的“中旋点”．①若点()0,1M ，在图中画出点Q ，并直接写出OQ 的长度为______；②当点M 在O 上运动时，直线y x b =+上存在点P 关于点M ，N 的“中旋点”Q ，求b 的取值范围；（2）点(),0P t ，当点M 在O 上运动时，若O 上存在点P 关于点M ，N 的“中旋点”Q ，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；B 中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；C 中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；故选：D ．2. 【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：90.000000001110-=⨯.故选B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．4. 【答案】D【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a ＜0＜b ，且a ＜b ，∴0a b +>，∴A 选项的结论不成立；0b a ->，∴B 选项的结论不成立；22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5. 【答案】B【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案．【详解】列树状图如下：共有9种等可能的情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种，∴P （两次记录的数字之和为4）=3193=，故选：B ．【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键．6. 【答案】A【分析】根据关于x 的方程20x x m --=没有实数根，判断出△＜0，求出m 的取值范围，再找出符合条件的m 的值．【详解】解：∵关于x 的方程20x x m --=没有实数根，∴△=()()214114m m --⨯⨯-=+＜0，解得：14m <-，故选项中只有A 选项满足，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.7. 【答案】B【分析】根据题意和图形，可以得到4m DE a ==，5m AD b ==，然后根据相似三角形的性质，可以得到BC ．【详解】解：由图2可得，4m DE a ==，5m AD b ==，∵BC AC ED AC ⊥⊥，，∴CD EF ∥，∴ADE ACB ∽，∴DE ADBC AC =，即4520BC =，解得16m BC =．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8. 【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点B 作BK GH ⊥于K ，证明()Rt Rt HL BHK BHC ≌即可判断①；过点M 作MQ GH ⊥于Q ，MP CD ⊥于P ，MR BC ⊥于R ．证明45GBH ∠=︒即可判断②；如图2中，过点M 作MW AD ⊥于W ，交BC 于T ．先证明MG MD =，再证明()AAS BTM MWG ≌即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④．【详解】解：如图1中，过点B 作BK GH ⊥于K ．B ，G 关于EF 对称，EB EG ∴=，EBG EGB ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A ABC BCD ∠=∠=∠=︒，//AD BC ，AGB EBG ∴∠=∠，AGB BGK ∴∠=∠，90A BKG ∠=∠=︒ ，BG BG =，()AAS BAG BKG ∴ ≌，BK BA BC ∴==，ABG KBG ∠=∠，90BKH BCH ∠=∠=︒ ，BH BH =，()Rt Rt HL BHK BHC ∴ ≌，BHG BHC ∴∠=∠，HBK HBC ∠=∠，故①正确，1452GBH GBK HBK ABC ∴∠=∠+∠=∠=︒，过点M 作MQ GH ⊥于Q ，MP CD ⊥于P ，MR BC ⊥于R ．BHG BHC ∠=∠ ，MQ MP \=，MEQ MER ∠=∠ ，MQ MR ∴=，MP MR ∴=，1452BCM MCP BCD ∴∠=∠=∠=︒，GBH BCM ∴∠=∠，故②正确，如图2中，过点M 作MW AD ⊥于W ，交BC 于T ．B ，G 关于EF 对称，BM MG ∴=，CB CD = ，BCM MCD ∠=∠，CM CM =，()SAS MCB MCD ∴ ≌，BM DM ∴=，MG MD ∴=，MW DG ⊥ ，WG WD ∴=，90BTM MWG BMG ∠=∠=∠=︒ ，90BMT GMW ∴∠+∠=︒，90GMW MGW ∠+∠=︒ ，BMT MGW ∴∠=∠，MB MG = ，()AAS BTM MWG ∴ ≌，MT WG ∴=，MC = ，2DG WG =，DG ∴=，故③错误，1AG = ，2DG =，3AD AB TW ∴===，1TC WD TM ===，2BT AW ==，BM ∴==故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≠-【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：10x +≠，∴1x ≠-；故答案为：1x ≠-．【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10. 【答案】22(2)x -【分析】本题考查了因式分解，先提公因式2，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．【详解】解：2288x x -+=()()2224422x x x -+=-，故答案为：()222x -．11. 【答案】32x =-【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．【详解】解：313x x=-33x x =-32x =-，经检验，32x =-是原分式方程的解．故答案为：32x =-．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．12. 【答案】24︒ 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，由圆周角定理求出1642ABD AOD ∠=∠=︒，由三角形外角的性质得到24BDC ABD E ∠=∠-∠=︒．【详解】解： 12ABD AOD ∠=∠ ，128AOD ∠=︒，64ABD ∴∠=︒，40E ∠=︒ ，644024BDC ABD E ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：24︒．13. 【答案】400【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【详解】解：1200×6412864++++＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．故答案为：400．【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键．14. 【答案】2-（答案不唯一）【分析】由题可知A ，B 在两个象限，根据12y y >得到图象位于二、四象限，即0k <给出符合题意的k 值即可．【详解】由题可知A ，B 在两个象限，∵12y y >，∴反比例函数()0k y k x =≠的图象位于二、四象限，∴0k <，即2k =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．15. 【答案】2cm【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此弧所在圆的半径为r ，弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，则18r 1805ππ⨯=，解得，r ＝2，即此弧所在圆的半径为2cm ，故答案为2cm ．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．16. 【答案】B【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．【详解】解：∵330260703303003036030060360240120,26024020-=-=-=-=-=，，，，∴A 收费出口通过的数量小于C 收费出口通过的数量；D 收费出口通过的数量小于B 收费出口通过的数量；E 收费出口通过的数量大于C 收费出口通过的数量；D 收费出口通过的数量大于A 收费出口通过的数量；B 收费出口通过的数量大于E 收费出口通过的数量；∴,B E C A B D A >>>>>，∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B ．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（本题共54分）17. 【答案】2【分析】此题主要考查实数的运算，先代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数次幂、绝对值，然后合并解题即可．【详解】解：原式22=+2=．18. 【答案】<2x -【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：147543x x x x +>+⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②解不等式①得：<2x -，解不等式②得：2x ≤，∴不等式组的解集为<2x -．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】21x x +，1【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．利用分式的混合运算法则将2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 化简将21x x +，再根据题意得到21x x =+，将21x x =+代入化简后的式子求解．【详解】解：2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 21(1)(1)(1)x x x x x x -+=⋅+-21x x +=，210--= x x ，21x x ∴=+，∴原式221x x==．20. 【答案】（1）见详解（2）12【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明AB CB =，推导四边形ABCD 为菱形，易知AC BD ⊥，进而证明EF BD ∥，即可证明四边形BDEF 是平行四边形；（2）首先证明ADO F ∠=∠，5DE FB ==，易得3sin sin 5F ADO =∠=，在Rt AOD 中，借助三角函数解得6OA =，然后根据“平行四边形对角线相互平分”的性质即可获得答案．【小问1详解】证明：连接BD ，交AC 于点O ，如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAC BCA ∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，∴BAC DAC ∠=∠，∴BAC BCA ∠=∠，∴AB CB =，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，又∵AC EF ⊥，∴EF BD ∥，∵AD BC ∥，即∥ED FB ，∴四边形BDEF 是平行四边形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形BDEF 是平行四边形，AC BD ⊥，∴ADO F ∠=∠，5DE FB ==，∴3sin sin 5F ADO =∠=，∵点E 为边AD 中点，∴210AD DE ==，∴在Rt AOD 中，3sin 5OA ADO AD ∠==，即3105OA =，解得6OA =，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴12OA OC AC ==，∴22612AC OA ==⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．21. 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为x 千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为(27.5)x -千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为x 千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为(27.5)x -千米，由题意得：27.517301160x x --=+，解得：133.5x =，133.58930111602x ∴==++，答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．22. 【答案】（1）11b k =-⎧⎨=⎩（2）15m ≤≤【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．（1）通过待定系数法将()0,1A -，()10B ,代入解析式求解．（2）解不等式2mx kx b +<+，然后分10m -≥和10m -<两种情况讨论即可．【小问1详解】解：将()0,1A -，()10B ,代入解y kx b =+得，10b k b =-⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】解：∵11k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为1y x =-，不等式31mx x +>-得，()14m x ->-，当10m -≥时，41x m>-，∴10411m m-≥⎧⎪⎨≤-⎪-⎩，当10m -<时，41x m<-，不合题意，舍去；解得：15m ≤≤．23. 【答案】（1）2.15；1.5（2）①柳；②杨（3）16【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差等统计量，用列表法或树状图法求概率．掌握相关定义是关键．（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）①根据题目给出的方差判定即可；②根据树叶的长宽比判定即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，则其中位数是第5和第6的平均数，即：2.1 2.2 2.152+=；柳树叶的长宽比的众数为1.5；故答案为：2.15，1.5；【小问2详解】解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；故答案为：柳；②∵该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm ，宽为5cm 的树叶，则长宽比为2.3，∴这片树叶来自于杨树的可能性大；故答案为：杨；【小问3详解】四名同学用A ，B ，C ，D 表示，其中A 表示小颖，B 表示小娜，根据题意，列表如下：AB C D A(),A B (),A C (),A D B(),B A (),B C (),B D C(),C A (),C B (),C D D (),D A (),D B (),D C 由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．∴P （小颖和小娜同时被选中的概率）21126==．24. 【答案】（1）见详解（2）2【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出BE BD =，得到»»BC DE =；由勾股定理求出OF 的长．（1）由垂径定理推出 BE BD =，得到»»BC DE =，推出BC DE =；（2）由锐角的正切求出8BC =，由勾股定理求出10AB ==，由垂径定理得到DF =142DE =由勾股定理求出3OF ==，即可得到532BF OB OF =-=-=．【小问1详解】证明：∵D 是 BC 的中点，CD BD ∴=，DE AB ∵⊥，BE BD ∴=，»»BC DE ∴=，BC DE ∴=；【小问2详解】解：连接OD ，∵AB 是圆的直径，90ACB ∴∠=︒，A P ∠=∠ ，4tan tan 3A P ∴∠=∠=，43BC AC ∴=，6AC = ，8BC ∴=，10AB ∴==，AB DE ⊥ ，11422DF DE BC ∴===，152OD AB ==Q ，3OF ∴==，532BF OB OF ∴=-=-=．25. 【答案】（1）③见解析；④二次；⑤14a =，16b =-（2）32，14【分析】（1）③根据题意连线即可求解；④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；⑤待定系数法求解析式即可求解；（2）根据二次函数的解析式，当0s =时，解得32t =，进而求得31t =时的函数值，即可求解．【小问1详解】解：③如图．④可能是二次函数图象，故答案为：二次；⑤设()20s at bt c a =++≠，因为0=t 时，256s =，所以256=c ，则2256=++s at bt ．把()4,196和()8,144代入可得，196164256144648256a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：14a =，16b =-，21162564s t t =-+，【小问2详解】应用模型：当0s =时，210162564t t =-+，解得32t =，当31t =时，14s =；当32t =时，0s =，()11044m -=．故答案为：32，14．【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．26. 【答案】（1）①4b a =-；②6（2）332t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；（2）由题意可知点()1,A m -在对称轴的左侧，点()3,B n ，()0,C x p 在对称轴的右侧，点到A 对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案．【小问1详解】解：①当2t =时，对称轴为直线2x =．∴22b x a=-=，∴4b a =-；②由二次函数的性质可知，当()11,x y ，()122,x y +关于对称轴对称时12y y +取最小值，对称轴为直线2x =，点()1,3关于对称轴的对称点为()3,3，∴()11,x y 与点()1,3重合，()122,x y +与点()3,3重合时，12y y +取最小值，最小值为：336+=．【小问2详解】解： ()20y ax bx c a =++>，∴抛物线开口下上，013x -<<，m p n >>，∴点()1,A m -在对称轴的左侧，点()3,B n 在对称轴上或对称轴的右侧，()0,C x p 在对称轴的右侧，点到A 对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，∴03(1)t t x t ≤⎧⎨-->-⎩，解得0132x t -<≤， x <<034，∴013122x -<<，∴332t ≤≤．27. 【答案】（1）①AP AB =；②BD MC BM +=，证明见解析（2）图见解析，CN NE CF =+，理由见解析【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出PBA BPA ∠=∠，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出BAQ OPQ α∠=∠=，推出180PAB α∠=︒-，由旋转的性质可得：180CAD α∠=︒-，AC AD =，求出PAC BAD ∠=∠，证明()SAS PAC BAD ≌，得出BD PC =，再由M 为PB 的中点得出=BM PM ，即可得证；（2）根据题意补全图形即可，在PO 上截取PH BE =，连接CH ，证明()SAS PCH BDE ≌得出PH DE C BE C D H ∠=∠=，，结合平行线的性质得出CF CH DE ==，由题意得出MN AB ⊥，在BM 上截取BI BD =，由（1）可得：BD CM BM +=，求出CM IM =，证明()SAS BEI BED ≌，得出EI ED =，推出BE 垂直平分ID ，即ID AB ⊥，从而得出MN ID ∥，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案．【小问1详解】解：①由题意得：OP AB ∥，OPB PBA ∴∠=∠，PB 平分OPQ ∠，OPB BPA ∴∠=∠，PBA BPA ∴∠=∠，AP AB ∴=；②BD MC BM +=，证明如下：由题意得：OP AB ∥，BAQ OPQ α∴∠=∠=，180180PAB BAQ α∴∠=︒-∠=︒-，由旋转的性质可得：180CAD α∠=︒-，AC AD =，PAB CAD ∴∠=∠，PAB CAB CAD CAB ∴∠-∠=∠-∠，即PAC BAD ∠=∠，AP AB = ，()SAS PAC BAD ∴ ≌，BD PC ∴=，M 为PB 的中点，MB MP ∴=，DB CM PC CM PM BM ∴+=+==；【小问2详解】解：补全图形如图所示：，CN NE CF =+，理由如下：在PO 上截取PH BE =，连接CH ，由（1）可得()SAS PAC BAD ≌，APC ABD ∴∠=∠，BD PC =，PB 平分OPQ ∠，OPB BPA ∴∠=∠，HPC EBD ∴∠=∠，()SAS PCH BDE ∴ ≌，DE CH ∴=，PHC BED ∠=∠，OP AB ∥，OFE BED ∴∠=∠，HFC FHC ∴∠=∠，CF CH DE ∴==，OP AB ∥，MN OP ⊥，MN AB ∴⊥，在BM 上截取BI BD =，由（1）可得：BD CM BM +=，BI IM BM += ，CM IM ∴=，OP AB ∥，OPB PBA ∴∠=∠，OPB BPA APC ABD ∠=∠∠=∠ ，，ABD PBA ∴∠=∠，()SAS BEI BED ∴ ≌，EI ED ∴=，BE ∴垂直平分ID ，即ID AB ⊥，MN ID ∴∥，1CM CN IM ND∴==，CN ND NE ED NE CF ∴==+=+．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．28. 【答案】（1②22b -≤≤（2）35t ≤≤，35t +≤≤+【分析】（1）①过P '作P A y '⊥轴，交y 轴于A ，作QB y ∥轴，BN y ⊥轴，MAP POM ' ≌，可得AP OM '=，AM OP =，1AP AN '==，从而可求NP '=，即可求解；②由①得：Q 点的运动轨迹是以O '为圆心，OQ =为半径的圆，根据图形即可求解．（2）设在第四象限的(),M m n ，将OP 以O 为中心顺时针旋转90︒到OG ，连接GP '，过M 作ME x ⊥轴，交x 轴于E ，过P '作P F MF '⊥，交EM 的延长线于F ，交y 轴于R ，可证FP M EMP ' ≌，可得FM EP =，FP EM '=，可求P R m n '=-，RG m n =+，GP '=P '的运动轨迹是以G 为半径的圆，G 在y 轴上运动，延长GN 至H ，使GN NH =，连接QH，可证NHQ NGP ' ≌，从而可得Q 的运动轨迹是以H 为半径的圆，H 在y 轴上运动，①当P 在1P 的右侧时，②当P 运动到1P 时，③当P 在1P 与2P 之间（不含1P 、2P ）时，④当P 运动到2P 时，⑤当P 在2P 与3P 之间（不含2P 、3P ）时，⑥当P 运动到3P 时，⑦当P 在3P 与4P 之间（不含3P 、4P ）时， ⑧当P 运动到4P 时， ⑨当P 在4P 的左侧时，根据图形即可求解．【小问1详解】解：①如图，Q 点如图所示，过P '作P A y '⊥轴，交y 轴于A ，作QB y ∥轴，BN y ⊥轴，90MAP NBQ MOP '∴∠=∠=∠=︒，NP NQ '=，BN AP '∥，BQN ANP '∴∠=∠，BNQ AP N '∠=∠，90PMO OPM ∴∠+∠=︒，由旋转得：90PMP '∠=︒，MP MP '=，90AMP PMO '∴∠+∠=︒AMP OPM '∴∠=∠，在MAP ' 和POM 中AMP OPMMAP MOP MP MP ∠=∠⎧⎪∠=='∠'⎨'⎪⎩，∴MAP POM ' ≌(AAS )，AP OM '∴=，AM OP =，()0,1M ，()4,0P ，()0,2N -，1OM ∴=，4OP =，2ON =，1'∴=AP ，4AM =，1AN AM OM ON ∴=--=，1AP AN '∴==，NP '∴==45AP N ANP '∴∠=∠=︒，45BQN BNQ ANP '∴∠=∠=∠=︒，45ONQ NOQ ∴∠=∠=︒，OQ NQ ∴=，Q 是P '关于N的对称点，NQ NP '∴==．②如图，由①得：Q 点的运动轨迹是以O '为圆心，OQ =为半径的圆，当0b >时，直线CD ：y x b =+与O ' 相切于1Q ，连接1OQ ，∴1OQ CD ⊥，OC OD b ==，1OQ =，11CQ DQ ∴=，11CQ OQ ∴==，12OC ∴==，当0b <时，同理可求直线y x b =+与O ' 相切时，2ON b =-=，当0b =时，同理可求直线y x b =+与O ' 相一定有交点．综上所述：22b -≤≤．【小问2详解】解：如图，设在第四象限的(),M m n ，将OP 以O 为中心顺时针旋转90︒到OG ，连接GP '，过M 作ME x ⊥轴，交x 轴于E ，过P '作P F MF '⊥，交EM 的延长线于F ，交y 轴于R ，90MEP P FM '∴∠=∠=︒，90FMP FP M ''∴∠+∠=︒，90PMP '∠=︒ ，90EMP FMP '∴∠+∠=︒，FP M EMP '∴∠=∠，在FP M ' 和EMP 中FP M EMPMEP P FM P M PM∠=∠⎧⎪∠=∠=''⎨'⎪⎩，∴FP M EMP ' ≌(AAS )，FM EP ∴=，FP EM '=，(),0P t ，(),M m n ，FM EP t m ∴==-，FP EM n '==-，OE m =，EF EM FM t m n ∴=+=--，P R FP OE m n ''=+=-，()RG OG EF t t m n m n =-=---=+，GP '∴===，OM ==，1OM =，GP '∴=P '∴的运动轨迹是以G 为半径的圆，G 在y 轴上运动，延长GN 至H ，使GN NH =，连接QH ，在NHQ V 和NGP ' 中NQ NP HNQ GNP NH NG''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NHQ NGP '∴ ≌(SAS)，HQ GP '∴==Q ∴的运动轨迹是以H 为半径的圆，H 在y 轴上运动；①如图，当P 在1P 的右侧时，H 与O 外离没有交点，∴此时Q 不存在；②如图，当P 运动到1P 时，H 与O 外切，∴此时切点Q 是P 的“中旋点”，∴3NG NH NQ HQ ==+=，5OP OG ON NG ∴==+=，5t ∴=③如图，当P 在1P 与2P 之间（不含1P 、2P ）时，∴此时H 与O 相交，P 有两个“中旋点”；④如图，当P 运动到2P 时，O 内切与H ，∴此时切点Q 是P 的“中旋点”，1OH HQ OQ ∴=-=-，∴NG NH ON OH ==+，211=+-=，OG ON NG∴=+213=++=+3t ∴=⑤如图，当P 在2P 与3P 之间（不含2P 、3P ）时，∴此时O 内含于H ，此时没有交点，Q 点不存在；⑥如图，当P 运动到3P 时，O 内切与H ，。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。