2013中考数学50个知识点专练27答案 直线与圆
中考数学考前50天得分专练27
中考数学考前50天得分专练(27)一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)1．如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数, 那么运出5吨大米表示为（ ） A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 2．化简()a b a b ++-的最后结果是（ ）Ａ．2a +2b Ｂ．2b Ｃ．2a Ｄ．03．在生活和生产实践中,我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小．小亮在观察左边的热水瓶时，得到的左视图是（ ）4．2008年5月12日，在四川省汶川县发生8．0级特大地震，能够准确表示汶川这个地点位置的是（ ） A ．北纬31o B ．东经103．5o C ．金华的西北方向上 D ．北纬31o ，东经103．5o 5．金华火腿闻名遐迩．某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分装质量为500克的火腿心片．现从它们分装的 火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示,你认为包装质量最稳定的切割包装机是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到 古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD , 且测得AB =1．2米，BP =1．8米，PD =12米,A ． 6米B ． 8米C ． 18米D ．24米 7．如图, 已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ,若∠D 的度数是50o ,则∠C 的度数是（ ）A ．50oB ． 40oC ． 30oD ．25o8．在a 2□4a □4的空格□中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到 的代数式中,能构成完全平方式的概率是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 9．某抗震蓬的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径为10米,母线长为6米, 为了防雨,需要在它的顶部铺上油毡,所需油毡的面积至少是（ ） A ．30米2 B ．60米2 C ．30π米2 D ．60π米210．三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线．现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正A B C D 主视方向（第7题图）（第6题图）确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分) 11．已知分式11x x +-的值为0,那么x 的值为 ． 12．相交两圆的半径分别为6cm 和8cm ，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm ． 13．如果x ＋y =－4,x －y =8,那么代数式x 2－y 2的值是 ． 14．如图是我市某景点6月份1～10日每天的最高温度折线统计图．由图中信息可知该景点这10天最高温度的中位数 是 ℃．15．把两块含有30o 的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C 、B 、E 在同一直线上,连结CD ,若AC =6cm ,则△BCD 的面积是 cm 2． 16．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，…，依此类推,由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a （n ≥3）．则5a 的值是 ,当3451111n a a a a +++⋅⋅⋅+的结果是197600时，n 的值．三、解答题17．(本题6分)（1）计算:102(2008)π---（2）解不等式：5x -3＜1-3x（1） （2） （3） （4） ……（第15题图）18．(本题6分)如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD．（1）求证: △ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是(直接写出结论,不需证明)．19．(本题6分)在平面直角坐标系中, △ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（－2,2）, 现将△ABC平移,使点A变换为点A',点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的像△A'B'C'（不写画法) ，并直接写出点B′、C′的坐标: B′（）、C′ （）；（2）若△ABC 内部一点P的坐标为（a,b），则点P的对应点P ′的坐标是（）．（温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!）20．(本题8分)如图, CD切⊙O于点D,连结OC, 交⊙O于点B,过点B作弦A B⊥OD，点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠COD=45．求：（1）弦A B的长；（2）CD的长；（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字, sin53．13o≈0．8, ≈3．142）．DAB CDO参考答案一、11．-1 12．答案不唯一，只要填一个大于2且小于14的实数均可13．-32 14．2615．27 16．30,199（各2分）三、解答题17．(本题6分)解：（1）原式=12－12……（2分）=1 ……（1分）（2）移项得5x+3x＜1+3，……（1分）合并同类项得8x＜4，……（1分）两边同除以8得x＜12……（1分）18．(本题6分)（1）证明：在△ABC和△DCB中，AB DCAC DBBC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩……（3分）∴△ABC≌△DCB（SSS）……（1分）（2）等腰三角形……（2分）19．(本题6分)解：（1）如图，△A'B'C'就是所求的像……（3分）(－4, 1) 、（－1，－1）……（2分）(2) (a－5，b－2) ……（1分）20．(本题8分)解：(1)∵ AB⊥OD，∴∠OEB=900在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×45=8由垂径定理得AB=2BE=16所以弦AB的长是16 ……（2分）(2)方法（一）在Rt△OEB中，==6．∵CD切⊙O于点D, ∴∠ODC=90, ∴∠OEB=∠ODC．∵∠BOE=∠COD, ∴△BOE∽△COD,∴CD ODBE OE=, ∴1086CD=, ∴CD=403．所以CD的长是403……（3分）方法（二）由sin∠COD=45可得tan∠COD=43,在Rt△ODC中，tan∠COD=CDOD,∴CD=OD•tan∠COD=10×43=403……（3分）(3)连结OA．在Rt△ODC中，∵sin53．13o ≈0．8 ∴∠DOC=53．13o ∴∠AOB=106．26o ，∴劣弧AB的长度106.26 3.14210180180n Rlπ⨯⨯==≈18．5 ……（3分）。
历年初三数学中考辅导之—直线和圆的位置关系二及答案
中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(二)一、学习目标1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
2、理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法。
3、能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论的题设和结论，并能应用它们解有关的计算和证明题，会作两条线段的比例中项。
二、基本内容及应注意的问题1、“切线长”是切线上一条线段的长度，具有数量的特征；而“切线”是一条直线，它是向两方无限延展的，不可以度量长度。
2、切线长定理包含两个结论，如图(1)所示，PA、PB切⊙O于点A、B，则有：(1)“切线长相等”，即PA＝PB。
(2)“圆心和这点的连线平分两切线的夹角”，即：PO平分∠APB；根据PA=PB，PO平分∠APB，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分AB、＝以及∆OAC∽∆APC∽∆OPA等结论，由此可得，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例，垂直关系的重要依据。
3、讲过切线长定理以后，已知一条切线时，通常有如下五个性质可用：(1)切线和圆有且只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于该圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
若已知一个圆的两条切线相交，则又多了“切线长相等”的性质；若已知一个圆的两条切线互相平行，则可得出“圆上两个切点的连线为直径”的性质。
4、弦切角有两个基本特征：(1)顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；(2)一边和圆相交，另一边和圆相切，实际上就是角的一边是过切点的一条弦（所在的直线），角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
5、弦切角定理与圆周角定理的证明思路类似，都分三种情况，而且在证明过程中利用了圆周角的推论。
在学习时一定要注意与圆周角定理对比，注意它们的内在联系。
2013年中考数学专题复习(圆)含答案
2013年中考数学专题复习（圆）含答案一、选择题1、（2007山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B（A ）9π（B ）18π （C ）27π（D ）39π2、（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中A O B ∠为120 ，O C 长为8cm ，C A 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ） A ．264πcm B ．2112πcmC ．2144πcmD ．2152πcm解：S ＝212020360π⨯－21208360π⨯＝2112πcm 选（B ）。
3、（2007山东临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。
AA 、552 B 、554 C 、352 D 、3544、（2007浙江温州）如图，已知A C B ∠是O 的圆周角，50A C B ∠=︒，则圆心角A O B ∠是（ ）DA ．40︒ B. 50︒ C. 80︒ D. 100︒ 5、（2007重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C（A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切 6、（2007山东青岛）⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．CA ．相离B ．相切C ．相交D ．内含7、（2007浙江金华）如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB∠的度数为（ ）D A ．34B ．56C ．60D ．688、（2007山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）。
CA 、πB 、3πC 、4πD 、7π 9、（2007山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。
中考数学思维方法讲义【第13讲】直线和圆的位置关系(含答案)
状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级第13讲 直线和圆的位置关系圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。
【知识纵横】§Ⅰ直线和圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ．⑴直线与圆相交⇔d __ ____ r ； ⑵直线与圆相切⇔d __ ____ r ； ⑶直线与圆相离⇔d __ ____r 。
§Ⅱ圆的切线：1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___； 2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；二“算”：算算圆心到直线的距离d 和圆的半径为r 之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。
4．四条性质：切线有许多重要性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____； ⑵过切点的半径垂直于_ ____；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。
5．弦切角定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论 ：a )两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b )弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。
【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设OP x =，则x 的取值范围是__________．2、射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）．变式一：1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =43D在线段AC 上（不与点A 、C 重合），过点D 作DE ⊥AC 交AB 边于点E ． （1）当点D 运动到线段AC 中点时，DE = ；（2）点A 关于点D 的对称点为点F ，以FC 为半径作⊙C ，当DE = 时，⊙C 与直线AB 相切．2、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD+ BC ，AB 是⊙O 直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为_____ _．考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD 垂直平分⊙O 的半径OA 于点B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结AE ，交CD 于点F ． （1）若⊙O 的半径为8，求CD 的长； （2）证明：PE =PF ；（3）若PF =13，sinA =513，求EF 的长．O AD变式二：如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=45，求BF的长．【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长．变式三：如图，Rt ABC△中，90ABC∠=°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF CF=，求tan ACO∠的值．EDOAB C12NGEOBMCEBAOFD【思维拓展】【例6】如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．【例7】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．（1）当OC=22，求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞22CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是AC所在⊙D的切线；（2）当MA=34时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．ACM【课后测控】1、如图1，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．2、如图2，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F ．已知BD =2，设AD =x ，CF =y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．图1 图2 图33、如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．4、如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上。
直线与圆练习题(带答案解析)
直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得00b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A）最小值为1 5（B）最小值为55（C）最大值为15（D）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a为横坐标，b为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b+表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b+的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y-+=的距离是（）．A．21B．23C．22D．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d--+==+-，故选D。
2013年中考数学100份试卷分类汇编：直线和圆的位置关系
2013中考全国100份试卷分类汇编直线和圆的位置关系1、（2013•常州）已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关2、（13年山东青岛、7）直线l 与半径r 的圆O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ）A 、6<rB 、6=rC 、6>rD 、6≥r 答案：C解析：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C 。
3、（2013•黔东南州）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径1），D （﹣2，﹣2），E （0，﹣3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图．专题：探究型．分析：（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；（2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．解答：解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；（2）连接OD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥PE，∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．圆的切线1、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B． C．6 D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC 为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．2、(2013年武汉)如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则⋂DEA．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-π答案：B解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，P 第10题图在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧DE的长为：(1802)180y Rπ-＝()9090Ry-π选B。
2013年中考数学专题复习第27讲(30-27)：相似图形(含详细参考答案)
2013年中考数学专题复习第二十七讲相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关即比值没有2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L ACAB= ≈ 】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段例1 （2012•福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=1802A-∠=72°．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°．∴∠A=∠DBC=36°，又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC，∴ACBC=BCCD，设AD=x，则BD=BC=x．则11xx x =-，解得：x=152+（舍去）或152-．故x=152-．如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD ，∴E 为AB 中点，即AE=12AB=12． 在Rt △AED 中，cosA=12512AEAD =-=514+． 故答案是：152-；514+． 点评：△ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解． 对应训练2．（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ） A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+考点：黄金分割．分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD 的长．解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C 公共， ∴△ABC ∽△BDC ，且AD=BD=BC．设BD=x，则BC=x，CD=2-x．由于BC AC CD BC=，∴22xx x=-．整理得：x2+2x-4=0，解方程得：x=-1±5，∵x为正数，∴x=-1+5．故选C．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．考点二：相似三角形的性质及其应用例2 （2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC 与△DEF的面积之比为．考点：相似三角形的性质．专题：探究型．分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴三角形的相似比是3：1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．故答案为：9：1．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．对应训练2．（2012•沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点：相似三角形的性质．专题：应用题．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，∵△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长=6×43=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 （2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=14 BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．分析：首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC= 14BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解答：解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=14 BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．例4 16．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=2BE，即可求得HD：GC：EB的值；（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．解答：解：（1）连接AG，∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，∴A ，G ，C 共线，AB-AE=AD-AH ， ∴HD=BE ， ∵AG=sin 45AE =2AE ，AC=sin 45AB=2AB ，∴GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE ）=2BE ， ∴HD ：GC ：EB=1：2：1。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程(x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。
-____ 2 2 2说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件-确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
(二) 圆的一般方程2 2 2 2 2 2 2 2将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r。
可见，任何一个2圆的方程都可以写成 ：X2y Dx Ey F 02 2问题：形如xy DxEy F 0的方程的曲线是不是圆？2 2FD 2E 2 J D ‘ E 4F将方程X y Dx Ey左边配方得：2)2) 2D E0表示以 22为圆2 2(1)当 D E 4F >° 时，方程(1 )与标准方程比较，方程xyDx Ey FD 2E 2 4F心，以2为半径的圆。
DE DE⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計2 2(3)当D 2E 24F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：2 2当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：22(1) X 和y 的系数相同，不等于零；(2) 没有xy 这样的二次项。
(三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。
初中数学一轮复习专题大纲
50个知识点专题专练大全
1、实数及其运算
2、整式及其运算
3、因式分解
4、分式及其运算
5、二次根式及其运算
6、一次方程与方程组
7、一元二次方程
8、列方程组解应用题
9、不等式与不等式组
10、不等式
11、函数及其图象
12、一次函数及其图象
13、反比例函数及其图象
14、二次函数及其图象
15、函数的应用
16、数据的收集与整理
17、统计的应用
18、简单随机事件的概率
19、概率的应用
20、线段、角、相交线和平行线
21、三角形与全等三角形
22、特殊三角形
23、平行四边形
24、矩形
25、梯形26、圆的基本性质
27、直线与圆
28、圆的弧长和图形面积的计算
29、几何作图
30、视图与投影
31、图形的轴对称
32、图形的旋转
33、图形的平移
34、图形的相似
35、用坐标表示图形变换
36、锐角三角函数和解直角三角形
37、代数应用性问题
38、代数应用性问题
39、代数应用性问题
40、探索型问题
41、开放型问题
42、方案设计型问题
43、阅读理解型问题
44、分类讨论型问题
45、方程型综合问题
46、函数型综合问题
47、方程与函数相结合型综合问题
48、几何型综合问题
49、方程、函数与几何相结合型题
50、中考一模。
中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案
中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。
(华师大版)九年级数学下：27.2.2直线与圆的位置关系(含答案)
27.2.2直线与圆的位置关系一．选择题（共8小题）1．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断2．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．54．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次5．已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离或相切D．相切或相交6．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤1 B．C．D．7．已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有交点，则直线AB到⊙O的距离可能为（）A．5.5 B．6 C．4.5 D．78．已知圆O的半径为3cm，点P是直线l上的一点，且OP=3cm，则直线l与圆O的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定二．填空题（共6小题）9．在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），那么圆O与x轴的位置关系是_________．10．如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，那么直线l和⊙O的公共点有_________个．11．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为_________．12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为_________．13．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切．14．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是_________．三．解答题（共6小题）15．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．17．已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．18．已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4cm，求OC的长．19．在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，连接AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_________；并证明你的结论．（2）若OB=BD=2，求CE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2．（1）若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？（2）当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？27.2.2直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．解答：解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选：A．2．解答：解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），∴OA=3，OB=，由勾股定理得：AB=2，∠DAM=30°，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．故选：C．3．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．4．解答：解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选：B．5．解答：解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．解答：解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴当直线AB与⊙O相切时，切点为C，连接OC，∴△POC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为1，∴OC=PC=1，∴OP==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（﹣，0），∴﹣≤x≤．故选D．7．解答：解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有交点，∴d≤5，故选C．8．解答：解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D．二．填空题（共6小题）9．解答：解：∵圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），∴圆的半径为=5，∵O到x轴的距离为5，∴圆O与x轴的位置关系是相切，故答案为：相切．10．解答：解：∵圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，∴直线与圆O相切，∴直线l和⊙O的公共点有1个，故答案为：1．11解答：解：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0，解得，m=4，故答案为：4．解答：解：令y=x+=0，解得：x=﹣，令x=0，解得：y=，所以直线y=x+与x轴交于点（﹣，0），与y轴交于点（0，），设圆心到直线y=x+的距离为d，则d==1，∵圆的半径r=1，∴d=r，∴直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切．13．解答：解：∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA==4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5﹣3=2cm．故答案为：2．14．解答：解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是=13．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12．故半径r的取值范围是r=或5＜r≤12．故答案为：r=或5＜r≤12．三．解答题（共6小题）15．解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=90°∴直线BD与⊙O相切．（2分）（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°∵AD：AO=6：5∴cosA=AD：AE=3：5（3分）∵∠C=90°，∠CBD=∠Acos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）∴AH=DH=AD∵AD：AO=6：5∴cosA=AH：AO=3：5（3分）∵∠C=90°，∠CBD=∠A∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，∵BC=2，∴BD=．16．解答：解：⊙A与直线BC相交．过A作AD⊥BC，垂足为点D．∵AB=AC，BC=16，∴BD=BC=×16=8，在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，∴AD===6，∵⊙O的半径为7，∴AD＜r，⊙A与直线BC相交．17．解答：解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．（1）当r=12cm时，r=PC，（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．18．解答：解：可分两种情况，①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，∵EF=cm，∴EM=2cm，在Rt△EPM中，PM==1cm，∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，∴PN=2PM=2cm，∴NC=PN+PC=5cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×=cm．②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，由①可知，PN=2cm，∴NC=PC﹣PN=1cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×=cm．综上所述，OC的长为cm或cm．19．解答：解：（1）直线FC与⊙O的位置关系是相切；证明：连接OC∵OA=OC，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°∴∠3=∠2，∴OC∥AF，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC与⊙O相切；（2）在Rt△OCD中，cos∠COD=∴∠COD=60°，在Rt△OCD中，CE=OC•sin∠COD=．20．解答：解：（1）作CM⊥AB，垂足为M在Rt△ABC中，AB===5∵AC•BC=AB•CM∴CM=∵＞2∴⊙O与直线AB相离．（2）如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连接ON 则ON⊥AB∴ON∥CM∴△AON∽△ACM∴=设OC=x，则AO=3﹣x∴=∴x=0.5∴当CO=0.5时，⊙O与直线AB相切．。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
人教版2023年中考数学专题复习练习直线与圆的位置
第27 讲直线与圆的位置一．切线的性质（共1小题）1．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE 交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD=35，CE＝5，求⊙O的半径．三．切线的判定与性质（共9小题）3．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BÊ的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的半径．4．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；̂的长．（2）若∠A＝60°，AC＝2√3，求BD5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD 交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．6．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是．7．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．8．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交P A于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC=13，BC＝2，AD的长为．9．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．10．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．11．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠F AB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．四．切线与相似三角形（共5小题）12．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF的长．13．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD̂=CD̂，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．14．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．15．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG=√10，求⊙O的半径．16．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BĈ的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD=√14，求线段DM的长．第 27 讲 直线与圆的位置参考答案一．切线的性质（共1小题）1．（1）见解答；（2）2√7．；二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（1）结论：CD 是⊙O 的切线，证明见解析部分；（2）256．；三．切线的判定与性质（共9小题）3．（1）证明见解析；（2）3．； 4．（1）见解析；（2）43π．； 5．（1）证明见解答； （2）⊙O 的半径是4.5．； 6．12013； 7．（1）见解答过程； （2）⊙O 的半径为3．；8．6； 9．（1）见解析； （2）656．； 10．（1）证明见解答；（2）DE ＝6√5．；11．（1）见解析； （2）√2．；四．切线与相似三角形（共5小题）12．（1）见解析；（2）2√10．；13．（1）证明见解答过程； （2）8√155．； 14．（1）见解析； （2）365．； 15．（1）见解答过程；（2）5．；16．（1）见详解； （2）2．；。
中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题专题知识点概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
第27讲 与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆心，以2242D E F+-为半径的圆。
,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有*y 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。
初中数学竞赛：直线与圆(附练习题及答案)
初中数学竞赛：直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°思路点拨 略【例3】 如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由．思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能．专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a， FM=a3，那么△PMB的周长为．2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB= ．3．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是．4．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O的切线交AC于E，要使DE ⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．5．1l、2l表示直线，给出下列四个论断：①1l∥2l；②1l切⊙O于点A；③2l切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( )1 B．2 C．3 D．46．如图，圆心O在边长为2的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是( )A．)12(2- B．)12(2+ C．122- D．122+7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点( )A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个8．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列结论：①CH=CP；②A D=DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是( )A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③⌒⌒9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，(1)求弦AC、AB的长；(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．10．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半径；(3)求sin∠PCA的值．11．(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线l交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、 AD，求证：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在问题(1)中，当直线l向上平行移动与⊙O相切时，其他条件不变．①请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于．13．如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明．(2)当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形．14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3．5D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF为⊙O 的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2)BC=DF ；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．如图，已知△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，则BE AE 的值为( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，已知AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线． 在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ． (1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ；(2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．⌒ ⌒ ⌒⌒18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长；(3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB 于点D ．求证：BDADBC AC 22 20．如图，⊙O ˊ与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心O ˊ的坐标是(1，一1)，半径是5，(1)求A 、B 、C 、D 四点的坐标； (2)求经过点D 的切线的解析式；(3)问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直?若垂直，请写出 证明过程；若不垂直，试说明理由．21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米，当过 P 、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式；(2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：(a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角∠PER的度数(精确到1度)．参考答案。
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2013中考数学50个知识点专练27 直线与圆一、选择题1．(2010·达州)生活处处皆学问．如图，自行车轮所在两圆的位置关系是( C)A．外切 B．内切C．外离 D．内含答案解析自行车前、后两车轮所在两圆没有交点，且前车轮所在圆在后车轮所在圆的外部，故两圆外离．2．(2010·无锡)已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足( D)A．d>9 B．d＝9C．3<d<9 D．d＝3答案解析内切两圆的圆心距d＝R－r＝6－3＝3.3．(2010·宁波)两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是( B) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离答案解析设这两圆的圆心距为d＝7，由5－3<d<5＋3，得知两圆相交．4．(2010·上海)已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A 满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( A)A．相交或相切 B．相切或相离C．相交或内含 D．相切或内含答案解析如图所示，当两圆外切时，切点A能满足AO1＝3；当两圆内切时，切点A能满足AO1＝3；当两圆相交时，交点A能满足AO1＝3.所以选择A.5．(2011·茂名)如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是( D)A ．4B ．8C ．16D ．8 或16 答案解析 当⊙O 2在⊙O 1的右侧时，点O 2向右平移8个单位；当⊙O 2在⊙O 1的左侧时，点O 2向左平移16个单位．二、填空题6．(2011·苏州)如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC ＝3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D .若CD ＝3，则线段BC 的长度等于_____1_____．答案解析 连接OD .∵CD 与⊙O 相切，∴OD ⊥CD . ∵AC ＝3BC ， ∴OA ＝OB ＝BC .在Rt △OCD 中，设OD ＝r ，则OC ＝2r ，r 2＋(3)2＝(2r )2， ∴r ＝1，即BC ＝r ＝1.7．(2011·南充)如图，PA 、PB 是⊙O 是切线，A 、B 为切点， AC 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝25°，则∠P ＝_____50_______度．答案解析 ∵∠BAC ＝25°，OA ＝OB ， ∴∠AOB ＝180°－2×25°＝130°. ∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥BP ，∴在四边形AOBP 中，∠P ＝360°－130°－90°－90°＝50°.8．(2010·株洲)两圆的圆心距d ＝5，它们的半径分别是一元二次方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则这两圆的位置关系是___外切_______．答案解析 解方程x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝4，x 2＝1， ∵x 1＋x 2＝4＋1＝5＝d ，∴两圆外切．9．(2011·南通)已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝33x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ 9.答案解析 如上图，设直线与三个半圆的切点分别是A 、B 、C ，连接AC 1、BC 2、CC 3.∵直线y ＝33x ，∴∠AOC 1＝30°.在Rt AOC 1，AC 1＝r 1＝1，∴OC 1＝2AC 1＝2×1＝2； 在Rt △BOC 2中，BC 2＝r 2，OC 2＝2＋1＋r 2＝3＋r 2， ∵3＋r 2＝2r 2，∴r 2＝3；在Rt △COC 3中，CC 3＝r 3，OC 3＝6＋3＋r 3＝9＋r 3， ∵9＋r 3＝2r 3，∴r 3＝9.10．(2011·衢州)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边AB ＝8 cm.若读得BC 长为a (cm)，则用含a 的代数式表示r 为___________.答案 当0<r ≤8时，r ＝a ；当r >8时，r ＝116a 2＋4解析 ①易知，0<r ≤8时，r ＝a ；②当r>8时，如图．连接OC，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC.连结OA，过点A作AD⊥OC于点D，则ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB. 在直角三角形AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即：r2＝(r－8)2＋a2，整理得：r＝116a2＋4.综上，当0<r≤8时，r＝a；当r>8时，r＝116a2＋4.三、解答题11．(2011·乌兰察布)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F .(1)求证：BD＝BF；(2)若BC＝12，AD＝8，求BF的长．解(1)证明：连接OE，则OE⊥AC，∴∠AEO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CEF＋∠F＝90°.∵∠AED＋∠OED＝90°，∠AED＝∠CEF，∴∠OED＝∠F.又∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF.(2)解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，∴Rt△ABC∽Rt△AOE，∴OEBC＝AOAB.设⊙O的半径是r，则有r12＝8＋r8＋2r，解得r＝8，∴BF＝BD＝16.12．(2011·泰州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N.(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6 cm，AB＝5 cm，BC＝10 cm，求小圆的半径．解(1)N是BC的中点．理由如下：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD.又∵AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON＝r＋5，OB＝r＋6，BN＝5 cm，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB2＝BN2＋ON2，即：(r＋6)2＝(r＋5)2＋52，解得r＝7 cm.∴小圆的半径为7 cm.13．(2011·义乌)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD ＝3，cos ∠BCD ＝34.(1)求证：CD ∥BF ；(2)求⊙O 的半径； (3)求弦CD 的长.解 (1)∵BF 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BF . ∵AB ⊥CD ， ∴CD ∥BF . (2)连接BD .∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠BCD ＝∠BAD ，cos ∠BCD ＝34，∴cos ∠BAD ＝AD AB ＝34.又∵AD ＝3，∴AB ＝4. ∴⊙O 的半径为2.(3)∵cos ∠DAE ＝AE AD ＝34，AD ＝3，∴AE ＝94.∴ED ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝3 74. ∴CD ＝2ED ＝3 72.14．(2010·莆田)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，点D 为劣弧AB 的中点．(1)求证：四边形AOBD 是菱形；(2)延长线段BO 至点P ，交⊙O 于另一点C ，且BP ＝3OB ，求证：AP 是⊙O 的切线．解 证明：(1)连接OD .∵D 是劣弧A B 的中点，∠AOB ＝120°， ∴∠AOD ＝∠DOB ＝60°. 又∵OA ＝OD ，OD ＝OB ，∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形． ∴AD ＝AO ＝OB ＝BD . ∴四边形AOBD 是菱形．(2)连接AC.∵BP＝3OB，OA＝OC＝OB，∴PC＝OC＝OA.∵∠AOB＝120°.∴∠AOC＝60°.∴△OAC为等边三角形．∴PC＝AC＝OC.∴∠CAP＝∠CPA.又∵∠ACO＝∠CPA＋∠CAP，∴∠CAP＝30°，∴∠PAO＝∠OAC＋∠CAP＝90°，∴PA⊥AO.又∵OA是半径，∴AP是⊙O的切线．15．(2011·南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC 的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t (s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．解(1)直线AB与⊙P相切．理由如下：如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝10 cm.∵P 为BC 的中点，∴PB ＝4 cm.∵∠PDB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC . ∴△PBD ∽△ABC . ∴PD AC ＝PB AB ，即PD 6＝410，∴PD ＝2.4cm. 当t ＝1.2时，PQ ＝2t ＝2.4cm.∴PD ＝PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径. ∴直线AB 与⊙P 相切．(2)∵∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴OB ＝12AB ＝5 cm.连接OP .∵P 为BC 的中点，∴OP ＝12AC ＝3 cm.∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切. ∴5－2t ＝3或2t －5＝3，∴t ＝1或4. ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4.。