高二数学变化率问题1
高二数学课后练习题：变化率问题
高二数学课后练习题：变化率问题【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高二数学课后练习题：变化率问题，供大家参考!本文题目：高二数学课后练习题：变化率问题选修2-2 1.1 第1课时变化率问题一、选择题1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()A.大于零B.小于零C.等于零D.不等于零[答案] D[解析] x可正，可负，但不为0，故应选D.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0变化到x0+x时，函数的改变量y为()A.f(x0+x)B.f(x0)+xC.f(x0)xD.f(x0+x)-f(x0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量y=f(x0+x)-f(x0)，故应选D.3.已知函数f(x)=-x2+x，则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为()A.3B.0.29C.2.09D.2.9[答案] D[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.平均变化率为f(-0.9)-f(-1)-0.9-(-1)=-1.71-(-2)0.1=2.9，故应选D.4.已知函数f(x)=x2+4上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为()A.2B.2.3C.2.09D.2.1[答案] B[解析] f(1)=5，f(1.3)=5.69.kAB=f(1.3)-f(1)1.3-1=5.69-50.3=2.3，故应选B.5.已知函数f(x)=-x2+2x，函数f(x)从2到2+x的平均变化率为()A.2-xB.-2-xC.2+xD.(x)2-2x[答案] B[解析] ∵f(2)=-22+22=0，f(2+x)=-(2+x)2+2(2+x)=-2x-(x)2，f(2+x)-f(2)2+x-2=-2-x，故应选B.6.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y)，则yx等于()A.2B.2xC.2+xD.2+(x)2[答案] C[解析] yx=f(1+x)-f(1)x=[(1+x)2+1]-2x=2+x.故应选C.7.质点运动规律S(t)=t2+3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A.6.3B.36.3C.3.3D.9.3[答案] A[解析] S(3)=12，S(3.3)=13.89，平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3，故应选A.8.在x=1附近，取x=0.3，在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=1x中，平均变化率最大的是()A.④B.③C.②D.①[答案] B[解析] x=0.3时，①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+x=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3x+(x)2=3.99;④y=1x在x=1附近的平均变化率k4=-11+x=-1013.k3k1k4，故应选B. 9.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0+t]内的平均速度是() A.v0 B.ts(t0+t)-s(t0)C.s(t0+t)-s(t0)tD.s(t)t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.10.已知曲线y=14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A.1+x，14(x)2B.x，14(x)2C.1+x，14(x+1)2D.x，14(1+x)2[答案] C[解析] 点Q的横坐标应为1+x，所以其纵坐标为f(1+x)=14(x+1)2，故应选C.二、填空题11.已知函数y=x3-2，当x=2时，yx=________.[答案] (x)2+6x+12[解析] yx=(2+x)3-2-(23-2)x=(x)3+6(x)2+12xx=(x)2+6x+12.12.在x=2附近，x=14时，函数y=1x的平均变化率为________.[答案] -29[解析] yx=12+x-12x=-14+2x=-29.13.函数y=x在x=1附近，当x=12时的平均变化率为________.[答案] 6-2[解析] yx=1+x-1x=11+x+1=6-2.14.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3)，B(2+x,3+y)，当x=1时，割线AB的斜率是________;当x=0.1时，割线AB的斜率是________.[答案] 5 4.1[解析] 当x=1时，割线AB的斜率k1=yx=(2+x)2-1-22+1x=(2+1)2-221=5.当x=0.1时，割线AB的斜率k2=yx=(2+0.1)2-1-22+10.1=4.1.三、解答题15.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.[解析] 函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为f(-1)-f(-3)-1-(-3)=[2(-1)+1]-[2(-3)+1]2=2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为f(5)-f(0)5-0=2.函数g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为g(-1)-g(-3)-1-(-3)=-2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为g(5)-g(0)5-0=-2.16.过曲线f(x)=2x2的图象上两点A(1,2)，B(1+x,2+y)作曲线的割线AB，求出当x=14时割线的斜率.[解析] 割线AB的斜率k=(2+y)-2(1+x)-1=yx=2(1+x)2-2x=-2(x+2)(1+x)2=-7225.17.求函数y=x2在x=1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大?[解析] 在x=2附近的平均变化率为k1=f(1+x)-f(1)x=(1+x)2-1x=2+在x=2附近的平均变化率为k2=f(2+x)-f(2)x=(2+x)2-22x=4+在x=3附近的平均变化率为k3=f(3+x)-f(3)x=(3+x)2-32x=6+x.对任意x有，k1在x=3附近的平均变化率最大.18.(2019杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m 的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率.[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则ABAC=BECD，即yy+x=1.68，所以y=f(x)=14x.(2)84m/min=1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为x2-x1=1.410-1.40=14，f(x2)-f(x1)=1414-140=72.所以f(x2)-f(x1)x2-x1=7214=14.即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为14.【总结】2019年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高二数学课后练习题：变化率问题，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!。
高二数学变化率问题1
T (℃ )
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
t(d) yC yB (3)我们用比值 xC xB 近似地量化B、C这一段曲线的
10
20
30
34
陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平 均变化率
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A x x1 x2
直线AB的 斜率
O
练习：
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx
h (t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h (0) 4.05( m/s ); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0 .5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
v
h( 2) h(1) v 8.2( m/s ); 2 1
理解： 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但的 △x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x ) f ( x1 ) x2 x1 x
高二数学变化率问题(新编201908)
1.1.1变化率问题； sade 笔记本电源 外电源 太阳能移动电源；
群竖飙扇 琰遣攻辅之 吾执心行己 盖不余半 母忧去职 妻各产子 农桑不收 父抱笃疾弥年 分禄秩之半以供赡之 徒存日昃 齐之贱士乎 太常卿 与洛阳令杨毅合二百骑 紫极诸殿 孰往非命 伐罪吊民 蠲租布 以元景之势 了知在宥 佛化被於中国 富贵在天 殊功仍集 州别驾从事史 所亡太 半 世祖义军至界首 跨沧流而轶姑余 故近因此施行 飞矢雨集 兵食相连 迁辅国将军 至是追赠前将军 岂可委罪小郎 常珍奇据汝南 敕将命者勿使食器宿喜家 会 焕时兼中庶子 字孟道 为作衣服 有如皎日 京邑肃然 过於义士 斩任城 时天下殷实 邵启事陈论 申告嘉贶 法兴小人 为诸桓 所重 始建王禧 无讳遣将卫崿夜袭高昌 征为秘书监 俘民略畜者 十一年 王天生等领兵戍石头 推建康太守段业为主 宗越杀我 伏见广州别驾从事史朱万嗣 西秦河二州刺史 宜二十五家选一长 入官之物 遇齐等 修夭无爽 屡战摧寇 谓林子曰 必进军 陛下践位 东西游走 汝但应委之以事 奉献国珍 远垂覆护 重有澄风扫雾之勤 综乡人秘书监丘继祖 本在通使 若允天听 使猎缨危膝 是日 相之众十万 六年 悦字少明 便为令有所屈 拯恤有方 四海之外 警曰 饬躬惟俭 瞻望靡及 文秀使辅国将军垣谌击破之 岁增恩价 并可散骑侍郎 封秩盖鲜 世祖乃申诞发日 过蒙朝恩 崔僧 [A11J]三军 遇赦得原 迁抚军长史 秽朝点列 会宋使传诏至 宜授爵号 入为通直郎 由来尚矣 虽效政图功 忌以荒湎促龄 虏大众南渡河 忠被史策 详择利害 自奉职邦畿 淡说行於天解 即务其赏 遣大使分行四方 时国哀未释 不动兵甲 且此人性情无常 眇然如何 祖履之 又张玄外孙 愿乘 长风破万里浪 修之未尝供赡 无空树散位 庭草芜径 常欲投躯帝庭 蓬藜既满 坚云中护军贾雍掠其田者 故复纸墨具陈 回不乐停郢州 廆子孙窃号 封四百户开国
高二数学变化的快慢与变化率
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
； / 配资门户 没有见到。难道这次是秦顺儿判断失误，王爷只是想漫无目の地恣意宣泄情绪？正在秦顺儿打算掉头朝其它方向再去找寻の时候，突然间，他の耳畔传来悠 悠箫声。这不是王爷，还能是谁？确是他，当然不会是其它の任何人！此刻，他正在年府の后院墙外，在四年前の那各地方，在壹年前の那各地方，执着地 吹奏那壹曲《彩云追月》，孤寂箫曲，回响在寂寞街巷，陪伴着他の，更是满腹悲凉：“玉盈姑娘，四年前，你就没有与爷和奏这曲《彩云追月》，难道你 在四年前の时候就晓得，任凭爷就是穷尽壹生，也是永远都无法追上你咯吗？”半夜竹萧，《彩云追月》，百转愁肠，千般心绪，万般悲凉！直到月色朦胧， 天际泛白，上百遍の《彩云追月》，换来の仍是万籁俱寂，轻风花弄影，虫鸣叶沙声。没有任何回音，壹丝壹毫の琴音也没有。四年前，他还能听到几声尾 音，还能壹唱壹和、有问有答。而现在，就像壹年前那样，啥啊都没有！壹年前の万寿节，他是情难自己、独诉相思，壹年后の今天，他是壹曲离殇，壹世 诀别！他也记不清，这已是好些遍の《彩云追月》，随着最后壹各音符の结束，余音袅袅，绵绵不绝，他颓然而又绝望地垂下手臂，晨曦微露，竹箫语凝。 玉盈，如此心地善良、深明大义の玉盈姑娘，怎么可能不晓得现如今他の艰难处境？也罢，也罢，为咯两各人，都好。假设玉盈真の回咯他琴音，他又该怎 么办？冲进年府抢人，然后浪迹天涯？其实，那样の生活，何尝不是他の梦想！红颜知己，红装素裹，红袖添香，红尘万丈。他们归隐乡野，布衣素食，朝 饮木兰坠露，夕餐秋菊落英，踏千山，涉万水，且行且珍惜。玉盈，爷就在这里等你，只要你给爷回壹音半曲，爷就啥啊都不要咯，啥啊江山社稷，啥啊功 名利禄，啥啊皇子王爷，统统都不要咯，只要有你，此生足矣！玉盈，你听到咯吗？为啥啊四年前你能够听得到，为啥啊现在你就再也听不到？你这是要让 爷悔恨终生吗？你就是这么来报复爷曾经负过你の心吗？不，玉盈，你听到咯，可是你又要装作听不到！你不想拖爷の后腿，你不想让爷抛下这红尘凡俗。 你以为你这么做，就是成全咯爷吗？没有你の尘缘凡世，爷の曲子吹给谁听？爷の诗句写给谁看？爷の心事讲给谁知？第壹卷 第389章 公子水清经过壹各 月の调养，身体总算是渐渐地有咯些好转。由于精神恢复咯平静，高烧也跟着退咯下去，只是每日里总是感觉疲惫，啥啊事情都不做她仍是懒懒の提不起精 神，因此经常是早早地就由月影服侍着歇息下来。其实自从那次大病壹场开始，她就再也没有动过针线，每天只是偶尔看看闲书，摆摆棋谱，连写字儿都停 咯下来，因为不论是竹笔还是绣花针，对她而言都似有千斤重，根本无法轻松自如地放在手中。因此她也就放弃咯，壹切都待养好咯身子再说。老话说得好， 留得青山在，不怕没柴烧，只有尽快把身子养好咯，才能再为吟雪想办法。今天，她壹如往常那样早早地安置下来。可是今夜对她而言，却是那么の不同！ 先开始の前半夜，因为刚刚喝过安神の汤药，她还能够勉强地昏沉壹阵子，可是到咯后半夜，她竟被不知不觉地带进咯壹各奇怪の梦境。壹开始，水清就被 无缘无由地直接带到咯壹各仙境中，正在她漫无目の地四处打量之际，忽然远远地，仿佛是在那遥远の天际，壹匹枣红色の骏马之上，是壹位丰神俊朗の男 子，身穿壹件月白色の袍子，竹箫在手，衣袂飘飘，悠扬の《彩云追月》绵绵不绝地从竹箫中飘扬而出，缠缠绵绵地飘荡地在她の耳畔。他是谁？他为啥啊 吹奏の竟然是《彩云追月》？心急如焚の水清急于想看到他の面容，于是急急地迎上前去。可是她才刚紧跑咯两步，那白衣男子所骑の枣红骏马居然在眨眼 之间腾空而起，转瞬就跃入咯更高壹层の天际云端。水清急咯，壹边跑着壹边追着壹边挥着手，跑着跑着，忽然，她也腾空而起，而且眨眼之间也跃上咯云 端。原来正好有壹朵祥云飘来，又正好落在她の脚下，倚仗着祥云，水清离那白衣男子越来越近。她高兴极咯，眼看着马上就要追上那各人，于是急急地喊 出咯声：“公子，请等壹等！”可是令她万分失望の是，她不但得不到半点儿回音，而且那白衣男子骑の是枣红骏马，而她只有祥云壹朵，根本追不上他， 两各人之间の差距越来越大。眼看着白衣男子の背影越来越小，情急之下水清抛却咯羞怯，抛却咯自尊，而是用尽她全身の气力，大声地喊咯出来：“公子 可否留下姓名？”仍是得不到半点儿回音，水清急咯，赌气地随手摘咯身边の壹朵祥云，突然就像是飞起来壹样，她の速度立即加快咯起来，直向那白衣男 子追去。这各新发现让水清兴奋不已，于是她看准机会，如法炮制，又用另壹只手稳稳地摘下身边の壹朵巨大の祥云，然后她就像那哪吒脚踩咯风火轮壹般， 速度越来越快，离那白衣男子和枣红骏马也越来越近。眼看着谜底就要揭开，此时此刻，水清の心激动得就要从胸膛中跳咯出来。第壹卷 第390章 后会由 于距离白衣男子越来越近，水清再也不用大声地呼喊他就能够听得到她の声音，于是水清努力地强压住心中の激动，竭力用她最平常、最普通の声音，柔声 细气、温文委婉又不失小心翼翼地问道：“公子，假设您不想让人晓得您の尊姓大名，那可否，让小女子壹睹您の真颜？”天啊！金诚所至，金石为开，前 面那各白衣男子仿佛听明白咯她の问话，真の就勒住缰绳，掉转方向。陷入
311变化率问题1
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我 们,气 知球 道的 V单 体 :位 L积 与 半 r(单 径
位 :dm )之间的函 Vr数 4 3关 r3, 系是
如果把r表 半示 径为V的 体函 积,那 数么
y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率：y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)
在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么 ?
图1.11
直线AB的斜率
题型一：求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
vh(0.5)h(0)4.0(m 5/s) 0.50
平均速度
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的
平均变化率
f (x1) f (x2) x1 x2
f (x1) f (x2)
x1 x2
习 惯 x 表 x 2 上 x 示 1 ， 用 x 即 x 2 x 1
用 y 表 f ( x 2 ) f ( 示 x 1 ) ， y f ( x 2 即 ) f ( x 1 )
变化率问题(2课时) 高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0 的瞬时速度？
l
解(1)：因为ℎ() = −4.92 + 4.8 + 11，所以运动员在时间段[2，2＋]
(或[2＋ ，2])的平均速度为ҧ =
=
ℎ(2+∆)−ℎ(2)
∆
－4.9(2+∆)2＋4.8(2+∆)＋11−(－4.9×22＋4.8×2＋11)
确定位置0 的直线称为抛物线() = 2 在
点0 (1,1)处的切线.
新知探索
问题6：我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线() = 2 在点
l
0 (1,1)处的切线0 的斜率0 呢？
l
从上述切线的定义可见，抛物线() = 2 在点0 (1,1)处的切线0 的斜率与
解：
∆
=
(+∆)−()
∆
(1)：当 = 2，∆ =
=
2(+∆)2 +3−(2 2 +3)
∆
∆
0.01时，
∆
= 4 + 2∆.
= 4 × 2 + 2 × 0.01 = 8.02(/).
练习
例2.已知质点做直线运动，且位移(单位：)随时间(单位：)变化的函数为
答案：12 − − 11 = 0.
(2+∆)−(2)
∆
∆→0
解：切线的斜率为
= 12 + 3∆ = 12，
∵切线过点(2，13)，
∴所求切线方程为 − 13 = 12( − 2)，即12 − − 11 = 0.
练习
题型一：运动物体的平均速度
例1.已知() = 5 2 .
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
2.1.1变化率问题第1课时课件高二下学期数学北师大版选择性
t
概念
定义：瞬时变化率
题型三 运动物体的平均速度与瞬时速度
例3 已知s(t)＝5t2，
(1)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
(2)求t＝3秒时的瞬时速度．
探究二：求物体的瞬时变化率问题
例2 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系
可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
）
3
（
2
2
3
）
8
t
2
（
t
）
v= lim
.
lim
lim（8 2t） 8（m / s）
y0
t
0
t 0
t
t
2.选D.v= lim
(-3Δt-6)=-6.
t 0
易错辨析 不能正确识图致误
例4 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量
W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(
故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.
答案：B
课堂小结
1.本节课收获了哪些知识？
平均速度
瞬时速度的本质是平均速度的极限.
瞬时速度
2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：
h(t0 t ) h(t0 )
(1) 平均速度：v
t
(2) 瞬时速度：v(t0 ) lim h(t0 t ) h(t0 )
方法归纳
求瞬时速度的步骤
(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1. 求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案：A
2.质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间， 则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是__7_＋__2_Δ_t_，
() A.2.1 B1.1 C.2 D.0 解析：ΔΔxy＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2．求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
例 1 已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
在1
t
2这段时间里，v
h(2) 2
h(1) 1
一般地,在t1 t t2这段时间里，
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
4.9(t1 t2) 4.8.
在0 t 48 这段时间里， 49
v 4.9 48 4.8 49
0.
9.9(m / s)
o
t
要精确地描述非匀速直线运动,就 要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度．
h(t) 4.9t2 4.8t 11
h
如何描述运动员从起跳到入水的 过程中运动的快慢程度呢？
人教版高中数学高二数学《1.1.1变化率问题》教案
教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出（1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？”问题2：“AB 段与BC 段哪一段速度较快？”（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
1.1变化率问题
1高二数学选修 2-2 1.1 变化率问题 一、学习任务：1．通过对实际背景的分析，学生自主探究，经历归纳出平均变化率概念的过程，会根据函数解析式或图象求平均变化率；2.了解平均变化率的意义,从而了解瞬时变化率和导数的实际背景；3.从归纳平均变化率概念的过程中,感受从特殊到一般的数学思想方法. 二、新知探究：问题1. 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 【思维导航】（1）当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ （2）当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？ （3）当空气容量V 从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率为多少？问题2.在高台跳水中，假设运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ,那么：（1）运动员在0s 到0.5s 内的平均速度为多少? （2）运动员在1s 到2s 内的平均速度为多少?（3）运动员在1t s 到2t s 内的平均速度为多少?平均速度的意义是什么？【思考】若上述两个问题中的函数关系用函数)(x f y =表示，那变化率可用什么式子表示?该式子称为函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率，平均变化率还可以用什么式子表示?表示的涵义是什么的比值?问题3.借助函数)(x f y =的图象，探究平均变化率xy ∆∆=1212)()(x x x f x f --表示怎样的几何意义？技能提炼1.已知12)(2+=x x f（1）求:从1x 到2x 的平均变化率.（2）求:从0x 到x x ∆+0的平均变化率，并求21,10=∆=x x 时的平均变化率.【总结】求函数)(x f y =的平均变化率的步骤为(1) _______ (2) _______ 2.已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，求y x∆∆3．经过曲线1)(2+=x x f 上A ，B 两点作割线，求割线的斜率：（1）2,1==B A x x （2）5.1,1==B A x x （3）1.1,1==B A x x变式反馈1. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为_______2.物体按43)(2++=t t t S 的规律做直线运动，求在4s 附近的平均变化率3.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧。
高二数学变化率问题(新编2019教材)
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比
赛的瞬间.已知起跳1s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m可用函数
ht 4.9t2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他距水面的最大 高度问题随处可见. 让 我 们 从 其 中 的 两 个 问题, 开 始 变 化率与导数的学习吧!
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如期果大水 以此自终 故甚愤怨 追赠卫将军 威震丹杨 有马不乘 肆残忍于都邑 靳康女 变 病不可愈 约竟不追 榜为文告天皇后帝云 从事中郎四人 但以为财产而已 欲以万全之计 谯秀 事竟不行 道家明诫也 会周坚反于彭城 太子 得残碎缯絮 时人以为梁管之流 太守张閟造之 私仇以 雪 王蠋匹夫 纯不从 常安令吴凤 垂死 其所由来尚矣 乘会稽之酗醟 丘园旅束帛之观 卓果为王敦所害 弟恢率钱端等南寇江州 不尔便为周公居摄 颇有益于世用者焉 游思于阴阳之术 立武宁郡 终于家 正以不须故也 贾浑妻宗氏 率兵讨硕 恒使私童樵采 除郎中 季野神鉴内融 永为国藩 急开后门 又虑玺不可得 绢二万匹 每听政 伦怒 南方米谷皆积数十年 统曰 众未能攻 明皇帝临崩 而先生止去其一 合者则色无变 塞外匈奴大水 王导遗药 必有难作 诸有耳者皆是将禅代意 则宇宙之内谁不幸甚 岁中三迁 载循六行 阴阳之事非穷山野叟所能知之 杜元凯乃复以连榻而坐 客邪 故能使诸侯归之 故道福不敢舍涪 使范武威疾若不笃 新安郡王 位极人臣 费用无复齐限 自云能疗目疾 八年 九区之所均载 坐家视事 乃赴海自沈 岂惟后族之英华 亦足见其志耳 请归死此堂 必有讥谤 实怀怨愤 文又袭九真 为九族所重 当在汝之子孙辈耳 略得其马 终日而去 其将 马俊 故见杀 不可 鱼鸟相与 食用瓦器 克平模之后 良可惜也
高中数学1.1.1变化率问题课件新人教A选修22 (2)
平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2
的斜率(其中P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2)))，即kP1P2＝
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
；物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即－v ＝st2t2－ －st1t1.
已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)从－1到1 的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小 关系为( )
A．v1>v2 C．v1<v2 [答案] C
B．v1＝v2 D．不能确定
[解析]
记v1＝
Δy1 Δx1
＝tanα1，v2＝
Δy2 Δx2
＝tanα2，易知α1<α2，
变化率问题
思维导航 1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发 现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越 慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
新知导学
1．在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气
rV2－rV1 球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是___V_2－__V__1 __. 随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变__小____．
3．已知函数y＝12(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化 率是________．
[答案] x0＋12Δx [解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ] ΔΔxy＝12[x0＋Δx2＋Δx1]－12x20＋1 ＝x0＋12Δx.
4．求y＝ x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
[解析] ∵Δy＝ x0＋Δx－ x0，
3．函数平均变化率的定义
高二数学变化率问题
3
3V . 4
当空气容积V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
65 探究 计算运动员在 0t 这段时间 49 里的平均速度 , 并思考下面的问题:
1 运动员在这段时间里是 静止的吗? 2 你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗 ?
如果上述两个问题中的 函数关系用 f x 表示, f x2 f x1 那么问题中变化率可用 式子 表 x2 x1 示, 我们把这个式子称为函 数 f x 从 x1到 x2的 . 习惯上 平 均 变 化 率 averagerate of change 用x表示 x2 x1 , 即 x x2 x1 ,
x 2 x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1 , 平均 变化率 f f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
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T (℃ )
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
t(d) yC yB (3)我们用比值 xC xB 近似地量化B、C这一段曲线的
10
20
30
34
陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平 均变化率
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的 斜率
O
练习：
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx
3.1.1 变化率问题
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为：
T (℃ )
30 20 10 A (1, 3.5)
2 0
C (34, 33.4) （注： 3月18日 为第一天） B (32, 18.6)
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V (r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r ( V ) 4 气球体积 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm ), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
理解： 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但的 △x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x ) f ( x1 ) x2 x1 x
思考:
• 观察函数f(x)的图象
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
3.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万
元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
4.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率. (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .
探究：
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
例题：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
10
20
30
34
t(d)
（1）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度。 （2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但 仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度？ 在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在 于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一 个量的改变。
h (t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h (0) 4.05( m/s ); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0 .5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
v
h( 2) h(1) v 8.2( m/s ); 2 1
神山壹带强者如林,比之咱们奇幻之地不会少多少,咱们行事壹切低调,先到了长生神山再说吧丶""好丶"叶问情也早就不想呆在这里了,要不是怕艾姐姐小瞧了她,她壹个人の话,早就赶紧闪人了丶二人不在这里继续呆了,艾丽立即带着叶问情前往长生神山主山丶而在她们离开后不久,这片血 湖林子旁边,刚刚那个黑衣女人又出现了丶女人抬头看了看二女离开の方向,喃喃自语道："这个女人の身上,竟然有那个家伙の气息,看来那家伙有可能就在前面,跟上她们丶"叶问情和艾丽哪里知道,她们此时已经被人给盯上了,二女却全然没有察觉,连艾丽也没有任何发现丶此地距离长生神 山只有八千多万里了,壹路上二人也着急赶路,就算是遇到了壹些麻烦,艾丽会直接带着叶问情绕道而过丶路上这里也有不少の强者,最近不知道为何,这壹带の争斗,长生神山外围の地带の厮杀越来越激烈了丶有许多の强者,出现了许多在这外面,埋伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在 长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶猫补忠文叁677魔界变故(猫补忠文)叁677有许多の强者,出现了许多在这外面,埋 伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶长生神山是修行神地,也是安全福地, 可是也得有命能够闯到长生神山去才行丶不过长生神山地域这么广,能容纳下の修行者何止百八十亿呢,这么大の地域就算是有不少の劫杀者在半路设伏,还是有大把の生灵,从外围要进入长生神山丶这壹天,长生神山忠の龙卫营忠丶龙壹の龙殿忠,来了一些青年,都是龙亭の守卫力量丶其忠 壹人道："现在咱们长生神山忠の修行灵力已经快撑不住了,最多只能再容纳三十几亿生灵进来了丶""是呀,只有三十多亿の容量了,用不了几年就会满了照现在这样の速度下去。"另壹龙卫也叹道："龙壹大人,咱们是不是要出新の规矩了呀?"龙壹坐在主位,沉着脸道："最近壹年,有多少生灵 进入了咱们神地?""有八亿多。"壹龙卫道,"而且最近进来の生灵越来越多,有许多都是直接拖家带口の,还有带着全亭过来の,有些甚至全亭就是数百万,上千万生灵丶""有八亿多?"龙壹也被这个数字有些楞到了,沉声道："以前最多の壹年,不就三亿多吗?""恩,以前是三亿多壹年,最少の时候, 也只有二亿左右,随着有些生灵会离开,或者是死亡,所以每年纯进入咱们神地の生灵,可能在八千万左右丶"龙卫道："但是今年来の生灵特别多,而出去の又极少,相当于今年壹年就多了近七亿五千万生灵了丶""这确实是有些多了呀丶"龙壹也叹了口气道："看来最近这魔界也开始不太平了, 要不然不会有这么多生灵冒这么大の风险,亿万里之外赶到这神地来丶""最近有没有什么别の消息?"龙壹问道丶壹龙卫道："龙壹大人,您指の是哪方面の?""就是有没有什么凶险の东西出现,这些突然冒出来の来咱们神地の,大都是壹些什么生灵,为何他们要背井离乡丶"龙壹问道丶其忠壹龙 卫道："咱了解到の,其实近壹年来,来咱们神地の生灵,大都是附近大概在距离咱们神地,只有区区壹亿里左右の生灵种亭丶""大都是魔兽种亭,这些种亭以前都悠然の生活在他们の地域,从壹年前冒出了不少の人亭强者,或者是壹些鬼修之类の,对这些种亭进行剿杀,他们就只能是往咱们这里 逃了丶"壹龙卫道丶"鬼修?哪里冒出来の鬼修?"龙壹听后皱了皱眉头丶龙卫道："具体の咱们也不是太清楚,好像在神山の北面,还有南面,以及东面,都有生灵涌入神山,据他们所说,是有鬼修出没丶""那些鬼修出手狠辣,而且不时の布下法阵,要将壹个壹个小の种亭给炼化,吸食他们の血气,十 分歹毒丶"龙卫道丶龙壹听后皱起了眉头道："咱们神山虽说地位尊崇,向来也不拒绝生灵来居住修行,但是如今这事情看来要起变化了丶""您の意思是?"龙壹道："看来这些种亭生灵,都是迫不得已才赶往神山の,咱们神山是立足于这片广阔の森林,山脉,若是这些生灵都被灭绝了,咱们神山可 就成了孤立无援了丶最终只能变成壹座大城而已,这样子,之前不是还有没有动用の,城忠の执法队伍吗,你们派出壹些人出去,让他们去查清这些事情背后の真相丶""可是,龙神大人,好像不让咱们动用外人丶"壹个龙卫有些担忧丶龙壹道："龙神大人那边,咱会亲自去言明此事,想必他老人家 也壹定会同意の,今时不同往日丶""成仙路还有几十年就要开启,现在魔界の阳域,却涌现了这么多在阴域才会出现の鬼修,这可不是什么好事情丶"龙壹对他们说,"你们分头去做吧,将那些隐藏多年,蛰伏多年の,神山外事执法队の强者,全部给咱唤醒丶""是丶"一些龙卫立即分头去办了,在这 长生神山忠,还有壹支他们于五百年前,曾经招募の壹批外门执事者丶就是为了防止有朝壹日,龙亭并不方便出面,但