2.1.3 整式-多项式
213 整式(三)多项式(解析版)
2.1.3整式（三）多项式多项式的相关概念题型一：多项式的判定【例题1】（2019·郑州枫杨外国语学校七年级期中）对于式子：22x y+，2a b ，12，3x 2＋5x －2，abc ，0，2x y x +，m ，下列说法正确的是( ) A ．有5个单项式，1个多项式 B ．有3个单项式，2个多项式 C ．有4个单项式，2个多项式 D ．有7个整式【答案】C【分析】分别利用多项式以及单项式的定义分析得出答案． 【详解】22x y +，2a b ，12，3x 2+5x ﹣2，abc ，0，2x y x +，m 中：有4个单项式：12，abc ，0，m ； 2个多项式为：22x y+，3x 2+5x -2．故选C ． 点睛：此题主要考查了多项式以及单项式，正确把握相关定义是解题关键．知识点管理 归类探究 多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式的每一项包括它前面的符号． 一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．变式训练【变式1-1】（2019·珠海市第十一中学七年级期中）下列判断中，错误的是( ) A ．1a ab --是二次三项式 B ．22a b c -是单项式C ．2a b+是多项式 D ．34R π中，系数是34【答案】D【分析】直接利用单项式的系数以及多项式的次数与项数确定方法分别分析得出答案； 【详解】A 选项：1−a−ab 是二次三项式，正确，不合题意； B 选项：22a b c -是单项式，正确，不合题意； C 选项：2a b+是多项式，正确，不合题意；D 选项：34R π中，系数是34π，故此选项错误，符合题意；故答案为D.【点睛】本题主要考查了单项式，多项式的定义，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键.【变式1-2】（2021·山东德州市·七年级期末）在下列各式：12ab ，2a b+，ab 2+b+1，﹣9，x 3+x 2﹣3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B【分析】直接利用多项式的定义分析得出答案．【详解】12ab ，2a b +，ab 2+b+1，-9，x 3+x 2-3中，多项式有：2a b+，ab 2+b+1，x 3+x 2-3共3个．故选B ．【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式定义是解题关键．【变式1-3】（2020·全国七年级课时练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上．①223a b ab b ++；①2a b +；①23xy -；①0；①3y x -+；①2xy a ；①223x y +；①2x ；①2x ．（1）单项式：_______________； （2）多项式：_______________； （3）整式：_________________； （4）二项式：_______________．【答案】①①① ①①① ①①①①①① ①①【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：①23xy -，①0，①2x ；（2）多项式有：①223a b ab b ++，①2a b +，①3yx -+；（3）整式有：①223a b ab b ++，①2a b +，①23xy -，①0，①3y x -+，①2x ；（4）二项式有：①2a b +，①3yx -+；故答案为：（1）①①①；（2）①①①；（3）①①①①①①；（4）①①【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． 题型二：多项式的项、项数和次数【例题2】（2021·内蒙古七年级期末）下列说法中，不正确的是（ ） A ．2ab c -的系数是1-，次数是4 B ．13xy-是整式 C ．2631x x -+的项是26x 、3x -，1 D ．22R R ππ+是三次二项式【答案】D【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A ，根据整式的定义，可判断B ，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C ，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D ． 【详解】A. −ab 2c 的系数是−1，次数是4，故A 正确； B.xy3−1是整式，故B 正确； C. 6x 2−3x+1的项是6x 2、−3x ，1，故C 正确； D. 2πR+πR 2是二次二项式，故D 错误； 故答案选：D.【点睛】本题考查了整式的知识点，解题的关键是熟练的掌握整式的概念与运算法则. 变式训练【变式2-1】（2021·石家庄市长安区启明星教育培训学校九年级期末）在多项式﹣3x 3﹣5x 2y 2+xy 中，次数最高的项的系数为( ) A ．3 B ．5C ．﹣5D ．1【答案】C【分析】多项式是几个单项式之和，单项式的次数是其所有字母的指数之和.【详解】解：在多项式﹣3x 3﹣5x 2y 2+xy 中，次数最高的项是﹣5x 2y 2，其系数为：﹣5． 故选C ．【点睛】本题考查了多项式的定义以及单项式的系数和指数.【变式2-2】（2019·贵州省施秉县第二中学七年级月考）多项式 3x 2+2 是______次______项式. 【答案】二 二【分析】直接利用多项式的次数和项数的确定方法进行分析，即可得到答案. 【详解】多项式 3x 2+2 是二次二项式.故答案为二、二.【点睛】本题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的次数和项数的确定方法. 题型三：多项式的系数、指数中字母求值【例题3】（2019·山东七年级期末）多项式112m x -﹣3x+7是关于x 的四次三项式，则m 的值是_____．【答案】5【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：①多项式112m x -﹣3x+7是关于x 的四次三项式，①m ﹣1＝4， 解得m ＝5， 故答案为：5．【点睛】此题考查的是多项式的次数,掌握多项式的次数的定义是解决此题的关键. 变式训练【变式3-1】（2021·山东聊城市·七年级月考）已知多项式x |m |+（m ﹣2）x ﹣10是二次三项式，m 为常数，则m 的值为_____． 【答案】-2【详解】因为多项式x |m|＋（m －2）x －10是二次三项式， 可得：m−2≠0，|m|=2， 解得：m=−2， 故答案为−2【变式3-2】如果多项式32242(176)x x kx x +-+-中不含2x 的项，则k 的值为__． 【答案】2【分析】先去括号，再根据“不含2x 的项”列出式子求解即可得． 【详解】3223242(176)4(2)176x x kx x x k x x +-+-=+--+， 由题意得：20k -=，解得2k =， 故答案是：2．【点睛】本题考查了去括号、多项式中的无关型问题，熟练掌握去括号法则是解题关键． 【变式3-3】（2021·贵州九年级一模）若多项式||22(2)1m n xy n x y 是关于x ，y 的三次多项式，则mn =_____．【答案】0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式||22(2)1mn xy n x y 是关于x ，y的三次多项式，20n ∴-=，1||3m n ，2n ∴=，||2m n ， 2m n ∴-=或2n m ，4m ∴=或0m =，0mn或8．故答案为：0或8．【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 题型四：多项式按某个字母升幂（降幂）排列【例题4】（2020·锡林浩特市第六中学七年级期中）将多项式32225x x x --++按降幂排列，正确的是（ ） A ．x 3-2x+2x 2+5 B ．5-2x+2x 2-x 3 C ．-x 3+2x 2+2x+5 D ．-x 3+2x 2-2x+5【答案】D【分析】找出多项式的各项，根据各项字母指数的大小，按降幂排列即可. 【详解】解：将多项式32225x x x --++按降幂排列为： 32225x x x -+-+，故答案为D ．【点睛】本题考查多项式幂的排列.各项的指数是逐渐变大(或变小)排列的多项式，叫做升幂排列与降幂排列. 变式训练【变式4-1】（2018·河南七年级期末）对于多项式2x 2+32153x x +-，按x 的升幂排列正确的是（ ）A ．2312235x x x -+++B ．2321253x x x ++- C ．3212235x x x -+++D ．3221253x x x ++-【答案】A【分析】根据升幂排列的定义,将多项式的各项按照x 的指数从小到大排列起来. 【详解】解：根据升幂排列的定义，原式=2312235x x x -+++，故选A.【点睛】本题主要考查多项式及其升幂排列方式.【变式4-2】（2018·惠民县胡集镇中学七年级期末）将代数式4a 2b +3ab 2﹣2b 3+a 3按a 的升幂排列的是_____． 【答案】﹣2b 3+3ab 2+4a 2b+a 3．【分析】找出a 的次数的高低后,由低到高排列即可得出答案. 【详解】可得出﹣2b 3+3ab 2+4a 2b+a 3．【点睛】本题考查了代数式中的次数，熟悉掌握次数的概念和细心是解决本题的关键. 【变式4-3】（2018·全国七年级单元测试）2xy 2+x 2y 2﹣7x 3y +7按x 的降幂排列：__________________________________． 【答案】3222727x y x y xy -+++因为按x 的降幂排列即从左向右x 的次数从高到低依次递减,故答案为:3222727x y x y xy -+++. 整式的相关概念题型五：整式的判定【例题5】（2020·重庆十八中两江实验中学七年级期中）下列各式﹣12mn ，m ，8，1a，x 2+2x +6，25x y-，24x yπ+，1y中，整式有（ ） A ．3 个 B ．4 个C ．6 个D ．7 个【答案】C【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案【详解】整式有﹣12mn ，m ，8，x 2+2x +6，25x y -，24x y π+ 故选C【点睛】本题主要考查了整式的定义，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有未知数． 变式训练整式：单项式与多项式统称为整式．【变式5-1】（2019·天津市静海区沿庄镇中学七年级月考）下列代数式中：1x ，2x y +，213a b ，x y π-，54yx ，0，整式有（ ） 个 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】B【详解】试题解析：212,,,03πx yx y a b -+是整式，共4个. 故选B.点睛：分母中不含字母的式子即为整式.【变式5-2】（2019·湖北七年级期末）下列代数式中，整式为（ ）A ．x+1B ．11x + CD ．1x x+ 【答案】A【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A 、x+1是整式，故此选项正确；B 、1x 1+是分式，故此选项错误；C D 、x 1x+是分式，故此选项错误， 故选A ．【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键．【变式5-3】（2018·湖北全国·七年级课时练习）在代数式a 2+1，﹣3，x 2﹣2x ，π，1x中，是整式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的不是整式.【详解】解：a 2+1和 x 2﹣2x 是多项式，-3和π是单项式，1x不是整式，①单项式和多项式统称为整式，①整式有4个. 故选择C.【点睛】本题考查了整式的定义. 题型六：数字类规律探究【例题6】（2020·四川省射洪县射洪中学七年级月考）一列数，按一定规律排列：－1，3，－9．27，－81，…,从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（）A．87a B．87|a|C．127|a|D．127a【答案】C【详解】解：①该列数为：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…，①该列数中第n个数为﹣（﹣3）n﹣1（n为正整数）．设该三个相邻数中间的数为x，则左边的数为﹣13x，右边的数为﹣3x，根据题意得：﹣13x+x﹣3x=a，解得：x=37a-，①相邻的三个数为17a，37a-，97a．最大的数与最小的数的差为：9312()777a a a--=．故选C．点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式训练【变式6-1】（2019·河北石家庄市·九年级二模）如图1是一个由1～28的连续整数排成的“数阵”．如图2，用2×2的方框围住了其中的四个数，如果围住的这四个数中的某三个数的和是27，那么这三个数是a，b，c，d中的_____．【答案】a，b，d或a，c，d【分析】分情况讨论：①若这三个数分别是a、b、c时，①若这三个数分别是a、b、d时，①若这三个数分别是b、c、d时，①若这三个数分别是a、c、d时；再根据所有数字都是整数进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若这三个数分别是a、b、c时，依题意得：a+b+c＝a+a+1+a+7＝27．此时193a=，不合题意，舍去．①若这三个数分别是a、b、d时，依题意得：a+b+d＝a+a+1+a+8＝27．此时a＝6，符合题意．①若这三个数分别是b、c、d时，依题意得：b+c+d＝a+1+a+7+a+8＝27．此时113a=，不合题意，舍去．①若这三个数分别是a、c、d时，依题意得：a+c+d＝a+a+7+a+8＝27．此时a＝4，符合题意．综上所述，符合题意的组合为：a，b，d或a，c，d．故答案是：a，b，d或a，c，d．【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是分情况讨论，再根据所有数字都是整数进行判断.【变式6-2】（2020·湖北七年级月考）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=____．【答案】110【详解】试题分析：根据前三个正方形中的数字规律可知：C所处的位置上的数字是连续的奇数，所以c=9，而a所处的位置上的数字是连续的偶数，所以a=10，而b=ac+1=9×10+1=91，所以a+b+c=9+10+91=110．考点：数字规律．【变式6-3】（2019·保定市第一中学分校八年级期末）观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）1515++=16767；（2）1111++=111n nn n n n--⋅++，证明见解析.【详解】【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.【详解】（1）观察可知第6个等式为：15151 6767++⨯=，故答案为15151 6767++⨯=；（2）猜想：1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++，证明：左边=1n-11n-1n n 1n n 1++⨯++=n 1n n-1n-1n n 1++++（）（）=n n 1n n 1++（）（）=1， 右边=1，①左边=右边， ①原等式成立， ①第n 个等式为：1n-11n-11n n 1n n 1++⨯=++， 故答案为1n-11n-11n n 1n n 1++⨯=++. 【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键. 题型七：图形类规律探究【例题7】（2020·福建七年级期中）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O 点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，第3次移动到A 3，……，第n 次移动到A n ，则①OA 2A 2019的面积是（ ）A ．504B ．10092C ．10112D ．1009【答案】B【分析】观察图形可知：2n OA n =，由2016OA 1008=，推出2019OA 1009=，由此即可解决问题． 【详解】观察图形可知：点2n A 在数轴上，2n OA n =，2016OA 1008=，2019OA 1009∴=，点2019A 在数轴上， 22019OA A 11009S1009122∴=⨯⨯=， 故选B ．【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 变式训练【变式7-1】（2021·河北九年级其他模拟）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101【答案】D【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【详解】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；①从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是1002 5050101=，故选：D．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．【变式7-2】（2021·湖北七年级期末）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第①个图中有5张黑色正方形纸片，第①个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第①个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．11B．13C．15D．17【答案】B【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第①个图形中正方形的个数即可．【详解】观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，…故第①个图形有3+2×5=13（个），故选B．【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．【变式7-3】（2020·保定市清苑区北王力中学七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，第l个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n的式子表示）．【答案】3n+1【详解】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型链接中考【真题1】（2017·四川中考真题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为()A．180B．182C．184D．186【答案】C【详解】由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15，①3×5﹣1=14，；5×7﹣3=32；7×9﹣5=58；①m=13×15﹣11=184．故选C．【真题2】（2020·山东中考真题）如图①，某广场地面是用A．B．C三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图①所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作(1,1)，m n位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条是__________．第二块（B型）地时记作(2,1)…若(,)【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．【拓展1】（2020·山东滨州市·八年级期中）248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0【答案】D【分析】先将2变形为()31-，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．【详解】解：2416(31)(31)(31)(31)(31)-+++⋯+22416(31)(31)(31)(31)=-++⋯+4416(31)(31)(31)=-+⋯+3231=-133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，⋯∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，3248÷=，故323与43的个位数字相同即为1，①3231-的个位数字为0，①248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的个位数字是0．故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．【拓展2】（2018·苏州市吴江区青云中学七年级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2017将与圆周上的哪个数字重合（）A．0B．1C．2D．3【答案】B满分冲刺【分析】根据圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，根据此规律即可解答．【详解】圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，则与圆周上的0重合的数是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣4n +2，同理与3重合的数是：﹣4n +1，与2重合的数是﹣4n ，与1重合的数是﹣（1+4n ），其中n 是正整数．而﹣2017=﹣（1+4×504），①数轴上的数﹣2017将与圆周上的数字1重合．故选B ．【点睛】本题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．【拓展3】（2019·湖北省直辖县级行政单位·七年级期末）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，F （n ）=3n+1；①当n 为偶数时，F （n ）=2k n （其中k 是使F （n ）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（ ）A ．1B ．4C ．2018D ．42018【答案】A【分析】计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．【详解】若n=13，第1次结果为：3n+1=40，第2次结果是：34052 ， 第3次结果为：3n+1=16，第4次结果为：4162=1， 第5次结果为：4，第6次结果为：1，…可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2018次是偶数，因此最后结果是1，故选A ．【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．。
2.1.3 多项式及整式 教案
2.1.3 多项式及整式◇教学目标◇【知识与技能】1.理解整式、多项式、多项式的项及其次数、常数项的概念;2.能确定一个多项式的项和次数.【过程与方法】通过小组讨论、合作交流让学生经历新知的形成过程.【情感、态度与价值观】激发学生学习数学的兴趣,培养学生自主探索、合作交流的能力.◇教学重难点◇【教学重点】确定一个多项式的系数和次数.【教学难点】单项式与多项式的联系与区别.◇教学过程◇ 一、情境导入式子v+2.5,v-2.5,3x+5y+2z ,12ab-πr 2,x 2+2x+18,这些式子有什么特点?二、合作探究探究点1 多项式及有关概念典例1 阅读教材第57至58页的内容,思考解决下面的问题:式子-54a 2b-43ab+1由哪几个单项式组成?这个多项式的次数是什么?常数项是多少? 3个单项式组成;这个多项式的次数是3;常数项是1.一个关于字母的x 的二次三项式的二次项系数为4,一次项系数为1,常数项为7,这个二次三项式为 .[答案] 4x 2+x+7探究点2 整式的概念典例2 填空:-5a 2,-ab ,-xy 3,a 2-2ab ,m -3n 2,1-x 22,m 3+1. 单项式有: .多项式有: .整式有: .[解析] 单项式集合:{-5a 2,-ab ,-xy3};多项式集合:{a 2-2ab ,m -3n 2,1-x 22,m 3+1}; 整式集合:{-5a 2,-ab ,-xy 3,a 2-2ab ,m -3n 2, 1-x 22,m 3+1}.下列说法正确的是( ) A.-2x 2y 3的系数是-2,次数是3B.单项式a 的系数是0,次数是0C.-3x 2y+4x-1是三次三项式,常数项是1D.单项式-32ab 2的次数是2,系数为-92[答案] D三、板书设计多项式及整式整式{多项式{项次数单项式◇教学反思◇事实证明,学生没有养成一个良好的自主学习的习惯,不会自己阅读、分析题意,他们今后的学习会受到很大的制约.这节课的教学内容并不难,建议让学生自学这节内容,培养学生自主学习的习惯和独立思考的能力,然后通过习题练习加深学生对多项式的了解.。
2.1 整式—多项式教案
启动原有认知导入
自主学习法
练习法
讲解法
练习法
归纳总结结束
作业法
3分
8分
15分
12分
2分
板
书
设
计
2.1 整式—多项式
1.多项式：
2 多项式的项
3多项式的 次数
例题
教
学
反
思
备课时间：授课时间：
课题
2.1整式—多项式
周次
6
节次
2
总节数
22
教
学
目
标
1 知识与能力：使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．通过实例列整式
2 过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力
3. 情感态度价值观：教育学生要把所学到的知识联系生活实际
重点
多项以及有关概念．
难点
（1）写出表示第三边长的式子；
（2）当a＝4时，求第三边的长；
2、从2008年1月起，我市出租车收费标准调整为： 行驶路程在3千米以内（包括3千米）付起步价6元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.5元，试用乘车路程S（S＞3千米）表示乘车费用的代数式为 。
四.小结：师生互动，共同小结本节课内容
五．布置作业：课本第59，60页，习题2．1第2、3、4、5、6、7
准确确定多项式的次数和项．
教 学 过 程
教学环节
教学内容
教学方法
时间
一．新课引入：1．什么叫单项式？举例说明．
2．怎样确定一个单项式的系数和次数？-的系数、次数分别是多少？
二．自主学习：
请同学们阅读课本第58页有关内容，并回答下列问题． 1．几个单项式的和叫做_________；
2_1_3多项式及整式的加减(1)
2.1.3多项式一、预习案：1、多项式：几个单项式的叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的。
其中，不含的项叫常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
２、多项式的次数：多项式里，次数的项的次数，就是这个多项式的次数。
３、整式：与统称为整式。
课堂导学案一.学习目标：1．掌握多项式、多项式的项及其次数，常数项的概念。
2.确定一个多项式的项、项数和次数。
3．由单项式与多项式归纳出整式概念。
4. 在自主探索的学习过程中，引导学生观察、归纳、理解多项式，并与单项式实行比较，使用化归思想，让学到的知识系统化。
学习重点：掌握整式及多项式的相关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
学习难点：多项式的次数。
二、课堂学习：（一）预习检查（随机抽取2~3组作汇报或提出困惑）（二）自主学习课本Ｐ５７-５８页并完成以下各题１.指出以下多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。
２.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列。
(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列。
（三）小组合作学，共同解决疑惑的问题 １、将多项式23465x x x --+升幂排列与降幂排列。
２、多项式a 3-3ab 2+3a 2b-b 3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母b 降幂排列得 .３、把多项式-5x 2-6x 4+2x-31x 3+5按字母x 的升幂排列为： . ４、 把多项式4x 3y 2-xy 3-2x 2y 4+3x 4-5按x 的降幂排列，再按y 的升幂排列. ５、 把多项式5x 3y-y 4-3xy 3+2x 2y 2-7.按y 的升幂排列:（四）巩固练习（先独做后交流，共同解决）： 1．判断题（对的画“√”，错的画“×”）1、（1）263m-是整式；（ ） （2）单项式6ab 3的系数是6，次数是4；（ ） （3）acb 23-是多项式；（ ） ２、将以下多项式中的(1)，(2)按字母x 的降幂排列，(3)，(4)按字母y 的升幂排列：()2221x y xy ++= ；()33222532x y xy y x -+-= ；()7233322-+-y x y x xy= ；()4342233454y y x x y x xy --+-= 。
七年级数学上册-2.1 整式(第2课时)--多项式 教案
2.1 整式--多项式课型新授单位主备人教学目标：1.知识与技能：1.掌握多项式的定义；2.会确定一个多项式的项和次数;3.理解多项式与单项式和整式的区别和联系；2.过程与方法：经历动手操作和自主探究的过程，进一步积累认识多项式与单项式和整式的区别和联系；。
3.情感、价值观：保持探索精神,养成积极探索的精神和合作意识，感受数学的价值。
重点、难点：教学重点：会确定一个多项式的项和次数;。
教学难点：会确定一个多项式的项和次数;教学准备：PPT课件和微课等。
教学过程一、创设情景、引入新课复习提问：１．单项式的定义？２．什么是单项式的系数？３．什么是单项式的次数？4．单项式与代数式有什么区别与联系？注意：单项式中只含有乘法运算和数字做分母的分数形式．（字母不能做分母）二、自主学习、合作探究请同学们看课本，并把内容补充完整。
（1）什么是多项式（2）什么是多项式的项；（3）什么叫常数项；（4）什么是多项式次数（5）什么是整式。
自主检测：判断下列式子哪些为多项式？2、指出下列多项式的项和次数.12324+-n n3223b ab b a a -+-3、指出下列多项式是几次几项式：13+-x x222332y y x x +-4、填空1. 多项式x+y-z 是单项式___,___,___的和,它是___次___项式.2.多项式3m 3-2m-5+m 2的常数项是____,一次项是_____, 二次项的系数是_____.5、拔高题六、总结升华、反思提升同学们，请你回想一下，这节课你有什么收获？学生说收获。
【学生对本节课进行知识梳理，巩固教学目标。
】板书设计:3.2 整式--多项式1、多项式的概念：2、多项式的项：3、多项式的次数：4、多项式的名称：作业设计最佳解决方案个基础：1、______________叫做多项式2、____________________________叫做多项式的项3、_________叫做常数项4、一个多项式含有几项，就叫几项式．______________多项式的次数．5、指出下列多项式的项和次数：（1）；（2）．6、指出下列多项式是几次几项式:（1）；（2）7、__________________________统称整式拓展：8、一个两位数，个位数字是a，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是．参考答案：1、几个单项式的和2、在多项式中，每个单项式3、不含字母的项4、最高次项的次数5、（1）三次四项式（2）四次三项式6、（1）三次三项式（2）四次三项式7、单项式和多项式 8、11a+20教学反思：1、本节课内容以单项式为基础，在复习单项式的定义和次数的前提下，引入多项式。
初中数学_2.1.3 多项式教学设计学情分析教材分析课后反思
2.1.3 整式——多项式学情分析初中数学是中学数学的基础，打好这个基础，对减少两极分化，开发智力，发展思维，培养人才都是至关重要的。
七年级上学期学生正经历从小学到初中学习和生活的一个转化期，还没有形成自己的正确的、良好的学习习惯。
我所任教班级的学生基础不是很扎实，整体学习能力处于较低水平，学生对学习新的知识的理解需要较长的过程，再加上学生小，有很强的好动性，注意力易分散，爱发表见解这一特点，容易将单项式与多项式的相关概念混淆，所以我认为在教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析，同时要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生学习的积极性。
当然，还有部分学生比较喜欢上数学课，学习热情也很高，并喜欢与老师友好相处，当然成绩也不错，这部分学生可以形成很好的带头作用。
但仍有少部分学生学习懒散、学习习惯差，如：粗心大意、不愿思考问题，有些学生抄作业现象比严重。
需要好好的引导和督促。
本节课的内容为多项式的有关知识，比较简单，可充分利用小组合作学习的教学模式，发挥学生的自主学习的能力，学好本节课应该是比较容易的。
效果分析高效的数学课堂是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，课堂上应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；培养学生良好的数学学习习惯，掌握有效的数学学习方法。
更重要的是学生能够接受本节课的教学内容，能够比较灵活的运用知识解决涉及这部分内容的题目。
学生能够学以致用才是教学的最终目标，只有这样，才是比较好的完成了本节课的教学任务。
而当堂的小测验是检测学生是否学会了知识的一个最直接的体现。
题目的选择至少应符合以下特点（1）内容适当所选题目必须覆盖本节课的主要知识点。
（2）难易程度适当所选题目既要体现新课标要求，又要符合学生实际，面对不同的学生需选用不同的题目，既不可太难，亦不可过于简单。
（3）题量适当课堂测试的时间5--10分钟左右，题量不可太大。
整式多项式
2.1.3 整式——多项式学习目标 :1、掌握整式中多项式的项及其次数、常数项的概念；整式的概念；2、通过小组交流、合作学习，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力；3、培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，体会类比思想。
学习重点：多项式的定义，多项式的项、次数及常数项。
学习难点：多项式的次数和项。
一、学前准备1、什么叫单项式 ,单项式的系数、次数是什么？2、下列代数式哪些是单项式？并说出各单项式的次数和系数。
1x , 3ax 2,a b,6 xy 1,5, r 2 ,10 9223x3、观察 2 小题中不是单项式的式子与上节课所学单项式有何区别。
二、探究新知【活动一】请同学们看教材例 2 中的式子，阅读课本第58 页有关内容，并回答以下问题：v 2.5 ， v 2.5，3x5y 2z ，1ab r 2， x22x 18 2上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样几个单项式的叫做多项式。
在多项式中，叫做多项式的项。
其中，叫做常数项。
例如，多项式x22x 18 有项，它们分别是。
其中+5 是项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
如x22x 18 是项式。
在多项式里，，叫做这个多项式的次数 .例如：多项式v 2.5中次数最高项的一次项v，这个多项式的次数是；多项式x22x18 中次数最高项是二次项 x2，这个多项式的次数是.1 / 4注意：多项式的项包括各项前面的符号。
【活动二】思考：1、多项式的次数怎么确定？观察多项式x22x18 中各项的次数分别是多少？其中次数最高的项的次数是多少？解：规定：多项式里的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式 x2 2 x 18 的次数是；这个多项式读作次项式。
小试牛刀：填表多项式项项数最高次项次数常数项x-3x2+4xy4－8x5+3x2y2－5xy2－6注意：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数；2、多项式的次数与单项的次数有什么区别？单项式的次数：多项式的次数：3、我们把和统称为整式。
第二单元2.1第3课时《多项式》 作业设计 人教版初中数学七年级上册
义务教育“作业设计我来评”优秀作业征集评比参赛作品一、作业设计内容人教版初中数学七年级上册第二单元2.1第3课时《多项式》二、作业设计类型课时作业三、作业目标1.能理解多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数以及整式的概念。
2.会准确迅速地确定一个多项式的项和次数，能正确区分单项式和多项式。
3.在解决问题中体会数学与生活的联系，能用多项式表示具体问题中的数量关系。
四、作业设计方案1、指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2+y2，-x，，10，6xy+1，，，2x2-x-5，，a72、写出下列各多项式的项和次数，并指出是几次几项式．(1)；(2)a+b+c-d；(3)-a2+a2b+2a2b2.3、若m，n为自然数，且m>n，则多项式的次数应是( )A．m+n B．m C．n D．m-n4、若多项式是一个关于x，y的四次四项式，则k= .5、已知(a-2)m2+(2b+1)mn- m+n-7是关于m，n的多项式,若该多项式不含二次项，求3a+2b的值.6、某公园的门票价格是：成人票单价为20元，学生票单价为10元，满40人总票价可以打8折。
设一个旅游团共有x人(x>40,其中学生有y人)。
(1)用含x，y的式子表示该旅游团应付的门票费；(2)如果旅游团共有60人，其中学生有12人，那么他们应付多少门票费？五、设计理念阐述这是在学生掌握了单项式及单项式系数、次数的概念，并能用单项式表示具体问题中的数量关系学会基础上，让学生理解多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数以及整式的概念。
第一环节知识要点回顾，能够正确区别单项式、多项式与整式。
第二环节通过由易到难的练习，能够熟练掌握的多项式的项、常数项、多项式的次数的知识。
第三个环节知识的综合应用，在实际问题中体会数学与生活的联系，能灵活运用多项式表示具体问题中的数量关系。
练习环节设计了三个闯关过程，依次由具体到抽象，让学生结合实际问题加深对整式表示具体问题中的数量关系的理解。
多项式,整式知识点总结
多项式,整式知识点总结一、整式。
1. 整式的概念。
- 整式为单项式和多项式的统称。
- 整式中的分母不含有字母。
例如，(1)/(x)不是整式，因为分母含有字母x；而3x + 2，5，-(2)/(3)x^2y等都是整式。
2. 整式的分类。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，5x，-3，a都是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如，在单项式-3x^2y中，系数是-3，次数是2 + 1=3。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
例如，2x^2+3x - 1是多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
如多项式x^3 - 2x^2+5x - 3，它的项分别是x^3、-2x^2、5x、-3，常数项是-3，次数是3。
二、多项式。
1. 多项式的项与次数。
- 项：如前面所述，多项式是由几个单项式相加组成的，其中的每个单项式就是多项式的项。
例如，多项式3x^2 - 2x+1有三项，分别是3x^2、-2x、1。
- 次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。
在多项式4x^3 -2x^2+5中，次数最高的项是4x^3，其次数为3，所以这个多项式的次数是3。
2. 多项式的排列。
- 升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
例如，多项式x^2+3x^3 - 2x + 1按x的升幂排列为1 - 2x+x^2+3x^3。
- 降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
例如，上述多项式按x的降幂排列为3x^3+x^2 -2x+1。
3. 同类项与合并同类项。
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
七年级上第二章《整式》全章教案
§2.1.1整式——单项式一、教学目的：（一）知识点目标：使学生理解单项式及单项式系数、次数的概念，并会找出单项式系数、次数.（二）能力训练目标：初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力.（三）情感与价值观要求：学生初步认识特殊与一般的辩证关系． 二、教学重点：单项式及单项式的系数、次数的概念． 三、教学难点：找出单项式的系数、次数．四、教学过程：（一）提出问题，引入“单项式”概念1．回忆 列式：（1）若正方形的边长为a ，则正方形的面积是____________； （2）若三角形一边长为a ，并且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为_________； （3）若m 表示一个有理数，则它的相反数是____________；（4）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱给希望工程，一年下来小明工捐款_____元. 2．提出问题：以上几个代数式有什么共同特征？引导学生对上述几个代数式进行观察、分析，让他们自己得出以下结论：上面几个代数式的共同特点是：都表示数与字母的积．在学生回答的基础上，教师进行总结：这就是我们今天所要学习的一种最简单的代数式——单项式．(二)新知识的学习1．单项式的定义：表示数字与字母积的代数式，叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．(此定义前半部分由学生总结，后半部分由教师补充．) 练习 指出下列各式中，哪些是单项式：.3,2,6,31,,9.0,%20,,,5,,61,22332x x y x y x xy m a b a ab a xy abc ----+-(设计意图：此练习让学生回答，通过此练习，一方面巩固刚刚学过的单项式定义，另一方面是让学生逐步学习如何应用定义去判断“是”或“不是”．) 2．单项式的系数 3．单项式的次数例1 判断下列各代数式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数：（1）1+x ； （2）x 1； （3）2r π；（4）b a 223-．解：（1）不是．因为原代数式中出现了加法运算．（2）不是．因为原代数式是1与x 的商． （3）是．它的系数是π，次数是2． （4）是．它的系数是23-，次数是3． 在学生回答的基础上，教师指出，单项式的数字因数即为“系数”，要特别注意“系数”必须包括前面的“＋”或“－”号，另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“－1”时，只写“－”就可以了；单项式次数只与字母指数有关.（三）进一步巩固新知识课本第56页练习题的第1、2题. （四）小结1．今天我们学习了代数式中的那一部分？(单项式),学习了关于单项式哪些相关知识？(定义、系数、次数)2．在单项式的定义中，提到了“单独一个数或一个字母，也是单项式”，也就是说，以前我们所学过的有理数，都属于单项式，可见，有理数是特殊的单项式． （五）布置作业课本第59页习题2.1的第1题.五、教学反思：§2.1.2整式——多项式一、教学目的：（一）知识点目标：使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念.（二）能力训练目标：1．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力.2．由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新.（三）情感与价值观要求：初步体会类比和逆向思维的数学思想. 二、教学重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念.三、教学难点：多项式的次数.四、教学过程：设计思路 从学生已掌握的式子入手，既复习了所学知识，又巧妙的引入了新知，介绍多项式的项、次数以及常数项的概念后，引导学生循序渐进，一步一步的接近本节课学习的重点、难点.掌握了所有的概念后由学生自己举一些多项式的例子，这样更能反映出学生掌握知识的程度，同时也体现了学生学习的主体性.最后列举几个例子，与学生一起完成.教学中一方面教师要示范严格的书写格式，另一方面也可使学生顺着教师的思路，体验一下老师是如何想的，如何来考虑问题的，然后由学生完成当堂课的练习，也可让一两位同学上黑板完成.要了解学生是否真正掌握本节课的内容，可由学生自己进行课堂小结，接着布置作业进一步巩固本课所学知识. (一)导入 1．列式：（1）长方形的长与宽分别为a 、b ，则长方形的周长是____________； （2）某班有x 人，女生21人，则这个班有男生__________人；（3）鸡兔同笼，鸡a 只，兔b 只，则共有头_______个，脚_______只.(设计意图: 由于本课的主题是多项式，通过列代数式引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知提供丰富的素材.) ]2．观察以上所得出的四个式子与上节课所学单项式有何区别.（1）)(2b a + ； （2）21-x ； （3）b a + ； （4）b a 42+ .（设计意图:由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的口表能力.通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教室可给予适当的提示及补充.）板书由学生自己归纳得出的多项式概念：由几个单项式的和组成的式子叫做多项式.（教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想.）（二）展开1．指出下列多项式的项和次数：（1）3223b ab b a a -+- （2）12324+-n n解：（1）多项式3223b ab b a a -+-的项为3223,,,b ab b a a --，次数为3；（2）多项式12324+-n n 的项为1,2,324n n -，次数为4，常数项为1.（设计意图：这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第（1）题中第二、四项应为32,b b a --，而往往很多同学都认为是b a 2和3b ，不把符号包括在项中.另应注意：多项式的次数为最高次项的次数.）2．例题例2 指出下列多项式是几次几项式.（1）33+-x x ； （2）222332y y x x +-.例3 已知代数式1)1(3+--x m x n是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件. （让学生口答例1、例2，老师在黑板上规范书写格式.讲述例1时应特别提醒学生注意，多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数.在例2讲完后插入整式的定义.例3分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力.） (三)巩固练习 1．填空：134452+--ab b a 是_____次_____项式, 其中三次项系数是_______,二次项为______, 常数项为__________，写出所有的项_________________________. 2．判断下列各式是否是整式.（1）1； （2）r ； （3）r π34； （4）11+x ； （5）512+x ； （6）π22x .3．已知代数2222y mnx x +-是关于字母x 的三次三项式，求m 、n 的条件.（第1、2题可让学生直接口答，第3题需说出理由，鼓励有不同意见的同学大胆说出自己的看法.）（四）课堂小结理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几.（让学生小结，师生进行补充.） 系统概括知识结构，并指出单项式与多项式统称为整式。
2.1.3___整式-多项式
s 15 b ＝4 cm，h＝5 cm时，＝ a ＝2 cm，
cm 2 ．
a+1 例2、代数式3x + 4x – 2b是关于x的四次 二项式，试求a, b的值 解 ∵代数式的次数是四次 ∴a = 3 ∴a + 1 = 4
又∵代数式的项是二项
复习
旧知
-a -1 1
填表：
单项式 系数
r2 1 2
3xy2 3 3
5mn 4 2 5 2
1 2 x yz 2
1 2
次数
5
4
数或字母的积的式子叫做单项式. 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
一个单项式中的所有字母的指数的和叫做这 个单项式的次数.
思考
思考
我们来看例题2中的式子 （v+2.5）、 （v-2.5）、 3x+5y+2z、
5 xy 4 x y;
4
m 3.
3
注意：几次几项式的数字要大写.
思维拓展
用多项式填空，并说出它们的项和次数.
（1）已知一个二位数的个位数字是m，十位
数字是n．用关于m和n的式子表示这个二位数 b 10n＋m _____________. （2）图中阴影部分的面
b a
a
积是___________. a2－b2
练习 教材中第59页练习的第2题，
课堂
小结
这节课的学习中，你有什么新的收获和 体会？
1. 多项式有关定义：
几个单项式的和叫做多项式.
多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中， 不含字母的项叫做常数项. 多项式里，次数最高的项的次数叫做多项式的 次数. 2. 单项式和多项式统称为整式.
2_1_3 多项式及整式【2022秋人教版七上数学精品课件】
的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
针对练习
已知多项式−5x 2 y m+1 + xy 2 − 3x 3 − 6是六次四项式，且3x 2n y 5−m 的次数跟
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积（单位：cm2）是
πR2 πr 2 3.14 152 3.14 102
392.5(cm 2 )
这个圆环的面积是392.5cm2.
针对练习
一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆，求：
(1)花坛的周长L；
a
(2)花坛的面积S.
A．单项式− 3 的系数是−3，次数是2
B．单项式−3 2 的次数是3
C．42 2
1
32
3
6
1
3
0
典例解析
例1.下列整式中哪些是单项式?哪些是多项式?是单项式的指出系数和次数，
是多项式的指出项和次数.
x2,y2,-1
2
3x2,-y,3xy3,x4,-1 2x,-y
4
1
在确定多项式的项和次数时应注意：
1.多项式的各项应包括它前面的符号；
2.多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前
面的符号；
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，
然后找次数最高的;
《2.1.3 多项式》课件(两套)
；
4、如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅
的建筑面积是 x2+2x+18㎡。
再挑战“记忆”
我思,我进步2
知识的升华
t-5 3x+5y+2z 1 ab r2 x2+2x+1
2 单项式＋单项式
8
几个单项式的和叫做多项式
判断. 下列代数式哪些是多项式?
①a, ② 1 x2y, ③ 2x 1, ④x2 xy y2. 3
9x 2
x
3ab
3
2ab x
2
×
3ab
π
x 1×
温馨提示
单独一个数或一个字母也叫单项式!
单项 式
4x
6a2
a3
系数 4 6 1
-n vt 2πR
-1 1 2π
3 12727xxy22yzz
2
在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点：
1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2.圆周率π是常数。 3.当单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 4.单项式的系数应包括它前面的性质符号。
多项式的次数是5 第三项是-4ab，系数是-4，次数 是2.
思考题：
1.多项式 5xmy2 (m 2)xy 3x 如果的次数为4次，则m为多少？ 如果多项式只有二项，则m为多少？
思考题：
一个关于字母x的二次三项式的 二次项系数为４，一次项系数 为１，常数项为7则这个二次三
项式为 ４x２＋x＋７ 。
B.单项式a的系数是0, 次数是0
C. 3x2y 4x 1是三次三项式,常数项是1
D.单项式 32ab 的次数是2,系数为 9
2
2
7、判断题： （1）-5ab2的系数是5（× ）
整式--多项式、整式
2.1(2)整式--多项式、整式一．【知识要点】1.(1)多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.注意：（1）多项式是由单项式构成的，它是几个单项式的和；（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.2.整式的概念：单项式和多项式统称整式.二．【经典例题】1.填空:（1）若三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，则三角形的周长是 ;（2）某班有男生x 人，女生21人，则这个班的学生一共有 人（3）如图，阴影部分的面积为 。
（4）.我们知道:23=2×10+3；865=8×100+6×10+5=8×102+6×10+5类似地：3725= ×1000+7× +2×10+5×则若某三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则此三位数可表示为 .（5）某市出租车收费标准为：起步价8元，3km 后每千米加1.4元，则某人乘出租车xkm 的车费是多少？2.指出下列多项式的项和次数，并指出是几次几项式:（1）a 3－a 2b+ab 2－b 3； （2）3n 4－2n 2+1；（3）x 3－x+1；（4）x 3－2x 2y 2+3y 2．3.已知关于x 的多项式(a －1)x 5＋2b x +－2x ＋b 是二次三项式，求a,b 的值.4.在代数式22221,5,,3,1,35xx x x x x +--+π中是整式的有 （ ）个. A.3 B.4 C .5 D 65．（4分）若多项式||22(2)1m n xy n x y -+-+是关于x ，y 的三次多项式，则mn =________．6.欢欢在做题时不小心把墨水洒在了纸上，盖住了x的次数：x●＋xy＋a.如果此多项式是三次二项式，那么盖住的数字为___，且a=___.7．（2023年绵阳期末第4题）二次项系数为5的多项式是（）A．-5x2+5 B．2x3+5x2C．-8+5x D．5-5x2-5x三．【题库】【A】1．如果一个长方形的周长为10，其中长为a，那么该长方形的面积为（）A．10a B．5 a－a2 C．5a D．10a－a22.代数式表示“m的3倍与n的差的平方”:________________.3．三个连续的偶数中，n为中间的一个，则这三个偶数的和为4.一次聚会中，有5人参加，如果每两个人都握手一次，共握手___________ 次．6.用代数式表示：x.y两数的平方和减去它们乘积的2倍是___________________________7.用适当的符号表示：x的2倍与1的差不小于x的3倍_______________________________8.一个三位数的百位数字为5，十位数字为a，个位数字为b，则（1）这个三位数是_____________________ ；（2）把个位数字和百位数字交换位置，所得的三位数是_____________________9.某种商品每件标价a元，若以标价的八折销售，每件仍可获利b元，则这种商品每件的进价为___________________________ ．10.用代数式表示：（1）比a小3的数；（2）比b的一半大5的数；（3）a的3倍与b的2倍的和；（4）a与b的和的60% .11.一个两位数，十位数字为x，个位数字为y，若在两个数字中间插入数字0，则所成的三位数为________________________ ．12.设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍；（2）甲、乙两数的平方和；（3）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积；（4）甲、乙两数和的平方 .13.如果一个三位数为x，把数字1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数可表示为____________14.一个三位数的百位数字是2，十位数字与个位数字组成的两位数为x ，用代数式表示这个三位数为 _______________________．15.x 表示一个两位数，现将数字5放在x 的左边，则组成的三位数是（ ）A.5xB.10x+5C.100x+5D.5×100+x16.两列火车都从A 地驶向B 地．已知甲车的速度是x 千米/时，乙车的速度是y 千米/时．经过3时，乙车距离B 地5千米，此刻甲车距离B 地（ ）A.[3（－x+y ）－5]千米B.[3（x+y ）－5]千米C.[3（－x+y ）+5]千米D.[3（x+y ）+5]千米1.若A 是一个三次多项式，B 是一个四次多项式，则A +B 一定是（ ）A.三次多项式B.四次多项式或单项式C.七次多项式D.四次七项式2.多项式2－3×x +y 的次数是（ ）A.10次B.12次C.6次D.8次3.多项式2－++25的次数是（ ）A.二次B.三次C.四次D.五次4.关于多项式－3++++x 的说法正确的是（ ）A.是六次六项式B.是五次六项式C.是六次五项式D.是五次五项式5.如果多项式（a +1）－ －3x －54是关于x 的四次三项式，则ab 的值是（ ）A.4B.－4C.5D.－56.若A 与B 都是二次多项式，则A －B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（ ）个．A.5B.4C.3D.27.在式子， －4x , －abc , π, , x +, 0, －, a ²－b ²中， 单项式和多项式各有（ ）个。
人教版数学七年级上册2.1第3课时多项式及整式优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景基于人教版数学七年级上册2.1第3课时多项式及整式的教学内容。在经过前两课时的学习后，学生已经掌握了多项式的基本概念和简单运算，但对多项式的深层次理解和灵活运用仍有所欠缺。因此，本节课的教学目标旨在让学生进一步理解多项式的性质，能够运用多项式进行实际问题的解决，并培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生主动探索，鼓励学生发表自己的观点，使学生在轻松愉快的氛围中掌握多项式的知识。同时，我还关注学生的个体差异，针对不同程度的学生给予适当的辅导，确保每个学生都能在课堂上得到有效的学习。
二、教学目标
（一）知识与技能
本节课的主要知识点是多项式的性质和运算。通过本节课的学习，学生需要掌握多项式的定义，了解多项式的各项、系数、次数等基本概念，并能够进行多项式的加减乘除运算。同时，学生还需要理解多项式相等的条件，并能够运用这些知识解决实际问题。
为了达到这个目标，我会在课堂上通过讲解和示例，让学生充分理解和掌握多项式的基本概念和运算规则。同时，我会设计一些具有挑战性的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
在本节课中，我采用了自主探究和合作交流的教学方法。通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索多项式的性质。在学生掌握多项式的基本概念和运算规则后，我会组织学生进行合作交流，让学生在讨论中互相启发，互相学习，提高学生的思维能力和创新能力。
在教学过程中，我还会设计一些实际问题，让学生运用多项式的知识进行解决。例如，可以设计一些关于面积、体积计算的问题，让学生运用多项式进行计算。这样，学生不仅能巩固所学的知识，还能培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
2.1整式——多项式说课稿2022-2023学年人教版七年级上册数学
2.1整式——多项式说课稿（2022-2023学年人教版七年级上册数学）一、教材分析本节课是人教版七年级上册数学的第二单元第一节课，主要内容是关于整式的概念和多项式的理解。
通过本课的学习，学生将能够掌握整式的定义和多项式的特点，能够根据给定的多项式进行有关的运算和分析。
二、教学目标1.知识目标：–理解整式的定义；–了解多项式的特点；–掌握多项式的运算和分析方法。
2.能力目标：–能够根据给定的多项式进行加减乘除等基本运算；–能够在实际问题中应用多项式进行分析和解决问题。
3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和热爱；–培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
三、教学重难点1.教学重点：–整式的概念和定义；–多项式的特点。
2.教学难点：–多项式的运算和应用。
四、教学过程1. 导入新课通过对学生已有知识的复习，引入整式的概念。
2. 整式的定义引入整式的定义和相关概念，包括单项式和多项式。
3. 多项式的特点讲解多项式的特点，包括项的个数、次数和系数等。
4. 多项式的运算介绍多项式的加减乘除运算规则，通过例题进行演示和讲解。
5. 多项式的应用通过实际问题引入多项式的应用，如多项式的因式分解和求解问题。
6. 总结与提问对本节课的内容进行总结，并提问相关问题来巩固学生的学习成果。
五、板书设计整式——多项式- 定义：- 单项式：只有一个项的整式，形如a*x^n。
- 多项式：包含两个或多个项的整式，形如a*x^n + b*x^m + ...。
- 特点：- 项的个数：多项式的项的个数。
- 项的次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 系数：多项式中各项的系数。
六、课堂练习1.下列哪个是整式？–A. 2x + 1–B. √2x–C. x^2 + 3y - 5–D. 5 - 2y2.计算多项式的值：5x^2 - 3xy + 2y^2，当x=2，y=-3时。
3.求多项式的和：(4x^2 - 3x + 1) + (2x^2 + 5x - 2)。
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知识要点
单项式和多项式统称为整式.
归纳
整式
单项式 5a，－3m2 多项式 3x＋2，xy－6y3
随堂练习
1. 单项式－m3n 的系数是___－__1__,次数是 ___4___, m5n3是__8__次单项式.
思考
思考
我们来看例题2中的式子
（v+2.5）、 （v-2.5）、 3x+5y+2z、
(x2+2x+18)、
1 2
ab- πr2
这些式子有什么共同特点？
思考
X2 +2x +18 3x +5y +2z
V +2.5 V -2.5
单项式的和
知识要点
几个单项式的和叫做多项式. 在多项式中，每个单项式叫做这 个多项式的项．
积是___a_2_－__b_2___.
a
a
思维拓展
（3） 每升高1千米,气温下降 6℃.已知山
脚下的气温为16 ℃，那么登高h千米后，气
温为（____1_6_－__6_h_ ）℃.
（4）下图中阴影部分的面积为
___l_2___πr_2___.
l
r l
r
多项式 10n＋m a2－b2 l2 πr2 16－6h
解：由题意可得： －a＝２, 1＋b＝3.
得：a＝－2, b＝2.
答：a为－２，b为２.
课堂小结
整式
单项式
系数：单项式中的数字因数 次数：所有字母的指数的和
项：多项式中的每个单项式 多项式
次数：多项式里次数最高项的次数
随堂检测
1、在式子：
2 a
、
a、 3
1 x
y
、
x
2
y 、
1 y2
2
、1-x-5xy2、－x
中，哪些是单项式，哪些是多项式？哪些是整式？
单项式有
整式
a、 3
a 、 3 x
2
1
2 y2
y 、
、－x
x
多项式有 2
1
2 y2 、1-x-5xy2 、－x
y 、1-x-5xy2
2、
1 2
y2 的系数是（
1
1 ），次数是（
2
2 ），
a 3
的系数是
（ 3 ），次数是（1 ）；
3、 x
2
y 、 的项是（ x 、 y 22
4 x3y xy 1.
多项式的次数
知识要点
多项式里次数最高项的次数，就是 这个多项式的次数．
指出下列多项式的次数．
2ab＋2ah＋2bh
2
πR2πr2
2
5x－4
1
2rh 1 πr 2
2
2
对应练习
思维拓展
1．请说出下列多项式是几次几项式？
4 a 3b 3 a b 2 7; 六 次 三 项式
5 x y 3 4 x 4 y; 四 次 三 项式
m3 3.
三 次 二 项式
注意：几次几项式的数字要大写.
思维拓展
用多项式填空，并说出它们的项和次数.
（1）已知一个二位数的个位数字是m，十位
数字是n．用关于m和n的式子表示这个二位数
__1_0_n_＋__m______.
b
（2）图中阴影部分的面 b
随堂练习
5．下列说法中,正确的是（ D ）
A．单项式x3y2 的系数是1,次数是3 3
B. 单项式-a的系数是0,次数是1
C. xy2 4y2 6z是二次三项式
D. 单项式 32a4b的次数是5,系数是 9
2
2
随堂练习
6．如果－axyb是关于x、y的单项式，且 系数为2，次数为3，则a，b分别是多少？
思考
下列多项式是哪些单项式的和？
2ab＋2ah＋2bh
2ab、2ah、2bh
三项式
πR2 -πr2 5x－4
πR2和-πr2 5x、－4
二项式 二项式
2rh 1 πr 2 2
2rh和 1 πr 2 2
二项式
注意：多项式的每一项包含前面的符号．
知识要点
常数项
多项式里不含字母的项．
5 v 2 8; 6 m 3 5 y 8; 1 a3 3. 2
2. 多项式3x2＋6y－2z是单项__3_x_2_,_6_y____, ___－__2_z __的和,它是_二__次__三_项式.
3. 多项式4m2－5m－7＋m3的常数项是_－__7_, 一次项是_－__5_m_, 二次项的系数是___4__.
4. 如果 -3xym-2 为6次单项式, 则m＝__7__.
），次数是（ 1），1-x-5xy2
的项是（1、-x、-5xy2），次数是（ 3），是（ 三）次（ 三）项
项 10n、m a2、－b2 l 2 、 πr2 16、－6h
思维拓展
次数 1 2 2 1
2．填空.
思维拓展
多项式 项
最高次项
3x 4 y2
6m2 4mn4
1a5b 6b4 ab 2
5 x3y 2
1 2
6 m 2 4mn4 4mn4
1 a 5b 2
6b4 a b
1 a 5b 2
r
●
RO
R2r2
= π ×152 – π×102 =（225-100） π =125 π
答：圆环的面积是115 π cm2
例题讲解
例：某人从甲地到乙地，去时顺风，回来时逆 风．如果已知风速时2千米/时，那么他往返的速度 分别怎样表示？如果甲乙两个人在无风中时速度分 别是20千米/时，25千米/时，则他们在顺风中和逆 风中的速度各是多少？
3 x 4y2
5x3y2
1 2
5x3y2
几次几项式 五次二项式 六次三项式 五次四项式
例题讲解
例4 如图，用式子表示环形的面积。 当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积（结果保留π）。
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，
所以圆环的面积是 R2r2
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积（单位：cm2）
对应练习
指出下列多项式中的常数项.
2 m 7;
m3 1 n 2;
2
5
x 3 y 5 x 2 4;
1 ab 5. 2
对应练习
说出下列多项式是几项式，及其各 项分别是什么？
a b c; 2 x 9; m 3 4 m n n; 4 x 5 8 y 2 6;
解：设在无风时行驶速度为v千米/时，则： 顺风行驶的速度为：（ v＋2）千米/时； 逆风行驶的速度为：（ v－2）千米/时；
例题讲解
若甲在无风时的速度为20千米/时，即v＝20, 则： v＋2＝20＋2＝22；
v－2＝20－2＝18. 若乙在无风时的速度为25千米/时，即v＝25, 则： v＋2＝25＋2＝27；