选修4-5 第一讲 不等式 学案

高二数学学案
使用时间：2013、4 编印者： 审定者：
============================================================
一、学习目标：
1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基
础。

2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关
系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

二、预习指导：
1、不等式的基本性质：
实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴
上的表示可知：
b a b a -⇔>
b a b a -⇔=
b a b a -⇔<
结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、.不等式的基本性质：
10. 对称性：b a >⇔ ；
20. 传递性：⇒>>c b b a , ；
30. 同加性：⇒>b a ；
推论：同加性：⇒>>d c b a , ；
30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；
推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；
推论2：乘方性：
⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；
推论4：可倒性：⇒>>0b a .
☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)．
三、导学交流：
1、比较)7)(3(++x x 和)6)(4(++x x 的大小。

2、已知d c b a <>,，求证：d b c a ->-
3、已知a>b>0，c>d>0，求证：
c b
d a >。

四、随堂检测：
1：已知3>x ，比较x x 113+与662+x 的大小。

2：已知a>b>0，c<d<0,求证：d
b a
c a b -<-。

3、若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( )
()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.
五、拓展延伸
1、若0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((2
2y x y x +-的大小；
2、设b a
b a ≠>>且,0,0，试比较a b b a b a b a 与的大小.
六、作业 课本109-P 第1、2、3、4题
七、教学反思
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
高二数学学案
使用时间：2013、4 编印者： 审定者：
============================================================
一、学习目标：
1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;
2. 初步掌握不等式证明的方法
二、预习指导：
1. 不等式的基本性质：
10. 对称性：b a >⇔ ；
20. 传递性：⇒>>c b b a , ；
30. 同加性：⇒>b a ；
推论：同加性：⇒>>d c b a , ；
30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；
推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；
推论2：乘方性：
⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：
⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .
2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．
☻建构新知：
1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
证明: (代数)___________________________________________________ ____________________________________________________
几何解释：
2. 定理2(基本不等式)
如果+∈R b a ,
，当且仅当 时，等号成立。

几何解释
我们把2
b a +称为b a ,的 ，ab 称为b a ,的 ，
基本不等式可以表述为： 。

基本不等式的几何意义是：
三、导学交流
1、设,a R ∈b ，求证：(1) 2
2222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ ; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．
2、一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有
254cm 的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长
最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
例题讲解
课本76-p 例3 例4
新得：
1、 基本不等式的两个不变形式
① ；② 。

2、两个正数的积为定值时， 有 ；两个正数的和为定值时 _有 。

四、随堂检测
求最值：
1、 若0>x ，求x x y 4+
=的最小值；
2、
若0>x ，求)1(x x y -=的最大值。

变1：若0<x ，求x x y 4+
=的最大值; 变1：若0>x ，求)21(x x y -=的最大值
变2：若3≥x ，求x x y 4+
=的最小值;变2：若3≥x ，求)21(x x y -=的最大值
变3：3>x ，求3
4-+
=x x y 的最小值；
五、拓展延伸：
求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

六、作业
课本10p 5、6、7
七、教学反思 ____________________________________________________________________
高二数学学案
使用时间：2013、1、13 编印者： 审定者：
============================================================
一、学习目标：
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最
值问题；
2．了解基本不等式的推广形式。

二、预习指导：
定理3：如果+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++。

当且仅当c b a ==时，等号成立。

推广： ≥+++n a a a n 21n n a a a 21 。

当且仅当n a a a === 21时，等号成立。

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

提炼：
1、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有
最小值．
2、三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最
大值．
3、一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.
三、导学交流：
1、如下图，把一块边长是a 的正方形铁片 的各角切去大小相同的小正方形，
再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
2、 求函数)0(322>+=x x
x y 的最小值。

3、的最大值时，求函数当)1(1
02x x y x -=<<.
四、随堂检测
1、的最大值时，求函数当)1(1
02
x x y x -=<<.
2、的最小值。

求函数)0(,322>+=x x
x y
五、拓展延伸：
1、已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少
时，它的体积最大，求出这个最大值．
六、作业：
1、的最大值。

求函数)20)(2(24<<-=x x x y
七、教学反思：
___________________________________________________________________。