专题-数列的通项与前n项和(含答案)

2012届高三文科数学培优学案
专题五 求数列的通项与前n 的和的问题
1、（2010全国2，18本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且
121
2
112(
)a a a a +=+，3453
4
5
11164(
)a a a a a a ++=++
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
1()n n n b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（1）()124
4
3
1)2(,
211
++-=
=--n T a n
n
n n n
2、（2009安徽19）（本小题满分12分）
已知数列{n a } 的前n 项和2
22n S n n =+，数列{n b }的前n 项和2n x T b =-
（1）求数列{n a }与{n b }的通项公式；
（2）设2
n n n c a b =∙，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +＜n c
解：当1n =时， 114a S ==
当2n ≥时，22
1(22)[2(1)2(1)]4n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=
14a =也适合上式，∴4n a n =
当1n =时，1112b T b ==-，∴11b =
当2n ≥时，112(2)n n n n n b T T b b --=-=---，∴
1
12
n n b b -=
∴数列{}n b 是以1为首项，
12
为公比的等比数列，∴1
1
()
2
n n b -=。

（2）由（1）知2
2
1
1
16()
2
n n n n c a b n -=∙=，∴
2
2
12
2
(1)1111113(1)[(
)]22
2
2
4
n n
c n c n
n
n
n
++=
=
+
+
=++
当1n =时，
1n n
c c +=21>，当2n =时
1n n
c c +=
918
>，
当 3n ≥时，132
819
n n
c c c c +≤
=
<，因此，当且仅当n ≥3时，1n c +＜n c
3、（2011山东20，本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
解：（1）18,
6,
2321===a a a ∴3ln 13
)2(,
3
221
n S a n
n n n +-=⋅=-
4、（2008安徽21）（本小题满分12分）
设数列{a n }满足a 1=a , a n+1=ca n +1-c , n ∈N*,其中a ,c 为实数，且c ≠0. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11,,(1),22
n n a e b n a n =
=
=-∈N*，求数列｛b n ｝的前n 项和S n ;
解 (1) 方法一：
11(1)
n n a c a +-=-∵ ∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

11(1)n n a a c --=-∴，即 1
(1)1n n a a c -=-+。

当1a =时，1n a =仍满足上式。

∴数列}{n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*
()n N ∈。

方法二： 由题设得：
当2n >时，211
1211(1)(1)(1)(1)n n n n n a c a c a c a a c -----=-=-==-=-
1
(1)1n n a a c
-=-+∴
1n =时，1a a =也满足上式。

∴数列}{n a 的通项公式为 1
(1)1n n a a c
-=-+*
()n N ∈。

(2) 由（1）得11
(1)()2
n n n b n a c n -=-=
2121
112()()222
n
n n S b b b n =+++=
+++ 231
1
111()2()()2222n n S n +=+++ 2111111()()()22222
n n n S n +=+++- ∴ 211
111111()()()2[1()]()222222
n n n n n S n n -=+
+++-=-- ∴ 1
2(2)()2
n
n S n =-+∴
5、（2007天津20）（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得
1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*
N ．
又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1
4n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为
1
4
n n a n -=+．
所以数列{}n a 的前n 项和41(1)3
2
n
n n n S -+=
+
．
（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*
N ， 1
14
1
(1)(2)
41(1)443
2
32n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=
+
-+ ⎪⎝⎭
2
1(34)02
n n =-+-≤．
所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． 6、（2008湖南20，本小题满分13分） 数列{}n a 满足,2,021==a a 22
2(1cos )4sin
,1,2,3,,2
2
n n n n a a n ππ+=++=
（I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设1321k k S a a a -=+++ ，242k k T a a a =+++ ，*
2()2k k k
S W k N T =
∈+，
求使1k W >的所有k 的值，并说明理由。

解：（I ）因为,2,021==a a 所以2
2
311(1cos
)4sin
44,2
2
a a a π
π
=++=+=
22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *-∈=时，
2
2
212121(21)21[1cos
]4sin
4,2
2
k k k k k a a a π
π+----=++=+
即2121 4.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列， 因此214(1).k a k -=-
当2()n k k N *∈=时，2
2
222222[1cos
]4sin
2,2
2
k k k k k a a a ππ+=++=
所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =
故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2()
n n n n k k N a n k k N **⎧-=-∈⎪
=⎨⎪=∈⎩
（II ）由（I ）知，1321044(1)2(1),k k S a a a k k k -=+++=+++-=-
21
24222222,k k k k T a a a +=+++=++=- 1
2(1)
.22
k k k k
S k k W T --=
=
+ 于是10,W =21,W =33,2
W =
43,2
W =
55,4
W =
61516
W =
.
下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，
11
(1)(1)(3)0,2
2
2
k k k
k k
k k k k k k W W +-+---=
-
=
<即1.k k W W +<
又61,W <所以当6k ≥时， 1.k W < 故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.。