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第21讲(基本不等式的最值问题)(解析版)

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高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。

已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。

解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。

已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。

解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。

已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。

解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。

所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。

专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)

专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)

专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。

利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学

利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学

利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.22【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x-4≥2x×4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．2(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1≥2x⋅9x-1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.3(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【解题思路】依题意可得3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2≥7+21x2⋅12x2=7+43，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故3+1 x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a-1=a-1+16a-1+1≥2a-1⋅16a-1+1=9，当且仅当a-1=16a-1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x-3>0，则y=2x-3+2(x-3)+6≥22x-3⋅2(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.2(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4x-2+4x-2+7≥24x-2⋅4x-2+7=15，当且仅当4x -2 =4x -2，即x =3时等号成立，所以函数y =4x -1+4x -2的最小值为15，故选:D ．3(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则2xx -1+4y y -1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则有1x +1y=1，所以x >1，y >1，2x x -1+4y y -1=2x -1 +2x -1+4y -1 +4y -1=6+2x -1+4y -1≥6+22x -1⋅4y -1=6+28xy -x +y +1=6+42，当且仅当2x -1=4y -1，即x =1+22,y =1+2时等号成立.所以2x x -1+4y y -1的最小值为6+4 2.故选：D .【题型3 常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a >0，b >0，若2a +3b=1，则2a +b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a >0，b >0，2a +3b=1，所以2a +b 3=2a +b 3 2a +3b =4+1+2b 3a +6ab ≥5+22b 3a ×6a b=9，当且仅当2b 3a =6ab 时，即a =3，b =9，取等号，故B 项正确.故选：B .【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，点M 1,4 在直线xa +y b=1上，则a +b 的最小值为()A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1a+4b=1，且a>0,b>0，故a+b=a+b⋅1a+4b=5+b a+4a b≥5+2b a×4a b=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时，等号成立.故选：C.2(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2 x+y ≤218=19.故选:D.3(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得2a2a+1+b2+1b=2a+1+1b-1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1-2a>0，解得0≤a<12，2a=1-b≥0，解得0<b≤1，∴2a2 a+1+b2+1b=2(a+1)2-4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)-4+2a+1+b+1b=(2a+b-2)+2a+1+1b=2a+1+1b-12 a+1+1b=42a+2+1b=13(2a+2)+b⋅42a+2+1b=135+4b2a+2+2a+2b≥135+24b2a+2⋅2a+2b=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故2a+1+1b-1min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x-4=9y，可得x-4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为62-5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2-3x+14x+1，设t=x+1，求得x2-3x+14x+1=t+18t-5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7-2xx+1，则x+2y=x+2×7-2xx+1=x2-3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t-1且t>1，可得x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5≥2t⋅18t-5=62-5，当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y的最小值为62-5.故答案为：62-5.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b-2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b-2+2b=8b-2+2b-2+5，由于b>2，所以8b-2+2b-2≥216=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b-2+2b-2+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1．【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2-ab+1=0，得b=a+1 a，而c2+d2=1表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，则a,b与圆心0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1 a2=2a2+1a2+2≥22a2⋅1a2+2= 22+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±412时等号成立，此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当a=412时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，即B正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+22，C错误；将式子配方可得a2-2a+b2 -4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D错误.【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b=2aa-1>0，故a-1>0；a=bb-2>0，故b-2>0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；对于C选项，原式化为2b+1a=1，故a+b=a+b2b+1a=2a b+1+2+b a≥3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，C错误；对于D选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5≥2a-1b-2-5=-1，当且仅当a=1+2,b=2+2时等号成立，故有最小值-1，D错误．故选：B.【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy-3≥(xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3-yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy-3≥xy+2xy-3=(xy+3)(xy-1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(xy+3)(xy-1)≤0，又x>0，y>0，故0<xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)-3≥0，即(x+y+6)(x+y-2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy-3=0，x>0，y>0，可得x=3-yy+1，且0<y<3，所以x +4y =3-y y +1+4y =4y 2+3y +3y +1=4(y +1)2-5(y +1)+4y +1=4(y +1)+4y +1-5≥24(y +1)⋅4y +1-5=3，当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x +4y >3，C 错误；同上，x +2y =3-y y +1+2y =2y 2+y +3y +1=2(y +1)2-3(y +1)+4y +1=2(y +1)+4y +1-3≥22(y +1)⋅4y +1-3=42-3，当且仅当y +1=2，即y =2-1、x =22-1时等号成立，故x +2y ≥42-3，D 错误；故选：B .2(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x >2，则函数y =x +1x -1的最小值为3B.若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y 的最小值为5C.若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D.若x >1，y >0，x +y =2，则1x -1+2y的最小值为3+22【解题思路】选项A ：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B ：由基本不等式进行判断即可，选项C ：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D ：对式子进行变形得到1+yx -1+2x -1 y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A ：y =x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1·1x -1+1=3，当且仅当x -12=1时可以取等号，但题设条件中x >2，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y =153x +1y 5x +4y =1519+5x y +12y x ≥1519+25x y ·12y x=19+4155，当且仅当5xy =12y x时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：3-xy =x +y ≥2xy ⇒xy +2xy -3≤0当且仅当x =y 时取等号，令xy =t t ≥0 ，t 2+2t -3≤0，解得-3≤t ≤1，即0<xy ≤1，故xy 的最大值为1，故C 错误；选项D ：x +y =2，(x -1)+y =1，1x -1+2y =1x -1+2y·x -1 +y =1+y x -1+2x -1 y+2≥3+2y x -1·2x -1y=3+22，当且仅当y =2x -2时取等号，又因为x +y =2，故x =2y =2-2 时等号成立，即1x -1+2y最小值可取到3+22，故D 正确．故选：D ．3(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x ,y 满足x +2y =3，则下列说法错误的是()A.y x +3y 的最小值为4 B.xy 的最大值为98C.x +2y 的最大值为2D.x 2+4y 2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A ，y x +3y =y x +x +2y y =y x +x y +2≥2yxxy+2=4，当且仅当x =y =1时取等号，故A 正确；对于B ，xy =12⋅x ⋅2y ≤12×x +2y 2 2=12×94=98，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时取等号，故B 正确；对于C ，(x +2y )2=x +2y +22xy ≤3+22×98=3+3=6，则x +2y ≤6，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时，故C 错误；对于D ，x 2+4y 2=(x +2y )2-4xy ≥9-4×98=92，当且仅当x =32,y =34时取等号，故D 正确.故选：C .【题型6 多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，满足a +b ≥92a +2b，则a +b 的最小值为()A.5B.52C.52D.522【解题思路】先根据基本不等式求出92a +2ba +b ≥252.然后即可根据不等式的性质得出a +b2≥92a +2ba +b ≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a >0，b >0，a +b >0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab≥29b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥322+2=522.故选：D.【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-1，y=2-2时等号成立，此时有最小值22+1；当x<0时，1x+2xy=x+y-x+-2xy=y-x+-2xy-1≥2y-x⋅-2xy-1=22-1.当且仅当y-x=-2xy，即x=-1-2，y=2+2时等号成立，此时有最小值22-1.所以，1x+2xy的最小值为22-1.故选：A.2(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy +zx=2≥2xy ×z x =2yz ⇒yz ≤1，当且仅当z =yx 2时，yz =1，所以4y +1z≥24y ×1z=24yz≥241=4，当且仅当4y =1z且yz =1时，等号成立；所以当yz =1且4y =1z 时，4y +1z取得最小值4，此时解得y =2z =12 ⇒y +z =52，故选：D .3(2023上·辽宁大连·高一期末)若a >0,b >0,a +b =1，则a 2+3ab a +2b +2b +1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【解题思路】由已知可得a 2+3ab a +2b +1b +1=3-2b -1b +1，进而有a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a 2+3ab a +2b +1b +1=a (a +3b )+1b +1=a (2b +1)+1b +1，而a =1-b >0，b >0，所以a (2b +1)+1b +1=2+b -2b 2b +1=1+1-2b 2b +1=1+2(1-b 2)-1b +1=3-2b -1b +1，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b 且0<b <1，又2b +1b≥22b ⋅1b =22，当且仅当b =22时取等号，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b ≤3-22，当且仅当a =1-22,b =22时取等号，即目标式最大值为3-2 2.故选：D .【题型7 实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为400m 2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m 2.设总造价为y (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】(1)由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400-x2 4x；(2)先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400-x24,因此AM=400-x24x，∵AM>0，∴0<x<20.(2)y=8400x2+420×400-x2+160×4×12×400-x24x2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y≥28000x2×3200000x2+152000=472000，当且仅当8000x2=3200000x2，即x=25时，等号成立，故当x=25时，总造价y最小，最小值为472000元.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为y 元，则y =150×2x +16x×3+400×16+800=900x +16x+7200≥900×2x ⋅16x +7200=14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.(2)由题意可得900x +16x +7200>900a x +2 x.对∀x ∈2,6 恒成立.即a <x 2+8x +16x +12令y =x 2+8x +16x +2=x +2 +4x +2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.令t =x +2,t ∈4,8 ，则y =t +4t+4在4,8 上单调递增.且t =4时，y min =9.∴0<a <9.即a 的取值范围为0,9 .2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)记y 为甲工程队整体报价，求y 关于x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t (x +1)x元，问是否存在实数t ，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】(1)根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;(2)由题意可得不等关系240184x +10x-3120>4800t (x +1)x,对任意x ∈[1,5]都成立，进而转化t <10x 2-13x +18420(x +1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为3604×24x-2×6,故y=3604×24x-2×6+4×24x×100+2×300×4x+1200=240184x +10x-3120，1≤x≤5.(2)由题意知, 240184x +10x-3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2-13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k-1,k∈[2,6]，则t<10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而k2+20720k≥2k2⋅20720k=20710，当且仅当k=20710∈[2,6]取等号，故0<t<20710-3320，即存在实数0<t<20710-3320，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】(1)根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，所以AD=36000xcm，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y =CD -5×10 AD -2×10 =x -50 36000x-20 ，其中x -50>036000x -20>0 所以x ∈50,1800 .即y =x -50 36000x-20,x ∈50,1800 .(2)由(1)知y =x -50 36000x-20 ,x ∈50,1800 ，则y =x -50 36000x -20 =37000-20x +1800000x,x ∈50,1800 20x +1800000x≥220x ×1800000x =12000，当且仅当x =300时取等号，则y =37000-20x +1800000x≤25000，当且仅当x =300时取等号，即CD =300cm ,AD =36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为25000cm 2.【题型8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c +b cos2A =2a cos A cos B A ≤B .(1)求A ；(2)若角A 的平分线交BC 于D 点，且AD =1，求△ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sin C +sin B cos2A =2sin A cos A cos B ，所以sin C =sin2A cos B -sin B cos2A =sin (2A -B )>0.又因为C ∈(0,π)，2A -B ∈(0,π)，所以C =2A -B 或者C +2A -B =π.当C =2A -B 时，A +B +2A -B =π，A =π3；当C +2A -B =π时，A =2B 与题设A ≤B 不符.综上所述，A =π3.(2)△ABC 面积S =12bc sin π3=34bc ，由AD 是角平分线，∠BAD =∠CAD =π6，因为S △ABC =S △ABD +S △ADC ，得12bc sin π3=12b sin π6+12c sin π6，即b +c =3bc ，由基本不等式3bc ≥2bc ，bc ≥43，当且仅当b=c=233时等号成立.所以面积S=34bc≥34×43=33.故△ABC面积的最小值3 3.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2+y2=9．(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2+1，|MN|=232-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×29-4k2+1×29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1≤9-4 k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当9-4k2+1=9-4k2k2+1，即k2=1时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=232-22=25，此时S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×25=65．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S PMQN=65．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得f x =ln x-12x+1+k，f k =ln k-12k+1+k，由于y=ln k-12k+1+k在k∈0,+∞上单调递增，观察ln k-12k+1+k=23，可得k=1；(2)由于f x 在定义域内单调，所以f x +12x+1-ln x为常数，由(1)得f x =ln x-12x+1+1，f x 在x∈0,+∞上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为f7+2x>-2x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7>0-x>07+2x>-x，解得-73<x<0，故原不等式的解集为-7 3 ,0；(3)g x =f x -ln x=-12x+1+1=2x2x+1>0，g x ≥mg2x可化为m≤2x2x+1⋅4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的x∈1,2恒成立，设t=-2x+1∈-3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t∈-3,-1，由基本不等式得t+2t=--t+2-t≤-22，当且仅当-t=2-t即t=-2时等号成立，故当t=-2时1t+2t-3min=22-3，故m≤22-2，当且仅当x=log22+1等号成立.实数m的取值范围为-∞,22-2.3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P 在A 1C 1上；(2)若AB =BC ，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，利用线面垂直的判定及性质可证PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，结合面APC 与面ACC 1A 1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由∠APC 是二面角A -PD 1-C 的平面角，则AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，又AP ∩CP =P ，AP ,CP ⊂面APC ，则PD 1⊥面APC ，又AC ⊂面APC ，即PD 1⊥AC ，由长方体性质知A 1C 1⎳AC ，故PD 1⊥A 1C 1，由长方体性质：AA 1⊥面A 1B 1C 1D 1，又PD 1⊂面A 1B 1C 1D 1，则PD 1⊥AA 1，又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂面ACC 1A 1，故PD 1⊥面ACC 1A 1，而面APC ∩面ACC 1A 1=AC ，且PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，根据过AC 作与PD 1垂直的平面有且仅有一个，所以面APC 与面ACC 1A 1为同一平面，又P ∈面A 1B 1C 1D 1，面ACC 1A 1∩面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1，所以点P 在A 1C 1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB =BC =1，AA 1=k ，由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知PD 1⊥A 1C 1，则P 为A 1C 1中点，所以P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，则AP =12,12,k ，PC =12,12,-k ，PD =-12,12,-k ，若m =(x ,y ,z )是面PCD 的一个法向量，则m ⋅PC =12x +12y -kz =0m ⋅PD =-12x +12y -kz =0，令y =2，则m =0,2,1k，所以|cos ‹AP ,m ›|=|AP ⋅m||AP ||m |=212+k 2⋅4+1k 2=23+4k 2+12k 2≤23+22=2(2-1)，仅当k =422时等号成立，故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值为2(2-1).直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()A.x +y ≤1B.x +y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 22(a ,b ∈R )，由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2 2，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2-xy =1可变形为x 2+y 2-1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2-xy =1变形可得x -y 2 2+34y 2=1，设x -y 2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+1 3sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．2(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-1 22+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；故选：ABD.3(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32【解题思路】因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】∵C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b故E(a,-b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8当且仅当a=b=22取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.4(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为22．【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】∵a>0,b>0，∴1 a +ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，所以1a+ab2+b的最小值为2 2.故答案为：2 2.5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3，或a=2+3,b=2-3时，等号成立.故答案为：4.6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是45．【解题思路】根据题设条件可得x 2=1-y 45y 2，可得x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0且x 2=1-y 45y 2∴x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y2+4y 25≥215y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45.故答案为：45.7(2019·天津·高考真题)设x >0, y >0, x +2y =5，则(x +1)(2y +1)xy的最小值为43【解题思路】把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．【解答过程】∵(x +1)(2y +1)xy =2xy +x +2y +1xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴2xy +6xy ≥2⋅23xyxy =43，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为43．8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解题思路】得到总费用为4x +600x ×6=4x +900x，再利用基本不等式求最值．【解答过程】总费用为4x +600x ×6=4x +900x≥4×2900=240，当且仅当x =900x，即x =30时等号成立．故答案为30.。

基本不等式(最值问题)

基本不等式(最值问题)

基本不等式的最值问题
1 最大值问题
如何找到函数或表达式的最大值。
2 最小值问题
如Hale Waihona Puke 找到函数或表达式的最小值。求解基本不等式最值的方法
图像法
通过画出函数的图像来找 到极值点。
导数法
通过计算导数来找到函数 的极值点。
根式法
通过使用平方等恒等式等 来消去根式，并求解不等 式。
示例和实例
复杂数值问题
如何运用基本不等式解决实际 的复杂数值问题。
基本不等式(最值问题)
探索基本不等式的定义、性质以及最值问题，以及如何求解基本不等式的最 值。
基本不等式的定义
基本不等式是用来描述数值之间的大小关系的不等式。它可以帮助我们解决 各种最值问题。
基本不等式的性质
1 加法性质
若$a > b$，则$a+c > b+c$。
2 乘法性质
若$a > b$，且$c > 0$，则$ac > bc$。
辅导教学示范
如何向学生解释基本不等式以 及如何应用它们。
数学竞赛解题
通过解读竞赛题目，了解如何 应用基本不等式找到最值。
总结与应用
基本不等式是数学中必不可少的工具，它能够帮助我们解决各种最值问题。 掌握基本不等式的定义、性质和求解方法，对提高解题能力和应用技巧具有 重要意义。

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点 （1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22Sy x =+,∴xy ≤42S .） 和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,xx 4+≥44242==⋅x x ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab b a 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2ba +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=xx x x y ≥3142142=-=-⋅x x ,即y ≥3.当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立. ∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当yxx y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立.∴yx11+的最小值为223+.点评 本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为 【 】 （A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722. ∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x . ∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x . ∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=xx x x y ≥()638621623222-=-+⋅+x x . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xa x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()xa x x f +=4≥a x a x 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a ,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y 当且仅当yx x y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x .∵y x m m 222+<+恒成立∴只需()min 222y x m m +<+即可∴822<+m m ,解之得:24<<-m .∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值. 分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111*********+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0. 注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若m m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解: ()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+m m m m . 当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴mm 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴311132++=++x x x x x ≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴xa x 29+≥a x a x 6922=⋅. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当ba ab 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴ab b a 92231322=⋅≤13132=+ba ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xy y x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当xy y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xyy x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x 4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元） 当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>yxz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyzxyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x yy x x y 3321313312≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值. 例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值.分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,xx y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42maxx y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216xx +≥816222=⋅x x .当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y .（当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立）当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4.证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()ba b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立.∴ba b a -+22≥4.例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()ba ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a .∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+baa b . 当且仅当baa b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件. 证明: ∵10<<x ,∴01>-x .∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a xx a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()x x a x x b -=-1122,即b a ax +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数∴ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+ 33223332213231232132-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++-++-+=c b b c c a a c b a a b cb c a b c b a a c a b≥336332232332222=-=-⋅+⋅+⋅cb bc c a a c b a a b . 当且仅当cbb c c a a c b a a b 3223,33,22===,即c b a 32==时,等号成立. ∴c c b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 例38. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4分析: 注意到02>+y x ,根据题目所给条件的特点可先求出()[]min22y x +,然后开方即可得到()min 2y x +,而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x y x y x 81222.解: ∵y yx x -=-812,∴y x y x 812+=+.∵0,0>>y x ,∴02>+y x .∴()()y x y x +=+222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 81x y y x x y y x ++=+++=16108162 ≥1816210=⋅+xyy x . 当且仅当xyy x =16,即22,22==y x （x y 4=）时,等号成立. ∴()22y x +的最小值为18. ∴y x +2的最小值为2318=. ∴选择答案【 C 】.例39. 已知0,0>>b a ,且8=+b a ,则ba ab43+的最大值是_________. 解: ∵0,0>>b a ,8=+b a∴()a b b a a b b a b a b a b a ab b a b a ab 452414424148131434343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+=+ ≤38924452442524==+=⋅+abb a . 当且仅当a b b a 4=,即38,316==b a 时,等号成立. ∴b a ab 43+的最大值是38. 例40. 已知93,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 3+的最小值为_________. 解: ∵93=++xy y x ,∴39+-=x xy . ∵0,0>>y x ∴()()633633336336333933-+++=-++=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x ≥()6612633632=-=-+⋅+x x . 当且仅当3363+=+x x ,即1,3==y x 时,等号成立. ∴y x 3+的最小值为 6. 点评: 上面的方法为消去元y 后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知x 为正实数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值. 解: ∵x 为正实数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+22122212112222222y x y x y x y x≤423221122221222=+⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯y x .当且仅当22122y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 另解: ∵1222=+y x ,∴2222=+y x .∵x 为正实数∴()()()22222221222122111y x y x y x y x +=+⋅=+=+ ≤()4232122221222212222222=+⨯=++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯y x y x . 当且仅当2212y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 例42. 求函数131-++-=x x x y 的最大值.解: 设1-=x t ,则t ≥0,∴12+=t x . ∴41312++=-++-=t t tx x x y .当0=t ,即1=x 时,0=y ; 当0>t ,即1>x 时,141++=t t y ≤511421=+⋅tt . 当且仅当tt 4=,即5,2==x t 时,取等号. ∴当1>x 时,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.综上所述,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.例43. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,代数式zy x 212-+的最大值为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3 解: ∵04322=-+-z y xy x ,∴2243y xy x z +-=.∵z y x ,,为正实数 ∴341431432222-+=+-=+-=x y y x xy y xy x y xy x xy z xy ≤13421=-⋅xy y x .当且仅当xyy x 4=,即y x 2=时,等号成立,此时22y z =. ∴1112122122212222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=-+y y y y y y z y x ≤1 ∴当1=y 时,zy x 212-+的最大值为1. ∴选择答案【 B 】.例44. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是 【 】（A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）45解: ∵xy y x 39422++≥xy xy xy xy y x 153123322=+=+⋅⋅∴xy 15≤30,∴xy ≤2. ∴xy 的最大值是2. ∴选择答案【 C 】.例45. 设0,0>>b a ,且ba kb a +++11≥0恒成立,则实数k 的最小值等于 【 】 （A ）0 （B ）4 （C ）4- （D ）2-解: ∵ba kb a +++11≥0恒成立∴k ≥()abb a 2+-恒成立.（这里,注意0>+b a ）只需k ≥()max2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a 即可,此时()ab b a 2+取得最小值. ∵0,0>>b a ∴()abb a 2+≥()4422==ababab ab ,当且仅当b a =时,等号成立. ∴()abb a 2+-≤4-,∴()4max2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a ∴k ≥4-,即k 的最小值为4-. ∴选择答案【 C 】.例46. 设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; 解: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a .∵c b b a -+-11≥ca m-恒成立 ∴c b ca b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可.∵cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+cb ba b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.例47. 对于任意∈x R ,不等式031222>++-x a x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解: ∵031222>++-x a x 恒成立∴13222++<x x a 恒成立,只需<a min 22132⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 即可.()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=+++=++12112111*********2222222x x x x x x x x . 设t x =+12,则[)+∞∈,1t ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++t t x x 21213222. ∵[)+∞∈,1t ,且()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t f 212在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22上单调递增 ∴()()321121min=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==f t f ,即3132min22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . ∴3<a ,即实数a 的取值范围是()3,∞-.注意 本题不能用基本不等式求最值.当111222+=+x x 时,方程无解.例48. 设0,0>>b a ,5=+b a ,则31+++b a 的最大值为_________. 解: ∵()()()()()31293124312+++=+++++=+++b a b a b a b a≤()()18319=++++a a . 当且仅当31+=+b a ,即23,27==b a 时,取等号. ∴()231+++b a 的最大值为18.∵031>+++b a∴31+++b a 的最大值为2318=.例49. 已知3,2>>y x ,()()432=--y x ,则y x +的最小值是 【 】（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x ∴()()232-+-y x ≥()()2432==--y x∴25-+y x ≥2,∴y x +≥9. ∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】.另解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x∴()()532+-+-=+y x y x ≥()()95425322=+⨯=+--y x .∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】. 例50. 若关于x 的不等式ax x -+4≥5在()+∞∈,a x 上恒成立,则实数a 的最小值为_________.解: ∵()+∞∈,a x ,∴0>-a x .∵ax x -+4≥5恒成立 ∴只需min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ≥5即可. ∵a ax a x a x x +-+-=-+44≥()a a a x a x +=+-⋅-442 当且仅当ax a x -=-4,即2+=a x 时,等号成立. ∴a a x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+44min ∴a +4≥5,解之得:a ≥1.∴实数a 的最小值为1.例51. 已知0,0>>y x ,且121=+yx ,则y x xy ++的最小值为_________. 解: ∵121=+yx ∴xy y x =+2∴y x y x y x y x xy 232+=+++=++.∵0,0>>y x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x 2123()y xx y y x x yy x 627462323++=+++=+≥3476227+=⋅+y xx y. 当且仅当y x x y 62=,即23,3323+=+=y x 时,等号成立.∴y x 23+,即y x xy ++的最小值为347+.例52. 已知0,0>>y x ,且053=+-+xy y x ,求xy 的最小值.解: ∵053=+-+xy y x∴xy y x 35=++.∵0,0>>y x∴5++y x ≥52+xy ,即xy 3≥52+xy ∴523--xy xy ≥0 ∴()()531-+xy xy ≥0解之得:xy ≥35.∴xy ≥925,当且仅当35==y x 时,等号成立.∴xy 的最小值为925.例53. 已知z y x ,,为正数,则222z y x yzxy +++的最大值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）22（D ）2解: ∵z y x ,,为正数 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++222222222z y y x yz xy z y x yz xy ≤yz xy yz xy 222222⨯+⨯+ ()22212==++=yz xy yzxy . 当且仅当y z x 22==时,等号成立. ∴222z y x yz xy +++的最大值为22. ∴选择答案【 C 】.例54. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ∵0>>b a ,∴0>-b a .∴()()()()ab ab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++ ≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a . 当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立. ∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.例55. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy .（1）求xy 的最小值;（2）求y x +的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵()1=+-y x xy ∴xy y x =++1. ∵y x ,都是正数 ∴y x ++1≥xy 21+,即xy ≥xy 21+. ∴12--xy xy ≥0. 解之得:xy ≥21+. ∴xy ≥()223212+=+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为223+;（2）由（1）知:xy y x =++1. ∵y x ,都是正数∴xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. （当且仅当21+==y x 时取等号） ∴()42y x +≥y x ++1,()()142-+-+y x y x ≥0. ∴()()442-+-+y x y x ≥0. 解之得:y x +≥222+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+.。

高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)

高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)

利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。

题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。

在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。

在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。

利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)

专题2.1 基本不等式的应用技巧 闯关技巧在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．一、加项变换例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5解析 ∵x >a ，∴x －a >0，∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，∴2＋a ≥7，即a ≥5.反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．二、平方后使用基本不等式例2 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 923 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝⎛⎭⎫922. 当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为923. 三、展开后求最值例3 若a ，b 是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 C解析 ∵a ，b 是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a≥5＋24a b ·b a＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”．四、常数代换法求最值例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94C ．2D ．3 答案 B解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94， 当且仅当x ＝23，y ＝13时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．五、代换减元求最值例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时取等号．反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．六、建立求解目标不等式求最值例6 已知a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值等于________． 答案 62－1解析 a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，即有(a ＋b )(a ＋2b ＋1)＝9，即(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝18，可得3a ＋4b ＋1＝(2a ＋2b )＋(a ＋2b ＋1)≥2(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝62，当且仅当2a ＋2b ＝a ＋2b ＋1时，上式取得等号，即有3a ＋4b 的最小值为62－1.例7 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．1≤a ＋b ≤4B ．a ＋b ≥2C ．1<a ＋b <4D ．a ＋b >4答案 A解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b＝5， ∴a ＋b ＋a ＋b ab＝5. ∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴1ab ≥4(a ＋b )2， ∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4a ＋b， ∴a ＋b ＋4a ＋b≤5， 即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，∴(a ＋b －4)(a ＋b －1)≤0，即1≤a ＋b ≤4，当a ＝b ＝12时，左边等号成立， 当a ＝b ＝2时，右边等号成立，故选A.反思感悟 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值． 闯关训练一、单选题1．已知实数a ､b 满足1)28()(a b ++=，有结论：①存在0a >，0b >，使得ab 取到最大值；②存在0a <，0b <，使得a+b 取到最小值；正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②不成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②成立【答案】C【分析】 由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．【详解】解：因为1)28()(a b ++=，所以(2)6ab a b =-+，①0a >，0b >，22224()()44a b a b +=+++-≥=，当且22b =时取等号，所以64ab -≥，解得2ab ≤，即ab 取到最大值2；①正确；②0a <，0b <，当20a +>时，881233322a b a a a a +=+-=++-≥=++，当且仅当822a a +=+时取等号，此时2a =不符合0a <，不满足题意；当20a +<时，888123(2)33222a b a a a a a a ⎡⎤+=+-=++-=--+--≤--⎢⎥+++⎣⎦当且仅当()822a a -+=-+时取等号，此时2a =- 此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C .【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．已知1,0x y ，且1211x y +=-，则21x y +-的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+【答案】A【分析】 利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)21x y x y ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】1x >，10x ∴->，又0y >，且1211x y+=-，[]1222(1)21(1)25511y x x y x y x y x y ⎛⎫-∴+-=-++=++≥+ ⎪--⎝⎭9=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故21x y +-的最小值为9．故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．已知a ，b ∈R ，a +b ＝2.则221111a b +++的最大值为（ ）A ．1B ．65CD ．2 【答案】C【分析】 化简配方可得211a ++211b +＝242(1)(1)4ab ab ---+，令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0，则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+，令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，再由基本不等式计算可得最大值. 【详解】解：a ，b ∈R ，a +b ＝2. 则211a ++211b +＝2222221()a b a b ab +++++ ＝222()221()2()a b ab a b ab ab +-+++-+＝26252()ab ab ab --+＝242(1)(1)4ab ab ---+， 令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0， 则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+， 令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，可得2424t t -+＝2(4)44s s -+＝4328s s +-， 由s +32s， 当且仅当s ＝t ＝2﹣可得4328s s+-≤12， 则211a ++211b +故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题.4．已知正实数,a b 满足1a b +=，则222124a b a b +++的最小值为（ ） A ．10B ．11C ．13D ．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数,a b 满足1a b +=， 则2221241422a b a b a b a b+++=+++， ()142a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭4777411b a a b =++≥++=， 即：22212411a b a b+++≥， 当且仅当4b a a b =且1a b +=，即21,33b a ==时取等号， 所以222124a b a b+++的最小值为11. 故选：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力． 5．已知ab 14=，a ，b ∈（0，1），则1211a b +--的最小值为 A ．4B ．.6 C．3D．4【答案】D【分析】 根据14b a =代入1211a b +--，变形为2244414a a ++--，等价处理成()()()2444123444121a a a a ⎛⎫+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求最值. 【详解】由题：ab 14=，a ，b ∈（0，1），14b a=， 12121111114112482a b a a a aa +=+=+---+----212141a a =++-- 2424441a a =++-- ()()()2444123411442a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()(412442212323444123a a a a ⎛⎫--=++++≥++ ⎪--⎝⎭， 当且仅当()414444124a a a a --=--时，取得最小值，解得当a =4+故选：D【点睛】 此题考查利用基本不等式求最小值，关键在于根据题目所给条件准确变形，根据积为定值求最值，注意考虑等号成立的条件.6．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．[)3,+∞B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A利用基本不等式求得a b +的最小值，把问题转化为()m f x ≥恒成立的类型，求解()f x 的最大值即可.【详解】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++， 当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立，即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.二、填空题 7．设1x >-则231x x y x ++=+的最小值为________【答案】1##【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由1x >-，可得10x +>.可令()10t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =，1x =时，等号成立.故答案为：1．8．若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为______．【答案】2的最大值即可. 【详解】因,0x y >，则()x a x y a +≤+⇔，()222222x y x x y x yx y ++⋅+=≤==++，当且仅当2x y =时取“=”，则2a ≥， 所以实数a 的最小值为2.故答案为：2 9．,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为________． 【答案】12【分析】 先变形得22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++,再利用重要不等式得到222a b ab +≥，222b c bc +≥,代入即可求解．【详解】22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++, 222a b ab +≥，222b c bc +≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++ ∴2222ab bc a b c +++的最大值为12． 故答案为：12．10．已知1m ，0n >，且223m n m +=，则214m m n +-的最小值为_______． 【答案】94【分析】首先变量替换为223n m m =-，变形后得()22114123m m n m m +=+---，再利用换元，结合基本不等式求最值.【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n >，1m ，所以2230n m m =->，得13m <<， 所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----， 记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=， 所以12a b +=，且0,0a b >>， 所以()221215141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b +++=+=+=+=++---5944≥+，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立， 此时73m =，4977929n -==. 故答案为：9411．若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）①1ab ≤；≤③222a b +≥；④333a b +≥；⑤112a b+≥. 【答案】①③⑤【分析】根据基本不等式逐序号分析即可.【详解】 ①212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，取等号时1a b ==，故正确；②224a b =++=+，2≤，取等号时1a b ==，故错误；③()222242422a b a b ab ab +≥+-=-≥-=，取等号时1a b ==，故正确；④()()()()()23322232432432a b a b a b ab a b ab ab ⎡⎤+=++-=+-=-≥⨯-=⎣⎦，取等号时1a b ==，故错误； ⑤112221a b a b ab ab ++==≥=，取等号时1a b ==，故正确； 故答案为：①③⑤12．若,0x y >，24x y +=，则()()2112x y xy++的最小值为___________. 【答案】9【分析】将所求代数式展开，将24x y +=代入化简，由基本不等式求出xy 的最大值，即可求所求代数式的最小值. 【详解】 因为24x y +=， 所以()()()()21122122252104x y x y xy xy xy xy xy xy++++++===+，因为42x y =+≥≤=2xy ≤，当且仅当242x y x y +=⎧⎨=⎩即21x y =⎧⎨=⎩时等号成立，xy 取得最大值为2，所以()()211210104492x y xy xy ++=+≥+=，所以()()2112x y xy++的最小值为9，故答案为：9.13．若3a b +=，0b >，则13a a b+的最小值为__________． 【答案】59【分析】结合基本不等式的应用条件对a 进行讨论，利用基本不等式求最值，计算即可得结果． 【详解】 因为13a a b+有意义，所以0a ≠， 而3a b +=，0b >，因此3a <且0.a ≠ （1）当0<<3a 时，因此111173399999a a ab a b a a b a b a b a b ++=+=+=++≥+=， 当且仅当3b a =，即34a =，94b =时，等号成立， 所以13a a b +的最小值为79． （2）当0a <时，则0ab <，0b a<， 因此11133999a a a b a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=--=--=-+-- ⎪⎝⎭1599≥-+=，当且仅当3b a =-，即32a =-，92b =时，等号成立，所以13a a b +的最小值为59． 综上所述，13a a b +的最小值为59． 故答案为：59．14．正数,a b 满足912a b+=，若22a b x x +≥+对任意正数,a b 恒成立，则实数x 的取值范围是___________【答案】{}42x x -≤≤ 【分析】先利用基本不等式求解出a b +的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】因为()191191022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1110=106822a b ⎛+≥++= ⎝， 取等号时3912a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即62a b =⎧⎨=⎩，所以228x x +≤，解得{}42x x -≤≤， 故答案为：{}42x x -≤≤.15．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则11a ab+的最小值是______．【答案】3+【分析】利用“1”的代换，转化为()211a b a b a ab a ab+++=+23b a a b =++，利用基本不等式求解. 【详解】()2221121a b a b b a b ab a ab a ab a ab+++++=+=++，2333b a a b =++≥=+2a =1b =时取等号．所以则11a ab+的最小值是3+故答案为：3+16．若正实数x 、y 满足2610x y x y +++=，则52y x-的最大值是______. 【答案】4 【分析】分析可得出254110x y x y x y -=+++-，利用基本不等式可得出25x y-的最小值，即可得出52y x -的最大值. 【详解】 由题意可得26100x y x y+++-=，所以，254110104x y x y x y -=+++-≥=-，所以，524y x -≤，当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，此时有524y x -=.因此，52y x-的最大值是4. 故答案为：4.17．已知0x >，0y >，22x y +=，则22524x y x yxy+++的最小值为___________.【答案】4 【分析】利用22x y +=代入，将式子进行齐次化处理，变为()22252x y x y xy+++，进一步使用均值不等式即可. 【详解】()222222222225252454544x y x y x y x y x y x y x xy y xy xy xy xy++++++++++++===2229294444x y x yxy y x+=+=++≥= 当且仅当222922x y x y ⎧=⎨+=⎩时，等号成立.所以22524x y x y xy+++的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】易错点睛：值得注意的是，如果直接将式子拆分化简，变成两个式子分别求最值的话，会发现等号是取不到的，所以我们采用“齐次化”的方法，将()224x y +=代入处理.18．已知正实数,x y 满足()24,xy x y +=则2x y +的最小值为_______________.【答案】【分析】根据22340x y xy -=+，利用一元二次方程的解法结合0x >,0,y >得到2y x =-2x y +=. 【详解】因为正实数,x y 满足()24xy x y +=，所以22340x y xy -=+，解得2y x ==-±因为0x >，0,y >所以2y x =-所以2x y +=当且仅当12x y =-=，取等号，所以2x y +的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x ，将问题转化为2x y +=决.三、解答题19．有一种变压器铁芯的截面是如图所示的正十字形，为保证磁通量的稳定性，要求十字形铁芯的面积为2．为节约成本，需使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短．问当正十字形的长()CD 和宽()AB 为多少厘米时，正十字形外接圆周长最短，最短是多少厘米？【答案】，宽为3cm时，正十字形外接圆周长最短，最短是．【分析】设AB a，CD b=，由十字形铁芯的面积22ab a-=b半径的平方可表示为22222a bR⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入b化简可得22258116R aa⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用均值不等式可得minR【详解】设正十字形的宽AB a厘米，长CD b=厘米，且0,0a b>>，则由题意得：十字形铁芯的面积22ab a-=所以2ab=，正十字形外接圆周长最短，则圆半径最短，圆半径()22222221224142a bR a baa⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦2258116aa⎛⎫=+⎪⎝⎭20,0a a>>，228118aa∴+≥2225815181616R aa⨯⎛⎫∴=+⎪⎝⎭当且仅当2281aa=时即3cma=时，2minR，此时，32b =，min R =，正十字形外接圆周长最短为：22l R ππ==．答：，宽为3cm 时，． 20．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：()12212,,0nn n a a a a a a a n+++≤≥.小明由此得到启发，在求33x x -，[)0,x ∈+∞的最小值时，小明给出的解法是：3331132323322x x x x x x x -=++--≥-=--=-，当且仅当1x =时，取到最小值-2.（1）请你模仿小明的解法，研究44x x -，[)0,x ∈+∞上的最小值； （2）求出当0a >时，3x ax -，[)0,x ∈+∞的最小值.【答案】（1）-3；（2）【分析】（1）根据小明解法44411143x x x x -=+++--，利用均值不等式求解；（2）转化条件33x ax x ax -=，应用均值不等式求解.【详解】（1）由0x ≥，知44411143434433x x x x x x x -=+++--≥-=--=-， 当且仅当1x =时，取到最小值-3； （2）由0a >，0x ≥，知33x ax x ax ax -=ax ax =-=当且仅当3x =21．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为2m ，底面积为21000m 的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排4m 宽的休闲区，休闲区造价为200元2/m ，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为100元2/m .其他设施等支出大约为1万元，设游泳池的长为m x .（1）试将总造价y （元）表示为长度x 的函数； （2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1）()100020001128000y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元. 【分析】（1）求出游泳池的宽，分别计算出铺游泳池的花费和休闲区的花费，即可得出总造价y （元）关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求得y 的最小值，利用等号成立可得出结论. 【详解】（1）因为游泳池的长为m x ，所以游泳池的宽为1000m x， 铺游泳池的花费为1000100010010002222400250x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 休闲区的花费为()1000100020088100016008x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯++-=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，总造价为100010001000400250160082000112800y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中0x >；（2）由基本不等式可得100020001128002000112800112800y x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭（元），当且仅当x =.因此，当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元.22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+平方米. 【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得400y x=. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x+，所以294000x x +-，解得2516x -. 又0x >，所以016x <. 所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++（平方米）当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.23．一个圆心为O 的半圆形如图所示，C 、D 在半圆弧AB 上，AC BD =，AD 与BC 交于点P ，且10AC BC +=.（1）设AC x =，CP y =，求y 关于x 的函数关系式； （2）求APC △面积的最大值：【答案】（1）501010xy x-=-()05x <<；（2）最大值为75-【分析】（1）在直角 APC △中222AP AC CP =+，得501010xy x-=-，再由边长大于零得定义域可得解析式；（2）250575APC S t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭△，由基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）因为10AC BC +=，所以10BC x =-，又CP y =，AC BD =，所以AC BD =，90ACP BDP ∠=∠=， 又APC BPD ∠=∠，所以CAP DBP ∠=∠ 所以ACP BDP ≅， 所以10PB PA x y ==--. 依题意可得CA CB ⊥，在直角 APC △中，222AP AC CP =+， 即222(10)x y x y --=+，整理可得501010xy x-=-，由010********x x x x ⎧⎪>⎪->⎨⎪-⎪>-⎩得05x <<， 所以501010xy x-=-()05x <<.（2）115010(255)221010APC x x x S xy x x x--==⋅=--△， 令10x t -=，则10x t =-，因为05x <<，所以510t <<，所以(10)(255)25025057575275APC t t S t t t---⎛⎫==-+--=- ⎪⎝⎭△当且仅当2505t t=，即t =10x =-. 故APC △面积的最大值为75-24．如图所示，某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线，要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ，且使A 、B 间的距离||AB 最小，请你确定A 、B 两点的最佳位置（不要求作近似计算）．【答案】A 、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处． 【分析】先以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立直角坐标系．设(,0)A a -、(,)B b b ，则可得直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式可得2222100(22)a b a b ab =++，进而求得ab 的范围，再根据两点间的距离求得10abAB =，进而可得||AB 的范围及最小值．当||AB 取最小值时可求得a ，b 的值，进而求出||OA 和||OB ，确定A ，B 的位置． 【详解】以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立如下图所示的直角坐标系设(,0)A a -、(,)B b b （其中0a >，0)b >，则AB 的方程为b ab y x a b a b=⋅+++， 即()0bx a b y ab -++=．2222100(22)100(22)a b a b ab a ab ∴=++200(1ab =．0ab >，200(21)ab ∴+．当且仅当“222a b =”时等号成立，而10ab AB ==， 20(21)AB ∴+．当222a b =，ab =||AB 取最小值，即a =b =此时OA a ==，OB =A ∴、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处．25．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000 m 2矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.（1）设占用空地的面积为S （单位：m 2）， 矩形休闲广场东西距离为x (单位：m ，0x >)，试用x 表示为S 的函数；（2）当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【答案】（1）()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为4880 m 2.【分析】（1）由广场面积可得矩形广场的南北距离为4000xm ，进而可求得结果；（2）根据基本不等式可求得结果.【详解】（1）因为广场面积须为40002m ，所以矩形广场的南北距离为4000xm ， 所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知1600040401040404040800=4840S x x =++≥++，当且仅当40x =时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为48802m .26．某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50/km h ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20/km h 时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30/km h 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入-成本） （2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）4750元；（2）游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．【分析】（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，根据利润=收入-成本建立函数关系式，所以24000600015(050)y v v v=--<，代入30/v km h =即可求得； （2）利用基本不等式求出最大利润即可．【详解】解：（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，因为游船的燃料费用为每小时2·k v 元，依题意2·2060k =，则320k =． 所以23100100240006000(?240?)600015(050)20y v v v v v v=-+=--<． 30/v km h =时，4750y =元；（2）2400060001560004800y v v =---=， 当且仅当2400015v v=，即40v =时，取等号． 所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．27．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为2(3)360x +L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)【答案】租车的总费用最少是280元，车速为70km/h ．【分析】设总费用为y 元，再根据题意求出y 与x 的关系式，再利用基本不等式求解即可【详解】解设总费用为y 元．由题意，得()2100100980076.47.23240100360x y x x x x x⎛⎫=⨯+⨯⨯+=+≤≤ ⎪⎝⎭．因为98002280y x x =+≥=． 当且仅当98002x x=，即x ＝70时取等号． 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h ．28．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为2300m 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区南北长x m .（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为南北长x 的函数()f x ，并写出x 的取值范围；（2）应该如何设计该隔离病区的边长，才能使工作区域的总占地面积最大？（结果精确到0.1m ）【答案】(1) ()f x =30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；(2) 隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.【分析】(1)根据长方形面积计算公式，求出各边边长，然后用总面积减去内部通过到面积和半污染缓冲区面积即可；(2)根据第一问表达式，结合基本不等式求最值即可.【详解】(1)南北长x ，则东西长300x ， 300300()300[32(6)32][(6)2822]f x x x x x ⎛⎫=-⨯+-⨯⨯--⨯+-⨯⨯ ⎪⎝⎭=30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ .(2)由(1)可得： 753000682x x x <<+≥， 当且仅当30008,x x x==.此时工作区域面积达到最大，故隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.29．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有2200m 的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天24m 的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积22m ，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水21m 的损失为250元.现在共派去x 名工人，抢修完成共用n 天. （1）写出n 关于x 的函数关系式；（2）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修（总损失＝渗水损失＋政府支出）.【答案】（1）1002n x =-，3x ≥，x N +∈；（2）52名工人. 【分析】（1）根据已经渗水的面积和扩散的面积之和等于x 名维修工人抢修n 天所抢修的面积列方程即可；（2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯，将其整理为关于x 的函数，再利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）由题意知：抢修n 天时，维修工人抢修的面积之和为2nx ，而渗水的面积为2004n + 所以有22004nx n =+，可得：1002n x =-，3x ≥，x N +∈. （2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯62550nx x =+100625502x x x =⋅+-()1250225001250505022x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 25005012502x x ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭250050212522x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭()50125250250125267600⎛⎫≥=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当250022x x =--时，即52x =时，等号成立. 所以应派52名工人去抢修，总损失最小.30．设002a b a b >>+=，，.（1）证明：(1)(1)4a b ab++≥； （2）证明：332a b +≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）把(1)(1)a b ab++展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=.()()13111ab a b ab a a bb ab +++++==+. 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号）， 故331141ab +≥+=. 所以()()114a b ab++≥ （2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号，又()3328a b +==，故332a b +≥.31．若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，（1）若231x +比3接近1，求x 的取值范围；（2）证明：“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要不充分条件； （3）证明：对于任意两个不相等的正数a 、b ，必有22a b ab +比33+a b接近2【答案】（1）x -<<（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）根据定义可得232x <，从而可求x 的取值范围.（2）通过反例可得“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件.利用不等式的性质可证明“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要条件，故可得所证结论. （3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.【详解】（1）因为231x +比3接近1，故231131x +-<-， 故232x <，故28x <，所以x -<（2）取1,2,02x y m =-==， 则1||2||2x m y m -=<=-，故x 比y 接近m . 但23120215922x y m x y +--++==->----， 故“x 比y 接近m ”推不出“231x y m x y +-<--”. 所以“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件. 若231x y m x y +-<--，则330x m x y-<-，故()()0x m x y --<， 所以00x m x y -<⎧⎨->⎩或00x m x y ->⎧⎨-<⎩， 若00x m x y -<⎧⎨->⎩，则y x <且x m <，故2x y m x m +<+<， 所以()()20x y m x y +--<， 故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，也就是“x 比y 接近m ”.若00x m x y ->⎧⎨-<⎩，则x y <且m x <，故2x y m x m +>+>， 所以()()20x y m x y +--<， 故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，故“x 比y 接近m ”是“31x y m x y+-<--”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a 、b ，要证22a b ab +比33+a b 接近2即证：223322-++<-a b ab a b ，即证：332ab a b a b -<+-+即证：22a b b aa b ++-<-，因为2222a b b a a b b a +++≥=+，因为a b ，故22a b a b b a +>+>220a b a b b a+-+-，所以22a b b aa b ++-<-成立，故22a b ab +比33+a b 接近2【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.32．若对任意的[]1,5x ∈，对任意的[)4,a ∈+∞，不等式2a x b x≤++恒成立，求-a b 的最大值.【答案】33【分析】设(),15a f x x b x x =++≤≤，对a 讨论，分45a ≤≤，525a <≤，25a >，判断()f x 的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设()a f x x b x=++，当45a ≤≤时，()()15f f ≤，可得()f x 的最小值为f b = ，最大值为55a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-23a b a -≤+≤+ ；当525a <≤时，()()15f f >，可得()f x 的最小值为f b =，最大值为1a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-22510233a b a -≤+≤+-=．5>即25a >时，()f x 在[]1,5递减，可得()f x 的最大值为()11f a b =++，最小值为55a b ++， 由题意可得525a b ++≥，即为35a b ≥--，则63355a a a b a -≤++=+， 由25a >，可得-a b 无最大值．综上可得-a b 的最大值为33．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题。

基本不等式求最值课件

基本不等式求最值课件
证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

基本不等式及恒成立问题 - 解析版

基本不等式及恒成立问题 - 解析版

基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。

答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。

知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。

（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。

需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。

答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

基本不等式求最值(公开课)

基本不等式求最值(公开课)
基本不等式求最值(公开课)
目录
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用 • 常见的基本不等式 • 基本不等式的扩展和深化 • 练习和思考题
01 基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是指对于任意实数x和y， 存在一个不等式关系，使得x和y满 足某种大小关系。
举例
对于任意实数x和y，有x^2 + y^2 ≥ 2xy，当且仅当x = y时取等号。
利用基本不等式证明不等式的问题
问题1
证明$sqrt{ab}
leq
frac{a+b}{2}$，其中$a,
b geq 0$。
问题2
证明$sin x leq x$，其 中$0 < x < pi$。
问题3
证明$log_{2}x leq x 1$，其中$x > 1$。
利用基本不等式解决实际问题的案例分析
案例1
证明
基于算术几何平均值不等式，即对 于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$， 有$frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$。
幂平均值不等式
定义
幂平均值不等式是指对于任意非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$left(frac{a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p}{n}right)^{frac{1}{p}} geq left(frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}right)$。
left( sum_{i=1}^{n} x_i right)^2$。

基本不等式最值问题

基本不等式最值问题

基本不等式最值问题在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。

最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。

而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。

本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。

一、基本不等式的概念基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。

常见的基本不等式有以下几种：1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。

这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。

2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。

这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。

3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+ ...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。

这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。

二、解决最值问题的步骤解决最值问题的一般步骤如下：1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。

2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。

根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。

3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。

具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。

4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。

同时，还要检查是否存在其他的极值点。

三、应用举例下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。

例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。

解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。

由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。

用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值六种方法一．配项求 $\frac{9}{x-2}$ 的最小值。

解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq 8$。

当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。

二．配系数求 $y=x^4-3x$ 的最大值。

解析：$y=\frac{1}{2}(3x^4-3x)\leq \frac{1}{2}\cdot 2=1$。

当 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 时，即 $y=1$ 时等号成立。

三．重复使用不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值，已知 $a>b>0$。

解析：$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2=2ab$。

再用$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$，得 $a^2+b^2\geq 2ab+(a-b)^2$。

当 $a-b=b$ 时，即 $a=2b$ 时等号成立，此时$a^2+b^2=5b^2$。

四．平方升次求 $y=x+4-x^2$ 的最大值，当 $x>0$ 时。

解析：$y^2=x^2+2x(4-x^2)+(4-x^2)^2=8-2x^4+6x^2\leq8+(x^2+(4-x^2)^2)=16$。

当 $x=2$ 时，即 $y=4$ 时等号成立。

五．待定系数法求 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。

解析：$y=2\sin^2 x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)\leq 2\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x+2\cos^2 x)}=2\sqrt{\sin^2x+2\cos^2 x}$。

当 $\sin^2 x=2\cos^2 x$ 时，即 $\tan^2 x=2$，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时取得最大值 $\sqrt{6}$。

六．常值代换已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。

2.2 基本不等式(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

2.2 基本不等式(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

2.2 基本不等式【基本不等式(或)均值不等式】知识点一：基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.2a b+≤的证明方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b+≤的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a b+≥其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.知识点诠释：在数学中，我们称2a b+为,a b 的算术平均数，称,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a b+≤求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.【基本不等式的变形与拓展】1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）．3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a +≥或2a bb a +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．5．一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+．6．函数()()0,0bf x ax a b x=+>>图象及性质(1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如右图所示：(2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：(),⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫- ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．重难点突破(一) 基本不等式的简单应用重难点突破(二) 利用基本不等式求最值例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数()4111y x x x =++>-+的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可【详解】因为1x >-，所以10x +>，所以4141y x x =++≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以()4111y x x x =++>-+的最小值为4，故答案为：4【变式训练2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知0,0a b >>且42a b +=，则（ ）【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y +=，则4x y +最小值为______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】正数x ，y 满足：111x y+=，∴()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时 “=”成立，故答案为：9.重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用【答案】()800f x ⎛=⨯ ⎝价为36000元．重难点突破(六) 挑战满分（压轴题）【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．。

基本不等式求最值问题

基本不等式求最值问题

[解析] (1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式 求最值时，等号成立的条件．
正解：∵0＜x＜2π，∴0＜sinx＜1，但 sinx＝si2nx时 sinx＝ 2， 不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条 件，因此取不到值 y＝2 2.
令 u＝sinx，∵0<x<2π，，0<u<1，∴可利用 y＝u＋2u在(0,1) 上是减函数得出 y＞3.
[例 5] 已知 a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． [错解] ∵a>0，b>0 ∴1a＋9b≥2 a9b＝6 a1b， ∴6 a1b≤1，∴a1b≤316，∴ab≥36. ∴a＋b≥2 ab≥12. ∴a＋b 的最小值为 12.
[辨析] 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时， 两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1a＝9b， 即 b＝9a，第二次等号成立的条件为 a＝b，故 a＋b 取不到最 小值 12.
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等 式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实 际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．
2．由基本不等式导出的结论． (1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a，b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． (2)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
[解析] 设扇形中心角为 θ，半径 r，面积 s，弧长 l，则 s ＝12lr＝12θr2，l＝rθ.

基本不等式(最值问题)

基本不等式(最值问题)
符号表示
常用符号表示为AM-GM不等式，其中AM代表算术平均数， GM代表几何平均数。
基本不等式的性质
传递性
01
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性质
02
如果a>b，则对于任意正实数c，有a+c>b+c。
乘法性质
03
如果a>b>0，则对于任意正实数c，有ac>bc。
基本不等式的证明
平方差公式法
利用平方差公式ab≤(frac{a+b}{2})^2证明基 本不等式。
AM-GM不等式
对于任意的正实数，其平方的算术平均值不小于其几何平均值。这可以用于证明一些重要 的不等式。
Cauchy-Schwarz不等式
对于任意的内积空间，其向量的内积的平方不小于其模长的乘积。这可以用于证明一些重 要的不等式。
Holder不等式
对于任意的矩阵，其每一行的算术平均值不小于其每一列的算术平均值。这可以用于证明 一些重要的不等式。
均值不等式
定义
均值不等式是数学中的一个基本不等 式，它表明对于任何非负实数$a$和 $b$，都有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
应用
均值不等式在解决最值问题、优化问 题、几何问题等方面有广泛的应用， 它可以用于证明其他不等式、解决最 优化问题、估计函数值等。
几何平均-算术平均不等式
柯西不等式法
利用柯西不等式 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+b n^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明基本不 等式。

不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)

不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

基本不等式与最值课件

基本不等式与最值课件
基本不等式与最值课 件
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目录
• 基本不等式概念及性质 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的最值问题 • 基本不等式的推广与拓展 • 基本不等式与最值问题的实例解析
01
基本不等式概念及性质
基本不等式的定义
01 算术平均数与几何平均数
基本不等式是关于算术平均数与几何平均数之间 的关系。
需要掌握基本不等式的形式和适用条件，以及如何利用 基本不等利用基本不等式求解最 01 优投资组合比例和最小风险？
在物流运输中，如何利用基本不等式求解最小运 02 输成本？
在资源分配中，如何利用基本不等式求解最小资 03 源消耗？
THANKS
詹森不等式的定义
詹森不等式是数学中的一个著名不等式，它表明对于任何 实数 $a_i$ 和 $b_i$ ，都有 $\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2$ 。
\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ 。
范德蒙公式的证明
范德蒙公式可以通过数学归纳法 和二项式定理进行证明。
范德蒙公式的应用
范德蒙公式在数学和物理中也有 广泛的应用，例如在求解最值、 不等式证明、求函数极值等方面
。
基本不等式与最值问题的实
05
例解析
常见题型解析
线性规划问题
在一定条件下，如何使两个变量之和最小 或最大？
$(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2 ) \geq (x_1y_1+x_2y_2)^2$ 。

基本不等式求最值问题课件

基本不等式求最值问题课件

详细描述
通过比较算术平均数和几何平均 数的大小关系，确定函数的最值。
算术平均数总是大于或等于几何 平均数，当且仅当所有数相等时，
两者相等。
示例
设$a, b, c$为正实数，求 $\frac{a+b+c}{3}$的最小值。 根据算术平均数与几何平均数之 间的关系，有$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$，当且仅当
$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \geq (a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n)^2$
切比雪夫不等式
定义：对于任意的非负实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有
$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$
提高型不等式求最值
利用较为复杂的不等式（如拉格朗日不 等式、切比雪夫不等式等）求解最值问题。
VS
答案解析
详细解释解题思路、方法和答案，帮助学 生理解提高型不等式求最值的基本原理和 应用。同时，通过对比基础和提高练习题 的解法，让学生更好地掌握不等式求最值 的方法和技巧。
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基本不等式求最值问 题课 件
contents
目录
• 基本不等式概述 • 常见的基本不等式 • 利用基本不等式求最值的方法 • 常见题型及解题思路 • 典型例题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
基本不等式概述
不等式的定义与性质
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第21讲（基本不等式的最值问题）【目标导航】三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【例题导读】例1、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】 4【解析】解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.例2、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】. 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例3、已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】(－∞，9]【解析】m ≤x ＋y 恒成立，m ≤(x ＋y)min .解法(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·xy＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9. 例4、若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=，所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.例5、若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．【答案】：12【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b -+=，21222b b a b b b -++=+131222b b =++12≥+=例6、已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 【答案】 94【解析】 解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．例7、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n 4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号． 例8、若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 【答案】 87【解析】解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b)⎝⎛⎭⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4ba≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c ≤87. 解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，由ab ＝a ＋2b 利用基本不等式得ab ≥22ab ，故ab ≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a ·2b ＝a ＋2b ，12·a ·2b ·c ＝a ＋2b ＋c ”，故a 与2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为87.例9、已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】. 8【解析】由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2a ·4a＋2b ·4b＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 例10、已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．【答案】73解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，令u ＝5x －y ，v ＝x ＋y ，则有u>0，v>0，uv ＝1，并且x ＝u ＋v 6，y ＝5v －u6，代入12x 2＋8xy－y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋v 62＋8·u ＋v 6·5v －u 6－⎝ ⎛⎭⎪⎫5v －u 62＝u 2＋9v 2＋22uv 12≥2u 2·9v 2＋22uv 12＝28uv 12＝28×112＝73，当且仅当u ＝3v ，uv ＝1，即u ＝3，v ＝33，亦即x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，因为x>0，y>0，x ＋y>0，所以5x －y>0，即有0<y x <5，令t ＝yx ，则0<t<5，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y 21＝12x 2＋8xy －y 25x 2＋4xy －y 2＝1＋7x 2＋4xy 5x 2＋4xy －y 2＝1＋7＋4·y x5＋4·y x －⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5.再令f(t)＝1＋4t ＋7－t 2＋4t ＋5(0<t<5)．令f′(t)＝4（－t 2＋4t ＋5）－（4t ＋7）（－2t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝2（2t －1）（t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝0，因为0<t<5，所以t ＝12.当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(t)<0，f(t)单调递减；当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5时，f ′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t ＝12时，f(t)取极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝73.此时x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2取得最小值73.解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux 2＋vy 2≥2uvxy.12x 2＋8xy －y 2≥12x 2＋8xy －y 2＋(2uvxy －ux 2－vy 2)，即12x 2＋8xy －y 2≥(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2.令(12－u)x 2＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2＝t(5x 2＋4xy －y 2)＝t ，则12－u ＝5t ，8＋2uv ＝4t ，v ＋1＝t ，解得t ＝73，u ＝13，v ＝43，例11、若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】100【解析】解法1(函数的最值) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.因为△ABC 为任意三角形，所以a>|b －c|，即19bc －ac b 2<19bc －|b －c|c b 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫c b 2＋18⎝⎛⎭⎫c b ，0<cb ≤1，－⎝⎛⎭⎫c b 2＋20⎝⎛⎭⎫cb ，c b>1.当0<c b ≤1时，⎝⎛⎭⎫c b 2＋18⎝⎛⎭⎫c b ≤19；当c b>1时，－⎝⎛⎭⎫c b 2＋20⎝⎛⎭⎫c b ≤100，即19bc －|b －c|cb 2的最大值为100，所以k ≥100，即实数k 的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.又19bc －ac b 2＝c b ⎝⎛⎭⎫19－a b .因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b ⎝⎛⎭⎫19－a b <⎝⎛⎭⎫1＋a b ⎝⎛⎭⎫19－a b ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋a b ＋⎝⎛⎭⎫19－a b 24＝100(要求最大值，19－a b 至少大于0)．当且仅当1＋a b ＝19－a b ，即ab＝9时取等号．【反馈练习】1、已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 2 6【解析】 思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号．2、已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36 【解析】因为正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 3、已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】 3 【解析】解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y，得x ＋y ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝1，y ＝2时取等号．4、已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．【答案】. 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b ≥2，又b>0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.5、已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤1，43 【解析】解法1 因为a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ∈[4，＋∞)，所以1a ＋b ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 从而1c ＝1－1a ＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，1，得c ∈⎝⎛⎦⎤1，43. 解法2 由题两等式得ab ＝a ＋b ，c ＋(a ＋b)＝c(a ＋b)，所以c ＋ab ＝c(ab)，即c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1.因为ab＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≥4，所以c ＝1＋1ab －1∈⎝⎛⎦⎤1，43. 6、已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________． 【答案】. 45【解析】依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎨⎧－ba ＝7，c a＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝⎛⎭⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝⎛⎭⎫5－6a＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5. 7、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】.11 【解析】1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.118、已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ．【答案】【解析】解题过程：因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+，所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥，故2211≥+b a ，当且仅当⎩⎨⎧=-=4)(12b a ab ，即⎩⎨⎧-=+=1212b a 时取得等号，所以11a b +的最小值为.229、已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．【答案】 10＋5 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得acb ＋c ab －c 2＋5c －2＝c a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2.又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立． 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5.10、已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 【答案】. 94【解析】解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．解法2 (幂平均不等式)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22a ＋12b ≥(1＋2)2a ＋b ＝94.解法3 (常数代换)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94，当且仅当a ＝2b 时取等号．11、已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．【答案】 4＋423【解析】由题意得b ＝14a ，所以0<14a <1，即a ∈(14，1)，消去b ，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2.解法 1 若注意到4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)](44－4a ＋24a －1)＝2＋23[4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a ]≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a时等号成立，所以最小值为4＋423.解法211－a ＋24a －1＝2a ＋1(1－a )(4a －1)，令2a ＋1＝x ， 原式＝2x－2x 2＋9x －9＝2－2x －9x＋9≥29－22x ·9x＝2＋423.以下同解法1.12、已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，174 【解析】对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4，不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t (t ≥4)为单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤174.13、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy的值为________．【答案】 2【解析】思路分析 设x ＝a,2y ＝b ，则问题变简单了．设x ＝a,2y ＝b ，则实数a ，b 满足(a －b )2＋(ab )2＝4.因为(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝4－(ab )2＋4ab ＝8－(ab －2)2≤8， 当且仅当a ＝b ＝2时，a ＋b 取最大值22，此时x ＝2y ，所以xy＝2.解后反思 作换元变换x ＝a,2y ＝b ，得(a －b )2＋(ab )2＝4后，猜都可以猜出答案了． 常用恒等式(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab .更好看的解法：由(a －b )2＋(ab )2＝4，得(a ＋b )2＋(ab －2)2＝8. 当a ＋b 取最大值22时，ab ＝2，此时a ＝b ＝ 2.14、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为________．【答案】322－1 【解析】 解法 1 令x ＋12y＝z ，则2xy ＝2yz －1，代入(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)整理得(4z 2－5)y 2－8(z －1)y ＋8＝0 (*)，由题意得y －2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z －1)2－32(4z 2－5)≥0，化简得2z 2＋4z －7≤0, 故0<z ≤－1＋322.检验：当z ＝322－1时，方程(*)可化为(17 －122)y 2－(122－16)y ＋8＝0，此时y 1＋y 2＝122－1617－122>0，y 1·y 2＝817－122>4，故方程必有大于2的实根，所以x ＋12y 的最大值为322－1.解法2 (2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，即⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＝⎝⎛⎭⎫5＋2y ⎝⎛⎭⎫1－2y ，则x ＝⎝⎛⎭⎫5＋2y ⎝⎛⎭⎫1－2y ＋1y2，所以x ＋12y ＝12 ⎝⎛⎭⎫5＋2y ⎝⎛⎭⎫1－2y ＋1y＝ －⎝⎛⎭⎫1y ＋12＋94＋⎝⎛⎭⎫1y ＋1－1 ≤2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1y ＋12＋94＋⎝⎛⎭⎫1y ＋12－1＝322－1，当且仅当－⎝⎛⎭⎫1y ＋12＋94＝1y ＋1，即y ＝432－4>2时等号成立，所以x ＋12y 的最大值为322－1.解法3 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)得⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＝⎝⎛⎭⎫5＋2y ⎝⎛⎭⎫1－2y ， 即⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＝9－⎝⎛⎭⎫2y ＋22，即⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2y ＋22＝9， 所以9＝⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2y ＋22≥122x －1y ＋2y ＋22，所以x ＋12y ≤322－1. 解法4 (2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)即⎝⎛⎭⎫x －12y 2＝⎝⎛⎭⎫52＋1y ⎝⎛⎭⎫12－1y ，所以12－1y ，x －12y ，52＋1y 成等比数列，设公比为q (q >1)，将x ，1y用q 表示，则x ＋12y ＝3(q －1)q 2＋1＋12＝3(q －1)＋2q －1＋2＋12≤322－1，当且仅当q －1＝2q －1，即q ＝2＋1时等号成立．15、已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b 的最小值为________．【答案】 2－12【解析】因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋1≥a c ，2b c ＋1≥a c ＋b c ，其中b c >0，ac>0，所以b c ＋c a ＋b ＝b c ＋1a c ＋b c ≥b c ＋12bc ＋1，(*)令t ＝2b c ＋1(t >1)，则b c ＝t 2－12，所以(*)可化为b c ＋12b c ＋1＝t 2－12＋1t≥2t 2·1t －12＝2－12， 当且仅当t 2＝1t即t ＝2时取等号，于是b c ＋c a ＋b ≥2－12，即b c ＋c a ＋b 的最小值为2－12.16、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________．【答案】24【解析】思路分析 在2x 2＋xy －y 2＝1中，独立变量有两个，因为用x 表示y 或用y 表示x 均不方便，可引入第三个变量来表示x ，y .由2x 2＋xy －y 2＝1，得(2x －y )(x ＋y )＝1，设2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t ，其中t ≠0.则x ＝13t ＋13t ，y ＝23t －13t ，从而x －2y ＝t －1t ，5x 2－2xy ＋2y 2＝t 2＋1t 2，记u ＝t －1t ，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2＝u u 2＋2＝1u ＋2u ≤12u ·2u ＝24，当且仅当u ＝2u ，即u ＝2时取等号，即最大值为24.。

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