第21讲(基本不等式的最值问题)(解析版)

第21讲（基本不等式的最值问题）

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三个不等式关系：

(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2

，当且仅当a ＝b 时取等号．

上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【例题导读】

例1、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋x

y 的最小值为________．

【答案】 4

【解析】解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1

⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22

＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋x

y

的最小值为4.

解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋1

1－x

，以下同解法1.

解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x

1－x ≥

4，当且仅当1－x x ＝x 1－x

，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋x

y 的最小值为4.

例2、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1

y －3的最小值为________． 【答案】. 8

【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3

x

－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1

y －3＋6≥2

(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1

y －3

，即y ＝4

时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1

y －3

的最小值为8.

解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3

x －6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1

3

x －6＋6≥2

⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6

＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6

，即x ＝37

时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1

y －3

的最小值为8.

例3、已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________． 【答案】(－∞，9]

【解析】m ≤x ＋y 恒成立，m ≤(x ＋y)min .

解法(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥2

4y x ·x

y

＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9. 例4、若正实数x y ，满足1x y +=，则4

y x y

+的最小值是 ▲ ． 【答案】8

【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=，

所以

4()444y y x y y x

x y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =

，即2y x =，又1x y +=，即12,33

x y =

=，等号成立，即4y

x y +取得最小值8.

例5、若0,0a b >>，且11

121

a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．

【答案】：

1

2

【解析】由已知等式得2

22122a b ab a b b ++=+++，从而21

2b b a b -+=，

2

1222b b a b b b -++=+131222b b =++12

≥+=

例6、已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1

y ＋1

的最小值为________． 【答案】 9

4

【解析】 解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝1

4(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1

3

时取等号．

例7、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1

x －y

的最小值为________．

【答案】3＋22

4

【解析】设⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝m ，

x －y ＝n .解得

⎩⎨⎧

x ＝m ＋3n 4

，

y ＝m －n 4.

所以x ＋y ＝

m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2

m

＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m

n ，即m ＝2n 时取等号． 例8、若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________． 【答案】 8

7

【解析】

解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2

a ＝1，所以a ＋2b

＝(a ＋2b)⎝⎛⎭⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4b

a

≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c ≤8

7

. 解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1

ab －1，由ab ＝a ＋2b 利

用基本不等式得ab ≥22ab ，故ab ≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝8

7

.

解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a ·2b ＝a ＋2b ，1

2·a ·2b ·c ＝a ＋2b ＋c ”，故a 与

2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为8

7

.

例9、已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】. 8

【解析】由a ，b ，c 均为正数，abc ＝4(a ＋b)，得c ＝4a ＋4b ，代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4

b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2

a ·4

a

＋2b ·4

b

＝8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 例10、已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．

【答案】7

3

解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2＋4xy －y 2＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，