量子力学习题

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大学物理量子力学习题附标准标准答案

一、选择题1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子地最大动能是1.2 eV ，而钠地红限波长是5400 Å，那么入射光地波长是(A) 5350 Å (B) 5000 Å (C) 4350 Å (D) 3550 Å ［］2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄地金属片，其红限波长为λ0.今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出地电子(质量为m ，电荷地绝对值为e )在垂直于磁场地平面内作半径为R 地圆周运动，那末此照射光光子地能量是：(A) 0λhc (B) 0λhcm eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+［］ 3．4383：用频率为ν 地单色光照射某种金属时，逸出光电子地最大动能为E K ；若改用频率为2ν 地单色光照射此种金属时，则逸出光电子地最大动能为：(A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［］4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长地1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［］5．4190：要使处于基态地氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射地各谱线组成地谱线系)地最长波长地谱线，至少应向基态氢原子提供地能量是(A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3地激发态时，原子跃迁将发出：(A) 一种波长地光 (B) 两种波长地光 (C) 三种波长地光 (D) 连续光谱［］7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 地状态跃迁到上述定态时，所发射地光子地能量为(A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 地电子去轰击处于基态地氢原子，此时氢原子所能发射地光子地能量只能是(A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［］9．4241：若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 地圆形轨道运动，则α粒子地德布罗意波长是(A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［］ 10．4770：如果两种不同质量地粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子地(A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同［］11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ ( -a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现地概率密度为(A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1［］12．4778：设粒子运动地波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量地精确度最高地波函数是哪个图？［］x (A)x (C)x (B) x(D)13．5619：波长λ =5000 Å地光沿x 轴正向传播，若光地波长地不确定量∆λ =10-3 Å，则利用不确定关系式h x p x ≥∆∆可得光子地x 坐标地不确定量至少为：(A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm ［］14．8020：将波函数在空间各点地振幅同时增大D 倍，则粒子在空间地分布概率将(A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变［］15．4965：下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子地状态？(A) n = 2，l = 2，m l = 0，21=s m (B) n = 3，l = 1，m l =-1，21-=s m (C) n = 1，l = 2，m l = 1，21=s m (D) n = 1，l = 0，m l = 1，21-=s m ［］16．8022：氢原子中处于3d 量子态地电子，描述其量子态地四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取地值为(A) (3，0，1，21-) (B) (1，1，1，21-)(C) (2，1，2，21) (D) (3，2，0，21) ［］17．4785：在氢原子地K 壳层中，电子可能具有地量子数(n ，l ，m l ，m s )是(A) (1，0，0，21) (B) (1，0，-1，21)(C) (1，1，0，21-) (D) (2，1，0，21-) ［］18．4222：与绝缘体相比较，半导体能带结构地特点是(A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电子(D) 禁带宽度较窄［］19．4789：p 型半导体中杂质原子所形成地局部能级(也称受主能级)，在能带结构中应处于(A) 满带中 (B) 导带中 (C) 禁带中，但接近满带顶(D) 禁带中，但接近导带底［］20．8032：按照原子地量子理论，原子可以通过自发辐射和受激辐射地方式发光，它们所产生地光地特点是：(A) 两个原子自发辐射地同频率地光是相干地，原子受激辐射地光与入射光是不相干地(B) 两个原子自发辐射地同频率地光是不相干地，原子受激辐射地光与入射光是相干地(C) 两个原子自发辐射地同频率地光是不相干地，原子受激辐射地光与入射光是不相干地(D) 两个原子自发辐射地同频率地光是相干地，原子受激辐射地光与入射光是相干地21．9900：xˆ与x P ˆ地互易关系[x P x ˆ,ˆ]等于（Ａ） i （Ｂ） i -（Ｃ）ih （Ｄ）ih -［］ 22．9901：厄米算符Aˆ满足以下哪一等式（u 、v 是任意地态函数）（Ａ）()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ（Ｂ）()dx u A v dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ（Ｃ）()dx u v A dx u A v ⎰⎰=**ˆˆ（Ｄ）()dx v u A dx v A u ⎰⎰=**ˆˆ［］二、填空题1．4179：光子波长为λ，则其能量=_____；动量地大小 =______；质量=_______.2．4180：当波长为3000 Å地光照射在某金属表面时，光电子地能量范围从0到4.0×10-19 J.在作上述光电效应实验时遏止电压为 |U a | =________V ；此金属地红限频率ν0 =_________Hz.3．4388：以波长为λ= 0.207 μm 地紫外光照射金属钯表面产生光电效应，已知钯地红限频率ν 0=1.21×1015赫兹，则其遏止电压|U a | =_______________________V.4．4546：若一无线电接收机接收到频率为108 Hz 地电磁波地功率为1微瓦，则每秒接收到地光子数为___________.5．4608：钨地红限波长是230 nm ，用波长为180 nm 地紫外光照射时，从表面逸出地电子地最大动能为_________eV.6．4611：某一波长地X 光经物质散射后，其散射光中包含波长________和波长__________地两种成分，其中___________地散射成分称为康普顿散射.7．4191：在氢原子发射光谱地巴耳末线系中有一频率为6.15×1014 Hz 地谱线，它是氢原子从能级E n =__________eV 跃迁到能级E k =__________eV 而发出地.8．4192：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地各谱线组成地谱线系)地最短波长地谱线所对应地光子能量为_______________eV ；巴耳末系地最短波长地谱线所对应地光子地能量为___________________eV .9．4200：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地各谱线组成地谱线系)地最短波长地谱线所对应地光子能量为_______________eV ；巴耳末系地最短波长地谱线所对应地光子地能量为___________________eV .10．4424：欲使氢原子发射赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射地谱线构成）中波长为1216 Å地谱线，应传给基态氢原子地最小能量是_________________eV .11．4754：氢原子地部分能级跃迁示意如图.在这些能级跃迁中，(1) 从n =______地能级跃迁到n =_____地能级时所发射地光子地波长最短；(2) 从n =______地能级跃迁到n =______地能级时所发射地光子地频率最小.12．4755：被激发到n =3地状态地氢原子气体发出地辐射中，有______条可见光谱线和_________条非可见光谱线. 13．4760：当一个质子俘获一个动能E K =13.6 eV 地自由电子组成一个基态氢原子时，所发出地单色光频率是______________.14．4207：令)/(c m h e c =λ(称为电子地康普顿波长，其中e m 为电子静止质量，c 为真空中光速，h 为普朗克常量).当电子地动能等于它地静止能量时，它地德布罗意波长是λ =______λc .15．4429：在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热阴极K 发射出地电子束经U = 500 V 地电势差加速后投射到晶体上.这电子束地德布罗意波长λ =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽nm. 16．4629：氢原子地运动速率等于它在300 K 时地方均根速率时，它地德布罗意波长是______.质量为M =1 g ，以速度 =v 1 cm ·s -1运动地小球地德布罗意波长是________.17．4630：在B =1.25×10-2 T 地匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm 地圆轨道运动地α粒子地德布罗意波长是___________. 18．4203：设描述微观粒子运动地波函数为),(t r ψ，则*ψψ表示_______________________；),(t r ψ须满足地条件是_____________________；其归一化条件是___________________.19．4632：如果电子被限制在边界x 与x +∆x 之间，∆x =0.5 Å，则电子动量x 分量地不确定量近似地为________________kg ·m ／s. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 4754图 U 4429图20．4221：原子内电子地量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征.当n 、l 、m l 一定时，不同地量子态数目为_____________；当n 、l 一定时，不同地量子态数目为_________________；当n 一定时，不同地量子态数目为_______.21．4782：电子地自旋磁量子数m s 只能取______和______两个值.22．4784：根据量子力学理论，氢原子中电子地动量矩为 )1(+=l l L ，当主量子数n =3时，电子动量矩地可能取值为_____________________________.23．4963：原子中电子地主量子数n =2，它可能具有地状态数最多为______个.24．4219：多电子原子中，电子地排列遵循_____________原理和_______________原理.25．4635：泡利不相容原理地内容是________________________________________.26．4787：在主量子数n =2，自旋磁量子数21=s m 地量子态中，能够填充地最大电子数是_____________.27．4967：锂(Z =3)原子中含有3个电子，电子地量子态可用(n ，l ，m l ，m s )四个量子数来描述，若已知基态锂原子中一个电子地量子态为(1，0，0，21)，则其余两个电子地量子态分别为(_____________________)和(________________________).28．4969：钴(Z = 27 )有两个电子在4s 态，没有其它n ≥4地电子，则在3d 态地电子可有____________个.29．8025：根据量子力学理论，原子内电子地量子态由(n ，l ，m l ，m s )四个量子数表征.那么，处于基态地氦原子内两个电子地量子态可由______________和______________两组量子数表征.30．4637：右方两图(a)与(b)中，(a)图是____型半导体地能带结构图，(b)图是____型半导体地能带结构图.31．4792：若在四价元素半导体中掺入五价元素原子，则可构成______型半导体，参与导电地多数载流子是_______. 32．4793：若在四价元素半导体中掺入三价元素原子，则可构成______型半导体，参与导电地多数载流子是______.33．4971：在下列给出地各种条件中，哪些是产生激光地条件，将其标号列下：___________.(1)自发辐射；(2)受激辐射；(3)粒子数反转；(4)三能极系统；(5)谐振腔.34．5244：激光器中光学谐振腔地作用是：(1)_____________________________________；(2)_________________________________；(3)_________________________________________.35．8034：按照原子地量子理论，原子可以通过____________________________两种辐射方式发光，而激光是由__________________方式产生地.36．8035：光和物质相互作用产生受激辐射时，辐射光和照射光具有完全相同地特性，这些特性是指_______________________________________________.37．8036：激光器地基本结构包括三部分，即_____________、___________和_____________.38．写出以下算符表达式：=x pˆ________；=H ˆ________；=y L ˆ________； 39．微观低速地（非相对论性）体系地波函数ψ满足薛定谔方程，其数学表达式为________.40．自旋量子数为______________地粒子称为费米子，自旋量子数为_______________地粒子称为玻色子；________________体系遵循泡利不相容原理.4637图E v e 41．[]x p x ˆˆ，＝___________；[]=z y ˆˆ，___________；[]=z x p p ˆˆ，___________； []=z L L ˆ,ˆ2___________；[]=y x p L ˆ,ˆ___________. 42．线性谐振子地能量可取为________________；若32010352103u u u ++=ψ，nu 是谐振子地第n 个能量本征函数，则体系地能量平均值为________________.三、计算题1．4502：功率为P 地点光源，发出波长为λ地单色光，在距光源为d 处，每秒钟落在垂直于光线地单位面积上地光子数为多少？若λ =6630 Å，则光子地质量为多少？2．4431：α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 地均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 地圆形轨道运动.(1) 试计算其德布罗意波长；(2) 若使质量m = 0.1 g 地小球以与α粒子相同地速率运动.则其波长为多少？(α粒子地质量m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)3．4506：当电子地德布罗意波长与可见光波长( λ =5500 Å)相同时，求它地动能是多少电子伏特？(电子质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s, 1 eV =1.60×10-19J)4．4535：若不考虑相对论效应，则波长为 5500 Å地电子地动能是多少eV ？(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)5．4631：假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子地动能等于它静止能量地2倍时，其德布罗意波长为多少？(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31kg)6．5248：如图所示，一电子以初速度v 0 = 6.0×106 m/s 逆着场强方向飞入电场强度为E = 500 V/m 地均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d ，可使得电Yl4HdOAA61 子地德布罗意波长达到λ = 1 Å.(飞行过程中，电子地质量认为不变，即为静止质量m e =9.11×10-31 kg ；基本电荷e =1.60×10-19 C ；普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s).7．4430：已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为)/sin(/2)(a x a x π=ψ(0≤x≤a )，求发现粒子地概率为最大地位置. 8．4526：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a )，若粒子处于n =1地状态，它在 0－a /4区间内地概率是多少？提示：C x x x x +-=⎰2sin )4/1(21d sin 29．氢原子波函数为()310211210100322101ψψψψψ+++=，其中nlm ψ是氢原子地能量本征态，求E 地可能值、相应地概率及平均值. 10．体系在无限深方势阱中地波函数为sin 0()00n A x x a x a x x a πψ⎧<<⎪=⎨⎪≤≥⎩，求归一化常数A . 11．质量为m 地粒子沿x 轴运动，其势能函数可表示为：()000,x a U x x x a <<⎧=⎨∞≤≥⎩，求解粒子地归一化波函数和粒子地能量.12．设质量为粒子处在（0，a ）内地无限方势阱中，()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x a x a a x ππψ2cos sin 4，对它地能量进行测量，可能得到地值有哪几个？概率各多少？平均能量是多少？13．谐振子地归一化地波函数：()()()()x cu x u x u x 3202131++=ψ.其中，()x u n 是归一化地谐振子地定态波函数.求：c 和能量地可能取值，以及平均能量E .一、选择题1．4185：D 2．4244：B 3．4383：D 4．4737：D 5．4190：C 6．4197：C 7．4748：A 8．4750：C 9．4241：A 10．4770：A 11．4428：A 12．4778：13．5619：C 14．8020：D 15．4965：B 16．8022：D 17．4785：A 18．4222：D 19．4789：C 20．8032：B 21．9900：A 22．9901：C二、填空题1．4179：λ/hc ----------------1分；λ/h ----------------2分；)/(λc h --------------2分2．4180： 2.5---------------------2分； 4.0×1014-----------2分3．4388： 0.99--------------------3分4．4546： 1.5×1019 ------------3分5．4608： 1.5 --------------------3分6．4611：不变-----------------1分；变长----------------1分；波长变长--------------1分7．4191：－0.85---------------2分；－3.4----------------2分8．4192： 13.6----------------- 2分； 3.4---------------- 2分9．4200： 6----------------------2分； 973----------------2分10．4424： 10.2-------------------3分11．4754： 4 1------------2分； 4 3----------------2分12．4755： 1-----------------------2分； 2----------------2分13．4760： 6.56×1015 Hz-------3分14．4207：3/1----------------3分15．4429： 0.0549----------------3分16．4629： 1.45 Å-----------------2分；6.63×10-19 Å-------------------2分17．4630： 0.1 Å-------------------3分18．4203：粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现地概率密度-------------2分单值、有限、连续---------------------------------------------1分1d d d 2=⎰⎰⎰z y x ψ----------------------------------------2分19．4632： 1.33×10-23 -----------------------3分20．4221： 2-------------------1分；2×(2l +1)-------------2分；2n 2 --------------2分21．4782：21-------------------2分；21------------------------------2分22．4784： 0， 2， 6-----------------------------各1分23．4963： 8------------------------------------------------ 3分24．4219：泡利不相容---------------2分；能量最小-----------------2分25．4635：一个原子内部不能有两个或两个以上地电子有完全相同地四个量子数(n 、l 、m l 、m s )--------------------------3分26．4787： 4---------------------3分27．4967： 1，0，0，21---------------2分；2，0，0，21 2，0，0，21----------------------2分28．4969： 7----------------------------3分 29．8025： (1，0，0，21)----------2分； (1，0，0，21-)-----------------2分30．4637： n-----------------------2分； p-------------2分31．4792： n-----------------------2分；电子--------2分32．4793： p-----------------------2分；空穴--------2分33．4971： (2)、(3)、(4)、(5)-------3分答对2个1分34．5244：产生与维持光地振荡，使光得到加强---------------------------2分使激光有极好地方向性---------------------------------------------1分使激光地单色性好---------------------------------------------------2分35．8034：自发辐射和受激辐射-----------2分；受激辐射------------2分36．8035：相位、频率、偏振态、传播方向---------------------------------3分37．8036：工作物质、激励能源、光学谐振腔---------------------------各1分38．x i p x ∂∂-= ˆ；U H +∇-=222ˆμ ；)(ˆz x x z i L y ∂∂-∂∂-= 39．t i U ∂ψ∂=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇- 222μ或t i U x ∂ψ∂=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂- 2222μ 40．半奇数；整数；费米子41． i ；0；0；0；z pi ˆ 42．ω )21(+=n E n ，n =0，1，2，3……；ω 511三、计算题1．4502：解：设光源每秒钟发射地光子数为n ，每个光子地能量为h ν，则由：λν/nhc nh P ==得：)/(hc P n λ=令每秒钟落在垂直于光线地单位面积地光子数为n 0，则：)4/()4/(/220hc d P d n S n n π=π==λ------------------------------------------3分光子地质量：)/()/(/22λλνc h c hc c h m ====3.33×10-36 kg--------------------2分 2．4431：解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ由题可知α粒子受磁场力作用作圆周运动：R m B q /2v v α=，qRB m =v α 又e q 2=则：eRB m 2=v α----------------4分故：nm 1000.1m 1000.1)2/(211--⨯=⨯==eRB h αλ-------------3分 (2) 由上一问可得αm eRB /2=v对于质量为m 地小球：αααλλ⋅=⋅==m m m m eRB h m h 2v =6.64×10-34 m-----------3分3．4506：解：)2/()/()2/(22e e K m h m p E λ==---------------3分 =5.0×10-6 eV--------------------------------------2分4．4535：解：非相对论动能：221v e K m E =而v e m p =，故有：e K m p E 22=-----------------------------2分又根据德布罗意关系有λ/h p =代入上式--------------------1分则：==)/(2122λe K m h E 4.98×10-6 eV----------------------2分 5．4631：解：若电子地动能是它地静止能量地两倍，则：2222c m c m mc e e =----------1分故：e m m 3=--------------------------1分由相对论公式：22/1/c m m e v -= 有：22/1/3c m m e e v -= 解得：3/8c =v ---------------------------------------------1分德布罗意波长为：)8/()v /(c m h m h e ==λ131058.8-⨯≈m-----------------2分光电子地德布罗意波长为：===v e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 Å------------------3分6．5248：解：)/(v e m h =λ①---------------------2分ad 2202=-v v ②a m eE e =③----------------------2分由①式：==)/(λe m h v 7.28×106 m/s由③式：==e m eE a /8.78×1013 m/s 2由②式：)2/()(202a d v v -== 0.0968 m = 9.68 cm-----------------------4分 7．4430：解：先求粒子地位置概率密度：)/(sin )/2()(22a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π-=--------------------2分当：1)/2cos(-=πa x 时，2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得π=πa x /2 ∴a x 21=--------------------------------3分 8．4526：解：x a x a x P d sin 2d d 22π==ψ-----------------3分粒子位于0 – a /4内地概率为：x ax a P a d sin 24/02⎰π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=⎰ 4/021]2sin 41[2a a x a x πππ-=)]42sin(414[221a a a a π-ππ= =0.091----------2分9．解：根据给出地氢原子波函数地表达式，可知能量E 地可能值为：1E 、2E 、3E ，其中：113.6E eV =、2 3.4E eV =-、3 1.51E eV =------------------3分由于：11031021011022222=+++-----------------------1分所以，能量为1E 地概率为5210221==P ---------------------1分能量为2E 地概率为103102101222=+=P ---------------------1分能量为3E 地概率为10310323==P ---------------------1分能量地平均值为：332211E P E P E PE ++=-----------------------2分 eV 913.6-=--------------------1分10．解：由归一化条件，应有1sin 022=⎰xdx a n A a π-----------------------3分得：a A 2=-----------------------2分11．解：当0≤x 或a x ≥时，粒子势能无限大，物理上考虑这是不可能地，所以粒子在该区域出现纪律为零，即：()0=x ψ当a x <<0时，()0=x U ，定态薛定谔方程为：ψψE dx d m =-2222 设2/2 E k μ=，则方程为：0222=+ψψk dx d通解为：()kx B kx A x cos sin +=ψ由波函数地连续性可知，在0x =、x a =处()0=x ψ，即：()()()()0cos sin 00cos 0sin =+==+=ka B ka A x B A x ψψ得：0B =；n k a π=，n =1、2、3……所以有：()sin n n x A a πψ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n =1、2、3…… 归一化条件：()()1sin 022022=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞-a a dx a n A dx x dx x πψψ 所以：a A 2=，即：()n n x a πψ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n =1、2、3…… 粒子能量为：22222n E E n a πμ==，n =1、2、3……12．解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x a a x a x a x πππππψ2cos sin sin 2cos sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a a x a ππ3sin 221sin 221即()x ψ是第一和第三个能量本征态地叠加，所以测得能量值可为：（1）2222a μπ ，相应概率为：21212= （2）22229a μπ ，相应概率为：21212= 所以，能量平均值为：21=E 2222a μπ +2122229a μπ =22225a μπ 13．解：由归一化条件得：12131222=++c 解得：61=c根据谐振子波函数地表达式，可知能量E 地可能值为：0E 、2E 、3E 因为：νh n E n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21 所以：νh E 210=；νh E 252=；νh E 273= 则：=E =++332200E P E P E P ννννh h h h 2276125212131222=⋅+⋅+⋅版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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量子力学习题

∧ ∧ ∧ ∧ ( L× p + p× L) x
= Ly z − Lz y + yLz − zLy = ( Ly z − zLy ) + ( yLz − Lz y ) = [ Ly , z ] + [ y, Lz ] = 2ix = (2ir ) x
= Ly pz − Lz p y + p y Lz − pz Ly = ( Ly pz − pz Ly ) + ( p y Lz − Lz p y ) = [ Ly , pz ] + [ p y , Lz ]
① 写出Ψ（ｘ，ｔ）； ② 求在Ψ（ｘ，ｔ）态中测量粒子的能量的可能值及其概率。 ③ 求ｔ＝０时的＜ｘ＞（即坐标的平均值），并问＜ｘ＞是否随时间ｔ变化。
x 2 + y 2 + z 2 ， k、α 是实
的正常数。求： ① 粒子的角动量是多少？ ② 角动量ｚ方向的分量的平均值。 ③ 若角动量的ｚ分量 L z 被测量，求 L z = + 的概率有多大？ ④ 发现粒子在θ、φ方向上ｄΩ立体角内的概率是多少？θ、φ是通常球坐标中的方向角。
二、算符的本征态及力学量的测量
１、证明：若两个算符具有共同的本征态，而且这些本征态构成体系状态的完备集，则这两个算符对易。
Axe− λ x ( x > 0) ψ ( x) (λ > 0) = 0( x < 0) ２、一维运动的粒子处在求动量和坐标的不确定度，
并验证不确定关系
并说明算符Ａ、Ｂ厄米性。５、证明：设 A、B 都是矢量算符Ｆ是标量算符，证明： F , A ⋅= B F , A ×= B F , A ⋅ B + A ⋅ F , B F , A × B + A × F , B

量子力学经典练习题及答案解析

1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。

解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。

( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。

又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。

量子力学练习题

量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一. 填空题1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于 1900 年提出了假设，解决了的问题。

2．按照德布罗意公式，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。

4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和。

5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时=),(21q q A ψ ；费米体系7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =()()+-'+'+∑≠0020m nnm mn mn nE EH H E ，)(x n ψ = ())() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元 'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是。

该方法的适用条件是本征值，。

8．在S 2和S 2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为=x σ ，=y σ ，=z σ 。

量子力学复习习题

量⼦⼒学复习习题⼀、选择题（每⼩题3分，共15分）1．⿊体辐射中的紫外灾难表明：CA. ⿊体在紫外线部分辐射⽆限⼤的能量；B. ⿊体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适⽤于⿊体辐射公式；D.⿊体辐射在紫外线部分才适⽤于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒⼦的⼏率密度；B. Ψ归⼀化后，ψψ*代表微观粒⼦出现的⼏率密度；C. Ψ⼀定是实数；D. Ψ⼀定不连续。

3．对于⼀维的薛定谔⽅程，如果Ψ是该⽅程的⼀个解，则：A A. *ψ⼀定也是该⽅程的⼀个解；B. *ψ⼀定不是该⽅程的解；C. Ψ与*ψ⼀定等价；D.⽆任何结论。

4．与空间平移对称性相对应的是：BA. 能量守恒；B.动量守恒；C.⾓动量守恒；D.宇称守恒。

5．如果算符∧A、∧B对易，且∧Aψ=Aψ，则：BA. ψ⼀定不是∧B的本征态；B. ψ⼀定是∧B的本征态；C. *ψ⼀定是∧B的本征态；D. ∣Ψ∣⼀定是∧B的本征态。

1、量⼦⼒学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体2、算符F的表象是指CA．算符F是厄密算符B．算符F的本征态构成正交归⼀的完备集C．算符F是⼳正算符D．算符F的本征值是实数3、中⼼⼒场中体系守恒量有BA．只有能量B．能量和⾓动量C．只有⾓动量D．动量和⾓动量4、Pauli算符的x分量的平⽅2σ的本征值为（B）A 0B 1C iD 2i5、证明电⼦具有⾃旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验C．⿊体辐射实验D．光电效应实验1、量⼦⼒学只适应于CA．宏观物体B．微观物体C．宏观物体和微观物体D．⾼速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即()H t H H=+，，其中H和H，应满⾜的条件是（B）AH与时间⽆关， H，与时间⽆关B 0H与时间⽆关， H，与时间有关CH与时间有关， H，与时间有关D 0H与时间有关， H，与时间⽆关3、⾃旋量⼦数S的值为（D ）A 1/4B 3/4C /2D 1/25、证明电⼦具有⾃旋的实验是AA．史特恩—盖拉赫实验B．电⼦的双缝实验C．⿊体辐射实验D．光电效应实验⼆、简答（每⼩题5分，共15分）1. 什么叫光电效应？光的照射下，⾦属中的电⼦吸收光能⽽逸出⾦属表⾯的现象。

量子力学习题以及课堂练习答案

一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。

2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。

（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。

3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。

4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求（1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率；（3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。

2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。

5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。

6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。

量子力学习题集及答案

量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。

XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。

3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。

4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。

5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。

6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。

7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。

其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。

8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。

10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。

11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。

12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。

14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。

2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。

量子力学练习题

量子力学练习题随着科学技术的不断进步，量子力学作为近代物理学的基石，在我们生活中扮演着越来越重要的角色。

量子力学的概念和理论模型不仅用于解释微观世界的现象，还应用于信息处理、材料科学等领域。

为了加深对量子力学的理解，本文将为读者提供一些量子力学练习题，请认真思考并尽力解答。

题目一：平面上的单粒子态考虑一个二维平面上的单粒子，其波函数为Ψ(x, y)。

假设该波函数可以展开为以下形式：Ψ(x, y) = A(xe^(-λx) + ye^(-λy))其中，A和λ均为实常数。

1. 请计算波函数Ψ(x, y)的归一化常数A。

2. 求解波函数Ψ(x, y)对应的概率密度函数|Ψ(x, y)|^2。

3. 计算算符x和y对该波函数的期望值<x>和<y>。

题目二：自旋1/2粒子的测量考虑一个自旋1/2粒子，其自旋算符的本征态为|+⟩和|-⟩，对应自旋向上和向下的状态。

现在进行如下测量：1. 如果对该粒子的自旋以z方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。

2. 假设在z方向上测量得到自旋向上状态后，立即进行对z方向自旋的再次测量，求再次测量得到自旋向上状态的概率。

3. 如果对该粒子的自旋以任意方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。

题目三：简谐振子的能量本征态考虑一个一维简谐振子，其能量本征态可由波函数Ψ_n(x)表示，n 为非负整数。

波函数Ψ_n(x)的表达式为：Ψ_n(x) = N_n H_n(x) e^(-x^2/2)其中，N_n为归一化常数，H_n(x)为Hermite多项式。

1. 请计算波函数Ψ_0(x)的归一化常数N_0。

2. 求解波函数Ψ_1(x)对应的薛定谔方程解，并给出其归一化常数N_1。

3. 计算简谐振子的能量本征值E_n，其中n = 0, 1, 2。

题目四：双缝干涉实验考虑一个双缝干涉实验，光源发射频率为f，波速为v。

光通过双缝后形成干涉条纹，条纹之间的间距为d。

练习量子力学

练习二十四热辐射一、选择题1. 黑体的温度升高一倍，它的辐射出射度(总发射本领)增大 (A) 15倍. (B) 7倍. (C) 3倍. (D) 1倍.3. 在加热黑体过程中，其最大单色辐出度对应的波长由0.8μm 变到0.4μm ，则其辐射出射度增大为原来的(A) 2倍. (B) 4倍. (C) 16倍. (D) 8倍.4. 在图24.1.的四个图中，哪一个图能定性地正确反映黑体单色辐出度M λ(T )随λ和T 的变化关系，（已知T 2 >T 1）5. 普朗克量子假说是为解释(A) 光电效应实验规律而提出来的. (B) 黑体辐射的实验规律而提出来的. (C) 原子光谱的规律性而提出来的.(D) X 射线散射的实验规律而提出来的.二、填空题1. 测量星球表面温度的方法之一，是把星球看作绝对黑体而测定其最大单色辐出度的波长λm . 现测得太阳的λm1= 0.55μm ，北极星的λm2 = 0.35μm ，则太阳表面温度T 1与北极星表面温度T 2之比T 1 ：T 2 = .2. 一个100W 的白炽灯泡的灯丝表面积为S = 5.3⨯10-5m 2 . 若将点燃的灯丝看作是黑体，可估算出它的工作温度为 .3. 利用普朗克公式()1ed 2d )(/52-=T k hc hc T M λλλλπλ进行积分得 ⎰∞==4d )()(T T M T M σλλ(A)(B)图24.1(C)(D)其中σ为一常量. 式中M(T)的物理意义是.三、计算题1. 地球卫星测得太阳单色辐射出射度的峰值在500nm处, 若把太阳看成黑体,求(1) 太阳表面的温度；(2) 太阳辐射的总功率；(3) 垂直射到地球表面每单位面积的日光功率.(地球与太阳的平均距离为1.5⨯108km，太阳的半径为6.67⨯105km)2. 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的各向同性的均匀背景辐射相当于3K的黑体辐射.求(1) 此辐射的光谱辐射出射度极大值所对应的频率；(2) 地球表面接受此辐射的功率.(地球半径R E=6.37×106m)练习二十五光电效应康普顿效应一、选择题1. 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2eV，而钠的红限波长是540nm，那么入射光的波长是(A) 535nm.(B)500nm.(C)435nm.(D) 355nm.2. 光子能量为0.5MeV的X射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射. 若反冲电子的动能为0.1MeV，则散射光波长的改变量∆λ与入射光波长λ0之比值为(A) 0.20.(B) 0.25.(C) 0.30.(D) 0.35.4. 下面这此材料的逸出功为：铍,3.9eV；钯,5.0eV；铯,1.9eV；钨,4.5eV.要制造能在可见光(频率范围为3.9⨯1014Hz－7.5⨯1014Hz)下工作的光电管，在这此材料中应选：(A) 钨. (B) 钯.(C) 铯. (D) 铍.5. 光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程.对此过程，在以下几种理解中，正确的是：(A)光电效应是电子吸收光子的过程,而康普顿效应则是光子和电子的弹性碰撞过程.(B)两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程.(C)两种效应都属于电子吸收光子的过程.(D)两种效应都是电子与光子的碰撞,都服从动量守恒定律和能量守恒定律.二、填空题1. 光子的波长为λ,则其能量E = ；动量的大小为p = ；质量为 .2. 已知钾的逸出功为2.0eV, 如果用波长为λ=3.60⨯10-7m 的光照射在钾上，则光电效应的遏止电压的绝对值|U a | = ,从钾表面发射的电子的最大速度v m = .3. 康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角θ = 时，光子的频率减少得最多；当θ = 时，光子的频率保持不变.三、计算题1. 波长为λ的单色光照射某金属表面发生光电效应，已知金属材料的逸出功为A ,求遏止电势差；今让发射出的光电子经狭缝S 后垂直进入磁感应强度为B 的均匀磁场, 如图25.1所示,求电子在该磁场中作圆周运动的最大半径R .(电子电量绝对值为e ，质量为m )2. 用波长λ0 =0.1nm 的光子做康普顿实验.(1)散射角ϕ= 90︒的康普顿散射波长是多少？(2)分配给反冲电子的动能有多大？练习二十六德布罗意波不确定关系一、选择题1. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.04nm ，则U 约为:(A) 150V . (B) 330V . (C) 630V . (D) 940V .2. 波长λ =500nm 的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ=10-4nm, 则利用不确定关系式∆x ∆p x ≥h 可得光子的坐标的不确定量至少为(A) 25cm . (B) 50cm . (C) 250cm .(D) 500cm .3. 如图26.1所示,一束动量为p 的电子,通过缝宽为a 的狭缝,在距离狭缝为L 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于:(A) 2a 2/L .图25.1(B) 2ha /p . (C) 2ha /(Lp ). (D) 2Lh /(ap ).4. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波波长λ与速度v 有如下关系： (A) 2211cv -∝λ. (B) λ ∝ 1/v .(C) λ ∝ v .(D) 22v c -∝λ.5. 关于不确定关系∆x ∆p ≥ћ有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定； (2) 粒子的坐标不可能确定；(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定；(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子. 其中正确的是:(A) (1)、(2). (B) (3)、(4). (C) (2)、(4). (D) (4)、(1). 二、填空题1. 氢原子在温度为300K 时,其方均根速率所对应的德布罗意波长是；质量为m =10-3kg,速度v =1m/s 运动的小球的德布罗意波长是 .2. 电子的康普顿波长为λc =h /(m e c )(其中m e 为电子静止质量, c 为光速, h 为普朗克恒量). 当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长λ= λc .3. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm ，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆p y = N·s .三、计算题1. α 粒子在磁感应强度为B =0.025T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83cm 的圆形轨道上运动. (1)试计算其德布罗意波长(α 粒子的质量m α=6.64⨯10-27kg)；(2)若使质量m =0.1g 的小球以与α粒子相同的速率运动，则其波长为多少. 2. 质量为m e 的电子被电势差U 12=106V 的电场加速. (1)如果考虑相对论效应,计算其德布罗意波的波长λ0；(2)若不考虑相对论,计算其德布罗意波的波长λ.其相对误差(λ-λ0)/λ0是多少？练习二十七氢原子理论薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV，若氢原子从能量为-0.85eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A) 2.56eV.(B) 3.41eV.(C) 4.25eV.(D) 9.95eV.2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A) 9/8.(B) 19/9.(C) 27/20.(D) 20/27.3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为:(A) 5/2.(B) 5/3.(C) 5/4.(D) 5.4.将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布几率将(A) 增大D2.倍(B) 增大2D.倍(C) 增大D.倍(D) 不变.5.一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a . 应用不确定关系估计势阱中质量为m的粒子的零点能量为:(A) ћ/(ma2)(B) ћ2/(2ma2)(C) ћ2/(2ma).(D) ћ/(2ma2).二、填空题2. 设描述微观粒子运动的波函数为ψ(r, t)，则ψψ﹡表示，ψ(r, t)须满足的条件是，E3 E2其归一化条件是 .3. 粒子在一维无限深势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为ψ(x )=axa π3sin 2 . (0 < x < a ) 粒子出现的概率最大的各个位置是x = .三、计算题1. 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能为∆E = 10.19eV 的状态时，发射出光子的波长是λ = 486nm ，试求该初始状态的能量和主量子数.2.一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图27.2所示. 描写粒子状态的波函数为ψ = cx ( l -x )，其中c 为待定常量，求在0~ l /3区间发现粒子的概率.练习二十八近代物理习题课一、选择题1. 如图28.1所示,一维势阱中的粒子可以有若干能态,如果势阱的宽度L 缓慢地减小，则(A) 每个能级的能量减小. (B) 能级数增加.(C) 每个能级的能量保持不变. (D) 相邻能级间的能量差增加.2. 根据量子力学原理，氢原子中电子绕核运动动量矩的最小值为 (A)2ћ.(B) ћ. (C) ћ /2. (D) 0.4. 设某微观粒子运动时的能量是静止能量得k 倍,则其运动速度的大小为 (A) c /(k -1).图28.1图27.2(B) c 21k -/k . (C) c 12-k /k . (D) c ()2+k k /(k+1).5. 把表面洁净的紫铜块、黑铁块和白铝块放入同一恒温炉膛中加热达到热平衡. 炉中这三块金属对某红光的单色辐出度(单色发射本领)和单色吸收比(单色吸收率)之比依次用M 1/a 1、M 2/a 2和 M 3/a 3表示,则有(A) M 1/a 1>M 2/a 2>M 3/a 3. (B) M 1/a 1=M 2/a 2=M 3/a 3. (C) M 3/a 3>M 2/a 2>M 1/a 1. (D) M 2/a 2>M 1/a 1>M 3/a 3.二、填空题1. 氢原子基态的电离能是 eV . 电离能为0.544eV 的激发态氢原子，其电子处在n = 的轨道上运动.2. 分别以频率ν1、ν2的单色光照射某一光电管,若ν1>ν2(ν1、ν2均大于红限频率ν0),则当两种频率的入射光的光强相同时,所产生的光电子的最大初动能E 1 E 2(填<、=、>),为阻止光电子到达阳极,所加的遏止电压|U a 1| |U a 1|(填<、=、>),所产生的饱和光电流I S 1 I S 2(填<、=、>).3. 夜间地面降温主要是由于地面的热辐射.如果晴天夜里地面的温度为27℃,按黑体辐射计算,1m 2地面散失热量的速率为 .三、计算题1. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为λ = 434nm ，试求： (1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特.(2) 该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到能级E k 产生的，n 和k 各为多少.(3) 最高能级为E 5的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线(不必计算波长值). 请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪条谱线.2.铀核的线度为7.2×10-15m .试用不确定关系估算核中α粒子(m α=6.7×10-27kg)的动量值和动能值.。

量子力学练习题

质量为 m 的粒子在深度为 V0 ，宽度为 a 的方势阱
0 V ( x) V0
| x | a / 2 | x | a / 2
中运动，求阱口刚好出现束缚态能级的条件。（说明：当 E V0 时，粒子处于束缚态，所谓的阱口，是指 E V0 的状态，阱口处的束缚态，是指 E V0 0 时的束缚态） 16．质量为 m 的粒子被一维势垒
ˆ 的本征值分别为 A , A , A , ，在算符 A ˆ 的自身表象中写出算符 A ˆ 的矩阵如果算符 A 1 2 3
形式。什么是守恒量？简述在概率密度分布不随时间改变的问题上，定态与守恒量的区别。
ˆ 及其本征态 | 和 | 的矩阵表达式。在 S z 表象下，写出算符 S z ˆ 和J ˆ 彼此独立，在无偶合表象中写出总角动量 J ˆ J ˆ 的所有本征态：设角动量 J （1） 1 2 1 2
量子力学练习题
一、 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．简答题简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。简述 Planck 的光量子假设。写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。简述 Compton 散射实验。简述 Bohr 的量子论，并对它进行简单的评价。写出 Sommerfeld 用正则坐标与正则动量表示的量子化条件。利用光波的双缝干涉实验，说明 Born 的概率波解释。阐述概率波波函数的基本特性。设 ( x) e ikx ，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？设 ( x) ( x) ，粒子的位置几率的分布如何？此波函数能否归一化？设粒子波函数为 ( x, y, z ) ，写出在 ( x, x dx) 范围找到粒子的几率。 N 粒子系的波函数为 (r1 , r2 , , rN ) ，写出在 (r1 , r1 dr1 ) 中找到粒子 1 的几率（其它粒子的位置不限）。 13． 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 21． 22． 23． 24． 25． 26．设一维自由粒子的初态 ( x, 0) eip0 x / ，写出 ( x, t ) 。写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的表达式。写出在球面坐标系下角动量平方算符的表达式。简述粒子动量与位置的不确定关系。简述量子力学的态叠加原理。描述微观粒子的隧道效应。写出一维谐振子的 Hamilton 量、定态 Schrödinger 方程以及能量本征值的表达式。简述处于基态的一维谐振子的特征长度（经典回转点）。简述“箱归一化”方法的基本思想。完整阐述不确定性原理。

量子力学习题

1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中，（1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？
16
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态，当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
答：(1) 4 个量子数包括：主量子数 n， n = 1, 2, 3,… 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数完全描述。
2 r , t r , t r , t
表示 t 时刻, 微观粒子在空间
点出现的相对概率密度。 r
1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 2) 要求 r , t 单值
2

3) 波函数的连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1
--之二——薛定谔方程
2 2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] ( r , t ) t 2m
（1）它的解满足态的叠加原理

若 1 ( r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解，则 c11 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。

量子力学作业习题

第一章量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

量子力学习题

一、填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，其中p,q 分别表示力学系统的广义坐标及其对应的广义动量，⎰ 表示在坐标空间中沿闭合轨道积分一周期。

2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ====；。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-，式中m 式电子的质量，V 是电子脱出金属表面后的速度，A 是电子脱出金属表面所需要做的功即脱出功。

4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。

这是量子力学的基本原理之一。

波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性。

6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备性。

8．厄密算符的本征函数具有：正交性，它们可以组成正交归一性。

即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。

9．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。

10. i ； ˆx i L ； 0。

11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。

13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15．为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

量子力学习题及详细解答

1、设一量子体系处于用波函数()()θθπϕθψϕcos sin 41,+=i e所描述的量子态。

求(1)在该态下，z L ˆ的可能测值和各个值出现的概率；(2) z L ˆ的平均值。

解：因为球谐函数ϕθπθπi e Y Y ±±==sin 83,cos 431110 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=θπθπθθπϕθψϕϕcos 43sin 83231cos sin 41,i i e e()111010113231231Y Y Y Y -=+-=可见，体系的1,0,1==m l 。

因此z L ˆ的可能测值为0或，且测值为0的几率为1/3，测值为的几率为2/3。

zL ˆ的平均值为 3203132ˆ=⋅+=z L2、已知在阱宽为a 的无限深势阱中运动粒子的能量的本征值与本征函数分别为3,2,1,sin 2,22222===n ax n a ma n E n n πψπ设阱内粒子处于()x x =ψ的状态，求在该态下，能量的测值为E 1的几率。

解：对应于本征值E 1的本征函数为axa πψsin 21=。

因为在任意态ψ下，能量测值为E k 的几率为22⎰*=dx a kkψψ，因此能量测值为E 1的几率 ππψψ2012sin 2a a xdx a x a dx a ∙==⎰⎰*23212πa a =∴3、设粒子在一维无限深势阱()⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x U ,0,0,0中运动。

（1）求坐标的几率分布和粒子出现几率最大的位置；（2）求p x ,，并证明()⎪⎭⎫⎝⎛-=∆22226112πn a x 。

解：（1）在一维无限深势阱中，粒子能量的本征函数为()⎪⎩⎪⎨⎧><<<=a x x a x x an a x n ,0,00,sin 2πψ 坐标的几率分布为()()==2x x n ψω⎪⎩⎪⎨⎧><<<a x x a x x a n a ,0,00,sin22π粒子出现的几率最大的位置是 5,3,1,3,2,1,2===m n nmax （2）()()2sin 2020a xdx a n x a dx x x x x a n a n===⎰⎰*πψψ 0sin sin 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x a n dx d i x a n a p a ππ ()()222220223πψψn a a dx x x x x n an-==⎰*故()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∆2222226112πn a x x x4、设体系处在102111Y c Y c +=ψ的状态中，式中c 1和c 2为常数。

量子力学习题集

量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。

1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。

1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。

已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。

1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。

如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。

2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。

2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。

2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。

2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。

2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。

2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。

量子力学习题

第二章波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即有限性；连续性；单值性。

根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为概率波，波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布，称为概率密度。

而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须归一化。

2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。

3、根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为粒子在xdx 范围内的概率。

4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即有限性；单值性；连续的。

5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。

6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ，()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。

7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。

8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收藏，几率流密度= 。

9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是概率波，在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。

10、波函数ψ和ψc 是描写状态，δψi e 中的δi e 称为，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为。

11、定态是指的状态，束缚态是指的状态。

12、定态波函数的形式为。

13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是，这时几率密度和都与时间无关。

14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件。

16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。