量子力学习题

19.在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示
20.在t=0时，自由粒子波函数为 (1)给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；[ ](2)求出几率最大的动量值； (3)求出发现粒子在 区间中的几率；[ ]
21.设一体系未受微扰作用时有两个能级： ，现在受到微扰 的作用，微扰矩阵元为 ； 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值
归一化 ， （2分）
6分）（动能计算错扣3分）
另一种求法
, （3分）
（3分）
, （结果错扣3分）
27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为 ，它在 0表象中的表示为 ，
A.求 的本征值和本征态； ， ； ,
B.若 时，粒子处于1，它在 表象中的表示为 。试求出t > 0时的粒子波函数；
解A. , ， （2分）
7.求角动量能量算符 的本证值和本征态
*类似*（10分）求角动量z分量 的本征值和本征函数。
解： 波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即： 求归一化系数 后，得Lz的本征函数
8.试求算符 的本征函数
9.证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的
10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称
量子力学试题
1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________
2.假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：___________________________
解：(1)先求归一化常数，由 ∴
动量几率分布函数为
(2)
14.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.
*类似*在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
3.计算1 时， 团簇（由60个 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长____________
4.计算对易式 和 ，其中 为动量算符的 分量， 为坐标的 函数.
5.如果算符 满足关系式 ，求证(1) (2)
证利用条件 ，以 左乘之得 则有 最后得 。再以 左乘上式得 ，即 则有 最后得
6.设波函数 ，求
解：由微扰公式得 得
∴能量的二级修正值为
22.一维无限深势阱 中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。
23.具有电荷为 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为 。其波长较长，求：①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 ②讨论跃迁的选择定则。
方程(2)可变为 令 ，得
其解为 ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ⑤ ⑥ ∴ 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。对应于 的归一化的定态波函数为
12.设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的动量期望值和动能期望值
*类似*设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：由波函数 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
动量的几率分布函数为
先把 归一化，由归一化条件， ∴
∴
∴
15.设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中状态Leabharlann Baidu函数 ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率
*类似*
16.设氢原子处在 的态（ 为第一玻尔轨道半径），求(1) 的平均值；(2)势能 的平均值
*类似*
24.电荷e的谐振子，在 时处于基态， 时处于弱电场 之中( 为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。
25.质量为m的粒子处于位势 中。假设它又经受微扰 ，试求第一激发态能量的一级修正(16分)
3分粒子的能量为 第一激发态为
，
5分
4分于是有：
2分
2分
26.用试探波函数 ，估计一维谐振子基态能量和波函数
解：
可见，动量 的可能值为
动能 的可能值为
对应的几率 应为
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
∴ ∴ 动量 的平均值为
13.一维运动粒子的状态是 其中 ，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的动量期望值。
*类似*一维运动粒子的状态是 其中 ，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。
31.一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为 ， ，则体系可能的状态为
32.一量子体系的哈密顿算符 在 表象中 ， 其中常数 ，（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较
解：(1)
17.质量为 的一个粒子在边长为 的立方盒子中运动，粒子所受势能 由下式给出： ；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；
解：（1）定态薛定谔方程：
分离变量： ，
； ；
，
基态： ，基态波函数：
18.氢原子处于态 中，问（1） 是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；（2）在 中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少
（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。 其中 定态薛定谔方程是
而 令 ，则得 故
这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。
29.若 是电子的自旋算符，求(1) =?(2)
解a. 或
b.
30.二个自旋 的粒子组成的系统由等效哈密顿算符 描述，其中 是二个自旋， 是他们的分量， 为常数，求系统的所有能级
⑤
④乘⑤，得 可见，
当 时， ， 具有偶宇称，
当 时， ， 具有奇宇称，
当势场满足 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称
11.一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数
解： 无关，是定态问题。其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ： ①
Ⅱ： ②
Ⅲ： ③
由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须 ， 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ①
将式中的 代换，得 ②
利用 ，得 ③
比较①、③式可知， 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 之间只能相差一个常数 。方程①、③可相互进行空间反演 而得其对方，由①经 反演，可得③， ④
由③再经 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
, （2分）
B. （4分）
（4分）
28.一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较一电荷为 的线性谐振子受恒定弱电场 作用。设电场 沿 方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。
[解]（1）荷电为 的线性谐振子由于电场 作用所具有的能量为 ，因为 是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量 相比较，显然有 令 ，显然， 可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是 无微扰时，线性谐振子的零级波函数是 当体系处于第 态时，考虑微扰的影响，则能量变为 其中 其中 利用递推公式 故 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即 这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元 而 最后得能量的二级修正为 故在准确到二级修正的情况下，总能量为