安培环路定理
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2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
9.4安培环路定理
电流在回路之外
d
I
B1
r1
dl1
B2
dl2
r2
l
B1
0I
2π r1
，
B2
0I
2π r2
B1
dl1
B2
dl2
0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
3
大学物理学
第九章 恒定磁场 9.4 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2
I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
4
大学物理学
第九章 恒定磁场 9.4 安培环路定理
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
一闭合即路在径真的空积的分稳的恒值磁，场等中于，磁0感乘应以强该度闭合B 路沿径任
所包围的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.
➢ 分析对称性
电流分布 磁场分布
轴对称
I R
26
大学物理学
l
第九章 恒定磁场 9.4 安培环路定理
B 的方向判断如下：
r
dS1
O
dS2
dB
dB2 dB1
P
27
大学物理学
第九章 恒定磁场 9.4 安培环路定理
➢ 作积分环路并计算环流
如图 r R
B • dl Bdl 2rB
➢
利用安培环路定理求
说 明
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
13-5 安培环路定理
bc
B dl
cd
B dl
da
B dl
Bl 0 Bl 0 2 Bl 0 jl
1 B 0 j 2
B 与
j 符合右手关系。
习题13-8 已知 1.0 105 m2 的裸铜线允许通过50A电 流而不致过热，电流在导线横截面上均匀分布。求： （1）导线内，外磁感强度的分布；（2）导线表面的 磁感强度。 解：电流均匀分布，电流密度为
I j S
R
磁场分布轴对称，取圆形回路，由安培 环路定理得 Bdl 0 I
l
rrLeabharlann I当 rR时，
B1 2 r 0 j r 2
0 Ir 1 1 I B1 0 jr 0 r 2 2 S 2S
方向符合右 手关系
当rR时
B2 2 r 0 I
例2 求载流螺绕环内的磁场
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R
令
当
2）选回路 .
d
R
L 2 πR
B 0 NI L
2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例13-4 无限大均匀载流平面的磁场。
设电流在无限大平面里均匀分布，单位宽度里的 电流为j,试求平面两侧任一点的磁感强度B.
当rR时
0 I B2 方向符合右手关系 2 r 0 I BR 5.6 103 T 2 R
习题13-9 一根很长的同轴电缆，由一半径为 R1 的圆柱形直导体和同轴导体圆筒组成。导体圆筒的内 半径为 R2 ，外半径为 R3 ，圆柱形直导体和同轴 导体圆筒中的电流大小均为I,方向相反，导体的磁性 可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）r R1;
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
11.4 安培环路定理
...............
a
I nabI
B 的环流为：
b
B
B外 0
d
c
B dl
b
a
B dl B dl B dl B dl
b c d
c
d
a
bc与da：
B dl , cos 0
...............
a
B dl B dl 0,
10.4
磁场的安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
安培：法国物理学家，电动力学的创始 人。1805年担任法兰西学院的物理教授， 1814年参加了法国科学会，1818年担任 巴黎大学总督学，1827年被选为英国皇 家学会会员。他还是柏林科学院和斯德 哥尔摩科学院院士。 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了 一系列的重要定律、定理，推动了电磁 学的迅速发展。1827年他首先推导出了 电动力学的基本公式，建立了电动力学 的基本理论，成为电动力学的创始人。
b d
c
a
b
B
螺线管外B =0；
d
c
B dl 0
b
d
c
B dl B dl Bab 0 I 0nabI a
B 0nI
密绕载流直螺线管的磁场
例4：一环形载流螺线管，匝数 为N，内径为R1 ，外径为R2 ，通 有电流I，求管内磁场分布及螺绕 环内的磁通量。P80习题11.4
写成
Bdl cos B dl I
L
0
L
B
0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环 路方向一致， B // dl , cos 1 或垂直 B dl , cos 0
安培环路定理
安培环路定理什么是安培环路定理？安培环路定理（Ampere’s Circuital Law），简称「安培定理」，是电磁学中的一个重要定理。
它描述了在电流通过的闭合回路周围所产生的磁场的性质。
安培环路定理是电磁学理论中的基础之一，为理解和推导电磁现象提供了重要的工具。
安培环路定理的表述安培环路定理可以用以下的数学表达方式来描述：∮ B · dl = μ₀ · I其中，左边是磁场强度（B）沿闭合回路的环路积分，右边是穿过该闭合回路的电流（I）乘以真空磁导率（μ₀）。
安培环路定理的原理安培环路定理的原理是基于磁场的环流与通过该闭合回路的电流之间的关系。
根据安培环路定理，磁场强度沿一个闭合回路的环路积分等于穿过该闭合回路的总电流。
这个原理可以通过法拉第定律和电流的产生方式来理解。
根据法拉第定律，变化的磁场会产生电流。
当通过一个闭合回路的电流发生变化时，它会产生一个变化的磁场。
根据安培环路定理，通过这个闭合回路的环流与产生的磁场有直接关系。
通过积分环路上的磁场求和，我们可以得到与通过闭合回路的总电流相等的结果。
安培环路定理的应用安培环路定理在电磁学中的应用非常广泛。
它可以用于解决许多关于磁场和电流之间相互作用的问题。
1. 计算特定位置的磁场强度通过安培环路定理，我们可以计算在给定位置的磁场强度。
通过选择一个合适的闭合回路，并测量通过该回路的电流，可以通过安培环路定理计算出该位置的磁场强度。
2. 推导磁场分布通过运用安培环路定理和其他相关定理，我们可以推导出复杂电流分布下的磁场分布。
这对于设计和分析电磁装置，如电机和电感器，非常重要。
3. 求解电流分布在某些情况下，已知磁场分布和闭合回路上的磁场强度分布，我们可以使用安培环路定理求解闭合回路上的电流分布。
结论安培环路定理是电磁学中的一个基本定理，描述了闭合回路周围产生的磁场与通过该回路的电流之间的关系。
它广泛应用于计算特定位置的磁场强度、推导磁场分布和求解电流分布等领域。
3,安培环路定理
a
b
B
d
c
c d a B dl B dl B dl B dl
a b c d
Ba ab 0 Bd cd 0
由于环路内没有包围任何电流，按安培环路定理 B dl 0 Ba Bd Bb Bc 均匀场！
例题1 ： 长直密绕载流螺线管，单位长度上电流 匝数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。 I
B
解： 对称性分析 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
无漏磁！
在螺线管内取安 培环路如图： B dl
l
b
I
μI B dl 0 dl cos 0 2 r π l l
II
I
μ0 I dl μ0 I 2 r π l
dl
2.无限长直线电流，任意积分回路
B dl B cosθdl
l l
0 I1 2 r cos dl l
l
一、安培环路定理 稳恒磁场的环流如何呢？
B dl ?
l
真空中磁感应强度B沿任意闭合回路的积分(B的
环流)等于该回路包围的电流的代数和的 0 倍.
B dl 0 I
l i
稳恒磁场的安培环路定理
推出定理： 1.无限长直线电流，同心圆积分回路 根据电流的走向，按右手螺旋方向取一条同心 圆积分环路 —安培环路（Amperian loop） 这时磁场具有轴对称性， 环路上各点的磁场都在切线方 向，且量值处处相同。
总结
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任 意闭合曲线的线积分（也称 B 的环流）, 等于穿过该 闭合曲线的所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边 界的任意曲面的电流强度）的代数和的μ0倍。
安培环路定理
v 解 1） 对称性分析；环内 B ） 对称性分析； v 线为同心圆， 为零. 线为同心圆，环外 B 为零
例2 求载流螺绕环内的磁场
v v ∫l B ⋅ d l = 2π RB = µ0 NI µ0 NI B= 2π R
令 当
2）选回路 . ）
d
R
L = 2 πR
B = µ0 NI L
2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
右螺旋. I 成右螺旋
v B
v v v v v v v v v v ∫ B ⋅ d l = ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l +∫ B ⋅ d l
l MN
B ⋅ MN = µ 0 n MN I
B = µ 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零
µo j
2
方向如图所示。 方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
（1） ） I （2 ）
v R B x 0 µ0 I o B0 = 2R
I R o
（4） ）
BA =
d （5） ） I *A
R1
µ0 I
4π d
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）
I
r>R
2π rB = µ0 I
v v ∫ B ⋅ d l = µ0 IlR RL Nhomakorabear
2π r 2 v v πr 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π R
10-4 安培环路定理
L
r
μ0 I 2 π rB 0 I , B 2πr 2 πr I 0 r R : l B d l 0 2 πR 2 0 r μ0 Ir 2 π rB 2 I , B 2 R 2π R
B
dB
I
.
dI
B
11
10.4 安培环路定理
B
第10章
稳恒磁场
r R, B d l 0 I
l
B0 0 I B 2π r
13
10.4 安培环路定理
例：求无限大平面电流的磁场。 解： 面对称。 B B dl ab dl bcB dl B dl B dl
10.4 安培环路定理
2 ) 选回路
第10章
稳恒磁场
L。
M N +++ + + + ++++++ L O P
磁场 B 的方向与
电流
B
I 成右螺旋。
MN NO
B d l B d l B d l B d l B d l
10.4 安培环路定理
第10章
稳恒磁场
I
o
B
r
若回路绕向变为逆时针时，则：
dl
L
μ0 I LB d l L 2πr dl
L 与 I 成左螺旋
0 I
2π
2π
0
d
0 I
dl rdθ
3
10.4 安培环路定理
第10章
稳恒磁场
包围电流正负的判断 ： 即：右手拇指伸直，弯曲四指与闭合路径 L 的 方向一致时，拇指的指向即为电流的正方向。 I1 I2 L
11-5真空中磁场的安培环路定理
L L L
2. 多根载流导线穿过环路 B B1 B2 Bn
I3
I2
I1
L
o I1 o I 2 o I n o I i
3.电流在环路之外 B d l B dl B dl
0 j B
2
0 j x arctg 2π z z 2
0 zj 1
o
x
0 j
2
解二、用安培环路定理
j
z
l
在对称性分析的基础上
x
选如图安培环路 得：B
由：
L
B dl 2lB 0 jl
0 j
2
思考：如果载流平面不是无限宽， 思考 能否用叠加原理求解？ 能否用安培环路定理求解？
r R:
B外
I
内
I
1 2πr r
0 I
L
B
L
o rP
I 2πr
0
内
B
r
O
1 r
R
2 I Ir r R : I内 2 π r 2 2 πR R 0 Ir B内 r 2 2πR B方向与I指向满足右旋关系
思考: 无限长均匀载流直圆筒 思考 B–r曲线？
§11.5 真空中磁场的安培环路定理 一、 安培环路定理
1、安培环路定理：
在真空中恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭合 路径L 的线积分等于被此闭合路径所包围并穿过的电 流的代数和的 0 倍，而与路径的形状和大小无关。
L
B dl 0
(穿过L )
Ii
2. 多根载流导线穿过环路 B B1 B2 Bn
I3
I2
I1
L
o I1 o I 2 o I n o I i
3.电流在环路之外 B d l B dl B dl
0 j B
2
0 j x arctg 2π z z 2
0 zj 1
o
x
0 j
2
解二、用安培环路定理
j
z
l
在对称性分析的基础上
x
选如图安培环路 得：B
由：
L
B dl 2lB 0 jl
0 j
2
思考：如果载流平面不是无限宽， 思考 能否用叠加原理求解？ 能否用安培环路定理求解？
r R:
B外
I
内
I
1 2πr r
0 I
L
B
L
o rP
I 2πr
0
内
B
r
O
1 r
R
2 I Ir r R : I内 2 π r 2 2 πR R 0 Ir B内 r 2 2πR B方向与I指向满足右旋关系
思考: 无限长均匀载流直圆筒 思考 B–r曲线？
§11.5 真空中磁场的安培环路定理 一、 安培环路定理
1、安培环路定理：
在真空中恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭合 路径L 的线积分等于被此闭合路径所包围并穿过的电 流的代数和的 0 倍，而与路径的形状和大小无关。
L
B dl 0
(穿过L )
Ii
大学物理——11.4安培环路定理
R1 ≈ R2 = R
r≈R
dHale Waihona Puke N B = µ0 I = µ 0 nI 2π R
注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 匀强磁场
R
思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？ 思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？
矩形截面
无限长载流直螺线管内的磁场. 例11.8 无限长载流直螺线管内的磁场
+++ + + + ++++++ N O M
2) 选回路 L
L
P
B = µ 0 nI
如图所示， 例11.9 如图所示，一无限大导体薄平板垂直于纸 面放置，其上有方向指向读者的电流， 面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密度 即通过与电流方向垂直的单位长度的电流) (即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)到处均 求其磁场分布. 匀，大小为 I ，求其磁场分布.
解：
ab = cd = l
a b c d
∫
L
v v b v v c v v d v v av v B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = µ0lI
∴
2 Bl = µ0lI
1 B = µ0I 2
以上结果说明： 以上结果说明：在无限大均匀平面电流两侧的磁场 结果说明 是匀强磁场，且大小相等、方向相反. 是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系. 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系.
L 包围的电流指穿过以 L 为边界的任意曲面的电流。 包围的电流指穿过以 为边界的任意曲面的电流 的电流。 S3 S2 S1 L
安培环路定理
结论
所以有： 从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量 积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。 安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B的环流，说明稳恒磁场的 性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
微分形式
根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场 对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为
。 磁场的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度。
缺点
缺点
原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程， ；
简介
积分形式
微分形式
ห้องสมุดไป่ตู้分形式
电流I在一个曲面上的通量，等于B场沿着的边缘闭合回路的路径积分。采用国际单位制，原版安培定律的积 分形式可以写为：
。
请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清： 第一，边界曲线的正向与曲面的侧符合右手规则。 第二，（固定 ）定理之成立与以为边界的的选择无关。
安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培定律的 角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培定律 来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹 配系统的圆柱对称性。
证明方法
对称环路 任意环路
不包围电流 结论
对称环路
在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I有关，而与环路的大小、形状无关。
安培环路定理
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意
闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分
回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
B1 dl B1 2πr 0πr2J
3）计算
I i
4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
安培环路定理
r
l
(4)
dl
l
B dl B 2 π r
I
i
i
I
(5)
B 2 π r 0 I
0 I B 2πr
太原理工大学大学物理
例1 求无限长载流圆柱面的磁场 解：(1)对称性分析
将圆柱面分为无限多窄条，每 个窄条可看作电流dI的无限长直 导线 p点的磁场的大小与r有关， 方向与r垂直。 （2）选合适的环路：在垂直于 轴线的平面内，选择半径r的圆形 L1 环路L，环路正方向如图。 太原理工大学大学物理
2π R
B
o R
r
B—r曲线如图。 太原理工大学大学物理
3.载流长直密绕螺线管内的磁场 已知：螺线管载流I,单位长度匝数n 求：管内B大小 a b 解： (1)分析磁场 d ‘ b ‘ ++++++++++++ L c 长直螺线管内 B ∥轴线, d 螺线管外 B 0 。 （2）过场点作一矩形回路L，且L与I成右手螺旋关系。 （3）计算
同理：当
rR
时
I
r
L
R
I I 2 2 Ii 2 π r 2 r πR R i
0 r 2 B2πr 2 I R
0 Ir 2 π R2 B 0 I 2 π r
0 Ir B 2π R 2
故均匀载流长圆柱体的磁场
(r R) (r R)
0 I
0 NI B 2πr
(r R1 , r R2 ) 0 故载流密绕螺绕环磁场 B 0 NI ( R1 r R2 ) 2πr 讨论:
1）若R2- R1=d<<r，环内各点 B近似相等，则n=N/2πr
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安培环路定理
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
解 1） 对称性分析；环内 线为同心圆，环外 B 为零.
B
. . . .
2) 作积分回路如图
..
过环内一点，以半径r作 .
一圆形闭合路径，方向：
沿顺时针方向。
. .
. .
O
N L
j N
0R
例. 总长均为 L(足够长) 的两根细导线，
分别均匀地平绕在半径为R 和 2 R 的两个长
直圆筒上，形成两个螺线管，载有电流均为
I ,求得两管轴线中部的磁感应强度大小 B1 和 B2 应满足：
（A） B1 = 2B2
（C） B1 = B2 √
（B） 2B1 =B2 （D） B1 = 4B2
不穿过 L的所有电流的贡献）
c) L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
d) I 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和
规定： 与 L 绕向成右旋关系 Ii 0
与 L 绕向成左旋关系
Ii 0
e) Ii 0 时，B 不一定为零。
如图，磁感应强度沿 l 的环流？
I1 I2
B • dl 0 Ii
B
I
B
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B • dl Bdl 2rB
0
0 I
rR rR
I
R
0
B
0I 2r
rR
0I B
2R
rR
OR
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2
B ab B cd
2B ab
利用安培环路定理求 B
ba .........
2B ab 0n ab I
cd
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
练习：无限大薄导体板均匀通过电流，求磁场分布。
设：单位宽度的电流为 j
解：作安培环路abcd
dB1
B • dl 2BL
d dB
P
c
I内＝jL
L
L1
L2
0I rd 0I rd
L1 2 r
L2 2 r
I
L2
L1
0I ( d d )
2 L1
L2
0I 2
( )
0
4 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
LB dl
L(
B 1
B 2
B) n
dl
LB1 dl LB2 dl LBn dl
I 0 ( L内) i
B dl
0I •dl • cos 0
L
L 2r
I
L
o
r B
0 I 2r
Ldl
0 I 2r
2r
0 I
即： B dl L
0 I
若电流反向 （积分绕行方向不变）
I
o r
L
B
B dl
0I •dl • cos
L
L 2r
0I dl 0I 2r
2r L
2r
0I
即： B dl L
I4
I3
0(I2 I3)
l
由环路内电流决定
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
B : 与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
不变
? ? B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
? 改变
不变
I1 I2
r
B
a) 若r R
B • dl Bdl 2rB
I内
I
R 2
r 2
Ir 2
R2
利用安培环路定理求 B
2rB
0
Ir 2 R2
r B
0 Ir 2R 2
I R
I
0
B
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir
B
2R
2
0 I 2r
rR
rR
B 方向与 I 指向满足右旋关系
B
0I 2R
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
电场、磁场中典型结论的比较
2、 无限长直载流螺线管内磁场
I 单位长度上的匝数 n
B
1）分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
.. ..
R1 R2
.. . .
. . . . ...
r
..
.
.
......
环流：
B
•
dl
Bdl
2rB
I内＝NI
I
利用安培环路定理求 B
2rB 0NI
B
0 NI 2r
内
0 外
R1、R2 R1 R2 n N
2r
B 0nI
.. .. .
.
.
.
. .
R1
.
.
..
r
.
. ... ...
0(I )
2、任意积分回路
在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径积分
I
L
d
r
B
dl
LB dl LB cosdl
0 I cosdl
L 2r
L
0 I 2r
rd
0I 2
2
即： B dl L
0I
若电流反向
B dl
L
0(I )
3、 闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳 积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
Bd L
l
0
Ii
说明：
Bdl
L
0
Ii
a) 成立的条件：恒定电流的磁场
b)
B :环路上各点的磁感应强度（包含空间穿过 L ，
根据: B 0nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n
I
分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba .........
cd
计算环流
B•
dl
b
a
Bdl
cos 0
c
b
Bdl
cos
2
d
c
Bdl cos 0
da Bdl
cos
. ...
B
.
.
R2 ..
.
.
.
.
...
与无限长螺线管同
O
R1 R2
r
例2.如图半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，
电荷面密度 ，筒以速度 绕其轴 转动。求圆筒内部的 B。
R
L
i ....
Bo 0R
方向: 平行轴向右
思路：当成螺线管看待
q
总电流 j (2R L ) 2 RL
Bo
0nI
I4
I3
l
I1 I2
I4
I3
l
位置移动
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E • dS
1
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
解 1） 对称性分析；环内 线为同心圆，环外 B 为零.
B
. . . .
2) 作积分回路如图
..
过环内一点，以半径r作 .
一圆形闭合路径，方向：
沿顺时针方向。
. .
. .
O
N L
j N
0R
例. 总长均为 L(足够长) 的两根细导线，
分别均匀地平绕在半径为R 和 2 R 的两个长
直圆筒上，形成两个螺线管，载有电流均为
I ,求得两管轴线中部的磁感应强度大小 B1 和 B2 应满足：
（A） B1 = 2B2
（C） B1 = B2 √
（B） 2B1 =B2 （D） B1 = 4B2
不穿过 L的所有电流的贡献）
c) L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
d) I 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和
规定： 与 L 绕向成右旋关系 Ii 0
与 L 绕向成左旋关系
Ii 0
e) Ii 0 时，B 不一定为零。
如图，磁感应强度沿 l 的环流？
I1 I2
B • dl 0 Ii
B
I
B
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B • dl Bdl 2rB
0
0 I
rR rR
I
R
0
B
0I 2r
rR
0I B
2R
rR
OR
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2
B ab B cd
2B ab
利用安培环路定理求 B
ba .........
2B ab 0n ab I
cd
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
练习：无限大薄导体板均匀通过电流，求磁场分布。
设：单位宽度的电流为 j
解：作安培环路abcd
dB1
B • dl 2BL
d dB
P
c
I内＝jL
L
L1
L2
0I rd 0I rd
L1 2 r
L2 2 r
I
L2
L1
0I ( d d )
2 L1
L2
0I 2
( )
0
4 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
LB dl
L(
B 1
B 2
B) n
dl
LB1 dl LB2 dl LBn dl
I 0 ( L内) i
B dl
0I •dl • cos 0
L
L 2r
I
L
o
r B
0 I 2r
Ldl
0 I 2r
2r
0 I
即： B dl L
0 I
若电流反向 （积分绕行方向不变）
I
o r
L
B
B dl
0I •dl • cos
L
L 2r
0I dl 0I 2r
2r L
2r
0I
即： B dl L
I4
I3
0(I2 I3)
l
由环路内电流决定
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
B : 与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
不变
? ? B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
? 改变
不变
I1 I2
r
B
a) 若r R
B • dl Bdl 2rB
I内
I
R 2
r 2
Ir 2
R2
利用安培环路定理求 B
2rB
0
Ir 2 R2
r B
0 Ir 2R 2
I R
I
0
B
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir
B
2R
2
0 I 2r
rR
rR
B 方向与 I 指向满足右旋关系
B
0I 2R
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
电场、磁场中典型结论的比较
2、 无限长直载流螺线管内磁场
I 单位长度上的匝数 n
B
1）分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
.. ..
R1 R2
.. . .
. . . . ...
r
..
.
.
......
环流：
B
•
dl
Bdl
2rB
I内＝NI
I
利用安培环路定理求 B
2rB 0NI
B
0 NI 2r
内
0 外
R1、R2 R1 R2 n N
2r
B 0nI
.. .. .
.
.
.
. .
R1
.
.
..
r
.
. ... ...
0(I )
2、任意积分回路
在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径积分
I
L
d
r
B
dl
LB dl LB cosdl
0 I cosdl
L 2r
L
0 I 2r
rd
0I 2
2
即： B dl L
0I
若电流反向
B dl
L
0(I )
3、 闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳 积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
Bd L
l
0
Ii
说明：
Bdl
L
0
Ii
a) 成立的条件：恒定电流的磁场
b)
B :环路上各点的磁感应强度（包含空间穿过 L ，
根据: B 0nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n
I
分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba .........
cd
计算环流
B•
dl
b
a
Bdl
cos 0
c
b
Bdl
cos
2
d
c
Bdl cos 0
da Bdl
cos
. ...
B
.
.
R2 ..
.
.
.
.
...
与无限长螺线管同
O
R1 R2
r
例2.如图半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，
电荷面密度 ，筒以速度 绕其轴 转动。求圆筒内部的 B。
R
L
i ....
Bo 0R
方向: 平行轴向右
思路：当成螺线管看待
q
总电流 j (2R L ) 2 RL
Bo
0nI
I4
I3
l
I1 I2
I4
I3
l
位置移动
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E • dS
1