安培环路定理

安培环路定理
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
解 1） 对称性分析；环内 线为同心圆，环外 B 为零.
B
. . . .
2) 作积分回路如图
..
过环内一点，以半径r作 .
一圆形闭合路径，方向：
沿顺时针方向。
. .
. .
O
N L
j N
0R
例. 总长均为 L(足够长) 的两根细导线，
分别均匀地平绕在半径为R 和 2 R 的两个长
直圆筒上，形成两个螺线管，载有电流均为
I ,求得两管轴线中部的磁感应强度大小 B1 和 B2 应满足：
（A） B1 = 2B2
（C） B1 = B2 √
（B） 2B1 =B2 （D） B1 = 4B2
不穿过 L的所有电流的贡献）
c) L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
d) I 穿过以 L 为边界的任意曲面的电流的代数和
规定： 与 L 绕向成右旋关系 Ii 0
与 L 绕向成左旋关系
Ii 0
e) Ii 0 时，B 不一定为零。
如图，磁感应强度沿 l 的环流？
I1 I2
B • dl 0 Ii
B
I
B
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B • dl Bdl 2rB
0
0 I
rR rR
I
R
0
B
0I 2r
rR
0I B
2R
rR
OR
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2
B ab B cd
2B ab
利用安培环路定理求 B
ba .........
2B ab 0n ab I
cd
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
练习：无限大薄导体板均匀通过电流，求磁场分布。
设：单位宽度的电流为 j
解：作安培环路abcd
dB1
B • dl 2BL
d dB
P
c
I内＝jL
L
L1
L2
0I rd 0I rd
L1 2 r
L2 2 r
I
L2
L1
0I ( d d )
2 L1
L2
0I 2
( )
0
4 空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理
LB dl
L(
B 1
B 2
B) n
dl
LB1 dl LB2 dl LBn dl
I 0 ( L内) i
B dl
0I •dl • cos 0
L
L 2r
I
L
o
r B
0 I 2r
Ldl
0 I 2r
2r
0 I
即： B dl L
0 I
若电流反向 （积分绕行方向不变）
I
o r
L
B
B dl
0I •dl • cos
L
L 2r
0I dl 0I 2r
2r L
2r
0I
即： B dl L
I4
I3
0(I2 I3)
l
由环路内电流决定
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
B : 与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
不变
? ? B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
? 改变
不变
I1 I2
r
B
a) 若r R
B • dl Bdl 2rB
I内
I
R 2
r 2
Ir 2
R2
利用安培环路定理求 B
2rB
0
Ir 2 R2
r B
0 Ir 2R 2
I R
I
0
B
r
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir
B
2R
2
0 I 2r
rR
rR
B 方向与 I 指向满足右旋关系
B
0I 2R
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
电场、磁场中典型结论的比较
2、 无限长直载流螺线管内磁场
I 单位长度上的匝数 n
B
1）分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
.. ..
R1 R2
.. . .
. . . . ...
r
..
.
.
......
环流：
B
•
dl
Bdl
2rB
I内＝NI
I
利用安培环路定理求 B
2rB 0NI
B
0 NI 2r
内
0 外
R1、R2 R1 R2 n N
2r
B 0nI
.. .. .
.
.
.
. .
R1
.
.
..
r
.
. ... ...
0(I )
2、任意积分回路
在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径积分
I
L
d
r
B
dl
LB dl LB cosdl
0 I cosdl
L 2r
L
0 I 2r
rd
0I 2
2
即： B dl L
0I
若电流反向
B dl
L
0(I )
3、 闭合路径不包围电流
B dl B dl B dl
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳 积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
Bd L
l
0
Ii
说明：
Bdl
L
0
Ii
a) 成立的条件：恒定电流的磁场
b)
B :环路上各点的磁感应强度（包含空间穿过 L ，
根据: B 0nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n
I
分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba .........
cd
计算环流
B•
dl
b
a
Bdl
cos 0
c
b
Bdl
cos
2
d
c
Bdl cos 0
da Bdl
cos
. ...
B
.
.
R2 ..
.
.
.
.
...
与无限长螺线管同
O
R1 R2
r
例2.如图半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，
电荷面密度 ，筒以速度 绕其轴 转动。求圆筒内部的 B。
R
L
i ....
Bo 0R
方向: 平行轴向右
思路：当成螺线管看待
q
总电流 j (2R L ) 2 RL
Bo
0nI
I4
I3
l
I1 I2
I4
I3
l
位置移动
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E • dS
1
s
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B dl 0 Ii i
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
B • dS 0
磁力线闭合、 无自由磁荷
磁场是无源场
2BL 0 j L
B 0 j
2
dB2
o
a
L
b
（作公式用）
无限大平面
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，方向相反。
磁场与电场分布的特殊对称情况对比：
电场
磁场
球对称：
不存在
轴对称：
电场 平面：
磁场
求解：
E dS
S
qi 0
B dl L
0 I
r 半径 的圆环 L ，
L上各点等价： B大小相等，方向沿切向 。
磁场分布——轴对称
2）选取回路
以 L 为安培环路，逆
时针绕向为正:
L
dB'
L
o
dI•r dI•'
dB
P
a) 若 r R
B • dl Bdl 2rB
I内＝I
利用安培环路定理求 B
0
2rB 0 I
B 0I 2r
1 r
I R
& 均匀带电球型分布在 空间任一点所产生的场 强可用一个公式表示
& 电流轴对称分布在空间 任一点所产生的磁感应强 度可用一个公式表示
q
E 4 0r 2
B 0 I
2r
•其中∑q 为过场点 所做的同心球面所包 围的电荷代数和
•其中∑I 为穿过过场 点所做的同心圆内的 电流代数和
电荷均匀分布
电流均匀分布
当磁场分布具有高度对称性时，利用安培环路定 理计算磁感应强度，可使计算大大简化。
步骤： 1）对称性分析
2）选取回路，并规定绕行方向
3）利用 B • dl 0 Ii 进行计算
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
已知：I、R，电流沿轴向，
I R
在截面上均匀分布
1）对称性分析：
o 在 I 平面内，作以 为中心、