(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档

三角函数

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

二倍角

sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]

cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]

tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]

三倍角

sin3α=3sinα-4sin^3（α）

cos3α=4cos^3（α）-3cosα

tan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））

sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）

cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)

tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）

半角公式

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

半角变形

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限

=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限

=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限

=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限

恒等变形

tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)

tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)

asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√

（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）

tan y=b/a

万能代换

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

积和化差

sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）

和差化积

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

内角公式

sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）

cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

证明方法

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c

AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin

（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）

=cosAcosB-sinAsinB

由此易得以上全部公式