图论试题浙师大
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集ο ο ο ο οcab edο f图一图二C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的应该填写：D8．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m 为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v ＋210．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A．1m n-+B．m n-C．1m n++D．1n m-+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ．9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．ο οο ο οca b e dο f 图四2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？ 2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2v 3v 5 d bae f ghn图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．4．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b,d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。
第二篇 图论习题
7．证明：若每个顶点的度数大于等于3时，则不存在 有7条边的平面连通图。
(等价命题：证明：不存在7条棱的凸多面体)
8. 设G是顶点p≥11的平面图，证明：G的补图Gc是非平 面图。
(设G是顶点p≥11的图，证明：G与G的补图Gc至少有一个是非平 面图。)
9.设G是平面连通图，顶点为p面数f，证明: (1)若p≥3，则f≤2p-4。(2)若δ(G)=4,则G中至少有6 个顶点的度数≤5。 10．设G是边数q<30的平面图,证明:G中存在顶点v， 使得degv≤4。
e
c b a
f a g j d
d j i
h
i
e h
b
c
f
g
例3 给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每 一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥9。 例4 证明：完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条 哈密顿回路和一条哈密顿路？ 例5 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 例6(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 (2) 完全偶图Km,n为哈密顿图的充要条件是什么？ 例7 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 例8设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ， 若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。 例9 证明：彼德森图不是哈每个人都至少有10 个朋友，这20人围一圆桌入席，要想使与每个人相 邻的两位都是朋友是否可能？根据什么？ 例19 设G是一个有p(p≥3)个顶点的连通图。u和v是 G的两个不邻接的顶点,并且degu+degv≥p 。证明： G是哈密顿图G+uv是哈密顿图。
第六章 树和割集(习题课1)
习题课２
例１设G是连通图，满足下面条件之一的边应具有什 么性质 ？ （1）在G的任何生成树中； （2）不在G的任何生成树中。 例2 非平凡无向连通图G是树当且仅当G的的每条边都 是桥。 例3 设T是一棵树，p≥2 ，则 （1）p个顶点的树至多有多少个割点； （2）p个顶点的树有多少个桥？ 例4 证明或否定断言：连通图G的任意边是G的某一棵 生成树的弦。 例5 设T是连通图G中的一棵生成树，证明：T的补中 不含中任何割集。[T的补T G T 就是T的弦]
图论习题答案
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为： 关联矩阵为：∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222 i i C a a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------100110000001001000010100010011010100000001001100000111, 001101000100000000001001010000001010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
图论习题
《图论及其应用》习题课教材目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8习题 11. 证明在n阶连通图中（1）至少有n-1条边。
（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。
（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。
证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。
当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。
设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。
2020-2021《图论》期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《图论》期末课程考试试卷适用专业：信计本科生考试日期：年月考试时间：120分钟；考试方式：闭卷；总分100分一、填空题. （6小题，每小题3分，共18分）1 树中所有度大于1的顶点都是。
2 称为欧拉图。
3 若G是连通的(),p q图，则它的一棵生成树有条边。
4 求一个连通图的生成树的两种方法：和。
5 使图G为n-着色的n最小数值称为G的。
6 如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个。
二解答题（5小题，共38分）1 假设A，B……G是7个哨所,监视着11条路段(如下图所示),为节省人力,问至少需要在几个哨所派人站岗,就可以监视全部路段,写出具体的一个可行方案?（6分）2 试作出下列二图作的并，交与环和。
（8分）3写出下图的关联集，并由此求出图的全部断集。
（10分）4 写出下图的完全关联矩阵。
（8分）5 画出下图的对偶图(在原图上用另一种颜色的笔画出来)。
（6分）三 应用题 （3小题，共34分）6 如下图，现准备在g f e d c b a ,,,,,,七个居民点设置一银行，各点之间距离由图给出，则银行设在哪个点可使最大服务距离最小？若要设置两个银行，则设在哪两个点？（12分）7 在通信中，0、1、2、…、7出现的频率如下：0：30％，1：20％，2：15％，3：10％，4：10％，5：5％，6：5％，7：5％ 求传输它们的最佳前缀码。
（12分）8 求下述网络的最大流。
（10分）四 证明题 （1小题，每小题10分，共10分）9、若图(,)G V E =不是哈密顿图(3)V ≥，证明至少有一个顶点的度适合deg()2v V <。
2020-2021《图论》期末课程考试试卷答案一填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1 割点。
2 顶点的度均为偶数的图。
3 p-1 ;4 破圈法和避圈法。
5 色数；6 匹配。
二解答题（共5小题，共38分）（题5图）（题2图）1 解：{A,D,G,E }和{A,D,G,B }都是最小点覆盖, 所以至少需要在4个哨所派人站岗来监视全部路段.3 解：S(1)={a,d,f},S(2)={a,b,e},S(3)={b,c,d}然后作出它们所有的环和S(1)✞ S(2)={b,d,e,f}, S(1)✞ S(3)={a,b,c,f}S(2)✞ S(3)={a,c,e,d},S(1)✞ S(2) ✞ S(3)={e,c,f}4 解：0000011000011000001010111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、应用题（3小题，共34分）6 解：求出任意两点间的距离，得出每行的最大值，在最大值中取最小值4.8，故一个银行应设在c，此时最大服务距离为4.86254524636233513336395365436393643651333684525154518184364333633813396363936843..............................gfedcbagfedcba最大值如取两个银行，在上表7列中任取两列，从两列序号的分量中选出最小数，再在这7个最小数中选出最大者，最后在21个数字中选出最小者3，所以设两个银行应设在fa,或fb,7 解：:(1) 求带权5,5,5,10,10，15,20,30的最优二叉树；(2) 求T所对应的前缀码；(3) 通过权把传输符号同前缀码的二进制位对应起来：用11表示1, 01表示0, 101表示3, 100表示4, 001表示2, 0000表示F, 0001表示5,00001表示6,00000表示7。
图论习题答案
习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。
7.同构。
同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。
图论习题答案2
图论习题课(二)
第二次作业
一（40） . 证明 : G是单图， k , 则G有长k的轨。 证：若P为Ｇ的一条最长轨，它的长度l＜k，设Ｐ为v1v2 v3 ...vl 1 , 而d v1 k l , 从而P外恒存在一点v0与v1邻接, 于是v0 v1v2 v3 ...vl 1是G中长于P的一条轨，这与P是最长轨矛盾，故l k . 故G中有长k的轨。
第四次作业
三(11).设是平面图Ｇ的连通片个数，则 (G ) (G ) (G ) 1 证：对于每个连通片G i， 1 i ，运用欧拉定理：
(Gi ) (Gi ) (Gi ) 2
[ (G ) (G ) (G )] 2
第二次作业
• 二(5).证明：树有一个中心或者两个中心，但有两 个中心时，此二中心是邻顶。 • 证明：结论对于树K1，K2显然成立。对于任何一 个其它的树T，与除去T的所有度为1的顶点得到 的树T' 有同样的中心。因为T有限，经过有限步 后，得到树K1或K2。且K1，K2的中心即为T的中心。 得证。
第四次作业
• 四(2).树上是否可能有两个不同的完备匹配？ • 解：不可能，理由如下： • 设M1和M2为两个不同的完备匹配，则M1ΘM2≠Ø， 且T(M1ΘM2)中所有点的度都为2，所以T(M1ΘM2) 中有圈，不为树，与题意矛盾，假设不成立。
第四次作业
• 四(11).矩阵的行或列成为矩阵的”线“，证明：0-1 矩阵中含所有1的线集合的最小阶数（集合元素个 数）等于没有两个在同一线上的1的个数。 • 证明：设X为行集合，Y为列集合 • 若某行与某列交点为1，则将这两点之间连线，构 成二分图G。 • 含所有1的线集合的最小阶数为最小覆盖|M|。 • 没有两个在同一线上的1的个数为最大匹配β(G)。 • 由konig定理，|M|=β(G)，得证。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
图论习题+答案
1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。
(图论)离散数学习题参考答案2
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6
《图论》考试卷
浙江师范大学《图论》考试卷考试类别 闭卷 使用学生 行知数学 051.052.考试时间 150 分钟 出卷时间 2018年1月4日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一、填空题 (25%)1、给定图Gu 3 u 2 u 811（1）给出图G 的一条最长路＿＿＿＿＿＿＿；（2）给出图G 的二个参数值λ(G)= ,κ(G)= ；（3）给出图G 的一个最大独立集 ；（4）作出子图G[u 2,u 5,u 7,u 9,u 11,u 12]________,G-{u 8,u 9,u 12}____________,G-{u 1u 3,u 1u 4,u 1u 7,u 1u 10}_________ _______；2、图G 是二分图的充分必要条件是 ；3、G=(X,Y,E)是二分图，无孤立点，则β1(G) 与α0(G)的关系是 ；4、Ramsey 数r(k,t)、r(k-1,t) 和r(k,t-1) 的关系是 ；5、G 是含有56个顶点的无回路图，且对Ｇ中任两个不相邻的顶点v u ,，Ｇ+uv 有唯一的回路，则Ｇ的边数为____________;6、图G 有Euler 环游的充要条件是＿＿＿＿；二、设七个字母在通迅中出现频率分别为a;25%,b;22%,c;20%,d;12%,e;10%,f;6%，g;5%。
编一个最优前缀码，并画出相应的最优二元树。
(15%)三、 证明：非平凡连通图G 至少有二个非割点。
(10%)四、 G 是点色数χ(G)=2的k —正则简单图。
证明G 有k 个边不交的完美对集M 1,M 2, ┄, M k ，使 E(G)= M 1∪M 2∪┄∪M k 。
(13%)五、 给出平面图G 的顶点数p(G)、边数q(G)、面数 )(G ϕ和连通分支数ω(G)的一个关系式，并给予证明。
(15%)六、 G 是p 个顶点的简单图，对G 中每一对不相邻的顶点u 、v,均有d G (u)+d G (v)≥p-1。
集合论、图论重要习题100
集合论、图论重要习题100例：1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)?n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,?n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
图论习题及答案
图论习题及答案(总24页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--作业解答练习题2 利用matlab编程FFD算法完成下题：设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。
解答一：function [num,s] = BinPackingFFD(w,capacity)%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:先将物体按长度从大到小排序, %然后按FF算法对物体装箱%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，s{i}为第i个箱子所装%物品体积数组%例w = [60,45,35,20,20,20]; capacity = 100;% num=3,s={[1,3],[2,4,5],6};w = sort(w,'descend');n = length(w);s = cell(1,n);bin = capacity * ones(1,n);num = 1;for i = 1:nfor j = 1:num + 1if w(i) < bin(j)bin(j) = bin(j) - w(i);s{j} = [s{j},i];if j == num + 1num = num + 1;endbreak;endendends = s(1:num);解答二：clear;clc;V=100;v=[60 45 35 20 20 20];n=length(v);v=fliplr(sort(v));box_count=1;x=zeros(n,n);V_Left=100;for i=1:nif v(i)>=max(V_Left)box_count=box_count+1;x(i,box_count)=1;V_Left=[V_Left V-v(i)];elsej=1;while(v(i)>V_Left(j))j=j+1;endx(i,j)=1;V_Left(j)=V_Left(j)-v(i);endtemp=find(x(i,:)==1);fprintf('第%d个物品放在第%d个容器\n',i,temp) endoutput:第1个物品放在第1个容器第2个物品放在第2个容器第3个物品放在第1个容器第4个物品放在第2个容器第5个物品放在第2个容器第6个物品放在第3个容器解答三：function box_count=FFD(x)%降序首次适应算法v=100;x=fliplr(sort(x));%v=input('请输入箱子的容积:');n=length(x);I=ones(n);E=zeros(1,n);box=v*I;box_count=0;for i=1:nj=1;while(j<=box_count)if x(i)>box(j)j=j+1;continue;elsebox(j)=box(j)-x(i);E(i)=j;break;endendif j>box_countbox_count=box_count+1;box(box_count)=box(box_count)-x(i);E(i)=j;endenddisp(E);在命令窗口输入：>> x=[60,45,35,20,20,20];>> FFD(x)1 2 1 2 2 3ans =3练习题5 “超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3, 奖品i占用的空间为w i dm3,价值为v i元, 具体的数据如下:v= { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, i122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1}w= {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32,i22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。
图论考试试题
图论考试试题图论考试试题在计算机科学领域中，图论是一门重要的学科。
它研究的是图的性质和图上的算法。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论可以应用于网络分析、社交网络、路径规划等领域。
图论的考试试题可以帮助学生加深对图论的理解和应用能力。
一、基本概念题1. 什么是图？答：图是由节点和边组成的数据结构。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
2. 图的分类有哪些？答：图可以分为有向图和无向图。
有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
另外，图还可以分为加权图和非加权图。
加权图的边具有权重，非加权图的边没有权重。
3. 什么是路径？答：路径是图中连接两个节点的边的序列。
4. 什么是连通图？答：连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径。
二、算法题1. 广度优先搜索算法（BFS）是如何工作的？答：广度优先搜索算法从起始节点开始，逐层遍历图中的节点。
它首先访问起始节点的所有邻居节点，然后依次访问邻居节点的邻居节点，直到遍历完所有可达节点。
2. 深度优先搜索算法（DFS）是如何工作的？答：深度优先搜索算法从起始节点开始，沿着一条路径一直向下访问直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，选择另一条路径继续访问，直到遍历完所有可达节点。
3. 如何判断一个图是否是二分图？答：二分图是指可以将图中的节点分为两个独立的集合，使得同一集合中的节点之间没有边相连。
判断一个图是否是二分图可以使用染色法。
从任意一个节点开始，将其染成红色，然后将其邻居节点染成蓝色，再将邻居节点的邻居节点染成红色，以此类推。
如果在染色过程中发现相邻节点颜色相同，则该图不是二分图。
三、应用题1. 在社交网络中，如何找到两个人之间的最短路径？答：可以使用广度优先搜索算法来找到两个人之间的最短路径。
从一个人开始，逐层遍历其朋友圈中的人，直到找到目标人。
在遍历过程中，可以记录路径，最后得到最短路径。
2. 在电信网络中，如何找到两个城市之间的最短路径？答：可以使用迪杰斯特拉算法来找到两个城市之间的最短路径。
图论试卷及参考答案A-13级数学本科
**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》试卷A（本试卷满分100分，考试时间110分钟）一、填空题 （每小题2分，共20分） 1．5阶完全图G 的边的个数是___________．2．如果图G 的每个顶点的度数都相同，则称图G 为________图． 3．当且仅当无向连通图G 的顶点个数比边的个数多1时，图 G 是___． 4．无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通，并且所有顶点的度都是 ． 5．(p ,q ) 图G 的向量空间的维数是_________．6．图G 的任意一个顶点的关联集都是其余各顶点关联集的____． 7．5阶完全图的边连通度是 ．8．已知M 是图G 的一个 ，若从G 中一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路径由属于M 和不属于M 的边交替出现组成的，则称此路径为M -交错道路．9．图G 是2-色的当且仅当G 是 ． 10．极大平面图所有面的次数均为 ． 二、判断题（每小题2分，共20分）1．图的所有顶点的度数之和是边数的2倍．2．连通图的一个生成树是边数最少的连通生成子图． 3．若一个图是欧拉图，那它也一定是哈密顿图．4．图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，也等于其关联矩阵的秩． 5．r 一定是r —正则图的一个特征值． 6．图的点连通度小于等于图的边连通度．7．若一个图G 存在完美匹配，则该匹配必定是最大匹配． 8．图G 的一个M —可增广道路未必是一个M —交错道路． 9．图的边着色问题可以转化成图的点着色问题．10．设G 为p 阶、q 条边、f 个面的连通平面图，则 p -q +f =2．专业：__________ 班级：______ 学号：_______________________ 姓名：_____________________——————————————密——————————————封————————————————线———————————专业：________ 班级：___________ 学号：_______________________ 姓名：_____________________ ——————————————密——————————————封————————————————线———————————三、解答题（每小题5分，共30分） 1．试判断下列两个图是否同构．2．写出下图G 的一个生成树T 并写出图G 关于T 的基本圈组．3．求下图的完全关联矩阵并以v 2为参考点写出关联矩阵和一个可逆大子阵．4．简述图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系，并举例说明．5．下面的图中加粗的边构成最大匹配吗？如果不是请说明理由．v 143 v e 2 e 34 e AB CDGF4v5v 6v 1v2v 3v 15 u u43 u u26 u u6．试写出下图的一个着色方案，并回答该图的色数．四、应用题（每小题5分，共10分）1．下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？2．试建立下列问题的数学模型：有两组化学药品X 和Y ，每组各三类，设{}123,,x x x 和{}123,,y y y ，已知不同组的化学药品不能放在一起，否则会发生爆炸．现在将这些物品存放在三个仓库1，2，3中，但由于物品的特性及仓库自身的物理条件（如有无空调、通风条件等），1x 和1y 只允许放在1号和2号仓f 1 f 2 m 1f 3 f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5v 2v 3v 4v 1v 5库内，2x 和2y 只允许放在2号和3号仓库内，3x 和3y 只允许放在1号和3号仓库内，问：满足要求的存放方案是否存在？若存在，如何存放？ 五、证明题（每小题10分，共20分）1．设T 是一个无向（p ,q ）图，证明T 是树则T 无圈且q =p -1．2．设G 为p 阶连通平面图, 有q 条边, 且每个面的次数不小于l (l ³3), 证明 ()≤lq p -2l -2．**学院2013—2014学年第二学期期末考试 数学与应用数学专业2013级《图论》参考答案与评分标准A命题教师：***二、填空题 （每小题2分，共20分）参考答案：1．120；2．正则图；3．树；4．偶数；5．q ;6．环和；7．4；8．匹配；9．二部图；10．3 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致或意义相同的得2分，不一致（含空白）的不得分．三、判断题（每小题2分，共20分）参考答案：1-5.√√×√√ 6-10.√√×√√ 评分标准：本部分每小题2分．凡与答案一致的得2分，不一致（含未做判断）的不得分．三、解答题（每小题5分，共30分）参考答案：1.解：建立一一映射,1,2,3,4,5,6i i v u i =a ，可知两图同构． ……（5分）2.解：因为图的生成树即其连通无圈的生成子图，因此，去掉图的一些边使其保持连通无圈即得其生成树．下图是其中的一种做法． …………（2分）关于这棵树的基本圈有6个：AEG ，ABG ，EFG ，BCE ，DEF ，CDF ．（5分）3.解： ………………（3分）其中一个可逆的大子阵100011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123e e e …………………………………………（5分） 4.解：图的点连通度、边连通度、最小顶点的度数三者之间的关系为k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（3分）下图是无向连通图，点连通度k (G )=1，边连通度l(G )=2，最小度d(G )=3，此图满足k (G )≤l (G )≤d (G )． …………………………………………（5分）100110110100110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2完全关联矩阵关联矩阵(v 为参考点)1001111000→0110100110EAB CDGF5.解：不是最大匹配，因为该图中存在M-可增广道路． ………………（5分） 6.该图是3色的，颜色1：v 1，v 5，颜色2：v 2，v 4，颜色3：v 3． ………（5分） 本部分每小题5分，由于某些题的结果不唯一，因此要求只要运用理论正确，结果与答案等价，即得满分；如果有些偏差，酌情扣分；如果关键部分错误，该得分点不得分．四、应用题（每小题5分，共10分）参考答案：1.这个问题可以归结为一笔画问题，一个连通图存在欧拉圈当且仅当图的顶点的度数是偶数．H 点和B 点是奇点，其余都是偶点，所以入口和出口应设在H 点和B 点． ………………（5分）2.解：以药品为点，两药品不能放在一起则连边，则得到一个二部图，然后再对图中每个点x ，指定一个集合()L x ，用以表示允许存放的仓库和集合，即令()(){}111,2L x L y ==，()(){}222,3L x L y ==，()(){}331,3L x L y ==，如下图所示，于是问题转化为对3,3K 的点着色，但要求对每个点x 的着色，应选用各自的中所罗列的“颜色”，如下图所示：f 1f 2m 1 f 3f 4f 5m 2 m 3 m 4 m 5{}11,2x{}22,3x{}31,3x实际上，本问题的着色不存在． ………………（5分） 评分标准：本部分每小题5分，考生每解出一个步骤，得相应的分数．由于某一步单纯计算错误而导致其后数据错误，但方法正确的，酌情给分． 五、证明题（每小题10分，共20分）参考答案：1.证明:由树的定义可知T 无圈．下证q =p -1．对p 进行归纳证明． 当p=1时，q=0，显然q =p -1．假设p=k 时结论成立，现证明p=k+1时结论也成立． ………… （2分）由于树是连通而无圈的，所以至少有一个度数为1的顶点v ，在T 中删去v 及其关联边，便得到k 个顶点的连通无圈图． ………… （4分）由归纳假设它有k-1条边．再将顶点v 及其关联边加回得到原图T ，所以T 中含有k+1个顶点和k 条边，故结论q =p -1成立．所以树是无圈且q =p -1的图．即q =k +1时结论成立． ……………… （10分）2.证明：由于在计算面数之和时，每个边被计算了两次，因此各面次数之和等于边数的2倍，再由欧拉公式得： ……………… （5分） 2q ³ lf = l (2+q-p )()1⎛⎫≥⇒≥⇒≤ ⎪⎝⎭2q 2l 2+q -p -q 2-p q p -2l l l -2 …… （10分）评分标准：本部分每小题10分，根据参考答案的答题要点给分。
数学竞赛图论试题及答案
数学竞赛图论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在一个无向图中，如果有5个顶点，每个顶点至少与另外两个顶点相连，那么这个图至少有多少条边？A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个图是二分图当且仅当它没有奇环。
这个说法是正确的吗？A. 是B. 否3. 给定一个有n个顶点的完全图，求出该图的边数。
A. n(n-1)/2B. n(n+1)/2C. n^2D. 2n4. 在一个图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的简单路径，则称u 可达v。
如果图中任意两个顶点都是相互可达的，那么这个图是：A. 连通图B. 强连通图C. 有向无环图D. 欧拉图二、填空题（每空5分，共30分）5. 一个图的度序列是指图中所有顶点的度按照______排列的序列。
6. 如果一个图的边数等于顶点数的两倍，那么这个图一定是______。
7. 在图论中，一个图的最小生成树是指连接所有顶点的______的树。
8. 一个图的着色数是指对图中的顶点进行着色，使得任何两个相邻的顶点颜色都不同，使用的最小颜色数。
三、简答题（每题25分，共50分）9. 描述什么是图的平面性，并给出判断一个图是否为平面图的方法。
10. 解释什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案一、选择题1. C（根据边数的最小值公式，边数至少为顶点数减一的两倍）2. B（二分图没有奇环，但不是所有没有奇环的图都是二分图）3. A（完全图的边数公式）4. A（连通图的定义）二、填空题5. 非增6. 完全二部图7. 边数最少8. 最小三、简答题9. 图的平面性指的是图可以画在平面上，使得图中的边除了端点外不相交。
判断一个图是否为平面图的方法有库拉托夫斯基定理，即如果一个图包含一个子图同构于K5（完全五顶点图）或K3,3（完全二部图），则该图是非平面的。
10. 哈密顿回路是一条通过图中每个顶点恰好一次的闭合回路。
例如，一个正方形的四个顶点可以形成一个哈密顿回路，因为可以按照顺时针或逆时针方向依次访问每个顶点一次。
图论试题浙师大
思考练习第一章㈣缪％辭网1对任意图」，证明证，肿沁春三，故「「■'2在一次聚会有匚〔；二T个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有3 个人互不认识。
举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。
证：构图」如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。
则对于图中任意一个点-— -；.--或-;7」不妨设砂3及它的3个邻点为◎忆。
若◎忆中有任意两个点，不妨设为 '?，相邻，贝U '对应的3个人互相认识；否则，〔；「中任意两个点不邻，即它们对应的3个人互不认识。
若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。
"4 嗎"G画出下列几个子图：(a):…［丄.|；⑹如讥；(c)解：(a)(b)(c)第二章1设」是一个简单图「人二。
证明：」中存在长度至少是:的路证：选取」的一条最长路2，则：的所有邻点都在丄中，所以•匚1 f ,即」中存在长度至少是〔的路2证明：：阶简单图」中每一对不相邻的顶点度数之和至少是：，则」是连通图。
证：假设」不连通，令'- > 一是」的连通分支，对11 ' ' ' '. ■，有d(〃)+d(v)二血仗)+%兰了(GJ-l+p(G』-1导-2，与题设矛盾。
故G连通。
3设「是连通图」的一个回路，2；，证明二■-仍连通。
证："：'.】厂- ;"：|，」中存在.“■:路「，1、若^鼻；三，则「是二「中的二「路；2、若二三；三，则—「：是二「中的食J途径，从而二「中存在"：路。
故」，连通。
4图」的一条边一称为是割边，若^匸—二「川匕。
证明」的一条边一是割边当且仅当-不含在」的任何回路上。
证：不妨设」连通，否则只要考虑」中含】的连通分支即可。
必要性：假设1在」的某一回路上，则由习题2.13有二「连通与一是割边矛盾。
故丨不在回路中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考练习
第一章
1对任意图，证明。
证：，故。
2 在一次聚会有个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有3个人互不认识。
举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。
证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人
互相认识。
则对于图中任意一个点或。
不妨设及它的3个邻点为。
若中有任意两个点，不妨设为
，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，
即它们对应的3个人互不认识。
若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。
3 给定图
画出下列几个子图:
(a) ；
(b);
(c)
解：(a)
(b)
(c)
第二章
1设是一个简单图，。
证明：中存在长度至少是的路。
证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以
，即中存在长度至少是的路。
2证明：阶简单图中每一对不相邻的顶点度数之和至少是，则是连通图。
证：假设不连通，令、是的连通分支，对，有
，与题设矛盾。
故连通。
3设是连通图的一个回路，，证明仍连通。
证：，中存在路，
1、若，则是中的路；
2、若，则是中的途径，从而中存在
路。
故连通。
4图的一条边称为是割边，若。
证明的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。
证：不妨设连通，否则只要考虑中含的连通分支即可。
必要性：假设在的某一回路上，则由习题2.13有连通，，与是割边矛盾。
故不在回路中。
充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。
故是割边。
5证明：若是连通图，则。
证：若是连通图，则。
第三章
1 证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且只有一条路。
证：必要性：由定理3.1.1立即可得。
充分性：首先可见连通。
否则，设有两个连通分支、，且，
则到中的顶点没有路，与题设矛盾。
其次，中无回路。
否则，若有回路。
由于连通，到上的点有路，
且设与的第一个交点为，则到上除外其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。
故是树。
2 设图有个连通分支，。
证明含有回路。
证：假设中不含回路。
设的个连通分支为，则每个连通无回路，是树。
从而
，
与题设矛盾，故无回路。
3是连通简单图的一条边。
证明在的每个生成树中当且仅当是的割边。
证：必要性：假设不是的割边，即连通，有生成树，与在的每个生成树矛盾。
故不是的割边。
充分性：假设存在一棵生成树，使得不在中，从而连通，与是的割边矛盾。
故在的每个生成树中。
4设是至少有3个顶点的连通图，证明中存在两个顶点，使得仍
是连通图。
证：是至少有3个顶点的连通图，有生成树，设是的悬挂点，则
连通，是的生成子图，从而连通。
5 Kruskal 算法能否用来：
1、在赋权连通图中求最大权的生成树？
2、在非连通图中求最小权的生成森林？
如果可以，写出算法。
解：1、算法：
1)在中选取边，使尽可能的大；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的大。
3)当2)不能继续执行时，停止。
2、算法：
1)在中选取边，使尽可能的小；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的小。
当2)不能继续执行时，停止。
第四章
1 设简单图是一个Euler图。
证明：中每个顶点，均有。
证：设的每个连通分支为，则每个中至少有两个点与邻。
否则的话，由于是Euler图，中每个顶点的度数为偶数。
若中只有一个点与
邻，设为，则中除了外其余点度数都是偶数，与推论1.3.2矛盾。
故每个
中至少有两个点与邻。
从而。
2 设是连通图，证明：是Euler图当且仅当存在边不交的回路，使：。
证：充分性：若中存在边不交的回路，使：。
则对中任意一个顶点，假设在个回路中，由
回路的边不相交性，有，是偶数。
又连通，由定理4.1.1，有是Euler 图。
必要性：对边数用归纳法。
当边数为1的时候，只能是一个顶点其边为环
的图，显然满足条件。
归纳假设边数时成立，现在证明边数等于时定理的必要性也成立。
由于是Euler图，无奇点且连通，故中每个顶点度至少是2。
由定理
2.1.1知中存在回路。
现将中属于的边全删去，再除去孤立点得图。
显然的每个顶点度仍然是偶数，则的每个连通分支都是无奇点的连通图，是Euler图，且边数，由归纳假设，中存在边不交的回路，使：。
则中存在边不交的回路，使：。
3找一个有10个顶点的简单图，使的每一对不相邻顶点，均有
，而不是H—图。
解：令即可
4设是连通图中某一回路，若删去中任意一条边就得到的一条最长
路。
证明回路就是的H—回路。
证：设的长度为。
反证法，假设不是连通图的H—回路，即连通，存在路，设与最后一个交点为。
在中去掉与关联的一条边，再加上路，就可以得到一条
长度至少是的路，与删去中任意一条边就得到的一条最长路矛盾。
故
，则含个点，是H—回路。
5证明：若围圆桌至少坐5个人，那么一定可以调整他们的座位，使得每个人的两侧都挨着两个新邻居。
证：构作图：以人为顶点，两个顶点相邻当且仅当他们本来不是邻居。
设
，则。
当时，可如图所示进行调换：
（按红边进行调换）
当时，有，由推论4.3.3知，图有H—回路。
按这条回路调整座位，就可以满足题目条件。
6,，则有H—路。
证：在中添加顶点，并使与中所有点都相邻，记所得图为。
则在中，
，
且，
由定理4.3.2，有H—回路就是的H—路。
第五章
1设是一个正则二分图，则必有。
证：是一个正则二分图，则。
2 是二分图。
若，则不是H—图。
证：不妨设，则，故不是H—图。
3 证明二分图有完美对集的充分必要条件是。
证：必要性：。
设二分
图的完美对集为，则在下分别与
配对，故。
充分性：由于，则。
另一方面，令
，则；令，则。
故。
从而由推论5.3.2，二分图有完美对集。
4设是简单二分图，。
证明：若，则
有完美对集。
证：，
1.若，则且；
2.若，从而。
否则，
且，与已知矛盾。
故
，即。
从而。
由推论5.3.2，二分图有完美对集。
5设是正则二分图，证明：中存在个边不交的完美对集
，使：。
证：对用归纳法。
1.当=1时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。
假设当时命题也成立，则当时，是正则二分图，由推论5.3.3，
有完美对集是正则二分图，由归纳假设，存在个边不交的完美对集，使：。
从而有存在个边不交的完美对集，使：，即命题成立。