苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》

专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。

那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
O
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。

苏教版高中数学必修42.5向量的应用word教案

第 12 课时：§ 向量的应用【三维目标】：一、知识与技术1.经历用向量方式解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的进程，体会向量是一种处置几何问题、物理问题等的工具，进展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在那个进程中培育学生探讨问题和解决问题的能力二、进程与方式1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处置平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同窗一路总结方式，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培育学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同窗们对用向量研究几何和其它学科有了一个初步的熟悉；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方式解决实际问题的大体方式；向量法解决几何问题的“三步曲”。

难点：实际问题转化为向量问题，表现向量的工具作用。

用向量的方式解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探讨式学习法(2)反馈练习法：以练习来查验知识的应用情形，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【讲课类型】：新讲课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭露课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多如此的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，咱们就来用向量知识研究解决一些实际问题。

2.研究的方式：用数学知识解决实际问题，第一要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对那个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。

苏教版数学高一必修四作业 2.5向量的应用

一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．解析：∵AB＝(－4,3)，∴做功W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：14．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为________．解析：作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.答案：120°5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA·OB ＝__________.解析：如图，取D为AB的中点，∵OA＝1，AB＝3，∴∠AOD＝π3.∴∠AOB ＝2π3. ∴OA ·OB ＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ，由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12. 所以|a ＋b |2＝(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6. 故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝2AP ，求点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－6.①由RA ＝(1－x 0，－y 0)，AP ＝(x －1，y )，又RA ＝2AP ，∴1－x 0＝2x －2，－y 0＝2y ，∴x 0＝3－2x ，y 0＝－2y ，代入①式得y ＝2x ，即为所求．8.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A处受力的大小．解：由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角，设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|F a |cos 45°＝|F b |cos 30°，|F a |sin 45°＋|F b |sin 30°＝100，解得|F a|＝1502－506，故A处受力的大小为(1502－506)N.。

高一数学苏教版必修4教师用书：2.5 向量的应用

2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0，故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ，从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →，所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0，即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0，即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】连结OP ，设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。

苏教版必修4《向量的应用》说课稿

苏教版必修4《向量的应用》说课稿一、教材分析《向量的应用》是苏教版必修4的一章内容，主要涵盖了向量在几何、力学和运动学中的应用。

本章内容紧密联系，具有一定难度，但通过生活中的实际例子，能帮助学生更好地理解和应用向量的概念。

该章节在必修4中的位置为第3章，共有4个小节，包括：1.向量的基本概念：讲解了向量的定义、向量的加法和减法，以及与数的乘法的区别。

2.平面向量及其坐标表示：介绍了平面向量的坐标表示和向量的数量等概念。

3.平面向量的共线、共面与线性运算：讲解了共线向量、共面向量的判定方法和向量与常数的乘法。

4.平面向量与几何应用：主要包括三角形的向量解法、平行四边形面积与叉积以及垂直平分线问题。

通过学习这些内容，学生将能够把向量概念应用到几何、力学和运动学的问题中，提高问题解决的能力。

二、教学目标本章的教学目标主要包括：1.理解向量的定义和基本运算规则，掌握向量的加法、减法和数乘运算。

2.掌握平面向量的坐标表示方法，能够在几何图形中使用坐标表示向量。

3.判断平面向量的共线、共面性质，掌握线性运算的性质。

4.运用向量解决几何问题，如利用向量求三角形的面积、判断平行四边形是否共面等。

5.培养学生的综合思考和解决问题的能力，培养学生合作学习和信息获取的能力。

三、教学内容及教学步骤1. 向量的基本概念1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，用加粗字母表示，如a。

2.向量的加法和减法：向量的加法是按照平行四边形法则进行，向量的减法是加上被减向量的相反数。

3.向量与数的乘法：向量与数的乘法是将向量的大小乘以一个数，方向不变。

2. 平面向量及其坐标表示1.平面向量的概念：平面向量是一个有大小和方向的有序对，在数学上可用有向线段表示。

2.平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示是用有序实数对表示，如向量a=(a₁, a₂)。

3.平面向量的数量：向量的数量等于其终点的坐标与起点的坐标之差。

3. 平面向量的共线、共面与线性运算1.共线向量的判定：若两个向量a和b的方向相同或相反，则它们共线；若向量a与b共线，且有一实数k使得a=k b，则a与b共向或反向。

苏教版必修4高中数学2.5《向量的应用》ppt课件1

课堂练习
如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作
DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF
与结G论H:是EF否∥平G行H .
A
E F G PH
B
D
C
课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思
路：几何问题向量化
向量运算关系
化2.用向量方向法量研关究系几几何何问化题. ，需要用向量
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
的观点看问题，将几何问题化归为向量问
题来解决.它既是一种数学思想，也是一种
数学能力.其中合理设置向量，并建立向量
关系，是解决问题的关键.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
最新中小学教学课件
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2019-2020学年苏教版必修4 2.5 向量的应用课件(47张)

栏目导引
第2章平面向量
向量在解析几何中的应用已知 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)若使四边形 ABCD 是矩形，试确定点 C 的坐标，并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值．
栏目导引
第2章平面向量
【解】 (1)证明：因为 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以A→B ＝(1，1)，A→D＝(－3，3)，所以A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0，
解：(1)由已知可设A→B＝D→C＝a，B→E＝F→D＝b，故A→E＝A→B＋B→E ＝a＋b，F→C＝F→D＋D→C＝b＋a.又 a＋b＝b＋a，则A→E＝F→C，即 AE，FC 平行且相等，故四边形 AECF 是平行四边形．故填平行四边形． (2)证明：设D→C＝λA→B(λ＞0)，因为P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q－A→P ＝A→B＋12(B→D－A→C)
而A→H＝O→H－O→A＝h－a＝b＋c， C→B＝O→B－O→C＝b－c，所以A→H·C→B＝(b＋c)·(b－c)＝|b|2－|c|2＝0. 所以A→H⊥C→B.
栏目导引
第2章平面向量
(3)在△ABC 中，O 是外心，
∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，所以∠BOC＝120°，∠AOC
＝90°.
栏目导引
第2章平面向量
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南 30°，风速为 4 m/s，这时气象台报告实际风速为 2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
栏目导引
第2章平面向量
【解】依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为 v 车地，风对车的速度为 v 风车，风对地的速度为 v 风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即 v 风地＝v 风车＋v ，车地如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量 v 风地的有向线段A→D是平行四边形 ACDB 的对角线．

高中数学 2.5向量的应用教案苏教版必修4

2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ．变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？（3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥．题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？（2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。

高中数学 2.5向量的应用课件苏教版必修4

⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
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变式训练 3．如图，已知 AD、BE、CF 是△ABC 的三条高，DG⊥BE 于点 G，DH⊥CF 于点 H. 求证：GH∥EF.
分析：要证 HG∥EF，可设法证明E→F＝λH→G(其中 λ≠0)．证明：∵D→G⊥B→E，A→C⊥B→E，∴D→G∥A→C. 设O→A＝λO→D(λ≠0)，则A→E＝λD→G，同理A→F＝λD→H. 于是F→E＝A→E－A→F＝λ(D→G－D→H)＝λH→G， ∴H→G∥F→E，即 HG∥FE.
－8 2×
＝－4 34
1717.
因而，当P→A·P→B最小时，O→P＝(2，4)，此时
cos∠APB＝－4
17 17 .
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
2．5 向量的应用
学习
栏
目链
预习
接
典例
1．体会用向量方法解决几何问题，物理问题的过程． 2．掌握用向量方法解决实际问题的“三步曲”．
典例剖析
学习
栏
目链
预习
接
典例
力的合成与分解
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．

苏教版数学高一苏教版必修4学案2.5向量的应用

课堂导学三点剖析1.数学问题的向量方法【例1】如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ，AB =b ，则BD =a -b ，AC =a +b .而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22 ∴|BD |2=5-2a ·b =4（*）又|AC |2=|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2 =|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b . 由（*）得2a ·b =1， ∴|AC |2=6,∴|AC |=6,即AC =6.温馨提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快. 2．物理问题中的向量方法【例2】如图甲所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：甲(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2. 解直角三角形得 |F 1|=,tan ||,cos ||2θθ•=G F G 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大. （2）令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |，得cosθ≥21, 又0°≤θ<90°, ∴0°≤θ≤60°. 温馨提示在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决. 3.向量方法的综合应用【例3】已知两恒力F 1（3，4）、F 2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0）.试求：（1）F 1，F 2分别对质点所做的功；（2）F 1，F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F ·s 公式即可. 解：AB =（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W 1=F 1·AB =（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦). 温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W =F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例4】△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P.求：AP ∶PM 的值.思路分析：待定系数法求定比的问题. 解：设=e 1,CN =e 2.则AM =AC +CM =-3e 2-e 1,BN =2e 1+e 2.∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe 1-3λe 2,BP =μBN =2μe 1+μe 2.故=-=(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2. 而=+=2e 1+3e 2. 由基本定理得⎩⎨⎧=+=+,33,22μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,54μλ即AP =54AM . 故AP ∶PM=4∶1. 温馨提示在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区. 各个击破类题演练1已知：在△ABC 中，=a =(x 1,y 1),=b =(x 2,y 2). 求证：△ABC 的面积S=21|x 2y 1-x 1y 2|. 证明：由S △ABC =21|a |·|b |sinA =22)cos |||(||)||(|21A b a b a ••-• =22)(|)||(|21b a b a •-• =22121222222121)()(21y y x x y x y x +-+•+ =22112)(21y x y x - =21|x 2y 1-x 1y 2|. 变式提升1如图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.证明：∵BC=OC-OB,AE=OE-OA=(OA+OB+OC)-OA=OB+OC,∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2.∵O为外心，∴|OC|=|OB|，即AE·BC=0，AE⊥BC.类题演练2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,|OA|=|OC|cos30°=1503（N），|AC|=|OC|sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3变式提升24千米/时，水流速度为4千米/时.某人在静水中游泳，速度为3（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？解：（1）如图，4km/h.水流速度v1=4 km/h,游泳速度v2=3设合速度v 与v 1所成角为θ，于是t a nθ=3434=，∴θ=60°. |v |=222221)34(4||||+=+v v =8 km/h.（2）如图，v =244)34(22=-，sinθ=33，θ≈35.26°, 则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是24km/h.类题演练3如图所示，求两个力f 1、f 2的合力f 的大小和方向（精确到一位小数）.解：设f 1=(a 1,a 2),f 2=(b 1,b 2), 则a 1=300cos30°=259.8,a 2=300sin30°=150,b 1=-200cos45°=-141.4,b 2=200sin45°=141.4, 所以f 1=(259.8,150),f 2=(-141.4,141.4),f =f 1+f 2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4), |f |=22)4.291()4.118(+=314.5. 设f 与x 轴的正向夹角为θ，则t a nθ=4.1184.291=2.4611. 由f 的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5 N,与x 轴的正方向的夹角为67°53′，与y 轴的夹角为22°7′. 变式提升3如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如图，物体受三个力：重力w （方向竖直向下，大小为mgN ）,斜面对物体的支持力p (方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f (沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0（*）记垂直于斜面斜向下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.由（*），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).类题演练4求证：直径上的圆周角是直角.解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.求证：∠ABC=90°.证明：设AO=a, OB=b.则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.由于AB·BC=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥BC.由此得∠ABC=90°.即直径上的圆周角为直角.变式提升4已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.解析：设M（x0,y0）,N(x,y).由=2AN，得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).所以⎩⎨⎧+-=+-=.32,3200y y x x代入方程(x-3)2+(y-3)2=4，整理得x 2+y 2=1.所以所求的轨迹方程为x 2+y 2=1.。

高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第11课时 2.5向量的应用

第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁; ③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2、.已知:BC OA ⊥,AC OB ⊥，求证:AB OC ⊥
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：。

苏教版数学高一-必修4导学案 2.5向量的应用学生版

课题：§2.5向量的应用总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】1．掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通；2．能应用向量的有关性质解决诸如平面几何的问题．【重点难点】学习重点：向量的性质及相关知识的综合应用；学习难点：用向量方法解决简单的几何问题，力学问题的过程．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：1．两个平面向量垂直的条件；2．两个平面向量共线的坐标表示；3．a 与b 夹解为锐角等价于_________________；a 与b 夹解为钝角等价于_________________.二、知识建构与应用： ||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅1212x x y y =+．三、例题例1 如图所示，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得O B ⊥OC ，试分析OA ，OB ，OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳子受力最大．cbaOC BA例2 已知OA BC OB AC OC AB ⊥⊥⊥，，求证：．思考：你能否画一个几何图形来解释这个结论呢？例3 (1)已知在△ABC 中，⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的心.(2)若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的心.(3)A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[AP λλ=∈∞AB AC （+），0，+）|AB ||AC |，则P 的轨迹一定通过△ABC 的心.例4 某人在静水中游泳的的速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．四、巩固练习1．)1,3(),2,1(==b a 已知向量，则下列向量的坐标：（1）b a 32+= ；（2）b a 21-= ．2．在四边形ABCD 中，0=+CD AB ，0=•BD AC ，试证明四边形ABCD 是菱形.3．用向量方法证明：在ABC ∆中,A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+= .4．已知OAB ∆的两个顶点为原点O 和),2,5(A 且 90=∠A AO AB =．求：(1)B 点的坐标；（2）的坐标．5．已知向量OA ，OB ，OC 满足条件OA ＋OB ＋OC ＝0，且｜OA ｜＝｜OB ｜＝｜｜＝１，求证：△ＡＢＣ是正三角形．。

苏教版必修四第二章平面向量第五讲向量的应用(学案含答案)

苏教版必修四第二章平面向量第五讲向量的应用（学案含答案）高中数学向量的应用知识点课标要求题型说明向量的应用1. 会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题；2. 会用向量方法解决某些简单的几何问题。

填空通过本节的学习，学习研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想。

重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题。

难点：用向量方法解决实际问题的基本方法。

一、向量在物理学中的应用向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量，如力、速度等都是向量。

用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个模型的研究解释相关的物理现象。

【要点诠释】1.用向量的知识可以解决许多力学问题，如（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2. 向量在解析几何中的应用解析几何就是用坐标的方法研究图形，而向量也引入了坐标运算，因此可以用向量的坐标运算解决解析几何中的证明与计算等问题。

【核心突破】解析几何中的点共线，线线平行、垂直、夹角、距离都有各自的方法及公式，而这些问题在向量中也有相应的公式，而且有许多比解析几何中的公式更加简单，更具有一般性。

例如用解析几何中直线斜率公式求夹角或证垂直时，必须对直线斜率有无进行讨论，而用向量的方法就可以不讨论了。

但应该注意，解析几何中的公式及向量中的公式都有各自的特点，同一个问题选用不同的方法，其运算的复杂程度往往有很大差别，因此要注意选用这两种不同的方法。

例题1 （向量在物理中的应用）如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：（1）|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围。

思路分析：由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G 的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》9

平面向量复习与小结灌云县陡沟中学顾继勇教学目标：1．进一步了解平面向量的根本定理及其几何意义，掌握平面向量的分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解向量共线的坐标表示；2．进一步理解平面向量数量积的概念及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示，并会简单应用；3．进一步掌握将物理问题、实际问题转化为数学问题．教学重点：1．向量共线定理的应用；2．向量根本定理的应用；3．向量的数量积及其坐标表示的应用．教学难点：1．如何将结论和条件建立联系，如何利用图形将未知向量关系转化为向量关系；2．如何利用向量知识解决物理问题及平面几何问题．教学方法：启发教学，谈话式教学相结合．教学过程：2．知识梳理：〔1〕向量是指既有、又有的量，向量的模是指向量的；零向量是指的向量，方向；单位向量是指的向量；〔2〕向量共线定理：；〔3〕平面向量的根本定理：．〔4〕假设A1，1 ，B2，2，那么= ，||= ．〔5〕向量与的夹角为，那么= ．二、学生活动1．命题：①假设≠，且·=·，那么=；②假设=，那么3＜4；③··=··, 对任意向量，，都成立；④2·2=·2；其中正确命题的个数为____ ；2．设，，，用，作基底可将表示，那么实数= ，q= ；3．=〔1，1〕，=〔0，－2〕当= 时, 与共线；4．假设，，且，那么向量与的夹角为．三、数学应用例1 ∣a∣=2，︳b ︳=2，且 a●b=-1﹙1﹚求 a与 b的夹角﹙2﹚求﹙ a-2b﹚●b﹙3﹚当为何值时，向量 ab与向量a-3b 互相垂直例2 〔1〕在ΔABC中，设，，假设，，试以向量、为基底表示向量．〔2〕O为△ABC所在平面内的一点，且满足，试判断△ABC的形状．例3 〔1B〔2〕向量＝1，2，＝–2，–4，||=，假设＋·=，求向量与的夹角．例4 〔1〕设向量、不共线， = 2＋，=＋，=–2，且A、B、D三点共线，求实数的值．〔2〕=2– 3，= 23，其中，不共线，向量=2– 9，问是否存在这样的实数，，使与共线．四、小结1．向量共线的两种处理方法：共线定理和坐标关系；2 向量的两种表现形态：几何表示与坐标表示．要善于转化，向量是处理角的问题重要工具．。

高中数学《2.5 向量的应用》课件苏教版必修4

课堂讲练互动
自学导引
1．向量在几何中的应用
(1)证明平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向
量垂直的等价条件：非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0
⇔ x1x2＋y1y2＝0
课堂讲练互动
规律方法向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把抽象物理问题转化为数学问题．
课堂讲练互动
【变式 1】如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为 F1，求
(1)|F1|、|F2|随角 θ 的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，θ 角的取值范围．
.
课堂讲练互动
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式
cos θ＝ a·b |a||b|
＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22
.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝ a2 .
课堂讲练互动
பைடு நூலகம்
2.向量在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移的合成与分解．物理中常见的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的加法． (2)功的数学意义．功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积．试一试：试用向量法证明三角形的中位线定理．提示已知：在△ABC 中，DE 是中位线，如图，求证：DE 綉12BC.
|G| cos θ
，
|F2|＝
|G|tan θ，θ∈0，π2. 由此可知，当 θ 从 0 逐渐增大趋向于2π时，

苏教版数学高一苏教版必修4例题与探究2.5向量的应用

典题精讲例1 ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AE.思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出AF,AE的坐标,进而证明AF=AE.证明：如图2-5-1,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则图2-5-1=(x,y-1),AC=(1,-1).∵AC∥BE,∴x·（-1）-1·（y-1）=0.∴x+y-1=0.又∵||=||,∴x2+y2-2=0.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-+=-+,231,2311222yxyxyxx2+y2-2=0即E(231,231--+).设F(m,1)，由=(m,1)和=(231,231-+)共线,得231-m-231+=0.解得m=-2-3.∴F(-2-3,1),AF=(-1-3,0),AE=(231,231--+),∴|AE|=22)231()233(--++=1+3=|AF|,∴AF=AE.绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.变式训练已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求DF.思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出DF .解：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),AC =(4-7,3-8)=(-3,-5). 又∵D 是BC 的中点,∴AD =21(AB +AC )=(-3.5,-4).又M 、N 分别是AB 、AC 的中点,∴F 为AD 的中点.∴DF =-21AD =(1.75,2).例2 一条河的两岸平行，河的宽度为d=500 m ，如图2-5-2所示，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船的航行速度为|v 1|=10 km/h ，水流速度为|v 2|=4 km/h.图2-5-2(1)试求v 1与v 2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,v 1与v 2的夹角应为多少?思路分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.解:(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以 |v |=2221v v -=16100-≈9.2 km/h, v 1与v 的夹角α满足sinα=||||1v v =0.92,又α为钝角，故v 1与v 2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=2.95.0||=v d ×60≈3.3 min. (2)设v 1与v 2的夹角为θ(如图2-5-3)，图2-5-3v 1与v 2在竖直方向上的分速度的和为|v 1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5 km ，从而所用的时间为t=θsin 105.0，显然，当θ=90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t=105.0=0.05 h=3 min.绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫,将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练如图2-5-4，一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-4解：设OA 、OB 分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作OACB ，则OC 就是合力.据题意，△OAC 为等腰三角形且∠COA=30°，过A 作AD ⊥OC 垂足为D ，则在Rt △OAD 中｜OD ｜=｜OA ｜·cos30°=60×23=330,故｜OC ｜=2｜OD ｜=360.所以合力的大小为360 N ，方向与水平方向成30°角.例3 (2006四川高考卷，理7) 如图2-5-5，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（）图2-5-5A.3121P P P P •；B.4121P P P P •；C.5121P P P P •；D.6121P P P P •. 思路解析：设边长|P 1P 2|=a ，则∠P 2P 1P 3=6π. |P 1P 3|=3a,3121P P P P •=a·3a·23232a =， ∠P 2P 1P 4=3π，|P 1P 4|=2a ，4121P P P P •=a·2a·21=a 2，5121P P P P •=0，6121P P P P •<0，∴数量积中最大的是3121P P P P •. 答案：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角如误认为∠P2P1P3=3π，或数量积公式用错而出现错误.变式训练如图2-5-6,设四边形ABCD是⊙O的内接正方形,P是⊙O上的任一点,求证：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2与P点的位置无关.图2-5-6思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出||2+||2+||2+||2为定值.解：设圆的半径为r.∵=-,=-,=-,=-,则||2=(-)2=2-2·+2=2r2-2·，||2=2r2-2OB·OP，|PC|2=2r2-2OC·OP，||2=2r2-2·，∴||2+||2+||2+||2=8r2-2（+++）·=8r2-2·0·=8r2(定值).∴||2+||2+|PC|2+||2与P点的位置无关.问题探究问题1 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析, 建立数学模型：|F1|=2cos2||θG,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.探究：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-5-7(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F 1|=2||G ；当θ=32π时,|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（32π，π）时,|F 1|>|G |.此时,悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.图2-5-7问题2 已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC 内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？导思：像这个具体问题要采用其他的办法可能是比较困难的.这样的问题在考虑利用向量的知识来求解时，需要注意考虑如何恰当地将相关向量转化为密切相关的一些向量间的关系，从而将问题解决.探究：本题是一个应用问题，首先应考虑将题目翻译为数学问题：在△ABC 内求一点P ，使得AP 2+BP 2+CP 2最小.设=a ,=b ,=t ，则=-=t -a ，=-=t -b ，2+2+2=t 2+(t -a )2+(t -b )2=3t 2-2t ·（a +b ）+a 2+b 2=3（t -3b a +）2+32（a 2+b 2）-32a ·b , 所以,当=t =3ba +，即 P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2最小.。

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