高三数学课件 (第32讲实数与向量的积)
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实数与向量的积3(PPT)5-4
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
离大于左右两侧之间的距离，如鲫鱼的身体。 【侧耳】’动侧转头，使一边的耳朵向前边歪斜，形容认真倾听：他探身窗外，～细听。 【侧击】ī动从侧面 攻击。 【侧记】名关于某些活动的侧面的记述（多用于报道文章的标题）：《全市中学生运动会～》。 【侧近】名附近：找～的人打听一下。 【侧门】名 旁门。 【侧面】名旁边；勤茶网-专业婚姻情感咨询服务：/ ；的一面（区别于“正面”）：从～打击敌人｜小门在房子 的～◇从～了解｜注意正面的材料，也要注意～和反面的材料。 【侧目】〈书〉动不敢从正面看，斜着眼睛看，形容畏惧而又愤恨：～而视｜世人为之～。 【侧身】∥动（向旁边）歪斜身子：请侧一侧身｜他一～躲到树后。 【侧身】同“厕身”。 【侧室】名①房屋两侧的房间。②旧时指偏房；妾。 【侧线】名 鱼类身体两侧各有一条由许多小点组成的线，叫做侧线。每一小点内有一个小管，管内有感觉细胞，能感觉水流的方向和压力。 【侧翼】名作战时部队的两 翼。 【侧影】名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说，可以看到当时学生运动的一个～。 【侧泳】名游泳的一种姿势，身体侧卧水面， 两腿夹水，两手交替划水。 【侧枝】ī名由主枝周围长出的分枝。 【侧重】动着重某一方面；偏重：～农业｜这几项工作应有所～。 【侧足】〈书〉动两脚 斜着站，不敢移动，形容非常恐惧：～而立。 【侧足】同“厕足”。 【测】（測）①动测量：～绘｜目～｜深不可～｜～一～水的温度。②推测；推想：变 化莫～。 【测报】动测量并报告：～虫情｜气象～。 【测查】动测试检查：心理～。 【测定】动经测量后确定：～方向｜～气温。 【测度】动推测；揣度： 她的想法难以～｜根据风向～，今天不会下雨。 【测估】动测算估计：～产品的市场占有率。 【测候】〈书〉动观测（天文、气象）。 【测绘】动测量和 绘图：～地图。 【测控】动观测并控制：卫星～中心。 【测量】动用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等的有关数值：～水温｜～空气的清洁度。 【测评】动①检测评定：对职工进行技术～。②推测并评论：股市～。 【测试】动①考查人的知识、技能：专业～｜经～合格方可录用。②对机械、仪器和 电器等的型能和精度进行测量：每台电视机出厂前都要进行严格～。 【测算】动测量计算；推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，这项工程年内可以完
A B
3 AC
D
∴ AC与 QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
离大于左右两侧之间的距离，如鲫鱼的身体。 【侧耳】’动侧转头，使一边的耳朵向前边歪斜，形容认真倾听：他探身窗外，～细听。 【侧击】ī动从侧面 攻击。 【侧记】名关于某些活动的侧面的记述（多用于报道文章的标题）：《全市中学生运动会～》。 【侧近】名附近：找～的人打听一下。 【侧门】名 旁门。 【侧面】名旁边；勤茶网-专业婚姻情感咨询服务：/ ；的一面（区别于“正面”）：从～打击敌人｜小门在房子 的～◇从～了解｜注意正面的材料，也要注意～和反面的材料。 【侧目】〈书〉动不敢从正面看，斜着眼睛看，形容畏惧而又愤恨：～而视｜世人为之～。 【侧身】∥动（向旁边）歪斜身子：请侧一侧身｜他一～躲到树后。 【侧身】同“厕身”。 【侧室】名①房屋两侧的房间。②旧时指偏房；妾。 【侧线】名 鱼类身体两侧各有一条由许多小点组成的线，叫做侧线。每一小点内有一个小管，管内有感觉细胞，能感觉水流的方向和压力。 【侧翼】名作战时部队的两 翼。 【侧影】名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说，可以看到当时学生运动的一个～。 【侧泳】名游泳的一种姿势，身体侧卧水面， 两腿夹水，两手交替划水。 【侧枝】ī名由主枝周围长出的分枝。 【侧重】动着重某一方面；偏重：～农业｜这几项工作应有所～。 【侧足】〈书〉动两脚 斜着站，不敢移动，形容非常恐惧：～而立。 【侧足】同“厕足”。 【测】（測）①动测量：～绘｜目～｜深不可～｜～一～水的温度。②推测；推想：变 化莫～。 【测报】动测量并报告：～虫情｜气象～。 【测查】动测试检查：心理～。 【测定】动经测量后确定：～方向｜～气温。 【测度】动推测；揣度： 她的想法难以～｜根据风向～，今天不会下雨。 【测估】动测算估计：～产品的市场占有率。 【测候】〈书〉动观测（天文、气象）。 【测绘】动测量和 绘图：～地图。 【测控】动观测并控制：卫星～中心。 【测量】动用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等的有关数值：～水温｜～空气的清洁度。 【测评】动①检测评定：对职工进行技术～。②推测并评论：股市～。 【测试】动①考查人的知识、技能：专业～｜经～合格方可录用。②对机械、仪器和 电器等的型能和精度进行测量：每台电视机出厂前都要进行严格～。 【测算】动测量计算；推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，这项工程年内可以完
实数与向量积及几何意义 PPT课件 图文
M u u u B r1 2 u D u u B r1a 2 -b 1a 2 1b2
22
22
M uuuC ur1u A uC ur1a1b 2 22
M u u u D u r M u u u B r 1u B u D u r 1a 1b 2 22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
OA
B
C
N
M
QP
u u u r u u u r u u u r u u C a a a 记: aaa3a
即:
uuur r OC3a.
同理可得:
u u u r r r r r P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
任意实数，则有：
(1)(a) ()a (2)()aaa (3)(ab) ab
例题解析
例1：计算题
(1)(3)4a
r 12a
(2) 3(ab)2(ab)a
r 5b
(3) (2a3bc)(3ar2brcr)
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.u u 如u r 图,已知u 任u u r 意两个非零u u u 向r 量 a, b, 试作 O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
实数与向量的积3(PPT)5-3
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、
实数与向量的积PPT教学课件
(2)若O为 ABCD的对角线交点，AB 4e1 ，BC 6e2 ， 则 3e2 2e1 等于（ B ）
A．AO B．BO C． CO D． DO
06《世界分区 －东亚和日本》
一、东亚概况
1、位置和范围
东亚在亚洲的东部、太平洋的西侧,包括 中国、朝鲜、韩国、蒙古和日本等国家 ( 见下图)。其中朝鲜、蒙古同我国接壤, 日本、韩国与我国隔海相望。
• ①森林多，山区是我国森林资源主要分布地区: 最大 林区是东北原始林区包括大小兴安岭和长白山,第二 大林区是西南原始林区包括喜马拉雅山南坡和雅鲁藏 布江大拐变处以及横断山区,第三是东南丘陵人工次 生林区包括台闽赣等;
• ②丘陵可发展林果，丘陵多己开辟为梯田、果园、或 栽培经济林木;
• ③名山成旅游资源，少数挺拔峻峭的山峰成为名山和
• (2)东亚的气候显著成因
• 东亚是世界上季风气候最显著的地区之一。冬季盛 行偏北风,风由寒冷的西伯利亚和蒙古高原吹向太 平洋,风力强劲( 图),受其影响,大部分地区气候寒 冷干燥。夏季盛行偏南风,风从太平洋、印度洋带 来丰沛的水汽( 图)。降水由沿海向内陆减少。
亚洲亚洲东部一月的气压和风向
亚洲东部七月的气压和风向
• 朝鲜、日本最早都曾使用汉字,至今日本文字中仍 保留不少汉字。朝鲜的音乐、舞蹈在隋唐时已传 入中国。
二、日本
• 1、日本的地理位置:
• 中国一衣带水的近邻
日本位于亚洲的东部，东
濒太平洋，西面濒临日本
海，隔海与中国、朝鲜、
韩国和俄罗斯相望。
• 2、日本的领土组成和
太 平
概况
洋
• 日本领土是由北海道、本
• 4、居民
• 1 人口超一亿
• 2 单一民族——大和民族 • 3 兼有东西方文化特点
A．AO B．BO C． CO D． DO
06《世界分区 －东亚和日本》
一、东亚概况
1、位置和范围
东亚在亚洲的东部、太平洋的西侧,包括 中国、朝鲜、韩国、蒙古和日本等国家 ( 见下图)。其中朝鲜、蒙古同我国接壤, 日本、韩国与我国隔海相望。
• ①森林多，山区是我国森林资源主要分布地区: 最大 林区是东北原始林区包括大小兴安岭和长白山,第二 大林区是西南原始林区包括喜马拉雅山南坡和雅鲁藏 布江大拐变处以及横断山区,第三是东南丘陵人工次 生林区包括台闽赣等;
• ②丘陵可发展林果，丘陵多己开辟为梯田、果园、或 栽培经济林木;
• ③名山成旅游资源，少数挺拔峻峭的山峰成为名山和
• (2)东亚的气候显著成因
• 东亚是世界上季风气候最显著的地区之一。冬季盛 行偏北风,风由寒冷的西伯利亚和蒙古高原吹向太 平洋,风力强劲( 图),受其影响,大部分地区气候寒 冷干燥。夏季盛行偏南风,风从太平洋、印度洋带 来丰沛的水汽( 图)。降水由沿海向内陆减少。
亚洲亚洲东部一月的气压和风向
亚洲东部七月的气压和风向
• 朝鲜、日本最早都曾使用汉字,至今日本文字中仍 保留不少汉字。朝鲜的音乐、舞蹈在隋唐时已传 入中国。
二、日本
• 1、日本的地理位置:
• 中国一衣带水的近邻
日本位于亚洲的东部，东
濒太平洋，西面濒临日本
海，隔海与中国、朝鲜、
韩国和俄罗斯相望。
• 2、日本的领土组成和
太 平
概况
洋
• 日本领土是由北海道、本
• 4、居民
• 1 人口超一亿
• 2 单一民族——大和民族 • 3 兼有东西方文化特点
实数与矢量的积 说课 课件
设计意图 引导学生进 行课堂小结， 并对学法给 予指导
小结
教学环节
教学程序
设计意图 巩固所学知识，强 化基本技能的培训， 培养学生良好的学 习品质。
课本P110 2、3、4、5
布置作业 板书设计
五．单元课结评价：
本节课的设计最大的特色在于向量共线定理 的应用过程中例题的安排，按照一定的梯度，从 直接应用到间接应用，符合学生的认知规律，特 别是体现了向量知识在解决几何问题的便捷性， 也符合高考考纲中要求学生熟练掌握以向量为工 具解决问题的能力，其次本节课对教学疑点有作 进一步的阐明，不仅发现问题也解决了问题，达 到很好的教学效果。
一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量， 记作 a 它的长度与方向规定如下： 1、| a |=| || a | a 方向与a 的方向相同， 2、当 ＞0时， a方向与 a 的方向相反， 当 ＜0时， a = 0 当 =0时 ，
教学环节
教学程序
设计意图
运算律
实数与向量的积也可称 为数乘向量，它与向量 运算律的给出采用开 的加法、减法以及它们 门见山的方式，但可 的混合运算称为向量的 说明证明这些运算律 线性运算。 成立的关键，是证明 根据实数与向量的定义， 等式两边的向量的模 可以得出下面的运算律： 相等，且方向相同。 1、 ( a) ( )a
教学环节
教学程序
设计意图 由数与数的积的概 念推广到实数与向 量的积，这不仅符 合从已知到未知的 探索规律，也对后 面启发学生发现向 量的线性运算与代 数运算中实数乘法 的运算律的相似性 作了一个铺垫。
在代数运算中， a+a+a=3a，故实数乘法 可以看成是相同实数加法 引入课题 的简便计算方法，所以相 同向量的求和运算也有类 似的简便计算，由此引入 本节的课题“实数与向量 的积”
高一数学最新课件-实数和向量的积人教版 精品
=(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和 方向规定如下： （1） a = a
a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， （2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 = 0 或 a = 0 时， a = 0 运算律： 结合律 a = a
5.3 实数与向量：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、
质量都是数量． 已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a) a -a -a -a a a a
O A B C OC = OA+ AB + BC =a+a+a 记作3a 3a与a方向相同 |3a|=3|a| N M Q P PN = PQ + QM + MN
第一分配律 第二分配律
+ a = a + a a + b = a + b
例1．计算：
（1） 3 4a （2） 3a + b 2a b a （3）2a + 3b c 3a 2b + c -12a 5b -a+5b-2c
= 3 AC
∴ AC与 AE 共线．
练习：
e2 是两个不共线向量，已 AB = 2e1 + Re 2 ， (1)设 e1 、
CB = e1 + 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值． R=6
(2)若O为
BC = 6e2 ， ABCD的对角线交点，AB = 4e1 ，
实数与向量的乘积
实数与向量的乘积可以改变向量 的大小和方向，从而实现向量的 缩放、旋转等操作。
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
实数与向量的积PPT优选课件
2020/10/18
1
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复 习 向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解 定理讲解 课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 例题讲解 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解 课堂练习 小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
6
复 习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
1
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复 习 向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解 定理讲解 课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 例题讲解 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解 课堂练习 小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
6
复 习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
实数与向量的积课件课件.ppt
2 5
e2
，b
e1
1 10
e2
解：因为 a = 4 b ，所以 a 、 b 共线。
例3 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
解： AE AD DE
E
3AB 3BC
C
3(AB BC) A
3AC
B
AC与AE共线.
D
三点共线： AB BC A、B、C三点共线
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；
特别地，当 0或a 0 时，a 0 .
5.3 实数与向量的积
例1： 如图，点A、B、C在一条直线上，且
AC 3，则 CB 2
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b ；
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c .
练习：
1、计算 4(a b) 3(a b) b
2、若 3m 2n a且 m 3n b，其中a、b
是已知向量，求m ， n ？
5.3 实数与向量的积
下面请大家看教材P115例1~~例2之间的内容回答下 列问题；
(1) 教材中向量共线定理是怎样表述的
.
(2) 教材所给出的定理是一个充要条件形式，问
其中条件是
，结论是
；
(3) 教材中有无对此定理的证明叙述，若有，请 说出哪些是证明充分性的，哪些是证明必要性的？
实数与向量的积
（一）1.知识回顾
1、判断下列命题真假.
（1）0 与任一向量平行.（真 ）
实数与向量的积PPT教学课件
可设 e1 4e2 (ke1 e2 ) 即: (1 k)e1 (4 )e2
又因为 e1, e2 不共线
所以 所以
1 k 0 4 0
4 k
1
4
点，4 点、N是如B图D，上在的平一行点四，uB边uNur形A1BuBCuDuDr 中，，求M证是MA、BN的、中C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
17
二 化学平衡
1、化学平衡状态的定义： 一定条件下，可逆反应里，正反应速率和逆反应速 率相等，反应混合物中各组分的浓度保持不变的状态
v
此时的反应速率是指瞬时速率。
V正
v V正 =逆来自v逆018
t
2. 平衡的条件、前提、本质、特点
逆 ——可逆反应（或可逆过程）
等 ——V正 =V逆（不同的平衡对应不同的速率） 动 ——平衡时正逆反应均未停止，只是速率相等 定 ——平衡时，各组分含量保持恒定 变 ——条件改变，平衡移动
(3) 以上四种因素对可逆反应中的正、逆反应速度都会产生影响。 16
巩固练习：
1. （1）写出 Na2S2O3 溶液和 H2SO4 溶液反应的离子方程式：
S2O32 - + 2H + → S ↓ + SO2 ↑ + H2O
（2 ）下列各组实验中溶液变浑浊的先后顺序是：______D___C_ A B A. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水5ml，反应温度为10OC B. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为10OC C. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为30OC D. 0.2mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为30OC
又因为 e1, e2 不共线
所以 所以
1 k 0 4 0
4 k
1
4
点，4 点、N是如B图D，上在的平一行点四，uB边uNur形A1BuBCuDuDr 中，，求M证是MA、BN的、中C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
17
二 化学平衡
1、化学平衡状态的定义： 一定条件下，可逆反应里，正反应速率和逆反应速 率相等，反应混合物中各组分的浓度保持不变的状态
v
此时的反应速率是指瞬时速率。
V正
v V正 =逆来自v逆018
t
2. 平衡的条件、前提、本质、特点
逆 ——可逆反应（或可逆过程）
等 ——V正 =V逆（不同的平衡对应不同的速率） 动 ——平衡时正逆反应均未停止，只是速率相等 定 ——平衡时，各组分含量保持恒定 变 ——条件改变，平衡移动
(3) 以上四种因素对可逆反应中的正、逆反应速度都会产生影响。 16
巩固练习：
1. （1）写出 Na2S2O3 溶液和 H2SO4 溶液反应的离子方程式：
S2O32 - + 2H + → S ↓ + SO2 ↑ + H2O
（2 ）下列各组实验中溶液变浑浊的先后顺序是：______D___C_ A B A. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水5ml，反应温度为10OC B. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为10OC C. 0.1mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为30OC D. 0.2mol/L Na2SO3 和 H2SO4 各 5ml，加水10ml，反应温度为30OC
数学：《实数与向量的积》专题教学指导课件
第三页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
例1．计算：
（1） 3 4a （2）3a b 2a b a （3）2a 3b c 3a 2b c
-12a
5b
-a+5b-2c
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
第四页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0时，
a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0时， a 0
运算律：
结合律 a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
-a -a -a
OA B C OC OA OB OC =a+a+a 记作3a
3a与a方向相同
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
第二页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
5.3 实数与向量的积
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
第五页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值． R=6 (2)若O为 ABCD的对角线交点，AB 4e1，BC 6e2， 则 3e2 2e1 等于（ B ）
实数与向量的积3(PPT)4-2
年科学家发现，使用氢燃料会使大气层中的氢增加约4～倍。认为可能会让同温层的上端更冷、云层更多，还会加剧臭氧洞的扩大。但是一些因素也可抵销这 种影响，如使用氯氟甲烷的减少、土壤的吸收、以及燃料电池的新技术的开发等。 在常温下，氢比较不活泼，但可用合适的催化剂使之活化。在高温下，氢
是高度活泼的。除稀有气体元素外，几乎所有的元素都能与氢生成化合物。非金属元素的氢化物通常称为某化氢，如卤化氢、硫化氢等；金属元素的氢化物 称为金属氢化物，如氢化锂、氢化钙等。 氢是重要的工业原料，又是未来的能源，也是最清洁的燃料。 氢的同位素氘和氚可应用于核聚变，提供能量，因为
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 A=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
研究显示，储氢分子熔点可低至-℃，能在℃左右实现高效催化加氢，并在常温常压下进行储存和运输；催化脱氢温度低于℃，脱氢过程产生氢的纯度可高 达 . %，并且不产生CO、NH等其他气体；储氢材料循环寿命高、可逆性强（高于次）；质量储氢容量>.wt%，体积容量>kg(H) ·m-。程寒松告诉记者， 所用催化剂无需再生即可重复使用，年内无； 少儿书法加盟 少儿书法加盟 ；需更新。 [] 作用用途编辑 氢是重要工业原料，如生产合 成氨和甲醇，也用来提炼石油，氢化有机物质作为收缩气体，用在氧氢焰熔接器和火箭燃料中。在高温下用氢将金属氧化物还原以制取金属较之其他方法， 产品的性质更易控制，同时金属的纯度也高。广泛用于钨、钼、钴、铁等金属粉末和锗、硅的生产。由于氢气很轻，人们利用它来制作氢气球——氢气球。） 氢气与氧气化合时，放出大量的热，被利用来进行切割金属。 [] 利用氢的同位素氘和氚的原子核聚变时产生的能量能生产杀伤和破坏性极强的氢弹，其威力 比原子弹大得多。 清洁能源，用于汽车等的燃料。为此，美国于年还提出了“国家氢动力计划”。但是由于技术还不成熟，还没有进行大批的工业化应用。
是高度活泼的。除稀有气体元素外，几乎所有的元素都能与氢生成化合物。非金属元素的氢化物通常称为某化氢，如卤化氢、硫化氢等；金属元素的氢化物 称为金属氢化物，如氢化锂、氢化钙等。 氢是重要的工业原料，又是未来的能源，也是最清洁的燃料。 氢的同位素氘和氚可应用于核聚变，提供能量，因为
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 A=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
研究显示，储氢分子熔点可低至-℃，能在℃左右实现高效催化加氢，并在常温常压下进行储存和运输；催化脱氢温度低于℃，脱氢过程产生氢的纯度可高 达 . %，并且不产生CO、NH等其他气体；储氢材料循环寿命高、可逆性强（高于次）；质量储氢容量>.wt%，体积容量>kg(H) ·m-。程寒松告诉记者， 所用催化剂无需再生即可重复使用，年内无； 少儿书法加盟 少儿书法加盟 ；需更新。 [] 作用用途编辑 氢是重要工业原料，如生产合 成氨和甲醇，也用来提炼石油，氢化有机物质作为收缩气体，用在氧氢焰熔接器和火箭燃料中。在高温下用氢将金属氧化物还原以制取金属较之其他方法， 产品的性质更易控制，同时金属的纯度也高。广泛用于钨、钼、钴、铁等金属粉末和锗、硅的生产。由于氢气很轻，人们利用它来制作氢气球——氢气球。） 氢气与氧气化合时，放出大量的热，被利用来进行切割金属。 [] 利用氢的同位素氘和氚的原子核聚变时产生的能量能生产杀伤和破坏性极强的氢弹，其威力 比原子弹大得多。 清洁能源，用于汽车等的燃料。为此，美国于年还提出了“国家氢动力计划”。但是由于技术还不成熟，还没有进行大批的工业化应用。
实数与向量的积3(PPT)3-3
5.3 实数与向量的积
问题： 在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、
质量都是数量．
已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a
aaa
-a -a -a
OA B C OC OA OB OC =a+a+a 记作3a
晚收品质也很好。须根少，表面非常光滑。 [] 日本杂交胡萝卜 根形好，直筒形，收尾好，春季不易抽薹，耐裂根，田间保 红森和日本杂交胡萝卜 红森和日 本杂交胡萝卜(张) 持力好；根色浓，红心，表皮光滑，品质非常优秀；播种后天可采收，根长8～cm，肩宽cm，单果重g左右；株型直立，长势强，耐寒性 强，高抗黑枯病；适应性强，可春夏秋播种。 [] 植株长势强，生育前期适度控制水肥，密植易造成徒长，根部肥大期应注意生长管理；生育期中等，待根部
3a与a方向相同
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
宜在～℃条件下生长，幼苗可耐℃以上的高温；直根膨大期的适宜温度是～8℃。胡萝卜对光照有较高的要求，特别在肉质根肥大期间，一定要保证其充足的 光照，否则就会降低产量、影响质量。种植期间要保证土壤湿润，特别是发芽期更是不能缺水，植株形成期若土壤过干，会造成肉质根细小、粗糙，外形不 正，质地粗硬。胡萝卜适宜生长；十四五规划 产业园区规划 / 十四五规划 产业园区规划 ； 在土层深厚肥沃、排水良好的壤土 或沙壤土中。为让根部有充裕的生长空间，栽培容器至少要cm宽，高度至少要～cm。 [] 分布范围 胡萝卜是全球性十大蔬菜作物之一，适应性强，易栽培， 种植十分普遍。胡萝卜在亚洲、欧洲和美洲地区分布最多。根据联合国粮食与农业组织（FAO）统计，年全世界胡萝卜的栽培总面积为.万公顷，其中亚洲为. 万公顷，欧洲为8.万公顷，北美洲为.万公顷，南美洲为.万公顷，非洲为.万公顷，大洋洲为.万公顷。近几年，除了亚洲栽培面积増幅较快之外，其他洲变化 较小。年中国胡萝卜栽培面积达到.万公顷，约占全世界栽培面积的.%，已成为世界第一胡萝卜生产国。 [] 主要品种 根据肉质根的形状特征，一般可分为以 下三种类型： ⑴短圆锥类型。一般根长～cm，最短的根近圆形，长仅～cm。早熟、耐热、产量低，春季栽培抽薹迟。如烟台三寸胡萝卜，外皮及内部均为 橘红色，单根重～g，肉厚、心柱细、质嫩、味甜，宜生食。 [] ⑵长圆柱类型。晚熟，根细长，肩部粗大，根前端钝圆，一般根长8～cm。如南京、的长红 胡萝卜，湖北麻城棒槌胡萝卜，安徽肥东黄胡萝卜，西安齐头红，岐山透心红，凤翔透心红，广东麦村胡萝卜，日本五寸参等。 [] ⑶长圆锥类型。一般根 长～cm，多为中、晚熟品种，味甜，耐贮藏。如宝鸡新透心红，鞭杆红，济南蜡烛台，内蒙古黄萝卜，烟台五寸胡萝卜，汕头红胡萝卜，红芯～号等。 [] 红森 属杂交品种，芯细，根色、芯色不仅着色好，而且有甜味，口感好；根形呈长圆筒形。中熟品种，吸肥性强，耐寒性优，青肩的发生极少；即2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
问题： 在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关
系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、
质量都是数量．
已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a
aaa
-a -a -a
OA B C OC OA OB OC =a+a+a 记作3a
晚收品质也很好。须根少，表面非常光滑。 [] 日本杂交胡萝卜 根形好，直筒形，收尾好，春季不易抽薹，耐裂根，田间保 红森和日本杂交胡萝卜 红森和日 本杂交胡萝卜(张) 持力好；根色浓，红心，表皮光滑，品质非常优秀；播种后天可采收，根长8～cm，肩宽cm，单果重g左右；株型直立，长势强，耐寒性 强，高抗黑枯病；适应性强，可春夏秋播种。 [] 植株长势强，生育前期适度控制水肥，密植易造成徒长，根部肥大期应注意生长管理；生育期中等，待根部
3a与a方向相同
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
宜在～℃条件下生长，幼苗可耐℃以上的高温；直根膨大期的适宜温度是～8℃。胡萝卜对光照有较高的要求，特别在肉质根肥大期间，一定要保证其充足的 光照，否则就会降低产量、影响质量。种植期间要保证土壤湿润，特别是发芽期更是不能缺水，植株形成期若土壤过干，会造成肉质根细小、粗糙，外形不 正，质地粗硬。胡萝卜适宜生长；十四五规划 产业园区规划 / 十四五规划 产业园区规划 ； 在土层深厚肥沃、排水良好的壤土 或沙壤土中。为让根部有充裕的生长空间，栽培容器至少要cm宽，高度至少要～cm。 [] 分布范围 胡萝卜是全球性十大蔬菜作物之一，适应性强，易栽培， 种植十分普遍。胡萝卜在亚洲、欧洲和美洲地区分布最多。根据联合国粮食与农业组织（FAO）统计，年全世界胡萝卜的栽培总面积为.万公顷，其中亚洲为. 万公顷，欧洲为8.万公顷，北美洲为.万公顷，南美洲为.万公顷，非洲为.万公顷，大洋洲为.万公顷。近几年，除了亚洲栽培面积増幅较快之外，其他洲变化 较小。年中国胡萝卜栽培面积达到.万公顷，约占全世界栽培面积的.%，已成为世界第一胡萝卜生产国。 [] 主要品种 根据肉质根的形状特征，一般可分为以 下三种类型： ⑴短圆锥类型。一般根长～cm，最短的根近圆形，长仅～cm。早熟、耐热、产量低，春季栽培抽薹迟。如烟台三寸胡萝卜，外皮及内部均为 橘红色，单根重～g，肉厚、心柱细、质嫩、味甜，宜生食。 [] ⑵长圆柱类型。晚熟，根细长，肩部粗大，根前端钝圆，一般根长8～cm。如南京、的长红 胡萝卜，湖北麻城棒槌胡萝卜，安徽肥东黄胡萝卜，西安齐头红，岐山透心红，凤翔透心红，广东麦村胡萝卜，日本五寸参等。 [] ⑶长圆锥类型。一般根 长～cm，多为中、晚熟品种，味甜，耐贮藏。如宝鸡新透心红，鞭杆红，济南蜡烛台，内蒙古黄萝卜，烟台五寸胡萝卜，汕头红胡萝卜，红芯～号等。 [] 红森 属杂交品种，芯细，根色、芯色不仅着色好，而且有甜味，口感好；根形呈长圆筒形。中熟品种，吸肥性强，耐寒性优，青肩的发生极少；即2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
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课后作业 完成《圆梦丛书》P8６能力提升习题.
e e 如果 、 是同一平面内两个不共线的向量，
那么对这个1平面内2任一向量 ，有且只有一对
实数λ1,λ2，使
a
a 1e1 2 e2
典例分析 1．平面向量共线与点共线的问题
例1、圆梦丛书第8５页例1 例2、圆梦丛书第8５页例2 例3、圆梦丛书第8５页例3 例4、圆梦丛书第8５页例４
典例分析 1．平面向量基本定理的应用 例５、圆梦丛书第8６页例５
高三年级 数 学
第32讲 实数与向量的积
湖南师大附中 彭萍
知识要点 1.向量的运算:
实数与向量的积：
a 实数λ与向量 的积是一个向量，记作
它的长度和方向规定如下：
，
a
（1） | a || || a |
a (2)当λ＞0时， 的方向与 的方向相同； 当λ＜0时， 的方向与 的方向相反；
a
当λ=0时，
. a
a
a 0
知识要点
2.运算律：分配律、结合律.
3.两个向量共线的充要条件： 向量 与非零向量 共线的充要条件是有
a b 且只有一个实数λ，使得 =λ . ab
若点O不在直线AB上，则 A、B、P三点共线 的充要条件是：存在一对实数λ,μ，使
且
OP OA OB， 1
知识要点
５.平面向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本定理: