高一数学实数与向量的积PPT教学课件 (3)
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义中的第(2)条知,a与b共线。
(2)若b与a共线,a≠0, 且向量b的长度是向量a的长度
的 倍,即|b|:|a|,那么当a与b同方向时，有b a ; 当a与b反向时,有 ba
例2 如图，已知AD = 3AB,DE = 3BC,试判断 AC与 AE是否共线。
解: 因为 AE=AD+DE
=3AB+3BC
1 k 0 4 0
4 k
1
4
4 、如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中
点，点N是BD上的一点，BN 1 BD ，求证M、N、C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
N
=MB+（BD+DC）
A
M
B
=MB+（BD+AB）
=MB+（3BN+2MB）
=3MB+3BN =3（MB+BN） 又因为 MN=MB+BN
=3（AB+BC）
=3AC
C
所以 AC 与AE 共线 A
B
E D
练习
（1）在四边形ABCD中，若 AB= -1/2 CD，则 此四边形是（C）
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
（2）若M是△ABC的重心，则下列各向量中与 AC 不共线的是（ D）
A. AB+BC +CA
B. AM+MB+BC
C. AM+BM +CM
所以 MC=3MN
所以M，N，C共线
D. 3AM+AC
（3）若 e 1 , e 2 是不共线的向量, e1 4e2与 ke1 e2
共线,求实数k的值。
解：因为 e1 4e2 与 ke1 e2共线
可设 e 1 4 e 2(k e 1 e 2 )
即: (1 k)e 1 (4 )e 2
又因为 e1 , e 2 不共线
所以 所以
所以 |(a )| |()a |
如果 , 同号，则（1）式两边向量的方向都与a同向； 如果 , 异号，则（1）式两边的向量的方向都与a的方
向反向。
因此，向量 (a) 与()a 有相等的模和相同的方向，
所以这两wenku.baidu.com向量相等。
例1 计算
(1) (3)4a (2) ( 2 a 3 b c ) ( 3 a 2 b c ) (3) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 解:(1)原式 ( 3 4 ) a 1 2 a
实数与向量的积
情境设置
1.作出a + a + a和(-a)+(-a)+(-a)向量
2.观察相加后，和的长度与方向有什 么变化，这些变化与那些因素有关？
a
a
2a3a
a a a
实数与向量的积的定义
实数 与向量a的积是一个向量，记作 a ，它
的长度和方向规定如下：
（1）|a| |||a|
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0时， a 的方向与 a 的方向相反；
(2)原式 3 a 3 b 2 a 2 b a 5 b (3)原式 2 a 3 b c 3 a 2 b c
a 5 b 2 c
向量共线的充要条件
定理 向量b与非零向量a共线向量的充要条
件是有且仅有一个实数 ，使得 ba
证明: (1)若存在实数 ,使ba,则由实数与向量乘积定
特别地，当0或a=0时,a0
基本运算律
设a，b为任意向量，为任意实数则有；
（1）()a ()a
（2） (a b )a b
（3）( ) a a a
证明：
（1）如果 0 ， 0 ，a=0 中至少有一个成立， 则（1）式
显然成立
如果 0， 0 ，且a≠0，有 |( a ) | || |a | || || |a | |() a | | ||a | |||||a |
(2)若b与a共线,a≠0, 且向量b的长度是向量a的长度
的 倍,即|b|:|a|,那么当a与b同方向时，有b a ; 当a与b反向时,有 ba
例2 如图，已知AD = 3AB,DE = 3BC,试判断 AC与 AE是否共线。
解: 因为 AE=AD+DE
=3AB+3BC
1 k 0 4 0
4 k
1
4
4 、如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中
点，点N是BD上的一点，BN 1 BD ，求证M、N、C
三点共线.
3
D
C
解：因为 MC=MB+BC
N
=MB+（BD+DC）
A
M
B
=MB+（BD+AB）
=MB+（3BN+2MB）
=3MB+3BN =3（MB+BN） 又因为 MN=MB+BN
=3（AB+BC）
=3AC
C
所以 AC 与AE 共线 A
B
E D
练习
（1）在四边形ABCD中，若 AB= -1/2 CD，则 此四边形是（C）
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
（2）若M是△ABC的重心，则下列各向量中与 AC 不共线的是（ D）
A. AB+BC +CA
B. AM+MB+BC
C. AM+BM +CM
所以 MC=3MN
所以M，N，C共线
D. 3AM+AC
（3）若 e 1 , e 2 是不共线的向量, e1 4e2与 ke1 e2
共线,求实数k的值。
解：因为 e1 4e2 与 ke1 e2共线
可设 e 1 4 e 2(k e 1 e 2 )
即: (1 k)e 1 (4 )e 2
又因为 e1 , e 2 不共线
所以 所以
所以 |(a )| |()a |
如果 , 同号，则（1）式两边向量的方向都与a同向； 如果 , 异号，则（1）式两边的向量的方向都与a的方
向反向。
因此，向量 (a) 与()a 有相等的模和相同的方向，
所以这两wenku.baidu.com向量相等。
例1 计算
(1) (3)4a (2) ( 2 a 3 b c ) ( 3 a 2 b c ) (3) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 解:(1)原式 ( 3 4 ) a 1 2 a
实数与向量的积
情境设置
1.作出a + a + a和(-a)+(-a)+(-a)向量
2.观察相加后，和的长度与方向有什 么变化，这些变化与那些因素有关？
a
a
2a3a
a a a
实数与向量的积的定义
实数 与向量a的积是一个向量，记作 a ，它
的长度和方向规定如下：
（1）|a| |||a|
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0时， a 的方向与 a 的方向相反；
(2)原式 3 a 3 b 2 a 2 b a 5 b (3)原式 2 a 3 b c 3 a 2 b c
a 5 b 2 c
向量共线的充要条件
定理 向量b与非零向量a共线向量的充要条
件是有且仅有一个实数 ，使得 ba
证明: (1)若存在实数 ,使ba,则由实数与向量乘积定
特别地，当0或a=0时,a0
基本运算律
设a，b为任意向量，为任意实数则有；
（1）()a ()a
（2） (a b )a b
（3）( ) a a a
证明：
（1）如果 0 ， 0 ，a=0 中至少有一个成立， 则（1）式
显然成立
如果 0， 0 ，且a≠0，有 |( a ) | || |a | || || |a | |() a | | ||a | |||||a |