2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)

2020年中考复习专题：“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：
(1)胡不归问题；
(2)阿氏圆.
本文简单介绍“胡不归”模型
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜
V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使AC
V2+BC
V1
的值最小
【问题分析】
AC V2+BC
V1
=1
V1
(BC+V1
V2
AC)，记k=V1
V2
，即求BC+kAC的最小值
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH
AC
=k，CH＝kAC.
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.
【模型总结】
在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.
【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE
BD的最小值是
上的一个动点，则CD+√5
5
【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于
的一动点，则PB+√3
2
【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k
8
(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次
交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√3
3
x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式
(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?
【2018重庆中考】抛物线y=−√6
6x2−2√3
3
x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，
与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+1
2
EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。

(为突出问题，刚去了两个小问)
【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3
PA的最小值
5
阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆
如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆
下面给出证明
法一:首先了解两个定理
(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则AB
AC =DB
DC
证明：S△ABD
S△ACD =BD
CD
，S△ABD
S△ACD
=AB×DE
AC×DF
=AB
AC
，即AB
AC
=DB
DC
(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则
AB AC =DB
DC
证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≅△AED(SAS)，
CD=DE且AD平分∠BDE，则DB
DE =AB
AE
，即AB
AC
=DB
DC
.
接下来开始阿氏圆证明步骤:
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA
MB =PA
PB
=k，
故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA
NB =PA
PB
=k，
故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；
又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。

法二:建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA ＝kPB，即:
解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:
（1）PA
PB =MA
MB
=NA
NB
=k
应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O
(2)△OBP∽△OPA，即OB
OP =OP
OA
，变形为OP2＝OA∙OB.
应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置
(3)OP
OA =OB
OP
=PA
PB
=k
应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值
练习1:已知A 、B 求圆轨迹
已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P 是平面中一点且PA:PB=3:1，求P 点轨迹圆圆心位置
【分析】
既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论. 取M(2，0)满足MA:MB ＝3:1，取N(5，0)满足NA:NB ＝3:1， P 点轨迹即是以MN 为直径，MN 中点O 为圆心的圆.
练习2:已知圆轨迹反求点A 或B
已知在坐标系中，点A(-1，0)，P 是以点A （7
2
，0）为圆心，3
2
长为半径的圆。

平面中求一点
B 使得PA:PB=3:1，求B 点坐标.
【分析】
像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A 点，求另外一点B. 思路1:构造相似三角形。

考虑OP 2＝OA ∙OB ，将OP ＝3
2、OA ＝9
2代入可得:OB ＝1
2，故B 点坐标为(3，0)
思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置
当P 点运动到M 点位置时，有MA:MB ＝3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB ＝1， 考虑到A 、M 、B 共线且B 点在M 点右侧， 可得B 点坐标为(3，0).
补充:这里的圆O 与点A 及PA:PB 的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B 点，还好用。

那么这个玩意和最值有什么关系呢?
比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:
练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P 是以点（7
2
，0）为圆心，3
2
长为半径的圆，
Q(2，2)，求PQ+1
3PA 的最小值.
【分析】
问题中的PQ 暂时不用管，先处理好1
3PA ，考感到P 点轨是个圆，且要构造1
3PA ，大胆猜测:平面中存在一点B 使得P 在圆上任意位置，均满足：
PA PB
=13
，即有PB=1
3
PA.
其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A 点位置，求另一点B 的位置可转化1
3PA.
点B 求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了
练习3:关于系数
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆，分別交 AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1
2PA+PB 的最小值为
【分析】确定了问题关键是构造“1
2PA ＂，已知了P 点所在的，已知了A 点，即在平面中找
一点M 使得“PM ＝1
2
PA ”
思路1:构造相似三角形
点M 与A 、C 共线，且M 点必满足:CP 2＝CM ∙CA ，
代入CP 、CA ，即可得:22＝4∙CM ，得:CM=1，即可确定M 点位置，
12
PA+PB ＝PM+PB 问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可
【问题剖析】
（1）这里为什么是1
2PA?
答:因为圆C 半径为2，CA ＝4，比值是1:2，△CMP 与△CPA 的相似比为1:2所以构造的是
1
2
PA ，也只能构造1
2PA （2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少? 答:根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为2
3.
【练习1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是
问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案
【练习2】、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则PD −1
2PC 的最大值为
【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC ＝2，根据题意要求构造1
2PC ，在BC 上取M ，使
得此时PM ＝1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM ＝1
2
PC ，从而将同题转化为求PD −PM
连接PD ，对于△PDM ， PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD −PM ＝DM 为最大值
【2019山东日照第22题】
如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝−5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1
PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.
2。