2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一。
“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。
当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚去世，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？XXX不归？何以归”。
这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。
二。
“胡不归”模型建立XXX所示，已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ，“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
三。
“胡不归”模型破解策略胡不归”问题可以构造某角正弦值等于系数k（k小于1）的起点，构造所需角（k=sin∠CAE），过终点作所构角边的垂线，利用垂线段最短的原理解决。
四。
“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为2.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数。
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=4时，运动时间最短为2秒。
中考数学复习方案 提分微课(05) 利用胡不归、阿氏圆 最值问题
∵ =2, =2,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
1
1
∴△PBG∽△CBP,∴ = =2,∴PG=2PC,
1
∴PD+2PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,
∴当 D,G,P 共线,且 P 在线段 DG 上时,
1
PD+2PC 的值最小,最小值为 DG 长,
1
上的一个动点,求4AQ+EQ 的最小值.
图W5-11
解:(1)∵OB=3OA= 3OC,A( 3,0),
∴点 B,C 的坐标分别为(-3 3,0),(0,-3).
设抛物线的解析式为 y=a(x+3 3)(x- 3),
1
代入点 C 的坐标,得: -3=a·3 3×(- 3),解得:a=3.
1
1
2 3
2
动点,那么 PD+3PC 的最小值为
2
,PD-3PC 的最大值为
图W5-8
.
[答案](2) 106
106
[解析]如图③中,在 BC 上取一点 G,使得 BG=4.
6 3
9 3
4 2
6 2
2
2
2
3
3
3
∵ = = , = = ,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
7.如图 W5-9,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C 的半径为 2,点 P 是☉C 上
1
的一动点,则 AP+2PB 的最小值为
.
图W5-9
[答案] 10
[解析]记 BC 与☉C 交于点 E.取 CE 中点 D,
2020年春胡不归与阿氏圆专题学习
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
深圳中考专项练习-胡不归和阿氏圆教案
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点+解析
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点
线段最值或线段和最小值核心思想都是转化，转化为两点之间线段最短或垂线段最短，“化形为折，化折为直，化直为垂”，其中对称，旋转，平移都是常用的转化途径，最好能根据条件和问题找到与其匹配的模型，如将军饮马，胡不归，费马点等。
也可以通过瓜豆模型来思考。
1. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点E 为AB 边上的一个动点，求2
1
AE+CE 的最小值.（胡不归）
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=43,AD=4.点P 为平面内一点，且CP=AC.求DP+2BP 的最小值.（阿氏圆）
3.如图，在矩形ABCD中，AB=43,AD=
4.点P为矩形ABCD内一动点，求AP+BP+CP的最小值.（费马点）
练习：
1.如图，AP是正方形ABCD的对角线AC上一动点，AB=4,求AP+BP+DP的最小值.。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
中考数学压轴题复习-胡不归和阿氏圆模型 (无答案)
P中考模拟压轴题（2）集合 3.胡不归模型姓名学习评价1. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠BAC=30°，AD ⊥BC ，点 P 在线段 AD 上，则PA+PB+PC 的最小值为.AABDC（第 1 题图）（第 2 题图）C（第 3 题图）2. 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，tan A=2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值为 ．513. 如图，在△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=30°，点 D 为 AC 边上一动点，则最小值为．4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=6，且∠ABC=60°， 点 M 是对角线 BD 上任意一点，则2AM + BM 的最 小值为．AD + DB 的2（第 4 题图）5 DB5.如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点B，A、B 的直线距离是13 千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80 千米/小时，而在草地上的最快速度是40 千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B. (消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)6.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB=50 km，B、C 间的距离为100 km，从A 到C 必须先坐船到BC 上的某一点D，航速为25 km/h，再乘汽车到C，车速为50 km/h，由A 到C 所用的时间t 最少h.（第5 题图）（第6 题图）7.如图，AB 为半圆O 的直径，AB=4，点P 为半圆O 圆弧上的一动点，点Q 为线段AB 上一点，且∠PQA=60°，则PQ+AQ 的最大值为．（第7 题图）（第8 题图）8.如图，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O 经过点C，且⊙O 的直径AB 在线段AE 上，1设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当⊙O 的直径AB 为．CD OD 的最小值为6 时，则23 9. 如图，二次函数 y = 415 x 2- 815x - 4 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），3与 y 轴交于点 C ，其对称轴与 x 轴交于点 D ，若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，则 5的最小值为．10. 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB=4，则 AP+BP+CP 的最小值为．（第 10 题图）PC+PD11. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点 A(−1,0)，B(0, - )，C(2,0)，其对称轴与 x 轴交于点 D（1） 求二次函数的表达式及其顶点坐标；1（2） 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，求 2PB+PD 的最小值为.yx集合 4.阿氏圆模型姓名学习评价1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点 D 是△ABC 内一动点，满足 CD=2，2则AD + BD 的最小值为.3BDCA（第 1 题图）（第 2 题图）2. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC 的度数为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E ，在⊙A 上任取一点 P ，则PB+PD 的最小值为 .23. 在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则 2PD+PC 的最小值是.（第 3 题图）3PBCC P ODGPC4. 如图，在正方形 ABCD 中，G 是正方形内一点，AD=4，P 是 BC 中点，且 BG=BP ，则 DG +的最小值为.1 CG2ADADB（第 4 题图）（第 5 题图）5. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则1PD + PC 的最小值为.216. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则 PD + PC21的最小值为 ； P D - PC 的最大值为. 2DC（第 6 题图）AB（第 7 题图）APB7. 如图，点 A 、B 在⊙O 上，OA=OB=12，且 OA ⊥OB .点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且1OD=10.动点 P 在⊙O 上，则PC+ PD 的最小值为.2⌒8. 如图，已知⊙O 的半径是 1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为AB上一动点，则PC + PD2的最小值为.DA O（第 8 题图）B（第 9 题图）9. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点 B 为圆心作⊙B 于 AC 相切，P 为⊙B 上任意一点，则PA +PC 的最小值为 .210. 如图，已知扇形 COD ，∠COD=90°，OC=6， ⌒OA=3，OB=5，点 P 是CD 上任意一点，则2PA + PB 的最小值为.（第 10 题图）2 2 CP11. 如图1，抛物线y =ax2 + (a + 3)x + 3 (a≠0)与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E(m,0)(0<m<4)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M.（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若C1 =6，求m 的值；C25（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，2连接E′A、E′B，求E′A+3E′B 的最小值.。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
2023年中考数学专题《最值问题》
考向35 最值问题（“胡不归”和“阿氏圆”）【考点梳理】模型一：“胡不归”问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．2驿道2MM将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．最值解法：在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．模型二：“阿氏圆”问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA:PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
模型展示：如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC．MFED CB A证明：ABD ACD S BD S CD =V V ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ⨯==⨯V V ，即AB DB AC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．模型最值技巧：计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下：① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OBA B C DE② 计算出这两条线段的长度比OP k OB=③ 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g ④ 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值【题型探究】题型一：胡不归模型1．如图，在ABC V 中，90,60,4BAC B AB ∠=︒∠=︒=，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则PA +2PB 的最小值为 _____．3．抛物线2y ax bx =+x 轴于点()1,0A ，()3,0B -，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ，点M 为线段OC 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，且MN AC ⊥．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN ，NC 在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M ，N 移动的过程中，DM ＋12MC 是否有最小值，如果有，请写出理由．题型二; “阿氏圆”模型4．如图，正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，P 为B e PD -的最大值是______．5．如图所示，60ACB ∠=︒，半径为2的圆O 内切于ACB ∠．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于ACB ∠的两边，垂足为M 、N ，则2PM PN +的取值范围为 ___________．6．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于AB 、两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴是直线32x =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点，是否存在点P 使四边形ABPC 的面积为16，若存在，求出点P 的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B 作BF BC ⊥交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，2为半径作C e ，点Q 为C e 上的一个动FQ +的最小值．【必刷好题】一、单选题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C ．4D ．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD PD ＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋C ．D ．329．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，=60B ∠︒，2AB =，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值（ ）A ．6+B ．6C 3D ．4二、填空题10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为__________．11．如图，▱ABCD 中60A ∠=︒，6AB =，2AD =，P 为边CD 2PB +的最小值为______．12．如图，在ACE △中，CA CE =，30CAE ∠=︒，半径为5的O e 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，则12OD CD +的最小值为______．13．如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，半径为5的⊙O 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），则OD 12+CD 的最小值为 _____．14．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A ，(4,0)B ，P 是第一象限内一动点，2OP =，连接AP 、BP ，则12BP AP +的最小值是 ___________．15．如图，在O e 中，点A 、点B 在O e 上，90AOB ∠=︒，6OA =，点C 在OA 上，且2OC AC =，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则2CM DM +的最小值为 ___________．16．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．17．如图，在Rt ABC V 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的»EF 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是_____．18．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD ﹣12PC 的最大值为_____．三、解答题19．如图1，抛物线()()2330y ax a x a =+++≠与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点(),0E m （04m <<），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式：(2)设△PMN 的周长为1C ，△AEN 的周长为2C ，若1265C C =求m 的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α（090α︒<<︒），连接E A '、E B '，求23E A E B ''+的最小值．20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，PA +PC 的值最小？求此时PA +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF上一点，当AQ 取最小值时，求∠QAC 的正弦值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．参考答案：1．D【分析】过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，在t R DFC △中，1130,,22()2()22DCF DF DC AD DC AD DC AD DF ∠=︒=+=+=+当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【详解】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在t R DFC △中，30DCF ∠=︒，∴12DF DC =，∵122()2AD DC AD DC +=+＝2()AD DF +，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ︒∠=∠=，∴ABD △是等边三角形，∴4===AD BD AB ，在t R ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，∴8BC =，∴4DC =，∴12,2DF DC ==，∴426AF AD DF =+=+=，∴2()212AD DF AF +==，∴2()AD DC +的最小值为12，故选：D ．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝21 2PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝11301522BAC∠=⨯︒=︒，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12 PA，∴PA+2PB＝212PA PB⎛⎫+⎪⎝⎭＝()12PF PB+＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4=∴（PA+2PB）最大＝2BF＝故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．3．(1)2y x=(2)NC=，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在Rt AOC V中，OC ，1OA =，根据MN AC ⊥，有90MNC ∠=︒，即可得tan OA MN OCA OC NC∠==，问题得解；（3）先求出30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，即有12MN CM =，则12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即点D 到AC 的垂线段DN 的长，问题随之得解．【详解】（1）把点()1,0A ，()3,0B -代入抛物线2y ax bx =+0930a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：2y x x =+（2）NC =，理由是：如图1，令0x =，则y =(C ，∵()1,0A，(C ，∴，OC =1OA =，在Rt AOC V中，OC =1OA =，∵MN AC ⊥，∴90MNC ∠=︒，∴tan OA MN OCA OC NC ∠==，MN NC=，∴NC =；（3）在M ，N 移动的过程中，12DM MC +由（2）知：tan OA OCA OC ∠===∴30OCA ∠=︒，即60OAC ∠=︒，∴12MN CM =，∴12DM MC +的最小值是DM MN +的最小值，即D 、M 、N 三点共线时，点D 到AC 的垂线段DN 的长，如图2，抛物线解析式为：2y x =∴对称轴是：=1x -，即()1,0D -，∴112AD OA OD =+=+=，在Rt ADN △中，60DAN ∠=︒，∴sin DN AD DAN =⨯∠=即12DM MC DM MN DN +=+==∴在M ，N 移动的过程中，12DM MC +【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．4．2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得)PD PC PD PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭，因为PC PM MC -≤，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =连接MP ，证明BMP V:BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △:BPC △，接着推导出PD -，最后证明BMN V :BCD △，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，∴45PDM ∠=，DM PM ==， 四边形ABCD 正方形∴45BDC ∠=︒，DB DC=又 PDM PDB MDB ∠=∠+，BDC MDB MDC∠=∠+∴PDB MDC∠=∠在BPD △与MPC V 中PDB MDC ∠=∠，DB DP DC DM==∴BPD △:MPCV∴PB MC = 2BP =∴MC =)PD PC PC PM ⎫-==-⎪⎪⎭PC PM MC-≤∴)2PD PC PM -=-≤=故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2∴=2BP ，BDBP BD在BD 上做点M ，使BM BP BM MP 在BMP V 与BPD △中=MBP PBD ∠∠，=BP BM BD BP∴BMP V :BPD△∴PM PD PD 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ∠∠，=BN BP BP PC∴BNP △:BPC△∴1=2PN PC ，则=2PC PN ∴如图所示连接NM∴)2PD PN PN PM --- PN PM NM-≤∴)PD PN PM --≤在BMN V 与BCD △中=NBM DBC ∠∠，BM BC BN BD∴=BM BN BC BD∴BMN V :BCD△∴MN CD =4CD∴MN∴∴2PD -≤=故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．5．626PM PN -++…【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示，通过代换，将2PM PN +转化为12PN PM PN HP NH +=+=，得到当MP 与O e 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH NP ⊥于H ，作MF BC ⊥于F ，如图所示：PM AC ⊥ ，PN CB ⊥，90PMC PNC ∴∠=∠=︒，360120MPN PMC PNC C ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，18060MPH MPN ∴∠=︒-∠=︒，1cos cos 602HP PM MPH PM PM ∴=⋅∠=⋅︒=，12PN PM PN HP NH ∴+=+=，MF NH = ，∴当MP 与O e 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=+=+在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==+ ⎪⎝⎭；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，2MG OP ∴==，由上同理可知：在Rt COG V 中，tan 60CG OG =⋅︒=2CM CG GM ∴=-=-，在Rt CMF △中，sin 603MF CM =⋅︒=3HN MF ∴==，即122262PM PN PM PN HN ⎛⎫+=+==- ⎪⎝⎭，626PM PN ∴-++…故答案为：626…PM PN-++【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．。
中考数学几何复习---最值系列之胡不归问题
中考数学几何复习--最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =． HEDCBAABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α5HEDC BAEDCB【南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于________．ABCDP【分析】考虑如何构造”，已知∠A =60°，且sin60°，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得PH =，将问题转化为：求PB +PH 最小值． M HPDCBA当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．ABCDPH M【成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （y =+，D 点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x +-，化简为：2y =点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【重庆中考】抛物线2y x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC的解析式为：y =+知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛- ⎝，则E m ⎛+ ⎝，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，22=PE CH m +=+sin ABE ∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
中考复习压轴之胡不归和阿氏圆 导学案设计(无答案)
这是一个故事从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
方法总结“胡不归”问题中会涉及到三个点。
其中两个定点（A ，B ），一个动点C ，且动点是在直线（AM ）上运动。
1、在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等于此此线段的系数（关注你题目中有无特殊角，产生链接使用起来）2、过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形3、根据两点之间线段最短或定点到定直线垂线段最短，找到最小值的位置4、准确计算射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A-D-C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标为（ ）例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点A （-1，0），B （0，-3），C （2，0），其中对称轴和x 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标； （2）若点P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
（3）M （s,t ）为抛物线对称轴是的一个动点。
①若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个。
②连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°,求t 的取值范围。
练习巩固：1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°，则PA+PB+PD 的最小值为 。
2、如图，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
第3讲 胡不归+阿氏圆+费马点
第3讲：胡不归+阿氏圆+费马点模块一：胡不归【举例说明】已知D 为射线AB 上一动点，︒=∠30BAC ，AC =32，当AD =__________时，CD AD +21取最小值；AD +2CD 的最小值是__________课堂讲练【例1】（2019桂林）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则22AP+PB 的最小值是（ ）“AP +k•PB ”型作法作图原理点A 、点B 为定点，点P 为BM 上一点，求“PA +k ·PB ”的最小值．作∠MBN ，使得sin ∠MBN = k ，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ ，求“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
点到直线，垂线段最短“PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即 A 、P 、Q 三点共线时最小。
A ．2B ．3C ．62D ．2【例2】（2020•安溪县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连结PD ，则2PD +PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2+22C ．22D ．32+232【例3】（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当2AM +2DM 的最小值为2724时，求b 的值．【例4】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）连接AE ，若AB =6cm ，BC =5cm①求EAD sin 的值②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间【例5】如图，在△ACE 中，CA =CE ，︒=∠30CAE ，B e O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上（1）试说明CE 是Be O 的切线（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示Be O 的直径AB（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当OD CD 21的最小值为6时，求Be O 的直径AB 的长变式练习：1．（2018春•鼓楼区期中）已知：A （﹣1，0），C （0，3）在y 轴上选一点P ，使AP +12PC 最短，则P 点坐标为（ ）A ．（0，32）B ．（0，34）C ．（0，35）D ．（0，33）2．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE +CE 的最小值为 ．3．（2020•金台区校级模拟）如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12BM 的最小值为 ．4．（2020秋•锦江区校级期中）如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2E'B的最小值．35．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．CF的最小值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+226．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为，如图所示．抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；PC+PB的最小值．②连结PB，求357．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；OQ的最小值．②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14模块二：阿氏圆前面我们说过胡不归的模型，事实上阿氏圆的模型与其是非常相似的，我们知道“PC kPD +”型中当P 点运动轨迹是直线的时候，他就是胡不归模型。
中考数学专题复习--“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-学案
“胡不归”与“阿氏圆”背景：初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个：在平面内①两点之间线段最短②垂线段最短(三边关系)若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为3、5，则d的最大值是_____(斜边大于直角边)如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角PBD，求CD的最小值(费马点)已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求此正方形的边长(圆外一点与圆上点距离最值)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值(将军饮马特例)如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则求BM+MN的最小值.(垂径定理相关最值)如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于____.；4；答案：4；5；2；1BUT以上专题不作为我们今天的主题，TODAY WE STUDY :“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
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2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
(为突出问题，刚去了两个小问)【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3PA的最小值5阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下面给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则ABAC =DBDC证明：S△ABDS△ACD =BDCD，S△ABDS△ACD=AB×DEAC×DF=ABAC，即ABAC=DBDC(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB AC =DBDC证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≅△AED(SAS)，CD=DE且AD平分∠BDE，则DBDE =ABAE，即ABAC=DBDC.接下来开始阿氏圆证明步骤:如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAMB =PAPB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NANB =PAPB=k，故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。
法二:建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA ＝kPB，即:解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:（1）PAPB =MAMB=NANB=k应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O(2)△OBP∽△OPA，即OBOP =OPOA，变形为OP2＝OA∙OB.应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置(3)OPOA =OBOP=PAPB=k应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值练习1:已知A 、B 求圆轨迹已知在坐标系中，点A(-1，0)，点B(3，0)，P 是平面中一点且PA:PB=3:1，求P 点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论. 取M(2，0)满足MA:MB ＝3:1，取N(5，0)满足NA:NB ＝3:1， P 点轨迹即是以MN 为直径，MN 中点O 为圆心的圆.练习2:已知圆轨迹反求点A 或B已知在坐标系中，点A(-1，0)，P 是以点A （72，0）为圆心，32长为半径的圆。
平面中求一点B 使得PA:PB=3:1，求B 点坐标.【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A 点，求另外一点B. 思路1:构造相似三角形。
考虑OP 2＝OA ∙OB ，将OP ＝32、OA ＝92代入可得:OB ＝12，故B 点坐标为(3，0)思路2:根据“阿氏圆”中的特殊位置当P 点运动到M 点位置时，有MA:MB ＝3:1，考虑到A(-1，0)、M(2，0)，可得MB ＝1， 考虑到A 、M 、B 共线且B 点在M 点右侧， 可得B 点坐标为(3，0).补充:这里的圆O 与点A 及PA:PB 的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B 点，还好用。
那么这个玩意和最值有什么关系呢?比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问题:练习2(改):已知在坐标系中，点A(1，0)，P 是以点（72，0）为圆心，32长为半径的圆，Q(2，2)，求PQ+13PA 的最小值.【分析】问题中的PQ 暂时不用管，先处理好13PA ，考感到P 点轨是个圆，且要构造13PA ，大胆猜测:平面中存在一点B 使得P 在圆上任意位置，均满足：PA PB=13，即有PB=13PA.其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A 点位置，求另一点B 的位置可转化13PA.点B 求法如上练习2，剩下的求量小值就很简单了练习3:关于系数如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆，分別交 AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA+PB 的最小值为【分析】确定了问题关键是构造“12PA ＂，已知了P 点所在的，已知了A 点，即在平面中找一点M 使得“PM ＝12PA ”思路1:构造相似三角形点M 与A 、C 共线，且M 点必满足:CP 2＝CM ∙CA ，代入CP 、CA ，即可得:22＝4∙CM ，得:CM=1，即可确定M 点位置，12PA+PB ＝PM+PB 问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可【问题剖析】（1）这里为什么是12PA?答:因为圆C 半径为2，CA ＝4，比值是1:2，△CMP 与△CPA 的相似比为1:2所以构造的是12PA ，也只能构造12PA （2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少? 答:根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23.【练习1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案【练习2】、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则PD −12PC 的最大值为【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC ＝2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M ，使得此时PM ＝1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM ＝12PC ，从而将同题转化为求PD −PM连接PD ，对于△PDM ， PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD −PM ＝DM 为最大值【2019山东日照第22题】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝−5x+5与x轴、y轴分別交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、MC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.2。