2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)

2020年中考复习专题：“胡不归”问题

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：

(1)胡不归问题；

(2)阿氏圆.

本文简单介绍“胡不归”模型

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜

V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使AC

V2+BC

V1

的值最小

【问题分析】

AC V2+BC

V1

=1

V1

(BC+V1

V2

AC)，记k=V1

V2

，即求BC+kAC的最小值

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH

AC

=k，CH＝kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.

【模型总结】

在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.

【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE

BD的最小值是

上的一个动点，则CD+√5

5

【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于

的一动点，则PB+√3

2

【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k

8

(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次

交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√3

3

x+b与抛物线的另一交点为D.

(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式

(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?

【2018重庆中考】抛物线y=−√6

6x2−2√3

3

x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，

与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+1

2

EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。(为突出问题，刚去了两个小问)

【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下半移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1经过点A的一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+3

PA的最小值

5

阿氏圆问题

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB＝k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆

下面给出证明

法一:首先了解两个定理

(1)角平分线定理:如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角半分线，则AB

AC =DB

DC

证明：S△ABD

S△ACD =BD

CD

，S△ABD

S△ACD

=AB×DE

AC×DF

=AB

AC

，即AB

AC

=DB

DC

(2)外角半分线定理:如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则

AB AC =DB

DC

证明:在BA延长线上取点E使得AE＝AC，连接BD，则△ACD≅△AED(SAS)，

CD=DE且AD平分∠BDE，则DB

DE =AB

AE

，即AB

AC

=DB

DC

.

接下来开始阿氏圆证明步骤:

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA

MB =PA

PB

=k，

故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA

NB =PA

PB

=k，

故N点为定点，即∠APB外角半分线交直线AB于定点；

又∠MPN＝90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆。

法二:建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A(-m，0)，则B(m，0)，设P(x，y)，PA ＝kPB，即:

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质:

（1）PA

PB =MA

MB

=NA

NB

=k

应用:根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O

(2)△OBP∽△OPA，即OB

OP =OP

OA

，变形为OP2＝OA∙OB.

应用:根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置

(3)OP

OA =OB

OP

=PA

PB

=k

应用:已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值