线性和非线性方程组的解法

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
♦ Gauss-Seidel迭代法；
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
= = L =
= =
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 2 k 12 2 k 21 1 k 1n n k 23 3
11
k xn ) / a22 2n
]
[b −(a x L = [b − (a x
1 2 n
[b −(a x [b −(a x
n
k n1 1
k k + an2 x2 +L+ an−1,2 xn ) / ann
k +L+ a1n xn ) / a11
L xn =
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
[b −(a
n
n1 1
x + an2 x2 +L+ an−1,2 x2 )]/ ann
=
k k = 2 23 3 2n xn ) / a22 L k k k = bn − (an1x1 + an2 x2 +L+ an−1,2 xn ) / ann
L =
– Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk； – Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk；
计算用
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 一般迭代法的收敛性分析； – 简单迭代法：X[k] = D-1B -(I -D-1A)X[k-1] – 记一般迭代式为：X[k] = GX[k-1]＋E – 设X[k]收敛于AX=B的解X*，那么X* = GX*＋E； – 记误差 ek =X[k]-X*，那么ek = Gek-1 = Gke0； – 因为收敛，limek=limGke0=0，所以limGk=0； – 定义：G的谱半径S(G)=max|µi|，µi是特征根； – 定理：limGk=0 <=> S(G)<1； – ∴迭代过程收敛<=> S(G)<1； – 收敛速度和S(G)有关；
3.3.1 Gauss消去法
♦ 初始状态；
[ ]
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = b2 aij [xi ] = [bi ] L a x + a x +L+ a x = b nn n n n1 1 n2 2 0 0 0 0 0 a11 a12 L a1 j L a1n b1
电力系统计算机仿真
电气工程与自动化学院电力系
第三章 线性和非线性方程组的解法
♦ 3.1 问题描述 ♦ 3.2 线性方程组的迭代法 ♦ 3.3 线性方程组的直接法 ♦ 3.4 非线性方程组的解法
3.1 问题描述
♦ 线性方程组 – AX=B a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L an1x1 + an2 x2 +L+ annxn = bn
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 k 12 2 k 21 1 k 1n n
11
]
X [k] = D−1B − (I − D−1A) X [k−1]
[
]
3.2.1 简单迭代法
♦ 简单迭代法的特征； – X[k] = D-1B - (I - D-1A)X[k-1] – 一阶；
♦ 第二次消去； – 计算 2
– 结果
2 i 1 2 aij = aij − ai12 ⋅ a2 j
b = b −a ⋅b
1 i 1 i2
2 2
, 3 ≤ i, j ≤ n
1 0 0 0
1 1 a12 L a1 j
1 L a1n
1 b1
1 0 0
2 2 2 L a2 j L a2n b2
L L L L L L L
a > 0; a11 a12 a22 a21 > 0; L; A > 0
♦ 若矩阵A对称且其对角线元素均为正实数，则当
0<ω<2时，松弛法收敛的充要条件是A正定。
3.3 线性方程组的直接法
♦ 3.3.1 Gauss消去法； ♦ 3.3.2 列主元消去法； ♦ 3.3.3 因子表； ♦ 3.3.4 直接的误差；
k 12 2
]
]
k +1 21 1
k k + a23x3 +L+ a2n xn ) / a22
]
计算用
k +1 n1 1
k k + an2 x2 +1 +L+ an−1,2 xn ) / ann
]
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
♦ Gauss-Seidel迭代式的构造； – AX = B； – A = D-L-U； – 恒等变形：(D-L)X = UX + B； – 构造迭代式：(D-L)Xk+1=UXk + B； Xk+1 = (D-L)-1UXk + (D-L)-1B； – ♦ 优点： – 节省内存； – 收敛性好；
– A是非奇异系数矩阵，B是右端项； – 找到X*，使得AX*=B;
3.1 问题描述
♦ 非线性方程组 – 含有 x 的高次项；
• 潮流方程；
– F(X) = 0； – 找到X*，使得F(X*) = 0；
3.1 问题描述
♦ 线性方程组的解法； – 直接法； – 迭代法； ♦ 非线性方程组的解法； – 迭代法；
3.2.3 松弛法
♦ 松弛法；
k x1 +1 k+1 x2 xk+1 n
=
k k k ω ⋅ [b1 − (a12x2 +L+ a1n xn )]/ a11 + (1−ω) ⋅ x1 k k k k = ω ⋅ [b2 − (a21x1 +1 + a23x3 +L+ a2n xn )]/ a22 + (1−ω) ⋅ x2 k k k k ω ⋅ [bn − (an1x1 +1 + an2 x2 +1 +L+ an−1,2 xn )]/ ann + (1−ω) ⋅ xn
0
11
A22
12
∑ – 若方阵满足 aii ≥ j=1, j≠iaij 且至少对应一个i，上式中严格的 不等号成立，则称矩阵A具有对角优势。
♦ 如果系数矩阵A不可约且具有对角优势，则简单
n
迭代收敛； ♦ 如果还有0<ω<1，则松弛法收敛；
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 基本定义； – 对称方阵满足aij=aji； – 正定矩阵A的各阶行列式均大于零；
L L L L L L L
1 ai12 L aij 1 L ain
bi1
L L L L L L L a12 L a1 n nj
1 L a1 bn nn
3.3.1 Gauss消去法
♦ 第二行规则化； – 计算 2 1
– 结果
2 2 1 2
a2 j = a2 j / a1 22 b =b / a
1 0 0 0
D -U
分析用
* ∨ ∨ ∨ ∨
∧ ∧ ∧ ∧ * ∧ ∧ ∧ ∨ * ∧ ∧ ∨ ∨ * ∧ ∨ ∨ ∨ *
-L
3.2.3 松弛法
♦ 松弛法；
k x1 +1 k+1 x2 xk+1 n k x1 +1 k+1 x2 xk+1 n
• X[k+1]只和X[k]有关，和X[k-1]等无关；
– 线性；
• X[k+1]是X[k]的线性函数；
– 定常；
• 迭代式的系数是常数；
3.2.1 简单迭代法
♦ 收敛性定义； – 如果对于任意选取的初始值X[0]，迭代式X[k] = D-1B -(I -D-1A)X[k-1]生成的序列X[k] 具有相同的 极限 X* ，并且 X* 是 AX=B 的解，那么称迭代 是收敛的。 ♦ 构造迭代式要注意的问题； – 不是等效变换得来的迭代式都是收敛的； – 如何构造收敛的迭代式；
1 22
, 2< j <n
1 L a1n 1 b1
1 1 a12 L a1 j
1
2 2 2 L a2 j L a2n b2
L L L L L L L
1 ai12 L aij 1 L ain
bi1
1 bn
L L L L L L L a12 L a1 n nj L a1 nn
3.3.1 Gauss消去法
♦ 简单迭代法的思路；
A⋅ X = B
*
?
X k = X* lim
k→∞
3.2.1 简单迭代法
♦ 迭代过程； – 构造向量序列 X[k]，使其收敛到X*； x1 = [b − (a12x2 +L+ a1n xn )] / a11 1 X = D−1B − (I − D−1A) X x = [b − (a x + a x +L+ a x )] / a 2 2 21 1 23 3 2n n 22
2 L aij 2 L ain
bi2
L L L L L L L
2 L anj 2 2 L ann bn
3.3.1 Gauss消去法
]
ω=1
k k k ω⋅ [b1 − (a12x2 +L+ a1n xn )]/ a11 + (1−ω) ⋅ x1 k k k k = ω⋅ [b2 − (a21x1 +1 + a23x3 +L+ a2n xn )]/ a22 + (1−ω) ⋅ x2
L =
k k k k ω⋅ [bn − (an1x1 +1 + an2 x2 +1 +L+ an−1,2 xn )]/ ann + (1−ω) ⋅ xn
• 通常无法直接求解；
3.2 线性方程组的迭代法
♦ 3.2.1 简单迭代 ♦ 3.2.2 Gauss-Seidel迭代 ♦ 3.2.3 松弛法 ♦ 3.2.4 迭代的收敛性
3.2.1 简单迭代法
♦ 等效变换； – AX=B，aii ≠ 0
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L an1x1 + an2 x2 +L+ annxn = bn
分析用
பைடு நூலகம்
Q−1R = ∏µi and S(Q−1R) <1 Q R
−1 1/ n
<1 <1
[1−ω ]
n 1/ n
0 <ω < 2
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 如何判断迭代是否收敛； ♦ 基本定义； – 如果矩阵A不能通过行的次序调换和相应列的次序调 换成为 A A ，A11和A22是方阵，则称A为不可约。
1 0 0 b1 = b1 / a11
– 结果
1
1 1 a12 L a1 j 1 L a1n 1 b1 0 0 0 0 0 a21 a22 L a2 j L a2n b2
L L L L L L L ai0 1
0 ai02 L aij 0 L ain
bi0
L L L L L L L
0 0 0 an1 an2 L anj 0 0 L ann bn
0 0 0 0 0 a21 a22 L a2 j L a2n b2
L L L L L L L ai0 1
0 ai02 L aij 0 L ain
bi0
L L L L L L L
0 0 0 an1 an2 L anj 0 0 L ann bn
3.3.1 Gauss消去法
♦ 第一行规则化； 1 0 0 a1 j = a1 j / a11 – 计算
3.3.1 Gauss消去法
♦ 第一次消去； 1 0 – 计算 aij = aij − ai01 ⋅ a10j
b = b −a ⋅b
1 i 0 i 1 i1 1 1
, 2 ≤ i, j ≤ n
1 L a1n 1 b1
– 结果
1 0 0 0
1 1 a12 L a1 j
1 a1 L a1 j L a1n b2 22 2 2
= = L = =
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 k 12 2 k 1n n 2 k +1 21 1 k 23 3
11
k xn ) / a22 2n
]
[b −(a
n
k k k x1 +1 + an2 x2 +1 +L+ an−1,2 xn ) / ann n1
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 松弛法的收敛性分析； – A = Q -R = (D -ωL)/ω –[(1-ω)D+ωU]/ω； – QX = RX + B； – Xk+1 = Q-1RXk + Q-1B； – Xk+1 = (D -ωL)-1[(1-ω)D+ωU]Xk + Q-1B； ♦ 收敛的必要条件； – 0<ω<2；