信号与系统第二版余成波-第四章 04-2015.12
信号系统 第四章总结-9页精选文档
第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a0+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
信号与系统课后习题参考答案
1.20
解：（a）
x1 (t)
=
cos( 2t )
=
1 2
(e j2t
+
e− j2t
)
则：
y1 (t)
= T{1 (e j2t 2
+ e − j2t )} =
1 (e j3t 2
+ e − j3t ) ；
(b)
x2 (t)
=
cos(2(t
−
1 )) 2
=
1 (e j(2t−1) 2
+ e − j(2t−1) )
-1/2
-1
1 1/2 -2 -1 0 1
1 1 1 x[-n+3]
1/2 n
678 2 34 5
-1/2 -1
(c) x[3n]
1 x[3n]
1/2 n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1/2
7
(d) x[3n+1]
x[n+1]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x(t)[δ(t + 3) − δ(t - 3)]
2
2
3/2
t
0 （-1/2）
6
1.22
(a)x[n-4]
x[n-4]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
0 1 23 4 5 6 7 8
-1/2
-1
(b)x[3-n]
x[n+3]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5
-4 -3 -2
信号与系统第二版余成波-第四章-02-2015.12
第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
4.2
一、线性性质
拉普拉斯变换的性质
若 f1 t F1 s 1 ，f 2 t F2 s 2 则 a1 f1 t a2 f 2 t a1 F1 s a2 F2 s ， max 1 , 2
t 0 s s
十、终值定理
设有f t F s ， 0，且 lim f t 存在，则 f lim f t lim sF s
t s 0 t
初值定理
证明：由时域微分定理可知
df t df t st 分段讨论 0 df t st sF s f 0 e dt e dt e st dt 0 0 0 dt dt dt
4
四、频域平移性质
若 f t F s ， 0 则 f t e s0t F s s0 ， a0 0，s0 a0 j0
证明： L f t e
s0t
0 f t e
s0t st
e dt f t e
0 =
df t st lim sF s f 0 f 0 f 0 lim e dt f 0 f 0 s s 0 dt
lim sF s f 0 f 0 f 0
解：由波形图可知f1 t 和f2 t 的单边拉氏变换相同，则
F1 s F2 s L t t0
1 t t 2 s
st
信号与系统第二版课后答案_西安交大_奥本海姆(汉语)
第一章1.3 解：(a). 2401lim(),04Tt T TE x t dt e dt P ∞-∞∞→∞-====⎰⎰(b) dt t x TP T TT ⎰-∞→∞=2)(21lim121lim ==⎰-∞→dt T TTT∞===⎰⎰∞∞--∞→∞dt t x dt t x E TTT 22)()(lim(c).222lim()cos (),111cos(2)1lim()lim2222TT TTTT T TTE x t dt t dt t P x t dt dt TT∞∞→∞--∞∞→∞→∞--===∞+===⎰⎰⎰⎰(d) 034121lim )21(121lim ][121lim 022=⋅+=+=+=∞→=∞→-=∞→∞∑∑N N n x N P N Nn n N N N n N 34)21()(lim202===∑∑-∞=∞→∞nNNn N n x E (e). 2()1,x n E ∞==∞211lim []lim 112121N NN N n N n NP x n N N ∞→∞→∞=-=-===++∑∑ (f) ∑-=∞→∞=+=NNn N n x N P 21)(121lim 2∑-=∞→∞∞===NNn N n x E 2)(lim1.9. a). 00210,105T ππω===; b) 非周期的； c) 00007,,22mN N ωωππ=== d). 010;N = e). 非周期的； 1.12 解：∑∞=--3)1(k k n δ对于4n ≥时，为1即4≥n 时，x(n)为0，其余n 值时，x(n)为1易有：)3()(+-=n u n x , 01,3;M n =-=- 1.15 解：(a)]3[21]2[][][222-+-==n x n x n y n y , 又2111()()2()4(1)x n y n x n x n ==+-， 1111()2[2]4[3][3]2[4]y n x n x n x n x n ∴=-+-+-+-，1()()x n x n = ()2[2]5[3]2[4]y n x n x n x n =-+-+- 其中][n x 为系统输入。
信号与系统第二版课后答案
4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(j)。
题4-4图
解由图可知输出
取上式的傅氏变换，得
故频率特性
4-5设信号f(t)为包含0 ~m分量的频带有限信号，试确定f( 3t)的奈奎斯特采样频率。
解由尺度特性，有
即f( 3t)的带宽比f(t)增加了3倍，即=3m。从而最低的抽样频率s=6m。故采样周期和采样频率分别为
解设T为系统的运算子，则可以表示为：
不失一般性，设f(t) =f1(t) +f2(t)，则
；
故有
显然
即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1-6判断下列方程所表示的系统的性质。
(1) (2)
(3) (4)
解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7试证明方程 所描述的系统为线性系统。式中a为常量。
读者也可以用图形扫描法计算之。结果见点，则
f1(t) *f2(t) =f1(t) *[(t)+(t2)+(t+ 2)]
=f1(t)+f1(t2)+f1(t+ 2)
结果见图p2-10(b)所示。
图p2-10
2-11试求下列卷积。
(a)
(b)
解(a)因为 ，故
试证明：
(1)
(2)利用(1)的结果，证明阶跃响应
证（1）因为
y(t)=f(t)h(t)
由微分性质，有
y(t)=f(t)h(t)
再由积分性质，有
（2）因为
s(t)=(t)h(t)
由（1）的结果，得
3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
《信号与系统》第04章
, −∞ < t < ∞ −a t 解：它可以看作是双边指数函数 x ( t ) = e
x ( t ) = li m e
a→ 0 −a t
x(t ) = 1
不满足 绝对可积的条件 中
a → 0 的极限情况，即
T
T = 4T1
2π ω = k ω0 = k T
T = 8T1
ω0 = 2π / T ,当 T → ∞
时,
ω0 → 0 )。
是单位间隔
T = 16T1
这说明，可以把非周期 信号当作周期信号在周期 任意大时的极限来看待。
x 2、再看一个信号 x ( t ) ,它具有有限持续期，即满足： (t) =0
∧
1 x(t ) = 2π
∧
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt d ω
1、若x ( t )能量有限，即x ( t )平方可积 1)
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
∫
傅立叶级数时 2
T
x(t ) dt < ∞
则x ( t )的傅里叶变换存在。 2) 其中
∫
+∞
−∞
e(t ) dt = 0
2
∧
傅里叶变换时，周期为 无穷大。
T1 − jωt
πθ ωT1 sin( π) sin(ωT1 ) ωT1 π )] ∴ = = sin c( ωT1 ωT1 π π π
[Q sin c(θ ) =
sin πθ
sinc函数
例4.5 已知信号的傅里叶变换为
X ( jω )
(4.18) -W 1
⎧1 , ⎪ X ( jω ) = ⎨ ⎪0 , ⎩
信号与系统第二版PPT
系统的稳定性分析
定义
如果一个系统在所有可能的输入下都保持稳定，则称该系 统为稳定系统。
判断方法
通过分析系统的极点和零点分布，判断系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。
稳定性分析的重要性
稳定性是系统设计和应用的重要考虑因素，不稳定的系统 无法在实际应用中实现。
系统的频率响应分析
优点
时域分析方法直观、物理意义明 确，可以方便地处理系统的瞬态 响应和稳态响应。
缺点
对于高阶系统或复杂系统，求解 微分方程或差分方程可能变得非 常复杂。
系统的频域分析方法
定义
频域分析方法是将系统的频率特性作为研究对象，通过傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学工具将 时间域的信号或系统转换为频域进行分析。
时不变系统
系统的特性不随时间 变化。
时变系统
系统的特性随时间变 化。
信号与系统的重要性及应用领域
重要性
信号与系统是信息传输和处理的基础， 是通信、控制、图像处理、音频处理 等领域的重要理论基础。
应用领域
信号与系统理论广泛应用于通信、雷 达、声呐、遥感、生物医学工程、自 动控制等领域。
02 信号的特性与表示方法
定义
频率响应是描述系统对不同频率输入信号的响应特性。
分析方法
通过傅里叶变换或拉普拉斯变换等方法，将时域信号转换为频域信 号，然后分析系统的频率响应特性。
频率响应的重要性
频率响应是信号处理、控制系统等领域的重要概念，通过分析频率响 应可以了解系统的性能和特性，如传递函数、带宽、相位失真等。
06 信号处理技术与应用
物联网与边缘计算在系统设计中的应用
利用物联网和边缘计算的技术，实现系统的远程监控和管理，提高系 统的可靠性和响应速度。
信号与系统课后习题答案第4章 PPT
4.8 已知因果信号f(t)的象函数为F(s)，求下列F(s)的原函 数f(t)的初值f(0+)和终值f(∞)。
解 本题练习初值定理和终值定理的应用。
解 计算单边拉氏逆变换的常用方法有: ① 查表、公式法； ② 应用性质；③ 部分分式展开法；④ 反演积分法。
题图 4.4
解 画出S域零状态系统模型如题解图4.19所示。
题解图 4.19
故有单位冲激响应:
令式①中
再取拉氏逆变换，求得单位阶跃响应:
4.20 题图4.5所示RLC系统，us(t)=12 V, L=1 H，C=1 F， R1=3 Ω, R2=2 Ω，R3=1 Ω。t＜0时电路已达稳态，t=0时开 关S闭合。求t≥0时电压u(t)的零输入响应、零状态响应和全 响应。
4.28 已知线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如
题图 4.10 所示。图中，“×”号表示极点，“ 。”号表示零
点。
(1) 若H(∞)=1，求图(a)对应系统的H(s)；
(2) 若H(0)=
求图(b)对应系统的H(s)；
(3) 求系统频率响应H(jω)，粗略画出系统幅频特性和相频
特性曲线。
题图 4.12
其中
(3) 考虑到f(t)=ε(t－1), 即输入在t=1时刻激励系统,故有 且
代入式①、②整理得
所以,系统零输入响应和零状态响应为 全响应:
4.15 已知线性连续系统的系统函数和输入f(t)，求系统的 全响应。
解 本题分别用时域方法计算零输入响应，S域方法计算 零状态响应，然后叠加求得全响应。
解 用直接形式信号流图、方框图模拟连续系统。
信号与系统
第二版前言第一版前言第1章信号概述1.1 信号的定义和分类1.2 典型连续时间信号1.3 典型离散时间信号1.4 信号的基本运算1.5 因果信号的算子表示1.6 信号的卷积运算1.7 信号的分解习题一第2章系统概述2.1 系统的定义2.2 系统的分类及性质2.3 系统的分析方法2.4 LTI连续时间系统的输入输出方程2.5 LTI离散时间系统的输入输出方程2.6 LTI系统的模拟2.7 信号流图2.8 梅森公式习题二第3章LTI系统的时域分析3.1 引言3.2 时域经典法求解LTI系统3.3 冲激平衡法求连续系统的响应3.4 零输入响应的计算3.5 零状态响应的计算3.6 时域分析法举例习题三第4章连续时间信号和连续时间系统的频域分析4.1 周期信号的傅里叶级数4.2 周期信号的频谱4.3 傅里叶变换4.4 傅里叶变换的性质4.5 周期信号的傅里叶变换4.6 频域系统函数4.7 周期信号对LTI系统的响应4.8 非周期信号对LTI系统的响应4.9 信号的无失真传输4.10 理想滤波器4.11 幅度调制与解调4.12 信号的抽样与恢复习题四第5章连续时间系统的复频域分析5.1 拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯反变换5.4 拉普拉斯变换求解微分方程5.5 拉普拉斯变换分析电路5.6 系统函数5.7 系统的频率响应习题五第6章离散时间系统的z域分析6.1 z变换6.2 z变换的性质6.3 z反变换6.4 离散系统的z域分析6.5 系统函数6.6 离散系统频率响应特性习题六第7章状态变量分析法7.1 状态变量分析法的有关概念7.2 LTI连续时间系统状态方程的建立7.3 LTI离散时间系统状态方程的建立7.4 状态转移矩阵7.5 LTI连续时间系统状态方程的求解7.6 LTI离散时间系统状态方程的求解7.7 状态矢量的线性变换7.8 系统的可控性和可观性习题七第8章MA TIAB在信号与系统中的应用8.1 信号的时域分析8.2 LTI系统的时域分析8.3 连续信号及系统的频域分析8.4 连续信号及系统的s域分析8.5 离散信号及离散系统的z域分析8.6 LTI系统的状态变量分析习颢八习题答案附录附录A 部分分式展开附录B 常用的数学公式附录C 劳斯判据。
信号与系统2(全)
t0
f ( )d
1 t0
e
t
t
e
t0 t
t
f ( ) d
t
1 (1e t ) 0t t0 1 1 (1e t ) [1e ( t t0 ) ] ( t0 t )
哈尔滨工业大学（威海）通信工程系
f 1 t
2 1 -1 0
f 1 t
2
f1 t
2 1
1
t
-1
1
两个信号分解 为奇、偶分量 的实例。
1
0
f1 t
0
1
t t
-1
t
0
-1
-2
-1 1.5
f 1e t
1/2பைடு நூலகம்
1
f 1o t
t
-1
0
1
t
0
哈尔滨工业大学（威海）通信工程系 -1/2
信号幅度的运算
信号的运算：
时域运算 变换域运算
信号时间的运算
函数域的变换(运算)
初等运算： 加、减、乘、除 信号幅度的运算
高等运算：微分、积分、差分、累加 翻转 平移 尺度变换
哈尔滨工业大学（威海）通信工程系
信号时间的运算
§2.1 信号的时域运算 初等运算： 加、减、乘、除
加减法
乘法
f t f1 t C f t C f1 t f t f1 t C
f k t f0 t u t k t t t k 1
哈尔滨工业大学（威海）通信工程系
§2.2 信号的时域分解
信号与系统基础知识完整版
信号与系统基础知识 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第1章 信号与系统的基本概念引言系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。
我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。
我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。
更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。
我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。
例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。
系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。
很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。
隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。
信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。
在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。
系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。
这些区别导致分析方法的重要差别。
本课程的内容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。
例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。
信号与系统 全套课件完整版ppt教学教程最新最全
t
y(t)
f()df( 1)(t)
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 1.相加
信号相加任一瞬间值，等于同一瞬间相加信号瞬时值的和。即
y (t)f1 (t)f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 2.相乘
信号相乘任一瞬间值，等于同一瞬间相乘信号瞬时值的积。即
离散时间系统是指输入系统的信号是离散时间信号，输出也是离散 时间信号的系统，简称离散系统。如图连续时间系统与离散时间系统(b) 所示。
1.3.1 系统的定义及系统分类 2. 线性系统与非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统，线性特性包括齐次性与叠加性。线 性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。
2.1.2 MATLAB语言的特点
1、友好的工作平台和编程环境 2、简单易用的程序语言 3、强大的科学计算机数据处理能力 4、出色的图形处理功能
1、友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。这些工具方 便用户使用MATLAB的函数和文件，其中 许多工具采用的是图形用户界面。
新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、 帮助系统，极大的方便了用户的使用。简 单的编程环境提供了比较完备的调试系统， 程序不必经过编译就可以直接运行，而且 能够及时地报告出现的错误及进行出错原 因分析。
y (t)f1 (t) f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 3.综合变换 在信号分析的处理过程中，通常的情况不是以上某种单一信号的运算，往
往都是一些信号的复合变换，我们称之为综合变换。
1.3 系统
1.3.1 系统的定义及系统分类
《信号与系统(第2版)》配套课件 离散时间信号与系统的复频域分析1
z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]
信号与系统第二版余成波 第四章 04 12
X ?s??
1?
1 3s?1 ?
2s?2
F
?s?
? ? 右边加法器的输出Yzs ?s?为： Yzs ?s ?? s?1 X ?s ?? s?2 X ?s ?? s?1 ? s?2 X ?s ?
把X ?s?的表达式代入上式得：
Yzs
?s ??
1?
s?1 ? s?2 3s?1 ? 2s?2
F
?s ?
H
?s ??
加法器：
标量乘法器：
t τ
初始状态为零的积分器：
10
子系统的三种基本联接方式：
用方框图表示一个系统，可以直观地 反映其输入与输出间的传递关系！
1、级联
H ?s?? YX??ss??? H1 ?s ??H2 ?s?
2、并联
H ?s?? YX??ss??? H1 ?s?? H2 ?s?
3、反馈
??X ?s?? H2 ?s?Y?s??? H1 ?s?=Y?s?
f ?t ?
?L
F ?s?
H ?s?F ?s?
? H ?s? ?
L? 1
yzs ?t ?
?
9
三、系统的方框图表示与模拟
系统的模拟：利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图的方法
称为系统模拟 ?或仿真 ?。
实验模拟：用一些基本的运算单元相互连接构成一个系统，使之与所讨 论的实际系统具有相同的数学模型。 3种运算器：
?0 ? ? pi位于虚轴上
正弦振荡（等幅）
t
h?t?
p 位于左半平面
i
?
0?
p 为负实根
i
pi位于右半平面 0
?
?
t
pi为正实根
信号与系统第二版余成波-第四章-03-2015.12 (1)
f t L1 F s t t t t t0
t t
1
t t t 0
1 2 1 2 1 2 t t t t t t t t t t t0 0 0 2 2 2
3
1、D(s)=0的所有根均为单实根
令D s 的n个单实根分别为s1，s2， ，sn，则F s 可分解为：
N s K K K F s 1 2 n D s s s1 s s2 s sn
因子 s si ，再令s si i 1， 2， ，n ，则上式右边留下的就是Ki，即 式中的K1，K 2， ，K n为待定系数。其确定方法是：将上式两边乘以
其中，多项式的拉普拉斯变换是冲激函数及其各阶导数，真分式的拉普 拉斯变换与 1的求解法相同。
mn B s B0 B1s Bm n s m n L1 B s B t B t B t 0 1 m n
2
2 ， 3
1 12
s2 1 t 3 t 2 1 3t L te e e ，t 0 2 2 4 3 12 s s 1 s 3
te
t
1
s
2
e
t
1 s
A A s
7
8
例：求F s 1 st0 1 e 的原函数。 s3
f1 t f2 t F1 s F2 s
解：对F s 进行因子分解
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二、利用系统函数H s求解连续时间LTI系统的响应
系统零状态响应的复频域求解步骤： （1）计算H(s)； （2）求激励f(t)的象函数F(s)； （3）按Yzs(s)=H(s)F(s)求出响应yzs(t)的象函数Yzs(s)； （4）对Yzs(s)求拉氏反变换即得时域响应yzs(t)。
f t
Fs
i0
j0
设系统的起始状态为y 0 ，y0 ，L ，yn-1 0 。
dyn t dt n
snY
s
sn1 y
0
sn2 y
0
L
yn1
0
考虑到输入f(t)是在t=0时接入，即为有始信号，因此在t=0_时f(t) 及其各阶导数均为零；由时域微分定理可知：
d
jf dt
t
j
s
jF
s ，j
0，1，2，L
代数方程，使得求解简化；
2 微分方程的起始条件可以自动地包含到象函数中，从而可一举
求得方程的完全解；
2
一、微分方程的拉普拉斯变换解法
1、对微分方程逐项取拉普拉斯变换，利用微分、积分性质代入起始状态。
n阶LTI系统的输入输出微分方程的一般形式可写为：
n
m
ai yi t bj f j t
，m
对微分方程的两边取拉普拉斯变换，并且应用了时域微分定理，则
n
ai
siY
s
i 1
si1 p y p
0
m
bjs jF
s
i0
p0
j0
3
2、对拉普拉斯变换方程进行代数运算，求出响应的象函数。
n i1
m
ai si1 p y p 0
bjs j
Y s i0
p0 n
Y
s
s
s2 7s 13
1s 2s
3
7 2
s
1 1
3
s
1
2
1 2
s
1
3
再取反变换得：
y
t
7 2
et
3e2t
1 2
e3t
t
5
4.5 系统函数H(s)
n阶LTI系统的输入输出微分方程的一般形式可写为：
n
m
ai yi t bj f j t
i0
j0
设输入f t为在t 0时刻加入的有始信号，则
sin
t
t
s2
2
正弦振荡（等幅）
t
ht
p 位于左半平面 i
0
p 为负实根
i
pi位于右半平面 0
t
pi为 正 实 根
h t
ht
eat
sin
t
t
s
a2
2
t
0
e pit t pi 0，
衰减的指数函数
A A s
a 0, 减幅振荡
0
t
e pit t pi 0，
直流信号
增长的指数函数
17
② 多重极点
a）极点在坐标原点处。当极点是二重极点时，则h t t t ；当极点是三重
极点时，则h t t2 t 。
t n
t
n! s n 1
b）位于实轴上的二重极点，H
s
s
1 a
2
，则h
t
teat
t
。
c）位于虚轴上的二重共轭极点，H s
20 s s2 02
2 ，则h t t sin 0t t ，幅
s
F
s
s
s 1
1s
2
s
1
3
1 s 1
s
3
2
2 s3
故系统的零状态响应为: yzs t 2e3t 3e2t et t
15
四、系统函数的零、极点与系统特性的关系
1、零点与极点的概念
m
H
s
N s Ds
bmsm bm1sm1 L ansn an1sn1 L
b1s b0 a1s a0
i0
6
一、H
s
的定义与性质
Yzs s
m
bjs j
j0
n
ai si
Fs
n
ai yi t
i0
N D
s s
F
s
m
bj
j0
f j t
i0
系统函数的定义：H
s
零状态响应的象函数 激励的象函数
Yzs s F s
N D
s s
系统的固有特性
由第2章可知：冲激响应ht与输入f t的卷积为yzs t，即 yzs t ht f t
Ys
a1 a0
13
例 : 右图为线性时不变连续系统的模拟框图。试求
1系统函数和冲激响应h t ；
2 写出系统的微分方程；
-
3若输入f t e3t t ，求零状态响应yzs t 。
解：1假设零状态，画S域模拟框图如下图所示
左边加法器的输出为X s，由图可知：
F(s)
X(s)
Yzs(s)
X s F s 3s1X s 2s2X s
j0 n
F s
aisi
aisi
i0
i0
只与起始状态有关 只与输入激励有关
Yzi(s)
Yzs(s)
Y(s)为全响应的象函数
3、对响应的象函数拉式反变换
全响应：yt yzi t yzs t
4
例：LTI系统的微分方程为yt 3yt 2y t f t ，已知输入f t e3t， y 0 1，y0 1，求系统的全响应。
其中：M
e，M
为实数。
r
对于一般系统，稳定充要条件是冲激响应h t 绝对可积，即
h t dt
对于因果系统，当t<0时，h(t)=0,上式可改写为
0
h
t
dt
19
系统函数H(s)的极点分布与稳定性的关系： （1）若H(s)的全部极点均位于S左半平面（不包括虚轴），则在 t时，h(t)消失，系统是稳定系统。 （2）若在H(s)的极点中，只要有一个位于S右半平面或在虚轴 （包括原点）上具有二重以上极点，则在t时，h(t)，系 统是不稳定系统。 （3）若在H(s)的极点中，除了位于S左半平面外，还有一阶极点 位于虚轴（包括原点）上，则h(t)为有限值或为等幅振荡，系统 是临界稳定系统。 因此，系统稳定的充要条件是系统函数H(s)的极点均位于S左半 平面，或者说系统的特征方程D(s)=0的根都具有负的实部。
HsFs
yzs t
L H s L1
9
三、系统的方框图表示与模拟 系统的模拟：利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图的方法
称为系统模拟或仿真。
实验模拟：用一些基本的运算单元相互连接构成一个系统，使之与所讨 论的实际系统具有相同的数学模型。 3种运算器：
加法器：
标量乘法器：
t τ
初始状态为零的积分器：
s
4
求得其极点为：
p1，2
4
K 2
4 K 2
4 4
为使系统稳定，极点应全部在S左半平面，则4-K>0，即K<4。
21
课堂小结
拉氏变换及其性质 S域分析法 系统函数H(s)（零、极点） 系统稳定性的判断
22
作业
4.5(2) 4.11(1) 4.16
23
24
对上式两边取拉氏变换，则
Yzs s L ht F s
H
s
L
h
t
0
h
t
e st
dt
系统冲激函数响应h(t)的拉普拉斯变换即为系统函数H(s)，h(t)↔H(s)。
7
时域分析和s域分析二者的对应关系：
·
系统函数的性质： （1）H(s)取决于系统的结构与元件参数，它确定了系统在S域的 特征； （2）H(s)是一个实系数有理分式，其分子分母多项式的根均为实 数或共轭复数； （3）系统函数H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
n i1
m
ai si1 p y p 0
bjs j
Y s i0
p0 n
j0 n
F s Yzi s Yzs s
aisi
aisi
i0
i0
n i1
ai si1 p y p 0
m
bjs j
其中，Yzi s i0
p0 n
，Yzs
s
j0 n
F s
aisi
aisi
i0
12
3、含有x的导数的二阶系统的模拟 y a1y a0 y b1x b0x
引入一辅助函数q，使q满足方程：q a1q a0q x，则y满足：y b1q b0q
s2Qs X s a1sQs a0Qs， Y s b1sQs b0Qs
X s s2Qs
sQs
1
s
b1
Qs
1 s
b0
-
X
s
1 1 3s1
2s2
F
s
右边加法器的输出Yzs s为： Yzs s s1X s s2 X s s1 s2 X s
把X s的表达式代入上式得：
Yzs
s
s1 s2 1 3s1 2s2
F
s
H
s
Yzs s F s
s2
s 1 3s
2
s
3
2
s
2 1
14
Q H s 3 2
s 2 s 1
度线性增长的振荡。
单阶极点，等幅振荡或直流；
jω
减幅响应
lim ht 0
t
增幅响应
O