均值不等式求最值的十种方法
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式求最值的方法和技巧
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数。
证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知当01x <≤时，0μ且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x'=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<-> ∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
用均值不等式求最值的若干技巧
用均值不等式求最值的若干技巧均值不等式当且仅当a＝b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，用均值不等式求最大值，和一定是固定值或者乘积一定是固定值。
这是两个公式乘积的形式，但和不是固定值。
通知是一个固定值，所以只需给它加上一个系数。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
总结:这个问题不能直接用均值不等式来解决，但是系数集合后可以得到和为定值，所以用均值不等式可以得到最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
总结:本题需要调整项的符号，匹配项的系数，使其乘积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。
当，即(当且仅当x＝1时取“＝”号)。
当，即时(当且仅当x＝－3时取“＝”号)。
∴的值域为。
小结：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为解法2：将分子中的1用代换。
小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的乘积是一个固定值，即平均不等式得到的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号。
故。
总结:本题目通过换元法将问题简化，化为求大家熟悉的分式函数的最大值问题，从而为结构积为定值创造了有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
小结：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
均值不等式求最值的十种方法
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y xx =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
求函数最值的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
＝3,
xz 4xz
y2 当且仅当x＝3z时取“＝”．故 的最小值为3.故填3.
xz
点评 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将 这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用 均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三 相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方， 容易产生失误．
五、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调 性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方 法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必 考的，且多在解答题中的某一问中出现．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
专题-《用均值不等式求最值的方法和技巧》
用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式 ①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“="号成立； 注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等"；二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求两个正数和的最小值。
例1、求函数1(1)2(1)y x x x =+>-的最小值. 11(1)(1)1112(1)2(1)y x x x x x =+>=-++≥=--1(1)(1)1""2(1)21x x x x -=>=+=-当且仅当，即时，成立,。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：① 3(32)(0)2y x x x =-<< ②22sin cos (0)2y x x x π=<< 2112329(32)2(32)2228332,""298x x y x x x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭=-==①当且仅当即时，成立,故此函数的最大值是 。
2222222sin cos 1sin cos (0)224sin cos (0),""2414x x y x x x x x x x πππ⎛⎫+=<<≤= ⎪⎝⎭=<<==当且仅当即时，成立,故此函数的最大值是②。
3、 用均值不等式求最值等号不成立.例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x =+)10(≤<x 的最小值。
（导数法)由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x '=-<,则函数4()f x x x=+在(0,1]上是减函数。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。
一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。
一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。
2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。
三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。
2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。
利用均值不等式求最值常用技巧
（2） a b c 3 abc ， (a, b, c R ) ， abc a b c 3 。当且仅当 a=b=c 时，取等号。
3
3
6、熟悉一个重要的不等式链：
2 11
ab a b 2
ab
a2 b2 。 2
7、利用均值不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等 ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）； ③必须有自变量值能使函数取到等号. 二、利用均值不等式求最值常用解题技巧
x
0，y
4x
9 x2
2x
2x
9 x2
3
3
2x 2x
9 x2
33 36
当且仅当 2x
9 x2
，即 x
3
36 2
时等号成立，所以当 x
3
36 2
时， ymin
33
36
。
技巧五：换元
例 1、求 y x2 7x 10 (x 1) 的值域。 x 1
解：令 t=x＋1， y (t 1)2 7(t 1）+10 = t2 5t 4 t 4 5
例 1：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
解：令 x2 4 t(t 2) ，则 y x2 5 x2 4 1 t 1 (t 2)
x2 4
x2 4
t
因 t 0, t 1 1 ，但 t 1 解得 t 1不在区间2, ，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为 y t 1 在区间1, 单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y 5 。
C．3 ＝，
D．3
∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，
求最值的10种方法
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
那么|O P |的最小值等于________，最大值等于 ________．
分析 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时， 先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值
解析 由题意，得点P (x， y)的坐标
x y 4,
满足
y
x,
x 1.
画出可行域，如图所示．
由条件，得A (2,2)，|O A |=2 2 ； B (1,3)，|O B |= 10 ；C (1,1)，|O C |= 2 . 故|O P |的最大)的最大值．
这些命题中，真命题的个数是(
A．0
B．1
C．2
) D．3
解析 根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽 然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故 ①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都 满足最值定义中的两个条件．故选C. 点评 利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要 的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需 要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如 函数f(x)＝1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但它
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
专题：用均值不等式求最值的常用技巧
专题：用均值不等式求最值的常用技巧均值不等式是解决最值问题的有效工具。
运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。
多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。
掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2.（1）已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540，∴f x x x x x()()=-+-=--+-+42145541543 ≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x ，即x =1时等号成立。
（2）已知正数x ，y 满足12y x 22=+，求2y 1x +的最大值。
分析：把所求式的变量x 都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。
解：∵12y x 22=+，∴2y x 222=+。
∴4232y 1x 221)y 1()x 2(21y 1x 22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅=+。
高中数学均值不等式最小值最大值
高中数学均值不等式最小值最大值答案：数学中一般没有特定的最大值或最小值的计算公式，如果是二次函数问题有一个，当二次函数二次项系数大于零时，函数有最小值：当二次项系数小于零时，函数有最大值。
当x=-b/2a时，在极值y=(4ac-b^2)/4a一.高中函数求最值的方法1、分体式方法:形似的函数，根据二次函数的极值点或边界点的值域确认函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明晰函数的定义域和单调性，Ploudalm最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形似的函数，而令，反解出来x，代入上式，得出结论关于t的函数，特别注意t的定义域范围，Ploudalm关于t的函数的最值。
除了三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值：首先建议定义域关于原点等距然后推论f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
二.函数最值简介通常的，函数最值分成函数最小值与函数最大值。
最小值设立函数y=f（x）的定义域为i，如果存有实数m满足用户：①对于任一实数x∈i，都存有f(x)≥m，②存有x0∈i。
使f(x0)=m，那么，我们表示实数m就是函数y=f(x)的最小值。
最大值设立函数y=f（x）的定义域为i，如果存有实数m满足用户：①对于任一实数x∈i，都存有f(x)≤m，②存有x0∈i。
使f(x0)=m，那么，我们表示实数m就是函数y=f(x)的最大值.。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b aabc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba112+2a b ab +≤≤≤222ba +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max3227y=。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max9y=。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y x x x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max3218827y⨯=，又max0,3y y>=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
例4(1)已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>，()()()()22412424342241414141x y x x x x +∴==≤=⨯+++++++++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6已知0x π<<，求函数2cos sin xy x-=的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2xt =，则0t >。
所以211cos 11333sin sin 2222x t t ty t x x t t t -+=+=+=+≥=。
当且仅当1322t t =，即33t x π==时，上式取“=”。
故miny =评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 四、拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++()()33333333221151775733x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤==。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故225x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：333333131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=，()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、拼凑常数升幂例10 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13a b c ===，故的辩证转化。
证明：()()()161616161616255,255,255333333a ab bc c +≤+++≤+++≤++，(()1623132.3a abc ∴+≤+++=当且仅当13a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又332,2a b a b +=∴+≥。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。
解：222846446413223264y x y xxy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+= ⎪⎝⎭。
当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min64xy =。
例13已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。
解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。
当且仅当()411x xx x-=-时，即23x =，上式取“=”，故min9y=。
例14若,,a b c R +∈，求证()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。
分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时22a ab c =+， 设()2am b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4b c+为拼凑的需要而添，解题可见眉目。
证明：2222222,2,2444444a b c a b c b c a b c a c a b c a ba b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++()22212a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。
当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
七、引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。
当且仅当149,,x y z x y zλλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z ===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。
八、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,na a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证31222221111123123n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。
证明：记3122222123nna a a ab n =+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111n nd a a a a =+++⋅⋅⋅+，则3122222123111111112123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当(),ia i i N i n +=∈≤时，等号成立。