均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

22

2

2

2

R b a b

a a

b ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；

②，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；

③，、、)(3

33

33

3

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a

abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)

(333

3

+∈⎪

⎭

⎫

⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c

时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：b

a

112+

2a b ab +≤≤≤

2

2

2

b

a +。 一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。

(2) 已知01x <<，求函数3

2

1y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()2

22

111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-

()()3

11111322241422327

x x x x x x ++⎛⎫

++- ⎪++=•••-≤=

⎪ ⎪⎝⎭

。

当且仅当1

12x x +=-，即13

x =时，上式取“=”。故max

3227

y

=

。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2

求函数)01y x x =<<的最大值。

解：

y ==。

因

()()3

2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

，

当且仅当

()2

212

x x

=-，即3x =时，上式

取“

=”。故max

9

y

=

。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()2

64y x x =-的最大值。

解：()()()2

2

2

22

2

2

36418244y x x x x x =-=⨯--

()()3

2223

24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢

⎥≤=⎢⎥⎣⎦

。

当且仅当()2

2

24x x =

-，即3x =时，上

式取“=”。

故max

32

18827

y

⨯=

，又max

0,3

y y

>=

。

二、 拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。

例4

(1)已知54x <，求函数14245

y x x =-+

-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()521

x x y x ++=+的最小值。 解

：

()())

141144

1515911

1

x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦==+++≥+=+++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。故

min 9

y =。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。

例5 已知1x >-，求函数()

()

2

2413

x y x +=+的最大值。 解

：

1,10

x x >-∴+>，

()

()

()()2

24124

24

3

4

224

1414

141

x y x x x x +∴=

=

≤

=⨯+++++++

++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。故

max 3

y =。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。

例6

已知0x π<<，求函数2cos sin x

y x

-=的最小值。 解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2

x

t =，则0t >。

所

以

211cos 11333

sin sin 2222

x t t t

y t x x t t t -+=+=+=+≥=。

当且仅当1322t t =，即33

t x π

=

=时，上

式取“=”。故

min

y =

评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。

三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 四、拼凑常数降幂

例7 若3

3

2,,a b a b R +

+=∈，求证：2a b +≤。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本