2019高考数学考点突破——平面向量平面向量的概念及线性运算学案

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高考数学一轮复习课件51平面向量的概念及线性运算

且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
-13-
考点1
考点2
考点3
思考你对向量的定义、相等、共线有怎样的认识?
解题心得向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
=-x2-(x-1),∵A,B,C 三点共线,
∴-x2-(x-1)=1,即 x2+x=0,解得 x=0 或 x=-1.当 x=0 时,x2+x +
=0,此时 B,C 两点重合,不合题意,舍去.故 x=-1.
-22-
考点1
考点2
考点3
思考如何用向量的方法证明三点共线?
解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量
λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b.由于 a,b 不共线,所以
= ,
1
有
整理得 2λ2-λ-1=0,解得 λ=1 或 λ=- .
2
2- = 1,
1
又因为 k<0,所以 λ<0,故 λ=- .
2
(3)∵ = − ,∴x2+x + − =0,即
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
-14-
考点1
考点2
考点3
对点训练1给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;

2019版高考数学(文科)：平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理

§5.1
高考文数 ( 课标专用)
平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
五年高考
A组统一命题·课标卷题组
1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则
EB
=
(
)
A. 3
AB
-
1
AC
44
C. 3
AB
+
1
AC
4
4
B.1
AB
-3
AC
44
D. 1
AB
+
3
AC
4
4
答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.
∵E是AD的中点,∴ EA=-
1
AD ,
2
∴
EB
=
EA
+
AB
=-
1
AD+ AB ,
2
又知D为BC的中点,
∴
AD
=
1
(
AB
+
AC
),
2
因此
EB
=-
1
(
AB
+
AC
)+
AB
=
3
AB
-
1
AC
,故选A.
4
44
规律总结平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)考查向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的式子比较,然后求参数. (4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算(解析版附后)

2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算（解析版附后）A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A ．23 B ．13 C ．－13D ．－234．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)8．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4-1-110．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值.B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4-1-2，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4-1-23．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由.2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算（解析版）A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．]2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A ．23 B ．13 C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b|b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →) ＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2 [在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]8．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y ＝________.3 [由CM →＝3MB →得CM →＝34CB →，所以AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋34CB →＝AC →＋34(AB →－AC →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此xy ＝3.] 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4-1-1[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值.[解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →， ∴AC →与CD →共线.3分又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.5分(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2. 7分∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 9分即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎨⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. 12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心B [作∠BAC 的平分线AD (图略)． ∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD→|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4-1-2，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4-1-223 [因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由.[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．。

高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件

向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定义
备注
大小相等、方向相同
的向量
两个向如果两个非零向量的方向相同或相反 ,则
量平行称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向相反、大零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

平面向量的概念及线性运算-高考数学复习

相反的向量；
目录
（6）平行向量：方向相同或
相反的非零向量，也叫做共线向
量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相
同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量

｜｜

｜｜
和－
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量
b ＝5（ a ＋ b ）＝5 ，∴ ，共线.
又它们有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.
目录
（2）试确定实数 k ，使 ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线.
解：∵ ka ＋ b 与 a ＋ kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka ＋ b ＝λ（ a ＋ kb ），即 ka ＋ b ＝λ a ＋λ kb ，
＝（
）
目录
1
解析：如图所示，∵ D 为 BC 的中点，∴ ＝（＋
2
2
1
1
），∵ ＝2 ，∴ ＝＝＋，
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ ＝－＝－（＋）＝－＋
3
3
3
2
，故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则＝（＋
2
）.
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心，则＋＋＝0；＝（＋
3
）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点 A ， B ， C 共线，则λ

高考数学第一节平面向量的概念及线性运算教材

第一节平面向量的概念及线性运算考点串串讲 1．向量的基本概念 (1)向量既有大小又有方向的量叫做向量．物理学中又叫做矢量．如力、速度、加速度、位移就是向量．向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用一个小写字母a ，b ，c…表示，或用两个大写字母加→表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)，如AB →、MN →等． (2)向量的长度向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或“称模”)，记作|AB →|.a 的模为|a|.说明：向量是既有大小又有方向的量，不同于数量，而向量的模是正数或0，可以进行大小比较． (3)零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.显然|0|＝0，但零向量的方向是不确定的． (4)单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． (5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量．平行向量也叫做共线向量．若向量a 、b 平行，记作a ∥b. 规定：0与任一向量平行． (6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可． ②向量a ，b 相等记作a ＝b. ③零向量都相等．④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关．2．对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小．(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同．向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上． 3．向量的加法 (1)向量的加法定义已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b.如图所示．求两个向量和的运算叫做向量的加法．对于零向量与任意向量a 有0＋a ＝a ＋0＝a. 说明 ①两个向量的和仍然是向量．②可借助物理学中力的合成、位移等知识来理解向量的加法． (2)向量加法的三角形法则根据向量的定义求向量的和的方法，叫向量加法的三角形法则．说明 ①“首尾相连”具体是指：后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段表示它们的和向量，也可适用于多个向量的加法运算．②当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 的方向都不相同，且有|a ＋b|＜|a|＋|b|. ③当a 与b 共线时，即a 与b 同向、反向或其中至少一个为零向量时： 1°当a ，b 有一个为零向量时，则有a ＋b 的方向和大小与另一个向量相同． 2°当a ，b 为非零向量且方向相反时，若|a|＜|b|，则a ＋b 的方向与b 的方向相同，且|a ＋b|＝|b|－|a|，如图所示．3°当a ，b 为非零向量且方向相同时，a ＋b 的方向与a(或b)的方向相同且|a ＋b|＝|a|＋|b|，如图所示．(3)向量加法的平行四边形法则以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 所对应的AB →，AD →为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a ，b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图所示．说明 ①由向量的加法定义，对于两向量共线可用三角形法则，但对于平行四边形法则就不适用．②对于一些实际问题，平行四边形法则较三角形法则更具优越性． (4)向量加法的运算律向量加法满足交换律、结合律： ①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c) 4．向量的减法 (1)相反向量与a 长度相同，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量．说明 ①－(－a)＝a.②a ＋(－a)＝(－a)＋a ＝0.③若a ，b 互为相反向量，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b ＝－a. (2)向量的减法a 与b 的相反向量的和，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b)．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．说明向量减法的实质是向量加法的逆运算． (3)向量减法的几何作法在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，如图所示．a －b 表示从b 的终点出发指向a 的终点的向量．说明 ①以上作法称为三角形法则，作向量减法运算可归纳为：“平移共起点，连结两终点，方向指被减”．②平行四边形法则也可作向量的减法，即以AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，如图所示，这一结论在向量的运用中非常广泛．③当a ，b 为不共线向量时，有|a －b|＞|a|－|b|；当a ，b 为同向共线向量时，有|a －b|＝|a|－|b|；当a ，b 为异向共线向量时，有|a －b|＝|a|＋|b|. 5．实数与向量积的概念实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.说明 ①实数与向量的积定义的理解：λa 可以认为是把向量a 的长度扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)，同时，不改变a 的方向(当λ＞0时)，也可以变为原来的相反方向(当λ＜0时)．②特殊情况：当λ＝0时，λa ＝0，当λ≠0时，若a ＝0也有λa ＝0. ③实数与向量可以求积，但不可以进行加、减运算． 6．实数与向量的积满足的运算律设λ，ω为实数，则有： (1)λ(ω)a ＝(λω)a (结合律)(2)(λ＋ω)a ＝λa ＋ωa (第一分配律) (3)λ(a ＋b)＝λa ＋λb (第二分配律)说明 ①实数与向量的积也叫数乘向量．②区分数乘向量与数乘数的意义及运算，前者结果是向量，后者结果仍为实数，前者有两种分配律，而后者只有一个．③运算律主要用于对向量式的化简整理中． 7．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使b ＝λa. 说明 ①要证明a ，b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa 即可． ②a ，b 皆为零向量，则λ∈R ，即存在并不唯一且为任意实数．③向量的共线定理可以解决几何中“共点”“共线”“平行”等问题，这也是向量数形结合的具体体现．8．平面向量的基本定理如果e1，e2是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任意向量a 有且只有一对实数λ1，λ2使得a ＝λ1e 1＋λ2e2.我们称不共线的向量e1，e2为表示这个平面内所有向量的一组基底．说明 ①基底不唯一，关键不共线，基向量必须是非零向量．②对于e1，e2，不共线的向量作为基底选定后，λ1，λ2也随之唯一确定．③若e1和e2都是基向量，且ae1＋be2＝ce1＋de2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝cb ＝d .④平面向量的基本定理实质上是将平面内的向量进行分解，继而可以通过向量运算来研究向量间的关系，对于平面几何的证明，求解是重要工具.典例对对碰题型一向量的概念例1判断下列各命题是否正确． (1)若|a|＝|b|，则a ＝b ；(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)a ＝b 的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a|＝|b|a ∥b ；(5)|a|＝|b|是a ＝b 的必要不充分条件．解析 (1)不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|不能推出a ＝b. (2)正确． ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →.又∵A 、B 、C 、D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC ，且AB →与DC →方向相同，因此AB →＝DC →.(3)正确． ∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同．又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c. (4)不正确．当a ∥b ，且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故⎩⎪⎨⎪⎧|a|＝|b|a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． (5)正确．∵|a|＝|b|⇒/ a ＝b ，但a ＝b ⇒|a|＝|b|， ∴|a|＝|b|是a ＝b 的必要不充分条件.变式迁移1下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就不能构成四边形，所以B 不正确；向量平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，可从其逆否命题入手考虑，若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，则有a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，则有a 与b 共线，其逆否命题成立，所以原命题成立，应选C.题型二向量的运算例2如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.分析利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，将OM →，ON →，MN →用a ，b 来表示．解析 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b.∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.又OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ∴MN →＝ON →－OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b. 点评本例中应用了向量的加减法运算，注意了M 、N 将AB 和OP 所分成的比例，以达到用a ，b 来表示的目的.变式迁移2如图所示，E ，F 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，求向量EF →.解析解法一：如图所示，连结AF ， ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， ∴AE →＝12AC →＝12(a ＋b)，又∵BD →＝b ＋c ，∴BF →＝12BD →＝12(b ＋c)，∴AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c)，∴EF →＝AF →－AE →＝a ＋12(b ＋c)－12(a ＋b)＝12(a ＋c)．解法二：∵DB →＝d ＋a ，∴DF →＝12(d ＋a)，∴AF →＝DF →－DA →＝12(d ＋a)－d ＝12(a －d)，∴EF →＝AF →－AE →＝12(a －d)－12(a ＋b)＝－12(b ＋d)，∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，[注：12(a ＋c)＝－12(b ＋d)]∴EF →＝12(a ＋c).题型三共线向量例3设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．分析要证明A 、B 、D 三点共线，只需证明存在实数λ，使BD →＝λAB →即可．而ka ＋b 与a ＋kb 共线，则一定存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)．解析 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b)，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb) 即ka ＋b ＝λa ＋λkb ∵(k －λ)a ＝(λk －1)b∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0. ∴k ＝±1.变式迁移3(1)设两个非零向量e1、e2不共线，如果AB →＝2e1＋3e2，BC →＝6e1＋23e2，CD →＝4e1－8e2，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解析 (1)证明：∵BC →＝6e1＋23e2，CD →＝4e1－8e2，∴BD →＝10e1＋15e2. 又∵AB →＝2e1＋3e2，∴BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又∵公共点为B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵DB →＝CB →－CD →＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，AB →＝2e1＋ke2，又∵A ，B ，D 共线，∴AB →∥DB →，设DB →＝λAB →，则⎩⎪⎨⎪⎧4e2＝λke2，－e1＝2λe1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－8，即k ＝－8.题型四向量线性运算的几何意义例4O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心解析由题意得，AP →＝λ(AB →＋AC →)，令AB →＋AC →＝AD →，则AD 与BC 互相平分，又AP →＝λAD →，即P 点在直线AD 上，而直线AD 是BC 边上的中线所在的直线，所以P 点的轨迹必经过△ABC 的重心，故选D. 答案 D点评本题属于中档题，主要考查向量加法和向量数乘的几何意义．解决此类问题切入点很重要，要熟悉向量运算的几何意义，如本题中设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →意味着A 、P 、D 三点共线，又直线AD 是BC 的中线所在的直线，这样问题就迎刃而解了.变式迁移4O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心答案 B解析如图所示，向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|即为图中的向量AD →，且AD →在∠CAB 的平分线上，∴OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)表示P 点在∠CAB 的平分线上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选B.【教师备课资源】题型五用向量方法证明平面几何问题例5如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值．分析分析1：为求λ值，可应用图中的三点共线和向量的加减法运算，将QM →、MC →往BC →上转化．分析2：考虑到AN ＝13AC ，AM ＝13AB ，从而MN ∥PQ ，可用平面几何的知识求解．解析解法一：AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，又QA →＝MA →－MQ →＝12BM →－λCM →＝12BM →＋λMC →，且又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，∴λ＝12. 解法二：如图，∵AN ＝13AC ，AM ＝13AB ，∴连结MN ，则MN ∥PQ.又AP ＝QA ，则A 为PQ 中点．又MN PA ＝BN BP ＝BM BA ＝23，且MN AQ ＝CN CA ＝CM CQ ＝23， ∴MQ ＝13CQ ，∴MQ ＝12CM.即λ＝12.点评本例解法一利用了向量的加减法运算，结合共线向量定理，将未知向量QM →，MC →转化到BC →上，使问题得以解决；解法二是利用了平面几何的知识，简单明了．两种方法都有独到之处，可相互渗透.变式迁移5如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证M 、N 、C 三点共线．解析设AB →＝e1，AD →＝e2，则 BD →＝BA →＋AD →＝－e1＋e2，BN →＝13BD →＝－13e1＋13e2， MB →＝12e1，BC →＝AD →＝e2， MC →＝MB →＋BC →＝12e1＋e2， MN →＝MB →＋BN →＝12e1－13e1＋13e2 ＝16e1＋13e2＝13(12e1＋e2)．故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线.方法路路通1．对于向量的概念应注意以下几条(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示．(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同．所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不然，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的．2．平行四边形的两条对角线向量，分别是相邻两边向量的和向量与差向量．3．重要结论：(1)围成一周顺次始终首尾相接的向量的和为0.(2)a ＋0＝a ，－(－a)＝a ，a ＋(－a)＝0，a －b ＝a ＋(－b)．(3)若△ABC 的重心为M ，则MA →＋MB →＋MC →＝0.(4)若点P 在直线AB 上，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1.特别地，当λ＝μ＝12时，点P 为线段AB 的中点．4．关于两向量及它们的和与差，其长度之间有以下重要性质：||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b| ①||a|－|b||≤|a －b|≤|a|＋|b| ②注意①②等号成立的条件：||a|－|b||≤|a ＋b|等号成立的条件是a 、b 中有一个为零向量或a 、b 共线且反向．|a ＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a ，b 中有一个为零向量或a 、b 共线且同向．5．0与0具有不同含义，0是既有大小，又有方向的向量，它的方向是任意的，与任何向量平行，而0只是一个实数．6．对于共线向量定理a ＝λb 中，若a 与b 同向，则λ＞0，若a 与b 反向，则λ＜0. 正误题题辨例下列命题正确的是( )A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c 共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 不共线C ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量错解因为向量a 与b 共线，所以a ＝λ1b ，又因为向量b 与c 共线，所以b ＝λ2c ，则a ＝λ1λ2c ，向量a 与c 共线，故选A.点击错解中对零向量的特殊认识不到位，忽视了零向量与任意向量共线．正解选项A 中用了非零向共线的传递性，而条件中没有非零向量的条件，若b ＝0时，结论显然不成立．选项B 中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立．选项C 中向量AB →与CD →共线，直线AB 与CD 可能平行，故推不出A 、B 、C 、D 共线，结论不成立．因此正确选项是D.答案 D。

《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》学案

学习过程复习预习1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．知识讲解考点1 向量的有关概念考点2 向量的线性运算考点3 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例题精析【例题1】【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【例题2】【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.【解析】OC＝OB＋BC＝OB＋2BA＝OB＋2(OA－OB) ＝2OA－OB＝2a－b.DC＝OC－OD＝OC－23OB＝(2a－b)－2 3b＝2a－53b.【例题3】【题干】已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．【解析】由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．课堂运用【基础】1.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋34b B.14a＋34bC.14a＋14b D.34a＋14b2．已知向量p＝a|a|＋b|b|，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是()A．[0，2] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2]3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM ＝x AB，AN＝y AC，则x·yx＋y的值为()A．3 B.1 3C．2 D.1 2【巩固】4．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．5．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m AM成立，则m ＝________.【拔高】6.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证：KL＝14AE.7．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－k e2，且A、C、D三点共线，求k的值．课程小结(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．。

2019版高考数学第5章平面向量1第1讲平面向量的概念及线性运算教案

第1讲平面向量的概念及线性运算了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [说明] 三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③D ．①②解析：选 A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A. 12a ＋12b B. 12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．[典例引领]角度一用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[通关练习]1．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A. AB → B. DA → C. BC →D ．0解析：选D.因为AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋CD →＋DB →＋BA →＝0.2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.3．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →，又PA →＋BP →＋CP →＝0，所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →，所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0. 所以k ＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[通关练习]1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( ) A ．λ＝0 B ．λ＝－1 C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线，因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.答案：3求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A. AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C. QC →－QP →＋CQ → D. PA →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →，显然由PB →－BQ →得不出PQ →，所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：选A.BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1，故选D.5．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D .依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 6．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13. 答案：[3，13]7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b8．(2018·豫西五校联考)若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．解析：由题设知CM MB ＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.答案：349.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －k λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝k λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43. 综上，k 的值为43.1．(2018·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D. 3．给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线．其中为真命题的有________(填上序号)．解析：由向量的平行四边形法则知道，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量．所以①是真命题；若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题．答案：①②③4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ，又E 为AD 中点，所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →，所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。

高三数学一轮复习精品学案2：5.1 平面向量的概念及线性运算

5.1 平面向量的概念及线性运算『导学目标』1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．『知识整合』1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.『问题思考』1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？3．λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？4．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？易误警示平面向量线性运算中的易误点『典例』设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是() A．1B．2C．3D．4下列命题中正确的是()A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λaB．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0C．不等式||a|－|a＋b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线『能力提升』1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA4．化简OP －QP ＋MS －MQ 的结果为________．5．已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．答案『知识整合』1．(1) 方向模(2) 0(3) 1个单位(4) 相反(5) 相同(6) 相反2．数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．充要『问题思考』1．提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．提示：相等，且均为0.4．提示：成立．易误警示平面向量线性运算中的易误点『典例』『解题指导』利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断．『解析』对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，由题意必有λb和μc表示不共线且长度不定的向量，由于μ为正数，故λb＋μc不能把任意向量a 表示出来，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错误，因此正确的个数为2. 『答案』 B『名师点评』 1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为③也是正确的，从而错选C.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．『解析』选D 若a ＝0，b ≠0，此时a ，b 共线，但对任意实数λ都不满足b ＝λa ，故选项A 不正确；AB ＋BC ＋CA ＝0而不是0，故选项B 不正确；当a ，b 中至少有一个为0时，两个等号同时成立，故选项C 不正确；因为向量a 与b 不共线，所以a ，b ，a ＋b 与a －b 均为非零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，方程组无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线，故选D. 『能力提升』1．『解析』选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．『解析』选D 可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A 、B 、C 选项都不正确，故D 正确． 3．『解析』选A如图，由于D 是AB 的中点，所以CD ＝CB ＋BD ＝CB ＋12BA ＝－BC ＋12BA4．『解析』OP －QP ＋MS －MQ ＝(OP ＋PQ )＋(MS －MQ )＝OQ ＋QS ＝OS .『答案』OS5．『解析』∵a ＋λb 与－(b －3a )共线，∴存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，∴⎩⎨⎧μ＝13，λ＝－13.『答案』－13。

高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件

②试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量，所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.

高中数学《平面向量的概念及线性运算》复习和习题课件PPT

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典例精析
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同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
高中数学
§第一节
平面向量的概念及线性运算
（复习+习题练习）
解析几何
真题在线
（2018年·河南对口升学）下列命题中，正确的是( ).
A.若|a|=|b|，则a= b
B.若a = b ，则a与b是平行向量
C.若| a |>| b |，则a> b
D.若a ≠ b ，则向量a与b不共线
知识清单
考点一平面向量的基本概念
知识清单
考点一平面向量的基本概念
3.向量的模
向量的大小（长度）称为向量的模，AB 模记作 AB .
4.零向量模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不确定. 5.单位向量模为1个单位长度的向量称为单位向量，单位向量的方向不确定..
知识清单
考点二平行向量与相等向量
1.平行向量方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故又称共线向量.规定：0与任一向量共线. 2.相等向量模相等且方向相同的向量称为相等向量.若a与b相等，则记作a =b. 注意：向量不能比较大小，因为向量有方向，而方向没有大小. 3. 模相等且方向相反的向量称为相反向量.若a与b互为相反向量，则记作a= －b.
1.向量的概念既有大小又有方向的量称为向量. 2.向量的表示字母表示法：如a，b，c等.
几何表示法：用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等。坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为坐标原点，终点A 的坐标为（x，y），则（x，y）称为OA 的坐标，记为OA =（x，y）.