离散数学课件_5 谓词逻辑
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第5章_谓词逻辑_meng
底是人。所以，苏格拉底是要死的。” 前提：任何人都是要死的。苏格拉底是人。 结论：苏格拉底是要死的。 从直观含义上看，该推理是正确的！ 不是永真公式，在p 符号化： 取1、q取1和r取0下 p: 任何人都是要死的。 ，命题公式pq r q: 苏格拉底是人。 的真值为0。pqr r: 苏格拉底是要死的。 不成立 推理的形式结构为 p, q ╞ r
④某一个星球存在生命。
H(x, y)：x存在y，个体变量x：星球，个体变量y：生命。 (x)(y)H(x, y)
5.2 谓词逻辑公式
由命题变元、命题常元、联结词、个体变元、 个体常量、谓词、函词、量词等组成的用以表 示复杂命题的符号串，称为一阶谓词逻辑公式 （first order predicate logic formula ），简称为谓词逻辑公式（predicate logic formula）或一阶逻辑公式（first order logic formula）。
5.1.3
函词(函数)
n元函词：
含有n个个体词的函词。 一般形式为f(x1,x2,…, xn)， 表示“由x1, x2, …和xn根据f确定的个体”。
函词对于谓词逻辑来说不是必须的!
可以借助于谓词等进行表示 但引入函数之后表示起来更方便
例
例5.2 表示如下命题中的谓词和函词。
例
例5.3-4 表示如下命题中的量词。
①空集包含于任意集合；
P(x, y)：x包含于y， 个体常量a：空集， 个体变量x：集合。 (x)P(a, x)；
②所有自然数非负；
Q(x)：x是负数，个体变量x：自然数。 (x)Q(x)；
③有一些人登上过月球；
P(x, y)：x登上过y， 个体常量a：月球， 个体变量x：人。 (x)P(x, a)；
④某一个星球存在生命。
H(x, y)：x存在y，个体变量x：星球，个体变量y：生命。 (x)(y)H(x, y)
5.2 谓词逻辑公式
由命题变元、命题常元、联结词、个体变元、 个体常量、谓词、函词、量词等组成的用以表 示复杂命题的符号串，称为一阶谓词逻辑公式 （first order predicate logic formula ），简称为谓词逻辑公式（predicate logic formula）或一阶逻辑公式（first order logic formula）。
5.1.3
函词(函数)
n元函词：
含有n个个体词的函词。 一般形式为f(x1,x2,…, xn)， 表示“由x1, x2, …和xn根据f确定的个体”。
函词对于谓词逻辑来说不是必须的!
可以借助于谓词等进行表示 但引入函数之后表示起来更方便
例
例5.2 表示如下命题中的谓词和函词。
例
例5.3-4 表示如下命题中的量词。
①空集包含于任意集合；
P(x, y)：x包含于y， 个体常量a：空集， 个体变量x：集合。 (x)P(a, x)；
②所有自然数非负；
Q(x)：x是负数，个体变量x：自然数。 (x)Q(x)；
③有一些人登上过月球；
P(x, y)：x登上过y， 个体常量a：月球， 个体变量x：人。 (x)P(x, a)；
离散数学谓词逻辑
VS
复合命题
由原子命题通过逻辑运算符组合而成的命 题，如“John is a student and Mary is a teacher”
逻辑运算符和括号的使用
逻辑运算符
and（合取）、or（析取）、not（否定）、if...then（蕴含）等
括号的使用
对于复杂的命题，需要使用括号来表示逻辑运算的优先级
逻辑模型
通过建立合适的逻辑模型，将实际问题转 化为逻辑推理问题，从而得到最优解或可 行解。
06
总结与展望
离散数学谓词逻辑的重要性和应用价值
离散数学谓词逻辑是计算机科学、人 工智能、通信工程、应用数学等多个 学科领域的基础工具，对于解决这些 领域的问题具有重要的应用价值。
离散数学谓词逻辑提供了一种描述客 观世界中离散结构及其性质的方式， 可以用来刻画和解释计算机科学中的 数据结构和算法、人工智能中的知识 表示和推理等问题。
04
离散数学中的逻辑推理方法
演绎推理
定义
演绎推理是根据某些前提，通过推理得出结论的思维 方式。在离散数学中，演绎推理通常涉及逻辑推理、 集合推理、量词推理等。
形式化
演绎推理通常采用的形式是三段论，即大前提、小前 提和结论三个部分。例如，所有的偶数都是整数（大 前提），4是偶数（小前提），所以4是整数（结论） 。
蕴含
用if...then或者⇒表示，如“if John is a student, then Mary is a teacher”
逻辑量词：全称量词和存在量词
全称量词
用for all或者∀表示，如“for all x, x>0”
存在量词
用exists或者∃表示，如“exists x, x>0”
离散数学谓词逻辑.ppt
作用变元、 指导变元
量词 的辖域
xA(x)，xA(x)
例如：D=全班同学的集合。A(x):今天x迟到了。
Hale Waihona Puke 西 华xA(x) 表示今天x迟到了。x∈D，从而x指同学。
大 学
xA(x)表示今天有同学迟到了。
xA(x)就表示为今天所有的同学都迟到了。
显然，当D为有限集合时，D={a1,a2,……,an}
（课堂 作业）
例4.在成都工作的人未必是成都人。
西 华
D={人类集合}
大
学
• 解：设P(x):x在成都工作；Q(x)：x是成都 人。
• ⑴存在这样的x，x在成都工作但是x不是 成都人。x(P(x) ∧ Q(x))
• ⑵ 并不是说，所有的x在成都工作，x就是 成都人。 (x(P(x) Q(x)))
L（a，b）才是命题，并且是假命题。 c为2，d为0
时，L（c，d）是真命题。
有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词。 0元谓词 中的谓词的意义确定后， 0元谓词是命题。
使用谓词注意：
（1） n元谓词中，客体变项的次序很重要 。
例：F（x,y）表示x是y的父亲，
西
a:张三，b:张小明。
华
F（a,b）表示张三是张小明的父亲。
（2）存在x，使得:x+5=2
大 学
要求：
1）个体域为自然数集合
2）个体域为实数集合
例4 ：在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）凡偶数均能被2整除
西 华
（2）存在着偶素数
大 学
（3）没有不吃饭的人
（4）素数不全是奇数
例5.对任意的x都存在y，使得x +y=2。
D=实数集合
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学L5谓词逻辑2
或干脆规定B不含x
– 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
9
基本等值式(4)
• 量词对的分配律
(x)(P(x) Q(x)) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) – 其中B不含x的自由出现!
Lu Chaojun, SJTU
3
约束变元换名规则
• 约束变元的名字是无关紧要的. • 换名规则:对于公式(x)A(或(x)A),设变 元y不在A中出现,将A中所有受此量词约 束的x出现都换成y得到A,且量词改成 (y)(或(y)).得到的公式(y)A (或(y)A ) 与原公式等值.
所有人要么是男人要么是女人.
(x)Man(x)(x)Woman(x)
要么所有人都是男人,要么所有人都是女人.
Lu Chaojun, SJTU
8
基本等值式(3)
• 量词对及的分配律
(x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B – 其中B不含x的自由出现!
– 只有普遍有效的公式A ,才与其-前束范式是 等值的. – 一般的公式与其-前束范式并不等值. – 用于FOL完备性的证明.
Lu Chaojun, SJTU
20
例:-前束范式
求(x)(y)(u)P(x,y,u)的-前束范式(P中无量词). 1.先求前束范式.本例已是. 2.关键一步:(y)改写成(y)...(z).形如 (x)((y)(u)(P(x,y,u) S(x,y)) (z)S(x, z))
– 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
9
基本等值式(4)
• 量词对的分配律
(x)(P(x) Q(x)) (x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) (x)(P(x) B) (x)P(x) B (x)(B P(x)) B (x)P(x) – 其中B不含x的自由出现!
Lu Chaojun, SJTU
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约束变元换名规则
• 约束变元的名字是无关紧要的. • 换名规则:对于公式(x)A(或(x)A),设变 元y不在A中出现,将A中所有受此量词约 束的x出现都换成y得到A,且量词改成 (y)(或(y)).得到的公式(y)A (或(y)A ) 与原公式等值.
所有人要么是男人要么是女人.
(x)Man(x)(x)Woman(x)
要么所有人都是男人,要么所有人都是女人.
Lu Chaojun, SJTU
8
基本等值式(3)
• 量词对及的分配律
(x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B (x)(P(x)B) (x)P(x) B – 其中B不含x的自由出现!
– 只有普遍有效的公式A ,才与其-前束范式是 等值的. – 一般的公式与其-前束范式并不等值. – 用于FOL完备性的证明.
Lu Chaojun, SJTU
20
例:-前束范式
求(x)(y)(u)P(x,y,u)的-前束范式(P中无量词). 1.先求前束范式.本例已是. 2.关键一步:(y)改写成(y)...(z).形如 (x)((y)(u)(P(x,y,u) S(x,y)) (z)S(x, z))
离散数学PPT教学谓词逻辑
b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
返回
4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
返回
5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
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5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
返回
一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
3
二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
返回目录
二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
返回
4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
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5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
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5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
返回
一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
3
二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
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二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
离散数学谓词逻辑课件
第二章谓词逻辑
第二章 小结
本章重点掌握内容： 1.各基本概念清楚。 2.会命题符号化。 3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。 4.会写前束范式。 5.熟练3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F (4)b)对约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z)
第二章谓词逻辑
(6)判断下面推证是否正确。 x(A(x)→B(x)) ⑴ x(A(x)∨B(x)) ⑵ x(A(x)∧B(x) ⑶ x(A(x)∧B(x)) ⑷ (xA(x)∧xB(x)) ⑸ xA(x)∨xB(x) ⑹ xA(x)∨xB(x) ⑺ xA(x)→xB(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： x(A(x)∧B(x))(xA(x)∧xB(x)) 无此公式，而是 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x)，应将⑷中的换成 即：
第二章谓词逻辑
例2.7.1 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。 令 M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。 符号化为： x(M(x)→C(x)),M(a) C(a) ⑴ x(M(x)→C(x)) P ⑵ M(a)→C(a) US ⑴ ⑶ M(a) P ⑷ C(a) T ⑵⑶ I11
2-7 谓词演算的推理理论
第二章谓词逻辑
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学谓词逻辑
法律中的谓词逻辑
法律推理
法律推理中广泛使用了谓词逻辑，通过 定义相关的谓词和关系，可以清晰地表 达法律条款和案例，并利用逻辑推理得 出结论。
VS
法律文本分析
法律文本分析中利用谓词逻辑对法律文本 进行语义分析和理解，提取关键信息，提 高法律工作的效率和准确性。
心理学中的谓词逻辑
认知心理学
认知心理学中利用谓词逻辑来描述和解释人 类的认知过程，例如概念形成、推理和判断 等。
存在量词消解
如果P(x)是一个存在命题，且Q(x)是一个全称命题，且P(x)和Q(x)之间存在某种关系，那么可以推断 出R(x)成立。
形式化证明
前提条件
证明一个命题需要基于其他命题或公理。
01
推导步骤
使用推理规则将前提条件转化为结论。
02
03
证明结构
由一组前提条件、推导步骤和结论组 成的结构。
04
谓词逻辑的应用
人工智能中的谓词逻辑
推理和决策
人工智能在推理和决策方面应用了谓词逻辑，例如在专家系统中使 用谓词逻辑来表示和推理知识。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分广泛使用了谓词逻辑，通过将自然 语言转换为谓词逻辑表示，可以进行更准确的理解和推理。
机器学习
机器学习算法可以利用谓词逻辑进行特征提取和分类，提高学习效率 和准确性。
离散数学谓词逻辑
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目 录
• 离散数学概述 • 谓词逻辑基础 • 谓词逻辑的推理规则 • 谓词逻辑的应用 • 离散数学的其他分支 • 离散数学与计算机科学的关系
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科。它包括许多分支，如数理逻辑、图论、组合数学、代数 结构等。
离散数学 第五-六章
例如 实数集上对+可分配,但+ 对不可分配; 集合上的运算, ;,命题集合P上的,都是相互可分配
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
离散数学_谓词逻辑
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符 号化为 （x）(P(x)∨N(x)) 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 （x）(I(x)(P(x)∨N(x))).
全称量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
【例】设 P 表示命题：张辉是工人。 Q 表示命题：李明是工人。 仅仅从命题符号 P 和 Q 看不出张辉和李明 都是工人这一特性。 【例】 x=3 ? x+y=z ? f(x)=0 ?
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression) 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 （7） x与y具有关系L。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”、“…与…具有关系L”都是谓词。
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
（2）当个体域为人类集合时： 令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为 （ x）G(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 （x） (M(x) ∧ G(x))
存在量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
离散数学之谓词逻辑 ppt课件
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
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7 2014-9-23
第一节
谓词与量词
本节的主要内容有: 1.给出了谓词与量词两个概念,其中量词 又分为全称量词与存在量词； 2.给出许多自然语言符号化的例子； 3.初步体会到应用谓词与量词后,逻辑表 达能力大为加强.
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2 2014-9-23
第二节
公式与解释
本节主要内容有: 1.给出了4种符号,即常量符号、变量符号、 函数符号、谓词符号的定义; 2.在4种符号的基础上,定义了项,在项和谓词 的基础上定义原子,在原子的基础上用递归 的方法定义了公式； 3.公式的指导变元、辖域、约束变元、自由 变元及变元的改名规则; 4.命题的解释或赋值的概念； 4.恒真、恒假公式的定义;
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6 2014-9-23
本章小结
本章讨论问题的方式与前一章基本上是平 行的，首先认识到前一章的命题的局限 性进而引后用等价式、蕴涵式等 进行推理，与命题逻辑相比，谓词逻辑 的内容较为丰富也较为复杂.
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5 2014-9-23
第五节 谓词演算的演绎与推理
与命题逻辑中的推理一样 ,谓词逻辑中的推理 也是利用公式间的各种等价关系，蕴涵关系. 通过一些推理规则，从已知的公式推出某些 新的公式 . 且命题逻辑的推理规则在谓词逻 辑中仍可使用 , 但由于谓词逻辑中引进了个 体词，谓词和量词，因此我们还必须添加一 些与量词有关的推理规则, 1.添加的推理规则是 :全称特定规则、存在特 定规则、全称推广规则、存在推广规则; 2.此外本节给出许多例子说明推理方法.
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3 2014-9-23
第三节
等价与蕴涵
与命题逻辑一样，一阶逻辑也有等价与蕴 涵的问题,考虑了下列问题: 1.量词与否定联结词之间的关系 ; 2.量词辖域的扩张与收缩规律； 3.量词与联结词之间的13个基本等价式； 4.5个基本蕴涵式； 5.改变公式的两个量词排列次序的变化规律； 6.对偶式的概念与对偶原理
第五章
谓词逻辑
本章可视为前一章的深入和提高； 由于命题逻辑的局限性我们必须 引入谓词逻辑.学习本章时要求掌 握好谓词与命题的关系、量词、 辖域、公式等概念.比较谓词公式 的等价、蕴涵与命题公式相应的 概念的异同；能将自然语言符号 化；能用谓词逻辑进行推理；理 解前束范式的意义.
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1 2014-9-23
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4 2014-9-23
第四节
前束范式
范式是解决公式的标准表示形式问题.在 一阶逻辑性中同样有范式的概念并且范式 也不只一种.但我们仅介绍一种范式—— 前束范式 1.前束范式的定义； 2.前束范式的存在性,即一阶逻辑中的任意 公式，都存在一个与之等价的前束范式； 3.前束范式的求法,见书中给出的例子.