极坐标圆锥曲线问题
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题，是指如何确定不同角度下的圆锥曲线的形状、大小及相关属性。
这个问题涉及到广泛的数学知识，包括平面几何、代数学和微积分等。
为了解决这个问题，数学家们开发了多种方法，下面将对其中的几种方法作简单介绍。
一、解析法解析法是最常用的一种方法，它将圆锥曲线的方程引入坐标系中，从而可以用代数学方法进行计算。
解析法的优势在于能够精确地求解各种属性，包括曲线的焦点、直线渐近线、曲率及曲率半径等，这些都可以用代数形式表示。
此外，解析法还可以通过运用矢量和以及微积分技巧推导出其他相关公式。
二、几何法几何法是以几何图形为基础的一种方法，它适合于解决圆锥曲线上的几何问题，比如确定曲线的顶点、焦点、渐近线和曲率半径等。
几何法的优势在于容易理解，能够直观地显示出曲线的形状和大小，不需要对各种数学公式有深入的了解。
但是几何法对于精确计算曲线各种属性并不适用，这需要应用代数方法。
三、极坐标法极坐标法也是一种解析方法，与解析法不同的是，它将圆锥曲线的方程表示为极坐标下的形式。
这种方法的优势在于能够更容易地描述曲线的轮廓，而且可以确定曲线的对称中心。
但是极坐标法也存在一定的不足之处，主要体现在它对于计算曲线各种属性的难度较大。
四、参数法参数法是一种特殊形式的解析法，它将曲线的坐标表示为参数方程的形式。
这种方法可以应用于计算曲线上某一点的切线和法线、弧长、曲率等，是解决某些问题的有效方法。
但是参数法也存在一些不足之处，例如在一些问题中，参数方程的计算和理解较为复杂。
总之，以上几种解决圆锥曲线问题的方法各有所长，可以灵活地应用于不同的问题和情况。
在实际应用中，一些情况下也会综合应用多种方法进行解决，以获得更为全面的结果。
圆锥曲线解题技巧之五利用曲线的极坐标方程解题
圆锥曲线解题技巧之五利用曲线的极坐标方程解题圆锥曲线解题技巧之五：利用曲线的极坐标方程解题在解决圆锥曲线相关问题时，我们经常使用的解题技巧之一就是利用曲线的极坐标方程。
这种方法能够帮助我们更加简洁地描述和解决问题，为我们解答一些复杂的几何问题提供了便利。
本文将介绍如何利用曲线的极坐标方程解题，并通过实例加深理解。
一、什么是极坐标方程在介绍如何利用极坐标方程解题之前，我们先来了解一下什么是极坐标方程。
极坐标方程是一种用极坐标表示的函数方程。
在平面直角坐标系中，我们通常用x和y坐标来描述点的位置，而在极坐标系中，我们用极径和极角来确定点的位置。
极径是点到原点的距离，而极角则是极径与x轴正半轴之间的夹角。
二、利用极坐标方程解题的步骤1. 确定曲线的极坐标方程首先，我们需要确定所给曲线的极坐标方程。
根据不同类型的圆锥曲线，它们的极坐标方程也会有所不同。
例如，椭圆的极坐标方程为r = aε / (1 + εcosθ)，其中a为主轴长，ε为偏心率，θ为极角。
2. 利用极坐标方程解题一旦确定了曲线的极坐标方程，我们就可以利用该方程进行解题。
根据所给的问题，使用极坐标方程来确定所求的未知量，并进行计算。
在这个过程中，我们可以运用一些基本的数学技巧和公式，如加减乘除、因式分解、平方差公式等，来求解方程，并得出所需要的答案。
3. 检验解答的合理性在解题的过程中，我们需要时刻注意检验解答的合理性。
首先，我们可以将所求点的坐标代入极坐标方程中，看是否满足等式。
其次，我们可以将所求点的坐标代入原始问题中，看是否满足题目的要求。
只有在这两方面都满足的情况下，我们才能确定所求的答案是正确的。
三、实例分析为了更好地理解如何利用曲线的极坐标方程解题，我们以一个实例进行分析。
假设有一个椭圆，其极坐标方程为r = 2 / (1+cosθ)。
现在需要求解该椭圆上的点P的坐标。
首先，我们已经确定了椭圆的极坐标方程为r = 2 / (1+cosθ)。
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
、
基础 知识
，
．
・
・ ．
在教 材 中 ， 圆锥 曲线 统一 的极坐 标方程 （ 如图 １ ） 是如 下定义 ： 过焦 点 ，作相 应准 线 的垂 线 ￡ ， 垂足 为 ， 以焦点 Ｆ为 极点 ， Ｆ Ｋ的 反 向延 长线 为极 轴 ， 建立 极 坐 标 系 ， 从 而 得 到 圆 锥 曲线 统 一 的 极
坐标 方程 ：
，．
ｂ＝ １， ｃ＝
， 口＝
以椭 圆 的右焦点 为极 点 、 轴 的负半 轴 为极 轴 ， 建 立 如 图 ３所 示 的极坐 标 系 ， 则椭 圆 的极坐 标方程 是 ｐ １
推广 １ ： Ｐ＝
， 当 ０＜ｅ ＜１ 时， 方 程 表 示 极 点在 右 焦 点
：
极径 ； ３ 、 ① 因为椭 圆 、 双 曲线 Ｐ＝ 的几何 意义 ， 所 以 的极 坐标方 Ｃ
Ｌ２
等 ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 的 离 心 率 为 字 ， 椭 圆 与 轴 交 于
２ ２
程可 以变 形 为 Ｐ＝ —
两点Ａ （ ａ ， ０ ） 、 Ｂ （ 一 ａ ， ０ ） ， 过 点 Ｃ的直线 ｌ 与椭 圆交于另 一点 Ｄ， 并 与 轴交 于点 Ｐ， 直线 Ａ Ｃ与直线 Ｂ Ｄ交 于点 Ｑ。 ； ② 因 为 ｅ的特 殊 性 ， 所 以抛 物 线 的 极 （ １ ） 当直线 Ｚ 过椭 圆右 焦点 时 ， 求线 段 Ｃ Ｄ的长 ； （ ２ ） （ 略） 。 解： ‘ ・ ‘ 过点 ｃ （ ｏ ， １ ） 的椭 圆 ＋ ＝ ｌ （ ｎ＞ ６ ＞ ０ ） 的离 心率 为
－ｌ
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圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高老命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有老察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！ ?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴）, 焦点为F,设倾斜角为G的直线/经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则（1）当焦点在X轴上时，弦AB的长IABI= —；11 - COS^ a I（2）当焦点在丫轴上叭弦AB的长而推论：（I）B点在X轴上,当ASB在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,IABI= —上一十l-f COSJ a 当AX B不在双曲线的一支上时，IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时,<?" COS fc iZ-IHIABI=一 .SiIr a⑵焦点在y轴上,当入B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时9∖AB∖=一竺十1一0°sin" a当A、B不在双曲线的一支上时，IABI= — ;当圆锥曲线是抛物线时, L SHr α-lIABl=cos* a典题妙解F面以部分高老题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 (06文第21题)已知椭圆+ * = 抛物线。
-加)2=2Z (P >0), 旦G、G的公共弦AB过椭圆Cl的右焦点.(I)当AB丄X轴时，求p, m的值，并判断抛物线C?的焦点是否在亶线AB上；4(II)若P =-且抛物线G的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程・L V*例2 （07全国I文第22题）已知椭圆y + -= 1的左.右焦点分别为耳，过件的直线交椭圆于B. D两点，过耳的直线交椭圆于A・C两点，旦AC丄BD f垂足为P・■ ■⑴ 设P点的坐标为（心，儿），证明：牛+ *^v1.⑵求四边形ABCD的面积的最小值.例3 (08全国I理第21题文第22题)双曲线的中心为原点6 焦点在X上，两条渐近线厶于入B两点.已知IMI、分别为厶、I2,经过右焦点F垂直于片的直线分别交厶、IABk IoRl成等荃数列，且丽与臥同向.(I )求双曲线的离心率；(II)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.金指点睛21.已知斜率为1的直线/过椭圆⅛+ A∙2 = 1的上焦点F交椭圆于A. B两点，则4IABl= ___________ .22・过双曲线X--—= 1的左焦点F作倾斜角为7的吉线/交双曲线于AX B两点，则30IABl= __________ .3.已知椭圆x1+2y2-2 = 0,过左焦点F作宜线/交A、B两点，O为坐标原点，求AAOB的最大面积.4.已知抛物线Γ=4∕ΛV (/; >0),弦AB过焦点F,设IABl=加，AAOB的面积为S,求证：存为定值•5. （05全国Il文第22题）F、Q、MX N四点都在椭圆，+冷=1上，F为椭圓在y轴正半轴上的焦点•已知丽与甩共线，丽与丽共线■且亦・MF = O四边形PQMN的面积的最大值和最小值.6. (07文第22题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2 = 8.v的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(I )求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程；(Il)若Q为锐角,作线段AB的垂直平分线m交.v轴于点P,证^lFPl-IFPICoS2σ 为定值，并求此定值.iVf ,.专业7•点M与点F(0,2)的距离比它到直线/: y + 3 = 0的距离小1.(1)求点M的轨迹方程；⑵ 经过点F且互相垂直的两条亶线与轨迹相交于Aj B; CX D.求四边形ACBD的最小面积・8.已知双曲线的左右焦点F I、F2与椭圆y+y2 =1的焦点相同，且以抛物线V2= -2Λ∙的准线为其中一条准线.(1)求双曲线的方程；(2)若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B; C、D.求四边形ACBD 的面积的最小值•参考答案:Y e- Oik- C 证明：设双曲线方程为庐"。
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题在数学中，圆锥曲线是指由平面与一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）之间的点所构成的曲线。
利用直角坐标系和极坐标系可以方便地解决圆锥曲线问题。
下面将介绍如何利用这两种坐标系来解决该问题。
1. 直角坐标系解圆锥曲线问题在直角坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
1.1 椭圆椭圆是一个有限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之和为常数。
在直角坐标系中，椭圆的方程可表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半长轴。
1.2 双曲线双曲线是一个无限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之差为常数。
在直角坐标系中，双曲线的方程可表示为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或者(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半长轴。
1.3 抛物线抛物线是一个有限点的几何图形，其特点是到焦点和到准线的距离相等。
在直角坐标系中，抛物线的方程可表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 极坐标系解圆锥曲线问题在极坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括极坐标方程、参数方程和极径方程。
2.1 极坐标方程极坐标方程是通过指定极径和极角来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的极坐标方程可以表示为：r = f(θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.2 参数方程参数方程是通过引入一个或多个参数来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)，y = g(t)其中t为参数。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
极坐标_圆锥曲线_导数复习题-教师 - 副本
一．选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 1 若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=………………………………………………………（ ）A 3-B 6-C 9-D 12-解： D '0000000()(3)()(3)lim4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2．抛物线24x y =的焦点坐标是………………………………………………………………………………（ ）A ．（0,1）B ．（1,0）C ．（161,0）D ．)0,161(解：C3．已知直线m x y -=2是曲线x y 2ln =的切线，则=m ……………………………………………………（ ） A ．21-B ．21 C ．0 D ．1解：设切点为00(,)x y ，则012y x ==，，所以切点为1(,0)2，所以1022m =⨯-，解得1m =，故选D.4.直线y a =与函数33y x x =-的图象有相异三个交点，则a 的取值范围是………………………………（ ）A.（－2, 2）B.（－2, 0）C.（0, 2）D.（2,+∞） 解：A 5．把正整数数列{}n 中的数按如下规律排成三角形数阵：设 j i a ,是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往 右数第j 个数（如9,13,41,1==a a ）.若2010,=n m a ，则=+n m …………………………（ ） A.70 B.80 C.90 D.100 解：A6．已知函数()f x 是R 上的可导函数，函数/()y x f x =⋅的图像如图所示．则有…………………………（ ）A ．(2)(0)(3)f f f -<<B ．(3)(0)(2)f f f <<-C ．(2)(3)(0)f f f -<<D ．(3)(2)(0)f f f <-< 解：B7．设F 1，F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以F 1为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线F 2M 与圆F 1相切，则该椭圆的离心率是……………………………………………………………（ ） A ．32- B ．13- C ．23 D ．22解：B8．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若n 2=1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n ……………（ ）xy-2O3A.15B.16C.17D.18 解：A9.对于不等式n n +2＜n +1(n ∈N*),某同学的证明过程如下: (1)当n =1时, 112+＜1+1,不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N*)时,不等式成立,即k k +2＜k +1,则当n =k +1时, 13)1()1(22++=+++k k k k ＜1)1()2()2()23(22++=+=++++k k k k k ,∴当n =k +1时,不等式成立.上述证法………………………………………………………………………（ ） A.过程全部正确 B.n =1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n =k 到n =k +1的推理不正确 解： D10．已知21,F F 是椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 两个焦点，过1F 的弦AB 与2F 组成等腰直角三角形，其中902=∠BAF ,椭圆的离心率为e ，则2e 等于…………………………………………………………（ ）A ．26-B ．269-C ．22D ．12-解：B二.填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11 求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程解：33(1),360y x x y +=-+++= 12．双曲线的虚轴长为4,离心率26=e ,21,F F 分别是它的左、右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于B A ,两点,且AB 是2AF 与2BF 的等差中项,则AB 为_______．解：2813．抛物线C ：24x y =的焦点为F ．直线l 经过点E （1，1），且与抛物线C 的一个交点A 到点F 的距离为5，点A 在第一象限．那么，直线l 与抛物线C 围成的封闭区域的面积为 ． 解：8314．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则． 1 = 1 3 + 5 = 87 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64，21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125， ……则第n 个等式左边的第一项为 ，右边为 ． 解：21n n -+，3n15.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．解：63-三.解答题：本大题6小题，共60分(9+9+9+9+12+12).16．已知函数321()3f x x ax bx =++，且1x =-是函数()f x 的一个极值点． （1）试写出用a 表示b 的表达式，并求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）21b a =-．当1a <时，函数()f x 的递减区间为(1,12)a --，递增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞；当1a =时，函数()f x 没有极值点，不合题意，舍；当1a >时，函数()f x 的递减区间为(12,1)a --，递增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞．（2）213a <<或12a <<． 17. 设函数xx x f ln 1)(=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知1ln 2ln a x x>对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）由2)ln (1ln )('x x x x f +-=由110)(',100)('≠>⇒<<<⇒>x ex x f e x x f 考虑到由 得该函数在)1,0(e 上单调递增，在),1()1,1(+∞及e上单调递减.（2）1ln 2ln 2ln (01ln 0)ln a x a x x x x x>⇔><<∴< 考虑到函数e x x f 1)(=在处有意义，函数⎥⎦⎤⎝⎛e x f 1,0)(在上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，故e x xf 1)(=在处取得最大值-e ，所以，2ln )ln 2ln (max e xx -=所以，实数a 的取值范围是(ln 2,)e -+∞18．椭圆2214y x +=短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线l ：1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点E ，F ，交椭圆于两点C ，D ．（1）若CE FD →→=，求直线l 的方程；（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 值．E F D CxyOA B19.某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x =+(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:2k P x =，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？413'22'2510500,100500221200()5007525()0:25()25k P x xx L x x x xL x x x ⨯=⨯∴==∴--∴=-==∴=24解:由题意知有:50得k=2510总利润L(x)=x 令则有件当件时,总利润最大.20．设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线y = f ( x )通过点（0，2a +3），且在点（– 1，f （– 1））处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）讨论函数g (x ) = – f ( x ) e -x的单调性；（3）当3a =-时，若对任意的1x ，2[2,)x ∈-+∞，不等式12|()()|g x g x M -≤恒成立，求M 的最小值. 解：（1）把点（0，2a +3）代入2()f x ax bx c =++中得23c a =+；F 2TOPyx曲线y = f ( x ) 在点（– 1，f （– 1））处的切线的斜率为2k a b =-+，那么有20a b -+=， 即得2b a =．综上，有2b a =，23c a =+． （2）可得g (x ) =2(223)x ax ax a e --+++，于是/22()(223)(22)(3)x x x g x ax ax a e ax a e ax e ---=+++-+=+当0a >时，/()0g x >，函数g (x )在R 上是增函数； 当0a <时，/23()()xg x a x ea-=+，可知函数g (x )在区间3(,)a-∞--上单调递减， 在区间33(,)aa ---上单调递增，在区间3(,)a-+∞上单调递减．（3）据（2）知，当3a =-时，函数()g x 在区间(,1)-∞-上单调递减，在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减.所以当[2,)x ∈-+∞时，函数()g x 的最大值为max ()max{(2),(1)}g x g g =-．因为2(2)3g e -=，12(1)g e=.又2123e e >，所以2max ()3g x e =．由于(1)0g -=，而当1x >时，g (x ) =2(363)0xx x e -++>． 所以函数()g x 的最小值min ()g x =(1)0g -=．所以，212max min |()()|()()3g x g x g x g x e -≤-=，且当12x =-，21x =-时，等号成立． 由此，M 的最小值为23e ．21. 已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于3()2a c -．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交 于A 、B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值． 解：（1）依题意设切线长222||||()PT PF b c =--，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，223()()()2a cbc a c ∴----≥，102b c a c -∴<-≤，从而解得3252e <≤， 故离心率e 的取值范围是3252e <≤；（2）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -+=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴=∴+=∴=，k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2||1ac a d a -=+，由图象可知2222222|1|212142221912121221d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+， ∴3252e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤， ∴241(0,]41s ∈，所以max 24141s =．C ．（坐标系与参数方程选做题）11.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{12cos 22sin x y θθ=-+=+（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 12ρθρθ+=．则直线l 与曲线C 的公共点个数为 ； 【答案】：2 20．（本小题满分13分）动圆C 经过定点E (5,0)-，且与圆F ：22(5)16x y -+=外切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹L 的方程； （Ⅱ）已知定点M (0,1)-．问是否存在过点P (0,1)的直线l ，使其与轨迹L 交于A ，B 两点，且||||AM BM =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】：（Ⅰ）设点C 的坐标为(,)x y ，动圆C 的半径为r ，则有|CF| – 4 = r ，|CE| = r即得 |CF| – |CE| = 4．由于 4 < 25= |EF|，所以动点C 的轨迹为以E 、F 为左、右焦点的双曲线的左支，其方程为221(0)4x y x -=<． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与曲线L 没有交点，不合题设，所以直线l 的斜率存在，可设其方程为1y kx =+．设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把1y kx =+代入221(0)4x y x -=<中， 22(14)880(0)k x kx x ---=< 一方面，该方程有两个相异负根，即2280148041kk k ⎧<⎪-⎨⎪>-⎩，且226432(14)0k k +->解得 1222k <<．另一方面，弦AB 的中点N 的坐标为2241(,)1414k k k --，所以直线MN 的斜率为2221112144214k k k k k +--=- 据题设，直线MN 与直线l 垂直，所以有21212k k k-=- 即得 223k =，由1222k <<得不存在这样的斜率k ．综上，不存在过点P (0,1)的直线l ．13．已知“给定正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，得到的正确结论是 ． 【答案】：给定正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值B ．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为cos()4πρθ=-，直线l 的参数方程为,(x t t y t a=⎧⎨=--⎩为参数）．若直线l 与曲线C 有公共点，则实数a 的取值范围为 ； 【答案】：[2,0]- 12.)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ，经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ， 推测当2≥n 时，有__________________________. 解：22)2(+>n f n19．（本小题满分12分）已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(2,2)内单调递减，求a 的取值范围． 解：21．（14分）已知抛物线)0(2:2>=p py x C 上一点)4,(t A 到其焦点F 的距离为833． （1）求抛物线C 的方程及实数t 的值；（2）若直线1:+=kx y l 与抛物线C 交于B D ,两点，线段BD 的中点为M ．过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，过N 点所作曲线C 的切线为1l ； ①求证：1l 平行于直线l ；②过D B ,分别作MN 平行线交1l 依次为11,D B 两点，求四边形D D BB 11面积的最 小值及对应的k 值．解析：（1）由抛物线定义知：41833)2(4=⇒=--p p ， 抛物线方程为y x 212=，因为),4(t 在抛物线上，2±=t ． （2）①证明：如图，联立y x 212=和1+=kx y ，消去y 得0122=--kx x ，设),(),,(2211y x D y x B 中点),(00y x M ，21,22121-=⋅=+x x k x x ，141,42200210+=+==+=∴k kx y k x x x即中点)14,4(2+k k M ，)8,4(2k k N 又x x y 4)2(2='=' ，所以过N 的切线l 的斜率为l k y ∴=',∥1l ②01)4(8:21=+-⇒-=-y kx kx k k y l ， 所以N 到l 的距离22188kk d ++=281122212++=-+=k k x x k BD 而四边形D D BB 11为平行四形，232)8(1611+=⋅=∴k d BD S D D BB ，而，02≥k ，28161)(23min11=⨯=D D BB S ，此时0=k ．。
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ ２’所以÷＝了１＋虿Ｐ２
ｐｌ十
ｄ
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则 把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９ 年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
我们也会得到如下美妙的结论．
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃 ｎ ｙ
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓 广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
圆锥曲线简化计算技巧
圆锥曲线简化计算技巧
圆锥曲线是解析几何中一个重要的部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在解决圆锥曲线问题时，掌握一些简化计算的技巧是非常有帮助的。
以下是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧：
1. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以通过引入参数来简化计算。
参数方程可以将圆锥曲线的几何性质转化为代数方程，从而方便求解。
2. 极坐标法：对于一些与极坐标有关的圆锥曲线问题，使用极坐标可以简化计算。
极坐标可以将圆锥曲线的方程转化为极坐标形式，从而方便求解。
3. 对称性质：圆锥曲线具有对称性质，可以利用这些性质来简化计算。
例如，在椭圆中，关于长轴和短轴的对称性可以用来简化计算。
4. 切线性质：对于一些与切线有关的圆锥曲线问题，可以利用切线的性质来简化计算。
例如，在抛物线中，切线的斜率等于该点的导数。
5. 数形结合：在解决圆锥曲线问题时，可以将代数方程与几何图形结合起来，从而方便求解。
数形结合可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更有效的解决方案。
6. 整体代换：在一些复杂的圆锥曲线问题中，可以通过整体代换来简化计算。
整体代换可以将复杂的代数表达式转化为简单的代数表达式，从而方便求解。
7. 逐步化简：在解决圆锥曲线问题时，可以通过逐步化简来简化计算。
逐步化简可以将复杂的代数方程逐步化简为简单的代数方程，从而方便求解。
以上是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更有效地解决圆锥曲线问题。
圆锥曲线解题技巧应用极坐标方程解题
圆锥曲线解题技巧应用极坐标方程解题在数学中，圆锥曲线是与一个双曲线、抛物线或椭圆相关的二维曲线。
解决圆锥曲线问题通常需要熟悉各种曲线的性质和方程。
其中，极坐标方程是一种经常应用的解题技巧。
本文将介绍圆锥曲线解题时应用的极坐标方程以及相关技巧和例题。
一、极坐标方程的基本概念极坐标是一种描述平面上点的坐标系，其中每个点由极径和极角确定。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中r 是点到原点的距离，θ 是点与极轴的夹角。
圆锥曲线的极坐标方程通常可以写成以下形式：1. 椭圆：r = a(1 - e*cosθ)2. 双曲线：r = a(1 + e*cosθ)3. 抛物线：r = a(1 - e*sinθ)其中 a 是焦点到准线的距离（也称为半焦距），e 是离心率。
二、极坐标方程解题技巧1. 确定曲线类型：首先通过曲线的方程判断是椭圆、双曲线还是抛物线。
根据方程中的参数，可以判断曲线的形状和特征。
2. 确定半焦距和离心率：通过方程中给出的参数，可以计算出椭圆、双曲线或抛物线的半焦距和离心率。
这些值将在后续的解题过程中提供重要的信息。
3. 根据极坐标方程绘制图形：利用计算机或手绘的方式，在极坐标系中绘制出曲线的形状。
这有助于直观地理解曲线的性质和特征，并准备后续解题的步骤。
4. 求解相关问题：根据具体的题目要求，利用极坐标方程和曲线性质进行解题。
可以通过求交点、切线、曲率等来解决各种问题。
三、应用实例例题一：求给定双曲线极坐标方程r = 2/(1 + 3cosθ) 的离心率和半焦距。
解析：根据双曲线的极坐标方程r = a(1 + e*cosθ) 可知，此题中的 a = 2，即半焦距为 2。
要求离心率 e，可以将方程转换为标准形式，得到2/(1 + 3cosθ) = a/(1 + e*cosθ)。
比较系数可知 e = 3。
例题二：给定椭圆极坐标方程 r = 4/(2 - cosθ)，求椭圆的焦距。
解析：根据椭圆的极坐标方程 r = a(1 - e*cosθ) 可知，此题中的 a = 4。
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题圆锥曲线是一种常见的二维曲线形式，它可以由圆锥的剖面所生成。
在数学中，我们经常遇到求解圆锥曲线焦点弦的问题。
首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。
极坐标是一种用极径和极角来描述平面上点位置的坐标系统。
对于圆锥曲线，我们可以使用极坐标来描述其形状和特性。
求解圆锥曲线焦点弦的问题是要找到圆锥曲线上两个焦点之间的弦的方程。
为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆锥曲线方程：根据圆锥曲线的类型，如椭圆、双曲线或抛物线，确定其标准方程。
例如，对于椭圆，标准方程为 r = a(1 - e*cosθ)；对于双曲线，标准方程为r = a(1 + e*cosθ)；对于抛物线，标准方程为r = a(1 + cosθ) 或 r = a(1 - cosθ)。
2. 确定焦点坐标：通过曲线方程中的参数，计算出曲线的焦点坐标。
对于椭圆和双曲线，焦点坐标为 (ae, 0) 和 (-ae, 0)，其中 e 是离心率。
对于抛物线，焦点坐标为 (a/2, 0)。
3. 求解弦的方程：选择两个不同的点作为弦的端点，可以通过给定的焦点坐标和极径的差值来确定弦的长度。
然后，通过两点式或极坐标变换，推导出弦的方程。
在进行上述步骤时，应注意选择合适的曲线方程和坐标系，以确保结果的准确性和一致性。
此外，还应牢记圆锥曲线的性质和特点，以便在求解过程中进行验证和判断。
综上所述，通过极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题需要确定圆锥曲线方程、焦点坐标和弦的方程。
这一过程涉及到数学知识和计算技巧，并需要合理地选择坐标系和参数值。
通过正确地应用这些步骤，我们可以准确地求解圆锥曲线焦点弦的问题。
圆锥曲线解题技巧之极坐标方程的运用如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之极坐标方程的运用如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一类曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在解题过程中，极坐标方程是一种常用的工具，可以帮助我们更便捷地求解圆锥曲线的性质和特点。
本文将介绍极坐标方程的基本概念和使用技巧，以及如何通过极坐标方程解决圆锥曲线问题。
一、极坐标方程的基本概念1. 极坐标系极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系。
它由原点O、极轴和极角组成。
其中，极轴是从原点O出发的射线，极角是这条射线与一个固定射线的夹角，常用符号为θ。
在极坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ)表示，其中r是该点到极轴的距离。
2. 极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程是指将曲线上的点的坐标表示为极坐标系中的形式。
对于椭圆、抛物线和双曲线，它们的极坐标方程分别为：椭圆：r = a(1 - e*cosθ)抛物线：r = a/(1 + cosθ)双曲线：r = a/(1 - e*cosθ)，其中e为离心率，a为焦点到极轴的距离。
二、极坐标方程的解题技巧1. 确定曲线类型在解题过程中，首先需要根据题目给定的条件来确定所研究曲线的类型。
通过观察曲线的特点和性质，判断是椭圆、抛物线还是双曲线，然后找到相应的极坐标方程。
2. 求解曲线参数对于给定的曲线，通常需要求解其参数，如离心率e、焦点距离a 等。
通过给定的条件和已知信息，利用极坐标方程中的相关关系式，可以求解这些参数的具体数值。
3. 分析曲线特性通过极坐标方程，我们可以快速得到曲线在极坐标系中的形状和特性。
比如，通过极径r的变化情况，可以分析出曲线的最大最小半径和离心率等。
4. 解决具体问题利用极坐标方程，可以解决各种与圆锥曲线相关的具体问题。
比如求解曲线上的特定点坐标、求解曲线与轴线的交点坐标、求解曲线的切线方程等。
通过将问题转化为极坐标方程的形式，可以更加简化计算过程，提高求解效率。
三、通过极坐标方程解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解极坐标方程的应用，以下举一个具体的例子：示例：已知一个圆锥曲线的极坐标方程为r = 3/(2 + cosθ)，求解该曲线的离心率、焦点位置和渐近线方程。
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的应用场景对比
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的应用场景对比圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它包含了多种曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
在研究圆锥曲线时，常常会涉及到其极坐标方程和直角坐标方程。
本文将对这两种方程的应用场景进行对比。
一、极坐标方程的应用场景极坐标方程是表示曲线上点的位置所用的坐标系。
在极坐标系中，点的坐标由距离和角度两个值确定。
对于圆锥曲线而言，它们的极坐标方程的形式如下：1. 椭圆的极坐标方程：r = a(1 - e * cosθ)其中，a是半长轴的长度，e是离心率，θ是点在极坐标系中的角度。
椭圆的极坐标方程在许多实际问题中有广泛的应用，比如轨道、天体运动等。
例如，地球绕太阳的运动可以用椭圆的极坐标方程描述。
地球离太阳远近的变化可以通过调整离心率的大小来模拟。
2. 双曲线的极坐标方程：r = a(e * coshθ - 1)其中，a是双曲线的实轴长度，e是离心率，θ是点在极坐标系中的角度。
双曲线的极坐标方程在物理和工程学中经常出现。
比如，天线的辐射范围可以用双曲线的极坐标方程来描述。
双曲线的性质使得辐射范围在水平方向上具有无限大的延伸，因此适用于实现远距离通信。
3. 抛物线的极坐标方程：r = a / (1 + cosθ)其中，a是抛物线的参数，θ是点在极坐标系中的角度。
抛物线的极坐标方程在物体轨迹、天体运动和抛射物问题中有广泛应用。
例如，投掷物体的运动轨迹可以用抛物线的极坐标方程描述。
抛物线的特性使得物体在平面上的运动方向和轨迹更可靠和易于预测。
二、直角坐标方程的应用场景直角坐标方程是表示曲线上点的位置所用的坐标系。
在直角坐标系中，点的坐标由横坐标和纵坐标两个值确定。
对于圆锥曲线而言，它们的直角坐标方程的形式如下：1. 椭圆的直角坐标方程：(x² / a²) + (y² / b²) = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的直角坐标方程常常出现在几何学和工程学中。
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1 圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过 观念性问题 与 技术性问题 的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3 如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称 费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标 思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳本文将对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳总结。
圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，在解题过程中掌握其极坐标方程的应用是非常有帮助的。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面上满足特定条件的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
2. 极坐标方程的基本形式圆锥曲线的极坐标方程通常具有以下形式：- 椭圆的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 - e \cdot \cos \theta}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 双曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{e \cdot \cos \theta - 1}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 抛物线的极坐标方程：$r = \frac{2p}{1 + \cos \theta}$，其中$p$ 是焦点到准线的距离。
3. 极坐标方程大题题型归纳根据圆锥曲线的不同类型，极坐标方程的大题题型也会有所不同。
以下是一些常见题型的归纳总结：3.1 椭圆的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求椭圆的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求椭圆的极坐标方程。
3.2 双曲线的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求双曲线的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求双曲线的极坐标方程。
3.3 抛物线的极坐标方程题型- 已知焦点和准线的坐标，求抛物线的极坐标方程。
4. 解题技巧和注意事项在解题过程中，可以采用以下技巧和注意事项：- 根据问题中给出的已知条件，逐步求解极坐标方程中的参数。
- 注意离心率、焦点和准线的坐标的关系，可以通过该关系求解未知参数。
- 验证求得的极坐标方程是否符合圆锥曲线的性质，如焦点到准线距离的关系等。
通过对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳归纳，可以更好地掌握解题方法和技巧，提高解题效率和准确性。
以上就是对圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳的完整内容。
极点极线 调和点列在圆锥曲线中的应用
极点极线调和点列在圆锥曲线中的应用
极点极线和调和点列是圆锥曲线中的两个重要概念，它们在解决圆锥曲线问题中具有重要的应用价值。
我们来了解一下极点极线的概念。
在平面直角坐标系中，如果有一点P(x,y)，那么以该点为极点的极线就是过该点的直线L，它与x轴的夹角为θ，那么该点的极坐标就是(r,θ)，其中r为点P到极点的距离。
极点极线的应用非常广泛，比如在求解圆锥曲线的方程时，可以通过极点极线的性质来确定圆锥曲线的类型。
接下来，我们来了解一下调和点列的概念。
在平面直角坐标系中，如果有四个点A、B、C、D，那么如果它们满足AC和BD的交点E 在直线AB上，那么这四个点就构成了一个调和点列。
调和点列的性质非常有用，比如在求解圆锥曲线的焦点和直径时，可以通过调和点列的性质来确定。
在圆锥曲线中，极点极线和调和点列的应用非常广泛。
比如在求解椭圆的焦点和直径时，可以通过极点极线的性质来确定椭圆的方程，然后再通过调和点列的性质来求解椭圆的焦点和直径。
同样，在求解双曲线的焦点和直径时，也可以通过极点极线的性质来确定双曲线的方程，然后再通过调和点列的性质来求解双曲线的焦点和直径。
极点极线和调和点列是圆锥曲线中非常重要的概念，它们的应用价值非常高。
在解决圆锥曲线问题时，我们可以通过这两个概念来确
定圆锥曲线的方程、焦点和直径等重要参数，从而更好地理解和应用圆锥曲线。
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极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
（3）由圆锥曲线的标准极坐标方程。
易求得过焦点且倾斜角为θ的弦AB 的长度为2221cos epAB e θ=-。
i）、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.ii)、双曲线中，若M、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=；若M、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.iii)、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.三、典型例题（1）二次曲线基本量之间的互求例1、椭圆的极坐标方程532cos ρθ=-，那么它的短轴长是_______答案：25解析：短轴长5522(0)()22532cos 032cos b ρρππ===-- .例2、椭圆的极坐标方程为532cos ρθ=-，则它的短轴的两个端点的极坐标为_______答案：5(2,),2,33M N ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：2(0)()4a ρρπ=+=，2(0)()2c ρρπ=-=，由图可知1cos 23c a πθθ==⇒=所以端点5(2,),2,33M N ππ⎛⎫⎪⎝⎭。
例3、求椭圆62cos ρθ=-的长轴与短轴之长。
答案：长轴长28a =，短轴长243b =解析：法一：166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 162e ∴==，p 2221422326c a a b a c c a c c⎧=⎪=⎧⎪∴⇒⇒=-=⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩长轴长28a =，短轴长243b =法二：当0θ=时，ac ρ=+；当θπ=时，a cρ=-22642342a c ab ac a c c +==⎧⎧∴⇒⇒=-=⎨⎨-==⎩⎩长轴长28a =，短轴长243b =例4、确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
答案：31554e =离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解析：法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩2225155()()882b ∴=-=31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题i）直接求弦长：例5、过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A、B 两点，求AB ｜｜答案：807解析：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得523cos ρθ=-所以12(,),(,)33A B ππρρπ+又由12||AB ρρ=+得5580||723cos23cos()33πππ=+=--+注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点拨：由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是12ρρ+;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是12ρρ+;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是12ρρ+或12()ρρ-+，为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用12ρρ+例6、等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 答案：4解析：12(,),(,)66A B ππρπρ+-112cos ρθ=-12||AB ρρ=+11||12cos 12cos()66πππ=+-+--（）22||42626=+=+-ii）利用弦长求面积例7、（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积．答案：259解析：法一：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
法二：用公式1||||sin 2AOF S AF OF AFO ∆=∠计算一个三角形面积，同理计算另一个三角形面积，然后求和．建立极坐标系，因为点A 对应极角θ，且1cos 5θ=，易求点A 对应的极径||AF ，||OF 即为半焦距，sin AFO ∠=25例8、(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.答案：面积取得最小值169；面积取得最大值2解析：以点F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos 2ρθ=-设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：22||11cos 2PQ θ=-，20222||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+ 2111sin 2216θ=+即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2iii)利用弦长公式解决常量问题例9、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A、B两点，若FBF A 2=，求椭圆的离心率.答案：32=e 解析：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e F A -=-=，∴21221e p e e p e +⋅=-，解得32=e ；例10、求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
答案：弦长AB 为2417，左焦点到左准线的距为2解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=-则离心率13e =，23ep =，2p ∴=所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos3cos44AB ρρππ=+=+=--（3）定值问题例11、抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
证明：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A aB b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b +=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p（定值）点拨：引申到椭圆和双曲线也是成立的。