三种圆锥曲线的统一的极坐标方程电子教案
高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。
圆锥曲线的统一极坐标方程复习进程
§ 3．8 圆锥曲线的统一极坐标方程一、教学目标（一）知识教学点掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．（二）能力训练点会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．（三）学科渗透点通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．二、教材分析1．重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．2．难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．3.疑点：双曲线左支所对应的B范围，双曲线的渐近线的极坐标方程.三、活动设计1.活动：思考、问答、讨论.2.教具：尺规、挂图.四、教学过程（一）复习大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义.学生1 答：列定点F（焦点）的距离与列定直线1（准线）的距离比是一个常数e（离心e€ （0, 1）时椭圆，e€ （1 , f）时双曲线，e=1 时抛物线.（二）建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程.过F作FK丄I于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系.设M（p，0 ）是曲线上任一点，连MF，作MA丄I于A, MB丄I于B（如图3-24）.IFKF常熱设为丛■/|MA|=|BK|=|KF|+|FBb|MA|=p+ p cos 0 .P… ------- - ----- =e*p + P cos fP =］頤汀1-ecos y这就是圆锥曲註统一的极坐标方程.（三）深入理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思知论并深入了解下述几个要点，：（1）必'须UA収曲线右焦:点和IftUl的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若0掘方向向左，其方程如何？（讨论后浮生2答；无需重新求方程，只须两个极坐标系与0址之间的坐标关系作坐标荐换〔圏3-25）.p 7= P,1 0 J= 2k Tl + Jl + 9 .L此时方程为p ‘ =. ep,仅改了一个符号.(2)根据统一的极坐标育程，由几何条件求出b p后即可写出曲线的极坐标育程，这要明确気p的几何意义分别是离心率和焦准距(弧为通径一半).但是，对方程P =--------------- --- 血、n. s>0),如何求曲线的m-ncos o有关几何量e, p, a. b, c?（讨论后）学生3答zn s_ * —原方程即P =;"・1----- c os 9m此式为统一极坐标方程的标准式n ce ——=—m 日S a ap = —= —- c = — cn c e这里，及时#-=-代换，可以回避解关于& c的二次方程，而c e得刮一个二元一次方程组，便问题的计算得以简化.⑶对方程P 显然有1-ecos走（0，1）时，表橢圆.时，表抛物线.e^（l»+00购，表収曲线*但注意到・巴>1时1 l-ecos0 =^0关于R有解，而駅A0,这样。
曲线的极坐标方程与圆锥曲线统一的极坐标方程
2.点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式: ������2 = ������2 + ������2,
������ tan������ = ������ (������ ≠ 0).
的极坐标方程为 ρ=2rsin θ.
圆心位于任意点 M(ρ0,θ0)处,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θθ0)+ρ02 -r2=0.
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2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
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一二三
2.直线的极坐标方程
直线的极坐标 方程的常见形式
①经过极点,与极轴所成的角为 θ0 的直线
的极坐标方程为 θ=θ0(ρ∈R).
直线在相应极 坐 标系中的位置
②在极点右方,垂直于极轴,与极点距离为 a
的直线的极坐标方程为 ρcos θ=a.
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2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极
以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.
2022年高中数学新人教版A版精品教案《三 简单曲线的极坐标方程》
人教版选修4-4第一讲坐标系第三节简单曲线的极坐标方程§圆的极坐标方程学习目标：1.掌握几种特殊的圆的极坐标方程及其求解方法；2.理解直线的极坐标方程推导方法的推广；3.使学生在学习中体会数学思想和从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想。
学习重难点：重点：掌握几种特殊的圆的极坐标方程及其求解方法；难点：对“建、设、限、代、化〞求解圆的极坐标方程的正确应用。
学习方法：启发式、合作交流式教学设计：〔一〕温故知新：如何求直线的极坐标方程？（1）方法一：用“建、设、限、代、化〞来求解；（2）方法二：将未知转化为知识来解决；即在直角坐标系中写出直线的方程，然后用直角坐标与极坐标的转化公式，代入化简即可。
练习：〔二〕新课探究：如何求圆的极坐标方程呢？探究一：圆O的半径为a，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？探究二：另解：在直角坐标系中，圆的方程是：探究三：探究四：探究五：归纳：求圆的极坐标方程的步骤：1、建；根据题意建立恰当的坐标系；2、设；点是圆上任意一点；3、限；连接MO写出相应的限制条件；4、代；根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、化；检验并确认所得的方程即为所求。
〔三〕课堂练习：求以下圆的极坐标方程：１圆心在极点，半径为2；２圆心在Ｃ3,0，半径为3；３圆心在4,π/2，半径为4４圆心在Ｃρ0,θ０，半径为r。
〔四〕课堂小结：这节课我们学习了什么内容？用到了什么数学思想和方法？你的收获是什么〔五〕课堂作业：课本15页，习题题〔六〕本节课反思与提高：心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动〞思维永远是从问题开始。
因此，本节课采用了回忆、提问，引导，解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于探索的状态之中。
观察、归纳、类比是比拟旧知识、获得新知识的根本思维形式。
圆的极坐标方程是选修4-4坐标系的一个重要知识，在教学过程中，通过问题设疑、创设问题情境，处处探索，类比归纳，用两种不同的方法，引导学生得出五类特殊的圆的极坐标方程。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案1
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标：(1)了解圆锥曲线的共同特征.(2)熟练利用坐标法求解曲线方程.(3)培养类比、联想、归纳、总结的能力.教学重点、难点：重点:圆锥曲线统一定义的推导难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.教学程序设计：(1)创设情境，引入新课：用平面截取圆锥面，得到椭圆、抛物线、双曲线，它们都是由平面截圆锥面所得，因此都称为圆锥曲线，这节课我们就一起来研究圆锥曲线的统一定义.(这个问题的设计：起了承上启下的作用，承上：前面的圆锥曲线第一定义，启下：本节所研究的圆锥曲线的统一定义，通过多媒体的演示，激发学习和探究知识的兴趣；通过图象说明问题.由“形”上共同特点类比得出“数”上的共同特点.)为了便于下面的探索活动，我设计知识回顾.复习回顾：1．平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做____．表达式：2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做______．表达式：3．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做______．表达式：(这个环节的设计：是引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础.)接下来，我设计了问题1：(2)提出问题，探究新知问题1：曲线上点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线x=-2的距离的比是常数1，求曲线的方程.(这个问题学生可能会从两个角度求解：1.定义法，2.坐标法，肯定定义法，强化坐标法的运用，为问题2，3的解决做好铺垫，强调如何解决有关根式化简的问题.由学生通过实物投影仪展示他们的解题过程，由其他学生点评，培养学生叙述和书写的正规化，完善学生的知识结构.这个问题的设计：是为了进一步让学生熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神)(在充分肯定学生回答后，依次提出)问题2：曲线上点M (x ，y )到定点F (2，0)的距离和它到定线l :x =8的距离的比是常数21，曲线还是抛物线吗？如果不是，又会是什么呢？问题3： 曲线上点M (x ，y )到定点F (-4，0)的距离和它到定线l :x =-1的距离的比是常数2，求曲线的方程.曲线还是抛物线或者椭圆吗？如果不是，又会是什么呢？(学生同样采用分组讨论，通过实物投影仪展示解题过程，这样的设计：是让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.)通过上面3个问题的研究，提出问题4：让学生们观察对比动点到定点和到定直线的距离的比值，与该动点轨迹图形有什么关联呢？分组讨论交流，最后由学生表述结论，老师最后给出标准的圆锥曲线的统一定义，结论：椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e 的点的集合.当0<e <1 时，圆锥曲线是椭圆；当e >1 时，圆锥曲线是双曲线；当e =1 时，圆锥曲线是抛物线.其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 叫做圆锥曲线的焦点， 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.(强调比值的顺序性)强调此定义中三个关键词：比值、定点、定直线，并分别给予定义.(这个环节的设计：突出了本节课的重点，圆锥曲线的统一定义，通过学生展示解决问题的方法，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，重点和难点初步突破. 把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.培养学生的类比、联想、归纳、概括能力)通过课前的预习学生知道抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，强调焦点准线对应关系.为了巩固圆锥曲线的统一定义，我设计如下的例题：(3)巩固新知，深化理解例 求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S .平面σ截S 所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球1O 和2O 分别与平面σ相切于点12F F 和.球1O 的切点圆所在的平面记为平面δ，平面δ和平面σ相交于直线l ，则l 为椭圆的准线.分别作球的半径1122O F O F 和，则112211*********//.O F O F O F O F O F O F O O F ⊥⊥平面，平面因此，和确定一平面σδ1212112121212.F F O O F O O F F F F O O 所以直线为平面与平面的交线，与平面的交点必在上，并且为在平面内的射影σσσ1212.()l O O l F F l ⊥⊥又因为直线是平面和平面的交线，所以，从而三垂线定理σδ即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.为了让学生与已经学过的圆锥曲线第一定义联系起来，我设计如下的变式训练：(4)．变式探究，强化方法 变式训练：已知双曲线221169x y -=上一点P 到其左焦点的距离是10，求点P 到右准线的距离.(此题是双曲线的两个定义的综合应用，强调焦点与准线的关系.)为了检查学生本节课对圆锥曲线的统一定义掌握情况，我设计了以下当堂检测.(5)．知识应用【当堂检测】：1. 动点P 到点(3，1)的距离与它到直线x =8的距离之比为3，则点P 的轨迹是 ；2. 动点P 到点(-1，2)的距离与它到直线x =8的距离之比为0.8，则点P 的轨迹是 ；3. 动点P 到点(6，0)的距离与它到直线x =-9的距离相等，则点P 的轨迹是 ；4.动点P 到直线x =6的距离与它到点(2，1)的距离之比为0.5，则点P 的轨迹是 ； 5．已知双曲线 4x 2－9y 2 = 36，①若双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离为2，求它到左焦点的距离.②若双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离为2，求它到左准线的距离.③求双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比.(这5题由浅入深，符合学生的思维发展规律，目的是突出重点，突破难点.)(6)．课堂小结(通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法)。
圆锥曲线统一定义的教学设计-无锡洛社高级中学
圆锥曲线统一定义的教学设计洛社高中徐建强一教材分析1．教学内容高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
高中数学新人教版A版精品教案《三 简单曲线的极坐标方程》
再引导学生回忆直角坐标系中求曲线方程的一般步骤.
（建系设点→等量关系→列出方程→整理化简→限制说明（可省略））
教学
重点
特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.
教学
难点
如何根据图形的几何特征寻找等量关系求解圆的极坐标方程.
教法
学法
为实现上述教学目标，本节课我采用了教师启发点拨与学生自主探究相结合的教法，让学生体会了从特殊到一般、由直角坐标系类比极坐标系，遵循“以学生为主体，教师为主导”的原则，充分调动学生的积极性，倡导学生“自主探索、动手实践、合作交流”的学习数学的方式，力求体现教师的设计者、组织者、帮助者的地位，突出学生的主体地位.
请学生类比直角坐标系下曲线的方程的定义，大胆猜想极坐标中，曲线的极坐标方程的定义.
(学生可能猜想出：在极坐标系中，如果①曲线C的点的极坐标都是方程f(ρ,θ)=0的解；②以方程f(ρ,θ)=0的解为坐标的点都在曲线C上．那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.)
提出问题：在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
【例题】把下列极坐标方程化成直角坐标方程：（1） ；（2） .
【练习】已知圆的极坐标方程 ，求圆在直角坐标系下的圆心及半径.
提升：求与圆有关的点的轨迹的极坐标方程
1.在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 ，(1)求圆 的极坐标方程.
(2)若 点在圆 上运动， 在 上，且 ，求动点 的轨迹方程.
高中数学第一章2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修0
2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程[对应学生用书P12][自主学习]曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合． ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴的正半轴重合． ③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝ep1－e cos θ.[合作探究]ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个，x 2＋y 2＝1.[对应学生用书P13][例1] (1)x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)(x －5)2＋y 2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x 2＋y 2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．[精解详析] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ. ∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为 θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0. ∴ρ＝－2a cos θ.∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ. (3)(x －5)2＋y 2＝25，即：x 2＋y 2－10x ＝0. 把x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式得： ρ2－10ρcos θ＝0. 即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上， ∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直角坐标方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2化为极坐标方程．解：把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，得(ρcos θ－a )2＋(ρsin θ－b )2＝r 2.如果设圆心(a ，b )的极坐标为(ρ0，θ0)，则a ＝ρ0cos θ0，b ＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r 2.∴ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ20(cos 2θ0＋sin 2θ0)＝r 2.∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 这就是所求的圆的极坐标方程.[例2] (1)ρsin θ＝1；(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0； (3)ρ＝－2cos θ； (4)ρ＝cos θ－2sin θ.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和 ρsin θ.[精解详析] (1)ρsin θ＝1⇒y ＝1，表示的是一条直线． (2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， ∴x ＋y －4＝0，表示的是一条直线．(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＋2x ＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝1.表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆． (4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x ，ρsin θ换成y ，ρ2换成x 2＋y 2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x ，y 不同时为0的限制．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝8； (2)ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝8. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝8. (2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[例关系．[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．[精解详析] 法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径为2. 两圆圆心的距离为d ＝22＋22－2×2×2cos π2＝2 2.而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ， ∴ρ＝4cos θ可化为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆． ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ，∴ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆． 两圆的圆心距为d ＝－2＋－2＝22，两圆半径之和为4，之差为0， ∴两圆相交．对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离．解：把点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标为(2，－2)．把直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程为 ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22，即22x ＋22y ＝22，∴x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．[考题印证](辽宁高考改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝2 2.求C 1与C 2的交点的极坐标．[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． [自主尝试] 由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得， 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以圆C 1，直线C 2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，再由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，将交点的直角坐标化为极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.所以C 1与C 2的交点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.[对应学生用书P14]一、选择题1．将方程θ＝π4(ρ≥0)化为直角坐标方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝x (x ≥0)C ．y ＝x (x ≤0)D ．y ＝22x (x ≥0) 解析：选B `∵tan π4＝y x (x ≠0)，∴yx ＝1(x ≠0)．∴y ＝x .而θ＝π4(ρ≥0)表示射线，∴所求的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)．2．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( ) A ．ρ＝2(sin θ－cos θ) B ．ρ＝2(cos θ－sin θ) C ．ρ＝2sin θD ．ρ＝2cos θ 解析：选A 如图所示，圆的半径为－2＋12＝2，∴圆的直角坐标方程为 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)． 3．直线l 1：ρsin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝π2－α的位置关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交解析：选B 对于l 1可化为x sin α＋y cos α＝a ，k 1＝－sin αcos α，对于l 2可化为x cos α－y sin α＝0，k 2＝cos αsin α，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2，故选B.4．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝y ＋2x ，即x 2＋y 2－2x －y ＝0，表示圆． 二、填空题5．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 36．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，3π47．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，则ON 的中点M 的轨迹方程是________． 解析：法一：如图，圆C 的圆心为C (4,0)，半径为|OC |＝4，连接CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． ∴点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 答案：ρ＝4cos θ8．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则CP ＝________.解析：如图，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，所以OP ＝4，∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x .即x 2＋y 2－2x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理x 2＋y 2－2x －2y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0， ①x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,0)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝0. 法二：①－②得y ＝0，即y ＝0为过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得， ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为 12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0); 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33. 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为 θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．11．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.。
高中数学 《圆锥曲线》教案(高考回归课本系列)新人教A版
高考数学回归课本教案圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。
从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+by a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
[精品]2019学年高中数学第一章2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修0
![[精品]2019学年高中数学第一章2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修0](https://img.taocdn.com/s3/m/30e8f00baaea998fcc220e58.png)
2．4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程[对应学生用书P12][自主学习]曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合． ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴的正半轴重合． ③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝ep1－e cos θ.[合作探究]ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？ 提示：唯一的一个，x 2＋y 2＝1.[对应学生用书P13][例1] (1)x ＋y ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)(x －5)2＋y 2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x 2＋y 2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．[精解详析] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ. ∴tan θ＝－1.∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x ＋y ＝0的极坐标方程为 θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0.∴ρ＝－2a cos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直角坐标方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标方程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得(ρcos θ－a)2＋(ρsin θ－b)2＝r2.如果设圆心(a，b)的极坐标为(ρ0，θ0)，则a＝ρ0cos θ0，b＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r2.∴ρ2(cos2θ＋sin2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ20(cos2θ0＋sin2θ0)＝r2.∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.这就是所求的圆的极坐标方程.[例2](1)ρsin θ＝1；(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0；(3)ρ＝－2cos θ；(4)ρ＝cos θ－2sin θ.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和ρsin θ.[精解详析] (1)ρsin θ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＋2x ＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝1.表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆． (4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522. 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x ，ρsin θ换成y ，ρ2换成x 2＋y 2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x ，y 不同时为0的限制．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝8； (2)ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8， 所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝8. 所以化为直角坐标方程为x 2－y 2＝8. (2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.[例3] 求两个圆[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．[精解详析] 法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin θ的圆心为(2，π2)，半径为2.两圆圆心的距离为而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0. ∴两圆相交．法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ， ∴ρ＝4cos θ可化为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆． ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ， ∴ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆． 两圆的圆心距为d ＝－2＋－2＝22，两圆半径之和为4，之差为0， ∴两圆相交．对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离． 解：把点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标为(2，－2)．把直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程为 ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22，即22x ＋22y ＝22，∴x ＋y ＝1. ∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|2－2－1|1＋1＝22， 故点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．[考题印证](辽宁高考改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－π4)＝2 2.求C 1与C 2的交点的极坐标．[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． [自主尝试] 由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得， 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以圆C 1，直线C 2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，再由ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，将交点的直角坐标化为极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.所以C 1与C 2的交点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.[对应学生用书P14]一、选择题1．将方程θ＝π4(ρ≥0)化为直角坐标方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝x (x ≥0)C ．y ＝x (x ≤0)D ．y ＝22x (x ≥0) 解析：选B `∵tan π4＝y x (x ≠0)，∴yx ＝1(x ≠0)．∴y ＝x .而θ＝π4(ρ≥0)表示射线，∴所求的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)．2．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( ) A ．ρ＝2(sin θ－cos θ) B ．ρ＝2(cos θ－sin θ) C ．ρ＝2sin θD ．ρ＝2cos θ 解析：选A 如图所示，圆的半径为－2＋12＝2，∴圆的直角坐标方程为 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝－2(x －y )，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，即ρ＝2(sin θ－cos θ)． 3．直线l 1：ρsin(θ＋α)＝a 和l 2：θ＝π2－α的位置关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1和l 2重合D ．l 1和l 2斜交解析：选B 对于l 1可化为x sin α＋y cos α＝a ，k 1＝－sin αcos α，对于l 2可化为x cos α－y sin α＝0，k 2＝cos αsin α，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2，故选B.4．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝y ＋2x ，即x 2＋y 2－2x －y ＝0，表示圆． 二、填空题5．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 36．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B的极坐标是________．A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 7．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，则ON 的中点M 的轨迹方程是________． 解析：法一：如图，圆C 的圆心为C (4,0)，半径为|OC |＝4，连接CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． ∴点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． ∵N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1，①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将它代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 答案：ρ＝4cos θ8．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则CP ＝________.解析：如图，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，所以OP ＝4，由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为∠POC ＝π3，在△POC 中，由余弦定理得CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos π3＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以CP ＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x .即x 2＋y 2－2x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程． 同理x 2＋y 2－2x －2y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0， ①x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0；⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0.即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,0)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝0. 法二：①－②得y ＝0，即y ＝0为过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得， ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为 12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0); 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33. 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为 θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．11．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求直线AB的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1.∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.。
高中数学新课圆锥曲线方程教案
一、教案基本信息高中数学新课圆锥曲线方程教案课时安排：2课时教学对象：高中数学学生教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及其特点。
2. 掌握圆锥曲线的基本方程。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题。
教学方法：1. 采用问题导入法，激发学生兴趣。
2. 利用多媒体课件，直观展示圆锥曲线的图形。
3. 采用小组讨论法，引导学生探究圆锥曲线方程的推导过程。
4. 运用例题讲解法，帮助学生掌握圆锥曲线方程的应用。
教学内容：1. 圆锥曲线的概念及特点2. 圆锥曲线的基本方程3. 圆锥曲线方程的推导过程4. 圆锥曲线方程的应用二、教学过程第一课时：1. 导入：利用多媒体课件，展示圆锥曲线的图形，引导学生观察其特点。
2. 新课讲解：1. 讲解圆锥曲线的概念及特点。
2. 引导学生探究圆锥曲线的基本方程。
3. 讲解圆锥曲线方程的推导过程。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程的应用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
第二课时：1. 复习导入：复习上一课时所讲的内容，提问学生圆锥曲线方程的应用。
2. 课堂讲解：讲解圆锥曲线方程在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：运用例题，讲解圆锥曲线方程解决实际问题的方法。
4. 小组讨论：布置讨论题，让学生分组讨论圆锥曲线方程的应用。
5. 课堂总结：总结本节课所讲内容，强调圆锥曲线方程的重要性。
6. 课后作业：布置作业，让学生巩固所学知识。
三、教学评价1. 课后问卷调查，了解学生对圆锥曲线方程的掌握程度。
2. 课堂练习及作业批改，评估学生运用圆锥曲线方程解决实际问题的能力。
3. 课堂表现，观察学生在讨论、回答问题等方面的参与度。
四、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
2. 结合学生反馈，优化教学内容，使课堂更贴近学生需求。
3. 注重培养学生的动手操作能力和实际应用能力，提高学生的综合素质。
五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的图形，生动直观。
圆锥曲线统一的极坐标方程
所以 ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2， 可以检验，当 O、C、M 三点共线时的 点 M 的坐标也适合上式，所以半径为 r，圆 心在 C(ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为 ρ2＋ρ12－ 2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0.
【答案】 ρ＝2cos θ 化曲线的极坐标方程为直角
坐标方程
化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断 曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2； (4)ρ＝1－c1os θ. 【思路探究】
ρcos θ＝x 极坐标方程 ――→ 直角坐标方程―→曲线的形状
θ＝α(ρ∈R)或
过点 A(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2＜θ＜π2) 过点 A(a，π2)，与极轴平行的直线
(0＜θ＜π)
ρsin θ＝a
过点 A(a,0)，且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程
ρsin(α－θ)
＝asin α (0＜θ＜π) 3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正
－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一
点，曲线的极坐标方程为 ρ＝1－eecpos θ.
图 1－2－6 ①当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆． ②当 e＝1 时，方程表示开口向右的抛物线． ③当 e＞1 时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．
1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？ 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)， (ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与 点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多 种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极 坐标方程 ρ＝θ，点 M(π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)或(－ π4，54π)等多种形式，其中，只有(π4，π4)的极坐标满足方程 ρ＝θ. 2．在极坐标系内，如何确定某一个点 P 是否在某曲线 C 上？ 【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的 方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程， 所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判 断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可． 3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极坐标方程 的关键是什么？常需用到什么知识？ 【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知 识及利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之间的关系． 4．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如 何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一 的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标 方程再判断其是哪种曲线．
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学习资料
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程
椭圆，双曲线，抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆，双曲线，抛物线统一的极坐标方程为：
其中p是定点到定直线的距离，p>0
当0<e<1时，方程表示椭圆；
当e>1时，方程表示双曲线；若ρ>0，方程只表示双曲线右支，如果允许ρ<0，方程就表示整个双曲线.
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
各种学习资料，仅供学习与交流。