利用极坐标解圆锥曲线题
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
圆锥曲线极点极线应用篇5
圆锥曲线极点极线应用篇5一、引言圆锥曲线是高中数学的重要内容，极点极线是解决圆锥曲线问题的一种重要方法。
本篇文档将详细介绍如何应用极点极线解决圆锥曲线问题。
二、极点极线基本概念在解析几何中，一个点对于一个曲线而言，具有特殊的意义。
这个点被称为曲线的极点，而连接这个点和曲线上任何一点的直线被称为这条曲线的极线。
在圆锥曲线中，这个概念同样适用。
三、应用方法1.点与曲线的关系：通过寻找曲线的极点，可以找到曲线上某个点的位置。
通过已知点和曲线的极线，可以求出未知点的坐标。
2.曲线间的关系：不同曲线的极线可能交于一点，或者两曲线具有相同的极线。
这种情况下，可以通过研究这个共有的极线来研究两个曲线之间的关系。
3.最值问题：在解决最值问题时，可以考虑用极点极线的方法。
通过建立极线方程，可以将问题转化为求函数最值的问题。
四、实例解析1.已知抛物线方程为y^2=4x，求点(2,2)在抛物线上的位置。
解：根据抛物线的定义，可得到抛物线的极点为原点。
因为点(2,2)在抛物线上，所以它的极线与抛物线的交点就是所求。
通过解方程y^2-4y=0，可得到点(2,2)在抛物线上的位置为(1,0)。
2.求椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点到直线x+y=0的距离最小时的椭圆方程。
解：这个问题的关键在于找到椭圆的极线和所求直线之间的关系。
椭圆的极线是两条射线，它们和坐标轴构成的两个三角形的面积越大，距离最小。
通过计算，可以得到当椭圆的长轴在$x$轴上时，距离最小。
此时，椭圆的方程为x^2/7+y^2/3=1。
五、总结通过极点极线的方法，我们可以更深入地理解圆锥曲线，找到解决问题的方法。
在解决具体问题时，要灵活运用基本概念和方法，通过建立方程、函数等方法，解决实际问题。
六、扩展阅读1.进一步了解极点和极线的性质和应用，可以阅读相关的数学文献和教材。
2.练习解一些更复杂的问题，以提高自己的解题能力。
3.参考一些优秀的数学解题视频和博客，获取更多的解题思路和方法。
圆锥曲线极坐标方程
2 ep 1 e co s
2 2
圆锥曲线的统一极坐标方程的应用
• .写出下列圆锥曲线统一的极坐标方程 : 2 2 • （1）
x
2
y
1
4
• （2）
3
y 4x
• 2. 已知椭圆
3 2 co s
，求：
• （1）椭圆左右顶点的极坐标；
• （2）椭圆上极角 3 为的点对应的极径；
2
y
2
1
5
4
• 的左焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交 于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的 面积．
1 F P1
1 FP
2
1 FP3
• 为定值，并求此定值．
例题3：(2005年全国高考理改编) x y 1 已知F点为椭圆 2 的左 焦点.过F点的直线L与椭圆交于P、 Q两点，过F且与L1垂直的直线L2 交椭圆于M、N两点，求四边形 PMQN面积的最小值和最大值.
2 2
• 例题4：08年海南卷）过椭圆 x
圆锥曲线极坐标方程的应用
四川省阆中中学高2010级数学组
一、圆锥曲线的统一极坐标方程
ep 1 e co s
e 1
• 说明:1.圆是以左焦点为极点，抛物线是以焦点为极 点，而双曲线是以右焦点为极点，极轴方向与 轴同方向．
• 可以中心为极点建立极坐标系吗？ • 以原点为极点，极轴与轴同方向，可以用 直角坐标与极坐标的转化公式直接转化即 2 可．标准方程 x 2 转化为极坐 y 2 1 2 a b • 标方程
• （3）过左焦点，倾斜角
为的弦的长度.
3
• 例题2：(2007重庆理改编)如图，中心在原
高考之圆锥曲线篇】极坐标
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ ２’所以÷＝了１＋虿Ｐ２
ｐｌ十
ｄ
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则 把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９ 年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
我们也会得到如下美妙的结论．
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃 ｎ ｙ
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓 广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
14. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧极坐标1
先给大家总结几个圆锥曲线焦半径、焦点弦重要的性质。
性质 1：以圆锥曲线的焦点 p，(椭圆是左焦点、双曲线是右焦点)为极点，对称轴(椭圆是长轴，双曲线是实轴)
ep
b2
为 极 轴 ， 离 心 率 为 e ， 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为 p 。 则 AF
大招二 极坐标秒解圆锥曲线选择题
圆锥曲线是高考压轴题经常涉及和考查的对象，解决此类问题若使用常规解法，计算、化简都相当繁琐，运 用焦半径、焦点弦公式则会大大减少运算，非常巧妙，在解题中起到事半功倍的效果。而焦半径、焦点弦公式可 以用圆锥曲线的统一定义推导，圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系在一起。
AF
在 y 轴左侧），则
．
FB
x2
例 7、已知双曲线 C：
a2
y2 b2
（1 a
0, b 0）的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 垂直于一条渐近线于 M，交
另一条渐近线于 N，若 MF 2FN ，则 C 的离心率是
例 8、已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，点 A（-3，0）． （1）过点 A 的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
经过椭圆 B 点，求 AB 的长。
法 1：解：
的左焦点 作倾斜角为 60°的直线 ，直线 与椭圆相交于 A， 斜率
设 A（ ）,B（ ）
联立得： 化简得： 解得
, ,
∴
法 2：
AB
1
2ep e2 cos2
= a2
2ab2 c2 cos2
8 7
2
第 60 页例 6
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题圆锥曲线是一种常见的二维曲线形式，它可以由圆锥的剖面所生成。
在数学中，我们经常遇到求解圆锥曲线焦点弦的问题。
首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。
极坐标是一种用极径和极角来描述平面上点位置的坐标系统。
对于圆锥曲线，我们可以使用极坐标来描述其形状和特性。
求解圆锥曲线焦点弦的问题是要找到圆锥曲线上两个焦点之间的弦的方程。
为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆锥曲线方程：根据圆锥曲线的类型，如椭圆、双曲线或抛物线，确定其标准方程。
例如，对于椭圆，标准方程为 r = a(1 - e*cosθ)；对于双曲线，标准方程为r = a(1 + e*cosθ)；对于抛物线，标准方程为r = a(1 + cosθ) 或 r = a(1 - cosθ)。
2. 确定焦点坐标：通过曲线方程中的参数，计算出曲线的焦点坐标。
对于椭圆和双曲线，焦点坐标为 (ae, 0) 和 (-ae, 0)，其中 e 是离心率。
对于抛物线，焦点坐标为 (a/2, 0)。
3. 求解弦的方程：选择两个不同的点作为弦的端点，可以通过给定的焦点坐标和极径的差值来确定弦的长度。
然后，通过两点式或极坐标变换，推导出弦的方程。
在进行上述步骤时，应注意选择合适的曲线方程和坐标系，以确保结果的准确性和一致性。
此外，还应牢记圆锥曲线的性质和特点，以便在求解过程中进行验证和判断。
综上所述，通过极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题需要确定圆锥曲线方程、焦点坐标和弦的方程。
这一过程涉及到数学知识和计算技巧，并需要合理地选择坐标系和参数值。
通过正确地应用这些步骤，我们可以准确地求解圆锥曲线焦点弦的问题。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题48福建中学数学2015年第9期断：因为0j叶dtanAj在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供潜质．巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙用．先介绍圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方l—ecoS，T2程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．C(1)当0它的左焦点，定直线是它的左准线；(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，方程表示整个双曲线)．根据不同的坐标系，有下列推论：推论1P=_，l+eCOS(1)当0(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲线．推论2ep，(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲线．推论3P=_，I十es1rl(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐标方程解答能化繁为简．题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F为焦点)的圆锥曲线问题例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的坐标是——．解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，解得A(0，±1)．例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距2015年第9期福建中学数学49离为．解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．题型二涉及到焦点弦长问题例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且『MDI=(4／5)lPDI．(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的方程；(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直线被C所截线段的长度．解(I)／25+Y／16=1；(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，P=a。
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1 圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过 观念性问题 与 技术性问题 的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3 如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称 费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标 思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题
利用直角坐标系和极坐标系解圆锥曲线问题在数学中，圆锥曲线是指由平面与一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）之间的点所构成的曲线。
利用直角坐标系和极坐标系可以方便地解决圆锥曲线问题。
下面将介绍如何利用这两种坐标系来解决该问题。
1. 直角坐标系解圆锥曲线问题在直角坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
1.1 椭圆椭圆是一个有限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之和为常数。
在直角坐标系中，椭圆的方程可表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半长轴。
1.2 双曲线双曲线是一个无限点的几何图形，其特点是到两个焦点的距离之差为常数。
在直角坐标系中，双曲线的方程可表示为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或者(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半长轴。
1.3 抛物线抛物线是一个有限点的几何图形，其特点是到焦点和到准线的距离相等。
在直角坐标系中，抛物线的方程可表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 极坐标系解圆锥曲线问题在极坐标系中，可以用方程的形式描述圆锥曲线。
常见的圆锥曲线包括极坐标方程、参数方程和极径方程。
2.1 极坐标方程极坐标方程是通过指定极径和极角来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的极坐标方程可以表示为：r = f(θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.2 参数方程参数方程是通过引入一个或多个参数来定义圆锥曲线。
在极坐标系中，圆锥曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)，y = g(t)其中t为参数。
专题13极坐标秒解圆锥曲线微点2极坐标秒解圆锥曲线综合训练
专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点2 极坐标秒
解圆锥曲线综合训练
12．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线
参考答案：
（2）设椭圆的左焦点(13,0F -即12MP MF MP MF +=-+()()
22
1310117PF =
--+-=
（3）椭圆的右准线25
3x =
，设椭圆上的点35MF d =， 5||||3
MP MF +=离，即
2522
133
-=
所以5||||3MP MF +的最小值是223所以5
||||3MP MF +的值最小时点M 【点睛】本题考查椭圆内的最值问题，重点考查转化与变形，数形结合分析问题，属于中档题型.
）
记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ
≤≤
，且2123ααπ=+，3143
ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1
(92FP =
-
答案第17页，共17页。
你知道吗？极坐标还可以这样秒解圆锥曲线问题
你知道吗？极坐标还可以这样秒解圆锥曲线问题
在极坐标中(ρ,θ），ρ表示动点M 到定点O 的距离。
θ表示OM 与极轴间的夹角。
利用极坐标方程可以处理极径与极角相关问题。
1
以焦点为极点，垂直于准线的直线为极轴，建立极坐标系。
2
以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴，建立极坐标系
通过以圆锥曲线的焦点为极点，焦点所在坐标轴正向为极轴方向，建立极坐标系。
紧紧抓住极径与极角间的关系，可以解决过焦点直线的弦长问题，倾角问题以及焦半径问题。
另外，以原点为极点，以坐标轴正向为极轴方向，建立极坐标系。
可解决过原点的弦长问题及倾角问题。
能够大大减少解析几何问题的运算量。
使得解题过程得以优化。
利用圆锥曲线的极坐标方程巧解一类高考试题
利用圆锥曲线的极坐标方程巧解一类高考试题
钱进
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)001
【摘要】一、圆锥曲线的极坐标方程1．椭圆：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,ρ=p/（1＋e cosθ）（极点为右焦点F（c,0），极轴为从F向右的射线，θ为极角，e为椭圆的离心率，ρ=b2/a）。
【总页数】2页(P114-114,116)
【作者】钱进
【作者单位】遵义第一高级中学,563000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
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大招4 极坐标秒解圆锥曲线3(原点篇)
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇）大招总结在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)中,O 是坐标原点,A 、B 是椭圆上两点,OA 、OB 的长度可以用极坐标表示,部分题目可以达到简化计算的目的.令x =ρcosθ,y =ρsinθ,则1ρ2=cos 2θa 2+sin 2θb 2.典型例题例 1.(2021·河南二模)设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√217,O 为坐标原点. (I)求椭圆C 的方程;(II)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值.解,方法1:(I)由e =12得c a =12即a =2c,∴b =√3c .由右焦点到直线x a +y b =1的距离为d =√217, 得:√a 2+b 2=√217, 解得a =2,b =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(II)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆x 24+y 23=1联立消去得3x 2+4(k 2x 2+2kmx +m 2)−12=0,x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0.即(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,∴(k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m =0,整理得7m 2=12(k 2+1)所以O到直线AB的距离d=√k2+1=√127=2√217.为定值∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2⩾2OA⋅OB,当且仅当OA=OB时取“=”号.由d⋅AB=OA⋅OB得d⋅AB=OA⋅OB⩽AB 22,∴AB⩾2d=4√217,即弦AB的长度的最小值是4√217.方法2:设OA与x轴夹角为θ,OB与x轴夹角为π2+θOA=ρ1,OB=ρ21ρ12=cos2θa2+sin2θb2,1ρ22=cos2(θ+π2)a2+sin2(θ+π2)b2=sin2θa2+cos2θb21OA2+1OB2=1a2+1b2=14+13=712d2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=127d=2√217接下来求AB最小值方法一样使用均值不等式利用d,AB,OA⋅OB关系求解例2.(2021秋·虹口区月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为4,且过点A(√2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设点O为原点,若点P在曲线C上,点Q在直线y=2上,且OP⊥OQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解(1)由题意可得2a=4,即a=2,又2a2+1b2=1,解得b=√2,即有椭圆C的方程为x 24+y22=1;(2)直线PQ与圆x2+y2=2相切.证明如下：设点P,Q的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0, 解得t =−2y 0x 0.当x 0=t 时,y 0=−t 22,代入椭圆C 的方程, 得t =±√2,故直线PQ 的方程为x =±√2,圆心O 到直线PQ 的距离d =√2.此时直线PQ 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时,直线PQ 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t),即(y 0−2)x −(x 0−t )y +2x 0−ty 0=0.圆心O 到直线PQ 的距离d =00√(y 0−2)2+(x 0−t )2. 又x 02+2y 02=4,t =−2y 0x 0. 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.方法2：设OQ 与x 轴夹角为θ,OB 与x 轴夹角为π2+θOQ =2sinθ(注意Q 点不在椭圆上),OP =ρ21OQ 2=sin 2θ41OP 2=1ρ22=cos 2(θ+π2)a 2+sin 2(θ+π2)b 2=sin 2θa 2+cos 2θb 2=sin 2θ4+cos 2θ21OQ 2+1OP 2=12 ∴d 2=OQ 2⋅OP 2OQ 2+OP 2=11OQ 2+1OQ 2=2 d =√2=r ,和圆相切例 3.(2021·衡阳一模)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√32,,其左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线斜率之积−14.(I)求椭圆C 的方程;(II)求证:x 12+x 22为定值,并求该定值.解,方法1:(I)根据题意,|F 1F 2|=2c =2√3,则c =√3,e =c a =√32,则a =2,b 2=a 2−c 2=1,故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(II)根据题意,点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)与坐标原点的连线斜率之积−14,即y 1x 1×y 2x 2=−14,−4y 1y 2=x 1x 2,即(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2, 又由x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,则1−x 124=y 12,1−x 224=y 22,即可得(1−x 124)(1−x 224)=(y 1y 2)2,变形可得(4−x 12)(4−x 22)=(x 1x 2)2,展开可得x 12+x 22=4,即x 12+x 22为定值4.法2:三角换元x 1=2cosα,y 1=sinαx 2=2cosβ,y 2=sinβ注:角α,β并不是与x 轴夹角sinα⋅sinβ2cosα⋅2cosβ=−14cos(α−β)=0x 12+x 22=4自我检测1.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A 、B 两点,过原点O 作直线AB 的垂线,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.解:(1)右焦点为F(c,0)到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,∴√a 2+b 2=√6−√33.又e =√22,联立得{ √a 2+b 2=√6−√33e =c a =√22a 2=b 2+c 2,解得{a =√2b =c =1. ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D(x,y).当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立{y =kx +m x 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由Δ>0,得1+2k 2>m 2.(∗)∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2.(∗∗)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,化为(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,把(**)代入上式得(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0,化为3m 2=2(1+k 2).(1)∵OD ⊥AB,∴k ⋅y x =−1,得到k =−x y .(2)∵点D 在直线AB 上,∴y =kx +m,∴m =y −kx .(3)联立(1)(2)(3)消去k,m .得到x 2+y 2=23(y ≠0).当直线AB 的斜率不存在时,可得D (±√63,0),也适合上述方程. 综上可知:点D 的轨迹方程为x 2+y 2=23.2.(2021·河南模拟)椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0),,且椭圆过点A(2,√2).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)过原点O 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,l 1与椭圆交于M,N 两点,l 2与椭圆交于P,Q 两点,求证:四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值.解:(1)由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√02+(√2)2=4√2=2a ,所以a =2√2,又c =2,所以b =2,故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1;(2)当直线l 1的斜率为±1时,四边形MQNP 为正方形,联立方程{y =xx 28+y 24=1,解得|x M |=|x N |=2√63=r ,当直线l 1的斜率不等于±1时,设Q (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线QN 的方程为:y =kx +t ,代入椭圆方程整理可得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0,Δ=(4kt)2−4(1+2k 2)(2t 2−8)>0,则8k 2−t 2+4>0, 得x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−81+2k 2,由已知可得∠NOQ =90∘,所以OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=0, 则(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0,所以(1+k2)×2t 2−81+2k 2+kt ×−4kt1+2k 2+t 2=0, 化简可得:3t 2=8(1+k 2)(∗),代入△成立,故r =|√1+k 2|=√t 21+k 2=√83=2√63, 综上,r =2√63.。
用极坐标方程解一类圆锥曲线高考题
用极坐标方程解一类圆锥曲线高考题
张国良
【期刊名称】《中学数学研究（江西师大）》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：平面上与一定点F（焦点）的距离和一条定直线l的距离比为定值e的点的轨迹．
【总页数】2页(P43-44)
【作者】张国良
【作者单位】江苏省徐州市第三十五中学，221003
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。
（2）当或时，如图3，直线l 与双曲线交点A 、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。
3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义可得 即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例2． 已知抛物线y 2=2px （p>0），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，求AB 长.练习1：．过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=. 利用弦长求面积例3．设过椭圆1162522=+y x 的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB 的面积。
练习2．（08年卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积．523cos ρθ=-12(,),(,)33A B ππρρπ+12||AB ρρ=+5580||723cos 23cos()33πππ=+=--+简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.解析：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：2||1cos 2PQ θ=-，202||1cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+2111sin 2216θ=+ 即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例4．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A 、B两点，若FBFA 2=，求椭圆的离心率.简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e FA -=-=， ∴21221ep e e p e +⋅=-，解得32=e ；练习4．求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，2p ∴= 所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos 3cos44AB ρρππ=+=+=-- （3）定值问题 例5. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A a B b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p （定值）点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+ 例6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11AB CD+为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin ep AB e θ=-则 2112-e =AB CD 2ep+ 注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例7．(2007理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使0122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠． 证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP =92cos θ-、2||FP = 092cos(120)θ-+与3||FP = 092cos(120)θ--，因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道0cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此21311123FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例8．（2006全国联赛）椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 4=…=∠P 24FP 1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S ，求S 的值．推广: 设123P P P P n 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP 圆周角等分则n2i=1i1OP ∑也为定值 作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =． （1）求椭圆的离心率e ； （2）若15||4AB =，求椭圆方程。