利用极坐标解圆锥曲线题word版本

2
1 2 cos
2
设直线 l1 的倾斜角 ，则直线 l2 的倾斜角为 900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：
|
PQ |
1
1
2 cos2
，|
MN
|
1
2 1 cos2 (
900 )
1
2 1 sin2
2
2
2
用他们来表示四边形的面积
1
1
1
S | PQ | | MN |
练习
3．(2005
年全国高考理科)已知点 F
为椭圆
x2 2
y2 1的左焦点.过点 F
的直线 l1 与椭
圆交于 P 、Q 两点，过 F 且与 l1 垂直的直线 l2 交椭圆于 M 、N 两点，求四边形 PMQN 面
积的最小值和最大值.
7
2
解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
，过 的
解：（1）当 在同一交点上，连
时，（如图 2）直线 与双曲线的两个交点 A、B
，设
，由双曲线定义可得
，由余弦定理可得
整理可得
，同理
，则可求得弦长
。
（2）当 在两支上，连 由余弦定理可得
或 ，设
时，如图 3，直线 l 与双曲线交点 A、B
，则
，
，
，
4
整理可得
，则
因此焦点在 x 轴的焦点弦长为
b ( 25)2 (15)2 5 8 82
方程表示椭圆的离心率e 3，焦距15，长轴长 25，短轴长5
5
4
4
解法二：转化为直角坐标
（2）圆锥曲线弦长Biblioteka Baidu题
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，
1、椭圆中， p
a2 c
c
b2 c
， MN
ep 1 e cos
ep
1 e cos( )
2ab2 a 2 c2 cos2
则点 A 的横坐标为
，点 B 横坐标为
为垂足，设
，
，
，由抛物线定义可得
即
则
同理
的焦点弦长为
的焦点弦长为
，所以抛物线的焦点弦长为
例 2． 已知抛物线 y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为 k 的直线交抛物线于 A，B 两点， 求 AB 长.
练习 1：．过双曲线 x2 - y2 1的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线与 A、B 两点，
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一
条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，
垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 e cos
.
若椭圆方程为
，半焦距为
，焦点
，
设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 。
2
解：连结
，设
，由椭圆定义得
，由余弦定理得
，
整理可得
，同理可求得
，则弦长
。
同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 c 为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
（a 为长半轴，b 为短半轴，
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
45
3
求｜AB｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得 5 2 3cos
A(1,
3
),
B( 2 ,
)
3
AB | 1 2
|
|
5 2 3cos
5
2 3cos(
)
|
80 7
3
6
3
附录直角坐标系中的焦半径公式 设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若 F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 a ex ， PF2 a ex ；
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ． 当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆； 当 e＞1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程 就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 ep 1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若 ep 1-e sin
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3） ep 1+e sin
1
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编
同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式
其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距， 为 AB 的倾斜角。
3、抛物线中， MN
p 1 cos
p
1 cos(
)
2p sin 2
若抛物线
与过焦点
，求弦长|AB|？（图 4）
的直线 相交于 A、B 两点，若 的倾斜角为
5
解：过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线
2、若 F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点，
当点 P 在双曲线右支上时， PF1 ex a ， PF2 ex a ；
当点 P 在双曲线左支上时， PF1 a ex ， PF2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p .
2
利用弦长求面积
例 3．设过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面积。 25 16
练习 2．（08 年海南卷）过椭圆 x2 y2 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于
54
A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 的面积．
简
解：首
先
极坐标
方程中
的
焦点弦长
公
式
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
求弦长，然后利用公式
SAOB
1 2
|
AB ||
OF
|
sin
AFO
直接得出答案。
（1）二次曲线基本量之间的互求
例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 5 3cos
解法一：
1
2 3 cos
3 10
5 1 3
3 cos
5
5
e 3，P 10
5
3
c
a b2
c
3 5 10 3
5
3
3a c 5 a c 10
3
a
c
25 8 15 8
若 M、N 在双曲线同一支上， MN ep
ep
2ab2
；
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2
若 M、N 在双曲线不同支上，
MN
ep 1 e cos
ep 1 e cos
2ab 2
c 2 cos2 a 2
3
设双曲线
，其中两焦点坐标为
直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 A、B 两点，求弦长|AB|。