利用极坐标解圆锥曲线题word版本
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
、
基础 知识
，
．
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・ ．
在教 材 中 ， 圆锥 曲线 统一 的极坐 标方程 （ 如图 １ ） 是如 下定义 ： 过焦 点 ，作相 应准 线 的垂 线 ￡ ， 垂足 为 ， 以焦点 Ｆ为 极点 ， Ｆ Ｋ的 反 向延 长线 为极 轴 ， 建立 极 坐 标 系 ， 从 而 得 到 圆 锥 曲线 统 一 的 极
坐标 方程 ：
，．
ｂ＝ １， ｃ＝
， 口＝
以椭 圆 的右焦点 为极 点 、 轴 的负半 轴 为极 轴 ， 建 立 如 图 ３所 示 的极坐 标 系 ， 则椭 圆 的极坐 标方程 是 ｐ １
推广 １ ： Ｐ＝
， 当 ０＜ｅ ＜１ 时， 方 程 表 示 极 点在 右 焦 点
：
极径 ； ３ 、 ① 因为椭 圆 、 双 曲线 Ｐ＝ 的几何 意义 ， 所 以 的极 坐标方 Ｃ
Ｌ２
等 ＝ １ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） 的 离 心 率 为 字 ， 椭 圆 与 轴 交 于
２ ２
程可 以变 形 为 Ｐ＝ —
两点Ａ （ ａ ， ０ ） 、 Ｂ （ 一 ａ ， ０ ） ， 过 点 Ｃ的直线 ｌ 与椭 圆交于另 一点 Ｄ， 并 与 轴交 于点 Ｐ， 直线 Ａ Ｃ与直线 Ｂ Ｄ交 于点 Ｑ。 ； ② 因 为 ｅ的特 殊 性 ， 所 以抛 物 线 的 极 （ １ ） 当直线 Ｚ 过椭 圆右 焦点 时 ， 求线 段 Ｃ Ｄ的长 ； （ ２ ） （ 略） 。 解： ‘ ・ ‘ 过点 ｃ （ ｏ ， １ ） 的椭 圆 ＋ ＝ ｌ （ ｎ＞ ６ ＞ ０ ） 的离 心率 为
－ｌ
。
・ ． ．
了
６
，．
。 ∞丁
圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)
圆锥曲线的参数方程练习题1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线24{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( )A.2B.3C.4D.5答案：C解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4.故选C.2、参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( )A.圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分答案：B解析：参数方程sin cos ,{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤,表示抛物线的一部分.3、椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)±答案：B解析：椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的普通方程为221259x y +=,故4c ==. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.4、已知过曲线3cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2⎛ ⎝D.1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：D解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125x y ==. 5、已知O 为原点,P为椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos ,{x y αα== (α为参数)化为普通方程,得2211612x y +=.由题意可得直线OP的方程为y = (0x >).由22(0),{11612y x x y =>+=解得x y ==. ∴点P的坐标为.故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A.2214y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2212x y +=答案：A 解析：易知,2y cos x sin θθ==,∴2214y x +=,故选A. 7、方程cos cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0ab ≠)表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一部分 答案：D解析：由xcos a θ=,∴a cos xθ=,代入y bcos θ=,得xy ab =,又由y bcos θ=知,||,y b b ∈-⎡⎤⎣⎦,∴曲线应为双曲线的一部分.8、若曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩ (θ为参数)与直线x m =相交于不同两点,则m 的取值范围是( )A.RB.()0,+∞C.()0,1D.[)0,1答案：D解析：将曲线2sin cos 1x y θθ⎧=⎨=-⎩化为普通方程得()()()21101y x x +=--≤≤.它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合知01m ≤<.8、过椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (为参数)的右焦点,斜率为12的直线方程为__________ 答案：x-2y-4=0解析：椭圆的普通方程为221259x y+=,故5,3,a b==所以4c==,故右焦点的坐标为(4,0),又直线的斜率为12,故直线的方程为1(4)2y x=-,即240x y--=.9、已知实数0p>,曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)上的点(2,)A m,曲线26cos :{26sinpxCyθθ=+ = (θ为参数)的圆心为点B,A,B两点间的距离等于圆2C的半径,则p=__________.答案：8解析：曲线212:{2x ptCy pt==(t为参数)化为普通方程为22y px=,代入2x=得m=±则点(2,A±.曲线26cos:{26sinpxCyθθ=+=的圆心为(,0)2p,半径为6.10、设点O为坐标原点,直线l:4,{2xy t=+=(参数t R∈)与曲线24,:{4x uCy u==(参数u R∈)交于A、B两点.（1）求直线l与曲线C的普通方程;（2）求证:OA OB⊥.答案：1.直线l:4y x=-.曲线C:24y x=.2.证明:设1122(,),(,),A x yB x y由24{4y xy x==-消去y,得212160x x-+=.∴121212,16,x x x x+==∴12121212121212(4)(4)4()161OA OBy y x x x x x xk kx x x x x x---+⋅====-.∴OA OB⊥.11、在直角坐标系 xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线 C的参数方程为,{sin ,x y θθ== (θ为参数).1.已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系; 2.设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.答案：1. 点P 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则直角坐标为(0,4), 把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=, 因为0?4? 4? 0-+=,所以点P 在直线l 上.2.因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q的坐标可设为),sin Q αα. 点 Q 到直线l 的距离为2cos 4d πα⎛⎫++ ⎪==6πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当cos 16πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d.。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
极点极线背景下的圆锥曲线习题汇总
第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率32c e a ==．（2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=-- ，所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线，所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-．所以00(,0)1x S y -．所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+，即2200000000044844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--．又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为00022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．.【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0.【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3；由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以()()222244990t n t n ∆=-+->，整理得：2290t n -+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>，因此，直线l 恒过定点()2,0．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y -y o =k (x-x 0)，过定点(x 0,y 0)．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB .当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x x k x x x x ++==.易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D .【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y ，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得m =MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PF x y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =.（Ⅱ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率2222402403101808040MD m m m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040ND m m m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=- ，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ -+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ +++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F ,由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t A Q y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭()22443t x t =--+所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，即2==+A B Q A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ，所以222112a a +=-，解得224,2a b ==所以椭圆方程为：22142x y +=；（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，得||(||- AP QP ||)(||||)||=- PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα，点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ= ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-.所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+.所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++.令4x =，得1162=+y y x .直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-.所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+-()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭.所以点Q 在直线4x =上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y 21211122111111422444BQ AQ x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22126440525m y my ++-=，()1221254m y y m +=-+，()12264254y y m =-+，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++，1AP AQ k k ∴⋅=-,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BM y y y k k x x x ⋅=⋅=+--因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AM BMx y k k x x -⋅==---因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k=-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去.所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD b k b ==︒=-⇒=-，所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y +=⇒=-=-+⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，222x y --==--22222222222336313336313131233633131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++=--++，23x =⇒=，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点.【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+，从而21243N k y k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+，从而212121M k y k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k -+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PN k k k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -，综上可得，直线MN 过点()1,0P -.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）214-；（3）证明见解析.【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1F Q x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B 1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1F Q x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得22Q y =，即1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221121244F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=-⋅=- ⎝⎭△△△；（3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭；同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时，直线CD 的方程为32x =；当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞ ；（2）()3.5,5；（3）见解析【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =- ，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，.（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->，解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，，将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =-> ，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+①，22421m n x x k ⋅=+②设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,19 1.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()6,3DN =- ．所以2DN DB = ，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120k x k x k +-+-=．且()()()222284344120k k k ∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．所以11116022412MF y x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+ ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦，()()()2221212131424442k x x k x x k y ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k k k k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB 与DN共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4.【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可.【详解】（1）由题设，12c a =，221914a b+=，且222a b c =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=，因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++，设直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+，∴121239222313222++==-+y y x x y y ，∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）63；（2）是，13，证明见解析.【分析】（1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率；（2）当2a =时，233b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于。
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择填空题--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题)1．焦点三角形的面积、离心率(1)设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.(2)设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.2．中心弦的性质设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1. 3．中点弦的性质设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k . (1)若圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝py 0.4．焦点弦的性质(1)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α. (2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.题型一 椭圆焦点三角形的面积、离心率【例1】 在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________； (2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________． 答案 (1)33 (2)6－22解析 (1)由焦点三角形公式，得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝3 3. (2)由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.【训练1】 (1)若P 是x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1，F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．(2)在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，∠PF 2O ＝45°，∠PF 1O ＝15°，则椭圆的离心率e ＝________． 答案 (1)6433 (2)32－62解析 (1)S △F 1PF 2＝b 2tan α2＝64×33＝6433. (2)由公式e ＝sin （β＋α）sin β＋sin α，即得e ＝32－62.题型二 中心弦的性质【例2】 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为________．答案2 2解析k AP·k BP＝－12，e2－1＝－12，∴e2＝12，e＝22.【训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线P A与PB的斜率之积为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝3 5，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．答案(1)3(2)12 25解析(1)k P A·k PB＝e2－1＝3.(2)设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝725，cos 2θ＝1625，cos θ＝45，利用Rt△F2OB易知k BD＝－43，e＝35，由k BD·k CD＝e2－1，得k CD＝1225.题型三中点弦的性质【例3】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1答案 B解析由题意可知k AB＝－15－0－12－3＝1，k MO＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.【训练3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1(2)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________． 答案 (1)D (2)2解析 (1)c ＝3，a 2－b 2＝9，AB 的中点记为P (－1，1)，由k AB ·k OP ＝e 2－1则 (－1)×－1－01－3＝－b 2a 2，∴a 2＝2b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.(2)法一 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别是A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线上，∴|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，∴MM ′平行于x 轴，∴y 0＝1，又由中点弦的性质得k AB ＝py 0＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法三 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.题型四 焦点弦的性质【例4】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵λ＝3，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.【训练4】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.一、选择题1．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D解析 k 1k 2＝－b 2a 2＝－12.2．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解析 直线y ＝k (x －2)过抛物线的交点F (2，0)，则1|FP |＋1|FQ |＝2p ＝12.3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 由对称弦结论知kP A 1·kP A 2＝e 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－34，又kP A 2∈[－2，－1]，∴kP A 1＝－34kP A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( ) A.32 B.62 C.3 D. 6 答案 B解析 设P 到x 轴的距离为y P ，故12×22×y P ＝12×1tan 30°，解得y P ＝62，故P到x 轴的距离为62.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝2x D ．y 2＝6x 答案 C解析 |AB |＝2p sin 2θ，∴2p ＝|AB |sin 2θ＝8×sin 2π6＝2， ∴y 2＝2x .6．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若BA→＝4BF →，则△AOB 的面积为( )A.83 3B.43 3C.83 2D.43 2 答案 B解析 由题意知AF BF ＝3，AF ＝p 1－cos θ，BF ＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32，S ＝p 22sin θ＝43＝433. 7．(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离等于b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A ．24 B ．8 C ．12 D ．16 答案 A解析 p ＝2，S △AOB ＝p 22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB |＝2psin 2θ＝24.9．(2021·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与Γ相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A ．1 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，又λ＝3，由e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33，又k ＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.10．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 A解析 (极坐标法)设l 1的倾斜角为θ，那么|AB |＝|AF |＋|BF |＝21－cos θ＋21－cos （π＋θ）＝21－cos θ＋21＋cos θ＝4sin 2θ，因此l 2的倾斜角为θ＋π2或θ－π2，即|DE |＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π2，因此即求4⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值，令f (θ)＝4sin 2θcos 2θ，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝π4，结果414＝16.11．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，椭圆上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 D解析 设B 为短轴上端点，则S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝b 2≤S △F 1BF 2＝bc ，∵a ＞b ＞0，∴b ≤c ，即b 2≤c 2，∴e 2＝c 2a 2≥12，又∵e ＜1，∴22≤e ＜1，故选D.二、填空题12．已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 3 3解析 设〈PF 1→，PF 2→〉＝θ，则由PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，知cos θ＝12，θ＝π3，∴S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝9×33＝3 3.13．经过椭圆x 24＋y 2＝1上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12的切线方程为________________．答案3x ＋2y －4＝0解析 把⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12代入椭圆的切线方程x 0x a 2＋x 0y b 2＝1，得3x 4＋y 2＝1，即3x ＋2y －4＝0.14．在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，椭圆离心率e ＝12，∠PF 2O＝60°，则tan ∠PF 1O 的值为________． 答案3解析 设∠PF 1O ＝θ，由题意可得12＝sin （θ＋60°）sin θ＋sin 60°，解得cos θ＝12，∴θ＝60°，故tan ∠PF 1O ＝tan θ＝ 3.15．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________．答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP→≤12，故最小值为6. 16．已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处切线的距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________． 答案142解析 由椭圆的焦半径公式得|PF 1||PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x 0＝4－14x 20＝247，x 20＝167，∴y 20＝97，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，37，切线47x 4＋37y 3＝1.x ＋y ＝7，∴d ＝142.。
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
高考之圆锥曲线篇】极坐标
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
巧用圆锥曲线的极坐标方程简解高考题
巧用圆锥曲线的极坐标方程简解高考题
胡贤富
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)009
【摘要】圆锥曲线的极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,虽然这块内容是独立的,但是它的解题方法不是独立的,可以进行知识迁移,用极坐标可以简解一些有关圆锥曲线问题的高考题.
【总页数】1页(P156-156)
【作者】胡贤富
【作者单位】江西省赣州市信丰县信丰中学,江西赣州341600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
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极坐标_圆锥曲线_导数复习题-教师 - 副本
一．选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 1 若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=………………………………………………………（ ）A 3-B 6-C 9-D 12-解： D '0000000()(3)()(3)lim4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2．抛物线24x y =的焦点坐标是………………………………………………………………………………（ ）A ．（0,1）B ．（1,0）C ．（161,0）D ．)0,161(解：C3．已知直线m x y -=2是曲线x y 2ln =的切线，则=m ……………………………………………………（ ） A ．21-B ．21 C ．0 D ．1解：设切点为00(,)x y ，则012y x ==，，所以切点为1(,0)2，所以1022m =⨯-，解得1m =，故选D.4.直线y a =与函数33y x x =-的图象有相异三个交点，则a 的取值范围是………………………………（ ）A.（－2, 2）B.（－2, 0）C.（0, 2）D.（2,+∞） 解：A 5．把正整数数列{}n 中的数按如下规律排成三角形数阵：设 j i a ,是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往 右数第j 个数（如9,13,41,1==a a ）.若2010,=n m a ，则=+n m …………………………（ ） A.70 B.80 C.90 D.100 解：A6．已知函数()f x 是R 上的可导函数，函数/()y x f x =⋅的图像如图所示．则有…………………………（ ）A ．(2)(0)(3)f f f -<<B ．(3)(0)(2)f f f <<-C ．(2)(3)(0)f f f -<<D ．(3)(2)(0)f f f <-< 解：B7．设F 1，F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以F 1为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线F 2M 与圆F 1相切，则该椭圆的离心率是……………………………………………………………（ ） A ．32- B ．13- C ．23 D ．22解：B8．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若n 2=1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n ……………（ ）xy-2O3A.15B.16C.17D.18 解：A9.对于不等式n n +2＜n +1(n ∈N*),某同学的证明过程如下: (1)当n =1时, 112+＜1+1,不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N*)时,不等式成立,即k k +2＜k +1,则当n =k +1时, 13)1()1(22++=+++k k k k ＜1)1()2()2()23(22++=+=++++k k k k k ,∴当n =k +1时,不等式成立.上述证法………………………………………………………………………（ ） A.过程全部正确 B.n =1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n =k 到n =k +1的推理不正确 解： D10．已知21,F F 是椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 两个焦点，过1F 的弦AB 与2F 组成等腰直角三角形，其中902=∠BAF ,椭圆的离心率为e ，则2e 等于…………………………………………………………（ ）A ．26-B ．269-C ．22D ．12-解：B二.填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.11 求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程解：33(1),360y x x y +=-+++= 12．双曲线的虚轴长为4,离心率26=e ,21,F F 分别是它的左、右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于B A ,两点,且AB 是2AF 与2BF 的等差中项,则AB 为_______．解：2813．抛物线C ：24x y =的焦点为F ．直线l 经过点E （1，1），且与抛物线C 的一个交点A 到点F 的距离为5，点A 在第一象限．那么，直线l 与抛物线C 围成的封闭区域的面积为 ． 解：8314．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则． 1 = 1 3 + 5 = 87 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64，21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125， ……则第n 个等式左边的第一项为 ，右边为 ． 解：21n n -+，3n15.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 ．解：63-三.解答题：本大题6小题，共60分(9+9+9+9+12+12).16．已知函数321()3f x x ax bx =++，且1x =-是函数()f x 的一个极值点． （1）试写出用a 表示b 的表达式，并求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）21b a =-．当1a <时，函数()f x 的递减区间为(1,12)a --，递增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞；当1a =时，函数()f x 没有极值点，不合题意，舍；当1a >时，函数()f x 的递减区间为(12,1)a --，递增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞．（2）213a <<或12a <<． 17. 设函数xx x f ln 1)(=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知1ln 2ln a x x>对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）由2)ln (1ln )('x x x x f +-=由110)(',100)('≠>⇒<<<⇒>x ex x f e x x f 考虑到由 得该函数在)1,0(e 上单调递增，在),1()1,1(+∞及e上单调递减.（2）1ln 2ln 2ln (01ln 0)ln a x a x x x x x>⇔><<∴< 考虑到函数e x x f 1)(=在处有意义，函数⎥⎦⎤⎝⎛e x f 1,0)(在上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，故e x xf 1)(=在处取得最大值-e ，所以，2ln )ln 2ln (max e xx -=所以，实数a 的取值范围是(ln 2,)e -+∞18．椭圆2214y x +=短轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线l ：1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点E ，F ，交椭圆于两点C ，D ．（1）若CE FD →→=，求直线l 的方程；（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 值．E F D CxyOA B19.某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x =+(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:2k P x =，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？413'22'2510500,100500221200()5007525()0:25()25k P x xx L x x x xL x x x ⨯=⨯∴==∴--∴=-==∴=24解:由题意知有:50得k=2510总利润L(x)=x 令则有件当件时,总利润最大.20．设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线y = f ( x )通过点（0，2a +3），且在点（– 1，f （– 1））处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）讨论函数g (x ) = – f ( x ) e -x的单调性；（3）当3a =-时，若对任意的1x ，2[2,)x ∈-+∞，不等式12|()()|g x g x M -≤恒成立，求M 的最小值. 解：（1）把点（0，2a +3）代入2()f x ax bx c =++中得23c a =+；F 2TOPyx曲线y = f ( x ) 在点（– 1，f （– 1））处的切线的斜率为2k a b =-+，那么有20a b -+=， 即得2b a =．综上，有2b a =，23c a =+． （2）可得g (x ) =2(223)x ax ax a e --+++，于是/22()(223)(22)(3)x x x g x ax ax a e ax a e ax e ---=+++-+=+当0a >时，/()0g x >，函数g (x )在R 上是增函数； 当0a <时，/23()()xg x a x ea-=+，可知函数g (x )在区间3(,)a-∞--上单调递减， 在区间33(,)aa ---上单调递增，在区间3(,)a-+∞上单调递减．（3）据（2）知，当3a =-时，函数()g x 在区间(,1)-∞-上单调递减，在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减.所以当[2,)x ∈-+∞时，函数()g x 的最大值为max ()max{(2),(1)}g x g g =-．因为2(2)3g e -=，12(1)g e=.又2123e e >，所以2max ()3g x e =．由于(1)0g -=，而当1x >时，g (x ) =2(363)0xx x e -++>． 所以函数()g x 的最小值min ()g x =(1)0g -=．所以，212max min |()()|()()3g x g x g x g x e -≤-=，且当12x =-，21x =-时，等号成立． 由此，M 的最小值为23e ．21. 已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c a b+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于3()2a c -．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交 于A 、B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值． 解：（1）依题意设切线长222||||()PT PF b c =--，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，223()()()2a cbc a c ∴----≥，102b c a c -∴<-≤，从而解得3252e <≤， 故离心率e 的取值范围是3252e <≤；（2）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -+=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴=∴+=∴=，k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2||1ac a d a -=+，由图象可知2222222|1|212142221912121221d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+， ∴3252e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤， ∴241(0,]41s ∈，所以max 24141s =．C ．（坐标系与参数方程选做题）11.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{12cos 22sin x y θθ=-+=+（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 12ρθρθ+=．则直线l 与曲线C 的公共点个数为 ； 【答案】：2 20．（本小题满分13分）动圆C 经过定点E (5,0)-，且与圆F ：22(5)16x y -+=外切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹L 的方程； （Ⅱ）已知定点M (0,1)-．问是否存在过点P (0,1)的直线l ，使其与轨迹L 交于A ，B 两点，且||||AM BM =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】：（Ⅰ）设点C 的坐标为(,)x y ，动圆C 的半径为r ，则有|CF| – 4 = r ，|CE| = r即得 |CF| – |CE| = 4．由于 4 < 25= |EF|，所以动点C 的轨迹为以E 、F 为左、右焦点的双曲线的左支，其方程为221(0)4x y x -=<． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与曲线L 没有交点，不合题设，所以直线l 的斜率存在，可设其方程为1y kx =+．设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把1y kx =+代入221(0)4x y x -=<中， 22(14)880(0)k x kx x ---=< 一方面，该方程有两个相异负根，即2280148041kk k ⎧<⎪-⎨⎪>-⎩，且226432(14)0k k +->解得 1222k <<．另一方面，弦AB 的中点N 的坐标为2241(,)1414k k k --，所以直线MN 的斜率为2221112144214k k k k k +--=- 据题设，直线MN 与直线l 垂直，所以有21212k k k-=- 即得 223k =，由1222k <<得不存在这样的斜率k ．综上，不存在过点P (0,1)的直线l ．13．已知“给定正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，得到的正确结论是 ． 【答案】：给定正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值B ．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为cos()4πρθ=-，直线l 的参数方程为,(x t t y t a=⎧⎨=--⎩为参数）．若直线l 与曲线C 有公共点，则实数a 的取值范围为 ； 【答案】：[2,0]- 12.)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ，经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ， 推测当2≥n 时，有__________________________. 解：22)2(+>n f n19．（本小题满分12分）已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(2,2)内单调递减，求a 的取值范围． 解：21．（14分）已知抛物线)0(2:2>=p py x C 上一点)4,(t A 到其焦点F 的距离为833． （1）求抛物线C 的方程及实数t 的值；（2）若直线1:+=kx y l 与抛物线C 交于B D ,两点，线段BD 的中点为M ．过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，过N 点所作曲线C 的切线为1l ； ①求证：1l 平行于直线l ；②过D B ,分别作MN 平行线交1l 依次为11,D B 两点，求四边形D D BB 11面积的最 小值及对应的k 值．解析：（1）由抛物线定义知：41833)2(4=⇒=--p p ， 抛物线方程为y x 212=，因为),4(t 在抛物线上，2±=t ． （2）①证明：如图，联立y x 212=和1+=kx y ，消去y 得0122=--kx x ，设),(),,(2211y x D y x B 中点),(00y x M ，21,22121-=⋅=+x x k x x ，141,42200210+=+==+=∴k kx y k x x x即中点)14,4(2+k k M ，)8,4(2k k N 又x x y 4)2(2='=' ，所以过N 的切线l 的斜率为l k y ∴=',∥1l ②01)4(8:21=+-⇒-=-y kx kx k k y l ， 所以N 到l 的距离22188kk d ++=281122212++=-+=k k x x k BD 而四边形D D BB 11为平行四形，232)8(1611+=⋅=∴k d BD S D D BB ，而，02≥k ，28161)(23min11=⨯=D D BB S ，此时0=k ．。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
高考试题选(圆锥曲线极坐标参数方程)
试题选（一）选择题1.（北京卷理5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（ ）（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线2.（湖南卷理3文4）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线3.（湖南卷文4）极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线4.（福建卷文11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.85.（全国Ⅱ卷理12文12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB = ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）26.（天津卷理5）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 （A ）22136108x y -= （B ）221927x y -=（C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=7.（陕西卷理8文9）已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（ ）A. 12 B. 1 C.2 D.48.（上海春卷17）已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件；C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）填空题1.（广东卷理15）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______。
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3(原点篇)
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇）大招总结在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)中,O 是坐标原点,A 、B 是椭圆上两点,OA 、OB 的长度可以用极坐标表示,部分题目可以达到简化计算的目的.令x =ρcosθ,y =ρsinθ,则1ρ2=cos 2θa 2+sin 2θb 2.典型例题例 1.(2021·河南二模)设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√217,O 为坐标原点. (I)求椭圆C 的方程;(II)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值.解,方法1:(I)由e =12得c a =12即a =2c,∴b =√3c .由右焦点到直线x a +y b =1的距离为d =√217, 得:√a 2+b 2=√217, 解得a =2,b =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(II)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆x 24+y 23=1联立消去得3x 2+4(k 2x 2+2kmx +m 2)−12=0,x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0.即(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,∴(k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m =0,整理得7m 2=12(k 2+1)所以O到直线AB的距离d=√k2+1=√127=2√217.为定值∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2⩾2OA⋅OB,当且仅当OA=OB时取“=”号.由d⋅AB=OA⋅OB得d⋅AB=OA⋅OB⩽AB 22,∴AB⩾2d=4√217,即弦AB的长度的最小值是4√217.方法2:设OA与x轴夹角为θ,OB与x轴夹角为π2+θOA=ρ1,OB=ρ21ρ12=cos2θa2+sin2θb2,1ρ22=cos2(θ+π2)a2+sin2(θ+π2)b2=sin2θa2+cos2θb21OA2+1OB2=1a2+1b2=14+13=712d2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=127d=2√217接下来求AB最小值方法一样使用均值不等式利用d,AB,OA⋅OB关系求解例2.(2021秋·虹口区月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为4,且过点A(√2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设点O为原点,若点P在曲线C上,点Q在直线y=2上,且OP⊥OQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解(1)由题意可得2a=4,即a=2,又2a2+1b2=1,解得b=√2,即有椭圆C的方程为x 24+y22=1;(2)直线PQ与圆x2+y2=2相切.证明如下：设点P,Q的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0, 解得t =−2y 0x 0.当x 0=t 时,y 0=−t 22,代入椭圆C 的方程, 得t =±√2,故直线PQ 的方程为x =±√2,圆心O 到直线PQ 的距离d =√2.此时直线PQ 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时,直线PQ 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t),即(y 0−2)x −(x 0−t )y +2x 0−ty 0=0.圆心O 到直线PQ 的距离d =00√(y 0−2)2+(x 0−t )2. 又x 02+2y 02=4,t =−2y 0x 0. 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.方法2：设OQ 与x 轴夹角为θ,OB 与x 轴夹角为π2+θOQ =2sinθ(注意Q 点不在椭圆上),OP =ρ21OQ 2=sin 2θ41OP 2=1ρ22=cos 2(θ+π2)a 2+sin 2(θ+π2)b 2=sin 2θa 2+cos 2θb 2=sin 2θ4+cos 2θ21OQ 2+1OP 2=12 ∴d 2=OQ 2⋅OP 2OQ 2+OP 2=11OQ 2+1OQ 2=2 d =√2=r ,和圆相切例 3.(2021·衡阳一模)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√32,,其左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线斜率之积−14.(I)求椭圆C 的方程;(II)求证:x 12+x 22为定值,并求该定值.解,方法1:(I)根据题意,|F 1F 2|=2c =2√3,则c =√3,e =c a =√32,则a =2,b 2=a 2−c 2=1,故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(II)根据题意,点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)与坐标原点的连线斜率之积−14,即y 1x 1×y 2x 2=−14,−4y 1y 2=x 1x 2,即(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2, 又由x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,则1−x 124=y 12,1−x 224=y 22,即可得(1−x 124)(1−x 224)=(y 1y 2)2,变形可得(4−x 12)(4−x 22)=(x 1x 2)2,展开可得x 12+x 22=4,即x 12+x 22为定值4.法2:三角换元x 1=2cosα,y 1=sinαx 2=2cosβ,y 2=sinβ注:角α,β并不是与x 轴夹角sinα⋅sinβ2cosα⋅2cosβ=−14cos(α−β)=0x 12+x 22=4自我检测1.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A 、B 两点,过原点O 作直线AB 的垂线,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.解:(1)右焦点为F(c,0)到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,∴√a 2+b 2=√6−√33.又e =√22,联立得{ √a 2+b 2=√6−√33e =c a =√22a 2=b 2+c 2,解得{a =√2b =c =1. ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D(x,y).当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立{y =kx +m x 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由Δ>0,得1+2k 2>m 2.(∗)∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2.(∗∗)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,化为(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,把(**)代入上式得(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0,化为3m 2=2(1+k 2).(1)∵OD ⊥AB,∴k ⋅y x =−1,得到k =−x y .(2)∵点D 在直线AB 上,∴y =kx +m,∴m =y −kx .(3)联立(1)(2)(3)消去k,m .得到x 2+y 2=23(y ≠0).当直线AB 的斜率不存在时,可得D (±√63,0),也适合上述方程. 综上可知:点D 的轨迹方程为x 2+y 2=23.2.(2021·河南模拟)椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0),,且椭圆过点A(2,√2).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)过原点O 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,l 1与椭圆交于M,N 两点,l 2与椭圆交于P,Q 两点,求证:四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值.解:(1)由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√02+(√2)2=4√2=2a ,所以a =2√2,又c =2,所以b =2,故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1;(2)当直线l 1的斜率为±1时,四边形MQNP 为正方形,联立方程{y =xx 28+y 24=1,解得|x M |=|x N |=2√63=r ,当直线l 1的斜率不等于±1时,设Q (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线QN 的方程为:y =kx +t ,代入椭圆方程整理可得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0,Δ=(4kt)2−4(1+2k 2)(2t 2−8)>0,则8k 2−t 2+4>0, 得x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−81+2k 2,由已知可得∠NOQ =90∘,所以OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=0, 则(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0,所以(1+k2)×2t 2−81+2k 2+kt ×−4kt1+2k 2+t 2=0, 化简可得:3t 2=8(1+k 2)(∗),代入△成立,故r =|√1+k 2|=√t 21+k 2=√83=2√63, 综上,r =2√63.。
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题48福建中学数学2015年第9期断：因为0j叶dtanAj在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供潜质．巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙用．先介绍圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方l—ecoS，T2程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．C(1)当0它的左焦点，定直线是它的左准线；(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，方程表示整个双曲线)．根据不同的坐标系，有下列推论：推论1P=_，l+eCOS(1)当0(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲线．推论2ep，(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲线．推论3P=_，I十es1rl(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐标方程解答能化繁为简．题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F为焦点)的圆锥曲线问题例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的坐标是——．解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，解得A(0，±1)．例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距2015年第9期福建中学数学49离为．解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．题型二涉及到焦点弦长问题例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且『MDI=(4／5)lPDI．(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的方程；(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直线被C所截线段的长度．解(I)／25+Y／16=1；(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，P=a。
(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P 处的外角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25 .假设P o(X o, y o)在椭圆与yY 1上,那么过P0 a b的椭圆的切线方程是警缪1. a b2 26 .假设P0(X o, y o)在椭圆占4 1外,那么过a bP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 那么切点弦P1P2的直线方程是x o x y o y-2~ ~2~1.a b2 27.椭圆\ 4 1 (a>b>0)的左右焦点a b分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2 ,那么椭圆的焦点角形的面积为S F PF b2 tan-. 1 222 28 .椭圆=yr 1 (a>b>0)的焦半径公a b式：IMF I | a ex0,|MF2 | a e%(F1( c,0),F2(C,0) M(x0,y.)).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点,那么MF XNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A I、A2为椭圆长轴上的顶点,A I P和A2Q交于点M, A2P和A I Q交于点N,那么MFXNF.2 211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴a b的弦,M(x°,y°)为AB的中点,那么b2k OM k AB _2,a即K AB整.a V.双曲线1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的内角, 那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2 25 .假设P o(%,y.)在双曲线与3 1 (a>a b0,b>0〕上,那么过B的双曲线的切为AB 的中点,那么K OM K AB 线方程是粤.当1.a b2 26.假设R〔X°,y.〕在双曲线与匕ab 1 (a>0,b>0〕外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P「P2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0X y0 y 1.即K ABb2X.-20a y.212.右P Q〔X.,y.〕在双曲线—2ab2X.-2 )a y.1 (a>0,b>0〕内,那么被Po所平分的中点弦的方程是2 2X Q X y°y X0 y2 27.双曲线 : 〕a b 右焦点分别为线上任意一点1 〔a>0,b>o〕的左F 2,点P为双曲F1PF2 ,那么双曲线2 . 2 2aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线—ab2 yb7 1(a>的焦点角形的面积为S2 2 F1PF2b2cot—.20,b>0〕内,那么过Po的弦中点的轨2 2迹方程是3线誓岑.a2b2a2b28 .双曲线: I 1 〔a>0,b>o〕的焦a b半径公式：〔F1〔 c,0〕, F2〔c,0〕当M〔X0,y°〕在右支上时,|MF1| ex0 a ,| MF2 | ex0 a.当M〔X0, y°〕在左支上时,|MF1| eX0 a,|MF2| eX0 a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q, A「A2为双曲线2 2椭圆三-yy 1 〔a>b>o〕的两个顶 a b 点为A〔 a,0〕,A2〔a,0〕,与y轴平行的直线交椭圆于P r P2时A1P1与A2P22 2交点的轨迹方程是3多1. a b2 2过椭圆与与1 〔a> 0, b>0〕上任 a b 一点A〔X0,y.〕任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc骆〔常数〕.a y.2 2假设P为椭圆33 1 〔a>b>0〕上 a b实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦M, A2P和A1Q交于点N,那么MF点, PFE PF2F1±NF.tan — cot —.2 11. AB是双曲线三a2纭 1 (a> 0,b> 0) b 4. 设椭圆得a24 1 (a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,M 〔X., y°〕焦点为F I、F2,P 〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点,在△ PF1F2中, 记F1PF2 ,PF1F2 , F i F2P ,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝E|MN |210.椭圆与ae.22yb21 ( a> b>0)sin c --- ----- e.sin sin a ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a 2 y_b21 (a> b>0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为L,2 .2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX2 ,2a baa> b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PF i是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆二与1 (a>b>0)上任a b 上异于长轴端点的任一点,F i、F2 为其焦点记F1PF2 ,那么八2b21) 1P削0、一点,F i,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2) S PF1F2 b2tan-.1 2 2212.设A、B是椭圆与a 1 ( a> b2a |AF2 11PA | | PF i | 2a |AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PAB ,PBA , BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有2 27.椭圆区舁1与直线a bAx By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0 By0 C)2.2 28.椭圆一4 1 (a>b>0), O a b为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点, 且OP OQ .(1)|PA|tan tanS PAB2 . .2ab |cos |2a2bb213.椭圆9. 1)2)3)2 2c cos1 e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21 ( a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E ,过椭圆1 1 1 1 .| OP |2|OQ |2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为2 2S OPQ的最小值是告红a b右焦点F的直线与椭圆相交于A、B2 24a2b2 .~~2 ,a b2冬i (a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线2 21 .双曲线二4 1 (a>0,b>0) a b的两个顶点为A( a,0) , A2(a,0), 与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x2 4 1.a b2 22 .过双曲线与4 1 (a>0,b>o)a b上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc 辂(常数).a V.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1,那么c-a tan—cot—(或c a 2 2c a x----- tan—cot —7.c a 2 22 24.设双曲线与与1 (a>0,b>0) a b的两个焦点为F「F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记F1PF2 ,PF1F2 , \F2P ,那么有sin c--------------------- --- e.(sin sin ) a2 25 .假设双曲线-2 -V2- 1 (a>0,b>0) a b的左、右焦点分别为F「F2,左准线为L,那么当1<ew V2 1时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 2 26 . P为双曲线与4 1 (a>0,b> a b2£ 1( a> 0,b0)上任一点,F I,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,那么2 ,SPF1F2b COt二.22 212.设A、B是双曲线与与a b 1 (aIAF2I 2a |PA| |PF i|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABA,F2,P三点共线且P和A, F2在y PBA , BPA , C、e 分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有2 7.双曲线x2 a与直线Ax2y2 1 (a> 0,b> 0) b By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.2 28.双曲线tI 1 (b>a >a b0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP OQ .1)2)3)2 . .2ab | cos ||PA|「2-N | a c cos |2tan tan 1 e .SPAB2, 22a b ,2一 2 cotb a 213.双曲线占a2j 1 (a> 0,b>(1)| OP |2|OQ I2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) S OPQ的最小值是-2巴b2a2 2 4a b . ~22 ；b a2 29.过双曲线与匕1 (a>0,b>0)a b的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF | e .|MN | 22 210.双曲线 \ 4 1 (a>0,b>a b0) ,A、B是双曲线上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相2 .2交于点P(x°,0),那么x.a~^或 a2 ,2a b x-- .a2 211.设P点是双曲线与与1 (a>a2b20,b> 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2 ,那么⑴|PF1||PF2|产一.⑵1 cos0)的右准线l与x轴相交于点E , 过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点〕.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A (3, 2), F (2, 0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA| 1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2, F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA| |PF| |PA| |PE| AM -2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p (定值),椭圆中央坐标为M (t, 0) (t为参数) ,叫.2 .b pc pt再设椭圆短轴端点坐标为P (x, y),那么X c ty b ..pt消去t,得轨迹方程y2 px三 .数形结合,直观显示将“数〞与“形〞两者结合起来,充分发挥“数〞的严密性和“形〞的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,y R,且满足方程x2 y2 3(y 0),又m --3 ,求m 范围.解析：m —-的几何意义为,曲线x 3x2 y2 3(y 0)上的点与点(—3, — 3)连线的斜率,如下图四.应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几〞题中的一些图形性质就和“平几〞知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x 3)2 y2 4和直线y mx的交点为P、Q,那么|OP||OQ|的值为.解：OMP ~ OQN|OP||OQ| |OM||ON| 5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y- 1 ,直线l :24 16y12 81, P是l上一点,射线OP交椭圆于六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功 倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要 的解题方法和技巧之一.例6.求经过两圆x 2 y 2 6x 4 0和 22x y 6y 28 0的父点,且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程.点R,点Q 在OP 上且满足|OQ||OP| |OR|2 ,当 点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x 2y 26x 4 (x 2y 26y 28) 0 (1 )x 2 (1)y 2 6x 6 y (284) 0分析：考生见到此题根本上用的都是解析 几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向 量共线的条件便可简便地解出. 解：如图,OQ, OR, OP 共线,设 OR OQ , OP OQ , OQ (x, y),贝U 那么圆心为(」_ , _J_),在直线11x y 4 0 上解得 7故所求的方程为x 2 y 2 x 7y 32 0OR ( x, y) , OP ( x, y) 2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用 点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2 — 1相交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点2的轨迹方程.解：设 P ,(x1,Y I ) , P 2(x 2, y 2),那么2X I 2 X22 Y I2 2Y 2 2|OQ||OP| |OR| <2> —<1> 得(X 2 X I )(X I X 2)1 2(Y 2 Y I )(Y I2Y 2)2 22 |OQ|2 2|OQ|22点R 在椭圆上,P 点在直线l 上 2 222———匕1,三△ 12416 12 8 2 2即士 L 二y241612 8化简整理得点Q 的轨迹方程为： 22 _(x 1) (y 1) 2 … -—广1(直线y — x 上万 5 5 323局部) 即 Y 2 Y I2( X I X 2) X 2 X IY I Y 2设P 1P 2的中点为M(X O , y 0),那么kP 1P 2Y 2 Y Ix 2 X 12xY O又,而P I 、A 、M 、P 2共线k P 1P2k AM,即^X O 2Y O的轨迹方程是2x 2 y 2 4x y 0P 1P 2中点M解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的 知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆, 圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识 的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t 曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB 为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA 垂直且等于AT,使BB 垂直且等于BT , A B 交半圆于P 、Q 两点,建立如图所 示的直角坐标系.⑴写出直线A B 的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标;(3)证实：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线 通过点Q.饼斛：通过I 卖图,看出A , B 点的坐标. 一…' ' .'一 ,.…(1 )显然A 1,1 t , B 1,1 t ,于是直线A B 的方程为ytx 1 ;222(2)由方程组 x y 1,解出 P(0,1)、Q(1/,」^)； y tx 1, 1 t 1 t由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点T 反射,反射光线通 过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l 与椭圆\ J 1(a b 0)有且仅有一个交点Q,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S, a b 求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程,由,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程 b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2,得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2)a 2b 2.化简后,得关于x 的一■兀二次方程 (a 2k 2b 2)x 2 2ka 2mxa 2m 2 a 2b 20.于是其判别式(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2) 4a 2b 2(a 2k 2 b 2 m 2).由,得^ 二0 .即a 2k 2 b 2 m 2.①在直线方程y kx m 中,分别令y=0, x=0,求得R ( —,0),S(0,m). k(3) k PTk QT2t1t(it 2昌m I, y x—, k — 令顶点P 的坐标为(x, y), 由,得 k解得 xym.m y.2, 2代入①式并整理,得 a 2 b 2 1,即为所求顶点P 的轨迹方程.x 2 3 y 22. 2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22x y例3双曲线x 2 4 1的离心率e .,过A (a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 —.a 2b 2 32(1)求双曲线的方程；的值.设C(x i ,y i ),D(x 2,y 2),CD 的中点是 E(x o ,y o ),那么2(2)考虑直线l 的斜率的存在性,可分两种情况:解出 e i)当k 存在时,设l 的方程为y k(x c)于是椭圆方程可转化为x 2 2y 2 2c 2 0 ................................. ②(2)直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D 且C, D 都在以B 为圆心的圆上,求k讲解：:( 1) £ a2卡原点到直线AB:二 1的距离dab ■..a 2 1, ab 2■、.ab c、3~2~故所求双曲线方程为x 2 2V y 1.(2)把y kx 5代入x 23y 23中消去y,整理得(12 23k 2)x 230kx 78x .x 1x 22 15 k U y 0kx 05； : । 2 , kBE1 3ky 01x 0x 0 ky 0 k0,即15 k 3k 25 k---------- - k 0,又 k 1 3k 20, k故所求k= ± a.为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程.例4椭圆 C 的中央在原点,焦点F I 、F 2在x 轴上,点P 为椭圆上的一个动点, 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F I 与椭圆交于A 、B 两点,4ABF 2的面积最大值为 且/ 12.F 1PF 2(1)求椭圆C 的离心率; (2)求椭圆C 的方程. 讲解: (D 设IPF I I「I ,|PF 2| "F I F 2|2c ,对PF I F 2,由余弦定理,得cos F 1PF 21 22r 1 r 2 4c2rj 2(.L)22r 1r 2 4c 2 2rj 24a 4c 1------------- 1 1 r 1 r 2 2 2(七壬卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为：x my c (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思 2 2椭圆的方程为：x ^ \ 1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) a b 由e 字得：a 2 2c 2,b 2 c 2,于是椭圆方程可化为: 把①代入②并整理得：(m 2 2)y 2 2mcy c 2 于是y 〞y 2是上述方程的两根. AB 边上的高h 一c1 m 2当且仅当m=0取等号,即S max 收02. 由题意知v2c 2 12,于是b 2 c 2 66,a 2 12V2 .故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上 工12. 262将①代入②,消去y 得 x 2 2k 2(x c)2 2c 20,整理为x 的一元二次方程,得._2、22_2.2、 一(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0.那么x i 、x 2是上述方程的两根.且 | x 2 x i | 2 .. 2c1 k AB 边上的高 h | FR | sin BF 1 F 21 2c |k|,2,1 k2kk 2| x 2 x i |2 2c(1 k 2)；~2,1 2k厂也可这样求解:2c 1cc/1 k 2、 |k | c S -2 2c( 2) |—| 22c212k1 k 212产区| M y 2|2.2c 2.rviki 1 2k 2k 2k 4k 24k 42'2"1 1 42k k,2c 2.c | k | | x ix 2 |ii)当k 不存在时,把直线x c 代入椭圆方程得 y£c ,|AB|由①②知S 的最大值为V2c 2由题意得2c 2 = 12所以c 2 6 2 b 212 2故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上12. 2 2V 1.6 2x 2 2y 2 2c 2 0 .................. (2|AB| \(x 1、2 z、2x ) (y1 m2 | y 2 y 1|1 m2 4m2 2, 2,2c 4c (m 2)2m 2-22 2c(1 m 2)从而 S l|AB|h 二2 2c(1m2)22 m 2 22c221 m22 2c 21m2c(m 2)22 2c 2■ m1 1 122m 212c 2. 1.2 2例5直线y x 1与椭圆之与1〔a b 0〕相交于A、B两点,且线段AB的中点在直 a b 线l :x 2y 0上.〔1〕求此椭圆的离心率；〔2 〕假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y 讲解：〔1〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1,y〕 BM, y?〕.那么由x2-2 a2 2、 2 2 2 2(a b )x 2a x a a,- 4.2如果| AB | ——,求直线MQ的万程；〔2〕求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、… r 4、2讲解：〔1〕由1A Bi可,可得|MP| J MA |2 (LA%2J12(迪)2 1,由射影定理,得2 . 3 3|MB |2|MP | |MQ |,得|MQ | 3,在RtAMOQ 中,|OQ | <| MQ |2 |MO |2、32 2 2 M5 ,故a 盘或a <5 ,所以直线AB方程是2x J5y 2运 0或2x 岛2匹 0; x 1, y2行2_ 1 b2根据韦达定理,得x1 x2与,,y2函 a bX2)2b 2a2b2「•线段AB的中点坐标为〔2 .2a b~2 -2 , -2 ~2 a b a b2由得二J a2b22b-2 a 厂0, a2 2b2 2(a2 c2) 2c2,故椭圆的离心率为〔2〕由〔1〕知 b c,从而椭圆的右焦点坐标为F〔b,0〕,设F〔b,0〕关于直线l:x 2y 0的对称点为(x°, y°),那么也x0 b 2 f 0,解得X. 3 b且y°2 b 55由得4,3 2(b)52 2(-b)2 4, b24,故所求的椭圆方程为—1 .5 8 4.M:x2(y 2〕2 1,Q是x轴上的动点,QA, QB分别切.M于A, B两点, (DC............ I _ z — I 1............................... ~~z 2 y_2(2)连接MB, MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M, P, Q 在一直线上,得一 -一,(*) a x由射影定理得| MB |2 |MP | | MQ |,即 &一(y 2)2 商—4 1,(**)7 c 1把(*)及(**)洎去a,并注意到y 2,可得x2(y -)2—(y 2).4 16适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙a—例- 如图,在Rt^ABC 中,/CBA=90° , AB=2 , AC=旧.2DO=2 ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程；(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设-DM ,试确定DNDO LAB 于.点,OA=OB ,实数讲解: 的取值范围.(1)建立平面直角坐标系,如下图 : | PA |+| PB |=| CA |+|CB | V=得 22 ( 22)22V2「•动点P的轨迹是椭圆;、区b 1,c 1；曲线E的方程是(2)设直线L的方程为y kx 2,代入曲线E的方程x i 2y2 2,得(2k22(8k)2 4(2k 1)8k x2x〔x22 ,2k2 162 .2k 1i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, x2x1 0,.(x〔x2)2x1 x2xx2x2x i1)x2 8kx 0设M1 ( 〞乂), N(x2, y),0,| DM |rDNu由①得DMDNxD X MX D X Nx1x2 x1 0, .,.0< < 1 ,1 2-.(x x2)2x1 x264k226(2k2 1)3213(2 -7)k那抛物线有两个不同的交点,因此l 与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线.此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累,水平在联想中提升 .课本是 高测试题的生长点,复课切忌忘掉课本!1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由 e / 得 a 2 2c 2,b21 .,・•・ 6 3(2-2) 8.■ ■ 432V~ 3(2 -r) k16 ・二 4 16 31,10 32, 1.的取值范围是10 3值得读者注意的是,直线 L 与y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.例8直线l 过抛物线y 22 Px(p 0)的焦点,且与抛物线相交于 A (x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点.(1)求证：4x 1x 2p 2; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (£°). 2,2 …・右l ,x 轴,那么l 的方程为x P 显然x 1x 2 —.右l 不垂直于x2,八〞 4 轴,可设y k(x P),代入抛物线方程整理得 2__ _ 2x 2P(1 ,)x — k 4 0,那么x 1x 2—.综上可知 4X I X 24.2. 2(2)设C(J c) D(L d)且c d ,那么CD 的垂直平分线l 的万程为y Jd 2p' ' 2p' 2c d——(x 2P2 2〞) 4P假设l 过F,那么0,2, 2一3(R c d )整理得 (c d)(2p 2 c 2 d 2) 2p 2 4p2p 2 c 2 d 2 0 ,d 0.这时l 的方程为y=0,从而l 与抛物线y 2 Px 只相交于原点.而l 与。
专题13极坐标秒解圆锥曲线微点1极坐标秒解圆锥曲线
专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点1 极坐标秒解圆锥曲线图① 图② 图③ 图④证明：仅证双曲线情形，椭圆和抛物线同理可证．如图⑤，设(),M ρθ是双曲线左支上的一点，连结(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于1OP = ．是否存在上述直线l 使AP 在，请说明理由．10．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠14．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率633d -=，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆（1）当32CD=时，求直线l的方程；(1)用α表示AF的长；(2)试建立“蝴蝶形图案”的面积案”的面积最小．19．在平面直角坐标系xOy（1）求椭圆的方程∶参考答案：）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为综上，四边形面积的取值范围为.）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用求解线的方程，整理得关于的一元二次方程，常用λ使得成立，【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8k x＋8k－8＝0，显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD|＝.则，又k1·k2＝1，所以.＝|AB|·|CD|.＝，使样代入椭圆方程，容易得到，从而解得）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ≤≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1(92FP =-因为直线AB 的斜率为3，所以直线AB 的倾斜角为60︒，∴60BAD ∠=︒，12AD AB =，由双曲线的第二定义得：(1AM BN AD AF e -==- 又∵ ，当1l的斜率为1±时，四边形。
由“繁简差异”看“极坐标法”解圆锥曲线问题
由“繁简差异”看“极坐标法”解圆锥曲线问题
王凯辉
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(0)5
【摘要】圆锥曲线是高考的热点内容,但因综合类题运算量过大,费时费力.极坐标作为高中数学选修内容,学生平时使用不多,遗忘率较高.在解答圆锥曲线综合问题时,如果同学们能深刻理解圆锥曲线的极坐标定义,运用其解题可化繁为简.
【总页数】2页(P21-22)
【作者】王凯辉
【作者单位】甘肃省通渭县平襄镇安川学校
【正文语种】中文
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若 M、N 在双曲线同一支上， MN ep
ep
2ab2
；
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2
若 M、N 在双曲线不同支上，
MN
ep 1 e cos
ep 1 e cos
2ab 2
c 2 cos2 a 2
3
设双曲线
，其中两焦点坐标为
直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 A、B 两点，求弦长|AB|。
2、若 F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点，
当点 P 在双曲线右支上时， PF1 ex a ， PF2 ex a ；
当点 P 在双曲线左支上时， PF1 a ex ， PF2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p .
2
利用弦长求面积
例 3．设过椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面积。 25 16
同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式
其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距， 为 AB 的倾斜角。
3、抛物线中， MN
p 1 cos
p
1 cos(
)
2p sin 2
若抛物线
与过焦点
，求弦长|AB|？（图 4）
的直线 相交于 A、B 两点，若 的倾斜角为
5
解：过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一
条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，
垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 e cos
练习 2．（08 年海南卷）过椭圆 x2 y2 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于
54
A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 的面积．
简
解：首
先
极坐标
方程中
的
焦点弦长
公
式
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
求弦长，然后利用公式
SAOB
1 2
|
AB ||
OF
|
sin
AFO
直接得出答案。
2
1 2 cos
2
设直线 l1 的倾斜角 ，则直线 l2 的倾斜角为 900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：
|
PQ |
1
1
2 cos2
，|
MN
|
1
2 1 cos2 (
900 )
1
2 1 sin2
2
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用他们来表示四边形的面积
1
1
1
S | PQ | | MN |
练习
3．(2005
年全国高考理科)已知点 F
为椭圆
x2 2
y2 1的左焦点.过点 F
的直线 l1 与椭
圆交于 P 、Q 两点，过 F 且与 l1 垂直的直线 l2 交椭圆于 M 、N 两点，求四边形 PMQN 面
积的最小值和最大值.
7
2
解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
45
3
求｜AB｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得 5 2 3cos
A(1,
3
),
B( 2 ,
)
3
AB | 1 2
|
|
5 2 3cos
5
2 3cos(
)
|
80 7
3
6
3
附录直角坐标系中的焦半径公式 设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若 F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 a ex ， PF2 a ex ；
则点 A 的横坐标为
，点 B 横坐标为
为垂足，设
，
，
，由抛物线定义可得
即
则
同理
的焦点弦长为
的焦点弦长为
，所以抛物线的焦点弦长为
例 2． 已知抛物线 y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为 k 的直线交抛物线于 A，B 两点， 求 AB 长.
练习 1：．过双曲线 x2 - y2 1的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线与 A、B 两点，
，过 的
解：（1）当 在同一交点上，连
时，（如图 2）直线 与双曲线的两个交点 A、B
，设
，由双曲线定义可得
，由余弦定理可得
整理可得
，同理
，则可求得弦长
。
（2）当 在两支上，连 由余弦定理可得
或 ，设
时，如图 3，直线 l 与双曲线交点 A、B
，则
，
，
，
4
整理可得
，则
因此焦点在 x 轴的焦点弦长为
.
若椭圆方程为
，半焦距为
，焦点
，
设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 。
2
解：连结
，设
，由椭圆定义得
，由余弦定理得
，
整理可得
，同理可求得
，则弦长
。
同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 c 为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
（a 为长半轴，b 为短半轴，
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
b ( 25)2 (15)2 5 8 82
方程表示椭圆的离心率e 3，焦距15，长轴长 25，短轴长5
5
4
4
解法二：转化为直角坐标
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，
1、椭圆中， p
a2 c
c
b2 c
， MN
ep 1 e cos
ep
1 e cos( )
2ab2 a 2 c2 cos2
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ． 当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆； 当 e＞1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程 就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 ep 1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线
（1）二次曲线基本量之间的互求
例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 5 3cos
解法一：
1
2 3 cos
3 10
5 1 3
3 cos
5
5
e 3，P 10
5
3
c
a b2
c
3 5 10 3
5
3
3a c 5 a c 10
3
a
c
25 8 15 8
（2 ）若 ep 1-e sin
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3） ep 1+e sin
1
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e＞1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编