七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题(一)

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七下第1章平行线1-5图形的平移新版浙教版

A
B
平移后得到的图形.
（1）分别过点B，D作AC的平行线BM，DN.
（2）分别在射线AC’，BM，DN上截取AA’，BB’， CC’，DD’，使AA’=BB’=CC’=DD’.
（3）连结A’B’，B’C’，C’D’，D’A’.
请你观察已作出的平移前后的图形，并回答下列问题：
（1）你认为要作出某已知图形经平移后的图形，必须具备哪些条件才能够作图？
箱子上其他所有的点会向左移动，移动了 50 cm. 通过以上的观察，你认为什么是平移，我们应从哪几个方面来描述这种运动方式？
提炼概念平移的概念:
由一个图形沿着某个方向移动，在移动过程中，原图形上
的所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动
叫做图形的平移.
E
H
方向
F
G
A
D
问：你认为描述一个平移需要哪几个条件？
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
传送带上的箱子由C移动到D的运动有同样的特点吗？有，移动的方向相同，移动的距离相等．
想一想:
A
B
A
B
在传送带上，如果货物箱上的A点向左移动50cm ，则箱子上的B点向左移动，移动了 50cm, 箱子上的C点运动方向、运动距离呢?
问：传送带在传送箱子的过程中，箱子上的各点运动的方向如何？运动距离呢？
如图，经过平移，线段AB的端点A移到了端点C，你能做出线段
AB平移后的图形吗？
A
C
B
（1）作线段AB经平移运动后的图形，这个图形应是什么图
形？线段（2）确定一条线段的位置最重要的是确定什么的位置？
线段的两个端点
（3）点A的对应点是点C，由此你能找到点B的对应点的位

浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1

浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1一. 教材分析《平行线的性质》是浙教版数学七年级下册1.4节的内容，主要包括平行线的传递性质、同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线的概念，但对平行线的性质和角度关系还不够了解。

学生的空间想象力有所不同，逻辑思维能力也各有差异。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流和总结，逐步掌握平行线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的传递性质，理解同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流和总结的能力，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线的传递性质，同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.教学难点：平行线性质的灵活运用，角度关系的推导和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现平行线的性质，激发学生的学习兴趣。

2.动手操作法：让学生通过折纸、拼图等动手操作活动，观察和体验平行线的性质，培养学生的空间想象能力。

3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，共同探讨平行线的性质，提高学生的团队协作能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过思考和总结，得出平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片、图形和实例，制作PPT。

2.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。

3.学生活动材料：准备折纸、拼图等动手操作材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的平行线现象，如楼梯、铁路等，引导学生回顾平行线的概念，激发学生的学习兴趣。

浙教版数学七年级下册1.3《平行线的判定》教学设计1

浙教版数学七年级下册1.3《平行线的判定》教学设计1一. 教材分析《平行线的判定》是浙教版数学七年级下册第1.3节的内容。

本节主要让学生掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三个平行线的判定方法，并通过实际例题让学生学会运用这些方法解决实际问题。

教材通过简单的图形和实例，引导学生探究平行线的判定方法，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的图形知识，具有一定的观察和思考能力。

但学生在解决实际问题时，还缺乏一定的逻辑推理能力和证明意识。

因此，在教学过程中，教师需要注重启发学生的思考，引导学生学会用数学语言表达问题，并用逻辑推理的方式解决问题。

三. 教学目标1.了解并掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三个平行线的判定方法。

2.学会运用平行线的判定方法解决实际问题。

3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

4.培养学生运用数学语言表达问题和用逻辑推理解决问题的意识。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三个平行线的判定方法。

2.教学难点：如何引导学生理解并运用这些判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.实例分析：通过具体的实例，让学生直观地理解平行线的判定方法。

3.小组讨论：让学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

4.归纳总结：引导学生自己总结平行线的判定方法，培养学生的归纳能力。

六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和练习。

2.准备课件，用于辅助教学。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示相关的图形和实例，引导学生观察和思考，引导学生总结出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三个平行线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组给出一个实例，运用所学的判定方法进行判断。

浙教版七年级下册数学《旋转变换》导学案PPT课件教案课堂教学实录

浙教版七年级下册数学《旋转变换》导学案PPT课件教案课堂教学实录浙教版七年级下册数学《旋转变换》导学案PPT课件教案课堂教学实录第2.4节旋转变换安大军一、背景介绍图形的变换主要有两种方式：平移和旋转。

本教材是在平移转换的基础上学习旋转变换，进一步引导学生用运动的眼光看待生活中的图形，并通过揭示图形的变化规律和内在联系，促进学生观察、分析、归纳、探究能力的提高，既能培养学生积极的情感和态度，又能增强他们学数学、用数学的信心。

二、教学设计〔教学内容分析〕本节通过生动的实例，让学生感受生活中的旋转现象，直观地认识旋转变换，并在此基础上，分析旋转现象的规律，得到旋转变换的性质，然后利用性质进行简单的旋转作图，进一步深化对图形变换的理解和认识，体会旋转变换的应用价值和丰富内涵。

〔教学目标〕1、经历对生活中旋转现象的观察、分析、欣赏，认识图形的旋转变换。

2、探索图形旋转变换的要素和性质，能按要求做出简单图形经过旋转变换后的像。

3、培养学生良好的情感态度和审美情趣，提高观察、分析、抽象、表述等各方面的能力。

〔教学重点〕图形旋转变换的性质〔教学难点〕旋转变换的作图及旋转过程的叙述〔教学准备〕放影片三角板〔教学过程〕教学过程设计意图一、创设情景，引出新课1、放影：杭州未来世界的转盘；运动会上自行车比赛中的车轮；转动的风扇；钟表的指针……（1）你看到了哪些现象？（2）在各自的转动过程中，哪些改变了？哪些保持不变？2、投影：节前图（1）风车的叶片由A至B的运动与静止的自行车踏脚板的轴由C至D的运动有什么共同的特点？（2）你是从哪些方面考虑的？引导学生从运动物体各部分旋转的方向和角度考虑。

二、交流对话，探究新知1、旋转变换的概念试一试：你能用语言描述一下图形的旋转变化吗？在描述的基础上，老师补充、归纳出旋转的概念，并强调旋转变换的三要素：中心、方向、角度。

想一想：你能举出生活中旋转变换的例子吗？做一做：（1）回答教科书53页的两个问题学生的回答可能不太准确，教师明确：描述一个旋转变换，必须抓住旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度三个关键。

浙教版七年级数学下册专题1.1平行线(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.1 平行线（知识解读）【学习目标】1.进一步认识平行线的概念；2.能用符号表示两条直线互相平行；3.会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行【知识点梳理】知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【典例分析】【考点1：平行线定义】【典例1】（2023春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【变式1】(2023春•长沙期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．【典例2】(2023春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b ∥c，则a、c的位置关系是．【变式2-1】(2023•惠阳区校级开学）经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行．【变式2-2】(2023春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．【典例3】（2023春•嘉定区期末）（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD ﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．【变式3-1】（2023春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【变式3-2】（2023春•松江区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱FG异面并且与棱FB平行的棱有．【变式3-3】（2023秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？专题1.1 平行线（知识解读）【学习目标】1.进一步认识平行线的概念；2.能用符号表示两条直线互相平行；3.会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行【知识点梳理】知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【典例分析】【考点：平行线定义】【典例1】（2023春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1答案：D【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；故选：D．【变式1】(2023春•长沙期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．答案：相交和平行【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行和相交．【典例2】(2023春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b ∥c，则a、c的位置关系是．答案：c⊥a【解答】解：∵c∥b，a⊥b，∴c⊥a．故答案为c⊥a【变式2-1】(2023•惠阳区校级开学）经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行．答案：一条【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：一条．【变式2-2】(2023春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．答案：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【典例3】（2023春•嘉定区期末）（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD ﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．答案：（1）CD、EF、GH；（2）平行【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案为：CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．故答案为：平行．【变式3-1】（2023春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1答案：B【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【变式3-2】（2023春•松江区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱FG异面并且与棱FB平行的棱有．答案：HD和AE【解答】解：根据题意得，与棱FG异面并与FB平行的棱有HD和AE．故答案为：HD和AE．【变式3-3】（2023秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．。

平行线的性质与平移(考点剖析)浙江省七年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)

专题02 平行线的性质与平移【考点剖析】1、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.2. 平移平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．①图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．②图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.平移的性质：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.平移的作图：(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典例】例1．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥ON，∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝50°，∴∠MCB＝50°，∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义），∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°，又∵CD平分∠ACM，∴∠DCM＝65°（角平分线定义），∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°（2）证明：∵CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°又∵∠MCO＝180°（平角定义）∴∠ECO+∠DCM＝90°，∵∠DCA＝∠DCM，∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）即CE平分∠OCA，（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分①当∠O＝36°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝36°∴∠ACM＝144°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝72°∴∠ACO∠ACD即CA分∠OCD成1：2两部分．②当∠O＝90°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝90°∴∠ACM＝90°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝45°∴∠ACD∠ACO即CA分∠OCD成1：2两部分．【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．例2．探究：如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC，下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）．解：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（________________________）．∵AB∥CD（________）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试探索∠AEC、∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由；应用：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG ＝40°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝__________度．【答案】见解析【解析】探究：证明：如图1中，如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（两直线平行内错角相等）．∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：解：如图2中，结论：∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．理由：作EH∥AB．∵AB∥CD，AB∥EH，∴EH∥CD，∴∠BAE+∠AEH＝180°，∠HEC+∠ECD＝180°，∴∠BAE+∠AEH+∠HEC+∠ECD＝360°，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．应用：解：如图3中，作FH∥AB．∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，由拓展可知：∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°①∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°②，①+②得到，∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣（∠EFH+∠HFG），∴∠EFH+∠HFG＝360°﹣∠EFG＝320°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣320°＝400°，故答案分别为：两直线平行内错角相等，已知，400．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．例3．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系______________________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．例4．如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为_______．【答案】100【解析】解：由平移的性质可得，n个小直角三角形较长的直角边平移后等于AO边，较短的直角边平移后等于BO边，斜边之和等于AB边长，∴n个小直角三角形的周长之和＝Rt△AOB的周长，∵直角三角形AOB的周长为100，∴这n个小直角三角形的周长之和＝100．故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．【巩固练习】1．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？【答案】见解析【解析】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（50﹣1）（30﹣1）＝1421m2．故答案为：1421m2．2．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠GEB＝34°，∵EF⊥EG，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；（2）∵∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，∴∠2＝2∠GEB，又∵∠2+∠GEB＝90°，∴∠GEB＝30°＝∠1，∴4∠1＝120°，∠2＝60°，∴∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，即图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．3．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．【答案】见解析【解析】解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，∴∠AED＝180°﹣119°＝61°，∠DEB＝119°．∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠DEF119°°，∴∠GEF＝61°°°．∵∠AGF＝130°，∴∠F＝∠AGF﹣∠GEF＝130°﹣°°．4．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH∠GFE＝55°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．5．已知：下列各图中都有AB∥CD，分别探究图（1）图（2）图（3）中∠D，∠E，∠B之间的数量关系，并填在相应的横线上．（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是______________________________．（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（4）请你从（1）（2）（3）中选择一个进行证明．【答案】见解析【解析】解：（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠E+∠B＝360°；（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠B＝∠E；（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D﹣∠B＝∠E；（4）选（1）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D+∠DEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠D+∠DEB+∠B＝360°；选（2）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D+∠B＝∠DEF+∠BEF＝∠DEB；选（3）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D﹣∠B＝∠DEF﹣∠BEF＝∠DEB．6．已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝__________度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝____________________度．（不必说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案为：540；（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝180°×（n+2），故答案为：180（n+2）．7．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∠3+∠1＝∠2成立，理由如下：如图①，过点P作PE∥l1，∴∠1＝∠AEP，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE+∠APE＝∠2，∴∠3+∠1＝∠2；（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2，理由为：如图②，过P作PE∥l1，∴∠1＝∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE﹣∠APE＝∠2，∴∠3﹣∠1＝∠2．。

浙教版七年级下册数学第一章平行线含答案

浙教版七年级下册数学第一章平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（）A.（5，2）B.（1，0）C.（3，﹣1）D.（5，﹣2）2、如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④AD∥BC且∠B=∠D．其中，能推出AB∥DC的是（）A.①④B.②③C.①③D.①③④3、如图，CM，ON被AO所截，那么（）A.∠1和∠3是同位角B.∠2和∠4是同位角C.∠ACD和∠AOB是内错角D.∠1和∠4是同旁内角4、如图，∠1=∠2，∠3=35°，则∠4等于（）A.120°B.130°C.145°D.150°5、如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（）A. B. C. D.6、如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（）⑴∠B+∠BCD=180°；⑵∠1=∠2；⑶∠3=∠4；⑷∠B=∠5．A.1个B.2个C.3个D.4个7、如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为A.10°B.20°C.25°D.30°8、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N 处与灯塔P的距离为( )A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里9、如图，中，, 的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为（）．A. B. C. D.10、如图，将周长为18的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A.22B.24C.26D.2811、如图，已知a//b，∠1=50°，则∠2=（）A.40°B.50°C.120°D.130°12、如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是( )A.4B.3C.2D.113、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A.75°B.60°C.45°D.30°14、下列说法正确的个数是（）①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为（）A.75°B.65°C.55°D.45°二、填空题(共10题，共计30分)16、已知∠A与∠B的两边分别平行，如果∠A=55°,那么∠B=________度17、如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要说明∠3＋∠4＝180°，请补充完整解题过程，并在括号内填上相应的依据：解：∵AD∥BC(已知)，∴∠1＝∠3(________)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠3.∴BE∥________(________)．∴∠3＋∠4＝180°(________)．18、如图所示，直线，若，，则________ ．19、如图，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，EF平分∠AED，交AB于点F，连接CF，下列四个结论：①∠CDE＝∠DCE；② CD∥EF；③∠CDE＝∠CFE；④ S△ACF ＝S△ADE，其中正确的结论有________20、抛物线y＝－2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是________．21、如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为________ cm2．22、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=6，则OD 的长为________．23、如图，点D是△ABC的边BA延长线上一点，AE∥BC。

第二讲浙教版七年级下册平移与平行线

依米书院个性化辅导教案基本信息学生姓名年级七年级下册科目数学课时2h 形式教师上课时间辅导课题平移与平行线教学目标知识目标：1、掌握平行线的性质及其判定方法2、平移的概念及其应用教学重点重点：平行线的性质及其判定方法难点：平行线的判定和与应用课前检查学生作业完成情况：优□良□中□差□建议_________________________________教学内容知识图谱一：平行线的判定知识精讲一．平行线的公理及推论1．平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作．2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．二．平行线的判定两条直线被第三条直线所截：1．如果同位角相等，那么两直线平行；2．如果内错角相等，那么两直线平行；3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．三点剖析一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定二．重难点：平行线的判定．三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．题模精讲题模一平行公理及推论例1.1.1、三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A、a⊥bB、a∥bC、a⊥b或a∥bD、无法确定例1.1.2、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A、1个B、2个C、3个D、4个例1.1.3、如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？题模二平行线的判定例1.2.1、如图，能判定EC∥AB的条件是（）A、∠B=∠ACEB、∠A=∠ECDC、∠B=∠ACBD、∠A=∠ACE例1.2.2、一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度____．A、先向左转130°，再向左转50°B、先向左转50°，再向右转50°C、先向左转50°，再向右转40°D、先向左转50°，再向左转40°例1.2.3、按图填空．已知：如图, ∠1=∠2, ∠3=∠E．求证：AD∥BE．证明：∵∠1 = ∠2 (已知)，∴_____∥_____（内错角相等，两直线平行）．∴∠E = ∠_____（_____）．又∵∠E = ∠3 ( 已知 )，∴∠3 = ∠_____（等量代换）．∴AD∥BE（_____）．例1.2.4、如图，点E在直线AB与CD之间，若，，，则AB与CD平行吗？请说明理由．随堂练习随练1.1、过一点画已知直线的平行线，则（）A、有且只有一条B、有两条C、不存在D、不存在或只有一条随练1.2、如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）A、∠1=∠2B、∠1=∠5C、∠1+∠3=180°D、∠3=∠5随练1.3、如图，已知，证明：AB∥CD．随练1.4、已知: 如图, ∠C = ∠1, ∠2和∠D互余, BE⊥FD于G.求证:AB∥CD.二：平行线的性质知识精讲一．平行线的性质1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．三点剖析一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．题模精讲题模一平行线的性质例2.1.1、如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（）A、35°B、45°C、55°D、125°例2.1.2、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A、32°B、58°C、68°D、60°例2.1.3、如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）A、∠EMB=∠ENDB、∠BMN=∠MNCC、∠CNH=∠BPGD、∠DNG=∠AME题模二角的计算与证明例2.2.1、如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A、40°B、35°C、50°D、45°例2.2.2、如图，AB∥CD，（）A、180°B、360°C、540°D、720°例2.2.3、如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若，求的度数．例2.2.4、已知AB∥CD，分别探讨下列四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明理由．随堂练习随练2.1、如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（）A、35°B、40°C、45°D、50°随练2.2、如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A、120°B、110°C、100°D、80°随练2.3、珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=____度．随练2.4、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°24′，则∠2的度数为____°____′．随练2.5、如图，若AB∥CD，求证：．随练2.6、如图，已知，MN分别和直线、交于点A、B，ME分别和直线、交于点C、D，点P 在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．（1）如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，、、有何数量关系（只须写出结论）．三：平移知识精讲一．平移的概念平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的直线移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．二．平移的性质1．经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，图形的形状与大小都没有发生变化．2．经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．三．平移的作图1．找出原图形的关键点（如顶点或者端点）．2．按要求分别描出各个关键点平移后的对应点．3．按原图将各对应点顺次连接．三点剖析一．考点：平移的性质，平移作图．二．重难点：平移的性质．三．易错点：1．平移不改变图形的形状和大小和方向，平移可以不是水平的；2．有可能平行有可能在同一直线上．题模精讲题模一平移的性质例3.1.1、在平移过程中，对应线段__________．例3.1.2、下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（）A、B、C、D、例3.1.3、如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC′= ．例3.1.4、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为____．A、4，30°B、2，60°C、1，30°D、3，60°题模二平移作图例3.2.1、如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A、向右平移2个单位，向下平移3个单位B、向右平移1个单位，向下平移3个单位C、向右平移1个单位，向下平移4个单位D、向右平移2个单位，向下平移4个单位例3.2.2、电灯向__________平移__________．例3.2.3、如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．随堂练习随练3.1、平移改变的是图像的（）A、形状B、位置C、大小D、形状、大小及位置．随练3.2、下列四组图形中，有一组中的两个图像经过平移其中一个能得到另外一个，这组图像是（）A、B、C、D、随练3.3、如图所示，△DEF是△ABC沿水平方向向右平移后的对应图形，若∠B=31°，∠C=79°，则∠D的度数是____度．随练3.4、图中图形向__________平移__________格．随练3.5、如图，画出猫向后平移8格后的图像．课后作业作业1、直线l同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线和过B，C的直线都与l平行，则A，B，C 三点________，理论根据是___________________________．作业2、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A、∠3=∠4B、∠D=∠DCEC、∠1=∠2D、∠D+∠ACD=180°作业3、如图，已知，，，，求证：AB∥CD．作业4、如图所示，已知，，，求证：DE//BF作业5、如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，，那么∠A的度数为（）A、140°B、60°C、50°D、40°作业6、如图，已知AB∥CD，，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．作业7、如图，，，，平分，（1）求证：；（2）探究和之间的数量关系，并证明你的结论．作业8、如图，CB∥OA，，E、F在CB上，且满足，OE平分∠BOF．（1）求∠EOC的度数；（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出度数；若不存在，说明理由．作业9、如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（）A、B、C、D、作业10、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=114°，则∠3的度数为（）A、26°B、34°C、44°D、36°作业11、如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为____°．作业12、是由平移得到的，点A的对应点是__________； AB的对应线段是__________；的对应角是__________；平移的方向是__________．作业13、如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A、6B、8C、10D、12作业14、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．作业15、雨伞向__________平移__________格．作业16、在点子图上画出向右平移5点后的图形．。

七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题

七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中
问题一：什么是平行线在旋转中？
•平行线在旋转中是指当一个平行线围绕某个点进行旋转时，旋转后的线与原线仍然保持平行关系。

•七年级下册浙教版数学课本中的平行线在旋转中是指介绍了平行线在旋转中的性质和定理。

问题二：平行线在旋转中有哪些性质？
•平行线在旋转中的性质包括：旋转角度相同，旋转角度是360度的整数倍，旋转后线段长度和原线段长度相等，旋转后垂直等角的角度关系等。

•这些性质可以通过几何推理和证明得到。

问题三：平行线在旋转中的定理有哪些？
•平行线在旋转中的定理有：旋转中的平行线仍然是平行线定理，平行线在旋转中的角度关系定理等。

•七年级下册浙教版数学课本中介绍了这些定理，并给出了相应的证明过程。

问题四：平行线在旋转中的应用有哪些？
•平行线在旋转中的应用包括：解决几何问题，画出旋转后的平行线图形等。

•这些应用可以帮助学生更好地理解和应用平行线在旋转中的性质和定理。

问题五：如何练习平行线在旋转中的相关题目？
•学生可以通过做课本中的习题来练习平行线在旋转中的相关题目。

•也可以寻找一些相关的练习题目进行练习，例如在线数学练习网站上的题目或者参考其他相关数学习题集。

以上是关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的相关问题的
列举和解释说明，希望对学生的学习有所帮助。

七年级下册形的旋转与平移题

七年级下册形的旋转与平移题初中数学七年级下册形的旋转与平移题形的旋转与平移是初中数学七年级下册的重要内容之一，通过学习可以帮助学生理解形的平移和旋转操作，培养他们的几何直观和空间想象能力。

本文将结合具体例题，详细介绍形的旋转与平移的概念、性质以及解题方法。

一、形的旋转在几何学中，旋转是指将图形围绕某一点旋转一定角度，得到新的图形。

旋转可以是顺时针方向或逆时针方向，旋转的角度可以是任意角度。

具体来说，图形的每一个顶点都会围绕旋转点旋转。

旋转有以下几个重要性质：1. 旋转不改变图形的大小和形状。

2. 旋转保持图形的对称性。

例如，一个正方形绕着中心旋转90°后，仍然是一个正方形。

3. 旋转保持图形上点的相对位置关系。

例如，三角形的三边长度不变，旋转后的图形仍然是个三角形。

下面通过一个具体例题来理解形的旋转。

例题：将三角形ABC按照顺时针方向绕点O旋转90°，得到新的图形A'B'C'。

已知A(-1, 2)，B(1, 2)，C(0, -1)，O(0, 0)。

求旋转后的图形的坐标。

解题思路：首先，我们需要计算出旋转后的每个顶点的坐标。

根据旋转公式，对于顺时针旋转90°，我们可以得到旋转后的坐标：x' = -yy' = x带入题中的坐标，可以得到旋转后的顶点坐标：A'(-2, -1)B'(-2, 1)C'(1, 0)通过计算，得到旋转后的图形A'B'C'的坐标。

二、形的平移形的平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向上移动一定距离，得到新的图形。

平移可以是水平或垂直方向，平移的距离可以是任意值。

平移有以下几个重要性质：1. 平移不改变图形的大小和形状。

2. 平移保持图形的对称性。

例如，一个正方形平移后，仍然是一个正方形。

3. 平移保持图形上点的相对位置关系。

例如，三角形的三边长度不变，平移后的图形仍然是个三角形。

浙教版七年级数学旋转变换(含答案)

2．4 旋转变换【知识提要】1．认识旋转变换的概念．•体验影响图形旋转变换的主要因素是旋转中心和旋转角度．2．理解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状、大小；对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．3．会按要求作出简单平面图形旋转变换后的像．【学法指导】1．旋转变换必须指明旋转中心、旋转方向、旋转角度．2．作旋转图形的关键是找出几个关键点并作出这几个点旋转后的对应点．3．旋转变换中图形中每点都绕着旋转中心旋转相同的角度．4．旋转变换后对应点位置的排列次序相同．Array 5．旋转变换后，图形的面积不变．范例积累【例1】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转变换后到△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转变换后，点M转到了什么位置？【分析】（1）确定旋转中心的位置；（2）旋转角度可以根据旋转变换前后某两条对应线段夹角的度数来确定；（3）旋转前后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段．【解】（1）旋转中心是A；（2）旋转了60°；（3）点M旋转到了AC的中点位置上．【注意】（1）若连结DE，则△ADE是什么三角形？（2）若△ABC是等腰三角形，且顶角∠BAC=50°，问题（2）的结论如何？【例2】如图，点M是线段AB上一点，将线段AB•绕着点M•顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置关系如何？如果逆时针方向旋转90°呢？【解】顺时针方向旋转90°，如图（甲）所示，A′B′与AB互相垂直；•逆时针方向旋转90°，如图（乙），A″B″与AB互相垂直．（甲） (乙)【注意】（1）无论怎样旋转，线段旋转90°后总与原来位置互相垂直；（2）从图形中明显可知旋转变换时方向不同，得到像的位置一般也不同．基础训练Array 1．如图，△A′B′C′是△ABC经旋转变换后的像，（1）旋转中心是________，旋转角度是_________；（2）点A•的对应点是点_____，•点B•的对应点是点________，•点C•的对应点是点_______．（3）∠A的对应角是________，∠B的对应角是________，∠C的对应角是______．（4）线段AB的对应线段是________，线段BC的对应线段是_________，线段AC的对应线段是_________．（5）图中相等的线段：OA=_______，OB=________，OC=•________，•AB=•________，•BC=•________，•CA=______．（6）图中相等的角：∠CAB=______，∠ABC=______，•∠BCA=•_______，•∠AOA•′=_______=_______．2．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？3．如图，△ABC按逆时针方向转动一个角后成为△AB′C′，•图中哪一点是旋转中心？旋转了多少度？4．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心？旋转了多少度？5．如图，画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．6．如图，已知图形F和点O，以点O为旋转中心，•将图形按顺时针方向旋转90°，作出经旋转变换后的像．经几次旋转变换后的像可以与原图形重合？7．已知△ABC是任意三角形，（1）若△ACD、△AEB是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A•为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形；（2）若△ACD、△AEB是等边三角形，画出△ACE以点A为旋转中心，•逆时针方向旋转60°后的三角形．8．如图，△A′B′C′是△ABC•经旋转变换后得到的像，•且旋转的角度为25度，AC⊥A′B′，则∠BCB′=_______，∠A=________．(8题) (9题)提高训练9．如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，以直线x•为对称轴，作出△ABC经轴对称变换后的像△A′B′C′，再以直线y为对称轴，画出△A′B′C′经轴对称变换后的像△A″B″C″，△A″B″C″能否由△ABC经过一次变换得到？10．如图，在线段BD上取一点C，以BC、CD为边分别作正△ABC和正△ECD，•连结AD交EC于点Q，连结BE交AC于点P，交AD于点F．（1）通过旋转变换，图中可得到哪些全等三角形？（2）∠BFD是多少度？（3）PQ∥BD吗？若是，请说明理由．11．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，•试说明BF+CE>EF．应用拓展12．小明在观察时针和分针漫长的马拉松比赛时，发现了一些有趣的问题．•圆形的比赛场地被分成了12站，每站点处都有一个数字警察（标号1～12）把守着，•每站又被分成相等的5份，1份就是1分钟走过的路程，而时针要1小时才能走1站，通过计算，•他发现分针每分钟转过6°，而时针每分钟转过0．5°．（1）第2天，课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，•他发现时针和分针正好在关于沿垂线对称的位置上，请问此时是9点几分？（2）小明晚上6点至7点之间外出时，发现钟面上时针和分针成110°角，近7•点回家时发现时针和分针的夹角仍是110°，你能说出小明外出所用的时间是几分钟？答案:1．略 2．（1）点A （2）90°（3）等腰直角三角形3．点A 70° 4．点A 45•° 5．略 6．略7．（1）△ABD （2）△ABD 8．25° 65°9．一次旋转180°的变换 •10．（1）△ACD≌△BCE △ACQ≌△BCP △CDQ≌△CEP （2）120°（3）平行11．提示：点F绕点D旋转180°后至F′，连结CF′、EF′12．（1）9时131113分（2）40分钟。

浙教版数学七年级下册1.1《平行线》教学设计

浙教版数学七年级下册1.1《平行线》教学设计一. 教材分析《平行线》是浙教版数学七年级下册1.1的内容，本节课主要让学生掌握平行线的定义、性质及判定方法。

通过学习，学生能理解平行线的概念，会运用平行线的性质和判定方法解决一些实际问题。

教材通过对平行线的探讨，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了直线、射线等基本几何概念，对图形的认知有一定基础。

但是，对于平行线的定义、性质和判定方法，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要善于启发学生，引导学生通过观察、思考、讨论，自主探索平行线的相关知识。

三. 教学目标1.知识与技能：掌握平行线的定义、性质及判定方法，能运用平行线的性质和判定方法解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：平行线的定义、性质及判定方法。

2.难点：平行线的判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，让学生主动探索平行线的知识。

2.小组讨论：学生分组讨论，共同探讨平行线的性质和判定方法，培养学生的团队协作能力。

3.实例分析：教师列举实例，让学生运用平行线的性质和判定方法解决问题，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关几何图形，如直线、射线、平行线等。

2.准备多媒体教学课件，以便于展示和讲解。

3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生思考并提出问题：“什么情况下，两条直线互相平行？”引导学生进入本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，展示平行线的定义、性质及判定方法，同时进行讲解。

在讲解过程中，教师引导学生观察、思考，让学生理解和掌握平行线的知识。

3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。

浙教版七年级下册数学第一章平行线含答案【参考答案】

浙教版七年级下册数学第一章平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止平移. 连结AE，DC，在整个过程中，图中阴影部分面积和的变化情况是（）A.一直增大B.一直减少C.先减少后增大D.一直不变2、如图，已知AB∥CD，∠C=35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是( )A.17.5°B.35°C.70°D.105°3、如图，将含30°角的直角三角板ABC放在平行线α和b上，∠C＝90°，∠A＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（）A.60°B.50°C.40°D.30°4、如图所示的四个图形中，∠1和∠2一定相等的是（）A. B. C. D.5、下列选项中∠1与∠2不是同位角的是（）A. B. C.D.6、观察图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（）A.旋转B.轴对称C.位似D.平移7、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或垂直8、小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n 上，测得∠α=120°，则∠β的度数是（）A.45°B.55°C.65°D.75°9、已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为( )A.104°B.76°C.104°或64°D.104°或76°10、下列说法错误的是（）A.两直线平行，内错角相等B.两直线平行，同旁内角相等C.对顶角相等D.平行于同一条直线的两直线平行11、如图．已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1=48°，那么∠2的度数为（）A.42°B.48°C.52°D.132°12、如图，将三角形纸板ABC沿直线AB平移，使点A移到点B，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.100°13、如图，己知l∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（）1A.∠1=∠4B.∠1=∠5C.∠2=∠3D.∠1=∠314、如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为，则的面积为（）A.6B.12C.18D.2415、如图，能判定EB∥AC的条件是（）A.∠C＝∠ABEB.∠A＝∠EBDC.∠C＝∠ABCD.∠A＝∠ABE二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB∥CD，∠1=64°，FG平分∠EFC，则∠EGF=________．17、两个角的两边分别平行，其中一个角是30°，则另一个角是________．18、如图，在中，，，点是的中点，连接，将沿射线方向平移，在此过程中，的边与的边、分别交于点、，当的面积是面积的时，则△BCD 平移的距离是________.19、将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为________．20、一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2：当∠CAE＝15°时，BC∥DE.则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________.21、将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=________度.22、完成下面的证明．已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．求证：∠1＝∠2．证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE（________）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ADE．∴∠3＝∠4．∴________∥________（________）．∴∠1＝∠2（________）．23、如图：已知，AB∥CD，∠1＝50°，那么∠2＝________°，∠3＝________°24、将一副三角板如图放置.若AE∥BC，则∠AFD=________.25、在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．27、如图所示，AB∥CD∥EF，∠ABC＝55°，∠CEF＝150°，求∠BCE的度数．28、如图，矩形ABCD中，点E是CD延长线上一点，且，求证：．29、MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．30、如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．（1）请利用平移的知识求出种花草的面积．（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、B5、C6、D7、C8、D9、C10、B11、B12、C13、B14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

平行线必考几何题型专训(6大题型)—2023-2024学年七年级数学下册(浙教版)(解析版)

平行线必考几何题型专训（6大题型+10道拓展培优）【题型目录】题型一根据平行线的判定与性质求解题型二根据平行线的性质探究角的关系题型三平行线的性质在生活中的实际应用题型四平行线中的旋转问题题型五平行线中的折叠问题题型六平行线中的平移问题【经典例题一根据平行线的判定与性质求解】【例1】（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 为线段CD 延长线上一点，BAF EDF ∠=∠．(1)求证：DE AF ∥；(2)若=40F ︒∠，求DAF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)40DAF ∠=︒【分析】（1）根据AB BC ⊥，DC BC ⊥得出AB CF ，根据平行线的性质可得180BAF F ∠+∠=︒，进而得出180EDF F ∠+∠=︒，根据平行线判定定理即可得结论；（2）根据平行线的性质得出ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，根据角平分线的定义即可得答案．【详解】（1）证明：∵AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，∴90B C ∠=∠=︒，∴180B C ∠+∠=︒，∴AB CF ，∴180BAF F ∠+∠=︒，∵BAF EDE ∠=∠，∴180EDE F ∠+∠=︒，∴DE AF ∥．（2）解：∵DE AF ∥，∴ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，∵DE 平分ADC ∠，∴ADE CDE ∠=∠，∴40DAF F ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】 1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，已知直线,AB CD 被直线EF 所截，EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠，1290∠+∠=︒，AB CD 吗？为什么？因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以2AEF ∠∠=___________，2EFC ∠∠=___________，所以AEF EFC ∠∠+=___________（），因为1290∠+∠=︒（），所以AEF EFC ∠∠+=___________︒，所以AB CD （）．【答案】平行，见解析【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，从而可得180AEF EFC ∠+∠=︒，再根据平行线的判定即可得．【详解】解：因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，所以()212AEF EFC ∠+∠=∠+∠（等量代换），因为1290∠+∠=︒（已知），所以180AEF EFC ∠+∠=︒，所以AB CD （同旁内角互补，两直线平行）． 2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 和CD 被直线MN 所截．(1)如图1，EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同旁内角），则1∠与2∠满足______时， AB CD ∥，并说明平行的理由；(2)如图2，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同位角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由；(3)如图3，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对内错角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由．【答案】(1)1290∠+∠=︒，见解析(2)12∠=∠，见解析(3)12∠=∠，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足1290∠+∠=︒，即可得出()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，即可判断AB CD ∥；（2）根据角平分线的定义可得21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足12∠=∠，即可得BEM DFE ∠=∠，即可判断AB CD ∥；（3）同（2）的分析即得结论．【详解】（1）当1∠与2∠满足1290∠+∠=︒时， AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵1290∠+∠=︒，∴()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AB CD ∥；（2）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴BEM DFE ∠=∠，∴AB CD ∥；（3）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21AEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴AEF DFE ∠=∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，O ，OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，与AB 交于点P ，Q ，已知90OPQ DOQ ∠+∠=︒．(1)若:2:5DOQ DOF ∠∠=，求FOQ ∠的度数；(2)对AB CD ∥说明理由．【答案】(1)140FOQ =︒∠(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得出EOQ DOQ =∠∠，设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，根据题意得出225180x x x ++=︒，求出x 的值，即可得出答案；（2）根据OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，得出119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，根据90OPQ DOQ ∠+∠=︒，得出COP OPQ =∠∠，根据平行线的判断即可得出结论．【详解】（1）解：∵OQ 平分DOE ∠，∴EOQ DOQ =∠∠，∵:2:5DOQ DOF ∠∠=，∴设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，∴225180x x x ++=︒，解得：20x =︒，∴527140FOQ DOF DOQ x x x =+=+==︒∠∠∠；（2）证明：∵OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，∴12COP EOP COE ==∠∠∠，12EOQ DOQ EOD ==∠∠∠，∴119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，∵90OPQ DOQ ∠+∠=︒，∴COP OPQ =∠∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法． 4．（2022下·河北保定·七年级统考期中）如图，点E 在直线DC 上，射线EF 、EB 分别平分AED ∠、AEC ∠．(1)试判断EF 、EB 的位置关系，并说明理由；(2)若5A ∠=∠，且4590∠+∠=︒，求证：AB EF ∥．【答案】(1)EB EF ⊥，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；（2）由等角的余角相等可证得25∠=∠，进而可得2A ∠=∠，再由内错角相等两直线平行即可证得．【详解】（1）解：EB EF ⊥，理由如下：∵EB 平分AEC ∠，EF 平分AED ∠，∴1342AEC ∠=∠=∠，1122AED ∠=∠=∠，180AED AEC ∠+∠=︒，∴111123()180902222BEF AED AEC AED AEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴EB EF ⊥；（2）证明：∵2390∠+∠=︒（已证），4590∠+∠=︒（已知），又∵3=4∠∠，∴25∠=∠，∵5A ∠=∠，∴2A ∠=∠，∴AB EF ∥．【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键． 5．（2021下·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC 和三角形DEF 位于直线MN 的两侧中，直线MN 经过点C ，且BC MN ⊥，其中A ABC CB =∠∠，DEF DFE ∠=∠，90∠+∠=︒ABC DFE ，点E 、F 均落在直线MN 上．（1）如图1，当点C 与点E 重合时，求证：//DF AB ；聪明的小丽过点C 作//CG DF ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．（2）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，如图2，求证：//DE AC ；（3）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，使得点E 移动到点E '，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若DFE α∠=，则CAB ∠=________．（用含α的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2α．【分析】（1）过点C 作//CG DF ，得到DFE FCG ∠=∠，再根据90BCF ∠=︒，90∠+∠=︒ABC DFE ，得到ABC BCG ∠=∠，进而得到//CG AB ，最后证明//DF AB ；（2）先证明90ACB DEF ∠+∠=︒，再证明90ACB ACE ∠+∠=︒，得到DEF ACE ∠=∠，问题得证；（3）根据题意得到DFE DEF α∠=∠=，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=α，进而得到=90BC AC A B α=∠︒−∠，根据三角形内角和即可求解．【详解】解：（1）过点C 作//CG DF ，DFE FCG ∴∠=∠，BC MN ⊥，90BCF ∴∠=︒，90BCG FCG ∴∠+∠=︒，90BCG DFE ∴∠+∠=︒，90ABC DFE ∠+∠=︒，ABC BCG ∴∠=∠，//CG AB ∴，//DF AB ∴；（2）解：ABC ACB ∠=∠，DEF DFE ∠=∠，又90ABC DFE ∠+∠=︒，90ACB DEF ∴∠+∠=︒，BC MN ⊥，90BCM ∴∠=︒，90ACB ACE ∴∠+∠=︒，DEF ACE ∴∠=∠，//DE AC ∴；（3）如图三角形DEF 即为所求作三角形．∵DFE α∠=，∴DFE DEF α∠=∠=，由（2）得，DE ∥AC ，∴∠DEF=∠ECA=α，∵90ACB ACE ∠+∠=︒，∴∠ACB=90α︒−，∴ =90BC AC A B α=∠︒−∠，∴∠A=180°-A ABC CB −∠∠=2α．故答案为为：2α．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．【经典例题二根据平行线的性质探究角的关系】【例2】（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知AB DE ABC CED ∠∠∥，、的平分线交于点F ．探究BFE ∠与BCE ∠之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】2BCE BFE ∠=∠，见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C 作直线MN AB ∥，然后证明MN DE ∥，根据平行线的性质可得=DEC ECN ∠∠，=ABC BCN ∠∠，进而可得BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理可得BFE ABF DEF ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质可得2ABC ABF ∠=∠，2DEC DEF ∠=∠，等量代换可得答案．【详解】解：过点C 作直线MN AB ∥，∵AB DE MN AB ∥，∥，∴MN DE ∥，∴DEC ECN =∠∠，AB MN ，∴ABC BCN ∠=∠，∴BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理BFE ABF DEF ∠=∠+∠，∵ABC CED ∠∠、的平分线交于点F ，∴22ABC ABF DEC DEF ∠=∠∠=∠，，∴222BCE ABF DEF BFE ∠=∠+∠=∠．【变式训练】 1．（2024上·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究如图，已知直线a b c ∥∥，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线c 上，P 是直线b 上的一个动点．(1)当点P 移动到如图1所示的位置时，,,PAB PCD APC ∠∠∠之间的数量关系为________(2)当点P 移动到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并说明理由．(3)如图3，已知20,50,45,15B BCD CDE E ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒．试判断AB 与EF 是否平行，并说明理由：【答案】(1)360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒(2)（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由见解析(3)平行．理由见解析【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活应用是解本题的关键．（1）利用平行线的性质证明12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用平行线的性质证明1PAB ∠=∠，2PCD ∠=∠，从而可得结论；（3）如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．求解20BCM ∠=︒．结合20B ∠=︒，进一步可得结论．【详解】（1）解：如图，∵a b c ∥∥，∴12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，∴360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒．（2）（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由：如图，∵a b ∥，1PAB ∴∠=∠．∵b c ∥，2PCD ∴∠=∠．12APC ∠=∠+∠，APC PAB PCD ∴∠=∠+∠．（3）平行．理由如下：如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．45,15CDE E ︒∠︒∠==Q ，30DCM CDE E ∴∠=∠−∠=︒．50BCD ∠=︒，20BCM BCD DCM ∴∠=∠−∠=︒．又20B ︒∠=，BCM B ∴∠=∠．C AB M ∴∥．CM EF Q ∥，∴AB EF ∥．2．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O ．(1)如图1，若AC BD ∥，请直接写出A C ∠+∠与B D ∠+∠的数量关系为_________．(2)如图2，若AC 不平行BD ，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：不能用三角形内角和定理）【答案】(1)A C B D ∠+∠=∠+∠，证明见解析(2)（1）中结论成立，证明见解析【分析】（1）先证明A B ∠=∠，C D ∠=∠，可得A C B D ∠+∠=∠+∠；（2），过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，证明OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，从而可得结论成立．【详解】（1）解：A C B D ∠+∠=∠+∠，理由如下：∵AC BD ∥，∴A B ∠=∠，C D ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，∴AND GCD ∠=∠，ACG CAN ∠=∠，∴ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，∴OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，∴B D OAC ACO ∠+∠=∠+∠；【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，使刀背与直角腰的夹角为1∠，刀片转动的角为2∠．(1)若155∠=︒，求2∠的度数．(2)刀片在打开过程中，若2∠为钝角，求证：2901∠=︒+∠．【答案】(1)145︒(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，由互余得到9035DCE BCE ∠=︒−∠=︒，则35CDF DCE ∠=∠=︒，根据邻补角即可得到2∠的度数；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，则1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠，由90BCE DCE ∠+∠=︒得到90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，则901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，根据邻补角即可得到结论．【详解】（1）解：如图，过点C 作CE DF ∥，由题意可知，AB DF ∥，∴AB DF CE ∥∥，∴155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90905535DCE BCE ∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴35CDF DCE ∠=∠=︒，∴218018035145CDF ∠=︒−∠=︒−︒=︒；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，∴1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，∴901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，∴()2180180901901CDF ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠；即2901∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查平行线的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2023下·贵州毕节·七年级校联考期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线,AB CD 和一块含60︒角的直角三角尺(90,60)EFG EFG EGF ∠=︒∠=︒”为主题开展数学活动． (1)如图1，三角尺的60︒角的顶点G 在CD 上．240∠=︒，则1∠的度数为________．(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索AEF ∠与FGC ∠之间的数量关系是_______．(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30︒角的顶点E 在AB 上．若AEG α∠=，DFG β∠=，请直接写出AEG ∠与DFG ∠的数量关系（用含,αβ的式子表示）．【答案】(1)80︒(2)90AEF FGC ∠+∠=︒(3)120αβ−=︒【分析】（1）根据平行线的性质可知1EGD ∠=∠，依据2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，可求出1∠的度数；（2）过点F 作∥FP AB ，得到FP AB CD ∥∥，通过平行线的性质把AEF ∠和FGC ∠转化到EFG ∠上即可；（3）依据AB CD ∥，可知180AEF CFE ∠+∠=︒，再根据18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，代入180AEF CFE ∠+∠=︒，即可求出120AEG DFG ∠−∠=︒．【详解】（1）解：AB CD ∥，1EGD ∴∠=∠，2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，260180EGD ∴∠+︒+∠=︒，80EGD ∴∠=︒，180∴∠=︒；故答案为：80︒；（2）90AEF FGC ∠+∠=︒，理由如下：如图，过点F 作∥FP AB ，CD A B ∥，FP AB CD ∴∥∥，AEF EFP ∴∠=∠，FGC GFP ∠=∠，AEF FGC EFP GFP EFG ∴∠+∠=∠+∠=∠，90EFG ∠=︒，90AEF FGC ∴∠+∠=︒；故答案为：90AEF FGC ∠+∠=︒；（3）120αβ−=︒，理由如下：AB CD ∥，180AEF CFE ∠+∠=︒∴，18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，3018090180AEG DFG ∴∠−︒+︒−∠−︒=︒，120AEG DFG ∴∠−∠=︒，120αβ∴−=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知AB CD ∥，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点Q 为射线EF 上一点．(1)如图1，若22A ∠=︒，35C ∠=︒，则AQC ∠= ．(2)如图2，当点Q 在线段EF 的延长线上时，请写出A ∠、C ∠和AQC ∠三者之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，AH 平分QAB ∠，CH 交AH 于点H ．①若CH 平分QCD ∠，求AQC ∠和AHC ∠的数量关系．②若:1:3QCH DCH ∠∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，直接写出AQC ∠的度数为．【答案】(1)57︒(2)数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，理由见解析(3)① AHC ∠=12AQC ∠，②72AQC ∠=︒【分析】（1）过点Q 作QH ∥AB ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（2）过点Q 作MN ∥CD ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（3）①过点H 作PH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；②根据①的结论，利用角的关系解答即可．【详解】（1）解：过点Q 作QH ∥AB ，AB ∥CD ，QH ∴∥AB ∥CD ，35C CQH ∴∠=∠=︒，22A HQA ∠=∠=︒，352257AQC CQH HQA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：57︒；（2）数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，证明：过点Q 作MN ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥MN ，NQC C ∴∠=∠，180MQA A ∠=︒−∠，180AQC NQC MQA A C ∴∠=︒−∠−∠=∠−∠．（3）①过点H 作PG ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥PH ，PHC HCD ∴∠=∠，180GHA HAB ∠=︒−∠，AHC HAB HCD ∴∠=∠−∠．又AH 平分CAB ∠，CH 平分QCD ∠，HAB ∴∠=12QAB ∠，HCD ∠=12QCD ∠ AHC ∴∠=12 ()QAB QCD ∠−∠由（2）可得AHC ∠=12.AQC ∠②72AQC ∠=︒，理由如下：QCH ∠：1:3DCH ∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，11QCH ∴∠=︒，33DCH ∠=︒，332558HAB ∴∠=︒+︒=︒，5824472AQC ∴∠=︒⨯−︒=︒，故答案为：72︒．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答．【经典例题三平行线的性质在生活中的实际应用】【例3】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB 、BC 为固定支撑杆，支架OC 可绕点C 旋转调节．已知灯体顶角52DOE ∠=︒，顶角平分线OP 始终与OC 垂直．(1)如图2，当支架OC 旋转至水平位置时，OD 恰好与BC 平行，求支架BC 与水平方向的夹角θ∠的度数；(2)若将图2中的OC 绕点C 顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD 与水平方向的夹角OQM ∠的度数．【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得1262DOP DOE ∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP ∠=︒，得出116COD COP DOP ∠=∠+∠=︒，再运用平行线性质即可得出答案；（2）过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图2，52DOE ∠=︒，OP 平分DOE ∠，1262DOP DOE ∴∠=∠=︒，OP OC ⊥，90COP ∴∠=︒，9026116COD COP DOP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，OD BC ∥，180********C COD ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，OC BF ∥，64COF C ∴∠=∠=︒，即64θ∠=︒；（2）如图3，过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，则15COF OCG ∠=∠=︒，116COD ∠=︒，11615131FOQ COD COF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，CG MN ∥，OF CG ∥，OF MN ∴∥，180OQM FOQ ∴∠+∠=︒，180********OQM FOQ ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．【变式训练】 1．（2023下·江苏·七年级期中）如图1，某段道路AB CD ，两旁安装了两个探照灯M 和N ．灯M 光束从MB 开始旋转至180︒便立即回转，灯N 光束从NC 开始旋转至180︒便立即回转．灯M 转动的速度是每秒1度，灯N 转动的速度是每秒2度，灯M 转动的时间为t 秒． (1)如图2，灯M 光束先转动30秒后，灯N 光束才开始转动．①直接写出灯M 光束和灯N 光束，灯先回转；(填M 或N )②在灯M 光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t 的值；(2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接MN ，且2BMN MND ∠=∠，若两灯光束交于点E ，在转动过程中，请探究BME ∠与MEF ∠的数量关系是否发生变化？并说明理由．【答案】(1)①N ；②当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行(2)不变，BME MEF ∠=∠．理由见解析【分析】（1）①分别计算M 、N 回转时间，然后比较即可；②根据M 、N 均未回转即30120t <<和N 回转后即120180t <<两种情况，进行求解即可；（2）由AB CD ，可得180BMN MND ∠+∠=︒，则12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，由2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，得1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，求得180MEN t ∠=︒−︒，则MEF t ∠=︒，进而可得BME MEF ∠=∠．【详解】（1）①解：光束M 回转时间为1801180t =÷=（秒）；光束N 回转时间180230120t =÷+=（秒）；∵120180<，∴光束N 先回转，故答案为：N ；②解：当30120t <<时，如图1，∵AB CD ，∴BMM MM C ''∠=∠， ∵MM NN ''∥，∴N NC MM C ''∠=∠， ∴BMM N NC ''∠=∠，∴()230t t =−，解得60t =；当120180t <<时，如图2，∵AB CD ，∴180BMM MM D ''∠+∠=︒， ∵MM NN ''∥，∴N ND MM D ''∠=∠， ∴180BMM N ND ''∠+∠=︒，∴()230180180t t +−−=⎡⎤⎣⎦，解得140t =，综上所述，当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行；（2）解：不变，BME MEF ∠=∠．理由如下：∵AB CD ，∴180BMN MND ∠+∠=︒，∵2BMN MND ∠=∠，∴12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，∵2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，∴1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，∴()()1801202120180MEN t t t ∠=︒−︒−︒−︒−︒=︒−︒，∴MEF t ∠=︒，∠=∠．∴BME MEF【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．2．（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD 分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)70(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确AB∥CD时的t值．【详解】（1）解：AB∥CD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE ＜90°＜∠ACD ，则AB 与CD 不平行；③当40s ＜t≤80s 时，如下图，有∠BAC ＜∠ACD ，AB 与CD 不平行；④当80s ＜t≤120s 时，如下图，若AB ∥CD ，则∠BAC=∠DCF ，即3t -240=t -40，解得t=100，∴当t=100s 时，AB ∥CD ；综上可知，在射线AB 转动一周的时间内，存在时间t ，使得CD 与AB 平行，其t=10s 或100s ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 3．（2023下·吉林松原·七年级统考期末）如图，PQ MN ∥，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转动的速度是/a ︒秒，射线BQ 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足2|6|(1)0a b −+−=．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）(1)=a ，b = ；(2)若射线AM 、射线BQ 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．(3)若射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行？【答案】(1)6，1(2)907t =s(3)射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行【分析】（1）依据()2610a b −+−=，即可得到a ，b 的值；（2）依据90ABO BAO ∠+∠=︒，180ABQ BAM ∠+∠=︒，即可得到射线AM 、射线BQ 第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，列出方程即可得到射线AM 、射线BQ 互相平行时的时间．【详解】（1）2|6|(1)0a b −+−=， 60a ∴−=，10b −=，6a ∴=，1b =，故答案为：6，1；（2）设至少旋转t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．如图，设旋转后的射线AM 、射线BQ 交于点O ，则BO AO ⊥，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，PQ MN ∥，180ABQ BAM ∴∠+∠=︒，90OBQ OAM ∴∠+∠=︒，又OBQ t ∠=︒，6OAM t ∠=︒，690t t ∴︒+︒=︒，90()7t s ∴=；（3）设射线AM 再转动t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．如图，射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒后，AM 转动至AM '的位置，186108MAM '∠=⨯=︒，分两种情况：①当918t <<时，QBQ t '∠=︒，6M AM t '''∠=︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，645BAM M AM M AB t ''''''∠=∠−∠=−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，此时，45645t t ︒−︒=−︒，解得907t =；②当1827t <<时，QBQ t '∠=︒，690NAM t ''∠=︒−︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，45(690)1356BAM t t ''∠=︒−︒−︒=︒−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，此时，451356t t ︒−︒=︒−，解得18t =；综上所述，射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．【经典例题四平行线中的旋转问题】【例4】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线MN 上（直角三角板ABC 和直角三角板EDC ，90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，30DCE ∠=︒，90ABC ∠=︒，45BAC BCA ∠=∠=︒），保持三角板EDC 不动，将三角板ABC 绕点C 以每秒5︒的速度顺时针旋转，旋转时间为t 秒，当AC 与射线CN 重合时停止旋转．(1)如图②，当AC 为DCE ∠的平分线时，t =____________；(2)当18t =时，求BCD ∠的度数；(3)在旋转过程中，当三角板ABC 的AB 边平行于三角板EDC 的某一边时（不包含重合的情形），直接写出t 的值．【答案】(1)3(2)15︒(3)t 的值为15或27或35【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．（1）根据角平分线的定义求出1152ACE DCE ∠=∠=︒，然后求出t 的值即可；（2）当18t =时，旋转角为90︒，可求出ACE ∠，即可求出BCD ∠；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t 的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，∴30DCE ∠=︒，∵AC 平分DCE ∠， ∴1152ACE DCE ∠=∠=︒， ∴1535t ==，（2）当18t =秒时，CA 的旋转角度为185=90⨯︒︒，即90ACE ∠=︒，如图，∴=BCD ACE ACB DCE ∠∠−∠−∠=904530︒−︒−︒15=︒；（3）①当AB DE ∥时，如图，此时BC 与CD 重合，旋转角度为75BCA ECD ∠+∠=︒，∴()3045515t =+÷=；②当AB CE ∥时，如图，∵AB CE ∥，∴90BCE B ∠=∠=︒，∴9045135ACE ∠=︒+︒=︒，∴135527t =÷=；③当AB CD ∥时，如图，∵AB CD ∥，∴90BCD D ∠=∠=︒，∴309045175ACE ∠=︒+︒+︒=︒，∴175535t =÷=．【变式训练】 1．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A 射线自AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a ︒/秒，灯B 转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足()2340a a b −++−=．假定主道路是平行的，即PQ MN ∥，且:1:3BAN ABP ∠∠=．(1)填空：=a _______，b =_______，BAN ∠=_______︒；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，灯A 射线转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3 1 45(2)15秒或82.5秒(3)不发生改变32BAC BCD ∠=∠【分析】（1）根据绝对值与平方数的非负性即可求解；根据同旁内角互补并结合已知条件可求得BAN ∠的度数．（2）根据题意，当两灯的光束互相平行时，内错角相等即可列出方程求解．（3）设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=设法把BAC ∠与BCD ∠用含x 的代数式表示出来即可获得两角的关系式．【详解】（1）∵()2340a a b −++−=，∴30,40a a b −=+−=∴3,1a b ==．∵PQ MN ∥，∴180BAN ABP ∠+∠=︒．由:1:3BAN ABP ∠∠=得3ABP BAN ∠=∠∴4180BAN ∠=︒，∴45BAN ∠=︒．（2）如图．设在灯B 射线赶到达BQ 之前，灯A 射线转动t 秒，两灯的光束平行，①在灯射线到达AN 之前，由题意得，303t t +=，解得：15t =（秒）②在灯A 射线到达AN 之后，由题意得：()()318030180t t −︒++︒=︒（同旁内角互补，两直线平行）解得：82.5t =（秒）∴灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．（3）BAC ∠与BCD ∠的数量关系不发生变化．理由如下：如图．由⑴知45BAN ∠=︒，∴18045135ABP MAB ∠=∠=︒−︒=︒．设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=∴3x 135BAC MAC MAB ∠=∠−∠=−︒，①135ABC ABP PBC x ∠=∠−∠=︒−，∴()()18018031351351802BCA BAC ABC x x x ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−︒−=︒−∵CD AC ⊥，∴()90901802290BCD BCA x x =︒−=︒−︒−=−︒∠∠②由①②得，23BAC BCD ∠=∠ ∴32BAC BCD ∠=∠【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的判定、三角形内角和、用含字母的代数式表示角度等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线AB ，CD 和一块含45︒角的直角三角尺()90EFG EFG ∠=︒”为主题开展数学活动，已知点E ，F 不可能同时落在直线AB 和CD 之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45︒角的顶点E ，G 分别放在AB ，CD 上，若150BEG ∠=︒，求FGC ∠的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，若点E 恰好落在AB 和CD 之间，且AB 与EF 所夹锐角为25︒，求FGC ∠的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，旋转三角尺，若存在()545FGC DGE DGE ∠=∠∠<︒，直接写出射线GF 与AB 所夹锐角的度数．【答案】（1）105︒（2）115︒（3）67.5︒或11.25°【分析】（1）根据平行线的性质得出180BEG EGD +=︒∠∠，得出30EGD ∠=︒，即可求解．（2）设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，推出EN AB ∥．根据平行线的性质得出则25NEM BME ∠=∠=︒．求出NEG ∠，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论：①当点E 在CD 上方时，②当点E 在CD 下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可.【详解】解：（1）∵AB CD ∥，180BEG EGD ∴∠+∠=︒．又150BEG ∠=︒，30EGD ∴∠=︒，1803045105FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（2）如图1，设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，∵AB CD ∥，EN CD ∥EN AB ∴∥．25NEM BME ∴∠=∠=︒．452520NEG ∴∠=︒−︒=︒．又EN CD ∥，20DGE NEG ∴∠=∠=︒，1802045115FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（3）67.5︒或11.25°．如图2，AB 交GF 于点H ，当点E 在CD 上方时，设EGD x ∠=，则5FGC x ∠=，∴545180x x +︒+=︒，解得22.5x =︒．∴4522.567.5AHG HGD ∠=∠=︒+︒=︒；如图3，延长GF 交AB 于点H ，当点E 在CD 下方时，设EGD y ∠=，则5FGC y ∠=，∴()545180y y +︒−=︒，解得33.75y =︒，∴4533.7511.25AHG HGD ∠=∠=︒−︒=︒．综上所述，AHG ∠的度数为67.5︒或11.25°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 3．（2022上·陕西延安·七年级统考阶段练习）如图1，已知PQ MN ∥，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，且45BAN ∠=︒，射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转（速度是a ︒/秒），射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转（速度是b ︒/秒）、且a 、b 满足()2310a b −+−=．(1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t 秒()60t <，两条旋转射线交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，求BAC ∠与BCD ∠的数量关系；(2)若射线BP 先旋转20秒，射线AM 才开始旋转，设射线AM 旋转时间为t 秒()160t <，若旋转中AM BP ∥，求t 的值．【答案】(1)23BAC BCD ∠=∠；(2)若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a ，b 的值，由题意可得3135BAC t ∠=−︒，再根据PQ MN ∥即可得到ACB CBD CAN ∠=+∠，从而可得1802BCA t ∠=︒−，再根据=90ACD ∠︒，可得290BCD t ∠=−︒，从而可得32BAC BCD ∠∠=：：，即可得出结论；（2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM 、射线BP 互相平行时的时间．【详解】（1）解：∵a 、b 满足()2310a b −+−=．∴3010a b −=−=，，∴31a b ==，，由题意得3CAM t CBD t ∠=∠=，，∵180345CAN t BAN ∠=︒−∠=︒，， ∴4518033135BAC t t ∠=︒−︒−=−︒（），过点C 作CE PQ ∥，∴CBD BCE t ∠=∠=，∵PQ MN ∥，∴PQ CE MN ∥∥，∴1803CAN ACE t ∠=∠=︒−，∵ACE BCE ACB ∠+∠=∠，∴18031802ACB CBD CAN t t t ∠=+∠=+︒−=︒−，∵CD AC ⊥，∴=90ACD ∠︒，∴()90901802290BCD ACB t t ∠=︒−∠=︒−︒−=−︒，∴32BAC BCD ∠∠=：：，即23BAC BCD ∠=∠；（2）解：∵160t <，∴()2011803480t t +⨯<<，，即射线BP 旋转的角度小于180︒，①当3180t <，即060t <<时，()3201t t =+⨯，解得：10t =；②当1803270t <<且()20190t +⨯>，即7090t <<时， ()3180201180t t −++⨯=，解得：85t =；③当()360348020190t t <<+⨯>且，即120160t <<时， ()3360201t t −=+⨯，解得：190t =（不合题意，舍去）；∴若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 4．（2023上·广西贵港·七年级校考期末）如图，直线AB CD ∥，MN AB ⊥分别交AB ，CD 于点M 、N ，射线MP 、MQ 分别从MA 、MN 同时开始绕点M 顺时针旋转，分别与直线CD 交于点E 、F ，射线MP 每秒转10︒，射线MQ 每秒转5︒，ER ，FR 分别平分PED ∠，QFC ∠，设旋转时间为t 秒()018t <<．(1)用含t 的代数式表示：AMP ∠=________︒，QMB ∠=________︒；(2)当4t =时，REF ∠=________︒．(3)当130MEN MFN ∠+∠=︒时，求出t 的值．【答案】(1)10t ，()905t −(2)70(3)8t =或283t =.【分析】（1）由题意不难得出10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，继而得到()905QMB t ∠=−︒；（2）由平行线的性质可得10MEF AMP t ∠=∠=︒，再结合ER 是PED ∠的平分线，即可求解；（3）由平行线的性质可得10MEN AMP t ∠=∠=︒，再由MN AB ⊥得到MN CD ⊥，从而求得905MFN t ∠=︒−︒，分两种情况讨论：当点E 在N 左侧时和当点E 在N 右侧时，结合已知条件，即可求解；【详解】（1）解：由题意得：10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，AB CD ∥，MN AB ⊥，()90905905QMB NMF t t ∴︒∠=︒−∠=︒−︒=−；故答案为：10t ，()905t −；（2）AB CD ∥，10MEF AMP t ∴∠=∠=︒，ER Q 是PED ∠的平分线，()()111801801090522REF MEF t t ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒−︒，∴当4t =时，905470REF ∠=︒−⨯︒=︒；故答案为：70；（3）①当点E 在N 左侧时，AB CD ∥，10MEN AMP t ∴∠=∠=︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，10905130t t ∴︒+︒−︒=︒，解得：8t =；②当点E 在N 右侧时，如图，AB CD ∥，10AMP t ∠=︒，180MEN AMP ∴∠+∠=︒，18010MEN t ∴∠=︒−︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，180********t t ∴︒−︒+︒−︒=︒，解得：283t =；【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是对这些知识点的掌握和熟练应用． 5．（2022下·天津南开·七年级校联考期中）将一副三角板中的两个直角顶点C 按如图方式叠放在一起．(1)若45DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为________；若140ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为________；(2)猜想ACB ∠与DCE ∠的大小关系，并说明理由；(3)若将三角板BCE ∠绕点C 按顺时针方向继续旋转，当90ACE ∠<︒时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请画出图形，并直接写出ACE ∠的大小．【答案】(1)135︒；40︒(2)180ACB DCE ∠+∠=︒，见解析(3)存在，见解析，当AC EB ∥时45ACE ∠=︒，当AD BC ∥时，30ACE ∠=︒【分析】（1）根据角度之间的和、差计算即可；（2）根据角度之间的和、差计算即可；（3）分两种情况讨论：AC EB ∥和AD BC ∥，根据图形，利用平行线的性质和角度之间的和、差关系求解即可．【详解】（1）解：若45DCE ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，904545ACE ACD DCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，4590135ACB ACE DCE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；若140ACB ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，1409050ACE ACB BCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，905040DCE ACD ACE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒；故答案为：135︒；40︒；（2）证明：90ACB DCB ∠=︒+∠，90DCE DCB ∠=︒−∠，9090180ACB DCE DCB DCB ∴∠+∠=︒+∠+︒−∠=︒；（3）解：如图所示，当AC EB ∥时，45CEB ∠=︒，∴45ACE CEB ∠=∠=︒；。

2024七年级数学下册第1章平行线微专题二平行线中的动态型问题习题课件新版浙教版

【点拨】 ①如图①，当DE∥AB时， ∠ABD＝∠BDE＝45°， ∴α＝45°. ②如图②，当DE∥BC时， ∠DBC＝∠BDE＝45°， ∴∠ABD＝30°＋45°＝75°，即α＝75°.
③如图③，当DE∥AC时，过点B作BM∥AC，则AC∥BM∥DE， ∴∠CBM＝∠C＝90°，∠DBM＝∠BDE＝45°， ∴∠ABD＝30°＋90°＋45°＝165°，即α＝165°. 综上所述，当边DE与三角尺ABC的某一边平行时， α＝45°或75°或165°.
5. 在一副三角尺中，∠BDE＝∠E＝45°，∠EBD＝ ∠C＝ 90°，∠A＝60°，∠ABC＝30°，将它们按如图所示的方式叠放在一起(点A，D，B在同一条直线上)，若固定三角尺ABC，将三角尺BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，当边DE与三角尺ABC的某一边平行时，α＝_____4_5_°__或__7_5_°__或_．165°
又∵∠OBQ＝x°，∠OAM＝(5x)°， ∴x＋5x＝90，解得x＝15. 故至少旋转15秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
(3)若射线AM绕点A顺时针先旋转18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
解：设射线AM再旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．假设射线AM绕点A顺时针先旋转18秒，旋转至AM′的位置，再旋转至AM″的位置，射线BQ绕点B逆时针旋转至BQ′的位置时，两射Байду номын сангаас互相平行，则∠MAM′＝18×5°＝90°. 分两种情况：①当9＜t＜18时，∠QBQ′＝t°，∠M′AM″＝ (5t)°， ∵PQ∥MN，∴∠ABQ＝∠BAN. ∵∠BAN＝45°，∴∠ABQ＝45°，∠M′AB＝45°.