一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

一、内容和内容解析 1.内容

一元二次方程根与系数的关系

2.内容解析

一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系

可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。实际上，一元n

次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。

一元二次方程02

=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的

a

b x x -=+21, a

c x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.

本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一

般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探

索及简单应用。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。

（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一

般地认知规律。

（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获

得成功的体验，建立自信心。

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系

数关系求出两根之和，两根之积。

达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方

程的根与系数的关系。

达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极

学习数学的态度。在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动

中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

三．教学问题诊断分析

一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，

对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。如果让学生思考02

=++c bx ax

的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。因此，教师要利用本节课的探究一，引

导学生从直观入手得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，进而由特殊到一般

地探索一元二次方程根与系数的关系。

另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平

方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点。

基于以上分析，本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数的关系。

四、教学支持条件分析

利用幻灯片，展示学习内容，学案配合完成教学任务。

五、教学过程设计

1. 复习一元二次方程一般形式及求根公式

问题1 ： 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？

师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式。

设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步感受求根公式是

方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根系关系的推导做准备。

2.猜想二次项系数为1时，根与系数的关系（探究一）

问题2 :由因式分解法可知，你能看出方程0))((21=--x x x x 的两根分别是什

么？你能将方程化成02

=++q px x 的形式吗？你能看出21,x x 与q

p ,之间的关系吗？

师生活动：学生独立思考，得出方程的两根为21,x x ，通过将0))((21=--x x x x 的

左边展开，化为一般形式，得到方程0)(21212=++-x x x x x x 。这个方

程的二次项系数为1，一次项系数)(21x x p +-=，常数项21x x q =。学

生独立观察并讨论后，发现两根之和p x x -=+21，两根之积q x x =21。

设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为1的方程中发现一元二次方

程根与系数的关系。

练习1. 不解方程请直接说出下列方程的两根和与两根积。

032)1(2=-+x x 087)2(2=--x x

2.若方程02=++q px x 的两个根为3-和4-，则______==q p

师生活动：由学生独立思考，口答计算结果，集体评价，同学补充。

设计意图：通过计算，让学生熟练掌握当二次项系数为1时，根与系数的关系。 3.猜想、验证一元二次方程根与系数的关系（探究二）

问题3 :一元二次方程02

=++c bx ax 中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、

积与系数又有怎样的关系呢？请同学们填写下表，并猜想出一元二次方程根与系数的关系。

师生活动：让学生独立完成计算，然后学生分小组进行讨论、交流、探究，教师巡视指 导。学生独立观察并讨论后，发现a

b x x -=+21，a

c x x =21。 设计意图：通过教师的引导与点拨，让学生在几个特殊的方程中发现一元二次方程根与

系数的关系。

教师追问1：这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程

)0(02≠=++a c bx ax 都适合呢？

教师追问2：如何证明这两者的关系呢？

师生活动：让学生分小组进行讨论、交流、探究，教师巡视指导。由学生板演推导过程： 设21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，所以

1x =

2x =

12x x +=+

12x x =

= 222(4)4b b ac a --=

a b 22-= 244a ac =