6年级奥数不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有 人，乙小队有 人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于 与 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有 人和 人．则两队植树棵数分别为 棵和 棵．由分析得： ．将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数，可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是 ， ， ，……），每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是 ．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有 人．
六年级奥数第30讲解不定方程(教师版)
六年级奥数第30讲解不定方程〈教师版〉教学目标⒈熟练掌握不定方程的解题技巧；⒉能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；3.学会解不定方程的经典例题。
知识梳理历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
运用不定方程解应用题步骤⒈根据题目叙述找到等量关系列出方程⒉根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解考点一：不定方程与数论例⒈把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数〈要尽量小〉,一个是13的倍数〈要尽量大〉,求这两个数．【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ,则有：11132001x y +=,要让x 取最小值,y 取最大值．可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+,可见12213x +是整数,满足这一条件的x 最小为7,且当7x =时,148y =．则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．考点二：不定方程与应用题例⒈有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【解析】设有大油桶x 个,小油桶y 个．由题意得：8544x y +=可知844x ≤,所以012345x =、、、、、．由于x 、y 必须为整数,所以相应的将x 的所有可能值代入方程,可得3x =时,4y =这一组整数解．所以大油桶有3个,小油桶有4个．例⒉某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60元,现在有13的成人各带一个孩子,总共收了2160元,问：这个活动共有多少人参加〈成人和孩子〉？【解析】设参加的男宾有x 人,女宾有y 人,则由题意得方程：()11301006021603x y x y +++⨯=,即1501202160x y +=,化简得5472x y +=．这个方程有四组解：413x y =⎧⎨=⎩,88x y =⎧⎨=⎩,123x y =⎧⎨=⎩和018x y =⎧⎨=⎩,但是由于有13的成人带着孩子,所以x y +能被3整除,典例分析检验可知只有后两组满足．所以,这个活动共有()1123123203++⨯+=人或11818243+⨯=人参加．例3、甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A 配件与一个B 配件组成．甲每天生产300个A 配件,或生产150个B 配件；乙每天生产120个A 配件,或生产48个B 配件．为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品？【解析】假设甲、乙分别有x 天和y 天在生产A 配件,则他们生产B 配件所用的时间分别为(10)x -天和(10)y -天,那么10天内共生产了A 配件(300120)x y +个,共生产了B 配件150(10)48(10)198015048x y x y ⨯-+⨯-=--个．要将它们配成套,A 配件与B 配件的数量应相等,即300120198015048x y x y +=--,得到7528330x y +=,则3302875y x -=．此时生产的产品的套数为330283001203001201320875y x y y y -+=⨯+=+,要使生产的产品最多,就要使得y 最大,而y 最大为10,所以最多能生产出132********+⨯=套产品．例⒋有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要48天完成,现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了 天．【解析】设完成这项工程用了a 天,其间丙休息了b 天．根据题意可知：1111136304848a b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,591172048a b -=,化简得5915720a b -=．由上式,因为15b 与720都是15的倍数,所以59a 必须是15的倍数,所以a 是15的倍数,在a b > 的条件下,只有15a =,11b =一组解,即丙休息了11天．例5、实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数．【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x 人和y 人,那么有：53306x y +=．由于知道中巴车的载客人数,也就是知道了y 的取值范围,所以应该从y 入手．显然3y 被5除所得的余数与306被5除所得的余数相等,从个位数上来考虑,3y 的个位数字只能为1或6,那么当y 的个位数是2或7时成立．由于y 的值在20与25之间,所以满足条件的22y =,继而求得48x =,所以大巴车的载客人数为48人．例6、公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x 、y 、z 只,根据题意,得方程组 1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②由⒉3⨯-⒈,得148200x y +=,即：2001472584x y x -==-,因为x 、y 为正整数,所以不难得出x 应为4的倍数,故x 只能为4、8、12,从而相应y 的值分别为18、11、4,相应z 的值分别为78、81、84．所以,方程组的特殊解为41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．考点三：不定方程与生活中的应用题例⒈某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度,则每度收5角；若超过50度,则超出部分按每度8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电？【解析】3元3角即33角,因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲、乙两用户用电的情况一定是一个超过了50度,另一个则没有超过．由于甲用户用电更多,所以甲用户用电超过50度,乙用户用电不足50度．设这个月甲用电()50x +度,乙用电()50y -度．因为甲比乙多交33角电费,所以有8533x y +=．容易看出1x =,5y =,可知甲用电51度,乙用电45度．例⒉马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元．年终,马小富从两家公司共获薪金7620元．他在甲公司打工 个月,在乙公司兼职 个月．【解析】设马小富在甲公司打工a 月,在乙公司兼职b 月〈a b >,a 、b 都是不大于12的自然数〉,则有4703507620a b +=,化简得4735762a b +=．若b 为偶数,则35b 的末位数字为0,从而47a 的末位数字必为2,这时6a =．但6a =时,48035b =不是整数,不合题意,所以b 必为奇数．b 为奇数时,35b 的末位数字为5,从而47a 的末位数字为7,1a =或11a =．但1a =时容易看出a b <,与a b >矛盾．所以,11a =,代入得()7624711357b =-⨯÷=．于是马小富在甲公司打工11个月,在乙公司兼职7个月．例3、小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛,一共有100道题,每个人各解出其中的60道题,有些题三人都解出来了,我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来,我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来,我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出,则难题比容易题多 道． 【解析】设容易题、中等题和难题分别有x 道、y 道、z 道,则100(1)32180(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,由(1)2(2)⨯-得222(32)200180x y z x y z ++-++=-,即20z x -=,所以难题比容易题多20道．例⒋某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差,到今天为止正好就是111．”请问：他是在哪一天出生的？【解析】设男孩的年龄为x 个年和y 个月,即12x y +个月,由此有方程式：12111x y x +-=,也就是1111101x y +=⨯+,得到11011y x -=+,由于012y <≤而且111y -是整数,所以,1y =,10x =,从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日,为1993年1月16日．➢ 课堂狙击⒈甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】设甲搬的是18x 块,乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数,所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈,所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =,得到9x =；12y =时1824x =,此时x 不是整数,矛盾．所以甲搬了162块,乙搬了138块,甲比乙搬得多,多24块．实战演练2、单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子都种6棵树,他们一共种了216棵树,那么其中有多少名男职工？【解析】因为有13的职工各带一个孩子参加,则职工总人数是3的倍数．设男职工有x 人,女职工有y 人．则职工总人数是()x y +人,孩子是3x y +人．得到方程：()131036216x y x y +++÷⨯=,化简得：5472x y +=．因为男职工与女职工的人数都是整数,所以当3y =时,12x =；当8y =时,8x =；当13y =,4x =．其中只有31215+=是3的倍数,符合题意,所以其中有12名男职工．3、14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号钢珠每个重8克,小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【解析】设大、中、小号钢珠分别有x 个,y 个和z 个,则：14(1)1285100(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⋅⎩(2)(1)5-⨯,得7330x y +=．可见7x 是3的倍数,又是7的倍数,且小于30,所以只能为21,故3x =,代入得3y =,8z =．所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个．⒋某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服？【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x 天和y 天,则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x -天和(21)y -天,那么总共生产了上衣(1618)x y +件,生产了裤子20(21)24(21)9242024x y x y ⨯-+⨯-=--件．根据题意,裤子和上衣的件数相等,所以16189242024x y x y +=--,即67154x y +=,即15476y x -=．那么共生产了15472216181618410633y x y y y -+=⨯+=-套衣服．要使生产的衣服最多,就要使得y 最小,则x 应最大,而x 最大为21,此时4y =．故最多可以生产出22410440833-⨯=套衣服．5、每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人．现有378人,要使每个人都上车且每辆车都装满,需要大、小汽车各几辆？【解析】设需要大、小汽车分别为x辆、y辆,则有：5436378x y+=,可化为3221x y+=．可以看出y是3的倍数,又不超过10,所以y可以为0、3、6或9,将0y=、3、6、9分别代入可知有四组解：19xy=⎧⎨=⎩；或36xy=⎧⎨=⎩；或53xy=⎧⎨=⎩；或7xy=⎧⎨=⎩即需大汽车1辆,小汽车9辆；或大汽车3辆,小汽车6辆；或大汽车5辆,小汽车3辆；或大汽车7辆．6、某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分,按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分,按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元,乙用户比丙用户多交3.75元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？〈用电都按整度数收费〉【解析】由于丙交的电费最少,而且是求甲、乙电费的关键,先分析一下他的用电度数．因为乙用户比丙用户多交3.75元,所以二者中必有一个用电度数小于10度〈否则差中不会出现0.05元〉,丙用电少,所以丙用电度数小于10度,乙用电度数大于10度,但是不会超过20度〈否则甲、乙用电均超过20度,其电费差应为1.50的整数倍,而不会是7.10元〉．设丙用电〈10x-〉度,乙用电〈10y+〉度,由题意得：0.450.8 3.75x y+=91675x y+=97516x y=-75169yx-=所以y是3的倍数,又,x y均为整数,且都大于0小于10所以3y=,7516339x-⨯==所以丙用电1037-=度,交电费0.457 3.15⨯=元；乙交电费3.15 3.75 6.90+=元,甲交电费6.907.1014.00+=元,三户共交电费3.15 6.9014.0024.05++=元．7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分〈成绩都是整数〉的测验．已知：甲得了4分,乙得了最高分,丙的成绩与甲、丁的平均分相等,丁的成绩刚好等于五人的平均分,戊比丙多2分．求乙、丙、丁、戊的成绩．【解析】法一：方程法． 设丁的分数为x 分,乙的分数为y 分,那么丙的分数为42x +分,戊的分数为48222x x +++=分,根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”,有485422x x x x y ++=++++,所以310x y =+．因为10x y <≤,所以310101020x y =++=≤,31010x y x =+>+,得到2053x <≤,故6x =,代入得8y =．所以丁得6分,丙得5分,戊得7分,乙得8分．法二：推理法．因为丁为五人的平均分,所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等,所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高,所以乙、丙、丁、戊都不是最低分,那么甲的成绩是最低的．因为甲是4分,所以丁可能是6分或8分〈由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数〉,经检验丁得8分时与题意不符,所以丁得6分,则丙得5分,戊得7分,乙得8分．➢ 课后反击⒈某人打靶,8发共打了53环,全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【解析】假设命中10环x 发,7环y 发,5环z 发,则8(1)107553(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⋅⎩由⑵可知7y 除以5的余数为3,所以4y =、9……如果y 为9,则76353y =>,所以y 只能为4,代入原方程组可解得1x =,3z =．所以他命中10环1发,7环4发,5环3发．⒉小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声；若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声,晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x 次,晚上见面y 次．根据题意有：3561x y +=〈15x ≤,15y ≤〉．可以凑出,当2x =时,11y =；当7x =时,8y =；当12x =时,5y =．因为小花狗共叫了()2x y + 声,那么()x y +越大,小花狗就叫得越多,从而波斯猫叫得越少,所以当12x =,5y =时波斯猫叫得最少,共叫了1123527⨯+⨯=〈声〉．3、小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多,鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【解析】这是一道鸡兔同笼问题,但由于已知鸡兔腿的总数,而不是鸡兔腿数的差,所以用不定方程求解．设小峰养了x 只兔子和y 只鸡,由题意得：4224x y +=即：212x y +=,122y x =- 这是一个不定方程,其可能整数解如下表所示：x 0 12 3 4 5 6 y 12 10 8 6 4 20 由题意x y >,且x ,y 均不为0,所以5x =,2y =,也就是兔有5只,鸡有2只．⒋有两小堆砖头,如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【解析】设第一堆砖有x 块,则根据第一个条件可得第二堆砖有()2300x -块．再设从第二堆中取出y 块放在第一堆后,第一堆将是第二堆的6倍,可列方程：()62300x y x y +=⨯--,化简得7180011y x +=,那么()77718001116311y x y +=+÷=+． 因为x 是整数,7与11互质,所以()1y +应是11的倍数,y 最小是10,推知x 最小是()7101163163717011⨯++=+=,所以,第一堆中的砖头最少有170块．5、某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发给6支,二等奖每人发给3支,三等奖每人发给2支,后来改为一等奖每人发13支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支．那么获二等奖的有 人．【解析】法一：根据“后来改为一等奖每人发13支”,可以确定获一等奖的人数小于3．否则仅一等奖就要发不少于39支铅笔,已超过35支,这是不可能的．分别考虑一等奖有2人或者1人的情况：⒈获一等奖有2人时,改变后这2人共多得()136214-⨯=支,那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔．由于改变后二等奖多得1支,三等奖少得1支,所以三等奖应比二等奖多14114÷=人,这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的．但此时三等奖至少14人,他们的铅笔总数至少为1321414035⨯+⨯=>,所以这种情况不可能发生．⒉获一等奖有1人时,类似前面情况的讨论,可以确定获三等奖的人数比二等奖多()()136217-÷-=人,所以获二等奖的有()()351371413--⨯÷+=〈人〉．经检验,获一等奖1人,获二等奖3人,获三等奖10人符合题目要求,所以有3人获二等奖．法二：设获一、二、三等奖的人数分别有x 人、y 人、z 人,则有方程组：63235(1)13435(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩由(2)2(1)⨯-将z 消元,则有20535x y +=,即47x y +=,显然该方程的正整数解只有13x y =⎧⎨=⎩,继而可得到10z =．所以获二等奖的有3人． 6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有100名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的12.5%,而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【解析】由于参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数,占初赛时女选手人数的12.5%,所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数,参加初赛的女选手的人数应是8的倍数．设参加初赛的男生为5x 人,参加初赛的女生为8y 人．根据题意可列方程：58100x y +=．解得125x y =⎧⎨=⎩,或410x y =⎧⎨=⎩． 又因为参加决赛的女选手的人数,比参加决赛的男选手的人数多,也就是y 要比x 大,所以第一组解不合适,只有4x =,10y =满足．故参加决赛的男选手为4人,女选手为10人．7、甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【解析】设甲、乙原有糖分别为x 粒、y 粒,甲给乙的数量为z 粒,则依题意有：2()3()x z y z x z y z -=+⎧⎨+=-⎩,且2020x y ≤⎧⎨≤⎩．整理得230(1)340(2)x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩由⑴得23x y z =+,代入⑵得70z y -=,即7y z =．因20y ≤,故1z =或2z =．若2z =,则14y =,214323420x =⨯+⨯=>,不合题意．因而1z =,对应方程组有唯一解17x =,7y =,1z =．则甲、乙共有糖17724+=粒．⒈〈资优博雅杯〉用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为___________________.【解析】若是四位数abcd ,则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤,矛盾,四位以上的自然数也不可能。
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。
古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。
问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得了61分。
问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。
张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。
每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级奥数第二十四讲 不定方程 全集
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级上奥数试题——第8讲.不定方程(人教版)含解析
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。
在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。
因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
1． 不定方程的试值技巧 2． 不定方程的经典题例【例1】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚?【分析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头。
由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为917x y =。
当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=（个）。
基本题型不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x ，y ，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x ，y ，z ，这是一个三元不定方程组问题。
经典精讲教学目标不定方程第八讲【例2】 把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。
可列式11132001x y +=，要让y 取最大值，可把式子变形为2001111315312132122153131313x x x xy x -⨯+-++===-+，当7x =时，146y =。
小学数学六年级奥数《不定方程(二)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《不定方程（二）》练习题（含答案）一、填空题1.△+☆= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?———————————————答案—————————————————————— 1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5. 2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ① 易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个). 3. 11.设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x 22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有 ⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a . 7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②8. 3.设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y .由已知 216631310=⨯+++yx y x 即 7254=+y x 72)(4=++y y x 由12|4(x + y ),12|72. 所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2为z y x ,,,则 ()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程 )100(2350)100(y x x y +=-+, 其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4,…,48. 又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以 98563=+x 或298⨯. 所以 324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得 )1(122-⨯=+⨯x n x , 所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24. 若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则 ⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x消去z 得 380517=+y x ①所以 175380yx -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即 17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有: ⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x2×②得 4422818=++y x ③ ③-①得 22512=+y x ④ 解④求得整数解为x=1, y=2. 代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.①②14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③ 所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9. 由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A 物3个,B 物12个.①②。
六年级上奥数第3讲 不定方程
六秋第3讲不定方程一、教学目标当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
二、例题精选【例1】求下列方程的自然数解：①23x+16y=500 ②39x+30y=267【巩固1】求下列方程的自然数解：①3x+5y=127 ②11x+12y=160【例2】小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400.你知道小明的生日是几月几日吗?【巩固2】有大小、两种蛋糕。
一个大蛋糕够7个人吃，一个小蛋糕够4个人吃。
现在有100人需要招待，应该分别准备大、小蛋糕多少个才不会浪费？【例3】张师傅每天能缝制 3 件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20 天共缝制上衣和裙裤 134 件.那么其中上衣是多少件？【巩固3】要把一根长 36.9 厘米的木料锯成长 3.9 厘米和 6.9 厘米两种规格的小木料.每锯一次要耗损0.1厘米的木料，要求除了每次锯木时的损耗外不能浪费.那么这两种规格的木料各锯多少段?【例4】 某工厂为优秀职工发奖金,一等奖每人 1800 元,二等奖每人 1200 元,三等奖每人 800 元,每种奖都有人领,共有 15 名优秀职工领有奖金的总数为 16000 元, 获得一、二、三等奖的职工各有多少人?【巩固4】有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人，每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地.问：其中足球场、排球场和篮球场各几个?【例5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付60元，现有31的成人各带了一个孩子，主办方总共收到了2160元。
六年级奥数训练第11讲不定方程
六年级奥数训练第11讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．典型问题兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？1 5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有3的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？拓展篇1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒?9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱?12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．超越篇1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元?6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品多少种不同的买法?7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能放在天平的一边)8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次?。
六年级奥数：第40讲 不定方程
第40講不定方程一、知識要點當方程的個數比方程中未知數的個數少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
這種方程的解是不確定的。
如果不加限制的話，它的解有無數個；如果附加一些限制條件，那麼它的解的個數就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小於5的整數，那麼解就只有x＝3，Y＝2這一組了。
因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。
解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數用另一個未知數來表示，然後再一定範圍內試驗求解。
解題時要注意觀察未知數的特點，儘量縮小未知數的取值範圍，減少試驗的次數。
對於有3個未知數的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。
解答應用題時，要根據題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當的值。
二、精講精練【例題1】求3x+4y＝23的自然數解。
先將原方程變形，y＝23－3x4。
可列表試驗求解：所以方程3x+4y＝23的自然數解為X=1 x=5Y=5 y=2 練習11、求3x+2y＝25的自然數解。
2、求4x+5y＝37的自然數解。
3、求5x－3y＝16的最小自然數解。
【例題2】求下列方程組的正整數解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2這是一個三元一次不定方程組。
解答的實話，要先設法消去其中的一個未知數，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式變形，得y＝4－x。
因為x、y、z都是正整數，所以x只能取1、2、3.當x＝1時，y＝3當x＝2時，y＝2當x＝3時，y＝1把上面的結果再分別代入①或②，得x＝1，y＝3時，z無正整數解。
x＝2，y＝2時，z也無正整數解。
x＝3時，y＝1時，z＝1.所以，原方程組的正整數解為x＝1y＝1z＝1練習2求下麵方程組的自然數解。
六年级奥数拉分提升-第33讲不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
1．倍数确定法
2．尾数确定法
3．余数确定法
4．崔氏瞪眼法
5．蒙猜凑试多位一体傻算法
(★★)
搞定以下三个小题，别用傻算法啦(*^__^*)
()145100x y +=
()24598x y += ()34599x y +=
(★★★)
求7x ＋19y ＝213的所有正整数解。
(★★★)
崔气球把他的生日的月份乘以30，日期乘以11，然后加起来和数是350，他是生日是几月几日？
(★★★)
大客车有48个座位，小客车有30个座位.现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位。
需要大、小客车各多少辆？
(★★★)
豆花和麦口是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，豆花叫两声，麦口叫一声；若是晚上见面，豆花叫两声，麦口叫三声。
帅帅对它们的叫声统计了不定方程。
六年级奥数专题不定方程
十一、不定方程（一）年级班姓名得分 一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□=.2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有道题没答.3.x 是自然数,∙∙=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是.4.不定方程172112=+y x 的整数解是.5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是.6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b的最小值等于.7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以74100y x +=≥72147100=.又x +y ≤20 ② 所以x ≤20-y ≤20,故7214≤x ≤20.又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除, 推知a=9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解. 5. 1975.设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997 整理得:87211=+b a所以11287ba -=由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b -≤111071187=,即1136≤a ≤11107.故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b ) 即 12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x① ②①×40-②,得()742120=-y n ,即5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b ,2a+3b .上面各个数的和是200,得到 5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x , 891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得10047=+y x . 又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=.① ②所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得1002-=x y .代入②整理得1800711=-z x .所以11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.十一、不定方程（二）年级班姓名得分 一、填空题①②1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆=.2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是.5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?———————————————答案——————————————————————1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a.依题意,得n an n =++⨯915%25整理得9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x整理得1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y . 由已知216631310=⨯+++yx y x 即7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=.所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,则()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以98563=+x 或298⨯.所以324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾.因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得380517=+y x ①所以175380yx -=由0<y <40得176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得4422818=++y x ③ ③-①得22512=+y x ④①②学习好资料 欢迎下载解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有: ⎩⎨⎧--=+--=+n m b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得)(9)(8m n a b -=-③ 所以)(98m n -,故m n -8, 由b >a ,n <10知m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.① ②。
小学六年级奥数不定方程(最新)
【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。
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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。
问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。
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【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切这样三位数的和.
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足 ，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵ ，∴ ，
由题意可得，n≠8，∴ ，
∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
由题意可知 解得 相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
根据定理2， 是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 有：
定理1若 且d不能整除c，则不定方程 没有整数解；
定理2若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解），则 （t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中 ,且d能整除c）.
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
如何解这个不定方程组翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉
〈方法二〉
〈方法三〉
【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
【例2】求方程 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
1.理解不定方程（组）的含义
2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法
重点、难点
重点：不定方程定理的理解
难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用
考点及考试要求
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.
教学内容
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
定理3若 是不定方程 ， 的特解，则 是方程 的一个特解.（其中 ,且d能整除c）.
求整系数不定方程 的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解；
（2）求出一个特解；
（3）写出通解；
（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
龍腾学科教师辅导讲义
讲义编号LTJYsxsrl005
学员编号：LTJY001年级：六年级课时数：3
学员姓名:王窈瑾辅导科目：数学学科教师：孙仁龙
学科组长签名及日期
2015.01.14
教务长签名及日期
课题
一次不定方程（组）的整数解问题
授课时间：2015.01.15
备课时间：2015.01.02
教学目标
由原方程可得 ，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为 .
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
【实践】求方程 的正整数解.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知 是一个特解，通解为
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为： ，观察得到 是 的一组整数解（特解），