第四讲概率分布

16
第一节 正态分布
Z变换
Z
X

17
第一节 正态分布——标准正态分布
若X服从正态分布 N(μ ，σ 2)，经此变换后， 则Z就服从均数为0，标准差为1的正态分布，这 种正态分布称为标准正态分布，用 N（0，1）表示，这种变换称为标准化变换， 又称Z变换。
18
0.4
0.35
0.3
4
第一节 正态分布
正态曲线是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降 并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟 型曲线。
5
第一节 正态分布
正态分布曲线的密度函数
1 f (X ) e 2
( X ) 2 2 2
,
X
此函数式中有四个常数: 为圆周率 e 为自然对数的底，2.71828 与 是两个不确定的常数
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 90
100
不同， 相同
110
120
130
140
150
8
图 不同均数的正态分布
9
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 90
100
110
120
130
140
150
160
相同， 不同
10
图 不同标准差的正态分布
下限：X -1.96S =55.26-1.96×0.38=54.52 (1012 /L) 上限： X +1.96S =55.26+1.96×0.38=56.00( 1012 /L)
33
第一节 正态分布——制定医学参考值范围注意
95％医学参考值范围仅仅告诉我们95％某特定人 群的某项指标测定值在此范围内，并不能说明凡 在此范围内都正常；也不能说明凡不在此范围内 的都不正常。因此医学参考值范围在临床上只能 作为参考，不能作为诊断指标。
P X 4 P4 P5 1 P( X ) 0.5282
3 X 0
38
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
（二）二项分布的特征
二项分布的均数与标准差
n
总体标准差为：
n (1 )
二项分布的图形和正态近似
39
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
1 P( X k 1) 1 P( X )
X 0
37
k 1
若问至多4例有效的累积概率，记作 P X 4
P X 4 P0 P1 P2 P3 P4 1 P5 0.8319
若问至少4例有效的累积概率，记作 P X 4
29
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
例如：某市欲制定学龄前儿童血铅的参考值范围
观察对象定为： ①年龄为3~6岁，在本市居住1年以上；
②无肝、肾等器质性病变；
③无铅接触史；
④无特殊的饮食习惯；
⑤测定前3天未进食含铅高的食物。
30
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
21
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
22
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
23
第一节 正态分布——标准正态分布

标准正态分布曲线下 (-1.96, 1.96)区间面积占总面积(或总观察例数) 的95%。 (-2.58, 2.58)区间面积占总面积(或总观察例数) 的99%。
P( X k ) P0 P(1) P(2) P(k ) 次试验中至少发生阳性数为k的累积概率 P(x≥k)
P( X k ) Pk P(k 1) P(n)
X k
P( X )
n
1 ( P(0) P(1) P(k 1))
中医药统计学与软件应用
曹治清
成都中医药大学管理学院 数学与统计教研室 czq9771@163.com
第4讲 概率分布
正态分布
二项分布和泊松分布
三大分布
医学参考值范围的制定
2
25 20 15 10 5 0 109 113 117 121 125 129 133
10 8 6 4 2 0 105 109 113 117 121 125 129 133
13
第一节 正态分布
用μ 和 σ 两个参数就可以描述一个正态分布， 习惯上用N（ μ ， σ 2）表示均数为μ ，标准 差为σ 的正态分布。 例如，某年某市城区5岁女孩的身高X服从均数为 110.15cm，标准差为5.86cm的正态分布，可记为 X～N（110.15，5.862）。 正态分布在医学科研中应用很广，因为有很多医 学现象是服从正态分布或近似正态分布的。比如 同性别、同年龄儿童的身高，同性别健康成人的 红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等。
＜ X 1.64S ＜P95
31
例2.21
某地调查正常成年男子200人的红
细胞数得均数=55.26×1012/L，标准差
S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年男子
红细胞数的95%参考值范围。
32
因红细胞数过多或过少均属异常，故取双侧。该地正常成年男子红细胞数 的95%参考值范围为
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
第一节 正态分布——标准正态分布
为了方便应用，统计学家按标准正态分布的累积 概率分布函数(z)编制了附表2，标准正态分布 曲线下的面积，由表可查出曲线下-∞到z 区间 的面积。 因为正态分布两边对称，所以只给出了Z取负值 的情况。 标准正态曲线下面积用Ф （z）表示。
二项分布的正态近似 由统计学中的中心极限 定理（大样本的统计量服从正态分布）
41
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
当 n 时，二项分布近似于正态分布，二项分 布 X ~ B(k , n, ) 的极限分布就是正态分布 X ~ N (n , n (1 )) 这样，对于二项分布概率的计算，当n较大时， 就可以用正态分布的计算来替代，使得计算更 简化。
14
第一节 正态分布
正态曲线下面积的分布规律
实际工作中经常要知道正态曲线下横轴上一定区 间的面积占总面积的百分数，用以估计某变量值 落在该区间的例数占总例数的百分数，或变量值 落在该区间的概率。 对应于不同的参数μ 和σ 会产生不同位置、不同 形状的正态分布，(X1，X2)范围内的面积也不同。 例如，当μ =0，σ =1时，在(-1.96，1.96)范围 内正态曲线下的面积为95%；而当μ =0，σ =1.96 时，在(-1.96，1.96)范围内正态曲线下的面积 就不是95%，而是68.26%。 15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
标准正态分布N(0, 1)
19
0 .4
0 .3 5
0 .3
( z )
z
-
1 e 2
- z2 2
dz
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
z 标准正态分布曲线下从-∝到z之间的面积（ (z) ） 20 示意图
（三）二项分布的应用
二项分布是伯努利概率模型，必须满足其试验条 件：对立性、独立性、重复性
42
k (a)
k-0.5 k k+0.5
k-0.5
k k+0.5
(b)
(c)
二项分布连续性校正和正态近似示意图
43
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
【例5-3】 某地区流行某种传染病，人们受感染的概率 为20%，在该地区某单位共有30人，问：(1) 该单位被 传染人数的平均值、标准差；(2) 现对该单位每人注射 一种能预防该传染病的疫苗，注射后至多有1人被传染， 试推断该疫苗是否真的有效。 ① 平均数 6；标准差 2.19 ②假设该疫苗无效，人们受感染的概率为0.20，不被感 染的概率为0.80，30人中至多有1人被传染的概率也就 是至少29人不被感染的概率为：
1.500 1.672 z2 0.58 0.298
26
0 .4
0 .3 5
0 .3
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0 -4
(z2 ) ( z1 ) 0.2810 0.0571 0.2239
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
27
第一节 正态分布——正态分布的应用
第一节 正态分布
①正态分布曲线下与横轴间的面积为1.
②区间(, )内的面积或概率为0.683，区间外为0.317，左 右两侧各为0.1585.
③区间(,)内的面积或概率为0.95，区间外为0.05，左右两 侧各为0.025 . ④区间在(,)内的面积或概率为0.99，此区间外为0.01，左 右两侧各为0.005 .
107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133
3
第一节 正态分布
（一）正态分布的概念
正态分布的图形也称正态曲线，是呈对称的钟形 曲线，它是一条两端低，中间高的有对称轴的曲线 ，最早由德国数学家 Gauss在描述误差分布时所发现 。如频数分布图5-1所示，当样本量不断增大时，分 组就会越来越多，组距就会越来越小，图中的直方 逐渐变窄，整个图形将逐渐形成一条高峰位于中央 ，两侧逐渐降低且左右对称接近光滑的曲线，近似 于数学上的正态分布曲线。可以想象，当样本量增 加至总体数量时，变量的频率分布曲线即为正态分 布曲线，变量的分布称为正态分布。正态分布也称 Gauss分布、“钟形”分布。
确定医学参考值范围 做质量控制图 许多统计方法的理论基础
28
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除 了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定 人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物 含量等数据中大多数个体的取值所在的范围。 习惯上取该人群95％的个体某项医学指标的取值 范围为该指标的医学参考值范围。
ຫໍສະໝຸດ Baidu

24
例：已知120名9岁男孩肺活量均数标准差下：
X 1.672 L, S 0.298L
欲估计该市肺活量介于1.200~1.500 L范围
内的9岁男孩的比例 。
25
当分布不是标准正态分布，但已知，和
X 时，先按式
z
X
查表求得曲线下某区间的面积。

求得z值，再
1.200 1.672 z1 1.58 0.298
34
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
（一）二项分布的概念
【例5-2】 用某药治疗慢性支气管炎，若该药的 有效率为70%，用该药试治5例慢性支气管炎患者， 问4例有效的概率是多少？ 特点：对立性、独立性、重复性 贝努力试验：在相同条件下进行大量重复、独立 的试验，其结果是相互对立的两个结果。 具备这三点，n次中有k次有效（或无效）的概率 分布就是二项分布 记为B（k,n,π）
11
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
、 变化
12
第一节 正态分布
（二）正态分布的特征
关于均数对称。 曲线在均数处最高，在μ ±σ 处有拐点，表现 为钟形曲线。 曲线下面积之和为1。 曲线有两个参数， μ 和σ 。 曲线下面积分布有一定规律。
二项分布的图形的形状与二个参数n和π有关， 当 0.5 时，图形对称；当 0.5时，图形呈偏态， 随着当样本量n的增大，图形逐渐趋于对称。

图5-5
π 为0.5，n为5、10、30时二项分布的概率分布图
40
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布

图5-6
π =0.3，n为5、10、30时二项分布的概率分布图
正态分布法：正态分布资料 百分位数法：任何分布资料
异同点 相同点 区 别 点 分布类型 指标特征 正态分布法 1.同质人群 百分位数法
2.n≥100
正态分布
X 1.96S
任何分布
过高过低均异常（Hb）
（P2.5，P97.5）
过低异常（肺活量） ＞ X 1.64S ＞P 5
过高异常（尿铅）
6
第一节 正态分布
μ 为总体均数，决定曲线在横轴上的位置，又 称位置参数， μ 增大，曲线沿横轴右移；反 之， μ 减小，曲线沿横轴左移。 σ 为总体标准差，决定曲线的形状，又称形 态参数，当μ 恒定时， σ 越大表示数据越分 散，则曲线越矮胖， σ 越小表示数据越集中， 则曲线越高瘦。
7
0.08
35
P( X k ) C (1 )
k n k
n k
n! C k!(n k )!
k n
P( X 4) C (0.7) (0.3)
4 5 4
1
36
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
n次试验中刚好发生阳性数为k的概率P(x=k) n次试验中至多发生阳性数为k的概率P (x≤k)