不等式解法探究论文
不等式论文50篇
形面积的最小值. (1998 年
上海市高中数学竞赛)
解: 不妨设三个顶点中
有两个在 y 轴右侧 (包括 y
图1
轴) , 且设 A 、B 、C 三点的坐标分别为 (x 1, y 1)、
(x 2, y 2)、(x 3, y 3) , B C 的斜率为 k (k > 0) , 则有
y 3 - y 2 = k (x 3 - x 2) ,
3 3
,x
=
Π3 .
即当 x =
Π 3
时,
y
取最小值
3.
本题虽关于三角函数, 可以用三角函数的
其 它方法求解, 但是用均值不等式可以减少运
算量, 不过值得注意的是一定要看“= ”能不能
成立. 例 3 设S n = 1 + 2 + 3 + … + n, n ∈ N,
求 f (n) =
(n +
Sn 32) S
a1 + a2 + …+ an < 2 ( n + a - 2) .
(收稿日期 :2005 204 204)
2005 年 第 44 卷 第 7 期
数学通报
29
教材中一类不等式的教学设计
———在“玩”中学习数学
王文清
(山东省滨州市教研室 256618)
2000 年定居我国天津的美籍华人大数学家陈 省身先 生 给 青 少 年 数 学 爱 好 者 的 题 词 是“数 学 好 玩”. 这充分表达了一位大数学家对数学的浓厚兴 趣. 还有的数学家说“数学是玩出来的”. 这说明数 学学习不应当是枯燥乏味的 、晦涩难懂的 , 而应当 是通过积极的智力参与 , 从变化数学知识的形式 、 内容出发 , 在“玩”中学习数学 、理解数学 、研究数 学 、做数学 、发现数学. 让学生在体味“数学是玩出 来的”同时 , 让学生感到“数学好玩”.“数学是玩出 来的”中的“玩”不仅有“变式 、变换 、猜想 、探索 、推 广 、应用”的含义 , 而且要环环相扣 , 使数学学习变 成一系列的“智力游戏”. 下面以人教社全日制普通 高级中学教科书 ( 试验修订本 ·必修) 数学第二册 (上) 第六章不等式中的一类不等式的教学为例 , 看 “数学是怎样玩出来的”.
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是数学中的重要概念，在许多数学问题中都扮演着非常重要的角色。
不等式的解题涉及到各种各样的情况和技巧，需要一定的策略和方法来解决。
本文将探讨关于不等式知识解题的策略研究，帮助读者更好地掌握不等式解题的技巧和方法。
一、不等式的基本概念让我们来回顾一下不等式的基本概念。
不等式表示了两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等多种形式。
在不等式中，通常会包含未知数，我们的目标是找到未知数的取值范围。
对于不等式5x+3>13，我们需要找到x的取值范围使得不等式成立。
在解不等式时，我们需要考虑到不等式的性质和规律，灵活应用各种方法来解题。
下面就是一些关于不等式解题的策略研究，希望对广大读者有所帮助。
二、不等式解题的策略研究1. 利用增减性质不等式中的增减性质是解题时非常重要的一种策略。
如果我们发现一个函数在某个区间内是增函数或者减函数，那么我们可以利用这个性质来解不等式。
对于不等式2x+1 < 5x-3，我们可以将不等式化简为x>-2，这样就用到了函数2x+1和5x-3的增减性质。
2. 将不等式化简为已知的形式有时候，我们可以将一个复杂的不等式化简为一个已知的形式，然后再求解。
对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以先将它化简为(x-1)(x-3)>0，然后根据乘积的正负性得出x的取值范围。
3. 利用绝对值不等式4. 利用替换法分析法是解不等式时的另一种常见策略。
有时候，我们可以通过对不等式进行分析，找出其特殊的性质或规律，然后再求解。
对于不等式x^2-4x+4>0，我们可以通过分析得出x的取值范围是x≠2。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究不等式是初中数学学习中的一个重要内容，它是一种建立数值之间关系的数学符号体系，可以描述数值的大小关系，解决实际问题中的数值关系问题。
在不等式的解题过程中，需要注意策略，才能解决问题。
本文将探讨关于不等式知识解题的策略研究。
第一、判断不等式类型并确定解题思路不等式可以分为一元不等式、二元不等式、绝对值不等式等类型。
在解题前需要明确不等式的类型并确定解题思路。
对于一元不等式，可以通过移项、整除等方法解题；对于二元不等式，则可以通过坐标系分析、消元、配方法等方法解题；对于绝对值不等式，则可以通过绝对值分段法解决问题。
第二、注意不等式的条件与精度在解题过程中，需要注意不等式的条件与精度。
有些不等式的取值范围需要在正数范围内解决，有些需要在实数范围内解决，还有一些需要在正整数范围内解决，需要根据题目要求确定范围。
精度方面，需要注意四舍五入、近似取值等问题，以保证计算结果的准确性。
第三、根据不等式的特点灵活运用不等式的性质不等式的特点具有传递性，可以将多个不等式联立起来解决问题；具有对称性，可以将不等式中的两个元素替换解决问题；具有可加性、可减性，可以加减等式的两端，不改变不等式的符号；具有倍乘性、倍除性等特点，可以通过倍乘除变形得到简单的式子。
第四、结合实际问题灵活应用不等式的知识在实际问题中，不等式的应用更加灵活，可以通过构造有效的不等式解决问题。
例如，在生活中，我们经常会遇到比较实用的问题。
如：种植面积固定，种植粮食收益为1元/㎡，种植油料收益为2元/㎡，如何分配种植面积，使得总收益最大。
这个问题就可以通过不等式的知识解决，假设油料面积为x，粮食面积为y，则总收益为1x + 2y，且需要满足x + y = m (m为种植面积)，则有1x + 2y ≤ 2m（利用均值不等式），即x ≤ m - 2y/1。
不等式证明毕业论文
不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。
常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。
二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。
这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。
例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。
接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。
2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。
最新高中数学不等式论文有哪些
最新高中数学不等式论文有哪些不等式是基础理论的重要组成部分，也是刻画日常生活、现实世界不等关系的数学模型，想必很多人都想知道高中数学不等式的论文。
接下来店铺为你整理了高中数学不等式论文，一起来看看吧。
高中数学不等式论文篇一摘要：数学是一门复杂并且神奇的学科，高中阶段是数学学习中的一个重要阶段，它不仅是将来升学考试中的一门重要学科，而且为将来的生活应用打下了坚实的基础。
不等式教学是高中数学中的重点和难点之一，因此，教师在数学教学中需要引导学生找到解不等式的根本方法，才能有效解决学习中所遇到的问题。
新课改后，数学思维成为数学教学中的本质所在。
本文主要论述高中数学中常见的数学思维种类，数学思维在不等式教学中的运用及意义，最后得出结论。
关键词：数学思维不等式高中数学应用意义引言使用一般的数学解题方法一般很难快速解答高中数学不等题目，不等式的探究需要借助严密数学思维推理分析证明两式之间的关系，这样学生在解题过程中能够快速找到解题的关键点和切入点，使学生少走弯路，也避免了学生在数学学习中由于找不到正确方法所导致的厌学等情绪。
所以在平时数学教学中要培养学生使用数学思维分析不等式题目的习惯，调动学生学习的积极性和主动性。
一、数学思维的种类高中数学思维主要有函数方程、数形结合、数学模型、化归、递推等，这些高中数学教学中的常见和关键方法，尤其是在不等式的运用中更是起到了事半功倍的作用。
一道数学题目不简简单单只是包含一个问题，它所覆盖的数学知识面是很广的，通过已知条件提出问题从而考察学生的思维能力。
分数只是总结分析学生学习结果的一种方式，教学者需要从学生答题过程中发现存在的问题，针对性地将数学思维渗透到教学中，提高学生对数学思维运用的意识[1]。
二、数学思维在不等式教学中的应用1.数形结合在不等式教学中的应用数形结合是指将数学和图像相结合，使不等式中比较抽象的问题具体化，加深学生的理解，例如，在题目y2+y-2>0中，可以先将不等式化为(y-1)(y+2)>0，然后先将不等式看做等式，得出两个解，即y=1和y=-2，然后根据不等式画出坐标图，通过之前所得出的根画出不等式的图形，从而快速得出不等式中y的取值范围。
高中数学论文解绝对值不等式题根探讨推荐
解绝对值不等式题根探讨题根四 解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
2）本题也可用数形结合法来求解。
在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。
第1变 右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
关于不等式知识解题的策略研究
关于不等式知识解题的策略研究【摘要】不等式在数学中是一种常见且重要的数学概念，解题能力对于学生来说至关重要。
本文旨在研究不等式解题的策略，通过掌握基本不等式性质、利用加减乘除法解不等式、使用图像法解不等式、利用代数方法解不等式以及灵活运用不等式知识来提高解题效率。
通过总结不等式解题的策略，为学生提供解题思路和方法，帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
结合实际例题，通过实践演练来加深对不等式解题策略的理解。
为提高不等式解题能力，提出建议如多做题、注重基础知识的巩固等方法。
希望通过本文的阐述，读者能够更好地理解和运用不等式知识，提升数学解题能力。
【关键词】不等式，解题，策略，基本性质，加减乘除法，图像法，代数方法，灵活运用，策略总结，建议，提高能力。
1. 引言1.1 不等式解题的重要性不等式在数学中是一个重要的概念，它是描述两个数之间大小关系的数学关系式。
不等式解题在数学学习中起到至关重要的作用，它不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能提高我们的逻辑推理能力和解决问题的能力。
通过解不等式题目，我们能够掌握基本不等式的性质，如大于、小于、大于等于、小于等于等不等式的定义和性质。
这为我们进一步学习和深化数学知识奠定了基础。
通过解不等式题目，我们能够锻炼自己的逻辑思维能力。
不等式解题常常需要我们灵活运用数学知识，分析问题，找到有效的解题方法，这能帮助我们提高逻辑推理能力。
不等式解题还能提高我们解决实际问题的能力。
不等式常常出现在生活中的各种问题中，比如经济学、物理学等领域中，通过解不等式问题，我们能够更好地理解和解决实际问题。
不等式解题在数学学习中是非常重要的，它能够帮助我们掌握基本的数学知识，提高逻辑推理能力，增强解决问题的能力，对我们的学习和生活都有着积极的影响。
我们应该重视不等式解题，努力提高自己在这方面的能力。
1.2 研究目的研究目的是为了深入探究不等式知识解题的策略，帮助学生掌握有效的解题方法，提高解题能力。
高考数学中不等式问题的深度解析数学系毕业论文
高考数学中不等式问题的深度解析摘要 : 文中就不等式的基础知识、证明方法等,在高考数学中的灵活运用的研究。
首先,正确认识不等式的应用在中学数学中的重要性;其次,必须熟练掌握不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础,与函数、方程等知识相结合;其次,注意运用分类讨论思想、函数思想、数形结合来解决遇到的问题;最后,在参考大量文献的基础上,先用不等式基本性质的运用,到不等式组解集的确定法,再到不等式证明方法的运用,以及函数求解不等式问题,总结出不等式证明的方法和技巧。
关键词: 不等式线性规划均值不等式数形结合不等式的基础知识1.1 不等式的概念:用不等号(,,?,?,≠)表示不等关系的式子叫做不等式。
用“”或“”连接的不等式,叫做严格不等式;用“?”或“?”连接的不等式,叫做非严格不等式。
1.2 不等式的基本性质(1)(对称性) (2)(传递性) (3)(可加性) (4)(5)(可乘性) (6)(7)(8)1.3基本不等式(均值不等式) 重要不等式:如果,那么(当且仅当时取“”)。
基本不等式:如果,那么(当且仅当时取“”)。
这里,我们称分别为正数的算术平均数和几何平均数。
因而基本不等式又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数。
同时,我们也经常称不等式为均值不等式。
1.4 基本不等式与最值设是正数,则有若若即“和定积最大,积定和最小”。
1.5 二元一次不等式(组)表示平面区域 (1)在平面直角坐标系中,直线将平面内所有的点分成三类:在直线上和直线两侧的两个半平面内。
其中一个半平面内的点的坐标适合不等式,即直线划分平面所称的两个平面内的点的坐标,分别满足不等式与。
因此,如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示。
(2)由于对在直线同意侧的所在点,实数的符号相同,所以判断不等式所表示的平面区域,可在直线的某一侧的半平面选取一个特殊点,如选原点或坐标轴上的点来验证的符号的正负,当时,常选用原点(0,0)来判断。
不等式证明方法的探毕业论文究
不等式证明方法的探毕业论文究目录一．不等式的概念：................................... - 1 - 二．不等式的证明方法................................. - 1 -1.比较法：........................................ - 1 -2.综合法：........................................ - 2 -3.分析法: ......................................... - 3 -4.数学归纳法: ..................................... - 4 -5.反证法: ......................................... - 6 -6.换元法: ......................................... - 7 -7.放缩法: ......................................... - 7 -8.利用单调函数法：................................ - 9 -9.利用微分中值定理：.............................. - 9 -10、利用不等式定理：............................. - 10 -11、利用泰勒公式：............................... - 11 -12、利用函数的极值法：........................... - 11 -13、中值定理法：................................. - 12 -14.利用函数的凹凸性：............................ - 12 -15.利用定积分理论：.............................. - 13 - 小结: ............................................... - 14 - 参考文献：.......................................... - 15 -一．不等式的概念：用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。
毕业论文《不等式在中学数学的应用》
摘要：在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量大小有关的问题，都要用到不等式的知识，在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多，但事实上只有不等式关系才使绝对的。
不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容。
所以不等式的内容是中学数学必不可少的。
本文通过理解掌握均值不等式、绝对值不等式来说明不等式在中学数学中的重要性，研究均值不等式、绝对值不等式所得相关结果，用于解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的实际问题，具有极为重要的意义。
关键词：不等式；均值不等式；绝对值不等式Inequality in middle school mathematics applicationUndergraduate: yu hongSupervisor: Wang Yuan LunAbstract: In our normal life and production .quantity is equal relations, also has the relation of inequality, normally have a size related problems, must use the inequality of knowledge. In the middle school mathematics at first seems inequality involves not much,but in fact only the inequality relationship that absolute. Inequality in middle school mathematics is a difficult knowledge,but in recent years the college entrance examination for inequality is quite seriously.So the inequality in middle school mathematics is a very important content. So the content of middle school mathematics inequality is essential. This article through the understanding of mean value inequality and absolute value inequality to illustrate the importance of inequality in middle school mathematics ,study of mean inequality, absolute value inequality of income related results, For solving the most value problem, proof of inequality and the actual life of the practical problems have very important significance.Key words:an inequality; the mean inequality; absolute value inequality目录绪论 (1)1 不等式 (1)1.1 不等式的由来 (1)1.2 不等式的定义 (1)1.3 不等式的基本性质 (1)1.4不等式解法 (4)2 .均值不等式和绝对值不等式 (6)2.1 均值不等式 (6)2.1.1 利用均值不等式证明不等式 (6)2.1.2 抓条件“一正、二定、三等”求最值 (8)2.1.3 抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化.92.1.4 利用均值不等式解应用题 (10)2.2 绝对值不等式 (13)2.2.1 几何意义 (13)2.2.2 应用举例 (13)总结 (18)参考文献 (19)致谢 (20)绪论均值不等式是高中数学中的重要知识点之一，应用均值不等式求最值是历年高考考查的重要知识点之一。
不等式毕业论文
不等式毕业论文不等式毕业论文引言：在数学中，不等式是一种重要的数学关系，它描述了变量之间的大小关系。
不等式在数学的各个领域中都有广泛的应用，例如代数、几何、概率统计等。
本篇论文将探讨不等式的基本概念、性质以及应用，以期帮助读者深入理解不等式的重要性和实用性。
一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它使用不等号（<、≤、>、≥）来表示变量之间的大小关系。
不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
线性不等式是指不等式中的变量的最高次数为1的情况，而非线性不等式则是指变量的最高次数大于1的情况。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这是不等式的基本性质，也是我们在日常生活中常常使用的逻辑推理。
2. 加法性：如果a>b，则a+c>b+c。
不等式的加法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时加上（或减去）同一个数。
3. 乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc。
不等式的乘法性质使得我们可以在不改变不等式的基本关系的情况下，对不等式两边同时乘以一个正数。
三、不等式的应用1. 经济学中的应用：不等式在经济学中有着重要的应用，例如在供需分析中，我们可以利用不等式来描述市场的平衡状态。
2. 几何学中的应用：不等式在几何学中也有着广泛的应用，例如在三角形的边长关系中，我们可以利用不等式来判断三角形的类型。
3. 概率统计学中的应用：不等式在概率统计学中也有着重要的应用，例如在概率分布的推导过程中，我们可以利用不等式来估计概率的上下界。
四、常见的不等式1. 柯西-施瓦茨不等式：柯西-施瓦茨不等式是数学中的一条重要不等式，它描述了内积空间中两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
柯西-施瓦茨不等式在线性代数、概率统计等领域中有着广泛的应用。
2. 马尔可夫不等式：马尔可夫不等式是概率论中的一条基本不等式，它描述了一个非负随机变量的上界估计。
高中数学不等式论文不等式论文
高中数学不等式解法及应用笮江苏省兴化市第一中学陈业摘要：从笔者对往年高考试卷分析来看，不等式的考查仍是考查重点之一，而且考查的形式多样，充满灵活性，需要考生及高中生认真掌握不等式相关知识，尤其是对诸如柯西不等式等的掌握。
在教学中发现，不少学生对不等式题无从下手，解答很费力，因此本文以不等式为研究对象，重点探讨其解法和应用，以期为提高学生解答不等式相关问题服务。
关键词：高中数学；不等式；应用及解法；探讨本文对高中数学不等式解法及应用进行研究，主要是通过几个常考点来阐述。
高考对知识的掌握，不是单单的考查简单的知识，而是充满了灵活性，考查学生的创新意识，那么学生掌握书本上简单的知识点是往往不够的，高考的题型是由简单的知识组合而来的，需要学生掌握通过现象看到本质的能力。
一、不等式中有关恒成立的问题及解答其实恒成立考查的就是不等式方面的东西，与函数最值或者极值有着间接的关系。
如下题目所示：例题：已知f(x)=x2-2bx+6，当x∈[0,+∞)时，f(x)≥b恒成立，求b 的取值范围？解答：根据题意可知，f(x)=x2-2bx+6=（x-b）2+6-b2从该函数图像中可以发出：该函数在x=b时候取值最小f(x) min=f(b)=6-b2≥b从而b+b2-6≤0，（b+3）（b-2）≤0，-3≤b≤2。
综上所述,所求b的取值范围-3≤b≤2二、分式形式的不等式问题及解答在填空或者选择题中，很容易出现分式形式的不等式，而且往往比较复杂，对于这一题型，是有窍门的，不需要计算繁杂的式子。
这个小窍门就通过例题来阐述：例题：x2-3x-4x2-x＞0求x的取值范围？解答：分子，分母通分：从而找出x的四个点，分别为-1、0、1、4。
在数轴上标出，因为不等式是大于0，那么在4的右边可以任意取一个值，比如5代入不等式中，得出大于0，那么曲线在4右边是在数轴上方的，按照这个顺序在这四个点上标出，形成了一条曲线，那么从中就可以看出，x的取值范围是（-∞,-1）U（0,1）U（4, +∞）。
数学论文--一道不等式题的26种解法(精编完美版)
一道不等式题的26种解法一道数学题，由思考的角度不同可得到多种不同的思路。
广阔寻求多种解法，有助于拓展解题思路，发展观察、想象、探察、探索及思维能力。
题目：已知a 、b 、m ∈R ＋，且a ＜b ，求证：a ＋m b ＋m ＞ab。
证法1(分析法)：欲证a ＋m b ＋m ＞ab ，只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ，只需证bm ＞am ，(m ∈R ＋)，只需证b ＞a ， ∵b ＞a 显然成立，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法2(综合法)：∵a ＜b 且a 、b 、m ∈R ＋∴bm ＞am ，∴ab ＋bm ＞ab ＋am ，即b (a ＋m )＞a (b ＋m ) ∵b ＋m ＞0，b ＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法3(求差比较法)：∵a 、b 、m ∈R ＋，且a ＜b ， ∴a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，∴a ＋m b ＋m ＞a b . 证法4(求商比较法)：左式右式＝ab ＋bmab ＋am， ∵a 、b 、m ∈R ＋，且a ＜b ，∴bm ＞am ，ab ＋bm ＞ab ＋am ，且右式＞0 ∴左式右式＞1，∴a ＋m b ＋m ＞a b. 证法5(反证法)：假设a ＋m b ＋m ≤a b ，∵a 、b 、m ∈R ＋，∴(a ＋m )b ≤a (b ＋m ),即bm ≤am ，∴b ≤a ，这与题设a ＜b 产生矛盾，∴假设不成立，故a ＋m b ＋m ＞ab. 证法6(放缩法1)：∵a 、b 、m ∈R ＋，且a ＜b ， ∴a b ＜a (b ＋m )b (a ＋m )＝ab ＋am ab ＋bm ＜ab ＋bm b (b ＋m )＝a ＋m b ＋m. 证法7(放缩法2)：由条件可设a b ＝mm ＋k (k ＞0)，由合分比定理及放缩法得a b ＝a ＋m b ＋m ＋k ＜a ＋m b ＋m. 证法8(放缩法3)：设a ＝k 1m ，b ＝k 2m ，因为a 、b 、m ∈R ＋，且a ＜b ， 所以0＜k 1＜k 2，1k 1＞1k 2，从而a ＋m b ＋m＝a ＋a k 1b ＋b k 2 ＝a (1＋1k 1)b (1＋1k 2)＞a (1＋1k 2)b (1＋1k 2)＝a b ，原式得证.证法9(构造函数法)：构造函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＜b ),∵f (x )＝1－b －a x ＋b 在[0，＋∞)上是增函数，∴f (x )＞f (0)，即a ＋m b ＋m ＞ab.证法10(增量法)：∵a ＜b ，∴可设b ＝a ＋δ(δ＞0)， 则a b ＝a a ＋δ＝11＋δa ＜11＋δa ＋m＝a ＋m a ＋m ＋δ＝a ＋m b ＋m证法11(定比分点法)：由a ＋m b ＋m ＝a b ＋mb •11＋m b ，可知a ＋m b ＋m 分a b 与1为定比λ＝mb ＞0，所以，a ＋m b ＋m 在a b与1之间(内分点).∴a b ＜a ＋m b ＋m ＜1.证法12(斜率法1)：在直角坐标系中，a ＋m b ＋m ＝a －(－m )b －(－m )表示经过A (b ，a )和B (－m ，－m )两点所在直线的斜率，设其倾斜角为α，而a b ＝a －0b －0表示经过A (b ，a )和原点(0，0)两点所在直线的斜率，设其倾斜角为β，如下图：由a ＜b 可知A 、B 、O 三点不共线，且A 点在直线OB 的下方， ∴有0＜β＜α＜π4，故tanβ＜tanα，即a －0b －0＜a －(－m )b －(－m )，即a b ＜a ＋mb ＋m .证法13(斜率法2)：设在直角坐标中有两点：A (b ，a )和B (m ，m )，则AB 的中点为 C (b ＋m 2,a ＋m2)，如下图所示：由于OA 、OB 、OC 三线的斜率满足K OA ＜K OB ＜K OC ，故得a b ＜a ＋m b ＋m＜1.证法14(几何模型法)：如下图，在直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝a ，AB ＝b ，延长BA ，使CD ＝AE ＝m ，设CA 、DE 交于F ，则有tan ∠DEB ＝a ＋m b ＋m，tan ∠CAB ＝a b ，∠CAB ＜∠DEB ，tan ∠CAB ＜tan ∠DEB ，故a b ＜a ＋mb ＋m.证法15(正弦定理法)：由正弦定理，得b sin ∠1＝a sin ∠2，则a b ＝sin ∠2sin ∠1，同理可得a ＋m b ＋m ＝sin ∠3sin ∠4，由图易知∠2＜∠3，得到sin ∠2＜sin ∠3，由图易知∠1＞∠4，得到1sin ∠1＜1sin ∠4，于是得到sin ∠2sin ∠1＜sin ∠3sin ∠4，即a b ＜a ＋mb ＋m .证法16(相似三角形法)：作三角形ABC ，使其两边长分别为a ＋m 和b ＋m (a ＜b )，在两边上分别取点E 、F ，使AE ＝a ，AF ＝b ，于是EB ＝FC ＝m .过B 作线段BG ∥EF ，G 为AC 沿直线上的交点，如下图，显然△AEF ∽△AGB .则a b ＝a ＋m b ＋FG ＝a ＋m b ＋m ＋CG ＜a ＋m b ＋m ，即a b ＜a ＋mb ＋m.证法17(换元法)：由已知b ＞a ＞0，令b ＝λa (λ＞1)， 则a ＋m b ＋m ＝a ＋m λa ＋m ＞a ＋m λa ＋λm ＝a ＋m λ(a ＋m ) ＝1λ＝a b ，即a b ＜a ＋m b ＋m . 证法18(双换元法)：令a ＋m b ＋m ＝λ1，a b ＝λ2，显然λ1、λ2∈(0，1)，则a ＝λ2·b ，代入得到λ1＝λ2·b ＋mb ＋m，推出(λ1－λ2)·b ＝(1－λ1)·m ＞0， 故λ1＞λ2，即ab ＜a ＋mb ＋m。
一个初等不等式一个初等不等式论文
一个初等不等式的研究一个初等不等式的研究【摘要】本文通过对一个初等不等式x3+y3+z3≥3xyz(x,y,z∈r+)进行研究，得到若干推广形式及一些应用，文中还留下了几个猜想。
【关键词】不等式；推广；应用；猜想不等式x3+y3+z3≥3xyz,①x,y,z∈r+是中学里一个简单且常见的不等式！然而它的内涵与外延是如此的丰富，似乎出乎我们的意料之外。
本文将给出此不等式的若干推广形式及一些应用，并提出几个猜想。
一、不等式的证明不等式①的证明似乎不难，左-右=12(x+y+z)［(x-y)2+(y-z)2-(z-x)2］≥0即得。
有意义的是由此证明以及经过简单的代数变形，我们可以给出一些有趣的推广及应用。
二、不等式的推广以下我们给出几个命题，题中条件均为x,y,z∈r+。
命题一 (a)x3+y3+z3≥3xyz+z(x-y)2+x(y-z)2+y(z-x)2。
②(b)xyz≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
③命题二 (a)x3+y3+z3≥3xyz+x+m2(y-z)2+y+m2(z-x)2+z+m2(x-y)2。
(其中m=min{x,y,z}) ④(b)xyz-m2［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑤命题三 (a)27x2y2z2(x+y+z)3≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑥(b)x2y2z227(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑦不等式③展开后整理即得②，展开后知不等式④与⑤也是等价形式，④显然强于②。
下面证明不等式④，不妨设x≥y≥z,则m=z。
左?右=12（x+y+z)［(x-y)2+（y-z)2+(z-x)2］-x+z2(y-z)2-y+z2(z-x)2-z+z2(x-y)2=12(y-x)(y-z)2+12(x-y)(z -x)2+12(x+y-2z)(x-y)2=12(x-y)［(z-x)2-(y-z)2］+12(x+y-2z)(x-y)2。
关于不等式证明方法的探讨 毕业论文
关于不等式证明方法的探讨摘要：不等式是高中数学中一个极为重要的内容，几乎贯穿整个高中数学的所有内容；人们在实际生活中也经常运用到它的一些知识，例如最常见的超市商场进货方案设计、旅店宾馆租赁方案设计、娱乐消费购买方案设计等。
然而在本文中，我总结了比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的证明方法。
对证明方法的学习，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯。
关键字：不等式；高中数学；方案设计；比较法；几何证明；函数。
The Discussion about A Lot of Methods about Inequality Proof Abstract:Inequality is a very important high school mathematics content, almost all of the content throughout the entire high school math; people in real life are often applied to some of its knowledge, such as supermarkets, shopping malls stocking the most common design, Inns hotel rental program design, entertainment, consumer purchase program design. However, as we use Inequality Inequality provided strong evidence. Therefore, the discussion of research on inequality proof considerable practical significance. In this article, I summarize the comparative method, analysis and comprehensive method, reductio ad absurdum, scaling law, change element method, the more common method of proof by mathematical induction, parabola method, geometric proofs, monotonic function, extremes and so on. By learning these proven methods that can help us solve some practical problems, the ability to develop logical reasoning and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good study habits .Keywords:inequality; school mathematics; program design; comparative law; geometric proof; function.前言不等式的在实际生活中的应用非常广泛,社会生活和生产的各个方面都有应用。
高中数学教学论文--不等式的教学探讨
高中数学教学论文--不等式的教学探讨【摘要】不等式是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，是高考重点考查的内容之一。
不等式知识点多，应用广泛。
它作为研究数学问题的重要工具渗透在数学的方方面面。
高考不等式命题常在与函数、数列、解析几何、向量、三角等知识的交汇处设计，具有较强的综合性，且方法灵活多样。
【关键词】制约 适用条件 解的意义不等式是高中数学中具有联结和支撑作用的主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，是高考重点考查的内容之一。
不等式知识点多，覆盖面广，内涵深刻，思想丰富，且应用广泛。
它作为研究数学问题的重要工具渗透在数学的方方面面。
高考不等式命题常在与函数、数列、解析几何、向量、三角等知识的交汇处设计，具有较强的综合性，且方法灵活多样。
可见，把握好不等式，可为解题提供有效的帮助。
然而，在实际运用不等式的过程中，总会在你出其不意时产生些“陷阱”让你触手不及，让你想说爱都不容易！不等式是解题的主要工具之一，它是一把“双刃剑”，可以为你披荆斩棘，又能将你引入歧途，陷你于“不义”!一． 忽视你我制约，似是而非，让你爱到云里去由几个不同的变量组成的不等式（组），其变量并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定着相互制约的关系。
某个变量x 取得最大（小）值时，另一些变量未必能同时取得最大（小）值。
在解题过程中，若忽略了变量间的制约关系，所得出的取值范围比实际的范围将有所放缩。
例：已知函数c ax x f -=2)(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值和最小值。
典型错解：由题意，得⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，① 利用不等式的可加性，相乘性得⎩⎨⎧≤≤≤≤7130c a ，②∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(，故)3(f 的最大值是26，最小值是-7。
绝大多数的学生第一时间考虑到此种解法，运用不等式的同向相加性质。
初中数学不等式教学法的创新策略论文
初中数学不等式教学法的创新策略论文初中数学教学若要体现数学课程改革的基本理念,必须充分地考虑数学学科的特点、学生心理特点和认知发展水平,针对不同水平和兴趣的学生实行多样化学习,也可运用多种教学方法和手段,引导学生积极主动地学习。
而不等式的证明方面,方法灵活多样,还和很多内容相结合,它既是中学数学教学的难点,也是数学竞赛当中的热点。
一、注重基础知识的教学初中的数学内容较小学教学内容更系统和深入,涉及面更广。
因此,教师在教学中应该注重基础知识的教学,帮助学生打下厚实的基础,以利于学生以后的数学学习。
首先应该摆正师生关系,在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”。
教师在课堂上一般都是居高而上,普遍都是教师在讲台上讲,学生在下面埋头“消化”教师讲的知识点。
教师掌握着上课的节奏,这样学生显得很被动。
在初中不等式教学当中涉及很多的知识点,学生仅仅知道一些公式而不会运用是教学的一种失败。
基础知识在教学当中就显得尤为重要。
不等式的解题方式多样,内容丰富,技巧性较强并且要依据题设、题的结构特点、内在联系、选择适当的解题方法,就要熟悉解题中的推理思维,需要掌握相应的步骤、技巧和语言特点。
而这一切都是建立在学生有夯实的基础之上的。
学生的基础知识不扎实的话,在解不等式题时就步履维艰。
夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用,而概念的形成有一个从具体到表象再到抽象的过程。
对不等式抽象概念的教学,更要关注概念的实际背景和学生对概念的掌握程度。
数学的概念也是数学命题、数学推理的基础,学生学习不等式知识点也是从概念的学习开始的。
所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础。
二、注重学生对知识的归纳和整理提高初中数学不等式教学效果,首先要培养学生主动探索数学知识的精神,通过寻求不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣。
引导学生主动去对数学不等式知识进行探究,通过结合所学的数学知识来形成一个完整的知识网络,以帮助学生完成更深入地数学知识探究。
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不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值，给我们的日常生活带来了效率。
不等式在高中数学中不是孤立存在的，在函数、数列、解析几何、平面向量……，几乎所有的章节都有不等式的知识，可以说不等式贯穿了整个高中数学，由此可见不等式的重要性。
不等式题目呈现不同形式，包括函数定义域、解不等式、与简易逻辑相结合、与圆锥曲线相结合、与数列相结合、求取值范围、均值不等式……。
本文针对各种不等式，给出一些解法供大家学习参考。
关键词：不等式；解法；探究Abstract:Inequality can be maximum, minimum, bring to our daily life efficiency. Inequality in the high school math do not exist in isolation, in function and sequence, analytic geometry, plane vector and so on , almost all the chapters have the knowledge of the inequality, to say the inequality throughout the high school mathematics, the importance of this inequality. Inequality present different forms, including function domain, inequality, combined with a simple logic, combined with a conic, combined with a progression, scope, and the mean inequality. This paper in view of the various kinds of inequality, I give some solution to consult for everybody to learn.Key words:inequation ; solutio;explore引言不等式是高中数学学习中的一个重要内容，也是一大难点。
论文归纳了高中不等式的类型，并以具体题目为例来分析和探究不等式的解题方法，以促进高中不等式的学习。
在论文中，作者将会介绍一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、简单高次不等式、指数不等式、对数不等式、无理数不等式这七种不等式的具体解法，让读者建立起基本的不等式思维。
1、 一元二次不等式的解法1.1 一元二次不等式的定义含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是 0a 2>++c bx x 或0a 2<++c bx x （0a ≠）其中c bx x ++2a 是实数域内的二次三项式。
1.2 一元二次不等式解法的步凑第一步、将二次项系数化为正数；第二步、判断相应的一元二次方程是否有实数根； 第三步、根据根的情况写出相应的解集。
1.3 一元二次不等式四种解法例题讲解解法一（十字相乘法） 当04b 2≥-=∆ac 时，一元二次方程0a 2=++c bx x 有两个实根，那么c bx x ++2a 可分解为如))((a 21x x x x --的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
例1、试解一元二次不等式 067x 22<+-x解：利用十字相乘法：得()()023x 2<--x 然后，分两种情况讨论。
1） 02,03x 2>-<-x得2x 5.1x ><且（不成立） 2）02,03x 2<->-x得2x 5.1x <>且 得最终不等式的解集为：2x 5.1<<解法二（配方法）此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上面例题中： 67x 22+-x ()65.3x 22+-=x()60625.3-0625.35.3x 22++-=x ()6125.6-0625.35.3x 22++-=x ()0125.0-75.1x 22<-=()125.075.1x 22<-()0625.075.1x 2<-两边开平方，得：25.075.1<-x 且25.075.1->-x2x <且5.1x > 得不等式的解集为{}2.51|x <<x 解法三（图像法）一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过观察图象可知，二次函数图象与X 轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X 轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
解法四（数轴穿根）数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这大于零的不等式的解对应这曲线在x 轴上方部分的实数x 得起值集合，小于零的这相反。
这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。
口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。
”步骤:1.把二次项系数变成正的(不用是1,但是得出者为正解)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X 的项是奇次幂就穿过,偶次幂就跨过。
后文有详细介绍)； 4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为0的根。
例如：不等式023x 2≤+-x （最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的) ⒈分解因式:()()021x ≤--x ；⒉找方程()()021x =--x 的根:1x =或2x =； ⒊画数轴,并把根所在的点标上去；⒋注意，此时从最右端开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左绘制,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸；⒌看题求解,题中要求求小于等于0的解，那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：2x 1≤≤。
2、绝对值不等式的解法2.1 绝对值不等式的性质在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的。
2.2 绝对值不等式的几何意义2.3 绝对值不等式三种解法例题讲解表2.3 绝对值不等式的三种解法同解变形例2、解不等式273x -<.解：原不等式转化为3273x -<-<，即4210x <<，得25x <<.所以原不等式的解集为{}25x x <<.例3、解不等式525x -<.解：原不等式转化为255x -<，则5255x -<-<，得05x <<.所以原不等式的解集为{}05x x <<.例4、解不等式1x x<.（注：此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。
） 解：分0x >、0x <两种情况讨论。
当0x >时，绝对值直接去掉，在原不等式两边同乘以x 得21x <，解得01x <<.当0x <时，原不等式转化为1xx-<，两边同乘以x 得21x ->，即21x <-，解得∅.所以原不等式的解集为{}01x x <<.例5、不等式组03232x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩的解集是A . {}02x x << B . 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C . {0x x <<D . {}03x x << 解：从各选项来看，只需解方程3232x x x x --=++或3232x x x x--=-++.前者解得0x =，后者解得x =于是选C .（注：绝对值不等式的解集的端点值必为方程的解。
）例6、解不等式4321x x ->+.解（方法一）：原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. 解（方法二）：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.3、 分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义与分式方程类似，像()()0/>x g x f 或()()0/<x g x f （其中()x f 、g(x)为整式且()x g 不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
3.2 分式不等式解法的核心思想表3.2 分式不等式的解法如上表中，将分式不等式转化为整式不等式，然后运用整式不等式的方法求解。
这就是分式不等式解法的核心思想。
3.3 分式不等式例题讲解 例6、解不等式21xx >-. 解（方法一）：分1x >与1x <两种情况讨论。
当1x >时，原不等式转化为2(1)x x >-，解之得2x <，但前提是1x >，所以此时不等式的解为12x <<；当1x <时，原不等式转化为2(1)x x <-，解之得2x >，但前提是1x <，所以此时解为∅.综上所述，原不等式的解集为{}12x x <<. 解（方法二）：把不等式右边的2移到左边并通分得201x x -+>-，再等价转化为(2)(1)0x x -+->，解此一元二次不等式得到原不等式的解集为{}12x x <<.例7、解不等式102x x -≤-. 解（方法一）：原不等式等价于1020x x ->⎧⎨-<⎩或1020x x -<⎧⎨->⎩或1x =.解之得{}12x x ≤<.解（方法二）：原不等式等价于(1)(2)02x x x --≤⎧⎨≠⎩，解之得{}12x x ≤<.4、 简单高次不等式的解法4.1 简单高次不等式的概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。