不等式解法探究论文

不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值，给我们的日常生活带来了效率。

不等式在高中数学中不是孤立存在的，在函数、数列、解析几何、平面向量……，几乎所有的章节都有不等式的知识，可以说不等式贯穿了整个高中数学，由此可见不等式的重要性。

不等式题目呈现不同形式，包括函数定义域、解不等式、与简易逻辑相结合、与圆锥曲线相结合、与数列相结合、求取值范围、均值不等式……。

本文针对各种不等式，给出一些解法供大家学习参考。

关键词：不等式；解法；探究Abstract:Inequality can be maximum, minimum, bring to our daily life efficiency. Inequality in the high school math do not exist in isolation, in function and sequence, analytic geometry, plane vector and so on , almost all the chapters have the knowledge of the inequality, to say the inequality throughout the high school mathematics, the importance of this inequality. Inequality present different forms, including function domain, inequality, combined with a simple logic, combined with a conic, combined with a progression, scope, and the mean inequality. This paper in view of the various kinds of inequality, I give some solution to consult for everybody to learn.Key words:inequation ; solutio;explore引言不等式是高中数学学习中的一个重要内容，也是一大难点。

论文归纳了高中不等式的类型，并以具体题目为例来分析和探究不等式的解题方法，以促进高中不等式的学习。

在论文中，作者将会介绍一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、简单高次不等式、指数不等式、对数不等式、无理数不等式这七种不等式的具体解法，让读者建立起基本的不等式思维。

1、 一元二次不等式的解法1.1 一元二次不等式的定义含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。

它的一般形式是 0a 2>++c bx x 或0a 2<++c bx x （0a ≠）其中c bx x ++2a 是实数域内的二次三项式。

1.2 一元二次不等式解法的步凑第一步、将二次项系数化为正数；第二步、判断相应的一元二次方程是否有实数根； 第三步、根据根的情况写出相应的解集。

1.3 一元二次不等式四种解法例题讲解解法一（十字相乘法） 当04b 2≥-=∆ac 时，一元二次方程0a 2=++c bx x 有两个实根，那么c bx x ++2a 可分解为如))((a 21x x x x --的形式。

这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。

一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

例1、试解一元二次不等式 067x 22<+-x解：利用十字相乘法：得()()023x 2<--x 然后，分两种情况讨论。

1） 02,03x 2>-<-x得2x 5.1x ><且（不成立） 2）02,03x 2<->-x得2x 5.1x <>且 得最终不等式的解集为：2x 5.1<<解法二（配方法）此外，亦可用配方法解一元二次不等式。

如上面例题中： 67x 22+-x ()65.3x 22+-=x()60625.3-0625.35.3x 22++-=x ()6125.6-0625.35.3x 22++-=x ()0125.0-75.1x 22<-=()125.075.1x 22<-()0625.075.1x 2<-两边开平方，得：25.075.1<-x 且25.075.1->-x2x <且5.1x > 得不等式的解集为{}2.51|x <<x 解法三（图像法）一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过观察图象可知，二次函数图象与X 轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。

解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X 轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。

解法四（数轴穿根）数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这大于零的不等式的解对应这曲线在x 轴上方部分的实数x 得起值集合，小于零的这相反。

这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。

口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。

”步骤:1.把二次项系数变成正的(不用是1,但是得出者为正解)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X 的项是奇次幂就穿过,偶次幂就跨过。

后文有详细介绍)； 4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为0的根。

例如：不等式023x 2≤+-x （最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的) ⒈分解因式:()()021x ≤--x ；⒉找方程()()021x =--x 的根:1x =或2x =； ⒊画数轴,并把根所在的点标上去；⒋注意，此时从最右端开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左绘制,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸；⒌看题求解,题中要求求小于等于0的解，那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：2x 1≤≤。

2、绝对值不等式的解法2.1 绝对值不等式的性质在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。

它们都是通过非负数来度量的。

2.2 绝对值不等式的几何意义2.3 绝对值不等式三种解法例题讲解表2.3 绝对值不等式的三种解法同解变形例2、解不等式273x -<.解：原不等式转化为3273x -<-<，即4210x <<，得25x <<.所以原不等式的解集为{}25x x <<.例3、解不等式525x -<.解：原不等式转化为255x -<，则5255x -<-<，得05x <<.所以原不等式的解集为{}05x x <<.例4、解不等式1x x<.（注：此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。

） 解：分0x >、0x <两种情况讨论。

当0x >时，绝对值直接去掉，在原不等式两边同乘以x 得21x <，解得01x <<.当0x <时，原不等式转化为1xx-<，两边同乘以x 得21x ->，即21x <-，解得∅.所以原不等式的解集为{}01x x <<.例5、不等式组03232x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩的解集是A . {}02x x << B . 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C . {0x x <<D . {}03x x << 解：从各选项来看，只需解方程3232x x x x --=++或3232x x x x--=-++.前者解得0x =，后者解得x =于是选C .（注：绝对值不等式的解集的端点值必为方程的解。

）例6、解不等式4321x x ->+.解（方法一）：原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. 解（方法二）：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.3、 分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义与分式方程类似，像()()0/>x g x f 或()()0/<x g x f （其中()x f 、g(x)为整式且()x g 不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

3.2 分式不等式解法的核心思想表3.2 分式不等式的解法如上表中，将分式不等式转化为整式不等式，然后运用整式不等式的方法求解。

这就是分式不等式解法的核心思想。

3.3 分式不等式例题讲解 例6、解不等式21xx >-. 解（方法一）：分1x >与1x <两种情况讨论。

当1x >时，原不等式转化为2(1)x x >-，解之得2x <，但前提是1x >，所以此时不等式的解为12x <<；当1x <时，原不等式转化为2(1)x x <-，解之得2x >，但前提是1x <，所以此时解为∅.综上所述，原不等式的解集为{}12x x <<. 解（方法二）：把不等式右边的2移到左边并通分得201x x -+>-，再等价转化为(2)(1)0x x -+->，解此一元二次不等式得到原不等式的解集为{}12x x <<.例7、解不等式102x x -≤-. 解（方法一）：原不等式等价于1020x x ->⎧⎨-<⎩或1020x x -<⎧⎨->⎩或1x =.解之得{}12x x ≤<.解（方法二）：原不等式等价于(1)(2)02x x x --≤⎧⎨≠⎩，解之得{}12x x ≤<.4、 简单高次不等式的解法4.1 简单高次不等式的概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。