第六章 系综理论
系综——精选推荐
系综系综理论简介姓名:毕思峰学号：130********摘要：通过查阅相关⽂献，本⽂简单介绍了系综理论的历史，阐述了Γ-空间、系综的统计分布及配分函数等基本概念，并总结了三则系综的相互关系。
希望对初学者能更好的理解系综理论有所帮助。
关键词：系综理论Γ-空间统计分布配分函数Abstract:To help fresh learners understand the ensemble theory better,this paper briefly introduce the history of the ensemble theory, giving some basic concept including Γ-space and statistics distribution and partition function of the ensemble theory by referring to related articles, and last, summarize the relationship of three types of ensembles.Key words: ensemble theory Γ-space statistics distribution partition function1、系综理论的由来系综的观念是由吉布斯继承和借鉴玻尔兹曼、麦克斯韦的思想发展⽽来的。
⾸先，吉布斯从玻-麦那继承了描述体系状态的动⼒学⽅法和统计⽅法[1]，并对其相空间的概念进⾏了改⾰，使玻尔兹曼、麦克斯韦的分⼦向空间发展为吉布斯的Γ-空间。
两者的区别⽽在于：前者只能描述相互作⽤微弱的⽽近乎独⽴的粒⼦组成的体系，⼀个相点只能描述⼀个粒⼦的相，⽽后者还能描述由相互作⽤强的粒⼦组成的体系，⼀个相点就可描述整个体系的相。
所以后者更具有实际意义。
其次，麦克斯韦的考察对象只是与外界既⽆物质也⽆能量交换的孤⽴系统，⽽吉布斯最初研究的是与外界有能量交换封闭系统，因此引⼊了外参量，并以此为基础上建⽴了正则系综。
系综诠释
测量与塌缩
系综诠释的优点是，它干脆地摆脱了量子态塌缩这艰涩的论题。系综诠释假定，波函数只适用于很多系统所 组成的系综，因此，可以避免要求单独系统处于几种不同的量子态，这样，波函数不需要涉及约化的概念。举例 而言，设想一个量子骰子，其量子态可以以态向量的形式表示为
注意到，在这方程式里，符号"+"不是代数加算符，而是在统计学里的一种标准概率算符。态向量是一种概 率数学构造，对其测量所得到的答案是一种结果1或另一种结果2、3、4等等。
单独系统
虽然系综诠释阐明，波函数不适用于单独系统，但这不意味着系综诠释不能被应用于单独系统，重点是在波 函数与单独系统之间不存在一一对应，例如，一个微观物体可能处于两种量子态的叠加态。系综诠释只能用来预 言，对于单独系统的某种性质做重复测量得到某个数值的概率。
设想掷骰子游戏，同时掷两颗骰子于桌子上。对于这案例，系统是两颗骰子，掷出骰子后，会得到很多种结 果，例如，两颗五点、两颗两点、一颗三点与一颗六点等等，每一种结果都伴随有对应的概率。掷两颗骰子100 次会得到一个100次试验的系综。对于这系综，经典统计学能够预言某种结果会发生的次数，但是，它不能够预 言某次掷骰会得到的确切结果。这就是系综诠释声称波函数不适用于单独系统的原因。在这里，单独系统的意思 就是说掷两颗骰子一次。
化工过程模拟与分析(第六章分子模拟简介)
假设有N个质量为m的分子处于体积为V，温度为T 的封闭区域内，它们的轨迹由向量 r 描述。
体系能量
m K 2
m
牛顿运动方程
i 1 d 2r j t 2
dt
N
v2 j
U U r1 t , r2 t ,..., rN t
r j U r , j 1,2,..., N
1. Hit & miss 法
2. 抽样平均值法
1、2各对应哪个？
二、分子模拟的MC法
MC法模拟自然现象的步骤 1. 建立能够描述系统特性的理论模型，导出该模型的某 些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一 些模拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
系综平均示例
对于一个含有N个粒子的巨正则系综，设含N个粒 子的微观态的热力学量为XN，则对应体系的宏观热力 学量为：
X
N 0
P
N
XN
ห้องสมุดไป่ตู้
其中PN为含N个粒子的微观态出现的概率。
1 exp N / kT PN ... exp T / kT dr1...drN 3N Q , V , T N!
宏观物理量A（是系统中所有粒子的位置和动量的函 数）的值可以通过系综平均获得：
A lim 1 A r ( N ) , p ( N ) d t t t 0
t0
t
二、MD法分子模拟实例 对微孔中氩和氪流体混合物的扩散系数的计算机 模拟和关联模型研究。 体系为包含了72个氩分子和72个氪分子的长方体盒子， 体系势能由LJ公式计算，计算机模拟的时间步长为 10^(-14)s，模拟时间为7.5~10.5 ns。 计算出所有速度后，扩散系数为：
第六章 分子动力学模拟ppt课件
2.4 Equations of motion
分子动力学模拟
为了在计算机上解运动方程，必须为微分方程建立一个 有限差分格式，从差分方程中再导出位置和速度的递推关系 式。这些算法是一步一步执行的，先算t 时刻的位置和速度， 然后在此基础上计算t+1时刻的位置和速度。
微分方程最为直接的离散化格式来自泰勒展开: r(th)r(t)n i 1 1hi!ir(i)(t)Rn
1.5
1
间间
0.5
rij 6 2
0
-0.5
-1
0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8 间间
2
2.2 2.4 2.6
对势能的最大贡献来自于粒子的近邻区域，位势截断
常用的方法是球形截断，截断半径一般取2.5σ或3.6 σ，对
截断距离之外分子间相互作用能按平均密度近似的方法进
行校正。
分子动力学模拟
The disk processed after the simulation is finished. It contains at least all the positions and velocities of all particles. This information is sufficient to calculate all the properties of the system. However, it is more economical to calculate properties during the simulation and store them in the than reading the calculating them afterwards.
➢二、分子动力学方法
热力学与统计物理学第六章 系综理论
d W ( p ,q ) N d p ! h d N q C r E N d p ! e h d N q r
dWC
eE
dpdq N!hNr
1
归一化系数的倒数 系就 统是 的配分函数
ZC1 eE dpdq
N!hNr
(ii) 从正则分布出发，根据系统的内能等于平均能
量以及热力学关系来确定β。
3N2
1 H 1 2 e H 1 , 所以 E
3N2
D
2
(
E
1( p,
q
H1 )
) Ce
AE
H1
(
p
2 ,q
e
)
H
1
16
上式还存在两个待定常量β和C，由以下两个条件确定：
(i) 根据归一化条件定出C，即系统在Γ空间中的一个代表点
出现在（p,q）且能量为E处的相体积元的概率为
17
二、热力学公式
内能： U ln Z
自由能： F k B T ln Z
熵：
SU F T
U T
k B ln Z
压强：
p F V T
18
讨论：
(1) 在系综理论的诸热力学量中的配分函数为 系统的，不要再乘以N倍；
(2）在近独立近似下，系统的配分函数等于 各个粒子配分函数的乘积，但除以全同粒子 不可编号效应，则
Nk
BT
ln
N
V
ln
h2 2 mk
BT
3/2
1
p F
Nk B T
V N ,T
V
21
S UF T
H
U
pV
5 2
NkBT
GHTS
系综理论
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
2019/12/25
即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
热力学中的双状态系统与系综理论
热力学中的双状态系统与系综理论在物理学中，热力学是研究温度和能量转移的学科。
它主要关注系统和它的环境之间的热力学关系。
热力学中的双状态系统与系综理论是热力学的基础之一。
热力学中的双状态系统指的是具有两个状态的物理系统。
在这两种状态之间，它们的热力学性质有所不同。
最常见的双状态系统是衣架，衣架上可以悬挂衣物，也可以没有衣物。
当衣物悬挂在衣架上时，衣架的能量会发生变化，因此它的热力学性质也会发生变化。
热力学中的双状态系统可以通过系综理论来描述。
系综理论是热力学中的一种理论，用于研究大量处于同一温度下的分子系统。
系综理论主要包括三个概念：微正则系综，正则系综和巨正则系综。
微正则系综是一种系统，它的能量、体积和粒子数都是固定的。
这种系综是一种封闭的系统，它的能量是恒定的，因为不与外界发生热交换。
微正则系综的特点是各状态的概率是等价的。
正则系综是一种系统，它的体积和粒子数是恒定的，而能量可以发生变化。
正则系综是一种开放的系统，能够与外界交换热量。
由于能量可以变化，因此它们可以在不同的能量状态下存在。
正则系综的特点是各状态的概率取决于体系的能量和温度，通常是玻尔兹曼分布。
巨正则系综是一种系统，它的能量、体积和粒子数都可以变化。
巨正则系综是一种对数系综，它描述的是粒子数与能量的关系。
巨正则系综的特点是各状态的概率取决于体系的化学势、温度和粒子数。
热力学中的双状态系统可以通过这些系综理论来研究。
对于双状态系统，微正则系综通常用于描述它们在两种状态之间的变化。
而对于更复杂的系统，如分子系统，正则系综和巨正则系综则更为适用。
总之，热力学中的双状态系统与系综理论在研究热力学基本问题和一些物理问题中都有着重要的意义。
通过深入了解这些理论，我们可以更好地理解物理学，同时也可以将它应用于生产和生活中的一些实际问题中。
理论物理
凝聚态物理（070205）● 培养方案（一）培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，能将物理理论与实际问题关联起来的、具有理论与实践相结合能力的研究与应用性专业人才。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业的主要学习内容有：高等量子力学，群论，统计物理和多体理论，量子场论，固体物理，光电子物理，计算机应用，专业英语等课程，另外还要参加教学实习，全国性学术交流会议，撰写毕业论文等实践环节。
硕士生毕业可以继续深造攻读博士学位，或在相关企事业任职。
（二）研究方向1、光电子物理，主要导师：石旺舟教授，杜国平教授，黄磊教授, 谢东珠副教授，秦晓梅副教授2、计算凝聚态理论，主要导师：叶翔副教授3、极化材料与器件，主要导师：刘爱云副教授, 林方婷副教授（三）学制三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）（四）课程设置与学分要求1、必修课程：（1）学位公共课程：（每门课程2学分）科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism自然辩证法Dialectics of Nature第一外国语First Foreign Language（2）学位基础课：（每门课程3学分，选四门）高等量子力学Advanced Quantum Mechanics群论Group Theory统计物理与多体理论Statistical Physics and Multibody Theory高等固体物理Solid State Physics量子场论Quantum Field Theory（3）学位专业课：（除专业外语2学分外，其他每门课程3学分）专业外语Specialized Foreign Language微电子器件物理Microelectronic Device Physics光电子学Optoelectronics半导体物理Semiconductor Physics专业计算机编程Computer Programming【注】专业外语为必选课程。
系综
正则
正则
微正则系综在概念上是很重要的，但它只能应用于孤立系统，而我们遇到得最多的是封闭系统或开放系统。
对于一个封闭系统，虽然其能量E并不固定，但其温度T可有确定的值。实现这一点的办法之一是让它与温度 恒定的大热源接触。如果系统的边界是刚性的，其体积V有确定的值。根据封闭系统的定义，其中的粒子数N也有 确定的值。由大量相同的且T，V和N恒定的封闭系统组成的集合称为正则系综（canonical en度的体系，其宏观热力学性质可以将体系对时间求平均得到，也可以对系综求平均得 到。所谓系综是指大数独立、但又全同的系统的集合。
对于单一量子态的系综，所有的系统处于相同的量子态，波函数决定了在这一量子态中系统力学量的统计分 布。这种量子系综称为纯系综。
系综是假想的概念，并不是真实的客观实体。真正的实体是组成系综的一个个系统，这些系统具有完全相同 的力学性质。
每个系统的微观状态可能相同，也可能不同，但是处于平衡状态时，系综的平均值应该是确定的。
研究对象
研究对象
研究气体热运动性质和规律的早期统计理论是气体动理论。统计物理学的研究对象和研究方法与气体动理论 有许多共同之处，为了避免气体动理论研究中的困难，它不是以分子而是以由大量分子组成的整个热力学系统为 统计的个体。系综理论使统计物理成为普遍的微观统计理论。
5．电子在那些可能的能级中的分布符合费米-狄拉克统计。
在绝对零度，所有的能态都是被两个电子占据，直到某一最大能值。像自由电子模型的情形一样，这个最大 能值与晶体内的电子总数有关。含有N个晶胞的晶体每个晶胞中有一个核电荷等于Z的原子，所以共有NZ个电子。 每一能带有N个本征态，所以可由2N个电子来充填。
1．原子核静止于格点处，因此不存在电子与声子之间的相互作用。
系综理论的讨论及运用
课程设计题目：系综理论的讨论及运用学院：电子与信息工程学院专业：物理学师范姓名：学号：指导老师: 时间: 系综理论的讨论及运用姓名：摘要系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。
它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。
本文从概念开始讨论系综理论内容和运用。
关键词概念；系综理论；正则分布；关系；运用系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。
系综的一个基本假设是各态历经假说：只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。
1 概念系统的一种可能的运动状态，可用相与中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。
若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p （详写为p、p2 ••…ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2 ••…qs）为直角坐标构成的2s 维空间。
在相宇内任一点（p，q ）附近单位相体积元内的相点数目D （p , q ,t ）称为密度函数。
D（p,q,t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N ，与时间t无关。
定义P p,q,t)=D(p,q,t)/N ,称为系综的概率密度函数。
P(p ,q, t) dpdq表示在t时刻出现在(p, q)点附近相体积元dpdq 内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t 时刻其运动状态处于(p，q )附近的相体积元dpdq内的概率。
显然，概率密度函数p( p, q , t)满足归一化条件/p(p,q,t ) dpdq=1 。
统计物理学的认为系统的任意宏观量I (t)是相应微观量L (p , q )在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值，即I(t )=几(p , q) p(p , q , t) dpdq。
系综小结
系综小结系综(ensemble) 是指在一定的宏观条件下(约束条件)，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。
全称为统计系综。
系综是用统计方法描述热力学系统的统计规律性时引入的一个基本概念；系综是统计理论的一种表述方式，系综理论使统计物理成为普遍的微观统计理论；系综并不是实际的物体，构成系综的系统才是实际物体。
约束条件是由一组外加宏观参量来表示。
在平衡统计力学范畴下，可以用来处理稳定系综。
一、常用系综分类根据宏观约束条件，系综被分为以下几种：1. 正则系综（canonical ensemble），全称应为“宏观正则系综”，简写为NVT，即表示具有确定的粒子数（N）、体积（V）、温度（T）。
正则系综是蒙特卡罗方法模拟处理的典型代表。
假定N个粒子处在体积为V的盒子内，将其埋入温度恒为T的热浴中。
此时，总能量（E）和系统压强（P）可能在某一平均值附近起伏变化。
平衡体系代表封闭系统，与大热源热接触平衡的恒温系统。
正则系综的特征函数是亥姆霍兹自由能F（N,V,T）。
2. 微正则系综（micro-canonical ensemble），简写为NVE，即表示具有确定的粒子数（N）、体积（V）、总能量（E）。
微正则系综广泛被应用在分子动力学模拟中。
假定N个粒子处在体积为V的盒子内，并固定总能量（E）。
此时，系综的温度（T）和系统压强（P）可能在某一平均值附近起伏变化。
平衡体系为孤立系统，与外界即无能量交换，也无粒子交换。
微正则系综的特征函数是熵S （N,V,E）。
3. 等温等压(constant-pressure,constant-temperature)，简写为NPT，即表示具有确定的粒子数（N）、压强（P）、温度（T）。
一般是在蒙特卡罗模拟中实现。
其总能量(E)和系统体积(V)可能存在起伏。
体系是可移动系统壁情况下的恒温热浴。
特征函数是吉布斯自由能G(N,P,T)。
4. 等压等焓(contant-pressure,constant- enthalpy)，简写为NPH，即表示具有确定的粒子数（N）、压强（P）、焓（H）。
热力学统计物理各章重点总结
热力学统计物理各章重点总结3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数。
当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵。
定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量:定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后，其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。
8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB3－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡。
三要素：（1）选择测温质；（2）选取固定点；（3）测温质的性质与温度的关系。
（如线性关系）由此得的温标为经验温标。
2.热力学第一定律－第一类永动机、内能、焓热力学第一定律：系统在终态B和初态A的内能之差UB-UA等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，热力学第一定律就是能量守恒定律.UB-UA=W+Q.能量守恒定律的表述：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量保持不变。
开放系 巨正则系综
第六章 开放系 巨正则系综（Open Systems Grand Canonical Ensembles ）本章讨论粒子数可变的系综，从而可讨论相变的化学平衡问题。
§6-1 巨正则分布 （Grand Canonical Distribution ）1．巨正则分布（G .C.D ）。
2．经典极限（Classical limit ）。
3．多组元情形（Case for Many Components ）。
1.粒子数可变的系统称为开放系，开放系组成的系综为巨正则系综，此时系综只有确定的V T ,, 。
巨正则分布，设系统+源=封闭系, 由封闭系的条件const=++t r N N N ，且N N r >>t r s E E E =+， 且E E r >>平衡态时，总系处于t E 之t 态的几率为∑----===tE E E t ttTeZ eeZββψβρ,1由此出发讨论开放系之系综分布，考虑开放系处于N ，s E 的某一态的统计平均值。
由正则分布之定义∑--=tE steN uu βψ)(（t 表示对所有态求和）∑∑∑=---⋅=trsN N sE rE seeN u)(ββψ可改写为∑∑∑=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ts r N N sE s r E e N u e u 0)(βψβ[]中应与r N 有关，化为)(N N rE t ree--=∑σβ （展开） NN Nt te)(')(σσ-≈tN为一大数，可认为∞→t N ，sN sE N u eu s∑∑∞=---=∴0βαζ由统计平均值定义可知：sEN s e βαζρ---= 为正则分布。
ζ-e可由归一化条件：1=∑∑∞=---N sE N seβαζ 定出。
为了方便，常定义巨配分函数(Grand Partition Function)∑∑∞=--=Ξ=0N sE N seeβαζ.2．经典极限: 在Γ空间p d q d内可能的微观状态数为Nrh N pd q d !,故系统处于p d q d内的几率为Nrp q E N hN pd q de p d q d p q !)(),( βαςρ---=⋅ 为正则分布),(!1)(p q N N NrehN p qβαςρ---=⋅ 为几率密度相应的巨配分函数pd q d eN he e p q E N NrN⎰∑-∞=-==Ξ),(0!βαζ∑⎰∞==),(),(N p d q d p q p q u u ρ3．多组元情形：∑∑==i ii r iiNr N NN ,则)(!1)(p q E N ir N i ii i ii ehN p q⋅---∑=⋅∏βαζρpd q d ehN ee p q E N ir N i N i ii iii ⎰∑∏⋅--∑==Ξ)()(!βαςpd q d p q u p q u i N ∑⎰⋅⋅=)()()(ρ , 其中∑∑∑∑∞=∞=∞==)(0001ii i NN N N .§6-2 开放系的热力学公式(Thermodynamic Formulae for Open Systems)1．热力学公式 S N p Y E ,),(,。
第六章 湍流的统计
第6章 湍流的统计理论 章
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
t9-系综理论
更加重要的是，我们研究的系统，总能量E 并没有确定 的数值，通过其表面分子不可避免和外界发生作用，使得在 能量E 附近有一个狭长的范围，即
E ≤ H (q, p) ≤ E +∆E
对宏观系统，表面分子远小于总分子数，故系统和外界的作 用很弱，故有：
∆E E
<<1
系统和外界微弱作用的影响 系统从初态出发沿着正则方程所确定的轨道运动， 经过一定时间（可能很短）之后，外界的作用使得 系统跃迁到另外一个状态，从而沿着另外一条正则 轨道运动，因此，系统的微观状态发生极其复杂的 变化。 在给定的宏观条件下，我们不能肯定系统在某一时 刻处在或者是不处在某一微观状态。 统计物理学的基本想法是：退一步，试图找到系统 处在某个微观状态的概率。而宏观量是相应微观量 在一切可能的微观状态上的平均值。
dΩ ≡ dqdp
则t 时刻，运动状态在这个体积元内的代表点数：
% % ρ(q, p, t)dΩ ≡ ρ(q1,L, q f ; p1,L, p f ; t)dΩ
t 时刻，系统处于这个体积元内的概率为：
ρ(q, p, t)dΩ =
% ρ(q, p, t) N
dΩ, ρ(q, p, t)称为(概率)分布函数
根据等概率原理，平衡态下孤立系统一切可能的微观状 态出现的概率都相等，因此，当A1的能量取某一个值时，孤 立系统总的微观状态数取极大值，这意味着相应的E1和E2是 最概然的能量分配。对于宏观系统，最概然的微观状态数实 际上可以当作是总的微观状态数，因此其他能量分配出现的 概率远远小于最概然能量分配出现的概率，由此可以认为最 概然微观状态数对应的E1和E2就是A1和A2达到热平衡时的内 能。
相空间&刘维尔定理 相空间 刘维尔定理
第六章 系综理论
（p', q'）可取任何可能的值，将它们积分消除,得出系统分布：
1( p, q)
(
p,
q;
p'
,
q'
)
dp' dq ' N 2!h N2r
1
1
D(E)E
N2!hN2r
dp' dq '
E H1 H 2 E E H1
大热源在E H1 H2 E E H1之间的微观态数等于
1
N 2!h N 2r
Z
Z
Z
右边
k
BT
2
U T
V
k
BT
2
(k
B
2
)
U
V
U
V
1 Z
E
eE
D(
E
)dE
1 Z
E2eE D(E)dE
1 Z2
Z
EeE D(E)dE
1 Z
E 2eE
D(E)dE
1 Z2
EeE D(E)dE 2
27
讨论：系统能量的相对涨落为
E2
2
E
kBTCV
E
E
如果系统是由N个自由度为r的粒子组成的理想气体，则
小结和习题课
4
§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理：系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设u u(q1, q2 , qrN ; p1, p2 , prN ), 则它的系综平均写作：
ln
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H12 , 这是因为界面的分子数远小于系统和大热库的分子 数，又因为分子间的相互作用是短程力。
13
系统加热库整体作为一个孤立系，视为一个孤立系，其分布 密度函数：
(
p,
q;
p' ,
q'
)
1 D(E)E
,
0,
E H ( p, q; p', q') E E 其他
任务是求出关于系统变量的分布密度函数，而大热源变量
12
thermal source
system T, V,
系统加热库的总哈密顿量为
H
(
p,
q;
p'
,
q
'
)
H
1(
p,
q)
H
2(
p',
q')
H
12(
p,
q;
p'
,
q
'
)
H 1( p, q) H 2( p', q')
N N1 N2 (N2 N1)
这里，我们忽略了系统粒子与热库粒子的相互作用项
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小结和习题课
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§6. 2 微正则系综
微正则系综：由孤立系统所构成的系综，具有确定的粒子数N， 体积V和能量E，也称N-V-E系统。
微正则分布：在平衡态下孤立系统的一切可能的微观 状态出现的概率都相等（等概率原理），所以，分布 密度函数在等能面上为一常量。
dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
2mE
3 N
2
2
3N 2
1
N
第二式是3N维球面
p 2xi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
2 yi
pz2i
2mE所围的体积。
i1
故能量壳层E E dE之间的相体积为
态密度是
d(E)
E
3N
AE 2
1
E
dE
1 D(E) h3N
d(E) dE
A h3N
3N 1
E2
7
第六章 系综理论
1 x
x
e 1 ,
小结和习题课
11
§6. 3 正则系综
正则系综：由封闭系统所构成的系综，具有确定的 粒子数N，体积V和温度T，也称N-V-T系统（恒温系 统）。
正则系综中的系统如何构造？将系统与一个大热源相接触。
（1) 系统加大热源看成一个孤立系统，整体用微正则分布； (2) 将热源变量消除，就得到正则系统的分布。
2
• 系统(system)与系综(ensemble): 系统是一组相 互作用、相互依存的元素；系综是系统的集合， 而不是客体，是为了进行统计平均而引入的工 具。
• 等概率原理：当系统处于平衡态，则发现其 处于各微观态的概率相等。
3
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(
p,
q)
1 D(E)E
,
0,
式中, 状态数是
E H ( p, q) E E 其他
D(E)E
1 N!h Nr
dpdq
EH ( p,q)E E
9
注意：在刚才的状态数表示式中出现了与关于单粒子 玻耳兹曼统计中不同的两个因子，其意义分别是
(a) hNr系空间的一个相格的体积； (b)1 N!表明全同粒子交换不引起新的微观态。
H 1 2m
px21
p
2 y1
pz21
px2N
p
2 yN
pz2N
6
空间H E所围的相体积为
(E) dx1dy1dz1 dxN dyN dzN dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
dx1dy1dz1 dxN dyN dzN V N L3N
3N
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§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理：系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设u u(q1, q2 , qrN ; p1, p2 , prN ), 则它的系综平均写作：
u ud d
其中，为分布密度函数，d dq1dq2 dqrN dp1dp2 dprN。
5
[例6.1] N个单原子分子组成的理想气体封闭在边 长为L的立方容器内，计算态密度。
解：所谓单原子分子，就是可以将它们处理为没有
内部结构的点粒子，每个分子只有3个平动自由度。
3N个自由度，6N维相空间，系统的哈密顿量为
dp'dq'
E H1 H 2 E E H1
D2 (E H1)E
14
所以，系统的分布密度函数为
1( p, q)
D2 (E
H1
(
p,
q ))
D(E)
2
总的态密度等于一个常量，那么需要计算大热源的态密度， 因为恒温正则系统的性质与大热源无关，为简单起见，假设 其由单原子分子构成。
粒子数为N2 , 能量为E2 E H1的大热源态密度为
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1
* 最概然方法存在如下两个问题： （1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。 （2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体现出来， 即先对经典粒子进行编号，再消除编号所引起微观 态增多的不足。
3 N2 1
3N2
D2 (E H1) A(E H1) 2 A(E H1) 2
3N2
AE 2
1
H1
3N2
2
E
令 E 1,
3N2
2
即·E 3N2 1, 这里是一个待定常量
2
15
3 N 2
3N2 2
1 H1
H1
1 H1 2 E
1
1
3N2
1
2 H1
利用洛毕达法则，有lim 1 x
（p', q'）可取任何可能的值，将它们积分消除,得出系统分布：
1( p, q)
(
p,
q;
p'
,
q'
)
dp' dq ' N 2!h N2r
1
1
D(E)E
N2!hN2r
dp' dq '
E H1 H 2 E E H1
大热源在E H1 H2 E E H1之间的微观态数等于
1
N 2!h N 2r
[思考题]为什么积分变元要携带着因子1 (N!hNr ) ? 解答：一方面必须考虑相体积元与系统离散相格或 量子态数的关系；另一方面，分布密度函数是微观 状态数的倒数（量纲为1），只有乘以状态数，才能 使结果具有分布密度函数的意义。
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动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综