第六章 系综理论
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小结和习题课
4
§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理：系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设u u(q1, q2 , qrN ; p1, p2 , prN ), 则它的系综平均写作：
3 N2 1
3N2
D2 (E H1) A(E H1) 2 A(E H1) 2
3N2
AE 2
1
H1
3N2
2
E
令 E 1,
3N2
2
即·E 3N2 1, 这里是一个待定常量
2
15
3 N 2
3N2 2
1 H1
H1
1 H1 2 E
1
1
3N2
1
2 H1
利用洛毕达法则，有lim 1 x
u ud d
其中，为分布密度函数，d dq1dq2 dqrN dp1dp2 dprN。
5
[例6.1] N个单原子分子组成的理想气体封闭在边 长为L的立方容器内，计算态密度。
解：所谓单原子分子，就是可以将它们处理为没有
内部结构的点粒子，每个分子只有3个平动自由度。
3N个自由度，6N维相空间，系统的哈密顿量为
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
1
* 最概然方法存在如下两个问题： （1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。 （2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体现出来， 即先对经典粒子进行编号，再消除编号所引起微观 态增多的不足。
（p', q'）可取任何可能的值，将它们积分消除,得出系统分布：
1( p, q)
(
p,
q;
p'
,
q'
)
dp' dq ' N 2!h N2r
1
1
D(E)E
N2!hN2r
dp' dq '
E H1 H 2 E E H1
大热源在E H1 H2 E E H1之间的微观态数等于
1
N 2!h N 2r
(
p,
q)
1 D(E)E
,
0,
式中, 状态数是
E H ( p, q) E E 其他
D(E)E
1 N!h Nr
dpdq
EH ( p,q)E E
9
注意：在刚才的状态数表示式中出现了与关于单粒子 玻耳兹曼统计中不同的两个因子，其意义分别是
(a) hNr系空间的一个相格的体积； (b)1 N!表明全同粒子交换不引起新的微观态。
2
• 系统(system)与系综(ensemble): 系统是一组相 互作用、相互依存的元素；系综是系统的集合， 而不是客体，是为了进行统计平均而引入的工 具。
• 等概率原理：当系统处于平衡态，则发现其 处于各微观态的概率相等。
3
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
H 1 2m
px21
p
2 y1
pz21
px2N
p
2 yN
pz2N
6
空间H E所围的相体积为
(E) dx1dy1dz1 dxN dyN dzN dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
dx1dy1dz1 dxN dyN dzN V N L3N
3N
小结和习题课
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§6. 3 正则系综
正则系综：由封闭系统所构成的系综，具有确定的 粒子数N，体积V和温度T，也称N-V-T系统（恒温系 统）。
正则系综中的系统如何构造？将系统与一个大热源相接触。
（1) 系统加大热源看成一个孤立系统，整体用微正则分布； (2) 将热源变量消除，就得到正则系统的分布。
1 x
x
e 1 ,
[思考题]为什么积分变元要携带着因子1 (N!hNr ) ? 解答：一方面必须考虑相体积元与系统离散相格或 量子态数的关系；另一方面，分布密度函数是微观 状态数的倒数（量纲为1），只有乘以状态数，才能 使结果具有分布密度函数的意义。
10
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
H12 , 这是因为界面的分子数远小于系统和大热库的分子 数，又因为分子间的相互作用是短程力。
13
系统加热库整体作为一个孤立系，视为一个孤立系，其分布 密度函数：
(
p,
q;
p' ,
q'
)
1 D(E)E
,
0,
E H ( p, q; p', q') E E 其他
任务是求出关于系统变量的分布密度函数，而大热源变量
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
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§6. 2 微正则系综
微正则系综：由孤立系统所构成的系综，具有确定的粒子数N， 体积V和能量E，也称N-V-E系统。
微正则分布：在平衡态下孤立系统的一切可能的微观 状态出现的概率都相等（等概率原理），所以，分布 密度函数在等能面上为一常量。
12
thermal source
system T, V,
系统加热库的总哈密顿量为
H
(
p,
q;
p'
Байду номын сангаас
,
q
'
)
H
1(
p,
q)
H
2(
p',
q')
H
12(
p,
q;
p'
,
q
'
)
H 1( p, q) H 2( p', q')
N N1 N2 (N2 N1)
这里，我们忽略了系统粒子与热库粒子的相互作用项
dp'dq'
E H1 H 2 E E H1
D2 (E H1)E
14
所以，系统的分布密度函数为
1( p, q)
D2 (E
H1
(
p,
q ))
D(E)
2
总的态密度等于一个常量，那么需要计算大热源的态密度， 因为恒温正则系统的性质与大热源无关，为简单起见，假设 其由单原子分子构成。
粒子数为N2 , 能量为E2 E H1的大热源态密度为
dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
2mE
3 N
2
2
3N 2
1
N
第二式是3N维球面
p 2xi
p
2 yi
pz2i
2mE所围的体积。
i1
故能量壳层E E dE之间的相体积为
态密度是
d(E)
E
3N
AE 2
1
E
dE
1 D(E) h3N
d(E) dE
A h3N
3N 1
E2
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第六章 系综理论
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§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理：系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设u u(q1, q2 , qrN ; p1, p2 , prN ), 则它的系综平均写作：
3 N2 1
3N2
D2 (E H1) A(E H1) 2 A(E H1) 2
3N2
AE 2
1
H1
3N2
2
E
令 E 1,
3N2
2
即·E 3N2 1, 这里是一个待定常量
2
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3 N 2
3N2 2
1 H1
H1
1 H1 2 E
1
1
3N2
1
2 H1
利用洛毕达法则，有lim 1 x
u ud d
其中，为分布密度函数，d dq1dq2 dqrN dp1dp2 dprN。
5
[例6.1] N个单原子分子组成的理想气体封闭在边 长为L的立方容器内，计算态密度。
解：所谓单原子分子，就是可以将它们处理为没有
内部结构的点粒子，每个分子只有3个平动自由度。
3N个自由度，6N维相空间，系统的哈密顿量为
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
1
* 最概然方法存在如下两个问题： （1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。 （2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体现出来， 即先对经典粒子进行编号，再消除编号所引起微观 态增多的不足。
（p', q'）可取任何可能的值，将它们积分消除,得出系统分布：
1( p, q)
(
p,
q;
p'
,
q'
)
dp' dq ' N 2!h N2r
1
1
D(E)E
N2!hN2r
dp' dq '
E H1 H 2 E E H1
大热源在E H1 H2 E E H1之间的微观态数等于
1
N 2!h N 2r
(
p,
q)
1 D(E)E
,
0,
式中, 状态数是
E H ( p, q) E E 其他
D(E)E
1 N!h Nr
dpdq
EH ( p,q)E E
9
注意：在刚才的状态数表示式中出现了与关于单粒子 玻耳兹曼统计中不同的两个因子，其意义分别是
(a) hNr系空间的一个相格的体积； (b)1 N!表明全同粒子交换不引起新的微观态。
2
• 系统(system)与系综(ensemble): 系统是一组相 互作用、相互依存的元素；系综是系统的集合， 而不是客体，是为了进行统计平均而引入的工 具。
• 等概率原理：当系统处于平衡态，则发现其 处于各微观态的概率相等。
3
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
H 1 2m
px21
p
2 y1
pz21
px2N
p
2 yN
pz2N
6
空间H E所围的相体积为
(E) dx1dy1dz1 dxN dyN dzN dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
dx1dy1dz1 dxN dyN dzN V N L3N
3N
小结和习题课
11
§6. 3 正则系综
正则系综：由封闭系统所构成的系综，具有确定的 粒子数N，体积V和温度T，也称N-V-T系统（恒温系 统）。
正则系综中的系统如何构造？将系统与一个大热源相接触。
（1) 系统加大热源看成一个孤立系统，整体用微正则分布； (2) 将热源变量消除，就得到正则系统的分布。
1 x
x
e 1 ,
[思考题]为什么积分变元要携带着因子1 (N!hNr ) ? 解答：一方面必须考虑相体积元与系统离散相格或 量子态数的关系；另一方面，分布密度函数是微观 状态数的倒数（量纲为1），只有乘以状态数，才能 使结果具有分布密度函数的意义。
10
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
H12 , 这是因为界面的分子数远小于系统和大热库的分子 数，又因为分子间的相互作用是短程力。
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系统加热库整体作为一个孤立系，视为一个孤立系，其分布 密度函数：
(
p,
q;
p' ,
q'
)
1 D(E)E
,
0,
E H ( p, q; p', q') E E 其他
任务是求出关于系统变量的分布密度函数，而大热源变量
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
8
§6. 2 微正则系综
微正则系综：由孤立系统所构成的系综，具有确定的粒子数N， 体积V和能量E，也称N-V-E系统。
微正则分布：在平衡态下孤立系统的一切可能的微观 状态出现的概率都相等（等概率原理），所以，分布 密度函数在等能面上为一常量。
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thermal source
system T, V,
系统加热库的总哈密顿量为
H
(
p,
q;
p'
Байду номын сангаас
,
q
'
)
H
1(
p,
q)
H
2(
p',
q')
H
12(
p,
q;
p'
,
q
'
)
H 1( p, q) H 2( p', q')
N N1 N2 (N2 N1)
这里，我们忽略了系统粒子与热库粒子的相互作用项
dp'dq'
E H1 H 2 E E H1
D2 (E H1)E
14
所以，系统的分布密度函数为
1( p, q)
D2 (E
H1
(
p,
q ))
D(E)
2
总的态密度等于一个常量，那么需要计算大热源的态密度， 因为恒温正则系统的性质与大热源无关，为简单起见，假设 其由单原子分子构成。
粒子数为N2 , 能量为E2 E H1的大热源态密度为
dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
2mE
3 N
2
2
3N 2
1
N
第二式是3N维球面
p 2xi
p
2 yi
pz2i
2mE所围的体积。
i1
故能量壳层E E dE之间的相体积为
态密度是
d(E)
E
3N
AE 2
1
E
dE
1 D(E) h3N
d(E) dE
A h3N
3N 1
E2
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第六章 系综理论