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第一节多元函数的基本概念

(1) 令P(x,y)沿ykxm趋向P0(于 x0,y0)，若极限值与k有关，则可不断存言 . 在此极限
(2)找两种不同趋使l向 imf(方 x,y)式存，在，但 xx0 yy0 两者不相等， lim 则 f(x,可 y)不断存言 .在 xx0 yy0
定义 2 设n元函数 z f(P)的定义域为D点， P0集
函数z f (x, y)当x x0, y y0 时的极限，记作 lim f (x, y) A.
xx0 y y0
或记为 ( f (x, y) A,( 0),这里 PP0 ) .
说明：
义P中 P0的方式是
(2) 二元函数的极二限重也极 lim 叫限 f(x,做 y); xx0 yy0
U(P,)P|P|P
0
0
• P0
( x , y ) |( x x ) 2 ( y y ) 2 .
0
0
2. 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 蘿E ，则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于E .
如果点集E的点都是内点，
x2y2
例 3求极li限 m sinx(2y).
x y x 0
2
2
y 0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
limsin(x2 y) x 2 y ,
x0 y0
x2 y
x2 y2
其中
limsin(x2 y)
x0 y0
x2 y
ux2y
lim
u0
sin u u
1,
x2y x2 y2

第讲多元函数的概念课件

区域的边界
区域的边界
区域的边界图示
区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.
记为
闭区域
4. 多元函数及其图形
多元函数及其图形
例长方体体积 V 依赖于其长度 x ，宽度 y 及高 z ：
V xyz
这里 x , y , z 各自独立变化，所以 V 是“自变量” x、y、z 的
例
空间Rn 中, 空集与全集 Rn 是开集还是闭集? 规定 :空间中的空集与全集既是开集又是闭集.
对空集的规定
3. 区域
若非空集 Rn 为一连通开集, 则称为Rn 中的区域.
区域是连通开集.
开的
区域的内点及边界点都是它的聚点.
注意：集合的聚点不一定属于集合.
的所有边界点构成的集合称为的边界，记为。
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空间
1. 空间Rn 中邻域的定义
设 X 0 Rn ( n 2, 3, )， 0 为实数，则称集合 U( X0, ) {X | d(X , X0 ) }
为 Rn 中点 X 0 的邻域，记为 U( X 0 , ) 。
想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ?
在 R2 中：Uˆ (X0, ) {(x, y) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 } 在 R3 中：Uˆ (X0, ) {(x, y, z) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 }
去心邻域概念
2. 聚点、开集、闭集、有界集
请点击
(
)
x0
x0
x0
U(x0, ) {x | d(x, x0 ) }
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空间

多元函数的基本概念 PPT

属于E 的点(点P 本身能够属于E,也能够不属于E ), 则称P 为E 的边界点、
E 的边界点的全体为E 的边界、
•P
E
上页下页返回结束
说明: E 的边界点估计属于E,也估计不属于E、
例如,关于集合 E {( x, y) | 1 x2 y2 4}
E 的边界为 D {( x, y) | x2 y2 1或 x2 y2 4} 其中边界点 {( x, y) | x2 y2 1} 都不属于E, 而边界点 {( x, y) | x2 y2 4} 都属于E、
(x, y) 1 x2 y2 4
y
开区域 y
o
x
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
o
o 1 2x
y o 1 x2 x
上页下页返回结束
整个平面是最大的开区域 , 也是最大的闭区域;
点集( x, y ) x 1是开集,
但非区域、
y
1o 1 x
上页下页返回结束
三、二元函数的极限
定义: 设二元函数 f ( P )=f (x,y)的定义域为D,P0 (x0 , y0 )
为 D 的聚点,若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时,
函数f (x,y)总趋向于某个确定的数值A,则称 A 为函数
f (x,y) 当
时的极限(二重极限),
记作
y
o12 x
上页下页返回结束
(3)连通
设D是点集,假如关于D内任何两点,都可用折线连
接起来,且该折线上的点都属于D,则称点集D是连通
的。 (4)开区域与闭区域
• •
D
连通的开集称为区域或开区域、

《高数教学课件》第二节多元函数的基本概念

04
多元函数的极值与最值
Part
定义
设$D$是平面或空间的一个区域，$f(x,y)$是定义在$D$上的二元函数。如果对于点$P_0(x_0,y_0)$的某个邻域内的所有点$(x,y)$都有$f(x,y) leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$取得极大值（或极小值）。
偏导数的定义
偏导数描述了函数在某一点处沿某一方向的变化率，具有连续性、可加性和可微性等性质。
偏导数的性质
在二维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切线的斜率；在三维空间中，偏导数可以解释为函数图像在该点的切面的法线斜率。
偏导数的几何意义
偏导数的概念与性质
全微分的定义
如果一个多元函数在某点的各个方向的偏导数都存在，并且存在一个与这些偏导数相对应的线性组合，使得该线性组合在任意点都等于该点的函数值，则称该线性组合为该函数在该点的全微分。
求解方法
通过极值定理，将多维问题转化为多个一维问题求解。
应用
在解决实际问题时，常常需要找到函数在某个区域上的最大值或最小值，以便了解该问题的最优解或最劣解。
01
02
03
多元函数的最值
联系
最值和极值都是函数在某个点或区域的取值特性，它们都反映了函数在某个特定点或区域附近的取值情况。极值是局部的概念，而最值是全局的概念。在某些情况下，极值点可能就是最值点，但最值点不一定都是极值点。
判定方法
一阶条件（偏导数等于零的点）、二阶条件（海森矩阵的判别式小于零的点）。
应用
解决实际问题时，常常需要找到函数的极值点，因为这些点往往对应着最优解或最劣解。
多元函数的极值

高等数学-多元函数的基本概念PPT课件

例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例：求下列函数的定义域
（1）f (x, y) ln(1 x2 y2 )
1. 内点是聚点； 2. 边界点是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化，极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
lim
y)(0,0
)
sin( x x2
2 y) y2
.
解
sin( x2 y)
lim
( x, y)(0,0)
x2 y2
( x,
lim
y)(0,0)
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
其中 ( x,

多元函数的基本概念课件

曲线积分的计算公式为：∫L f(x,y,z) ds，其中L是积分曲线。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的数学工具，分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领域有广泛应用，如计算力矩、功等物理量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多个变量上的数学函数。例如，三维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点，然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通过直角坐标系或极坐标系进行。
03
04
二重积分可以应用于面积、体积、质量等的计算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域上的函数值累积的数学工具。

多元函数基本概念-PPT精品文档

嘉兴学院
2/25/2019
第七章多元函数微分学
第9页
引例:
7.2.3多元函数的概念
r
圆柱体的体积 2 V πr h,
( r , h ) r 0 , h 0
h
abc ) b 三角形面积的海伦公式 ( p a 2 S p ( p a )( p b )( p c ) c ( a , b , c ) a 0 , b 0 , c 0 , a b c
例如,在平面上,
2 2 (圆邻域) U ( P , δ ) ( x , y ) ( x x ) ( y y ) δ 0 0 0
2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) δ U ( P , ) ( x , y , z ) 0 0 0 0
在空间中,

(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U( P 0). 点 P0 的去心邻域记为 U PP δ ( P ) P0 0 0
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2/25/2019
o
第七章多元函数微分学
第5页
(2). 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P :
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点；若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ;
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第七章多元函数微分学
第10页
n 称为定义 R D R , 映射 f :D 定义1. 设非空点集
在 D 上的 n 元函数 , 记作
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数

多元函数的概念ppt课件

o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否则称为无界点集．例如，
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ，则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
当P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
三、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0

D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定义 2 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的一切点 P D ，都有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数f (P )

2019年D8-1多元函数概念(全).ppt

D
．．

y
y
o
1 2x
o
1 2x
（6）有界点集、无界点集
若平面点集 E 可包含于原点的某个邻域内，则称 E 为有界点集；否则，称 E 为无界点集．例如， 2 2 {( x , y ) | 1 x y 4} 为有界闭区域； {( x , y ) | x y 0} 为无界开区域．
o
1 2x
(4) 连通集若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通集; D ( x , y ) x 1 是开集，

2

( x, y ) y1 x
1
( x, y)
但不是连通集
x y 0
．．
y
y 4
2
是连通集
1 x
o
1 2x
例7
xy 1 1 求 lim . x 0 xy y0
解
xy 1 1 原式 lim x 0 xy( xy 1 1) y0 1 lim x 0 xy 1 1 y0
1 2
4．有界闭区域上连续函数的性质(了解,不记) （1）有界性
有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．

( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 52
二、多元函数的概念
1．多元函数的概念
两个自变量的函数称为二元函数，一般记为 z f ( x , y ) ，例如 x y 2 2 z 2 xy z 1 x y x y 同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为 u f ( x, y, z )
二元及二元以上的函数称为多元函数。

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x
各坐标平面上的点﹑各坐标轴上的点的坐标有何
特点? 3
3．空间中两点间的距离公式
① M1（x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)
d=│M1M2│= (xx)2(yy)2(zz)2
21
21
21
② 点 M（x, y, z)到原点o的距离
d=│oM│=
z
x2 y2 z2
M2
z
M
o
y
o M1
7
解：⑴设球心为 (x0, y0, z0) , 半径为R
则
S :(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R 2
⑵设垂直平分面上的点M(x,y,z) 。
则 M AM B 2x6y2z7
M
A
B
⑶ (x1)2(y2)2z25
球心在(1,-2,0)，半径为 5 的球面
8
2．常见的空间曲面
2. 内点：设E是一点集，P是一点，若 D(P)E ，则称P为E的内点。
.P
E
18
3. 边界点： D (P),P 1D (P)且 P1 E ； P2 D(P) 且 P2 E ，则称
P 为E的边界点。
E
P.
4. 开集：点集E的点都是内点，
y
则称点集E为开集。
如:
E 1(x,y)1x2y24
D是有
界闭域
．
D
y D
D是无界开域
o
x
21
10．聚点：对于点P和点集E，若 D(P),D(P)内有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。
显然：① E的内点是E的聚点；
② E的边界点可能是E的聚点，例如，
设 E 2(x,y)0x2y2 1 ，则（0，0）
是E2的边界点又是聚点，但( 0，0 ) E2 ；
x
x
y
4
二．空间曲面与方程
1．曲面方程的概念
（1）曲面S和方程 F（x, y, z)=0
对于曲面方程曲面S和方程 F（x, y, z)=0
若：点M（x, y, z) ∈ S
F(x, y, z)=0
点M（x, y, z) S
z
S
. M(x,y,z)
F(x, y, z) ≠0
o
y
x
5
则称 F(x, y, z)=0是S的方程；
S是F(x, y, z)=0的图形
(2) 关于曲面研究的两个基本问题 :
①已知曲面 → 建立方程 ②已知方程 → 讨论曲面的形状（截痕法或称截口法；化为形状
已知的曲面方程）
6
例如：⑴建立球面的方程 ⑵设点A(1, 2, 3)、B(2, -1, 4) 求线段AB的垂直平分面的方程 ⑶方程 x2y2z22x4y0 表示怎样的曲面？
⑴ 平面
方程 ax+by+cz=d (a、b、c不全为0）
坐标平面的方程：z = 0 —— x0y面
z
y = 0 —— x0z面
x = 0 —— y0z面
o
y
x
9
例如：方程 2x + 3y=6 x=A y=B z=C
分别表示什么平面？
z
z
z
2
o
y
oy
A
3 2x+3y=6 x
x
(三元一次方程
平面)
F（x，y，z）= 0 的大致形状
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a , b , c 0 )
x
—— 单叶双曲面
o
y
S
16
例2
z y2 x2
z
o
y
x
S
—— 双曲抛物面（马鞍面）
17
三.平面区域的概念
1. 邻域： D (P 0 )P P P 0 (D (P 0 ) )
D (P 0 )(x ,y )(x x 0 )2 (y y 0 )2
n 维 (x1,x2,L ,xn) n 维空间 R n
23
12． n维空间中两点 P ( x 1 , x 2 , … , x n ) ﹑ Q ( y 1 , y 2 , … , y n ) 间的距离
x y0
(E 1)
20
8．闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域
如：(x,y)xy0 及 (x,y)1x2y24
9．有界点集：设定点A，点集E，若 PE使 M 0，有 PA M 成立，则称E为有界点集。
（否则无界点集）
如：有界闭区域 (x,y)1x2y24
无界开区域 (x,y)xy0
o
x
B y
z C
o
y
x
10
⑵ 柱面
平行于定直线并沿曲线C（准线）移动的直线L（母线）形成的轨迹，称为柱面。平面是柱面的特例（当准线为直线）
z
已知直线
S
L
o
y
x
C
11
例如：方程① x2 y2 R2 ② y2 z2 R2
③ x2z2 R2 ④ y 2 2 x
都是柱面的方程
z
①S R
y
x z
③
O 12 x E1
19
5. 边界：点集E的边界点的全体称为E的边界。
如：E1的边界是
x2 y2 1
x2 和 y2 4
6. 连通区域：对于开集D，若 P1,P2D，都可用折线
（属于D）连结，则称D是连通集。
7. 开区域（区域）：连通的开集称为区域或开区域。
如：(x,y)xy0 及 (x,y)1x2y24
双叶双曲面：
x2 y2 z2 a2b2c21
(a,b,c0)
x2 y2 z2 二次锥面： a2b2c20 (a,b,c0)
椭圆抛物面：
x2 p
y2 q
2z
(p,q0)
双曲抛物面（马鞍面）：
x2 y2 2z (p,q0) pq
15
3．截痕法
已知 F（x，y，z）=0 研究所表示的曲面的形状常采用截痕法：用坐标平面和平行于坐标平面的平面去截曲面，考察相截而得到的交线的形状；综合各种情况，描绘出曲面
RS
y
z
②
R
y
xSzLeabharlann S④oy
x
12
⑶ 二次曲面
三元二次方程 a1x2a2y2a3z2b1xzb2xz b3yzc1xc2yc3zd
二次曲面
常见的二次曲面：
z
球面：
S
x2y2z2 R2
o
y
(R 0)
x
13
椭球面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
z
(a,b,c,0)
S
o
y
x
14
单叶双曲面：a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c0)
§7.1
预备知识
本节学习空间解析几何的一些基本知识
1
一、空间直角坐标系与空间的点
1．空间直角坐标系（三维空间）
右手系横轴纵轴竖轴坐标原点坐标轴坐标平面卦限
z
o
y
x
2
2．空间直角坐标系下点的坐标
M（x,y,z): M
(x, y, z)
z z0 R
o
x0 P
M(x0,y0,z0 )
y0 Qy
。 E2
而点 (x0,y0)(x,y)x2y2 1是E2的边
界点又是聚点，但( x0 , y0 ) E2
从而，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E 。
22
11．空间：点的集合。
空间一维二维三维
...
点
x
(x, y) (x, y, z)
...
集合直线平面空间
...
记号
R
R2 R3 ...