离散数学 第4章 谓词逻辑
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。
解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
离散数学谓词
离散数学谓词离散数学是一门研究离散对象和离散结构的数学分支，是计算机科学中的基础课程之一。
谓词是离散数学中的一个重要概念，本文将介绍谓词的概念、性质、表示方法、逻辑联结词和量化符号。
一、谓词的概念谓词是用来描述某些对象的性质的一种符号。
常用的谓词有“是”、“属于”、“含有”等等。
例如，对于集合A={1,2,3}，可以定义一个谓词P(x)，表示x是A中的元素。
则P(1)、P(2)、P(3)为真，而P(4)为假。
谓词可以有多个自变量，例如，对于两个正整数x和y，可以定义一个谓词R(x,y)，表示x是y的因子。
则R(1,5)、R(2,10)、R(5,25)为真，而R(3,5)、R(4,10)、R(6,25)为假。
二、谓词的性质1. 谓词的真值只能是真或假，不能是其他值。
2. 谓词的真值取决于自变量的取值。
3. 谓词可以用逆否命题、否命题、等价命题、充分条件等概念进行推理。
三、谓词的表示方法1. 用符号表示，谓词一般用大写字母表示，例如，P(x)、Q(x,y)。
2. 用语言表示，例如，对于集合A={1,2,3}，可以用语言表示为“x是A中的元素”。
3. 用图形表示，例如，对于一个人集合P，可以用图形表示为：四、逻辑联结词逻辑联结词是用来连接两个或多个命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
在离散数学中，逻辑联结词常用于对谓词进行逻辑推理。
1. 与（$\land$）：表示“且”，两个命题都为真时，结果为真，否则结果为假。
五、量化符号量化符号是用来表达命题中“每个”或“存在”的词语，是谓词逻辑中的一个重要概念。
常用的量化符号有全称量词和存在量词。
1. 全称量词（ $\forall$）：表示“对于任意”，例如，$\forall x\in A, P(x)$表示对于集合A中的任意元素x，都有P(x)为真。
六、总结离散数学中的谓词是一个非常重要的概念，它可以用来描述对象的性质，同时也是谓词逻辑的基础。
要想深入理解离散数学，就必须对谓词有深入的认识和理解。
[工学]离散数学ch4[1]谓词逻辑基本概念
![[工学]离散数学ch4[1]谓词逻辑基本概念](https://img.taocdn.com/s3/m/ad8e4201ccbff121dd36834b.png)
P称为谓词 小陈、x是客体
P(x)是命题函数
P(小陈) ;P(小林)
P(x): x是大学生
谓词和量词:谓词
客体：
在句子中，可以独立存在的客观实体(一般 为句子的主语或宾语)。客体常用带有或不 带有下标的小写字母表示，如:x， y， z， a1, a2, a3……
谓词:
刻划客体的性质或几个客体间关系的模式 叫谓词，常用大写字母A， B， …… ，P， Q ,……表示。
谓词和量词:量词
考虑下列命题
所有的人都是要死的
有的人可以活百岁以上 命题当中，除了有客体和谓词外，还有表 示数量的词，称为量词 量词的种类: 全称量词 存在量词
谓词和量词:量词
1.全称量词
对应于日常语言中的: “一切的”, “所 有的”, “任意的”等 用符号“ ”表示 x表示:对客体域里面的所有客体 x读作‘对任意x’ xF(x)表示客体域里面的所有客体x都 有性质F
离散数学
第一部分 数理逻辑 谓词逻辑基本概念
简单回顾
命题和联结词
命题公式分类
永真式 永假式 可满足式
判定问题
真值表方法 命题演算 范式
等价关系 永真蕴含 对偶 代入 主析取范式 (极小项之和) 主合取范式(极大项之积)
推理理论
命题和联接词 判定问题 推理
推理的形式结构 推理的方法
命题逻辑的局限性
17世纪:莱布尼兹 ,“普遍的符号语言”、推理演算和 思维机械化的思想 1879年:G.弗雷格《概念语言》一阶逻辑体系
19世纪70年代: G.康托尔创立了集合论
谓词演算
谓词 谓词演算中的量词 谓词公式 自由变元与约束变元
离散数学的谓词逻辑详解
“存在x， ┐ P(x)是真”
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数， 设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。 例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
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变元的约束
令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。 判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？ 例1 ：
P(x， y) P(x， y)∧Q(x) Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
为了方便，引入全总个体域，记为：U，简称全域: 定义:宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合称为全域。
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特性谓词
后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全域。而对个 体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制。
一般地，对全称量词，特性谓词作蕴含的前件引入；而 对存在量词，特性谓词常作为合取项引入。
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3. 量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中的 各种命题。 例如： “ 所有的正整数都是素数 ” “ 有些正整数是素数 ” 两种量词: 全称量词和存在量词.
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
离散数学 第三-四章
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
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这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
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谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
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例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
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例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
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例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
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一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
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谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学谓词逻辑
离散数学谓词逻辑以《离散数学谓词逻辑》为标题，写一篇3000字的中文文章离散数学谓词逻辑（Discrete Mathematics Predicate Logic）是一种非常灵活的数学抽象思维方式，它是用来描述关系的基本逻辑形式。
例如，假设我们有三个人，分别叫做张三、李四和王五，我们可以用离散数学谓词逻辑来描述他们之间的关系。
假设张三、李四和王五是同学，则可以用这样一个谓词逻辑来表示：S(x,y)：表示x和y是同学，x代表一个人，y代表另一个人。
根据谓词逻辑S(x,y)，可以得出如下结论：1、张三和李四是同学，即S(张三,李四)；2、李四和王五是同学，即S(李四,王五)；3、王五和张三不是同学，即~S(王五,张三)，其中“~”表示“取反”，即不成立。
离散数学谓词逻辑的基本概念是由著名数学家许渊冲和英国数学家华罗庚于二十世纪六十年代提出的，它可以用来描述各种复杂系统中的关系和行为规律。
这种数学谓词逻辑是数学逻辑学的一个分支，它将用谓词表达式描述各种复杂的逻辑关系，给出关系的结论。
离散数学谓词逻辑的有点在于，它可以用很详细的方式来描述事实，而且它也可以很容易地描述复杂的系统中的关系和行为规律。
另外，它也是一种很有效的推理工具，可以用来检验某种行为是否符合逻辑规则，从而推断结论。
例如，假设我们有一个机器人A，它可以根据程序执行以下动作：当检测到红色条件时，机器人A会移动到目标地点。
为了模拟这种情况，我们可以定义一组谓词来表示：R(x,y)：表示x处有红色条件，y代表一个位置；M(x,y)：表示x可以移动到y，x代表一个对象，y代表一个位置。
根据上面的谓词表达式，如果给定以下情况：当机器人A检测到位置a处有红色条件时，它应该移动到第b位置，那么我们可以用谓词逻辑来表示：R(a,b)∧M(a,b)，其中“∧”表示“与”，即同时符合R(a,b)与M(a,b)的条件才行。
离散数学谓词逻辑不仅可以用于描述系统中的关系和行为规律，而且还可以用于复杂系统的建模与推理，它在计算机科学中尤为重要。
离散数学谓词逻辑python
离散数学谓词逻辑python离散数学是计算机科学的基础学科之一，而谓词逻辑是离散数学中的重要内容之一。
谓词逻辑是一种描述事物之间关系的形式化语言，它使用谓词和变量来表达命题和推理关系。
在计算机科学中，谓词逻辑常用于描述和推理程序的正确性和性能等问题。
在本文中，我们将介绍如何使用Python来处理谓词逻辑。
在Python中，我们可以使用一些库来处理谓词逻辑。
其中一个常用的库是`pyDatalog`，它提供了一种简洁而强大的语法来表示和计算谓词逻辑。
让我们通过一个例子来说明如何使用`pyDatalog`来处理谓词逻辑。
假设我们有一个谓词逻辑的知识库，其中包含了一些事实和规则。
我们可以使用`pyDatalog`来定义这些事实和规则，并进行查询。
首先，我们需要导入`pyDatalog`库：```pythonfrom pyDatalog import pyDatalog```然后，我们可以定义一些谓词和变量。
例如，我们可以定义一个叫做`father`的谓词，它接受两个参数，表示父亲和儿子之间的关系：```pythonpyDatalog.create_terms('father, X, Y')```接下来，我们可以定义一些事实和规则。
例如，我们可以定义一个事实，表示“Tom是John的父亲”：```python+father('Tom', 'John')```我们还可以定义一个规则，表示如果A是B的父亲，那么B是A的儿子：```pythonfather(X, Y) <= father(Y, X)```现在，我们可以对这个谓词逻辑进行查询。
例如，我们可以查询谓词`father`，找出所有的父子关系：```pythonprint(father(X, Y))```运行上述代码，我们可以得到结果`father('Tom', 'John')`，表示Tom是John的父亲。
离散数学谓词逻辑
法律中的谓词逻辑
法律推理
法律推理中广泛使用了谓词逻辑，通过 定义相关的谓词和关系，可以清晰地表 达法律条款和案例，并利用逻辑推理得 出结论。
VS
法律文本分析
法律文本分析中利用谓词逻辑对法律文本 进行语义分析和理解，提取关键信息，提 高法律工作的效率和准确性。
心理学中的谓词逻辑
认知心理学
认知心理学中利用谓词逻辑来描述和解释人 类的认知过程，例如概念形成、推理和判断 等。
存在量词消解
如果P(x)是一个存在命题，且Q(x)是一个全称命题，且P(x)和Q(x)之间存在某种关系，那么可以推断 出R(x)成立。
形式化证明
前提条件
证明一个命题需要基于其他命题或公理。
01
推导步骤
使用推理规则将前提条件转化为结论。
02
03
证明结构
由一组前提条件、推导步骤和结论组 成的结构。
04
谓词逻辑的应用
人工智能中的谓词逻辑
推理和决策
人工智能在推理和决策方面应用了谓词逻辑，例如在专家系统中使 用谓词逻辑来表示和推理知识。
自然语言处理
自然语言处理中的语义分析部分广泛使用了谓词逻辑，通过将自然 语言转换为谓词逻辑表示，可以进行更准确的理解和推理。
机器学习
机器学习算法可以利用谓词逻辑进行特征提取和分类，提高学习效率 和准确性。
离散数学谓词逻辑
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目 录
• 离散数学概述 • 谓词逻辑基础 • 谓词逻辑的推理规则 • 谓词逻辑的应用 • 离散数学的其他分支 • 离散数学与计算机科学的关系
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科。它包括许多分支，如数理逻辑、图论、组合数学、代数 结构等。
离散数学主要知识点
离散数学主要知识点离散数学是一门研究集合、逻辑、代数等离散结构的数学学科。
它是计算机科学、信息科学、通信工程、数学等多个领域的重要基础学科。
离散数学的主要知识点包括以下内容：一、集合论集合论是离散数学的基础。
离散数学中的所有概念都是基于集合论的。
集合论研究集合及其元素之间的关系，包括集合的定义、子集、等价关系、配对原理、无限集等概念。
二、二元关系与图论二元关系是表示两个元素之间关系的数学形式。
离散数学中的二元关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
而图论是二元关系的一种特殊形式，它研究图的一些基本问题，如连通性、路径问题、欧拉图、哈密顿图等。
三、命题逻辑命题逻辑是一种用于表达命题之间逻辑关系的语言。
它使用符号表示逻辑概念，有常见的逻辑运算，如否定、合取、析取、蕴含等。
通过对命题逻辑的学习，可以分析已知条件，推出结论，具有很强的实用价值。
四、谓词逻辑谓词逻辑是一种更加复杂的逻辑体系，它能够描述更为丰富的关系和事实。
谓词逻辑包括一阶谓词逻辑和高阶谓词逻辑。
在计算机科学中，谓词逻辑主要用于形式化验证、人工智能、计算机程序正确性的证明等方面。
五、组合数学组合数学是离散数学的重要分支，它研究离散对象之间的组合问题。
组合数学包括排列、组合、二项式系数、Catalan数、指数级生成函数等。
在算法与数据结构、密码学、计算机网络等方面都有广泛的应用。
六、图像与树图像是离散数学中的一种图形结构。
通过图像的学习，可以了解到图的相关概念、算法和应用。
另外，树和二叉树也是离散数学中的一个重要概念。
它们在算法和数据结构中被广泛应用，如Prim算法、Kruskal算法等最小生成树算法。
总体来说，离散数学涵盖的知识点非常广泛，还包括了离散数学中的离散数学逻辑、推理、图论、网络、算法复杂性、公共关键密码、线性代数、概率论等等。
在计算机科学和信息技术的领域发展中，离散数学得到了广泛应用，这些基础的数学知识是实现现代科技的基础。
离散数学_第_4_章习题解答讲解
第四章归结法原理习题与解答1. 用归结法证明：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1) 首先将p→q,p→r，¬(p→q∧r)化为合取范式。
p→q⇔¬p∨qp→r⇔¬p∨r¬(p→q∧r)⇔¬(¬p∨(q∧r))⇔p∧(¬q∨¬r) 给出子句集{¬p∨q,¬p∨r,p,¬q∨¬r}的反驳如下。
⑴ ¬p∨q⑵ ¬p∨r⑶ p⑷ ¬q∨¬r⑸ q 由⑴和⑶由⑵和⑶⑹ r⑺ ¬r 由⑷和⑸⑻ □ 由⑹和⑺因此，p→q,p→r|=p→q∧r(2) 首先将p→r，q→r，¬(p∨q→r)化为合取范式。
p→r⇔¬p∨rq→r⇔¬q∨r¬(p∨q→r)⇔(p∨q)∧¬r给出子句集{¬p∨r,¬q∨r,p∨q,¬r}的反驳如下。
⑴ ¬p∨r⑵ ¬q∨r⑶ p∨q⑷ ¬r⑸ q∨r 由⑴和⑶ p→q,p→r|=p→q∧r p→r,q→r|=p∨q→r p→q∨r|=(p→q)→(p→r)p∧q→r|=(p→r)∨(q→r) p∨q∨r,p→r|=q∨r (p→q)→(p→r)|=p→(q→r)由⑵和⑸⑹ r⑺ □由⑷和⑹因此，p→r，q→r|=p∨q→r(3) 首先将p→q∨r,¬((p→q)∨(p→r))化为合取范式。
p→q∨r⇔¬p∨q∨r¬((p→q)∨(p→r))⇔¬((¬p∨q)∨(¬p∨r))⇔p∧¬q∧¬r 给出子句集{¬p∨q∨r,p,¬q,¬r}的反驳如下。
⑴ ¬p∨q∨r⑵ p⑶ ¬q⑷ ¬r⑸ q∨r 由⑴和⑵⑹ r 由⑶和⑸⑺ □ 由⑷和⑹因此，p→q∨r|=(p→q)∨(p→r)(4) 首先将p∧q→r,¬((p→r)∨(q→r))化为合取范式。
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
[工学]离散数学ch4[1]谓词逻辑基本概念
谓词和量词:量词
所有的人都是要死的(客体域是人类集合) F(x): x是要死的 xF(x)
谓词和量词:量词
所有的人都是要死的(客体域是全总客体域) F(x): x是要死的 xF(x)
对所有客体而言，如果它是人，则它是要死的
F(x): x是要死的 M(x): x是人
x(M(x) →F(x)) 特性谓词
谓词和量词:量词
考虑下列命题
所有的人都是要死的
有的人可以活百岁以上 命题当中，除了有客体和谓词外，还有表 示数量的词，称为量词 量词的种类: 全称量词 存在量词
谓词和量词:量词
1.全称量词
对应于日常语言中的: “一切的”, “所 有的”, “任意的”等 用符号“ ”表示 x表示:对客体域里面的所有客体 x读作‘对任意x’ xF(x)表示客体域里面的所有客体x都 有性质F
说明:
当个体变元x没有赋予确切的客体时，H(x)没有确 切的真值，即并非命题。 谓词或命题函数转化为命题的方法:用特定的客体 取代各个客体变元,该过程称为命题函数的代入实例
谓词和量词:谓词
例1 将下列命题用谓词符号化
(1)2是素数且是偶数
F(x): x是素数 G(x): x是偶数
a: 2 F(a) G(a)
客体变元：
谓词和量词:谓词
3>2
x>y 李明坐在张华和张洪之间 两个客体 两个客体 三个客体
张华和张洪打败了李明和李良 四个客体
谓词和量词:谓词
一元谓词:谓词联系着一个客体名称 二元谓词:若有两个客体名称与谓词相 联系，如L: 小于 n元谓词:n个客体名称与谓词相联系， S(a1, a2,…，an)表示一个命题(具有n 个客体和n元谓词的命题) 0元谓词:不含客体，指一般的命题
离散数学04
例题 n元谓词的符号化
例4.5 将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。
解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。
(1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x))
(2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此 结 引进了谓词M(x)，称为特性谓词。 论 同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。
思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)∧F(x))？ 能否将15(2)符号化为x(M(x)→G(x))？
定义4.4 一阶语言F的合式公式定义如下:
(1) 原子公式是合式公式。
(2) 若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3) 若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB) 也是合式公式。
(4) 若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。
(5) 只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串才是合式公式。
11
量词及相关概念
量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关 系的词。
1. 全称量词：符号化为“”
日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一 个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词 。
x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体 都有性质F。
命题真值为假。 （2）有的人登上过月球。
令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)∧G(x))。
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一般用大写字母, 如P, Q, R, …等大写英文字 母表示谓词, 对于任意的n元谓词, 为了把谓 词及其元数同时表示出来, 象表示n元函数 一样, 用诸如P(x1, x2,…,xn)表示. 例如, 用P(x): x是素数, S(x): x是学生, D(x): x是要死的, G(x,y): x > y, R(x, y, z): x 通过y和z等等. 对于n元谓词P(x1, x2,…,xn)(n 1), 当个体变 元取定个体域D中元素后就是一个命题, 如 G(3, 2): 3 > 2, 它是关于命题的函数, 称为命 题函数(propositional function). 显然, 命题函 数不是命题.
可以指定个体域为正整数集合,也可以是整数集合, 还可以是实数集合等,要同时讨论(3)和(4),可以指 定个体域为所有人组成的集合,也可以是所有动物 组成的集合等. 指定个体域D后,所涉及到的个体变 元在所给的个体域中可任意取元素. 个体域可以是有限集合,可以是无限集合. 我们把 世界上所有对象,如所有的动物、所有植物、所有 字母、所有数字等组成的集合称为全总个体域,简 称全域,它是最大的个体域. 之所以要给出这样的 个体域,是因为在很多问题讨论时都没有指定个体 域,这时就在全总个体域中讨论,它是默认的个体域.
之所以出现这种推理本身是正确的,但无法 证明其有效性的问题,是因为没有对原子命 题的内部形式结构及其逻辑关系进行讨论, 这正是谓词逻辑首先要研究的内容. 本书讨论的谓词逻辑是一阶逻辑. 利用谓词逻辑建立起来的数据库设计理论, 具有牢固的数学基础和一定的智能特点. 同 时,现实世界中的任何问题只要能用谓词逻 辑推理系统方式表示出来,就可以将它写成 逻辑程序设计PROLOG(PROgramming in LOGic)或LISP语言,并用计算机加以实现,如 已经开发出的一些智能教学专家系统等 .
(2)用b: 米卢教练, O(x): x是年老的, S(x): x健 壮的. O(b) S (b). 例4-2 在谓词逻辑中,将下列命题符号化. (1)所有有理数是实数. (2)有些实数是有理数. Solution 令R(x): x是实数, Q(x): x是有理数,则 (1) x(Q( x) R( x)). (2) x( R( x) Q( x)). Remark 在符号化时, 与的正确选择.
Chapter 4 谓词逻辑
原子命题是命题逻辑研究的基本单位, 没有对原子 命题的内部结构及其逻辑关系进行讨论. 在实际思 维中，仅有命题逻辑工具是不够的. 例如著名的苏 格拉底(Scrates)三段论 大前提：所有的人都是要死的， 小前提：苏格拉底是人, 结论：所以,苏格拉底是要死的. 这个推理的有效性在命题逻辑中无法证明,因为上 面的每个命题都是原子命题,可以分别用p, q, r表示, 然而在命题逻辑中p, q r 是无效推理.
xyG( x, y) ?
不受任何量词约束的变元称为自由变元(free variable). xG( x, y) ? (5)约束变元与自由变元的改名(rename) 对于上小节中的“所有人都是要死的”,也 可以y(P(y) Q(y)), w(P(w) Q(w)).
xG( x, w) ? xG( x, t ) ?
若将命题函数中的所有个体变元都进行了 量化,则得到一个命题,否则不是命题.
xG( x, y) ?
(3)量词与个体域 量词是对个体变元进行量化, 所给的个体域 D至关重要. 同一个带量词的命题, 如 xyG(x, y), 而G(x, y): x > y, 则在自然数集 合N中, xyG(x, y)表示没有最小的自然数, 是假命题, 而在整数集合Z中, xyG(x, y)表 示没有最小的整数, 是真命题. a. xP(x) b. P(x) c. xP(x) d. P(a)
Remark 谓词的选取与个体域有关. 例如, 对于命题“所有人都是要死的”, 若 在所有人组成的个体域D中考虑, 只需一个 谓词D(x): x是要死的；若在全域D中考虑, 需要两个谓词P(x): x是人, D(x): x是要死的, 其中P 称为特性谓词, 使用这个特性谓词是 将“人”从全域中分离出来.
表示特定的、具体的个体称为个体常量 (constant), 用字母表中靠前的小写英文字母 a, b, c, …或带下标表示, 如在(2)中,可以用a: 3, b: 2, 也可以直接用表示该个体常量的原 符号表示,如“3”、“2”、“张三”等. 不确 定的个体称为个体变元(variable), 用字母表 中靠后的小写英文字母x, y, z, …或带下标表 示表示. 在讨论个体时,通常要指定个体讨论的范围, 称为个体域(domain of individuals)或论域 (universe),用D表示. 如同时讨论(1)和(2)时,
4. 函词(function) 要把如“张三的父亲”、“两个数的平方 和”等表示出来, 就要用函数, 在谓词逻辑 中习惯称为函词(function: 函数). 设个体域D为所有人组成的集合, f(x): x的父 亲,则f是D上(即D到D)的1元函数. 令D = R, f(x, y) = x2 + y2, 则f是D上(即D2到D)的2元函 数. f : D D D 课堂练习或作业 习题4.1 3, 4, 5, 6, 7.
2.谓词(predicate) (1)中“…是素数”，(3)中“…是学生”, (4) 中“…是要死的”是表示一个个体具有的 性质, (2)中“…大于…”是表示两个个体之 间的关系. 我们把表示个体性质以及个体之 间关系的词称为谓词(predicate).
表示一个个体性质的谓词称为1元谓词, 表 示n个个体之间关系的谓词称为n元谓词.
2.命题的符号化 与命题逻辑中命题的符号化不同, 我们是在 谓词逻辑或一阶逻辑中将命题符号化, 它要 求必须使用谓词. 在谓词逻辑中将命题符号化, 首先找出所给 命题中的所有个体常量,并用a, b, c,…表示； 其次是确定在给定个体域中应该选用的所 有谓词, 特别注意特性谓词的选取；再其次 是确定量词；最后通过找出联结词,将所给 命题符号化.
(2)量词的使用 首先注意,量词单独使用是没有意义的,量词 的后面一定要跟个体变元,如x, y,…, x, y,… x, x等是一个整体. 量词后面所跟的 个体变元称为指导变元. 例如, xP(x), xP(x),
xyG( x, y), xyG( x, y), xyG( x, y).
表示个体数量特征的词称为量词(quantifier), 常用的量词有: 全称量词(universal quantifier) 和存在量词(existential quantifier). 全称量词 相当于“任意”、“全部”、“所有”、 “每一个”、“一切”等, 存在量词相当 于“有些”、“某些”、“有的”、“存 在”、“至少有一个”等. 本书不涉及存在 唯一量词. 现在的量化仅对个体进行, 不对谓词进行, 因而称为一阶谓词逻辑.
Байду номын сангаас
4.2 谓词公式及命题的符号化
1.谓词公式 谓词公式(predicate formula)简称公式, 同命 题公式一样采用的是递归定义. 我们通过例 子给出谓词公式的定义. (1) P(t1, t2,…,tn), n 0; ti可以是个体常量、个体变元, 也可以是用 函词表示的个体常量或个体变元(term). n = 0: 1, 0, p, q, r, …(0元谓词?) p; O( x); G( x, y); I ( f ( x), y); E (a, y);...
例4-4 在谓词逻辑中, 将下列命题符号化. (1)没有一个自然数大于等于任意自然数. (2)存在唯一的偶素数. Solution (1)令N(x): x是自然数, G(x, y): x y. x( N ( x) y( N ( y) G( x, y))).
3.量词(quantifier) (1)量词的概念 对于命题函数, 如P(x): x是素数, 在个体域D 为自然数集合N时, 对于x的每一个取值, 就 得到一个命题. 使成为命题的另一种方法是量化个体变元. 常使用的方法有两种：全称量化和存在量 化. 如D中任意x有P(x), 即“任意自然数是素 数”, D中存在x有P(x), 即“有些自然数是素 数”, 它们都是命题了.
(2) 若A是谓词公式, 则A是谓词公式. W(a); P(x).
(3) 若A和B是谓词公式, 则A*B是谓词公式, 其中*是2元逻辑联结词. R(x) Q(x), Q(x) R(x); B(x) G(x).
(4)若A是谓词公式, 则xA和xA是谓词公 式. x(R(x) Q(x)), x(Q(x) R(x); yG(x, y). (5)有限次使用上面的(1)(2)(3)(4)得到的符号 串是仅有的谓词公式.) Q( y, z ) xP( y, x). xG( x, t ), xy( P( x, y 跟命题公式的理解一样, 只要是书写正确、 意义清楚的符号串或表达式是谓词公式. 由 于在(1)中规定了命题常量和命题变元是谓 词公式, 所以命题公式是谓词公式.
(4)量词的辖域、约束变元与自由变元 x(P(x) D(x)); x(R(x) Q(x)). 量词x或x的作用或管辖的范围称为x或 x的作用域或辖域(scope), 辖域内的个体变 元称为约束变元(bound variable). 若量词后有括号, 则括号里面的部分是其辖 域. x(P(x) D(x))? 若没有括号, 则与量词相邻的部分是辖域. xP( x) D( x) ?