西南交大概率论习题一答案

后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求： （1）第一次、第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率. 解：本题是有放回抽取模式，样本点总数 n 7 . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为
习题一
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A： （1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件 A 表示“点数之和为 7” ； （2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件 A 表示“一分钟内呼唤次数不超 过 3 次” ； （3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件 A 表示“寿命在 2 000 到 2 500 小时之间”. 解：(1) {(,), (,), (,), (,)} ， A {(,), (,)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
11. 总经理的五位秘书中有两位精通英语， 今偶遇其中的三位秘书， 求下列事件的概率： （1）事件 A={其中恰有一位精通英语}； （2）事件 B={其中恰有两位精通英语}； （3）事件 C={其中有人精通英语}. 解：样本点总数为
5 3
2 3 1 2 2 3 3! 6 3 (1) P( A) ； 5 4 3 10 5 5 3 2 3 2 1 3 3! 3 ； (2) P ( B ) 5 4 3 10 5 3
4. 用事件 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1）A 出现，B，C 都不出现； （2）A，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现； （8）三个事件中至少有二个出现. 解：(1) E1 AB C ； (2) E2 ABC ； (3) E3 ABC ； (4) E4 A B C ；
B； （2） AB ； （3） AC ； （4） AC ； （5） A C ； （6） B
C； （7） A C .
解：(1) A B 是必然事件；(2) AB 是不可能事件； (3) AC {取得球的号码是 2，4}； (4) AC {取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C {取得球的号码为奇数，且不小于 5} {取得球的号码为 5，7，9}； (6) B C B C {取得球的号码是不小于 5 的偶数} {取得球的号码为 6， 8，10}； (7) A C AC {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为 6，8， 10}
15. 已知随机事件 A 的概率 P( A) 0.5 ，随机事件 B 的概率 P( B) 0.6 及条件概率
(2) A B x 0 x

(3) 因为 A B ，所以 AB ； (4) A B A x 0 x

1 3 或 x 2 4 2
1 1 3 x 0 x 或 x 1或 x 2 4 2 2
(3) 因 C A B ，且 A 与 B 互斥，因而 P(C ) P( A) P( B)
3 3 9 . 5 10 10
12. 设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的三角形内，而落 在这三角形内各点处的可能性相等， 即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积 成正比，计算这质点落在直线 x=
最后由几何概型的概率计算公式可得
P( A)
x
13. 已知 A B ， P( A) 0.4 ， P( B) 0.6 ，求： （1） P( A ), P( B ) ； （2） P( A （3） P( AB ) ； （4） P( B A), P( A B ) ； （5） P( A B) . B) ；
(2) A1 A2 A3 ；
(3) A1 A2 A3 ；
(4) A1 A2 A3 ；
(5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .
6. 接连进行三次射击，设 Ai ={第 i 次射击命中}（i＝1，2，3） ，试用 A1 , A2 , A3 表示下 述事件： （1）A={前两次至少有一次击中目标}； （2） B ={三次射击恰好命中两次}； （3） C ={三次射击至少命中两次}； （4）D={三次射击都未命中}. 解： B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ， C A1 A2 A1 A3 A2 A3 。 7. 一口袋中有 5 个红球及 2 个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然
{X k | k 0,1,2,} ， A {X k | k 0,1,2,3} .
(3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则
{X (0, )} ，
A {X (2000, 2500)} .
2. 袋中有 10 个球， 分别编有号码 1～10， 从中任取 1 球， 设 A＝{取得球的号码是偶数}， B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于 5}，问下列运算表示什么事件： （1） A
2
A, B, C, D .
25 5 (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A 5 ，故 P( A) 49 7
2
2
5 2 10 49 72 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C 2 5 2 ，故 P(C ) 49 7 5 35 5 (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D 7 5 ，故 P( D) 2 . 49 7 7
4 2 4 3 2 2 P( A) 6 6 5 2 5 2 4 2 1 1 4 2 2 8 P( B) 65 15 6 2
(5) E5 A B C ； (6) E6 A B C AB C A BC A B C ； (7) E7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC .
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ，试用 Ai 的运算表示下列各个事件： （1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品； （4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品. 解：(1) A1 A2 ；
解：(1) P( A ) 1 P( A) 1 0.4 0.6 ， P( B ) 1 P( B) 1 0.6 0.4 ； (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 ； (3) P( AB) P( A) 0.4 ；(4) P( B A) P( A B) P( ) 0 ,
P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 0.6 0.4 ；
(5) P( A B) P( B A) 0.6 0.4 0.2. 14. 设 A， B 是两个事件， 已知 P （A） =0.5， P （B） =0.7，P( A 与 P（B-A）. 解 ： 注 意 到 P( A B) P( A) P( B) P( AB) ， 因 而 P( AB) P( A) P( B) 试求： P （A-B） B) =0.8，
P( A B) 0.5 0.7 0.8 0.4 . 于 是 ， P( A B) P( A AB) P( A) P( AB)
0.5 0.4 0.1 ； P( B A) P( B AB) P( B) P( AB) 0.7 0.4 0.3 .
1 的左边的概率. 3
解：记求概率的事件为 A ，则 S A
1 为图中阴影部分，而 | | 1 / 2 ，
SA
| S A |
1 1 2 1 5 5 2 2 3 2 9 18
| S A | 5 / 18 5 . || 1/ 2 9
2

h
O
1/3 图1 1
23 1 . 65 5
(ⅱ) 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为
2 2 ，所求概率为
2 2 2 . 6 5 15
9. 一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取 2 次，每次随机地取 1 只，试求下列事件的概率： （1）2 只都是合格品； （2）1 只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有 1 只是合格品. 解：分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B, C ，则
3 1 1 3. 在区间 [0,2] 上任取一数，记 A x x 1 ， B x x ，求下列事件的表 2 2 4
达式： （1） A
B； （2） AB ； （3） AB ， （ 4） A
B.
解：(1) A B x
1 3 x ; 2 4 1 1 或 1 x 2 B x x 2 4 1 x 1 x 2 3 ; 2
2
6 1 62 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 P( B) 2 18 6 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 18 1 P(C ) 36 2 P( A)
注意到 C A B ，且 A ห้องสมุดไป่ตู้ B 互斥，因而由概率的可加性知
P(C ) P( A) P( B)
2 8 14 。 5 15 15
10. 掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 7； （2）点数之和不超过 5； （3）点数之和为偶数. 解：分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A, B, C ,样本点总数 n 6 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
(ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B 5 2 ，故 P( B) 8. 一个口袋中装有 6 只球， 分别编上号码 1～6， 随机地从这个口袋中取 2 只球， 试求： （1）最小号码是 3 的概率； （2）最大号码是 3 的概率. 解：本题是无放回模式，样本点总数 n 6 5 . (ⅰ) 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3， 因而有利样本点数为 2 3 ，所求概率为