平面与平面所成的角
平面的斜线和平面所成的角
M
O β
6
N'
M'
4
N'
1
M'
1 ' 解： 当M，N在平面同则时有 sin MOM 2 OM 1 OM=2 3 ' OM 6 4 cos MOM . 2
例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β 所成角 的余弦值。
θ与∠AOD的大小关系如何？
二、最小角定理：
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
O
C
∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD
AB 斜线和平面所成的角， sin B AO 是这条斜线和平面内任意 D AC 在Rt 的直线所成的一切角中最 △AOC中，sin AOD AO 小的角。
0
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
解: 由最小角定理得
6 3
。
A
cos AOD cos BOD cos
O
C
即cos 60 cos30 cos
0 0
B D
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
引例:如图，OA是平面的斜线， AB⊥平面 于B，OC是 内不与 OB重合的任意直线，∠AOB= ， ∠BOC= ，∠AOC= ， O 求证：cos =cos cos C 证明: 设|AO|=1则
平面的斜线与平面所成的角
E D
F
∠HCD
BG和EA与平面
ABCD所成的角
C 分别是？
A
B
∠GBC与∠EAB
EG和EC与平面ABCD所成的角分别是？
∠ACE
三、典例分析
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平
面A1B1CD所成的角.
30
D1
C1
A1 D
B1 O C
1
步骤： 1、作角 2、证明 3、求角
1、理解平面的斜线和平面所成 的角的概念; 2、掌握平面的斜线和平面所成 的角的求法。
一、斜线在平面内的射影:
(一)点的射影:
P
线段PO称为点P到
平面α的垂线段
O
α
点O称为点P到平面 α内的射影
(二)斜线:
l P
直线l称 为平面α 的斜线
O
α
O称为斜
线段PO称 为点P到平 面α的斜线 段
(三)斜线的射影:
坚 韧、顽 强、执 着。他 ，年对 疾病的 一次次 来访， 命运的 一次次 捉弄， 矢志不 渝。 他 ， 丑 陋 的 外表下 有一颗 金子般 的心， 他是音 乐巨人 贝多芬 。 在 遭 遇
面面角的平面角的范围
面面角的平面角的范围
面面角是指两个面在空间中的交角，平面角是指两个平面在
空间中的交角。
平面角的范围取决于两个平面的相对位置和交
角的大小。
当两个平面相交于一条直线时，它们的平面角为零度。
这是
因为在这种情况下，两个平面可以视为重合在一起。
当两个平面相交于一个点时，它们的平面角取决于交角的大小。
根据平面角的定义，它的范围可以是0度到360度之间的
任意值。
当两个平面的交角为0度时，它们被视为平行平面；
当交角为90度时，它们被视为垂直平面；当交角大于90度时，它们被视为斜交平面。
当两个平面相交于一条线段时，它们的平面角也取决于交角
的大小。
如果交角小于180度，则在此情况下，平面角的范围
是0度到180度之间的任意值。
当交角等于180度时，平面
角被称为平面直角，这意味着两个平面互相垂直；当交角大于180度时，平面角的范围再次是0度到360度之间的任意值。
总结起来，平面角的范围可以是0度到360度之间的任意值，取决于两个平面的相对位置和交角的大小。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
平面与平面所成的角
的平面角。
D
A
图形
C B
因为在正方体中，∠A1AB 是直角, 所以二面角D1-AD-B为90°。
设计意图：加强了学生对二面角定义的认识与理解，并掌握如何求二面角
当堂检测
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
1、二面角指的是（ B）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度； B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形； C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角； D、过棱上一点和棱垂直的两条射线所成的角。
所成二面角，
可以记作： A-BD-B1
设计意图：增强学生对复杂立体图形中的二面角的把握能力
新知探究二
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
新知探究二
学 习 二 面 角 的 平 面 角
1 安装工人怎么做？ 2 认识二面角的平面角 3 同一个二面角的平面角是否相等 4 二面角的取值范围
新知探究二
1.安装工人怎么做？
设计意图：让学生初步感知二面角
9.3.3 平面与平面所成的角
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
复习旧知 n'
n
空间两直线所成的角
m' o
m
o
m' P
直线与平面所成的角
AB
设计意图：构建知识基础，做好知识储备
新知学习
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
新知探究一 认识二面角
学习二面角的平面角
PART
教学策略
教学流程
教学分析 教学策略 教学过程 教学反思
课前任务
课中实践
课后作业
课前任务
学习平台
面面所成角的概念-概述说明以及解释
面面所成角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述面面所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了由两个或多个平面所限定的角。
在我们的日常生活中，无论是建筑物的角落、几何图形的边角还是立体几何模型的切面，都离不开面面所成角的概念。
面面所成角的研究不仅仅是为了解释几何现象，更为重要的是它在实际问题中的应用和意义。
本文将对面面所成角的定义、性质以及其在几何学中的应用进行探讨。
首先，我们将详细介绍面面所成角的定义，阐述其形成的条件和基本特征。
其次，我们将探讨面面所成角的性质，包括其大小、关系和变换规律等方面。
最后，我们将总结面面所成角的概念，并对其在实际应用中的意义进行探讨。
本文的目的是为读者提供一个全面深入的了解面面所成角的概念，帮助读者在几何学研究和应用中更好地理解和应用这一概念。
无论是学习几何学的学生，还是从事相关领域的研究人员，都会从本文中获得有关面面所成角的详细知识和实践经验。
在接下来的正文中，我们将首先介绍面面所成角的定义，明确其基本概念和形成条件。
然后，我们将详细分析面面所成角的性质，包括大小、关系和变换规律等方面。
最后，我们将探讨面面所成角在实际问题中的应用和意义，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够对读者对面面所成角的理解和应用提供帮助，使读者能够更好地掌握这一重要的几何学概念，并能够将其运用于实际问题中。
在深入研究和应用面面所成角的过程中，我们不仅能够提高自己的学习能力和解决问题的能力，还能够拓宽对几何学的认识和感悟，培养自己的抽象思维和逻辑思维能力。
愿本文对您的学习和工作有所帮助，谢谢阅读！1.2 文章结构文章结构文章采用了引言、正文和结论三个部分的结构。
引言部分概述了整篇文章的内容，包括面面所成角的基本概念、文章的结构和文章的目的。
正文部分主要分为两个小节，分别是面面所成角的定义和面面所成角的性质。
面面所成角的定义部分会详细介绍面面所成角的概念，阐述面面所成角的形成条件和定义方式，以及一些基本的相关概念和术语。
平面的斜线和平面所成的角
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
H E
D A
G
HC与FG、EA在
F
平面ABCD上的 射影分别是什么？
DC,BC与点A
C
B
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
射影长 定理 从平面外
O
B
C 一点向这个平面所引
的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
O
A B
平面的斜线，斜足。 斜线段。
斜线在这个平面上的射影； 斜线段在这个平面上的射影。
斜线上任意一点在平面上的 射影，一定在斜线的射影上。
θ1 为斜线AO与AO在α 上的射影AB所成的角 θ2 为射影AB与平面α内直线AC所成的角
θ 为斜线AB 与平面α内直线AC所成的角OΒιβλιοθήκη 1A ２ BC
cos =cos １ cos２
最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所
成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
线面角
1.平面的斜线和平面所成的角
(平面的斜线和它在平面上的射影的夹角).
1
它的范围是[0，90]
2.一条直线垂直平面,线面所成的角是直角.
线面角、面面角
2、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意 O 一点为端点，在两个面上 l 分别引垂直于棱的两条射 O 线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 注：二面角的平面角必须满足： 角的顶点在棱上。 角的两边分别在两个面内。 角的边都要垂直于二面角的棱。 二面角的取值范围（0,π）。
B
A
B
A
1. 相交成90°的两条直线与一个平 面所成的角分别是30°与45°，则这 两条直线在该平面内的射影所成角的 正弦值为( C ) (A) 3 3
6 6 3 (B) (C) (D) 3 2 2
2.如图，正方形ABCD所在平面与正 方形ABEF所在的平面成60°的二面 角 ， 则 异 面 直 线 AD 与 BF 所 成角的余弦值是___________.
(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值;
(3) 求二面角D-AB-C的平面角的正切值.
5. 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，BE⊥PC，E为垂足. 求证：平面BDE⊥平面PBC． P
E
D A B
C
2 4
3.将矩形ABCD中的△ ABD沿对角线 BD折起，使A在平面BCD上的射影O在 CD上，若O恰为CD中点，求折后直线 AB与平面BCD所成的角. D C
A D
C B
A
B
E
O
4. 在四面体ABCD中,平面ABD⊥ 平面BCD,△ABD为等边三角形， CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小；
线面角 面面角
线面角
平面的一条斜 线和它在平面内的 射影所成的锐角， 叫做这条直线和这 个平面所成的角。
一直线垂直于平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
两平面的夹角范围
两平面的夹角是一个几何学中的重要概念，它描述了两个平面之间的相对位置关系。
夹角的范围可以从0度到90度，其中0度表示两个平面完全重合，90度表示两个平面完全垂直。
首先，我们需要明确什么是平面。
平面是一个无限延伸的二维空间，它没有厚度和宽度，只具有长度和宽度。
当我们说两个平面时，我们实际上是在描述两个具有相同性质（如方向、法线向量等）的空间区域。
两个平面的夹角是由它们之间的相对位置关系决定的。
我们可以将这个夹角想象为两个人在舞池中跳舞，他们之间的角度变化就是这两个平面之间的夹角。
当两个人完全重合时，他们的角度为0度；当他们完全垂直时，他们的角度为90度。
在这两种极端情况之间，他们可以形成各种不同的角度，这就是夹角的范围。
在数学中，我们通常用向量来表示平面的方向。
向量的方向与平面的法线向量一致，而向量的长度则与平面的距离成正比。
通过比较两个平面的法线向量，我们可以确定它们之间的夹角。
在实际应用中，两平面的夹角具有重要的意义。
例如，在建筑设计中，设计师需要确保建筑物的各个部分与地面保持适当的角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
在机械设计中，工程师需要确保机器的各个部分之间的角度正确，以确保机器的正常运行和效率。
此外，两平面的夹角还可以用于解决各种几何问题。
例如，我们可以通过计算两个平面之间的夹角来确定它们之间的距离。
或者，我们可以使用夹角来解决与三角形相关的问题，例如找出三角形各边的长度或者判断三角形的形状等。
总之，两平面的夹角是一个重要的几何概念，它描述了两个平面之间的相对位置关系。
通过理解夹角的范围和计算方法，我们可以解决各种几何问题并应用于实际生活和工程领域中。
平面与平面所成的角
“数学教学中的互联网应用”教案参与到课堂活动中。
教学过程教学内容设计意图双边活动【创设情境】一．欣赏图片，联系生活1.请学生说出自己家的房顶都是什么样的，并展示自己所拍摄的图片，老师展示自己家乡的房屋图片，也可以借助学校的房顶来讲解，进而引导学生分析很多房顶设计成倾斜的平面的作用。
2.通过幻灯片展示网络上一些比较漂亮的房屋，三峡大坝，翻开的课本，打开的笔记本的图片。
【百度搜索】房屋三峡大坝i翻开的书打开的笔记本电脑教师根据这些图片并借助简图引出平面和平面成成角的问题，在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9?39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9?39（2））．进而让学生列举生活中的一些实例。
3.实验：在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．问题：一个点把一条直线分成两部分，一条直线把一个平面分1.预留作业让学生回家拍摄自己家的房子，学生会对本节课产生兴趣，让学生动起来，参与进来。
培养学生的实践能力和艺术审美。
2.通过生活中的各种实例，激发学生学生兴趣，抓住学生的注意力。
让学生充分感受生活中的数学应用。
认识到生活中到处都有数学。
3.充分利用互联网搜索，让学生知道在信息技术时代探究知识有更新更便捷的途径。
4.通过实验让每一位学生学生参与进来，活跃课堂的学习气氛。
同时让学生感受到生活中随处都有数学。
5.二面角的定义这里通过百度搜索二面角的定义，和二面角的图片，让学生感1.学生展示自己拍摄的家里的图片。
2.老师展示自己家乡里的房屋图片。
提出问题：“虽然我们的房屋不同，但是再设计的过程中都要考虑屋顶面与地面所成角的问题。
”3.展示通过百度搜索的各种图片，进一步体会在建设中需考虑的面面角的问题。
4.教师结合以上的例子利用简图总结出本节课的知识。
学生分组举出生活中的类似的例子。
5.教师和学生一起做实验，并抛出问题，并引导学生回（2）图9?39（1）成几部分？ 动脑思考 探索新知定义1：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．定义2：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9?40）．【百度搜索】 二面角的介绍 二面角的实体图形 二面角的画图方法与记法画法分为竖直式的和水平式的，记法：面1—棱—面2 探索二面角的度量方法：1.实验观察：课本打开，开口大小不同，打开房门时，门与墙的开口也不同.说明二面角的“张角”不同.2.产生矛盾：如何用基本量衡量开口大小.3.类比猜想引导学生类比异面直线所成的角、直线和平面所成的角的问题得出平面与平面所成的角要转化为平面角的思维。
平面与平面所成的角
β
B l O l
β
B O
α
A
α
A
我们约定， 我们约定，二面角 α 的大小范围是 0°≤ α ≤180° ． ° ° 平面角是直角的二面角叫做直二面角． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
例 已知正方体 ABCD－A′B′C′D′ ( 如图 ) ， － 求二面角 D′－AB－D 的大小 ． － 解：在正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中， AB⊥平面 ADD′A′， ⊥ 所以 AB⊥AD′，AB⊥AD， ⊥ ⊥ ， 所以 ∠D′AD 即为 二面角D 的平面角． 二面角 ′-AB-D 的平面角． A 由于△ 是等腰直角三角形， 由于△D′AD是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形 因此 ∠D′AD＝45 ° ， ＝ 所以二面角 D′-AB-D 的大小为 45°． ° D B A′ D′ B′ C′
β
A
C• l D• B
棱
α
二．二面角的平面角
射线 OA 和 OB 构成的 ∠AOB 叫做二面角的平面角 二面角的平面角． 二面角的平面角
β
B l O
α
A
二面角的大小可以用它的平面角来度量， 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
立体几何 立 立体几何 体 立体几何 几 何 9.3.3平面与平面所成的角 平面与平面所成的角
两个平面成一定夹角的实例： 两个平面成一定夹角的实例： 打开的笔记本电脑； 打开的笔记本电脑； 打开的课本等等． 打开的课本等等．
一．二面角 平ห้องสมุดไป่ตู้内的一条直线把这个平面分成两个部分， 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 其中的每一部分都分别叫做一个半平面． 其中的每一部分都分别叫做一个半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角． 叫做二面角． 记作： 记作： 二面角 α-AB-β 二面角 C-AB-D 二面角 α-l-β 二面角 C-l-D 面 面
论立体几何中的所成角问题
论立体几何中的所成角问题所成角问题是立体几何中很重要的一部分，它包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面和平面所成角。
讨论所成角问题主要是要讨论用什么方法去寻找这些角。
一、直线与直线所成角（就是指异面直线所成角）直线与直线所成角是立体几何的所成角问题中最简单的一种，只需要在固定一点之后把 两条直线都平移，使它们都过这一点就可以了。
通过平移就可以把求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线所夹角的问题了。
要注意的是求直线与直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条直线的所成角或者它的补角。
它的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π。
二、 直线与平面所成角直线与平面所成角的找法就是在直线上找到一点，然后往那个平面内做垂线，得到直线在那个平面内的射影。
线面成角就是直线与它在那个平面内的射影所夹的角。
直线与平面所成角不存在补角的问题。
它的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π。
三、 平面与平面所成角（就是所谓的二面角）面面成角是立体几何中的所成角问题中的重点，一般来说考试测验都会把二面角作为重点考核的对象，也是学生最头痛的一类问题。
我们大概可以把找二面角平面角的方法归结为以下几类：1、 按照定义来找二面角的平面角从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。
2、 利用三垂线定理来寻找二面角的平面角这个方法是寻找二面角的平面角最常用的。
首先要找到一条垂线，这条垂线指的是要垂直于其中的一个面。
垂线上有两点是我们要关注的，一点是垂足，另外一点是它与另一个面的交点。
其次我们可以过这两点中的任意一点在那个平面内做棱的垂线，再连接垂足和另外一点，得到一条我们连接的线段。
我们找到的二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和我们所连接的线段所夹的角。
这种方法不适用与两个互相垂直的面。
3、 二面角中的特殊情况有时候我们可以通过证明两个平面是垂直的以得到它们的二面角的平面角是90度。
两平面的夹角范围 -回复
两平面的夹角范围-回复【两平面的夹角范围】平面是几何学中的基本概念之一，它由无数个位于同一平面上的点所组成。
当我们涉及到两个平面的关系时，其中一个重要的概念就是夹角。
夹角是指两个平面之间的角度，它可以用来描述平面之间的相对位置和方向。
在本文中，我们将深入探讨两平面的夹角范围。
为了更好地理解两平面夹角的概念，让我们从最简单的情况开始，即两个平面之间的夹角为零度。
这意味着两个平面是重合在一起的，它们完全相同，并且没有任何交叉或分离的部分。
换句话说，两个平面的方向完全相同，它们没有任何相对的旋转或倾斜。
在这种情况下，两平面的夹角范围是简单而明确的，只能为零度。
然而，当我们考虑两平面之间的夹角大于零度时，情况就变得更加复杂了。
夹角的大小取决于两个平面之间的相对位置和方向。
让我们进一步探讨夹角的一些属性和特点。
首先，两个平面之间的夹角可以是锐角、直角或钝角。
锐角是指夹角小于90度的情况，直角是指夹角等于90度的情况，而钝角是指夹角大于90度的情况。
这意味着两个平面可以相互靠近、垂直或分离，形成不同的夹角类型。
其次，两个平面的相对位置和方向决定了它们的夹角范围。
如果两个平面是平行的，它们永远不会相交，因此它们之间的夹角为零度或180度。
另一方面，如果两个平面是相交的，它们的夹角将大于零度且小于180度。
具体的夹角范围取决于平面的具体相对位置和倾斜程度。
此外，两个平面之间的夹角还可能会受到一些限制或约束。
例如，在三维空间中，两个平面的夹角范围可以受到它们与第三个平面的关系的影响。
如果两个平面和第三个平面都是平行的，它们之间的夹角将保持一致。
另外，如果两个平面分别与第三个平面垂直，则它们之间的夹角将是90度。
最后，两个平面之间的夹角还可以通过几何学中的一些方法进行计算。
例如，可以使用向量的数学运算来确定两个平面之间的夹角大小。
也可以使用各种几何学的定理和公式来求解夹角的具体数值。
总而言之，两个平面之间的夹角范围是一个复杂而多样的概念。
空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路
DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
直线和平面所成的角与二面角
直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角.立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式cosθ=cosθ1·cosθ2，最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围.空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形中若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意cosθ=cosθ1·cosθ2在线面角求值中的应用，注意利用射影面积公式S′=S·cosθ求二面角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.【基础知识必备】一、必记知识精选平面的斜线和平面所成的角.(1)直线与平面所成角①范围：0°≤α≤90°当α=0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当α=90°时，直线垂直于平面；当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交.②最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.③cosθ=cosθ1·cosθ2.④作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影.(2)二面角①定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角.②二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.③二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：(a)利用平面角的定义；(b)利用三垂线定理；(c)过一点作棱的垂面.间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos θ=S S 射影.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法向量的夹角求二面角.注意当直接作出二面角的平面角有一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小. ④二面角的范围是0°≤θ≤180°，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时θ=0°；相交时，0°＜θ＜180°；共面时，θ=180°.（3）两个平面垂直的判定①定义：如果两相交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似.②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即⎭⎬⎫⊂⊥βαl l ⇒β⊥α.简言之，“线面垂直⇒面面垂直”.(4)两个平面垂直的性质①如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角.②性质定理：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.即⎭⎬⎫⊥⊂=⊥l a a l ,,ββαβα ⇒a ⊥α.简言之，“面面垂直⇒线面垂直”. ③如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平面内.④如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.(5)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线面垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.二、重点难点突破本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平面所成角的概念，二面角的概念，两个平而垂直的判定定理.对于斜线在平面上的射影可通过具体作图具体体验，要注意O 点选取的任意性及斜线在平面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos θ=cos θ1·cos θ2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二面角的考查在1993至2004高考十一年间有十年都有涉及，是考试热点，应重视.三、易错点和易忽略点导析在求二面角时，忽略二面角的范围，用反三角函数表示角出现错误或确定平面角出现错误.【例】 已知∠AOB=90°，过O 点引∠A O B 所在平面的斜线O C ，与O A 、O B 分别成45°、60°角测以O C 为棱的二面角A-O C-B 大小为________.错解：如图9-7-1所示，在O C 上取一点C ，使O C=1.过C 分别作CA ⊥O C 交O A 于A ，CB ⊥O C 交O B 于B.则AC=1，O A=2，BC=3，O B=2.在Rt △A O B 中，AB 2=O A 2+O B 2=6.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB=-33.∴∠ACB=arccos 33，即二面角A-O C-B 为arccos 33.正确解法：如图9-7-1所示，在O C 上取一点C ，使O C=1，过C 分别作CA ⊥O C 交O A 于A ，CB ⊥O C 交O B 于B ，则AC=1，O A=2，BC=3，O B=2.在Rt △A O B 中，AB 2=O A 2+O B 2=6，得cos ∠ACB=-33.∴∠ACB=π-arccos 33.即二面角A-O C-B 为π-arccos 33.错解分析：混淆了二面角的范围[0，π]与异面直线所成角的范围(0，2π]，且对于反三角函数的表示不熟悉.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知D 、E 分别是正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.思维入门指导：在图9-7-2上，过D 、E 、C 1的面与棱柱底面只给出一个公共点C 1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小.解：在平面M 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于F ，则F 是面DEF 与面A 1B 1C 1的公共点，C 1也是这两个面的公共点，连结C 1F ，C 1F 为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C 1F-A 1.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1F=B 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥面A 1B 1C 1，FC 1在面A 1B 1C 1内，∴FC 1⊥面AA 1C 1C.而DC 1在面AA 1C 1C 内，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角.由已知A 1D=B 1C=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π.故所求二面角的大小为4π.点拨：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小.需要注意的是，若利用cos θ=1111DEC C B A SS △△求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.【例2】 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD ，∠ABC=∠DBC=120°.求：(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；(2)异面直线AD 与BC 所成的角的大小；(3)二面角A-BD-C 的大小.思维入门指导：本题主要考查对空间三种角的“作一证一求”.在解题时要合理利用题中条件.解：(1)如图9-7-3所示，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，连结DH ，故∠ADH 为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知，△AHB ≌△DHB ，则DH ⊥BH ，AH=DH.∴∠ADH=45°为所求.(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A-BD-C 的平面角的补角.设BC=a ，则由题设得AH=DH=23a ，BH=21a ，BD=BC=a.在△HDB 中，求得HR=43a.∴tan ∠ARH=HR AH =2.故二面角A-BD-C 的大小为π－arctan2.点拨：本题是一道中档难度的立体几何综合题.这种试题命题的目的是考查立体几何重点知识，并且使之能覆盖较多的知识点.二、应用思维点拨【例3】 如图9-7-4所示，边长AC=3，BC=4，AB=5的三角形简易遮阳棚，其A ，B 是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角.试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时，才能保证遮影面ABD 面积最大？思维入门指导：太阳影子实质可理解为射影面积，从而本题可转化为二面角的有关问题进行探讨，那么首先应作出纯数学图形，结合图形进行分析求解.解：易知△ABC 为直角三角形，由C 点引AB 的垂线，垂足为Q ，连结DQ ，则应有DQ 为CQ 在地面上的斜射影，且AB 垂直于平面CQD ，如图9-7-5.∵太阳光与地面成30°角，∴∠CDQ=30°.在△ABC 中，可算得CQ=512，在△CQD 中，由正弦定理，有︒30sin CQ =QCD QD ∠sin .即QD=524sin ∠QCD.为了使平面ABD 的面积最大，需QD 最大，这只有当∠QCD=90°时才可达到.从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC 与地面成60°角时，才能保证遮影面ABD 面积最大.点拨：从研究中可看出只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时，才能挡住最多的光线，被遮阳的地面面积才能获得最大值.利用这个结论，也很容易得出所求值为60°，参看图9-7-6.三、创新思维点拨【例4】 如图9-7-7，在四面体ABCD 中，AB=AD=3，BC=CD=3，AC=10，BD=2.(1)平面ABD 与平面BCD 是否垂直，证明你的结论；(2)求二面角A-CD-B 的正切值；(3)求异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.思维入门指导：(1)判断垂直需要寻找符合面面垂直判定定理的条件.(2)(3)求空间的角要先转化为平面相交直线所成角，然后进行求解.解：(1)平面ABD ⊥平面BCD.证明如下：设BD 的中点为E ，连AE 、CE.∵AB=AD ，∴AE ⊥BD.同理CE ⊥BD.∴AE=22BE AB -=13-=2， CE=22BE BC -=19-=22. 又AC=10，∴AC 2=AF 2+CE 2.∴∠AEC=90°.∴AE ⊥EC.又AE ⊥BD ，∴AE ⊥平面BCD.又AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD 上平面BCD.(2)作EF ⊥CD 于F ，连AF.∵AE ⊥平面BCD ，由三垂线定理得，AF ⊥CD ，∴∠AFE 就是二面角A-CD-B 的平面角，EF=ED ·sin ∠EDF=ED ·CD EC=1×322=322.∴tan ∠AFE=EF AE =3222=23.即二面角A-CD-B 的正切值为23.(3)解法一：取AB 的中点M ，AC 的中点N ，连MN 、ME 、NE.则ME ∥21AD ，MN ∥21BC. ∴∠NME 是异面直线BC 与AD 所成角或其补角.∵MN=21BC=23， ME=21AD=23， NE=21AC=210，由余弦定理，cos ∠NME=ME MN NE ME MN ∙-+2222=93＞0.∴∠NME 为锐角.∴∠NME 就是异面直线BC 与AD 所成角，其余弦值为93.解法二：在平面BCD 内作□BCGD(如图9-7-8)，连结AG ，则DG ∥BC ，∴∠ADG 是直线BC 与AD 所成角或者其补角.∵BD ∥CG ，EC ⊥BD ，∴EC ⊥CG.又∵AE ⊥平面BCD ，∴AC ⊥CG ，CG=BD=2，DG=BC=3.在Rt △ACG 中，AG=22CG AC +=14，cos ∠ADG=DG AD AG DG AD ∙-+2222=3321493∙-+=93.∴直线BC 与AD 所成角的余弦值为93.点拨：本题的(1)设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点.本题的(3)求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角.四、高考思维点拨【例5】 (2002，河南、江苏)四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形PB ⊥面ABCD.(1)若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；(2)证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°. 思维入门指导：解答第(1)问，基本思路是寻找面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，进而求棱锥的高和体积；也可以通过侧面△PDA 在底面的射影面积与二面角的关系求解；还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐.解答第(2)问，首先要找出面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于PD 的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小.(1)解法一：∵PB ⊥面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，∴PA ⊥DA.∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角.∴∠PAB=60°.而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tan60°=3a ，∴V 锥=31·3a ·a 2=33a 3.解法二：如图9-7-9，∵PB ⊥面ABCD ，连结BD ，则△ABD 是△APD 在面ABCD 上的射影， ∴APD ABDS S △△=cos60°.又S △ABD =21a 2，∴S △APD =21212a =a 2.由PB ⊥AD ，AD ⊥AB ，得AD ⊥面PAB.∴AD ⊥AP.∴PA=AD S APD 21△=a a 212=2a.在Rt △PAB 中，PB=22)2(a a -=3a ，∵PB 是四棱推P —ABCD 的高，∴V 锥＝31·3a ·a 2＝33a 3. (2)证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形.作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，如图9-7-10，则△ADE ≌△CDE ，∴AE=CE ，∠CED=90°.故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.设AC 与DB 相交于点O ，连结E O ，则E O ⊥AC ，22a=O A ＜AE ＜AD=a ，且AD=2O A.在△AEC 中，cos ∠AEC=EC AE OA EC AE ∙∙-+2)2(222=2)2)(2(AE OA AE OA AE -+＜0.所以，面PAD 与PCD所成的二面角恒大于90°.证法二：如图9-7-10，同证法一，得∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.设PB=h ，则PA 2=h 2+a 2，PD 2＝h 2+2a 2.在Rt △PAD 中，AE=PD ADPA ∙=22222a h a h a ++. 在△AEC 中，∵AE=EC ，∴cos ∠AEC=EC AE AC EC AE ∙-+2222=222AE a AE -=1-22AE a =1-22222a h a h ++=-222a h a +＜0.∴∠AEC 是钝角.即面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°.点拨：本题以《立体几何》课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美的题组，给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第(1)题，出自于课本复习参考题九B 组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求.五、经典类型题思维点拨【例6】 如图9-7-11，三棱柱O AB －O 1A 1B 1，平面O BB 1O 1⊥平面O AB ，∠O 1O B=60°，∠A O B=90°，且O B=OO 1=2， O A=3.求：二面角O 1-AB-O 的大小；思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.解：取O B 的中点D ，连结O 1D ，则O 1D ⊥O B.∵平面O BB 1O 1⊥平面O AB ，∴O 1D ⊥平面O AB.过点D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E ，则O 1E ⊥AB.∴∠DE O 1为二面角O 1-AB-O 的平面角.由题设得O 1D=3，sin ∠O BA=22OB OA OA +=721. ∴DE=DB ·sin ∠O BA=721.∵在Rt △O 1DE 中，tan ∠DE O 1=DE DO 1=7.∴∠DE O 1=arctan 7.即二面角O 1-AB-O 的大小为arctan 7.六、探究性学习点拨【例7】 在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=21AB=a(如图9-7-12(1))，将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′，记面ACD ′为α，面ABC 为β，面BCD ′为λ.(1)若二面角α-AC-β为直二面角(如图9-7-12(2))，求二面角β-BC-λ的大小；(2)若二面角α-AC-β为60°(如图9-7-12(3))，求三棱锥D ′一ABC 的体积.思维入门指导：本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算——二面角计算和体积计算.解：(1)在直角梯形ABCD 中，由已知△DAC 为等腰直角三角形，∴AC=2a ，∠CAB=45°. 由AB=2a ，可推得BC=AC=2a ，∴AC ⊥BC.取AC 的中点E ，连结D ′E ，如图9-7-13，则D ′E ⊥AC.∵二面角α-AC-β为直二面角，∴D ′E ⊥β.又∵BC ⊂平面β，∴BC ⊥D ′E.∴BC ⊥α.而D ′C ⊂α，∴BC ⊥D ′C.∴∠D ′CA 为二面角β-BC-λ的平面角.由于∠D ′CA=45°，∴二面角β-BC-λ为45°.(2)如图9-7-14，取AC 的中点E ，连结D ′E ，再过D ′作D ′O ⊥β，垂足为O ，连结O E.∵AC ⊥D ′E ，∴AC ⊥O E.∴∠D ′E O 为二面角α-AC-β的平面角.∴∠D ′E O =60°.在Rt △D ′OE 中，D ′E=21AC=22a ，D ′O =D ′E ·sin60°=22a ·23=46a.∴V D ′-ABC =31S △ABC ·D ′O =31×21AC ·BC ·D ′O =61×2a ×2a ×46a=126a 3.点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度.【强化练习题】A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1；则AB 1与C 1B 所成角的大小为（ ）A.60°B.90°C.105°D.75°2.直线l 与平面α斜交成n °角，则l 与α内任意直线所成角中，最小与最大的角分别是( )A.n °与90°B.180°-n °与n °C.n °与180°-n °D.以上都不是3.PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A.21 B.22C.33D.364.二面角α-AB-β的平面角是锐角，C 是面α内的一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么（ ）A.∠CEB=∠DEBB.∠CEB ＞∠DEBC.∠CEB ＜∠DEBD.∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定5.在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AD=4，BC=6，MN=19，则AD 与BC 所成角的余弦值和所成角分别为（ ） A.-21，32π B.-21，3π C.21，3π D.21，32π6.已知a 、b 是异面直线，A ，B ∈α，A 1，B 1∈b ，AA 1⊥α，AA 1⊥b ，BB 1⊥b ，且AB=2，A1B1=1，则α与b所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题（每小题4分，共16分）7.在正方体ABCD－－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为________.8.AB∥平面α，AC⊥α于C，BD是α的斜线，D是斜足，若AC=9，BD=63，则BD与α所成的角为________.9.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________.10.一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45°和30°，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，那么垂足间的距离是________.三、解答题（每小题7分，共14分）11.如图9-7-15，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.E是BD的中点.求证：平面AEC⊥平面ABD，平面AEC⊥平面BDC.12.设E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值.B卷：综合应用创新练习题（90分 90分钟）一、学科内综合题（10分）1.如图9-7-16，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O一xyz，其中O x∥BC，O y∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.(1)求cos<BE，DE>；(2)记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED.二、应用题（10分）2.一个气象探测气球以14m／min的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45°；又过10min后，测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°.若气球是直线运动，求风向与风速.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30°角，坡面上有一条与山底水平线成30°角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为________.（二）一题多解（15分）4.如图9-7-17，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小.（三）一题多变(15分)5.如图9-7-18，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a. ①求二面角B-PC-D 的大小；②求平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小.（1）一变：四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60°，其他条件不变，求二面角B-PC-D 的大小.（四）新解法题(1O 分)6.△ABC 的边BC 在平面α内，A 在平面α上的射影为A ′，当∠BAC=60°，AB 、AC 与平面α所成角分别为30°和45°时，求cos ∠BA ′C 的值.（五）新情境题(10分)7.如图9-7-19，在底面是直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21.(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值. 四、高考题(10分)8.(2001，京、蒙、皖春)已知VC 是△ABC 所在平面外的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，如图9-7-20，且在△ABC 的高CD 上，AB=a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈VC.(1)求证：∠MDC 是二面角M-AB-C 的平面角； (2)当∠MDE=∠CVN 时，求证：VC ⊥平面AMB ；(3)若∠MDC=∠CVN=θ(0＜θ＜2π)，求四面体MABC 的体积.加试题：竞赛趣味题(10分)已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，在AC 上取一点P ，过P 、A ′，B ′三点作的平面与底面所成二面角为α，过P 、B ′、C ′三点作的平面与底面所成的二面角为β，求α+β的最小值.【课外阅读】巧用向量法求空间角众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题.一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验.本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题.角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为向量的夹角求解.1.求两条异面直线所成的角异面直线所成的角α利用与它们平行的向量，转化为向量的夹角θ问题，但θ∈[0，π]，α∈(0，2π]，所以cos α=|cos θ|=ba ba ∙.【例1】 (2002，上海春季)如图9-7-21，三校柱O AB —O 1A 1B I ，平面O B 1⊥平面O AB ，∠O 1O B=60°，∠A O B=90°，且O B=OO 1=2，O A=3，求异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小.思维入门指导：用平移A 1B 或A O 1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分利用∠A O B=90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算.解：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，O 1(0，1，3)，A(3，0，0)，A 1(3，13)，B （0，2，0）.∴B A 1=OB -1OA =(-3，1，-3)，1OA =OA -1OO =(3，-1，3).设异面直线所成的角为α，则cos α=71.故异面直线A 1B 与A O 1所成的角的大小为arccos 71.点拨：(1)以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算公式，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；(2)也可以直接用自由向量OA =a ，OB =b ，1OO =c 表示1OA 与A 1，然后再来解.2.求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图9-7-22，一种是按定义得∠P O H=<OP ，OH >；另一种方法是利用法向量知识，如图9-7-22，平面α的法向量为n ，先求OP 与n 的夹角，注意P O 与α所成角θ与<OP ，n >的关系，于是就有sin θ=|cos<OP ，n>|.【例2】 (2002，天津、山西、江西)如图9-7-23，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求直线AC 1与侧面AB 1所成的角的大小.思维入门指导：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，证明∠C 1AM 是AC 1与面A 1B 所成的角；另一种是利用平面AB 1的法向量n =（λ，x ，y ），求解.解法一：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(0，0，2a)，C 1(-23a ，2a ，2a)，取A 1B 1中点M ，则M(0，2a ，2a)，连结AM ，MC 1，有1MC =(-23a ，0，0)，=(0，a ，0)，1AA =(0，0，2a).由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，∴MC 1⊥面AB 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面AB 1所成的角θ.∵1AC =(-23a ，2a ，2a)，AM =(0，2a ，2a)，∴1AC ·AM =0+42a +2a 2=492a .而|1AC |=2222443a a a ++=3a ，||=2224a a +=23a ，∴cos<1AC ，AM >=233492a a a ∙=23.∴<1AC ，>=30°，即AC 1与侧面AB 1所成的角为30°.解法二(法向量法)：(接法一)1AA =（0，0，2a ）.设侧面A 1B 的法向量n =(λ，x ，y).所以n ·AB =0，且n ·1AA =0，∴ax=0，且2ay=0.∴x=y=0，故n =(λ，0，0).∵1AC =(-23a ，2a ，2a)，∴cos<1AC ，n >=1=a a 3||23∙∙-λλ=-||2λλ.∴sin θ=|cos<1AC ，n >|=21.∴θ=30°.点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系.再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.3.求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种途径，一是根据二面角的平面角的定义，如图9-7-24，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ⊂α，CD ⊂β，则二面角α- l -β的大小为<AB ，CD >.另一种方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n 1、n 2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.【例3】 (2001，全国)如图9-7-25，在底面是一直角梯形的四棱锥S 一ABCD 中，AD∥BC ，∠ABC=90°，SA ⊥平面AC ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SBA 所成的角.思维入门指导：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD 、AB 、AS 两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB 、面SCD 的法向量，再求其夹角.解：如图9-7-25，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(21，0，0)，S(0，1，0)，得DC =(21，1，0)，SD =(21，0，-1)，SC =(1，1，-1).设平面SDC 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1).∵n 1⊥面SDC ，∴n 1⊥DC ，n 1⊥SD ，n 1⊥SC .设平面SAB 的法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，则 SA ＝（0，0，-1），SB ＝（0，-1，1）.∴⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙.0,022SA n n ∴⎩⎨⎧=+-=-.0,0222z y z∴x 2=y 2=0.∴n 2=(x 2，0，0). ∴cos<n 1，n 2>=||||2121n n n n ∙=||414100221212121x x x x x x ∙++++=||322121x x x x =±36.∵面SAB 与面SCD 所成角的二面角为锐角θ，∴cos θ=|cos<n 1，n 2>|=32=36. ∴θ=arccos 36.故面SCD 与面SBA 所成的角大小为arccos 36.点拨：本题考查了空间向量的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量垂直的充要条件，空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定，考查了学生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力.参考答案A 卷一、1.B 点拨：如答图9-7-1建立空间直角坐标系O 一xyz.设高为h ，则AB=2h ，可得A(0，-22h ，h)，B(0，22h ，h)，B 1(0，22h ，0)，C 1(26h ，0，0).则1AB =(0，2h ，-h)，1BC =(26h ，-22h ，-h). ∵1AB ·1BC =O ×26h+2h ·(-22h)+h 2=0，∴1AB ⊥1BC .2.A 点拨：直线与平面斜交时，斜线和面所成角是斜线与面内所有直线所成角中最小的，且最大角为直角.3.C 点拨：构造正方体如答图9-7-2所示，过点C 作C O ⊥平面PAB ，垂足为O ，则O 是正△ABP 的中心，于是∠CP O 为PC 与平面PAB 所成的角.设PC=a ，则P O =32PD=33a.故cos ∠CP O =PC PO=33.4.B 点拨：结合图形，可先比较tan ∠CEB 与tan ∠DEB 的大小，即可得到答案.5.C 点拨：取BD 的中点P ，连PM 、PN ，则PM=2，PN=3，然后用余弦定理可求得.6.C二、7.22点拨：如答图9-7-3，连结B 1D 1，则∠B 1D 1B 为BD 1与面A 1B 1C 1D 1所成角，tan∠B 1DB=111D B BB =22.8.3π点拨：过B 作BE ⊥α，垂足为E ，如答图9-7-4，连结DE ，则∠BDE 为直线BD 与α所成角.在Rt △BED 中易知∠BDE=60°.9.无数个 点拨：由直线和平面垂直的判定定理可知满足条件有无数个.10.2a三、11.证明：∵AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC.∴BC=CD. 又∵E 为BD 的中点，∴CE ⊥BD.又AB=AD ，且E 为BD 的中点，∴AE ⊥BD ，则BD ⊥平面ACE.又BD ⊂平面ABD ，BD ⊂平面BCD ，∴平面ABD ⊥平面AEC ，平面BDC ⊥平面AEC. 点拨：本题关键证明BD ⊥面ACE.12.解：如答图9-7-5，设正方体的棱长为a ，在△AB 1E 中，AB 1=2a ，B 1E=25a ，AE=23a.∴cos ∠AB 1E=E B AB AE E B AB 11221212∙∙-+=aa a a a 252249452222∙∙-+=1010.∴sin ∠AB 1E=10103.∴S E AB 1△=21·AB 1·B 1E ·sin ∠AB 1E=21×2a ·25a ×10103=43a 2.又S 111C B A △=21·a ·a=21a 2，∴cos θ=E AB C B A S S 1111△△=224321a a =32. 即平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1所成角的余弦值为32.B 卷一、1.解：(1)依题意，B(a ，a ，0)，C(-a ，a ，0)，D(-a ，-a ，0)，E(-2a ，2a ，2h)，∴=(-23a ，-2a ，2h )，=(2a ，23a ，2h).∴BE ·DE =(-23a ·2a )+(-2a ·23a )+2h ·2h =-232a +42h ，||=222)2()2()23(h a a +-+-=221021h a +，|DE |=222)2()2()23(h a a ++=221021h a +.由向量的数量积公式，有cos<BE ，DE >==22222210211021423h a h a h a +∙++-=2222106h a h a ++-.(2)∵∠BED 是二面角α-VC-β的平面角， ∴BE ⊥CV ，即有BE ·CV =0.又由C （-a ，a ，0），V （0，0，h ），得CV =(a ，-a ，h)，且=(-23a ，-2a ，2h)， ∴BE ·=-23a +22a +22h =0.即h=a 2，此时有cos<BE ·DE >=2222106h a h a ++-=2222)2(10)2(6a a a a ++-=-31，∴∠BED=<，>=arccos(-31)=π-arccos 31.点拨：应用空间向量注意坐标系的建立及点的坐标的确定. 二、2.解：以水平放置的平面α的地面，根据题意画出空间图形如答图9-7-6所示.10min 后气球位置为A ，又10min 后气球位置为B ，A 、B 在平面α的射影分别为A 1、B 1，且AA 1＝14×10＝140(m)，BB 1=14×20=280(m)，∠A 1DB 1=30°，∠A 1DA=45°，∠B 1DB=60°，于是，得A 1D=A 1A=140m ，B 1D=B 1Bcot60°=3280(m). 在△A 1DB 1中，A 1B 21=1402+(3280)2-2·140·3280·23=31402(m). 因此，风速为1011B A =3314(m/min).∵B 1D 2=A 1D 2+A 1B 21，∴∠DA 1B 1=90°. 故风向为正北. 点拨：要使问题得以解决，其关键在于能否建立起一个能表示观察点D 与该气球的相对位置之间关系的几何模型，因为有了几何模型我们就能根据其立体图形进行相关的计算，求。
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二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
B1
B
l
O1 O
A A1
9
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
A
B
O
B
这样画对吗?怎么画才对?
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
二面角 -l-
二面角 C-l-D
C•
A
l
D•
面
棱 B
思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书 也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，
这些二面角的区别在哪里？
打开的书
二．二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在 两个面内分别作垂直 于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面
ι
β
γP
B
αA
二．如图所示，在正方体ABCD－ABCD 中， 求二面角A-AB-D 的大小．
D A
C B
D A
C B
B
l
O
A
l
B AO
我们约定，二面角 的大小范围是 0≤ ≤180 ．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
例1 已知正方体 ABCD－ABCD ( 如图 ) ，
求二面角 D－AB－D 的大小 ．
解：在正方体 ABCD-ABCD 中， D AB⊥平面 ADDA，A
所以 AB⊥AD，AB⊥AD，
C B
D1
∵四边形ABCD是正方形
1
C B1
1
∴AC⊥ BD，O为AC中点
∵ BC1 = DC1 ∴C1O⊥DB，
D
C
A
OB
∴ C1OC 即为
二面C1OC2aC1中＝，2
∴二面角 C1-DB-C 的正切值为 2
a
2
一．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的 两个面的交线组成的角就是二面角的平面 角，对吗？为什么？
立
立体几何
体
立体几何
几
立体几何
何 9.3.3平面与平面所成的角
两个平面成一定夹角的实例： 打开的笔记本电脑； 打开的课本等等．
一．二面角
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，
其中的每一部分都分别叫做一个半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
叫做二面角．
记作：
面
二面角 -AB-
二面角 C-AB-D
所以 DAD 即为
D
二面角D-AB-D 的平面角．
A
由于△DAD是等腰直角三角形，
C B
因此 DAD＝45 ，
所以二面角 D-AB-D 的大小为 45．
例2 如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的顶
点BDC1作截面，求二面角 C1－DB－C 的正切
值． 解：连结AC交BD于O，连C1O A