一般曲面的方程和图形
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常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲面的方程
I 3)
I 3) 9
板书
例3已知刀(1,2,3) , B(2,—l,4)，求线段AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有| MA |=| MB |,
_________________________________
) ( ) ( ) l J(x _ 2 + y _ 2 2 + z _ 3 2
二例题
例1建立球心在点M0（ x0, %） ,半径为R的球面方程.
解 设M( x, y, z )是球面上任一点, 根据题意有| MM0|= R
J(x 一 xo )2+(y 一 y°)2+(z - zo )2 = R
板书
所求方程为（x 一 Xo ）2 +（y 一 yo ）2 +（z 一 Zo ）2 = R2 特殊地：球心在原点时方程为x2 +
_______________________________
= J(x - 2)2 +(y +1)2 + (z-4)2, 化
简得所求方程2x 一 6y + 2z 一 7 = 0.
板书
例4方程七=(X -1)2 + (y -2)2 -1的图形是怎样的？
解根据题意有z >-1 用平面Z = C去截图形得圆：111(X 一
一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面,台灯的罩子面等. 曲 面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=。有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2 )不在曲 面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z )=。就叫—做曲面S的方程, 而曲面S就叫做—方程的图形.
一般曲面的方程和图形
面上的 M 1(垂 x,y,0 足 )在准 C上 线 ,故M 点 的横坐 x和纵y坐 满标 足F 方 (x,y程 )0.
a
9
柱面 的方F (程 x,y) 是 0. z
M(x,y,z)
一 ,只 般 含 x、 地 y而缺 z
的方 F(程 x,y)0在空间直CO
y
角坐标系中行 表于 示 x 母M 线 1(x,y,平 0)
一般曲面的方程和图形
一、曲面方程的概念 二、柱面方程与图形 三、旋转曲面方程与图形 四、锥面方程与图形
a
1
一、曲面方程的概z念 F (x,y,z)0
在空间解析几何中,任何
S
曲面都看作点的几何轨迹.
如果曲S面与三元方程 o
F(x, y,z) 0
x
有下述关:系
y
(1) 曲面S上任一点的坐标方 都程 满 ; 足
曲线 C:f(y,z)0绕z轴旋转的旋 : 转曲 f(x2y2,z)0.
曲线 C:f(y,z)0绕y轴旋转的旋 : 转曲 f(y,x2z2)0.
曲线 C:f(x,y)0绕x轴旋转的旋 : 转曲
f(x,y2z2)0.
a
3
例2 求过(点 1,2,5)且和三个坐标切 平面 的球面. 方程
解 根据题意可知该于 球第 面七 位卦. 限 设球面半径为a. 则球心坐 (a,标 a,为 a). 球面 (x 方 a )2 (y 程 a )2 (为 z a )2 a 2
将(点 1,2,5)代入球面 ,经方 整程 理后 得
C
设在 yOz坐标面上有一已知
曲线C,它的方程f是 (y,z) 0,
O
y
把该曲线 z轴绕旋转一,周 x
得到一个z以 轴为轴的旋转.曲面
大学数学_7_4 曲面与曲线
z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面方程的概念
得 解 从曲线 的方程中消去 z ， x2 + y2 3x 5y = 0 ，
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
曲面及其方程
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
1
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
均可得双曲线.
21
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22/32
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
22
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（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
23
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（5）椭圆抛物面
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
20
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x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
均可得双曲线.
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平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
22
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（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
23
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（5）椭圆抛物面
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
20
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x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法
常见曲线曲面方程与图形
结束
旋转双叶双曲面：
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
旋转单叶双曲面：
x2 y2 a2
z2 c2
1
z
xO y
结束
抛物柱面： •
z
O
x
y
椭圆柱面：
z
•
x2 a2
y2 b2
1
O
y
x
结束
圆柱面：
x2 y2 R2
z
O
y x
结束
椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
在该点的切线斜率为±1
B
O
Ax
• 顶 点:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
aLeabharlann OxaOx
结束
圆锥面:
z2 x2 y2
z
O
y
x
椭圆锥面:
x2 y2 z2 a2 b2
z
O
y
x
结束
单叶双曲面:
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
z
xO y
双叶双曲面: x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
Oy x
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
π
a
2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又
以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为
阿基米德螺线
旋转双叶双曲面：
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
旋转单叶双曲面：
x2 y2 a2
z2 c2
1
z
xO y
结束
抛物柱面： •
z
O
x
y
椭圆柱面：
z
•
x2 a2
y2 b2
1
O
y
x
结束
圆柱面：
x2 y2 R2
z
O
y x
结束
椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
在该点的切线斜率为±1
B
O
Ax
• 顶 点:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
aLeabharlann OxaOx
结束
圆锥面:
z2 x2 y2
z
O
y
x
椭圆锥面:
x2 y2 z2 a2 b2
z
O
y
x
结束
单叶双曲面:
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
z
xO y
双叶双曲面: x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
Oy x
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
π
a
2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又
以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为
阿基米德螺线
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
O
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
第七章-3.-曲面方程
z
C
M1 (0, y1, z1 )
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
z
C : f ( y, z) = 0
=1
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 的截痕 也为椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆
x y + 2 =1 a2 b 2 2 2 2 (c z1 ) 2 (c z1 ) 2 c c z = z1 | z1 |< c
f (± x + y , z) = 0
2 2
柱面 如,曲面F(x, y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面 椭球面 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
当 z1 变动时,这种圆 的中心都在 z 轴上.
x y + = z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论: 设 p > 0, q > 0 图形如下:
曲面的方程
也可能表示一个点,
如：x2 y 2 z 2 0 表示点(0,0,0);
有时也可能表示一条曲线，
如x2 y 2 0 表示z轴，是一条直线.
例 1 已知 A(1,2,3) ， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
r OM OQ QP PM
PM (r sin )k ,
QP (| OP | sin ) j (r cos sin ) j
OQ (| OP | cos )i
解： 设球面上任意一点M ( x, y, z), 则根据球面的性质：
球面上任意一点到球心的距离等于半径， 得 | CM | r
于是有
也即
( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c ) 2 r
( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 r 2 x2 y 2 z 2 r 2
此为所求圆柱面的向量式参数方程.
r ( R cos )i ( R sin ) j uk
从而可得此圆柱面的坐标式参数方程：
x R cos , y R sin , z u.
这里u, 为参数，且
- , u .
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面方程.
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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结束
一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
曲面方程、曲线方程
根据方程组的系数和常数项，可以确定曲面的形状。
曲线的几何性质
曲线的方程
曲线可以用一个或两个变量来表示，常见的曲线 方程包括直线、圆、抛物线等。
曲线的形状
根据方程的系数和常数项，可以确定曲线的形状。
曲线的长度
对于可求长的曲线，可以使用参数方程来计算其 长度。
交线的几何性质
交线的方程
当两个曲面或曲线相交时，交线可以用一个或两个变量来表示。
交线的形状
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的形状。
交线的位置关系
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的位置关系，如相交、 相切或相离。
05
曲面与曲线的解析几何 基础
解析几何的基本概念
点的坐标
在解析几何中，点的位置由坐标确定，通常采用二维或三维直角 坐标系。
向量与标量
向量表示大小和方向，标量只有大小。
它通常由两个或三个变量（x, y, z） 表示，并满足一定的条件或等式。
曲面方程的分类
根据方程的复杂性和形式，曲 面方程可以分为多种类型，如 平面、球面、旋转曲面、柱面 等。
每种类型的曲面方程都有其特 定的几何意义和形状特征。
例如，平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz = D，球面方程 的一般形式为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
在物理模拟中，交线可用于描 述物体的运动轨迹和碰撞过程
。
计算机图形学
在计算机图形学中，交线可用 于绘制三维场景和模拟光线追
踪等效果。
04
曲面与曲线的几何性质
曲面的几何性质
曲面方程的表示
曲面可以用方程组来表示，其中包含两个或三 个变量。
曲面上的点
曲线的几何性质
曲线的方程
曲线可以用一个或两个变量来表示，常见的曲线 方程包括直线、圆、抛物线等。
曲线的形状
根据方程的系数和常数项，可以确定曲线的形状。
曲线的长度
对于可求长的曲线，可以使用参数方程来计算其 长度。
交线的几何性质
交线的方程
当两个曲面或曲线相交时，交线可以用一个或两个变量来表示。
交线的形状
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的形状。
交线的位置关系
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的位置关系，如相交、 相切或相离。
05
曲面与曲线的解析几何 基础
解析几何的基本概念
点的坐标
在解析几何中，点的位置由坐标确定，通常采用二维或三维直角 坐标系。
向量与标量
向量表示大小和方向，标量只有大小。
它通常由两个或三个变量（x, y, z） 表示，并满足一定的条件或等式。
曲面方程的分类
根据方程的复杂性和形式，曲 面方程可以分为多种类型，如 平面、球面、旋转曲面、柱面 等。
每种类型的曲面方程都有其特 定的几何意义和形状特征。
例如，平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz = D，球面方程 的一般形式为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
在物理模拟中，交线可用于描 述物体的运动轨迹和碰撞过程
。
计算机图形学
在计算机图形学中，交线可用 于绘制三维场景和模拟光线追
踪等效果。
04
曲面与曲线的几何性质
曲面的几何性质
曲面方程的表示
曲面可以用方程组来表示，其中包含两个或三 个变量。
曲面上的点
.一般曲面
§ 12一般曲面一、曲面的方程与曲线的坐标曲面方程的形式有隐 式 F (x ,y ,z )=0 显 式 z =f (x ,y )参数式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(υυυu z z u y y u x x 矢量式 r =r (u ,υ) 或 r =x (u ,υ)i +y (u ,υ)j +z (u ,υ)k对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取υ为一系列数值,,21υυ ，而让u 连续变动，则r (u ,i υ)(i =1,2, )表示一族曲线，称为u 线（图7.23）；同样，如果取u 为一系列数值u 1,u 2, ，而让υ连续变动，则r (u i ,υ)(i =1,2, )表示另一族连续曲线，称为υ线.u 线与υ线在曲面上构成曲线网，称为坐标线或坐标网.于是u =u i , υ=j υ这个数对就可以确定曲面上一点M ，这数对(u i ,j υ)称为点M 的曲线坐标（或高斯坐标）.二、 切面、法线与曲面的方向[法线单位矢量] 通过曲面上一的M 所有曲面曲线（即该曲面上的曲线），在点M 的切线落在同一平面上（奇点除外），称这平面为曲面在点M 的切面通过点M 与切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线.切面通过的矢量r u =u ∂∂r和υυ∂∂=r r 称为坐标矢量，它们分别是u 线和υ线在点M 的切矢量（图7.24）曲面上点的法线单位矢量为υυr r r r N ⨯⨯=u u这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单位矢量，前者以n 表示，后者以N 表示.[曲面的方向] 曲面的方向规定如下：朝N 的正向那一面是曲面的正面（图7.24中看到的一面）；另一面为反面.[曲面的切线方程与法线方程] 曲面方程切面方程法线方程),,(='z y x Fz =f (x ,y ))()()(000000=-+-⋅+-⋅z z F y y F x x F z y x )()(00000y y z x x z z z y x -⋅+-⋅=-00000z y x F z z F y y F x x -=-=-图 7.23图 7.24表中000,,u x x x z F 分别表示ux x ∂∂∂,,在点M (x 0,y 0,z 0)的值，r 0是点M 的矢径，00,υr r u 分别表示υ∂∂∂∂r r ,u 在点M 的值，N 0为点M 的法线单位矢量.[曲面的奇点] 若曲面F (x ,y ,z )=0上一点M (x 0,y 0,z 0)的三个偏导数同时等于零，即0000===z y x F F F则称点M 为该曲面的奇点.三、 第一基本二次型与曲面的度量[第一基本二次型与第一基本量]各量与图形计算公式曲面曲线的弧长L⎩⎨⎧==)()(t t u u υυ 曲面面积S （由曲线围成）曲线夹角α（两条曲线交于点M ）⎰⎰++==1010d 2d 22tt t t t G u F uE s L υυ⎰⎰⎰⎰-==SSu F EG S S υd d d 2Θα=δδ⋅=22)()(d d cos r r rr式中 22222d d d 2d υυυυΘδ+δδ+δ++=G u F u E G u F u EE ，F ，G 为曲面的第一基本量（在点M 取值）。
几种常见的曲面及其方程(精)
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
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一般曲面的方程和图形
一,曲面方程的概念 二,柱面方程与图形 三,旋转曲面方程与图形 四,锥面方程与图形
一,曲面方程的概念 z
在空间解析几何中,任何 在空间解析几何中 任何 曲面都看作点的几何轨迹. 曲面都看作点的几何轨迹
S
F ( x , y, z ) = 0
如果曲面 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y , z ) = 0
. 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 ),半径为R的球面方程
特别地 , 球心在原点时 , 方程为 x + y + z = R .
2 2 2 2
例2 求过点 ( 1,2,5) 且和三个坐标平面都相 切
的球面方程 .
解 根据题意可知该球面位 于第七卦限 . 设球面半径为 a . 则球心坐标为 ( a , a , a ).
π 两直线的夹角 两直线的夹角 α (0 < α < ) 2 叫做圆锥面的半顶角 .
α
设圆锥面的顶点在 设圆锥面的顶点在 坐标原点 O , 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 α .
在 在 yOz 坐标面上, 直线 L 的 方程为 z = y cot α ,
z
α
M 1 (0, y1 , z1 ) M ( x, y, z )
C
设在 设在 yOz 坐标面上有一已知 曲线 C ,它的方程是 f ( y , z ) = 0,
把该曲线绕 把该曲线绕 z 轴旋转一周 , 得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 .
x
O
y
设 设 M 1 (0, y1 , z1 ) 为曲线 C 上任 一点, 那么有 f ( y1 , z1 ) = 0.
动直线 L 叫做柱面的母线 .
设柱面 设柱面 ∑ 的母线平行于 z 轴, 准线 C 是 xOy 面上的一 条曲线, 其方程为 F ( x , y ) = 0.
对空间中的点 M ( x , y , z ), 对空间中的点 如果其横坐标 x 和纵坐标 y
O
z
M( x, y, z)
y
M1 ( x, y,0)
化简可得
2 x 6 y + 2 z 7 = 0.
表示怎样的曲面? 例 方程 x2 + y2 = R2 表示怎样的曲面? 解 面上表示圆心在原点O, 方程 x2 + y2 = R2 在xOy面上表示圆心在原点 , 面上表示圆心在原点 半径为R的圆 的圆. 半径为 的圆. 在空间直角坐标 系中,此方程不含 , 系中,此方程不含z, 仅含x,y,故此方程: 仅含 ,故此方程:
2 2
曲线 C : f ( x , y ) = 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x ,± y 2 + z 2 ) = 0.
曲线 C : f ( x , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. 其余依此类推. 其余依此类推
例6 (1) 解
x2 + y2 = R2.
表示母线平行于z 表示母线平行于z轴 的圆柱面, 的圆柱面,它的准线 平面上的圆: 是xOy平面上的圆: 平面上的圆
x2 + y2 = R2.
二,柱面方程与图形
平行于定直线并 平行于定直线并 沿 定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面叫做柱面 .
L
C
定曲线 C 叫做柱面的准线 ,
因为旋转轴为 z 轴,
将方程中的 y 改成 ± x + y ,
2 2
O
x
y
便得到圆锥面的方程
z = ± x 2 + y 2 cot α
或者
z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ),
其中 a = cot α .
�
z
M 1 (0, y1 , z1 )
当曲线 C 绕 z 轴旋转时,
点 M 1绕 z 轴转到另一点 M ( x , y , z ), 这时 z = z1 保持不变 ,
M
C
O
y
且点 M 到 z 轴的距离 d =
x 2 2 x + y = y1 .
将 z1 = z , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0, 有 f ( ± x + y , z ) = 0.
旋转椭球面
x2 z2 ( 3) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 z 轴旋转 . a b
解
z 不变, x → ± x + y
2
2
x2 + y2 z2 2 = 1 单叶旋转双曲面面 2 a b
x z (4) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 x 轴旋转 . a b 解 z → ± y2 + z2 x 不变 ,
球面方程为 ( x + a )2 + ( y + a )2 + ( z + a )2 = a 2
将点( 1,2,5)代入球面方程后, 经整理得 a 8a + 15 = 0,
2
可解得 a = 3或a = 5.
球面方程为 ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 + ( y + 3) 2 = 3 2 或 ( x + 5) 2 + ( y + 5) 2 + ( y + 5) 2 = 5 2
2
2
x2 y2 + z2 =1 2 2 a b
双叶旋转双曲面面
x2 轴旋转, 把xOz面上的抛物线 2 = z 绕z轴旋转,所得曲面叫 面上的抛物线 轴旋转 a 做旋转抛物面 .
四,圆锥面方程与图形
直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 , 所得 直线 旋转曲面叫做圆锥面 .
两直线的交点叫做 两直线的交点叫做 圆锥面 的顶点 .
2 2
此即所求旋转曲面的方程. 此即所求旋转曲面的方程
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0.
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y , ± x + z ) = 0.
平面 x z = 0.
母线平行于 y 轴, 准线是 xOz 面上的直线 x z = 0.
三,旋转曲面方程与图形
一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一 周所成的曲面叫做旋转曲面. 周所成的曲面叫做旋转曲面 z 旋转曲线叫做旋转曲面的母线, 旋转曲线叫做旋转曲面的母线 定直线叫做旋转曲面的轴. 定直线叫做旋转曲面的轴
o x
有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足 方程; ( 2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程,
y
那么 那么, 方程就叫做曲面 S 的方程 ,曲面 S 就叫做方 程的图形.
例1 设动点 M ( x , y , z ) 到定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的距离
直平分面的方程 .
解 由题意可知 , 所求的平面就是与 A和B等距离
的点的几何轨迹 .
设 ( x , y , z ) 为所求平面上的任一点 , 由于 AM = BM ,
所以 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 + ( z 3) 2 = ( x 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 4) 2 ,
例3 方程x 2 + y 2 + z 2 2 x + 4 y = 0表示怎样的曲面 ? 解 通过配方 原方程可以改写成 通过配方,
( x 1)2 + ( y + 2)2 + z 2 = 5. 原方程表示球心在点 M 0 (1,2,0), 半径为 R = 5的球面.
例4 设有点 A(1,2,3) 和 B( 2,1,4), 求线段 AB 的垂
2
0
线为 xoy 面上的椭圆
-2 -1 0 1 2
-2
x2 y2 2 + 2 = 1. a b
抛物柱面
方程y=2px2称为母线平行于z轴的抛物柱面.
双曲柱面
y2 方程 b2 x2 a2 = 1称为母线平行于z轴的双曲柱面.
z
x y=0
O
z
xz=0
y
x
O
y
x
平面 x y = 0. 母线平行于 z 轴, 准线是 xOy 面上的直线 x y = 0.
C
x 满足方程 F ( x , y ) = 0, 则点 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上,于
是点 M ( x , y , z ) 在过 M 1 的母线上,即 M 在柱面 ∑ 上.
反之 反之 , 对柱面 ∑ 上的任一点 M ( x , y , z ),它在 xOy 面上的垂足 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上, 故点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y 满足方程 F ( x , y ) = 0.
为定长 R, 求动点 M 满足的曲面方程 .
解
根据题意有 M 0 M = R,
2 2 2
( 即 x x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R,
(x 所求方程为 所求方程为 x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R 2 .
2 2 2
yOz 面上的抛物线 y 2 = 2 pz 绕 z + y 2
x 2 + y 2 = 2 pz
( 2)
解
旋转抛物面
y2 z2 yOz 面上的椭圆 2 + 2 = 1 绕 y 轴旋转 . a b
y 不变,
一,曲面方程的概念 二,柱面方程与图形 三,旋转曲面方程与图形 四,锥面方程与图形
一,曲面方程的概念 z
在空间解析几何中,任何 在空间解析几何中 任何 曲面都看作点的几何轨迹. 曲面都看作点的几何轨迹
S
F ( x , y, z ) = 0
如果曲面 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y , z ) = 0
. 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 ),半径为R的球面方程
特别地 , 球心在原点时 , 方程为 x + y + z = R .
2 2 2 2
例2 求过点 ( 1,2,5) 且和三个坐标平面都相 切
的球面方程 .
解 根据题意可知该球面位 于第七卦限 . 设球面半径为 a . 则球心坐标为 ( a , a , a ).
π 两直线的夹角 两直线的夹角 α (0 < α < ) 2 叫做圆锥面的半顶角 .
α
设圆锥面的顶点在 设圆锥面的顶点在 坐标原点 O , 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 α .
在 在 yOz 坐标面上, 直线 L 的 方程为 z = y cot α ,
z
α
M 1 (0, y1 , z1 ) M ( x, y, z )
C
设在 设在 yOz 坐标面上有一已知 曲线 C ,它的方程是 f ( y , z ) = 0,
把该曲线绕 把该曲线绕 z 轴旋转一周 , 得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 .
x
O
y
设 设 M 1 (0, y1 , z1 ) 为曲线 C 上任 一点, 那么有 f ( y1 , z1 ) = 0.
动直线 L 叫做柱面的母线 .
设柱面 设柱面 ∑ 的母线平行于 z 轴, 准线 C 是 xOy 面上的一 条曲线, 其方程为 F ( x , y ) = 0.
对空间中的点 M ( x , y , z ), 对空间中的点 如果其横坐标 x 和纵坐标 y
O
z
M( x, y, z)
y
M1 ( x, y,0)
化简可得
2 x 6 y + 2 z 7 = 0.
表示怎样的曲面? 例 方程 x2 + y2 = R2 表示怎样的曲面? 解 面上表示圆心在原点O, 方程 x2 + y2 = R2 在xOy面上表示圆心在原点 , 面上表示圆心在原点 半径为R的圆 的圆. 半径为 的圆. 在空间直角坐标 系中,此方程不含 , 系中,此方程不含z, 仅含x,y,故此方程: 仅含 ,故此方程:
2 2
曲线 C : f ( x , y ) = 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x ,± y 2 + z 2 ) = 0.
曲线 C : f ( x , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. 其余依此类推. 其余依此类推
例6 (1) 解
x2 + y2 = R2.
表示母线平行于z 表示母线平行于z轴 的圆柱面, 的圆柱面,它的准线 平面上的圆: 是xOy平面上的圆: 平面上的圆
x2 + y2 = R2.
二,柱面方程与图形
平行于定直线并 平行于定直线并 沿 定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面叫做柱面 .
L
C
定曲线 C 叫做柱面的准线 ,
因为旋转轴为 z 轴,
将方程中的 y 改成 ± x + y ,
2 2
O
x
y
便得到圆锥面的方程
z = ± x 2 + y 2 cot α
或者
z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ),
其中 a = cot α .
�
z
M 1 (0, y1 , z1 )
当曲线 C 绕 z 轴旋转时,
点 M 1绕 z 轴转到另一点 M ( x , y , z ), 这时 z = z1 保持不变 ,
M
C
O
y
且点 M 到 z 轴的距离 d =
x 2 2 x + y = y1 .
将 z1 = z , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0, 有 f ( ± x + y , z ) = 0.
旋转椭球面
x2 z2 ( 3) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 z 轴旋转 . a b
解
z 不变, x → ± x + y
2
2
x2 + y2 z2 2 = 1 单叶旋转双曲面面 2 a b
x z (4) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 x 轴旋转 . a b 解 z → ± y2 + z2 x 不变 ,
球面方程为 ( x + a )2 + ( y + a )2 + ( z + a )2 = a 2
将点( 1,2,5)代入球面方程后, 经整理得 a 8a + 15 = 0,
2
可解得 a = 3或a = 5.
球面方程为 ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 + ( y + 3) 2 = 3 2 或 ( x + 5) 2 + ( y + 5) 2 + ( y + 5) 2 = 5 2
2
2
x2 y2 + z2 =1 2 2 a b
双叶旋转双曲面面
x2 轴旋转, 把xOz面上的抛物线 2 = z 绕z轴旋转,所得曲面叫 面上的抛物线 轴旋转 a 做旋转抛物面 .
四,圆锥面方程与图形
直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 , 所得 直线 旋转曲面叫做圆锥面 .
两直线的交点叫做 两直线的交点叫做 圆锥面 的顶点 .
2 2
此即所求旋转曲面的方程. 此即所求旋转曲面的方程
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0.
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y , ± x + z ) = 0.
平面 x z = 0.
母线平行于 y 轴, 准线是 xOz 面上的直线 x z = 0.
三,旋转曲面方程与图形
一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一 周所成的曲面叫做旋转曲面. 周所成的曲面叫做旋转曲面 z 旋转曲线叫做旋转曲面的母线, 旋转曲线叫做旋转曲面的母线 定直线叫做旋转曲面的轴. 定直线叫做旋转曲面的轴
o x
有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足 方程; ( 2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程,
y
那么 那么, 方程就叫做曲面 S 的方程 ,曲面 S 就叫做方 程的图形.
例1 设动点 M ( x , y , z ) 到定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的距离
直平分面的方程 .
解 由题意可知 , 所求的平面就是与 A和B等距离
的点的几何轨迹 .
设 ( x , y , z ) 为所求平面上的任一点 , 由于 AM = BM ,
所以 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 + ( z 3) 2 = ( x 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 4) 2 ,
例3 方程x 2 + y 2 + z 2 2 x + 4 y = 0表示怎样的曲面 ? 解 通过配方 原方程可以改写成 通过配方,
( x 1)2 + ( y + 2)2 + z 2 = 5. 原方程表示球心在点 M 0 (1,2,0), 半径为 R = 5的球面.
例4 设有点 A(1,2,3) 和 B( 2,1,4), 求线段 AB 的垂
2
0
线为 xoy 面上的椭圆
-2 -1 0 1 2
-2
x2 y2 2 + 2 = 1. a b
抛物柱面
方程y=2px2称为母线平行于z轴的抛物柱面.
双曲柱面
y2 方程 b2 x2 a2 = 1称为母线平行于z轴的双曲柱面.
z
x y=0
O
z
xz=0
y
x
O
y
x
平面 x y = 0. 母线平行于 z 轴, 准线是 xOy 面上的直线 x y = 0.
C
x 满足方程 F ( x , y ) = 0, 则点 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上,于
是点 M ( x , y , z ) 在过 M 1 的母线上,即 M 在柱面 ∑ 上.
反之 反之 , 对柱面 ∑ 上的任一点 M ( x , y , z ),它在 xOy 面上的垂足 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上, 故点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y 满足方程 F ( x , y ) = 0.
为定长 R, 求动点 M 满足的曲面方程 .
解
根据题意有 M 0 M = R,
2 2 2
( 即 x x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R,
(x 所求方程为 所求方程为 x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R 2 .
2 2 2
yOz 面上的抛物线 y 2 = 2 pz 绕 z + y 2
x 2 + y 2 = 2 pz
( 2)
解
旋转抛物面
y2 z2 yOz 面上的椭圆 2 + 2 = 1 绕 y 轴旋转 . a b
y 不变,