考研常用二次曲面方程及图像
合集下载
常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
高等数学-几种常见的二次曲面
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
相应地平面被称为一次曲面．
如 2x y 3z 0
20
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 满足此方程的点都在曲面 S 上,
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
(实轴平行于x 轴；
y y1
虚轴平行于z 轴）
z y
25
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
得到)
28
作业
习题册 第七章第五节
2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
22
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
相应地平面被称为一次曲面．
如 2x y 3z 0
20
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 满足此方程的点都在曲面 S 上,
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
(实轴平行于x 轴；
y y1
虚轴平行于z 轴）
z y
25
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
得到)
28
作业
习题册 第七章第五节
2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
22
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
几种常见的二次曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
高数-附-2 二次曲面
1
与xoy平面平行的平面 z=z1 的交线为
x2 a2
y2 b2
1
z12 c2
z z1 为椭圆.
与yoz平面的交线
y2 b2
z2 c2
1
双曲线.
x 0
x0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与yoz平面平行平面的交线
y2 b2
z2 c2
（二）抛物面
(1) x2 y2 z（ p 与 q 同号）
2 p 2q
椭圆抛物面
椭圆抛物面的图形如下：
z z
o x
y
p 0, q 0
xo y
p 0, q 0
用截痕法讨论：设 p 0, q 0
z
（1）用坐标面 xoy(z=0) 与曲面
相截, 截得一点，即坐标原点O.
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z=z1 ( z1>0 ) 的交线为:
xo y
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
z z1 为椭圆.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得
x2
2
pz
为抛物线
z
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
为椭
1
z z1 | z1 | c
圆
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
几种常用的二次曲面与空间曲线(1)
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
的交线 三个坐标面的投影。
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
xoy平面的投影柱面，因此交线在xoy面的投影曲线：
C :
x 2y2
它是xoy面上的一条抛物线。
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
二次曲面的方程和图形
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号)
2p 2q
Oy
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
O
x
y
椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
双曲抛物面
y2 b2
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.
8-8二次曲面
a2 b2 c2 含两个直母线系 直纹面在建筑学上有广泛的应用 例如，冷却塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的．
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
2. 双叶双曲面
z
(1) 定义
方程
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面．
(2) 图形分析
oy
曲面与 yoz 面的交线是双曲线
x
z2
c
2
y2 b2
1
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
2. 双曲抛物面
（马鞍面）
(1) 定义
x2 a2
y2 b2
z
z
(2) 图形分析
截痕法
x
用z = a截曲面
0
用y = 0截曲面
y
用x = b截曲面
z2 c2
1
所确定的曲面称为单叶双曲面．
o
y
(2) 图形分析 曲面与 xoy 面的交线是椭圆
x2 a2
y2 b2
x 1
z 0 曲面与 yoz 面的交线是双曲线
y2
b2
z2 c2
1
x 0
与平面 z z1的交线是椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
7.常见的二次曲面
z
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
6二次曲面的标准方程
研究方法是采用平面截痕法.
2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面
x a
2 2
z
2 2
y b
z C
2 2
1
1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y 1 2 2 a b z 0
2
O
x
o
y
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
2 x2 y k 2 2 1 a b c z k 2 2
k | = c 时, 椭圆退缩成点.
3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:
y2 z 2 b c x 0
2 2
1
,
x 2 z 2 c a y 0
2 2
1 .
c
b
双曲线 x
y y0 .
以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面，所得截线 方程为：
y b
2 2
z c
2 2
x0 a
2 2
z y
0
1,
x x0 .
椭圆
作业
P47.1. 2. 3.画出 z=xy 的图象. 4.研究z=2x2+3y2与5-z=3x2+2y2的交线在xy平面上 的投影
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
(a, b, c均大于0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
2 z0 x y 1 , 2 2 2 2 2
a
b
c
双曲线
z z0 .
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
二次曲面
7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。