第六章 平面电磁波
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第六章 平面电磁波
1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。 2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下 Maxwell equations 或 wave equations 的解。 3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或 wave equations 可以简化，从而导出简化的模型， 如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。 4 最简单的电磁波是平面波。等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面 波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。 5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。 故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§ 6.2 均匀平面电磁波
1 波动方程的均匀平面波解
真实的物理世界不存在均匀平面波，它需要无限大的理想介质和无穷大的能量。但离场源很
远的局部区域的电磁波可以看成均匀平面波。
2 由均匀平面波的定义，我们可以设电场只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的 z 坐标。
3 下面我们首先用 Maxwell 方程证明均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电
kz
e
)
（注：教科书(6.3.4a)式笔误，应与前面复数表示式规定一致）
同样利用
Maxwell
磁场旋度方程可得
H
ay
Hy
H
(z,t)
ay H y0
cos(t
kz e )
ay
Ex0 Z
cos(t
kz e )
3 等相位面方程、波的相速及波长。
等 相 位 面 方 程 是 ： t kz c ， 在 时 谐 电 磁 波 条 件 下 , k 为 恒 定 量 ， 由 此 可 得
9 不良导体，传导电流大大小于位移电流， ，也称为弱损耗媒质。
5
波阻抗
Z
(1 j
)
传播常数 k (1 j ) (1 j 1 ) j
2
（注意：相位比幅度敏感，故传播常数近似的精度比阻抗近似精度高一阶）
磁场分量，此时为 z 分量）等于零；其次我们给出非零场分量 wave 方程的一般解，由一般
解说明波的本质；然后导出均匀平面波的传播特性。
4 把 E 0, E 0, H 0, H 0, 代入 Maxwell 两个旋度方程，可得
x y x y
Ez 0, t
z
e )
ay
Ex0 Z
e z
cos(t
z
e )
7 坡印亭矢量
S
1 2
E
H
az
1 2
E
2 x0
Z
e 2z
由此可见在导电媒质中电磁波功率流密度按指数规律衰减。 8 不良导体与良导体： 导电媒质中不良导体与良导体的划分不仅与媒质的电导率有关，而且与其中传播的电磁波的 频率有关。
12 趋肤效应和趋肤深度 在良导体中，由于传导电流存在，电磁波的能量转换为热能。也就是电磁波有传播损耗。电
磁波由良导体衰减常数 可知，电磁波频率越高，电磁波在良导体中的衰减常数 2
就越大，这样高频电磁波只能存在于导体表面附近的一个薄层内，高频电流（ J E ）也
主要分布在这个薄层。这就是趋肤效应，频率越高，电导率越大，趋肤效应越明显。
特点：1）正弦意味着时谐电磁波，此时的波形函数 f1 或 f2 变为正弦类函数，有正弦函数
就会出现频率变量 ，也可以引入场量的复数表示式；2）媒质既可以无耗，也可以有耗。
这样就更接近实际世界。 一 在理想介质： 2 波动方程及其解 场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为
2 E k 2 E 0
2H
0
t
t 2
如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，
2 j 2 (1 j ) 2，上面也可写成
2 E 2 E 0
2 H 2H 0
注意，介电常数是复数代表有损耗。 5 学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应。
趋肤深度 定义为电磁波场强衰减到表面场强值 1 时电磁波所穿透的距离。即有 e
Ee 1 E e
故 1 即
1 2
6
13 表面电阻：
电磁波在良导体中损耗能量的功率就等于电磁波进入良导体表面的功率。设电磁波垂直进入
良导体表面，则进入良导体表面的平均功率流密度，即良导体表面单位面积所吸收的功率为
这样有
1 2
1 Z 2
这是用纯数学方法导出的衰减常数近似式。 10 我们也可以用物理方法导出弱损耗媒质电磁波的衰减常数的近似式（参考教科书 163 页）。 这种物理方法更具有普遍性，是计算弱损耗媒质电磁波的衰减常数的代表性方法。
11 良导体，传导电流大大大于位移电流， 。
y
ay
1 Z
f1 (z vt)
因此在真空中的均匀平面波，其电场方向、磁场方向及电磁波传播方向三者之间相互正交，
满足右手螺旋关系；电场与磁场相位相等；电场与磁场的幅度之比等于波阻抗。
11 电磁能量：
e
1 E 2 2
1 (ZH )2 2
1 2
H 2
m
故电场能量密度与磁场能量密度相等。（如果不相等会怎样？）
Hy
Hy0e jkz
H e jkz je y0
H
e e z jz
y0
je
Ex0 Z
e z
e
jz
je
电场、磁场的瞬时值为
E
(z,t)
ax
E
x0
e
z
cos(t
z
e
)
H (z,t)
ay
H
y
0
e
z
cos(t
2E t 2
2H
H
2H
0
t
t 2
如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则
2 E jE 2E
2 H jH 2H 0
Leabharlann Baidu
采用复介电常数， 2 j 2 (1 j ) 2，上面也可写成
H z 0 t
因此 Ez , H z 是不随时间变化的常量，相互没有耦合，既与时变电磁场无关，又不包含信息，
在时变电磁场中，可令它们为零。故均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁
场分量，此时为 z 分量）等于零。
5
现在电场矢量位于
x－y
平面，不失一般性，可令 E
ax
E
x
波阻抗
Z
(1 j
)
j
e
j
4
j R jX 2 2
良导体阻抗呈感性。 传播常数
k (1 j )
( j )
e
j
4
j j
2
2
2
dt kdz 0 。相速 v p 为
vp
dz dt
k
1
与§ 6.2 中的结论一致。但这里的方法更具有一般性。
波长：在传播方向上相位差为 2 的两点之间的距离 2 k
4 复数坡印亭矢量
S
1 2
E
H
az
1 2
E
2 x0
Z
4
二 在导电媒质中 5 波动方程及其解 场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为
S 0av
1 2
E0 H0
cos( ) 4
1 2
H
2 0
Z
cos( ) 4
1 2
H
2 0
R
电磁波进入良导体后，在良导体中就有电流
J
E
ax
Jx
axE0e z jz
存在（参考教
科书 164 页图 6.3.3），电磁波在良导体中损耗能量的功率可以看成 x 方向的电流密度在 y 方
，这时电场波动方程可以简
化为
2 Ex 2 Ex 0
z 2
t 2
其一般解为
Ex f1 (z vt) f2 (z vt)
式中 v 1 为波速
6 波动的本质：
2
令 c z vt 场量仅仅与 c 有关， c 的值决定场量的处于上面状态。因此 c 的值称为相位，上述方程称为
8 均匀平面波为横电磁波（TEM）
由 5 可知，电磁波传播方向为 z 和 z 方向。电场没有传播方向的分量。电磁波的传播方
向通常称为纵向，如果电场和磁场没有传播方向的分量，则该电磁波称为 TEM 波（横电磁 波）。 9 磁场、磁场与电场的关系、波阻抗：由 Maxwell 磁场旋度方程可得
H y z
空间任一点电磁波的瞬时能量密度等于电场能量密度与磁场能量密度之和。
12 坡印亭矢量与电磁能量的传播：
S
EH
(ax
E
x
)
(a y
H
y
)
az
E
2 x
Z
az
E
2 x
az
E
2 x
az
v
v
故均匀平面波电磁波能量沿传播方向以波速传播。
3
§ 6.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 1 无限大均匀媒质中的正弦均匀平面波除了具有前面均匀平面波的全部特性之外，还有一些
2 E k2 E 0
式中 k2
2 2(
j
)
。因此只要把前面的实数 k
改为复数 k，解的形式不变。
6 传播常数、波阻抗：
k
(
j)
j
传播常数为复数意味着沿传播方向电磁波有衰减。这时称为 相位常数， 为衰减常数。
Z
§ 6.1 波动方程
1
电场波动方程： 2 E
2 E J t 2 t
磁场波动方程
2H
2H t 2
J
2 如果媒质导电（意味着损耗），有 J E 代入上面，则波动方程变为
2E
E t
等相位面方程。从等相位面方程看，空间坐标的变化与时间坐标的变化可以相互补偿以保持 相位或者说场量的恒定，这就是波动的本质。 7 电磁波传播方向的判定：
利用等相位面方程判定。如果等相位面方程是 c z vt ，时间 t 增加，欲保持相位不变，z 必须增加，因此等相位面是向 z 增加方向移动，也就是电磁波传播方向是 z 方向。
与§
6.2
同样的假定和推理，有
E
ax
Ex
和
2 Ex z 2
k 2 Ex
0
式中 k 2 2 ， k 为传播常数，简称为波数。上面方程的解为
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz je
其瞬时值为
E(z,
t)
ax
Ex0
cos(t
E x t
[vf1(z vt) vf2(z vt)]
两边积分可得
Hy
v[
f1 ( z
vt)
f2 z
vt]
1 Z
[ f1(z
vt)
f2 z
vt]
式中 Z (v)1 为波阻抗。它仅仅与媒质的参数有关，也称为媒质的本征阻
抗。在真空中 Z 0 120 377() 。 0
10 均匀平面波中电场、磁场及电磁波传播方向三者之间的关系：
前面的式中包含着两个方向传播的电磁波，如果只考虑向一个方向，比如 z 方向传播的电
磁波，则有
E
ax Ex
ax
f1 ( z
vt)
H
ay
H
3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
2E
2E
0
t 2
2H
2H
0
t 2
4 在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
2E
E
2E
0
t
t 2
1
2H
H
(
j
)
Z
e j
波阻抗的相角(0 ) 表示磁场滞后于电场。波阻抗为复数表示电场与磁场在时间上 4
不同步。
E
ax
Ex
和
H
ay
Hy
，电场、磁场的复数表示式为
E x
Ex0e jkz
E e jkz je x0
E x0e z e jz je
1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。 2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下 Maxwell equations 或 wave equations 的解。 3 在某些特定条件下，Maxwell equations 或 wave equations 可以简化，从而导出简化的模型， 如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。 4 最简单的电磁波是平面波。等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面 波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。 5 许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。 故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§ 6.2 均匀平面电磁波
1 波动方程的均匀平面波解
真实的物理世界不存在均匀平面波，它需要无限大的理想介质和无穷大的能量。但离场源很
远的局部区域的电磁波可以看成均匀平面波。
2 由均匀平面波的定义，我们可以设电场只与同一坐标分量有关，如直角坐标系中的 z 坐标。
3 下面我们首先用 Maxwell 方程证明均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电
kz
e
)
（注：教科书(6.3.4a)式笔误，应与前面复数表示式规定一致）
同样利用
Maxwell
磁场旋度方程可得
H
ay
Hy
H
(z,t)
ay H y0
cos(t
kz e )
ay
Ex0 Z
cos(t
kz e )
3 等相位面方程、波的相速及波长。
等 相 位 面 方 程 是 ： t kz c ， 在 时 谐 电 磁 波 条 件 下 , k 为 恒 定 量 ， 由 此 可 得
9 不良导体，传导电流大大小于位移电流， ，也称为弱损耗媒质。
5
波阻抗
Z
(1 j
)
传播常数 k (1 j ) (1 j 1 ) j
2
（注意：相位比幅度敏感，故传播常数近似的精度比阻抗近似精度高一阶）
磁场分量，此时为 z 分量）等于零；其次我们给出非零场分量 wave 方程的一般解，由一般
解说明波的本质；然后导出均匀平面波的传播特性。
4 把 E 0, E 0, H 0, H 0, 代入 Maxwell 两个旋度方程，可得
x y x y
Ez 0, t
z
e )
ay
Ex0 Z
e z
cos(t
z
e )
7 坡印亭矢量
S
1 2
E
H
az
1 2
E
2 x0
Z
e 2z
由此可见在导电媒质中电磁波功率流密度按指数规律衰减。 8 不良导体与良导体： 导电媒质中不良导体与良导体的划分不仅与媒质的电导率有关，而且与其中传播的电磁波的 频率有关。
12 趋肤效应和趋肤深度 在良导体中，由于传导电流存在，电磁波的能量转换为热能。也就是电磁波有传播损耗。电
磁波由良导体衰减常数 可知，电磁波频率越高，电磁波在良导体中的衰减常数 2
就越大，这样高频电磁波只能存在于导体表面附近的一个薄层内，高频电流（ J E ）也
主要分布在这个薄层。这就是趋肤效应，频率越高，电导率越大，趋肤效应越明显。
特点：1）正弦意味着时谐电磁波，此时的波形函数 f1 或 f2 变为正弦类函数，有正弦函数
就会出现频率变量 ，也可以引入场量的复数表示式；2）媒质既可以无耗，也可以有耗。
这样就更接近实际世界。 一 在理想介质： 2 波动方程及其解 场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为
2 E k 2 E 0
2H
0
t
t 2
如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，并采用复介电常数，
2 j 2 (1 j ) 2，上面也可写成
2 E 2 E 0
2 H 2H 0
注意，介电常数是复数代表有损耗。 5 学习要求：推导，数学形式与物理意义的对应。
趋肤深度 定义为电磁波场强衰减到表面场强值 1 时电磁波所穿透的距离。即有 e
Ee 1 E e
故 1 即
1 2
6
13 表面电阻：
电磁波在良导体中损耗能量的功率就等于电磁波进入良导体表面的功率。设电磁波垂直进入
良导体表面，则进入良导体表面的平均功率流密度，即良导体表面单位面积所吸收的功率为
这样有
1 2
1 Z 2
这是用纯数学方法导出的衰减常数近似式。 10 我们也可以用物理方法导出弱损耗媒质电磁波的衰减常数的近似式（参考教科书 163 页）。 这种物理方法更具有普遍性，是计算弱损耗媒质电磁波的衰减常数的代表性方法。
11 良导体，传导电流大大大于位移电流， 。
y
ay
1 Z
f1 (z vt)
因此在真空中的均匀平面波，其电场方向、磁场方向及电磁波传播方向三者之间相互正交，
满足右手螺旋关系；电场与磁场相位相等；电场与磁场的幅度之比等于波阻抗。
11 电磁能量：
e
1 E 2 2
1 (ZH )2 2
1 2
H 2
m
故电场能量密度与磁场能量密度相等。（如果不相等会怎样？）
Hy
Hy0e jkz
H e jkz je y0
H
e e z jz
y0
je
Ex0 Z
e z
e
jz
je
电场、磁场的瞬时值为
E
(z,t)
ax
E
x0
e
z
cos(t
z
e
)
H (z,t)
ay
H
y
0
e
z
cos(t
2E t 2
2H
H
2H
0
t
t 2
如果是时谐电磁场，用场量用复矢量表示，则
2 E jE 2E
2 H jH 2H 0
Leabharlann Baidu
采用复介电常数， 2 j 2 (1 j ) 2，上面也可写成
H z 0 t
因此 Ez , H z 是不随时间变化的常量，相互没有耦合，既与时变电磁场无关，又不包含信息，
在时变电磁场中，可令它们为零。故均匀平面波电磁场的纵向分量（平行于传播方向的电磁
场分量，此时为 z 分量）等于零。
5
现在电场矢量位于
x－y
平面，不失一般性，可令 E
ax
E
x
波阻抗
Z
(1 j
)
j
e
j
4
j R jX 2 2
良导体阻抗呈感性。 传播常数
k (1 j )
( j )
e
j
4
j j
2
2
2
dt kdz 0 。相速 v p 为
vp
dz dt
k
1
与§ 6.2 中的结论一致。但这里的方法更具有一般性。
波长：在传播方向上相位差为 2 的两点之间的距离 2 k
4 复数坡印亭矢量
S
1 2
E
H
az
1 2
E
2 x0
Z
4
二 在导电媒质中 5 波动方程及其解 场量用复数表示，无源区复数形式的波动方程为
S 0av
1 2
E0 H0
cos( ) 4
1 2
H
2 0
Z
cos( ) 4
1 2
H
2 0
R
电磁波进入良导体后，在良导体中就有电流
J
E
ax
Jx
axE0e z jz
存在（参考教
科书 164 页图 6.3.3），电磁波在良导体中损耗能量的功率可以看成 x 方向的电流密度在 y 方
，这时电场波动方程可以简
化为
2 Ex 2 Ex 0
z 2
t 2
其一般解为
Ex f1 (z vt) f2 (z vt)
式中 v 1 为波速
6 波动的本质：
2
令 c z vt 场量仅仅与 c 有关， c 的值决定场量的处于上面状态。因此 c 的值称为相位，上述方程称为
8 均匀平面波为横电磁波（TEM）
由 5 可知，电磁波传播方向为 z 和 z 方向。电场没有传播方向的分量。电磁波的传播方
向通常称为纵向，如果电场和磁场没有传播方向的分量，则该电磁波称为 TEM 波（横电磁 波）。 9 磁场、磁场与电场的关系、波阻抗：由 Maxwell 磁场旋度方程可得
H y z
空间任一点电磁波的瞬时能量密度等于电场能量密度与磁场能量密度之和。
12 坡印亭矢量与电磁能量的传播：
S
EH
(ax
E
x
)
(a y
H
y
)
az
E
2 x
Z
az
E
2 x
az
E
2 x
az
v
v
故均匀平面波电磁波能量沿传播方向以波速传播。
3
§ 6.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 1 无限大均匀媒质中的正弦均匀平面波除了具有前面均匀平面波的全部特性之外，还有一些
2 E k2 E 0
式中 k2
2 2(
j
)
。因此只要把前面的实数 k
改为复数 k，解的形式不变。
6 传播常数、波阻抗：
k
(
j)
j
传播常数为复数意味着沿传播方向电磁波有衰减。这时称为 相位常数， 为衰减常数。
Z
§ 6.1 波动方程
1
电场波动方程： 2 E
2 E J t 2 t
磁场波动方程
2H
2H t 2
J
2 如果媒质导电（意味着损耗），有 J E 代入上面，则波动方程变为
2E
E t
等相位面方程。从等相位面方程看，空间坐标的变化与时间坐标的变化可以相互补偿以保持 相位或者说场量的恒定，这就是波动的本质。 7 电磁波传播方向的判定：
利用等相位面方程判定。如果等相位面方程是 c z vt ，时间 t 增加，欲保持相位不变，z 必须增加，因此等相位面是向 z 增加方向移动，也就是电磁波传播方向是 z 方向。
与§
6.2
同样的假定和推理，有
E
ax
Ex
和
2 Ex z 2
k 2 Ex
0
式中 k 2 2 ， k 为传播常数，简称为波数。上面方程的解为
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz je
其瞬时值为
E(z,
t)
ax
Ex0
cos(t
E x t
[vf1(z vt) vf2(z vt)]
两边积分可得
Hy
v[
f1 ( z
vt)
f2 z
vt]
1 Z
[ f1(z
vt)
f2 z
vt]
式中 Z (v)1 为波阻抗。它仅仅与媒质的参数有关，也称为媒质的本征阻
抗。在真空中 Z 0 120 377() 。 0
10 均匀平面波中电场、磁场及电磁波传播方向三者之间的关系：
前面的式中包含着两个方向传播的电磁波，如果只考虑向一个方向，比如 z 方向传播的电
磁波，则有
E
ax Ex
ax
f1 ( z
vt)
H
ay
H
3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
2E
2E
0
t 2
2H
2H
0
t 2
4 在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域，波动方程成为齐次方程。
2E
E
2E
0
t
t 2
1
2H
H
(
j
)
Z
e j
波阻抗的相角(0 ) 表示磁场滞后于电场。波阻抗为复数表示电场与磁场在时间上 4
不同步。
E
ax
Ex
和
H
ay
Hy
，电场、磁场的复数表示式为
E x
Ex0e jkz
E e jkz je x0
E x0e z e jz je