第10讲 数列求和与数列的简单应用
数列的求和与推导
数列的求和与推导数列在数学中起着重要的作用，它们可以描述各种现象、规律和模式。
在数列中，我们常常需要求解数列的和以及推导数列的表达式。
本文将介绍数列求和的方法和数列推导的技巧，以帮助读者更好地理解和应用数列。
一、数列的求和求解数列的和是数学中常见且重要的问题，下面将介绍几种常用的数列求和方法。
1.1 等差数列求和等差数列是指数列中的每个数与它前面的数之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，它的第n项为an，则等差数列的前n 项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差。
通过这个公式，我们可以轻松求解等差数列的前n项和。
1.2 等比数列求和等比数列是指数列中的每个数与它前面的数之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，它的第n项为an，则等比数列的前n 项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = (a1 * (1 - q^n))/(1 - q)其中，n为项数，a1为首项，q为公比。
利用这个公式，我们可以迅速计算等比数列的前n项和。
1.3 其他数列求和方法除了等差数列和等比数列外，还存在其他类型的数列，它们的求和方法可能需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和方法就需要通过递推的方式来实现。
二、数列的推导数列的推导是指从已知的数列中找出其中的规律，进而推导出数列的表达式。
推导数列的表达式可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律。
2.1 等差数列的推导对于等差数列，如果已知数列的首项a1和公差d，可以通过如下方式推导数列的表达式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项。
通过这个推导公式，我们可以根据已知条件轻松地推导出等差数列的表达式。
2.2 等比数列的推导对于等比数列，如果已知数列的首项a1和公比q，可以通过如下方式推导数列的表达式：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
数列与数列求和
数列与数列求和数列，是数学中一个非常重要的概念。
它指的是按一定规律排列在一起的一系列数，比如1, 3, 5, 7, 9……就是一个数列，其中的每个数都比前面的数大2。
数列的一个重要应用，是在计算机科学和工程学的领域中，常常用来模拟各种现实世界中的问题，例如模拟电路、物理系统、金融市场等等。
因此对于每一个数学学习者来说，理解数列是非常重要的。
数列求和，就是将数列中每个数相加的结果。
以1, 2, 3, 4, 5为例，这个数列的求和结果就是1+2+3+4+5=15。
这个概念在数学中也非常重要，因为在很多问题中，我们需要将一个数列的所有数加起来，以得到一个总和，这个总和经常可以揭示数列的某些性质，例如递推公式、平均数等等。
对于一些规律简单的数列，我们很容易使用求和公式求出它们的和。
例如1, 2, 3, ……n这个数列，其求和公式为n(n+1)/2。
当n=5时，这个数列的求和结果为5×6/2=15。
又比如说1, 3,5, ……2n-1这个数列的求和公式为n²，当n=3时，这个数列的求和结果为3²=9+7+5=19。
除了这些规律简单的数列，还有很多数列需要通过复杂的推导才能得到它们的求和公式。
例如我们要求1²+2²+3²+……+n²这个数列的和。
最简单的方法是把每一个数的平方单独求出来，再把它们相加得到总和。
但是如果n很大，这个方法就显得非常麻烦。
因此我们需要一种更为高效的方法来求出这个数列的和。
一个非常巧妙的方法，就是利用等差数列和等比数列的求和公式来得出1²+2²+3²+……+n²的求和公式。
具体来说，我们可以通过计算(2n+1)×(n+1)×n/6来得到这个数列的求和公式。
当n=5时，这个数列的求和结果就是(2×5+1)×(5+1)×5/6=55。
10 第10讲 数列与数表
第十讲数列与数表兴趣篇1.观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。
求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和。
2.请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3, (100)问：（1）这个数列一共有多少项？（2）这个数列所有数的总和是多少？3.一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。
请问：（1）第100项是多少？（2）前100项的和是多少？出“？”处的数。
5.如图，数阵中的数是按一定规律排列的。
请问：（1）100在第几行、第几列？（2）第20行第3列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列第1行 1 2 3 4第2行 5 6 7 8第3行9 10 11 12第4行13 14 15 16第5行17 ……………………6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。
请问：（1）100在第几行第几列？（2）第5行第20列的数是多少？7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列。
请问：（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。
请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？9.如图。
从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … …4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1)3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …10.如图。
数列与数列求和等比数列求和公式及应用
数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列是一组按特定规律排列的数的集合，而数列求和则是计算数列中所有数之和的过程。
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项与相同的常数（称为公比）相乘得到的。
在本文中，我们将介绍等比数列的求和公式以及其应用。
一、等比数列求和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n。
我们需要求解等比数列的前n项之和Sn。
1. 当公比r不等于1时，等比数列求和公式为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)2. 当公比r等于1时，等比数列求和的结果就是其首项与项数的乘积，即：Sn = a₁ * n二、应用实例等比数列求和公式在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的例子。
1. 财务应用：假设你每天存款的利率是0.03，第一天存入100元，第二天存入100 * 0.03 = 103元，以此类推。
问存了10天后，一共存入了多少钱？第一项a₁ = 100，公比r = 0.03，项数n = 10。
代入等比数列求和公式可得：Sn = 100 * (1 - 0.03^10) / (1 - 0.03) ≈ 1038.55元因此，存了10天后，一共存入了约1038.55元。
2. 物理应用：在物理学中，速度、加速度等与时间有关的量常常构成等比数列。
例如，一个物体以每秒钟减速50m/s²的速度匀减速运动，从初始速度200m/s开始，问经过5秒钟后，物体的总位移是多少？第一项a₁ = 200，公比r = -50/200 = -0.25，项数n = 5。
代入等比数列求和公式可得：Sn = 200 * (1 - (-0.25)^5) / (1 - (-0.25)) ≈ 268.75m因此，经过5秒钟后，物体的总位移约为268.75m。
3. 经济应用：在经济学中，利润、市场份额等指标常常构成等比数列。
例如，某公司的利润在第一年为1万美元，每年增长20%。
数列求和及其数列的简单应用
数列求和及数列的简单应用
常用求和公式
等差数列
，特别 。
等比数列
，特别 。
自然数
平方和
。
自然数
立方和
。
常用求和方法
公式法
如 。
常用裂项方法： ；
；
；
。
分组法
如 ， 。
裂项法
如 。
错位
相减法
如 。
倒序
相加法
如 。
数列模型
等差数列
基本特征是均匀增加者减少。
等比数列
基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
一个简单
递推数列
基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为 ，每年年底要拿出 （常数）作为下年度的开销，即数列 满足 。
注：表中 均为正整数
数学归纳法
数学
归纳法
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时结论正确；然后假设当n=k 时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确．
数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用 一、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
1、已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和T 2n .2、已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和S n .二、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1②1n(n+2)=12(1n−1n +2) ③1(2n −1)(2n+1)=12(12n−1−12n +1)④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 3、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；n .4、已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。
5、已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3（1）求数列 a n 通项公式；（2） b n 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列 b na n 的前n 项和T n .6、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和T n *()n ∈N .四、分奇数、偶数求和（课后作业）7、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且(1)证明：23n n a a +=；(2)求n S8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a 1=2,a n +1+a n =2n −1（1） 求数列{}n a 的通项公式（2） 求n S。
新高考数学数列经典题型专题提升-第10讲 数列求和并项求和法(解析版)
第10讲 数列求和:并项求和法参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021春•吉安县期中）数列满足，则前40项和为 A ．940B ．820C ．1830D ．1880【解答】解：由，可得为奇数时，；为偶数时，．设，则，，，，，，，，所以前40项和为．故选：．2．（2021秋•麒麟区校级月考）已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则 A ．2021B ．2021C ．2018D ．2021【解答】解：由数列的前项和为，当时，；当时，，上式对时也成立，，，函数的周期，．故选：．3．（2021•未央区校级模拟）数列满足，，若，且数列的前项和为，则 {}n a 1(1)21n n n a a n ++-=-{}n a ()1(1)21n n n a a n ++-=-n 121n n a a n +-=-n 121n n a a n ++=-1a t =21a t =+32a t =-47a t =-5a t =69a t =+72a t =-815a t =-...{}n a 1234567837383940()()...()a a a a a a a a a a a a ++++++++++++1102642...15410(10154)8202=++++=⨯⨯+=B {}n a n 2n S n n =-{}n b 1sin 2n n n b a π+={}n b n n T 2017(T =){}n a n 2n S n n =-1n =11110a S ==-=2n …221[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=-1n =22n a n ∴=-∴cos2(1)cos22n n n n b a n ππ==- cos2n y π=242T ππ==2017152013262143720154820162017()()()()T b b b b b b b b b b b b b ∴=++⋯++++⋯++++⋯++++⋯++201702(152013)02(372015)4032cos450420162π=-++⋯+++++⋯++=⨯=A {}n a 11a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++2cos 3n n n b a π={}n b n n S 11(S =)A ．64B ．80C ．D ．【解答】解：数列满足，，则，可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，即有，即为，则，则．故选：．4．（2021秋•南昌月考）已知数列满足，则的前20项和 A ．B ．C ．D ．【解答】解：数列满足，则的前20项和．故选：．5．（2021秋•内蒙古期末）已知数列是首项为，公比的等比数列，且．若数列的前项和为，则 A ．B ．C ．D ．【解答】解：数列是首项为，公比的等比数列，可得，，64-80-{}n a 11a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+=++{}n anna n n=2n a n =222coscos33n n n n b a n ππ==22222222222111(1245781011)(369)2S =-++++++++++222222222222221(1233456678991011)2=-+--++---+--++1(5234159)642=-⨯+++=-C {}n a *22()n n n a a n N ++=∈{}n a 20(S =)20215-20225-21215-21225-{}n a *22()n n n a a n N ++=∈{}n a 2013192420()()S a a a a a a =++⋯++++⋯+5172618(222)(222)=++⋯++++⋯+45245442[(2)1]2[(2)1]2121--=+--21225-=D {}n a 12a =2q =1n n n b a a +=+{}n b n n S (n S =)323n -g 1323n +-g 32ng 1326n +-g {}n a 12a =2q =112232n n n n n n b a a ++=+=+=g 6(12)62612n n n S -==--g故选：．6．（2021春•万载县校级期末）若数列的通项公式是，则等于 A ．60B ．C ．90D ．【解答】解：由，可得．故选：．7．（2021春•成都期末）已知数列满足，为的前项和，则 A ．300B ．320C ．340D ．360【解答】解：因为，所以当为偶数时，有，，，；，，，．当为奇数时，有，，，，，，，，．故选：．二．解答题（共10小题）8．（2021•山东）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记，求．【解答】解：（Ⅰ）是与的等比中项，D {}n a (1)(32)n n a n =--1260a a a ++⋅⋅⋅+()60-90-(1)(32)n n a n =--1260(14)(710)(1316)...(175178)a a a ++⋅⋅⋅+=-++-++-+++-+33...333090=+++=⨯=C {}n a 1(1)31n n n a a n ++-=+n S {}n a n 20(S =)1(1)31n n n a a n ++-=+n 131n n a a n ++=+2134n n a a n ++∴-=+265n n a a n +∴+=+2462517a a ∴+=⨯+=6866541a a +=⨯+=⋯182********a a +=⨯+=∴24205(17113)3252a a a ⨯++++== n 131n n a a n +-=+2134n n a a n ++∴+=+23n n a a +∴+=133a a ∴+=573a a +=⋯17193a a +=13195315a a a ∴+++=⨯= 2012320S a a a a ∴=++++ 13192420()()a a a a a a =+++++++ 32515340=+=C {}n a 2d =2a 1a 4a {}n a (1)2n n n b a +=1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-⋯+-n T 2a 1a 4a在等差数列中，公差，，即，化为，解得．．（Ⅱ），．当时，．当时，．故．（也可以利用“错位相减法” 9．（2021•天津）已知是等比数列，前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和．【解答】解：（1）设的公比为，则，即，解得或．若，则，与矛盾，不符合题意．，，．214 {}n a 2d =∴2111()(3)a d a a d +=+2111(2)(32)a a a +=+⨯2122a =12a =1(1)2(1)22n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=(1)2(1)n n n b a n n +==+ 1234(1)1(11)2(21)(1)(1)n n n n T b b b b b n n ∴=-+-+-⋯+-=-⨯++⨯+-⋯+-+g *2()n k k N =∈2212(21)(21)(211)4k k b b k k k k k --=+---+=2143221()()()n k k T b b b b b b -=-+-+⋯+-(1)(2)4(12)42(1)22k k n n k k k ++=++⋯+=⨯=+=*21()n k k N =-∈2143222321()()()n k k k T b b b b b b b ---=-+-+⋯+--(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-2(2),2(*)2(1),21(*)2n n n n k k N T n n k k N +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩){}n a n *()n S n N ∈123112a a a -=663S ={}n a *n N ∈nb 2log n a 21log n a +2{(1)}n nb -2n {}n a q 2111112a a q a q -=2121q q -=2q =1q =-1q =-60S =663S =2q ∴=616(12)6312a S -∴==-11a ∴=（2）是和的等差中项，．．是以为首项，以1为公差的等差数列．设的前项和为，则．10．（2021秋•东丽区校级月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）数列满足为非零整数），都有恒成立，求实数的值．【解答】解：（Ⅰ）当时，，得或，（舍，当时，．则，即，，，即数列是公差为1的等差数列，则，．（Ⅱ）当是奇数时，，当是偶数时，，则数列的前项和．n n b 2log n a 21log n a +221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-11n n b b +∴-={}n b ∴122{(1)}n nb -2n n T 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n nb b b b b b -=+++⋯++12112222222n n b b n n +-+==g 22n ={}n a n n S 22nn n a S a =-2n n b ={}n c 22sin cos 22n n n n n c a b ππ=⋅-⋅{}n c 2n 2n T {}n d 1*3(1)2()(n a n n n d n N λλ-=+-⋅∈1n n d d +>λ1n =211112a a a a =-=11a =10a =)2n (2)1112n n n a S a +++=-22111122n n n n n n n n a a S a S a a a ++++-=--+=+111()()n n n n n n a a a a a a ++++-=+0n a > 11n n a a +∴-={}n a 11n a n n =+-=*n N ∈n 22sin cos 22n n n n n n c a b a n ππ=⋅-⋅==n 2n n n c b =-=-{}n c 2n 21221211(121)4(41)14424133n nnn n i i i i n n T c c n +-==+--=+=-=-⋅+-∑∑（Ⅲ），恒成立，当是奇数时，得，得，从而，当是偶数时，得，得，从而，为非零整数，．11．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，．（Ⅰ）求与的通项公式；（Ⅱ）设，，求．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，递增的等差数列的公差为，由，，，，可得，，解得，（舍去）或，，所以，；（Ⅱ）当时，，，2，，，设；当时，，设，所以．12．（2021春•武清区校级期末）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且．（1）求数列和的通项公式；11111113(1)23(1)23(1)23(1)2233(2)n n a a n n n n n n n n n n n n n n d d λλλλλ++-++-+-=+-⋅---⋅=+-⋅---⋅=⨯+-1n n d d +> ∴n 233(2)0n n λ⨯+->23320n n λ⨯->13(2n λ-<1λ<n 233(2)0n n λ⨯+->23320n n λ⨯+>13()2n λ->-32λ>-λ 1λ∴=-{}n a {}n b {}n b n (*)n S n N ∈12a =11b =413S a a =+213a b b =+{}n a {}n b 2(1),2(1)(24),21(1)(3)k k k n n nn b n kd b n k b b ⎧-=⎪=-+⎨=-⎪++⎩k N +∈41ni i d =∑{}n a q {}n b (0)d d >12a =11b =413S a a =+213a b b =+24622d q +=+2112q d =++1q =0d =2q =1d =2n n a =n b n =2()n k k N +=∈22(1)k n k d d k ==-1k =...2n 222222244...(12)(34)...[(21)(2)]1234...(21)2n A d d d n n n n =+++=-++-+++--+=+++++-+22(12)22n n n n +==+21()n k k N +=-∈21212121(1)(24)(1)(42)(1)(3)2(22)k k k n k k k b k d d b b k k -----+-+===+++121111(1)(1)()2(1)21k k k k k k k +=-⋅⋅=⋅-+++134111111111...(1...)(1)2223221221n B d d d n n n -=+++=--++-++=-++421112422ni i d A B n n n ==+=++-+∑{}n a 52a 4a 64a 2434a a ={}n b n (1)2n n n S b +=*n N ∈11b ={}n a {}n b（2）设，，数列的前项和为，求证：；（3）设，求的前项和．【解答】解：（1）设等比数列的公比为，，，成等差数列，且满足，，，解得：，．．数列的前项和，，且．时，，化为：，可得．（2）证明：，数列的前项和为，单调递增，，．（3）设，设数列的前项和为，221223n n n n b c b b +++=*n N ∈{}n c n n A 51364n A <…2(1)[(1)(1)]n n n n n d b a b =-+++{}n d n n T {}n a 0q >52a 4a 64a 2434a a =2444224a a q a q ∴=+22333144a q a a a q ==12q =112a =1()2n n a ∴={}n b n (1)2n n n S b +=*n N ∈11b =2n ∴…11(1)22n n n n n n nb S S b b --+=-=-1211121n n b b b bn n -==⋯===-n b n =22222212232311(1)(2)(1)(2)n n n n n c b b n n n n ++++===-⋅++++∴{}n c n 2222222111111112334(1)(2)4(2)n A n n n =-+-+⋯+-=-+++n A 114n A A ∴<…∴51364n A < (221)(1)[(1)(1)](1)((1)(1)()2n n n n n n n d b a b n n =-+++=-+++⨯-1{(1)()}2n n +⨯-n n H则，，，．时，，的前项和．时，，的前项和．为偶数时，数列的前项和．为奇数时，数列的前项和．13．（2021春•温州期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解答】解：（1）由题意得，解得，数列的通项公式为．（2），当为奇数时，；231111112()3()4(()(1)()22222n n n H n n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-++⨯-23411111112()3()4()()(1)()222222n n n H n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯-++⨯-∴2341111[1()]31111111221(()()()(1)()(1)(1222222221()2n n n n n H n n ++---=-+-+-+-+⋯+--+⨯-=-+-+⨯---5351()992n n n H +∴=-+⨯-2n k =*k N ∈2{(1)((1)}n n -+n 222222(21)(3)3254(1)23122n n n n n B n n n n +++=-+-++-=++⋯+++==21n k =-*k N ∈2{(1)((1)}n n -+n 2221(1)(4)34(2)(2)22n n n n n n B B n n +++++=-+=-+=-n ∴{}n d n (3)5351(2992n n n n n T ++=-+⨯-n {}n d n 2345351()2992n n n n n T +++=--+⨯-{}n a n n S d 11a =39S ={}n a 2(1)n n n b a =-⋅{}n b n n T 3133339S a d d =+=+=2d ={}n a 12(1)21n a n n =+-=-2222(21),(1)(1)(21)(21),nnn nn n n b a b n n n ⎧--=-⋅==--=⎨-⎩为奇数为偶数n 222222222(1)(123)13579(23)(21)2(135723)(21)2(21)212n n n T n n n n n n -+-=-+-+-+⋯+---=++++⋯+---=⨯--=-+当为偶数时，，所以．14．（2021•福建模拟）记为等比数列的前项和，已知，．（1）求；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）当时，由可得，两式相减，可得，即，依题意，为等比数列，故．令，则由可得，即；（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；故为首项等于，公比等于的等比数列，故，故数列的前项和．15．（2021•天心区校级一模）已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，，所以数列的通项公式为；（2）因为，n 2222222(121)13579(23)(21)2(13572321)222n n n T n n n n n +-=-+-+-+⋯--+-=++++⋯+-+-=⨯=2221,2,n n n T n n ⎧-+=⎨⎩为奇数为偶数n S {}n a n 11a =1n n S a t +=+t {(cos )}n n a π⋅n 2n …1n n S a t +=+1n n S a t -=+1n n n a a a +=-12n n a a +={}n a 22a =1n =1n n S a t +=+12S a t =+12121t S a a a =-=-=-{}n a 12n n a -={(cos )}n n a π⋅1-2-1(1)(2)n n a -=-⋅-{(cos )}n n a π⋅n 1(2)11(2)1(2)33n n n T -+-==⨯----{}n a n n S 38a =572S a ={}n a {}n b 1cos 2n n n b a n π+=+{}n b 2n 2n T {}n a d 111285452(6)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩12a =3d ={}n a *23(1)31,n a n n n N =+-=-∈11cos 2(1)2n n n n n n b a n a π++=+=-+所以．16．（2021秋•运城期中）已知正项数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的表达式．【解答】解：（1）正项数列的前项和为，满足，所以，整理得：，由于数列为正项数列，（常数），所以是以1为首项，1为公差的等差数列，，故，所以（首项符合通项）．由于，，当为奇数时，，为偶数时，，所以，，，，所以．17．（2021秋•郸城县校级月考）已知为数列前项和，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求的值．23122143221()()()(222)n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+22222(12)332412n n n n +-=+=+--{}n a n n S 2,*)n a n n N =∈…11a ={}n a 1cos n n n nb n a a π+=g{}n b 2n 2n T {}n a n n S 2,*)n a n n N =+∈…1n n S S --=1)0-=1=11n n =+-=2n S n =121n n n a S S n -=-=-11111(22121n n a a n n +=--+111cos cos [()]22121n n n n n b n n a a n n ππ+==--+g n cos 1n π=-n cos 1n π=111(1)23b =--2211()235b =-3311()257b =--⋯21232121112121313141412111211((223232525272729243412414141nn n n n n Tb b b b b n n n n n --=+++⋯++=-+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+⋯+-+-=----++n S {}n a n (2sin )(2cos )2n n a n n ππ+=+4k a 41()k a k Z -∈24n S an bn =+a b -【解答】（Ⅰ）解：由已知：．，，又，．（Ⅱ）又由已知：，得：，，得：．所以，，解得：，，．(2sin )(2cos )2n n a n n ππ+=+4(2sin 2)4(2cos 4)()k a k k k k Z ππ∴+=+∈46()k a k k Z ∴=∈41[2sin(2)](41)[2cos(41)]2k a k k k πππ-+-=-+-4141k a k -∴=-42[2sin(2)](42)[2cos(42)]k a k k k πππ-+-=-+-4263k a k -=-433[2sin(2)](43)[2cos(43)]2k a k k k πππ-+-=-+-43413k k a -=-412348128133631542336971233S a b a a a a S a b a a a ⎧=+=+++=+++⎪⎪⎨⎪=+=++⋯+=+++++++⎪⎩263a =113b =5a b ∴-=。
等差数列的求和与应用
等差数列的求和与应用等差数列是数学中常见的序列类型，其中每个数与它的前一个数之差相等，这个固定的差值称为公差。
在实际问题中，等差数列的求和公式被广泛应用，能够帮助我们快速计算出大量数字的总和。
本文将介绍等差数列的求和公式及其应用，并探讨其中的数学原理和推导过程。
一、等差数列的求和公式对于一个等差数列的求和问题，我们需要知道公差、首项和末项的值。
在示例中，我们假设公差为d，首项为a1，而最后一项为an。
等差数列的求和公式如下：S = (n/2)(a1+an)其中，n为项数，S表示等差数列的和。
这是一个常用的等差数列求和公式，它能够简化计算过程，尤其是在需要求和的数字较多时。
二、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式的应用非常广泛，尤其在数学和物理学领域。
以下是一些常见的应用场景：1. 数字序列求和等差数列求和公式适用于求解某个连续数字序列的总和。
通过找到公差、首项和末项的值，我们可以直接代入公式求解，无需逐个相加。
这对于大量数据的求和问题非常实用，能够提高计算效率。
2. 平均数的计算在等差数列中，每一项都等于前一项加上公差。
因此，等差数列的平均数等于首项与末项的平均值。
这个结论在实际问题中非常有用，能够帮助我们快速计算出一组数字的平均值。
3. 生活中的应用等差数列的求和公式也用于解决日常生活中的一些实际问题。
例如，电影院的座位排列、楼梯的台阶数、音乐会的座位数等。
通过分析问题，我们能够将它们转化为等差数列的求和问题，从而便于解决。
三、等差数列求和公式的推导等差数列求和公式的推导可以通过数学归纳法来完成。
以下是该推导的步骤：1. 首先考虑等差数列的前n项和Sn。
2. 使用数学归纳法证明Sn的表达式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
3. 基本情况：当n = 1时，Sn = a1，与公式相符。
4. 假设等差数列前k项和的表达式为Sk = (k/2)(a1 + ak)。
5. 当n = k + 1时，将其分解为前k项和加上第k + 1项，即Sn+1 = Sk + (k + 1)。
数列的求和公式及其应用与推导
数列的求和公式及其应用与推导数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。
在实际应用中，数列的求和公式是一种非常重要的工具，它可以帮助我们快速计算数列的和，并且在各种领域中有广泛的应用。
一、数列的定义和基本性质数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的。
一般来说，数列可以用以下形式表示：{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ...表示数列中的各个元素。
数列的第一个元素a₁称为首项，数列的第n个元素aₙ称为第n项。
数列的求和公式是指将数列中的所有元素相加得到的和。
在数列的求和公式中，常见的有等差数列求和公式和等比数列求和公式。
二、等差数列的求和公式及其应用与推导等差数列是指数列中的各个元素之间的差值是一个常数。
例如，{1, 3, 5, 7,9, ...}就是一个等差数列，其中首项为1，公差为2。
对于等差数列，我们可以通过求和公式来快速计算其和。
等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的和，n表示数列的项数，a₁表示首项，aₙ表示末项。
应用举例：假设我们有一个等差数列{2, 5, 8, 11, 14, ...}，我们想要计算前10项的和。
首先，我们可以确定数列的首项为2，公差为3。
然后，根据等差数列的求和公式，我们可以得到：S10 = (10/2)(2 + 2 + 9*3) = 55因此，前10项的和为55。
三、等比数列的求和公式及其应用与推导等比数列是指数列中的各个元素之间的比值是一个常数。
例如，{2, 4, 8, 16, 32, ...}就是一个等比数列，其中首项为2，公比为2。
对于等比数列，我们同样可以通过求和公式来计算其和。
等比数列的求和公式如下：Sn = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sn表示等比数列的和，n表示数列的项数，a₁表示首项，r表示公比。
应用举例：假设我们有一个等比数列{3, 6, 12, 24, 48, ...}，我们想要计算前5项的和。
数列求和公式的推导与应用
数列求和公式的推导与应用数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，我们经常需要求解数列的和，这就需要用到数列求和公式。
本文将探讨数列求和公式的推导与应用。
一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列，我们可以利用求和公式来计算其前n项和。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
首先，我们将等差数列的前n项写出来：a1, a1+d, a1+2d, ..., a1+(n-1)d。
然后，我们将这n项分成两组，每组分别从首项和末项开始，逐项相加。
我们可以发现，每组的和都是相等的，并且和的值等于首项和末项之和。
第一组的和为：a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n-1)d第二组的和为：a1 + (a1 + (n-1)d) + a1 + (a1 + (n-2)d) + ... + a1 + d将两组的和相加，得到：2(a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n-1)d) = n(a1 + a1 + (n-1)d)化简上式，得到：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)最后，将上式两边同时除以2，得到等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)这就是等差数列求和公式的推导过程。
利用这个公式，我们可以方便地计算等差数列的前n项和。
二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列，我们可以利用求和公式来计算其前n项和。
假设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。
首先，我们将等比数列的前n项写出来：a1, a1*r, a1*r^2, ..., a1*r^(n-1)。
然后，我们将这n项相加，得到：Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)接下来，我们将Sn乘以公比r，并将这两个式子相减，得到：Sn*r = a1*r +a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1) + a1*r^n将上式两边相减，得到：Sn*(1-r) = a1*r^n - a1化简上式，得到等比数列的求和公式：Sn = (a1*(1-r^n))/(1-r)这就是等比数列求和公式的推导过程。
数列与级数的求和与极限的实际应用
数列与级数的求和与极限的实际应用数学中的数列与级数是一种重要的概念，它们不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也起到了关键的作用。
本文将探讨数列与级数的求和及其在实际应用中的极限。
一、数列的求和数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。
常见的数列有等差数列和等比数列。
求和就是计算数列中所有数的总和。
以等差数列为例，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。
为了求等差数列的和，我们可以利用求和公式 Sn = n/2 * (a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。
在实际应用中，数列的求和可以帮助解决许多问题。
比如，我们可以通过求和的方法计算一年内每个月的销售总额，从而方便管理和分析业务。
此外，数列的求和也在金融领域有广泛应用，比如计算复利收益、利润累计等。
二、级数的求和级数是由一个数列的项的和构成的数列。
在级数中，每一项都是前一项的和。
常见的级数有调和级数和几何级数。
以几何级数为例，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
为了求几何级数的和，我们可以利用求和公式 S= a1 / (1-r)，其中 S 表示无穷项的和。
级数的求和在实际应用中也具有重要意义。
比如，几何级数的求和可以用来计算贷款利息的收益率，帮助投资者做出决策。
另外，在物理学中，级数的求和也用于计算运动中的位移、速度和加速度等。
三、极限的实际应用极限是数列与级数中一个重要的概念，它描述了数列或函数在无穷接近某一值的趋势。
极限的概念在数学中有广泛的应用，也在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。
在实际应用中，我们经常需要利用极限来求解各种问题。
比如，在物理学中，我们可以通过求极限来计算速度和加速度。
在经济学中，极限的概念被用于描述市场需求和供应的变化趋势。
此外，极限还在工程学和计算机科学等领域有广泛的应用，比如在信号处理、图像处理和机器学习等方面。
数列求和的几种方法、数列的实际应用问题
数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题⼀. 教学难点：数列的实际应⽤问题⼆. 课标要求：1. 探索并掌握⼀些基本的数列求前n 项和的⽅法；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能⽤有关等差、等⽐数列知识解决相应的实际问题．三. 命题⾛向：数列求和和数列综合及实际问题在⾼考中占有重要的地位，⼀般情况下都是出⼀道解答题，解答题⼤多以数列为⼯具，综合运⽤函数、⽅程、不等式等知识，通过运⽤逆推思想、函数与⽅程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想⽅法，这些题⽬都考查考⽣灵活运⽤数学知识分析问题和解决问题的能⼒，它们都属于中、⾼档题⽬．有关命题趋势：1. 数列是⼀种特殊的函数，⽽不等式则是深刻认识函数和数列的有效⼯具，三者的综合题是对基础和能⼒的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是⾼考的重点；2. 数列推理题将继续成为数列命题的⼀个亮点，这是由于此类题⽬能突出考查学⽣的逻辑思维能⼒，能区分学⽣思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析⼏何的结合等；4. 有关数列的应⽤问题也⼀直备受关注．【教学过程】⼀、基本知识回顾 1. 数列求通项与和（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n ＝--11s s s n n 12=≥n n ．（2）求通项常⽤⽅法①作新数列法．作等差数列与等⽐数列．②累差叠加法．最基本的形式是：a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1＋a n －2）＋…＋（a 2－a 1）＋a 1．③归纳、猜想法．（3）数列前n 项和①重要公式：等差和等⽐数列的求和公式1＋2＋…＋n ＝21n （n ＋1）；12＋22＋…＋n 2＝61n （n ＋1）（2n ＋1）；13＋23＋…＋n 3＝（1＋2＋…＋n ）2＝41n 2（n ＋1）2；②裂项相消法将数列的通项分成两个式⼦的代数和，即a n ＝f （n ＋1）－f （n ），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．⽤裂项法求和，需要掌握⼀些常见的裂项，如：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=、)1(1+n n ＝n 1－11+n 等．③错位相减法（可⽤于推导等⽐数列前n 项和公式）对⼀个由等差数列及等⽐数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常⽤错位相减法．n n n c b a ?=，其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等⽐数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…④分组转化求和把数列的某些项放在⼀起先求和，然后再求S n ．⑤倒序相加法（可⽤于推导等差数列前n 项和公式） 2. 递归数列数列的连续若⼲项满⾜的等量关系a n ＋k ＝f （a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n ）称为数列的递归关系．由递归关系及k 个初始值可以确定的⼀个数列叫做递归数列．如由a n ＋1＝2a n ＋1，及a 1＝1，确定的数列}12{-n 即为递归数列．递归数列的通项的求法⼀般说来有以下⼏种：（1）归纳、猜想．（2）迭代法．（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三⾓代数．（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等⽐数列来解决问题．【典型例题】例1. 已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111．解：⾸先考虑=∑=+n i i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1，则∑=+ni i i a a 111＝1111)11(1++=-n n a a na a d ．点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，下列求和11nni i ===也可⽤裂项求和法．例2. 求)(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++．解：)1(2211+=+?++=k k k a k ， ])1n (n 1321211[2S n ++?+?+?=∴.1n n 21n 1121n 1n 131212112+=??+-= ??+-+?+??-+ -= 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单⼀些．例3. 设221)(+=x x f ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和的⽅法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++++-+- 的值为____________解：课本中推导等差数列前n 项和的⽅法为倒序相加法.因为22221221)1()(1=+++=-+-x x x f x f所以22)1()0()5()4()6()5(=+==+-=+-f f f f f f原式＝622＝23点评：本题曾为上海⾼考题，主要考查考⽣对课本的熟练程度和倒序相加法的应⽤，其中有函数式⼦的变化，计算能⼒的考查．例4. 已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是⾸项为a ，公⽐也为a 的等⽐数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：,lg n nn n a a b n a a ==? ， 232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a na a +∴=++++=++++ ……①……②①－②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=- ，[]nn ana n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴点评：设数列{}n a 是等⽐数列，数列{}n b 是等差数列，则对数列{}n n b a 的前n 项和nS 进⾏求解，均可⽤错位相减．例 5. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤另法：由100n n a a +≥??点评：求和的最值关键在于找分界点.例6. 求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n的各项的和．解：其和为（1＋3＋ (3)）＋（13132+＋…＋13n ）＝3121321n n +--+-＝12（3n ＋1－3－n ）．点评：分组转化法求和.例7. （2006年浙江卷20）已知函数()f x ＝x 3＋x 2，数列{x n }．（x n ＞ 0）的第⼀项x 1＝1，以后各项按如下⽅式取定：曲线y ＝()f x 在11(())n n x f x ++?处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点的直线平⾏（如图）．求证：当n ∈*N 时：（I ）221132n n n n x x xx -++=+；（II ）1211()()22n n n x --≤≤．解：（I ）因为'2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.（II ）因为函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，⽽221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+所以12nn x x +≤，即11,2n n x x +≥ 因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=≥⼜因为12212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+则11.2n ny y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111()().22n n n y y --≤?=因此221(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22n n n x --≤≤点评：数列与解析⼏何问题结合在⼀块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建⽴起联系．例8. （2005上海⾼考20.）假设某市2004年新建住房400万平⽅⽶，其中有250万平⽅⽶是中低价房.预计在今后的若⼲年内，该市每年新建住房⾯积平均⽐上⼀年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的⾯积均⽐上⼀年增加50万平⽅⽶.那么，到哪⼀年底，（1）该市历年所建中低价房的累计⾯积（以2004年为累计的第⼀年）将⾸次不少于4750万平⽅⽶?（2）当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%? 解：（1）设中低价房⾯积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋502)1(?-n n ＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4750，即n 2＋9n －190≥0，⽽n 是正整数，∴n ≥10．到2013年底，该市历年所建中低价房的累计⾯积将⾸次不少于4750万平⽅⽶．（2）设新建住房⾯积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等⽐数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·（1.08）n －1·0.85．由题意可知a n ＞0.85 b n ，有250＋（n －1）·50＞400·（1.08）n －1·0.85．由计算器解得满⾜上述不等式的最⼩正整数n ＝6．到2009年底，当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%．点评：本题考查等差、等⽐数列的应⽤题，关键是如何把实际问题转化为数列问题，注意解应⽤题的设、列、解、答四个步骤．例9. 某企业进⾏技术改造，有两种⽅案，甲⽅案：⼀次性贷款10万元，第⼀年便可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加30%的利润；⼄⽅案：每年贷款1万元，第⼀年可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加5千元；两种⽅案的使⽤期都是10年，到期⼀次性归还本息．若银⾏两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试⽐较两种⽅案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解：甲⽅案是等⽐数列，⼄⽅案是等差数列，①甲⽅案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元），银⾏贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲⽅案纯利：34.2629.1663.42=-（万元），②⼄⽅案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1??+=+++++++50.32=（万元）；银⾏本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++? 21.1305.0105.105.110≈-?=（万元）故⼄⽅案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲⽅案更好．点评：这是⼀道⽐较简单的数列应⽤问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建⽴通项公式并运⽤所学过的公式求解．例10. （2007⼭东理17）设数列{}n a 满⾜211233333n n na a a a -++++=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（I ）2112333...3,3n n na a a a -+++= 221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满⾜上式，*1().3n n a n N =∈（II ）3nn b n =?，23132333...3n n S n =?+?+?+?231233333n n n S n +-=+++-?11332313n n n S n ++--=-?-，111333244n n n n S ++=?-?+?例11. （2007⼭东⽂18）设{}n a 是公⽐⼤于1的等⽐数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T n ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=??+++=，解得22a =．设数列{}n a 的公⽐为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==⼜2ln 3b b n 1n =-+{}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++.2ln 2)1n (n 32)2ln n 32ln 3(n 2)b b (n n 1+=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=．点评：2007年⼭东⾼考⽂科和理科数列的题⽬都在⼤题的前两题的位置，理科考查的是错位相减法求和，⽂科为等差和等⽐数列公式的应⽤，都考查了考⽣的运算能⼒．例12. （2007福建⽂21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．⼜111S a == ，∴数列{}n S 是⾸项为1，公⽐为3的等⽐数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时， )2(32221≥?==--n S a n n n ，≥?==∴-2,321,12n n a n n （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，2103236341-?++?+?+=n n n T ，…………①12132363433-?++?+?+=n n n T ………………………②-①②得：122132)333(2422--?-+++++-=-n n n n T123231)31(322--?---?+=n n n13)21(1-?-+-=n n ． 1113(2)22n n T n n -??∴=+- ≥．⼜111T a == 也满⾜上式，1*113()22n n T n n -??∴=+-∈ N ．点评：本⼩题考查数列的基本知识，考查等⽐数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想⽅法，以及推理和运算能⼒．满分12分．［思维⼩结］1. 数列求和的常⽤⽅法（1）公式法：适⽤于等差、等⽐数列或可转化为等差、等⽐数列的数列；（2）裂项相消法：适⽤于+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分⽆理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适⽤于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等⽐数列．（4）倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导⽅法. （5）分组求和法 2. 常⽤结论nk k ==∑1＋2＋3＋...＋n ＝ 2)1(+n n（2）1(21)nk k =-=∑1＋3＋5＋...＋（2n －1）＝2n（3）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n（4）111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n（5）)()11(11q p q p p q pq <--=3. 数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导⽅法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……；（2）迭乘累乘（等⽐数列的通项公式的推导⽅法）若1()(2)nn a g n n a -=≥，则……；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导⽅法）；（4）错位相减（等⽐数列求和公式的推导⽅法）．4. 应⽤题注意审清题意，把实际问题转化为数列中的问题．设、列、解、答四步骤不可少．【模拟试题】1. 数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9.A. 98B. 99C. 96D. 972. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（）A. 9D. 173. 在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（）A. 22.5-B. 21.5-C. 20.5-D. 20-4. 已知等差数列n a n 的前}{项和m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于（）A. 38B. 20C. 10D. 95. 等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S nT n =+，则n n a b ＝（）A. 23B. 2131n n --C. 2131n n ++D. 2134n n -+6. 已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++＝_____________．7. 在等差数列{}n a 中，公差21=d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++＝_____________．8. 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =9. ⼀个等⽐数列各项均为正数，且它的任何⼀项都等于它的后⾯两项的和，则公⽐q 为_______________．10. （2007北京理）若数列{}n a 的前n 项和210(123)nS n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最⼩的项是第项．11. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，求n a ．170，求此数列的公⽐和项数．13. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？14. 已知数列{}n a 的前n 项和)34()1( (139511)--++-+-=-n S n n，求312215S S S -+的值．【试题答案】1. B...n n a S ===+110,99n S n ====2. A 4841,3,S S S =-=⽽48412816122016,,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列即1,3,5,7,9,1718192020169a a a a S S +++=-=3. C501505027002005050,1,()2002d d S a a -=?==+=，1501118,2498,241,20.5a a a d a a +=+==-=- 4. C 20,(2)0,2,m m m m m m a a a a a a +-=-==21121221()(21)38,21192m m m m S a a m am --+=-=-=，m ＝10．5. B 121212112121()22(21)21223(21)131()2n n n n n n n n n a a a a S n n b b T n n b b -----+--=====-+-+6. 100228910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++= 7. 10 100110011001991100100()45,0.9,0.4,2S a a a a a a a a d =+=+=+=+-="1995050()0.41022S a a =+=?=8.156371011431110471311371312,,12,()132a a a a a a a a a a S a a a +-+-=+=+==+=9.设2212,10,0,n n n n n a a a qa q a q q q q ++=+=++-=>=10. 211n - 3 11. 解：111132,32,2(2)n n n nn n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥ ⽽115a S ==，∴≥==-)2(,2)1(,51n n a n n 12. 解：设此数列的公⽐为,(1)q q ≠，项数为2n ，则,170q 1)q 1(a S ,85q 1)q 1(a S 2n 222n 21=--=偶奇2221122,85,2256,28,14n n S a q n S a -======-偶奇∴,2=q 项数为813. 解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤．另法：由100n n a a +≥??14. 解：(4),2,2121,(4)43,2n n nn n n S S n n n n n ??-?-??==??---+-??为偶数为偶数，，为奇数为奇数15223129,44,61,S S S ==-=15223176S S S +-=-。
数列的求和公式与应用
数列的求和公式与应用数列在数学中有着重要的地位，是一种按照一定规则排列的一系列数值的集合。
从古至今，人们一直在探索数列的性质和规律，并寻找数列求和的公式和应用。
本文将介绍数列的求和公式及其在实际中的应用。
一、等差数列的求和公式及应用等差数列是一种按照相同的公差递增或递减的数列。
对于等差数列而言，求和公式是非常重要的。
对于首项为a1，公差为d的等差数列，求和公式为Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn代表前n项的和。
等差数列求和公式的应用非常广泛。
例如，我们可以通过等差数列的求和公式来解决实际生活中的问题。
比如，假设小明每天存银行100元，第一天存了100元，第二天存了200元，以此类推。
如果小明一共存了30天，我们可以通过等差数列求和公式计算出他一共存了多少钱，即Sn = (30/2)(2*100 + (30-1)*100) = 46500元。
二、等比数列的求和公式及应用等比数列是一种按照相同比例递增或递减的数列。
求和等比数列的公式同样也是非常重要的。
对于首项为a1，公比为r的等比数列（r≠1），求和公式为Sn =a1(1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn代表前n项的和。
等比数列求和公式的应用也非常广泛。
例如，我们可以通过等比数列的求和公式来计算利息的复利效应。
比如，某银行的年利率为5%，每年按照相同的利率累计计息，如果存款本金为10000元，存款期限为10年，我们可以通过等比数列的求和公式计算出最终的本息总额，即Sn = 10000*(1 - (1 + 0.05)^10)/(1 - 1.05) = 62889.99元。
三、斐波那契数列的求和公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列具有许多有趣的性质和应用。
斐波那契数列的求和通常没有一个简单的公式。
然而，斐波那契数列在实际应用中具有广泛的用途，如金融分析、自然科学、计算机科学等。
高考数学二轮复习 专题10 数列求和及其应用教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题10 数列求和及其应用高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2018高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}、{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题． 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n 项和．考点一．数列求和例1、25.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，①当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为'd .在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23'a a d =-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122'a a d =-， 所以数列{}n a 是等差数列.【变式探究】(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．【举一反三】 若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和，对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记c n ＝2A n ＋B n ，求{c n }的前n 项和S n .解：(1)由于a n ＝2(n ＋1)， ∴{a n }为等差数列，且a 1＝4. ∴A n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （4＋2n ＋2）2＝n 2＋3n ，∴B n ＝3A n －4n ＝3(n 2＋3n )－4n ＝3n 2＋5n ，当n ＝1时，b 1＝B 1＝8，当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝3n 2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b 1＝8适合上式， ∴b n ＝6n ＋2.(2)由(1)知c n ＝2A n ＋B n ＝24n 2＋8n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 【变式探究】(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， ∴T n ＝3n ·2n ＋2.考点二、数列和函数、不等式的交汇例4、(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.(2)证明：由(1)可知，a n ＝qn －1，∴双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q2（n －1）. 由e 2＝1＋q 2＝53解得q ＝43.∵1＋q2(k －1)>q2(k －1)，∴1＋q2（k －1）>qk －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n－1q －1，故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n .1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以， 2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =， 3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =.（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ， 由262n a n =-， 12124n n b --=⨯，有()221314n n n a b n -=-⨯， 故()23245484314n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23414245484344314n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得()231324343434314n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，①当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③3.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +,由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ① 又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ② ①-②得=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=1.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设 ()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析2.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ．【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 3.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】（I ）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故111222n n nn na a ++-≤，n *∈N ，所以1<，因此()1122n n a a -≥-．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，112n -<， 故3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．4.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ； （3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.（Ⅲ）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(.记10=n . 则pn n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<21.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{},ii i k n G k n k N a a *=∈<≤>N .如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何iim n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意p n k N ≤≤，pn k a a ≤，特别地，pn N a a ≤.对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n nn a a a a a .所以p a a a a a a i i pn pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.因此)(A G 的元素个数p 不小于1N a a -.5.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q ；（Ⅱ）详见解析. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nn a q .所以双曲线2221n y x a 的离心率 22(1)11nn n e a q ．由2513qq 解得43q . 因为2(1)2(1)1+k kq q 1)1*kk q kN （）. 于是11211+1n n nq e e e qqq ， 故1231433n n n e e e .6.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =．（2）{}n a 不具有性质P ．（3）见解析． （3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．7.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 8.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}na 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}nb 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}nb 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得 所以223+⋅=n n n T9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 （3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C DC D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令UE CD =，UF DC =则E ≠∅，F ≠∅，E F =∅.于是C E C D S S S =+，D F C D S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤， 故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.10.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}na 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}nb 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}nb 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n项和T n .【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得 所以223+⋅=n n n T【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列nb 的前n 项和.【答案】(I) 1222,2,.n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】（Ⅰ） 由已知，有34234534a a a a a a a a ，即4253a a a a -=-，所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =，当21(*)n k n N =-∈时，1122122n k n k a a ---===，当2(*)n k n N =∈时，2222nkn k a a ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =.所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >. 因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知na ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++．令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++，则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦． 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得，211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n n a a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n nn T +=+⨯. （Ⅱ）因为3log n n n a b a = ，所以113b =当1n > 时，()11133log 313n n nn b n ---==-⋅所以1113T b ==当1n > 时，所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++- 两式相减，得所以13631243n nn T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=+⨯ 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥.1. 【2014高考湖南理第20题】已知数列{}n a 满足111,n n n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数或()114332n n n a --=+ (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a +-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-, 则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时,2132432122321111,,,,2222m m ma a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122211111111224224113321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】等差数列、等比数列、数列单调性2. 【2014高考江西理第17题】已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列的前n 项和【答案】（1）2 1.n c n =-（2）(1)3 1.nn S n =-⋅+ 【考点定位】等差数列、错位相减求和3. 【2014高考全国1第17题】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，4λ=.【考点定位】递推公式、数列的通项公式、等差数列． 4. 【2014高考全国2第17题】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【答案】n a =312n -【解析】本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+3，（2）由（1因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以+1na 1113n -≤+++=1+21a +1n a 32< 【考点定位】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明5. 【2014高考山东卷第19题】已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）21n a n =-.（II ）22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，（或1n 21(1)2+1n n T n -++-=）（II ）11144(1)(1)(21)(21)n n n n n n nb a a n n --+=-=--+111(1)()2121n n n -=-+-+ 当n 为偶数时，1111111(1)()()()33523212121n T n n n n =+-+++--+---+1121n =-+221nn =+ 当n 为奇数时，1111111(1)()()()33523212121n T n n n n =+-++++-+---+1121n =++2221n n +=+ 所以22,212,21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数，（或1n 21(1)2+1n n T n -++-=）【考点定位】等差数列的前n 项和、等比数列及其性质 。
等比数列的求和与应用知识点总结
等比数列的求和与应用知识点总结等比数列，又称为几何数列，是数学中重要的数列之一。
在等比数列中，每个数都是前一个数与一个常数的乘积得到的。
求和是对数列中的所有数进行相加的操作，而应用则是指等比数列在实际问题中的应用。
本文将主要讨论等比数列的求和公式以及其在数学和实际生活中的应用知识点。
一、等比数列求和公式在等比数列中，第一个数为a，公比为r，数列的通项公式为an=a*r^(n-1)。
其中，n代表第n个数。
对于等比数列的求和，有一个重要的公式，即等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比数列的前n项和，a 表示首项，r 表示公比。
这个公式可以简化为：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)二、等比数列的应用知识点1. 等比数列的倍数关系等比数列中，每个后一项都是前一项的倍数。
这个关系在各种实际问题中都有应用。
例如，计算利息的增长、物种繁殖等都可以用等比数列的倍数关系进行描述和计算。
2. 等比数列的质量问题在某些物理问题中，等比数列可用于描述质量的变化。
例如，质量为m的物体，每隔一段时间消耗质量的固定比例，那么质量变化可以用等比数列进行表示。
3. 等比数列与复利等比数列中的每个数都是前一个数与一个常数的乘积得到的，这与复利的计算有联系。
复利是指利息按一定周期计算，并将每次计算后的利息加到本金上，再进行下一次计算。
这种复利即可用等比数列的倍数关系进行描述。
4. 等比数列与几何图形等比数列也与几何图形有关。
例如，等比数列的通项公式中的幂指数r可以看作是一个比例关系，在几何图形中就是指边长的倍数关系。
例如，正方形的边长就可以用等比数列进行描述。
5. 等比数列与无穷级数等比数列在无穷级数的计算中也发挥了重要作用。
无穷级数是由等比数列逐项相加得到的。
在等比数列的情况下，求和公式可以用来计算等比数列的无穷级数。
三、总结通过等比数列的求和与应用知识点的总结，我们可以看到等比数列在数学和实际生活中均有广泛的应用。
数列与数列求和的应用案例
数列与数列求和的应用案例数列是数学中常见的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
数列求和则是对数列中的数进行求和操作，可以用于解决实际问题。
本文将通过几个应用案例，展示数列与数列求和的实际应用。
案例一：等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
我们可以通过一个实际问题来展示等差数列求和的应用。
假设小明每天早上花费的时间来回上学都是相同的，第一天他花费了10分钟，第二天花费了15分钟，第三天花费了20分钟，以此类推。
现在我们需要计算小明连续上学10天所花费的总时间。
我们可以首先观察到，小明每天花费的时间构成了一个等差数列，首项为10，公差为5（每天多花费的时间）。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：总时间 = （首项 + 末项）* 项数 / 2= （10 + 10 + 5 * (10 - 1)）* 10 / 2= （10 + 10 + 45）* 10 / 2= 65 * 10 / 2= 325分钟因此，小明连续上学10天所花费的总时间为325分钟。
案例二：等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
我们可以通过一个实际问题来展示等比数列求和的应用。
假设某人每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存4元，以此类推。
现在我们需要计算这个人连续存钱10天所存的总金额。
我们可以首先观察到，这个人每天存的金额构成了一个等比数列，首项为1，公比为2（每天存的金额是前一天的两倍）。
根据等比数列的求和公式，我们可以得到：总金额 = 首项 * （公比^项数 - 1）/ （公比 - 1）= 1 * （2^10 - 1）/ （2 - 1）= 1 * （1024 - 1）/ 1= 1023元因此，这个人连续存钱10天所存的总金额为1023元。
案例三：斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
我们可以通过一个实际问题来展示斐波那契数列求和的应用。
假设某物种繁殖能力很强，每对物种每个月可以繁殖出一对后代，而每对后代出生后的第二个月才开始繁殖。
初三数学教材数列与等差数列的求和与应用
初三数学教材数列与等差数列的求和与应用数列是数学中常见的概念，也是初三数学教材中重要的内容之一。
其中，等差数列作为最简单的数列形式，对于初三学生而言尤为重要。
本文将深入探讨数列与等差数列的求和方法以及在实际问题中的应用。
一、数列的定义与求和公式数列由一串有序的数所组成，其中每个数称为数列的项，用字母a1, a2, a3, ...表示。
数列通常会通过一个通项公式或者递推公式来进行定义。
对于数列而言，求和是一个常见的问题。
对于一般的数列，我们可以通过将所有项相加来求得总和。
然而，对于等差数列，有一种简便的求和公式。
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等差数列而言，我们可以通过求和公式来快速计算数列的总和。
等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、等差数列求和的应用等差数列求和公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 求连续整数和假设我们想求1到100之间所有整数的和。
由于这是一个等差数列，首项a1为1，公差d为1，末项an为100。
代入公式Sn = (a1 + an) * n / 2，即可得到结果。
2. 求平均数对于一组已知的数列，我们可以通过求和公式来快速计算它们的总和。
最后将总和除以项数，即可得到平均数。
3. 平均速度与时间间隔假设有一辆汽车以等差递增的速度行驶，开始时速度为v，每过一个小时速度增加d。
若行驶t小时后的速度为vt，那么我们可以将这些速度表示为等差数列。
通过求和公式，我们可以计算出汽车在t小时内总共行驶的距离。
4. 金融投资在金融投资领域，等差数列的求和公式可以用来计算复利的本息和。
假设我们每年将固定金额的资金投资，年利率为r。
那么经过n年后，我们的本息和可以通过等差数列求和公式来计算。
5. 几何问题等差数列的求和公式还可以应用于几何问题。
数列求和的应用原理
数列求和的应用原理什么是数列求和数列是按照一定规律排列的一系列数的组合。
数列求和是指对数列中的所有数字进行求和运算，以得到总和的结果。
数列求和的应用数列求和在数学和实际生活中都有广泛的应用，如下所示：1.数学建模：在数学建模中，能够利用数列求和的原理解决各种实际问题。
通过总结规律，找到数列的通项表达式，并利用求和公式进行求和运算，从而得到问题的解答。
2.金融领域：在金融领域中，数列求和的应用也是非常常见的。
例如，计算投资回报率时可以利用数列求和的原理，将每年的投资回报率相加，从而得到总的投资回报率。
3.工程计算：在工程计算中，数列求和可用于计算工程材料的总体积、总长度等。
例如，工程中需要铺设水管，我们可以将每段水管的长度相加，通过数列求和得到总长度。
4.统计分析：在统计分析中，数列求和的应用也是很常见的。
例如，在计算平均数时，我们需要将所有数据相加，从而得到总和，再除以数据的个数，得到平均数。
数列求和的常用公式数列求和时，我们常常会遇到一些特殊的数列，它们有特定的求和公式，能够帮助我们高效地进行求和运算。
下面是几个常用的数列求和公式：1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，求和的公式为：$$ S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$2.其中，S n表示前n项和，a1表示数列的第一项，a n表示数列的第n项。
3.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，求和的公式为：$$ S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $$4.其中，S n表示前n项和，a1表示数列的第一项，q表示公比，n表示项数。
5.调和数列求和公式：当数列为调和数列时，求和的公式为：$$ S_n = H_n \\cdot a_1 $$6.其中，S n表示前n项和，H n表示调和数（$H_n = \\frac{1}{1} +\\frac{1}{2} + ... + \\frac{1}{n}$），a1表示数列的第一项。
初三数学知识点归纳数列与数列求和的方法与应用
初三数学知识点归纳数列与数列求和的方法与应用数列与数列求和的方法与应用数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。
在初中数学中，我们对数列的研究主要集中在数列的性质以及求和问题上。
本文就初三数学中与数列相关的知识点进行归纳和总结。
一、等差数列等差数列是最基本的一种数列。
在等差数列中，每一项与它的前一项的差都相等，这个差值称为等差数列的公差。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d其中，aₙ表示数列的第n项。
1. 求和公式对于等差数列来说，我们经常需要求前n项和。
首先，我们需要知道等差数列前n项的求和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2其中，Sₙ表示等差数列前n项的和。
2. 数列的性质等差数列具有一些特殊的性质，我们常常利用这些性质来解决问题。
例如：（1）等差数列的任意三项可以构成一个等差三项，即 a₁，aₙ，aₙ。
（2）对于等差数列来说，从首项到末项的和等于末项到首项的和，即 a₁ + a₂ + ... + aₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁。
（3）如果等差数列的首项、末项和项数已知，那么求和问题可以转化为求公差，并用公差来求和。
二、等比数列等比数列是一种常见的数列，它的每一项与前一项的比值都相等。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)其中，aₙ表示数列的第n项。
1. 求和公式对于等比数列来说，我们需要知道等比数列前n项和的求和公式：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)其中，Sₙ表示等比数列前n项的和。
2. 数列的性质等比数列也具有一些特殊的性质，我们通常利用这些性质来解决问题。
例如：（1）等比数列的前n项和与公比之间存在关系：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)。
10 第10讲 数列与数表
第十讲数列与数表兴趣篇1.观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。
求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和。
2.请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3, (100)问：（1）这个数列一共有多少项？（2）这个数列所有数的总和是多少？3.一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。
请问：（1）第100项是多少？（2）前100项的和是多少？出“？”处的数。
5.如图，数阵中的数是按一定规律排列的。
请问：（1）100在第几行、第几列？（2）第20行第3列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列第1行 1 2 3 4第2行 5 6 7 8第3行9 10 11 12第4行13 14 15 16第5行17 ……………………6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。
请问：（1）100在第几行第几列？（2）第5行第20列的数是多少？7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列。
请问：（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。
请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？9.如图。
从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … …4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1)3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …10.如图。